Một mô hình véctơ cho trường hấp dẫn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VÕ VĂN ỚN

MỘT MÔ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN
Chuyên ngành : VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 1.02.01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009


i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VÕ VĂN ỚN

MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN

Chun ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT & VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 1.02.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học

GSTS. NGUYỄN NGỌC GIAO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009

ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi. Các kết quả nêu trong luận án là
trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.


iii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy tôi, Giáo sư Tiến sĩ
Nguyễn Ngọc Giao, người đã dạy tôi từ những năm đại học, rồi những năm cao
học. Nếu thiếu sự dạy dỗ và hướng dẫn tận tâm của Thầy, chắc chắn tôi không thể
hoàn thành luận án này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Nguyễn Quốc Khánh, người cũng
đã dạy dỗ tôi từ những năm học đại học, những năm học cao học và cũng đã tận
tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học nghiên cứu sinh và làm luận án.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Nguyễn Nhật Khanh, người cũng
đã dạy dỗ tôi từ những năm học đại học, những năm học cao học. Thầy cũng đóng
góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong quá trình làm luận án.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Hoàng Dũng, người cũng đã dạy
tôi từ những năm học đại học, những năm học cao học. người đã giúp đỡ tôi thật
nhiều trong khi làm luận án.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn thật nhiều đến Thầy Hoàng Ngọc Long ở
Viện Vật Lý và Điện Tử, người đã giúp đỡ tôi thật nhiều trong thời gian làm việc
ở Viện, người đã có những phản biện sâu sắc đối với đề tài này trong các buổi
sêmina ở viện.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn thật nhiều đến Thầy Đặng Văn Soa ở
ĐHSP1 Hà Nội, người đã giúp đỡ tôi thật nhiều trong thời gian làm việc ở viện,

người cũng đã có những phản biện sâu sắc đối với đề tài này trong các buổi
sêmina ở viện.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Huỳnh Thành Đạt, người đã cho
tôi nhiều ý kiến quý báu trong khi học nghiên cứu sinh.


iv
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Tiến sĩ Đỗ Hoàng Sơn, người đã giúp đỡ
tôi nhiều trong khi học nghiên cứu sinh, người cũng đã góp cho tôi nhiều ý kiến
thật chân tình và quý báu.
Tôi cũng xin được cảm ơn đến Tiến sĩ Võ Hoàng Văn, người đã giúp đỡ và có
những ý kiến quý báu.
Tôi cũng xin được cảm ơn đến Tiến sĩ Vũ Quang Tuyên, người đã có những
giúp đỡ quý báu cho tôi.
Tôi xin được cảm ơn đến Thạc sĩ Nguyễn Thị Huyền Nga, người bạn đồng
học cao học, người đã giúp đỡ tôi thật nhiều trong khi học nghiên cứu sinh.
***
Con xin thành kính dâng lên hương hồn Ba Má công trình tâm huyết của con.
Con xin mãi mãi khắc ghi công ơn trời biển của Ba Má, những người đã cả một
đời cuốc bẩm, cày sâu nuôi dạy con nên vóc nên hình.
***
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Anh, các Chị của tôi, những người đã
cùng với Cha, Mẹ nuôi dạy tôi thành người.
***
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến vợ tôi, người luôn là chổ dựa đằm thắm, là
nguồn động viên lớn lao đàng sau những bước tiến của tôi.
***
Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, các bạn hữu trong
tổ Vật lý, cô Thịnh của trường THPT Tân Phước Khánh đã giúp đỡ tôi nhiều trong
thời gian học cao học và làm nghiên cứu sinh.

v

Mục lục

Trang

TỜ BÌA LUẬN ÁN ………………………………………………………………………………. i
LỜI CAM ĐOAN …………………………………………………………………………………ii
LỜI CẢM ƠN ……………………………………………………………………………..…….iii
MỤC LỤC………………………………………………………………………………………...v
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT …………………………………………………………...ix
DANH MỤC CÁC BẢNG……………………………………………………………………. ...ix
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ …………………………………………………………x
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………………..……..1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ……………………………………………………………………3
….1.1 SƠ LƯỢC VỀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN ………………………………………………..3
1.2 SƠ LƯỢC VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QT …………………………………5
1.2.1 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN……………………………………………………..5
1.2.2 CÁC HỆ QUẢ SUY RA TỪ PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN………………………6
1.2.3 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN VỚI HẰNG SỐ VŨ TRỤ………………………….8
1.2.4 CÁC HẠN CHẾ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QT……………………9
1.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN KHÁC………………………………………………....11
1.3.1 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VƠ HƯỚNG……………………………………..11
1.3.2 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VÉCTƠ…………………………………………..13
1.3.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ…………………………………………..15
1.3.4 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN LƯỠNG MÊTRÍC……………………………….16
1.3.5 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ – VƠ HƯỚNG…………………………18
1.3.6 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ- VÉCTƠ………………………………..22

1.3.7 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN GAUGE………………………………………….22
1.3.8 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VỚI XOẮN………………………………………25
1.4 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN………………………………………………………...28
1.4.1 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU ĐỐI XỨNG…………………………………………………28
1.4.2 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN…………………………………………………..31
1.5 SƠ LƯỢC VỀ THẾ GIỚI MÀNG (BRANE)………………………………………..…33
1.5.1 SỰ RA ĐỜI CỦA THẾ GIỚI MÀNG ……………………………………………33
1.5.2 MƠ HÌNH RANDALL- SUNDRUM……………………………………………..34


vi
CHƯƠNG 2.

MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN…………………….37

… 2.1 CÁC VẤN ĐỀ LÊN QUAN ĐẾN KHOIÁ LƯNG HẤP DẪN………………………...37
2.2 MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG HẤP DẪN………………...…42
2.2.1 CƯỜNG ĐỘ TRƯỜNG HẤP DẪN……………………………………………….42
2.2.2 VÉCTƠ CẢM ỨNG HẤP DẪN…………………………………………………...43
2.2.3 MẬT ĐỘ DỊNG HẤP DẪN- CƯỜNG ĐỘ DỊNG HẤP DẪN………………….43
2.2.4 VÉTƠ TỪ HẤP DẪN……………………………………………………………...43
2.3 HỆ THỐNG TIÊN ĐỀ………………………………………………………………......44
2.4 PHƯƠNG TÌNH TRƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG PHI
TƯƠNG ĐỐI……………………………………………………………………………44
2.4.1 TÍCH CHẬP……………………………………………………………………….45
2.4.2 LAGRANGIAN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG PHI TƯƠNG ĐỐI……46
2.4.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG PHI TƯƠNG ĐỐI………………………...49
2.5 PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG-PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI......52
2.5.1 THẾ 4 CHIỀU- MẬT ĐỘ DỊNG 4 CHIỀU………………………………………52
2.5.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH………………………...53

2.5.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG DẠNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH………………55
2.6 MỘT TIẾP CẬN TỚI NGUN LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ BẢN CHẤT
CỦA CÁC.LỰC QN TÍNH………………………………………………………….56
2.6.1 CÁC QUAN ĐIỂM CHÍNH VỀ LỰC QN TÍNH……………………………..56
2.6.2 VÙNG KHƠNG GIAN CHUẨN ĐẲNG THẾ HẤP DẪN….................................57
2.6.3 MỘT TIẾP CẬN TỚI BẢN CHẤT CÁC LỰC QN TÍNH……………………59
2.6.4 BÀN LUẬN………………………………………………………………………..65
2.7 MỘT TIẾP CẬN ĐẾN 3 KIỂM TRA KINH ĐIỂN CỦA THUYẾT
TƯƠNG ĐỐI TỔNG QT …………………………………………………………66
2.7.1 MỘT TIẾP CẬN TỚI TENXƠ MÊTRÍC CỦA KHƠNG - THỜI GIAN
KHI CĨ MẶT TRƯỜNG HẤP DẪN ……………………………………………67
2.7.2 BÀN LUẬN……………………………………………………………………….71
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN TRONG MƠ HÌNH
…………... HẤP DẪN VÉCTƠ………………………………………………………………73
3.1 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN…………………………………………..….73
3.1.1 LAGRANGIAN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỆ GIỮA TRƯỜNG
HẤP DẪN VỚI MÊTRÍC CỦA KHƠNG – THỜI GIAN………………………..74


vii
3.1.2 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN CHO VẬT ĐỐI XỨNG CẦU
……………………………..DỪNG…………………………………………………………………………..76
3.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG HẤP DẪN TRONG
KHƠNG-THỜI GIAN CONG……………………………………………………….77
3.3 TENXƠ MÊTRÍC CỦA KHƠNG-THỜI GIAN BÊN NGỒI
MỘT VẬT ĐỐI XỨNG CẦU DỪNG ………………………………………………77
3.3.1 TENXƠ MÊTRÍC TỰA SCHWARZSCHILD …………………………………..77
3.3.2 BÀN LUẬN……………………………………………………………………….88
3.4 MỘT MƠ HÌNH VŨ TRỤ KHƠNG DỪNG……………………………………………88
3.4.1 MÊTRÍC TỰA FRIEDMAN – ROBERTSON – WALKER……………………88

3.4.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH FRIEDMAN CẢI TIẾN…………………………...….89
3.4.3 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA VŨ TRỤ………………………………..95
CHƯƠNG 4. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VŨ TRỤ HỌC…………………………………………....102
4.1 MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ…………………………………………………..102
4.1.1 VỀ NĂNG LƯNG VŨ TRỤ………...…………………………………………102
4.1.2 MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ…………………………………………….103
4.1.3 BÀN LUẬN ……………………………………………………………………..105
4.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI…..105
4.2.1 CÁC HƯỚNG CHÍNH TIẾP CẬN ĐẾN VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG
LƯNG TỐI…………………………………………………………………......105
4.2.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI
VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI………………………………………………………...108
4.2.3 BÀN LUẬN VÀ SO SÁNH VỚI THỰC NGHIỆM………………………….….117
4.3 TỪ HẤP DẪN……………………………………………………………………….....122
4.3.1 SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG TỪ HẤP DẪN…………………………….…....122
4.3.2 TỪ HẤP DẪN TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QT……………….123
4.3.3 VÀI HIỆU ỨNG CỦA TRƯỜNG TỪ HẤP DẪN TRONG MƠ HÌNH NÀY..…125
4.3.4 VIỆC XÁC NHẬN THỰC NGHIỆM CÁC HIỆU ỨNG TỪ HẤP DẪN……….131
PHẦN KẾT LUẬN. KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN……………………………………………136
1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC TRONG LUẬN ÁN…………………………..……..136


viii
2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN BÀN LUẬN THÊM VÀ CÁC KIẾN NGHỊ………………….137
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ……………………………………………138
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………………140
PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………………….150
……..PHỤ LỤC I.………………………………………………………………………………150
……..PHỤ LỤC II………………………………………………………………………………152
PHỤ LỤC III……………………………………………………………………………...156

PHỤ LỤC IV……………………………………………………………………………..159


ix

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
EEP:

Nguyên lý tương đương của Einstein (Einstein Equivalence Principle)

SM:

Mô hình chuẩn (Standard Model)

SUSY:

Siêu đối xứng (supersymmetry)

MOND:

Động lực học Newton cải tiến (Modified Newton Dynamics)

BGT:

Lý thuyết hấp dẫn lưỡng mêtríc (Bimetric Gravitation Theory)

AdS:

Không gian phản de Sitter (Anti-de Sitter Space)

COBE:

Vệ tinh khảo sát bức xạ nền Vũ trụ (Cosmic Background Explorer)

MACHOs: Vật chất tối có nguồn gốc baryon như sao nơtrôn, lỗ đen…
(Massive Astrophysical Compact Halo Objects)
WIMPs:

Vật chất tối có nguồn gốc không baryon như axion, nơtrino,…
(Weakly Interacting Massive Particles.).

CDM:

Mô hình vật chất tối lạnh có hằng số vũ trụ
(- Cold Dark Matter Model)

LAGEOS: Vệ tinh địa động lực định vị laser (Laser Geodynamic Satellite)
NASA:

Cơ quan quản trị hàng không và không gian quốc gia Hoa Kỳ
(National Aeronautics and Space Administration)

GP-B:

Vệ tinh thăm dò hấp dẫn B (Gravity Probe – B)

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 4.1: bảng khối lượng các hạt vật chất tối được đề nghị ………………122

x

DANH MC CC HèNH V, TH
Hỡnh 2.1: Hỡnh minh hoùa theỏ nen cuỷa Vuừ tru59
Hỡnh 3.1: th ca hm e theo khong cỏch r t tõm vt th
khi 0 ....87
Hỡnh 3.2: th ca hm e theo khong cỏch r t tõm vt th
khi 0 87
Hỡnh 4.1. S ph thuc ca vn tc ngụi sao vo khong cỏch r
t tõm thiờn h....113
Hỡnh 4.2: ng cong quay ca Thiờn H Chỳng Ta (Milky Way)
v v trớ ca mt tri trong thiờn h...114
Hènh 4.3: Hỡnh nh ng cong quay ca cỏc thiờn h
thu c t quan sỏt..115
Hỡnh 4.4: S phõn b v t l cỏc vựng quanh thiờn h theo gúc br .116
Hỡnh 4.5: S phõn b cỏc vựng theo khong cỏch t tõm thiờn h r tr ra117
Hỡnh 4.6: Hỡnh v mt phng qu o ca v tinh v mt phng
xớch o ca trỏi .t..127
Hỡnh 4.7: Minh ha cỏc lung vt cht cú vn tc rt cao bn mnh
vo khụng gian t hai hng ngc nhau cỏc sao ntrụn
hay cỏc l en siờu.nng quay nhanh do trng t hp dn ..134
Hỡnh 4.8: Cỏc a vt cht quay quanh cỏc l en quay nhanh
cng b lc l do trng t hp dn ...135


1
Mở Đầu
Tương tác hấp dẫn được con người biết đến sớm nhất trong 4 loại tương tác
nhưng cho đến nay bản chất của nó là gì vẫn còn là một điều bí ẩn.
Từ những năm 1930-1933, qua việc quan sát các đường cong quay phẳng của

các thiên hà người ta đã phát hiện ra vật chất tối và đã được công nhận rộng rãi
vào năm 1980. Một phương cách gần như duy nhất để phát hiện ra vật chất tối là
thông qua tương tác hấp dẫn của nó.
Vào năm 1998 người ta lại phát hiện ra năng lượng tối, một dạng vật chất
chiếm hơn 70% tổng lượng vật chất của Vũ trụ chúng ta. Tương tác hấp dẫn là một
phương cách trực tiếp nhất để chỉ ra sự tồn tại của dạng vật chất này thông qua
tính chất phản hấp dẫn của nó.
Thuyết tương đối tổng quát của Einstein ra đời vào năm 1917 của thế kỷ trước
đến nay đã gần một trăm năm. Trong gần một trăm năm đó nó đã gặt hái được rất
nhiều thành công và đã trở thành một thuyết chính thống để mô tả tương tác hấp
dẫn. Tuy nhiên, bên cạnh các thành tựu không thể bàn cãi như: giải thích chính
xác hơn chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt trời, tiên đoán sự tồn tại của
các lỗ đen, cho khả năng giải thích sự giãn nở tăng tốc của Vũ trụ và gần đây nhất
là được kiểm chứng đúng về trường từ hấp dẫn vào năm 2007, Thuyết tương đối
tổng quát vẫn còn gặp phải một số khó khăn mà theo nhiều người là không thể
vượt qua được trong khuôn khổ của lý thuyết này. Các khó khăn này có thể kể
như: không có được định luật bảo toàn năng – xung lượng của trường hấp dẫn, vấn
đề kỳ dị hấp dẫn, vấn đề thống nhất tương tác hấp dẫn với các tương tác khác…Do
đó việc tiếp cận đến tương tác hấp dẫn bằng một con đường khác hơn Einstein đã
làm nhưng vẫn giữ lại được các thành quả của thuyết này nhất là trong bối cảnh
các phát hiện gần đây của vật lý thiên văn đầy bí ẩn lý thú là một việc làm vô cùng
cấp thiết.
Luận án này là sự kế tục của luận văn tốt nghiệp đại học năm 1987 và luận văn
tốt nghiệp cao học năm 2003 của chúng tôi. Mục tiêu nghiên cứu của luận án là :


2
- Chúng tơi phát triển hướng tiếp cận của Einstein đến tương tác hấp dẫn, dùng
trường véctơ cùng với một trường tenxơ để mơ tả tương tác hấp dẫn, góp phần tìm
hiểu bản chất của trường hấp dẫn.

- Chúng tơi cũng chỉ ra vai trò của tương tác hấp dẫn trong sự phát triển của Vũ
trụ. Đưa ra một cách nhìn mới đến các vấn đề thời sự của vật lý thiên văn hiện đại
là vật chất tối và năng lượng tối, góp phần tìm hiểu về Vũ trụ .
Luận án được bố cục như sau: trong chương 1, chúng tơi trình bày phần tổng
quan nhằm đánh giá lại các ưu, khuyết điểm của các hướng tiếp cận khác đến
tương tác hấp dẫn từ trước đến nay. Chương 2, chúng tơi trình bày phần cơ sở của
một mơ hình véctơ để mơ tả tương tác hấp dẫn, chúng tơi cũng chỉ ra trong chương
này rằng bản chất các lực qn tính chính là lực hấp dẫn như Ngun lý tương
đương Einstein cơng nhận, chúng tơi cũng rút ra được một tenxơ mêtríc của khơng
– thời gian mà ở gần đúng bậc nhất nó trở về được gần đúng tenxơ mêtríc
Schwarzschild. Trong chương 3, chúng tơi đưa ra một Phương trình Einstein cải
tiến để mơ tả mối liên hệ giữa trường hấp dẫn với mêtríc của khơng- thời gian.
Chúng tơi cũng rút ra được tenxơ mêtríc tựa –Schwarzschild, tenxơ mêtríc này cho
phép khả năng tồn tại của một loại đối tượng Vũ trụ mới lý thú. Chúng tơi cũng
chỉ ra rằng dáng điệu phát triển của Vũ trụ trong mơ hình này là giống như trong
Thuyết tương đối tổng qt. Trong chương 4, chúng tơi khảo sát một số vấn đề Vũ
trụ học từ mơ hình này như: tính mật độ năng lượng Vũ trụ và năng lượng
vacuum, cho một diễn tả thống nhất tới vật chất tối, năng lượng tối và vật chất
thơng thường, khảo sát vài hiệu ứng của trường từ hấp dẫn. Trong phần kết luận,
chúng tơi đánh giá lại những gì đã làm được trong luận án, nêu lên một số hướng
nghiên cứu tiếp tục sau này.


3
CHƯƠNG 1

PHẦN TỔNG QUAN
1.1 SƠ LƯC VỀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN
Lực hấp dẫn, biểu hiện của tương tác hấp dẫn đã được Newton phát hiện ra
từ năm 1667, nhưng cho đến nay bản chất của lực hấp dẫn là gì vẫn còn là một

câu hỏi nan giải trước trí tuệ của cả loài người. Các biểu hiện của tương tác hấp
dẫn mà ta có thể “cảm nhận” được là:
-Tương tác hấp dẫn là tương tác tầm xa, bán kính tác dụng là vô cực như
tương tác điện từ. Biểu thức lực hấp dẫn theo Newton là:

F G

m1 m2
r

2

(1.1)

ở đây m1, m2 là khối lượng qn tính của chất điểm 1 và 2 (kg).
G  6.68  1011 N .m 2 .kg 2 là hằng số hấp dẫn Newton.

r (m)là khoảng cách giữa 2 chất điểm 1 và 2.
F (N) là lực hấp dẫn giữa hai chất điểm 1 và 2.
-Trong trường hấp dẫn, sự rơi tự do (chuyển động tự do) của các vật là như
nhau nếu cùng các điều kiện ban đầu, không phụ thuộc vào bản chất của các
vật. Đây chính là đònh luật rơi tự do của Galileo và sau này được tổng quát hóa
thành sự bằng nhau tuyệt đối giữa khối lượng quán tính mi và khối lượng hấp
dẫn mg của cùng một vật.
-Tương tác hấp dẫn là phổ quát (universal): tất cả các vật đều tham gia
tương tác hấp dẫn.


4
Trong bốn loại tương tác: mạnh, điện từ, yếu, hấp dẫn thì tương tác hấp dẫn

là yếu nhất. Cường độ tương đối như sau:
Mạnh: 1; điện từ 10 – 2 – 10 – 3 ; yếu 10 – 14 – 10 – 15; hấp dẫn 10 – 39.
Nếu nói một cách hình tượng như Giáo sư Nguyễn Ngọc Giao thì: “Nếu xem lực
hấp dẫn là trọng lượng của một sợi lông nheo của các bạn gái, thì lực tương tác
yếu sẽ là trọng lượng một khối lập phương bằng chì cạnh 25km, lực tương tác
điện từ là trọng lượng của toàn bộ các hành tinh của hệ mặt trời, còn lực tương
tác mạnh là trọng lượng của chính mặt trời”.
Tương tác hấp dẫn tuy là yếu nhất trong 4 loại tương tác nhưng lại có vai trò
chủ yếu trong sự vận động của các thiên thể và của Vũ trụ nói chung, do trong Vũ
trụ ln có mặt những khối lượng rất lớn.
Biểu thức lực hấp dẫn Newton (1.1) tuy đơn giản nhưng cũng đủ để giải thích
nhiều hiện tượng trong tự nhiên như thủy triều, quỹ đạo của các hành tinh, chuyển
động của các sao chổi, giúp tìm ra Hải dương tinh …
Từ năm 1916 trở về sau này, Thuyết tương đối tổng qt vẫn được xem là một
mơ hình chuẩn nhất để mơ tả tương tác hấp dẫn cho dù có nhiều hướng tiếp cận
khác nữa đến tương tác này.
Từ năm 1980, vai trò của tương tác hấp dẫn trong Vũ trụ càng nổi rõ hơn, khi
nó gần như là phương cách duy nhất để phát hiện sự tồn tại của vật chất tối, chiếm
một tỉ lệ khối lượng lớn (khoảng 23% ) của Vũ trụ qua việc quan sát các đường
cong quay phẳng của các thiên hà.
Năm 1998, với việc khám phá ra sự giãn nở tăng tốc của Vũ trụ, vai trò của
tương tác hấp dẫn một lần nữa lại nổi lên như là một phương cách trực tiếp để chỉ
ra một dạng vật chất mới là năng lượng tối, nó chiếm một tỉ lệ khối lượng rất lớn
( khoảng trên 70% ) trong Vũ trụ.


5
1.2 SƠ LƯỢC VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QT
Trong Thuyết tương đối tổng qt của Einstein các hiệu ứng hấp dẫn được quy
cho độ cong của khơng – thời gian thay cho lực. Một cơ sở của Thuyết tương đối

tổng qt là Ngun lý tương đương của Einstein. Nó được phát biểu như sau: “
tính tương đương của hệ có gia tốc và trường hấp dẫn là tồn tại đối với tất cả
mọi hiện tượng và mọi quá trình vật lý chớ không chỉ riêng đối với các quá trình
cơ học”. Một hệ quả của ngun lý này là nó đặt ngang bằng chuyển động rơi tự
do với chuyển động qn tính. Điểm đặc biệt của hệ quả này là các vật rơi tự do có
thể gia tốc đối với nhau. Trong vật lý Newton, sự gia tốc như vậy chỉ có thể xảy ra
khi một trong các vật rơi chịu tác dụng của một lực và do đó nó khơng chuyển
động qn tính. Để tránh khó khăn này, Einstein cho rằng khơng – thời gian bị
cong với sự có mặt của vật chất và rằng các vật rơi tự do chuyển động dọc theo
các đường trắc địa của khơng – thời gian cong. Einstein đã đưa ra một phương
trình xác định liên hệ giữa vật chất và độ cong của khơng – thời gian. Các nghiệm
của phương trình này là các thành phần của tenxơ mêtríc của khơng – thời gian.
Các đường trắc địa của khơng – thời gian được suy ra từ tenxơ mêtríc.
Phương trình Einstein cũng có thể được xây dựng từ một Lagrangian
(Lagrangian Hilbert – Einstein), hoặc từ các cách tiếp cận khác, dạng cụ thể của nó
như sau [1, 5, 104]:
1.2.1 Phương trình Einstein

R





1
2

g



R  

8 G
c

4

T



ở đây:
R  là tenxơ độ cong hạng 2 của không – thời gian
g  là tenxơ mêtríc của không – thời gian
R

là độ cong vô hướng của không – thời gian

(1.2)


6
T  là tenxơ năng – xung của vật chất
G

là hằng số hấp dẫn của Newton

c là vận tốc ánh sáng
1.2.2 Các hệ quả suy ra từ phương trình Einstein

1.2.2.1 Mêtríc Schwarzschild diễn tả khơng – thời gian
……………. quanh.một vật đối xứng cầu khơng quay, khơng tích điện
Từ phương trình Einstein, đối với một vật đối xứng cầu không quay, không
tích điện ta có mêtríc Schwarzschild sau [1, 5, 104]:

ds

2

 (1 

rg
r

2

) c dt

2

 r (sin  d 
2

2

2

 d ) 
2

2

dr
1

2

rg

(1.3)

r

ở đây: rg=2Gm/c là bán kính hấp dẫn của vật có khối lượng m
Từ mêtríc này, người ta tìm được 3 hiệu ứng hấp dẫn kinh điển không có
trong lý thuyết của Newton (thật ra cả 3 hiệu ứng này đều suy ra được từ đònh
luật hấp dẫn của Newton, tuy nhiên không phù hợp tốt hoàn toàn với thực
nghiệm).
a. Sự lệch của tia sáng khi đi gần đóa mặt trời
Từ mêtríc Schwarzschild, người ta tìm được góc lệch của tia sáng khi nó đi
qua gần đóa mặt trời là [1, 5, 104]ø: θ  1,75"
Giá trò thực nghiệm đo được năm 1952[104]: θ  1,70"
b. Sự dòch chuyển điểm cận nhật của các hành tinh
Từ mêtríc Schwarzschild, người ta tìm thấy rằng[1, 5, 104]: quỹ đạo của các
hành tinh khi quay quanh Mặt trời không phải là một elip kín mà hở. Các trục
của elip quay quanh tiêu điểm của nó.
Tính toán góc dòch chuyển cho 100 năm đối với sao Thủy và Trái đất như
sau [1, 5, 104]:

7
+ Sao Thủy:  = 43”
+ Trái đất:  = 3,8”
Giá trò thực nghiệm [1, 5, 104]:
+ Sao Thủy:  = 43,1"0,4"
+ Trái đất:  = 5"1,2"
c. Sự chậm lại của thời gian trong trường hấp dẫn
Từ mêtric Schwarzschild, ta thấy được rằng thời gian sẽ trôi chậm nơi trường
hấp dẫn mạnh và trôi nhanh ở nơi có trường hấp dẫn yếu [1, 5, 104].
-Độ dòch chuyển tần số của một vạch quang phổ khi phát ra ở hai nơi có
hiệu thế  là:
 



0



 
c 2

(1.4)

-Thực nghiệm do Pound và Rebka thực hiện vào năm 1960 [5, 104] cho
kết quả:



0

 (5,13  0, 51)  1015

(1.5)

-Tiên đoán lý thuyết là:



0

 4 ,92  10  15

(1.6)

d. Sự trễ thời gian của ánh sáng khi đi gần một vật thể nặng
Tiên đốn này được thực nghiệm do Irwin Shapiro tiến hành vào năm 1964 xác
nhận [104].
đ. Bức xạ hấp dẫn
Trong Thuyết tương đối tổng qt, sự nhiễu loạn của mêtríc của khơng – thời
gian sinh ra sóng hấp dẫn. Sự tồn tại của sóng hấp dẫn được tiên đốn bởi lý
thuyết này và đã được khẳng định gián tiếp qua sự nghiên cứu các sao đơi [46].


8
1.2.2.2 Mêtric Friedman-Robertson - Walker
Với giả thiết rằng vật chất trong Vũ trụ phân bố thuần nhất, đẳng hướng, từ
phương trình Einstein người ta tìm được mêtríc Friedman-Robertson -Walker
sau [1, 5, 104]:

 dr 2

ds 2   c 2 dt 2  R 2 (t ) 
 r 2 ( d  2  sin 2  d  2 ) 
2
 1  kr


(1.7)

ở đây:
+ k = -1 ứng với hình học Bolya – Lobasepki
+ k = 0 ứng với hình học phẳng của Minkowski
+ k = +1 ứng với hình học Riemann
+ R (t) là nhân số giai có thể hiểu như bán kính của Vũ trụ
Từ mêtríc Friedman-Robertson - Walker người ta giải thích được sự dòch
chuyển đỏ của Vũ trụ.
Từ mêtríc Friedman-Robertson- Walker, người ta cũng dẫn ra được các mô
hình Vũ trụ có khả năng sau:
* R (t) = const: mô hình Vũ trụ dừng, không được phần lớn các nhà vật lý
công nhận.
* R (t) phụ thuộc thời gian: mô hình Vũ trụ không dừng, được phần lớn
các nhà vật lý công nhận.
1.2.3 Phương trình Einstein với hằng số Vũ trụ
Vào năm 1998, các nhà thiên văn học bằng các con đường nghiên cứu độc
lập đã đi đến kết luận rằng Vũ trụ của chúng ta thực sự đang giãn nở tăng tốc [81,
84]. Phương trình Einstein với hằng số Vũ trụ giải thích được sự giãn nở tăng tốc
này, dù rằng vấn đề khác biệt lớn giữa thực nghiệm và lý thuyết đối với độ lớn của
hằng số Vũ trụ vẫn chưa được giải quyết. Phương trình Einstein với hằng số Vũ
trụ  là:

9

R





1

g



R  g



 

2

8 G
c

4

T



(1.8)

1.2.4 Các hạn chế của Thuyết tương đối tổng qt
Mặc dù Thuyết tương đối tổng quát cho các kết quả rất đẹp đã kể ở trên, nó
vẫn còn một số tồn tại chưa giải quyết được thỏa đáng cho đến nay như vấn đề
năng – xung lượng của trường hấp dẫn, vấn đề kỳ dị…
1.2.4.1 Vấn đề năng – xung lượng của trường hấp dẫn
Ta biết rằng, khái niệm năng lượng và đònh luật bảo toàn giữ một vò trí trung
tâm trong một lý thuyết vật lý bất kỳø. Trong lý thuyết trường, đại lượng mô tả
tính chất năng lượng của hệ là tenxơ năng – xung lượng.
Trong không – thời gian phẳng, đònh luật bảo toàn năng – xung lượng của
vật chất suy ra từ hệ thức:

 T 
 0
x 

(1.9)

ở đây T là tenxơ năng – xung lượng của vật chất.
Trong không – thời gian cong, từ phương trình Einstein, khi chú ý đến đồng
nhất thức Bianchi ta thấy tenxơ năng – xung của vật chất thỏa:





T



 0

(1.10)

Đẳng thức (1.10) cũng nhận được từ điều kiện bất biến của phiếm hàm tác
dụng đối với các phép biến đổi hôlônôm sinh bởi các phép dòch chuyển nhỏ tọa
độ: x   x   q  (x) và có thể được xem như hệ quả của tính thuần nhất đòa
phương của không – thời gian.
Khác với (1.9), ở đây (1.10) nói chung không biểu hiện đònh luật bảo toàn
cái gì cả do biểu thức khai triển của (1.10) là:


10

 T



 (T  .  g ) 1


(
)  
T   0

g

x

(1.11)

ởû (1.11) “thừa” số hạng cuối cùng bên vế trái và do vật chất ở đây gắn kết
chặt chẽ với trường hấp hẫn thông qua số hạng cuối này.
Đã có rất nhiều nổ lực của nhiều người từ trước đến nay để thiết lập định luật
bảo tồn năng – xung lượng cho trường hấp dẫn nhưng đều khơng thành cơng.
1.2.4.2 Vấn đề kỳ dò của trường hấp dẫn
Một vấn đề nghiêm trọng khác mà lý thuyết hấp dẫn của Einstein gặp phải
là tính kỳ dò hấp dẫn. Một kỳ dị hấp dẫn hoặc kỳ dị khơng thời gian là một nơi mà
các đại lượng dùng để đo trường hấp dẫn như độ cong của khơng – thời gian hay
mật độ vật chất trở nên vơ hạn.
Theo lý thuyết của Hawking – Penrose [52] thì ở trong phần lớn các nghiệm
hợp lý về mặt vật lý của phương trình Einstein đều có mặt kỳ dò chớ khơng riêng
gì nghiệm Schwarzschild.
Như vậy, trong khuôn khổ của lý thuyết Einstein sự tồn tại những điểm kỳ dò
là vấn đề tất yếu, song điều đó chưa có nghóa là nhất thiết phải tồn tại những
điểm kỳ dò thật sự với mật độ vật chất vô hạn. Vấn đề là ta chưa tính đến các
hiệu ứng lượng tử, các hiệu ứng này nhất thiết phải xuất hiện ở lân cận các điểm
kỳ dò. Cơ học lượng tử khơng cho phép một vật có kích thước khơng, nó chỉ rằng
tại tâm của lỗ đen khơng phải là một điểm kỳ dị mà chỉ là nơi có một khối lượng
rất lớn được nén vào trong một thể tích nhỏ nhất có thể được. Lý thuyết dây hiện
đại cũng khơng cho phép một vật có kích thước khơng.
Phát hiện của Hawking về sự “bay hơi” của các lỗ đen cũng có một ý nghóa
quan trọng đặc biệt. Ý nghóa của nó là ở chổ ông ta đã bác bỏ quan niệm cho
rằng lỗ đen là cái gì đó bất di bất dòch, mà dần dần do “bay hơi”, các lỗ đen sẽ
biến mất khỏi không – thời gian.

11
1.3 CAÙC LÝ THUYẾT HẤP DẪN KHÁC
Từ ngay sau khi Thuyết tương đối tổng quát ra đời, do các hạn chế không khắc
phục được kể trên, có nhiều hướng tiếp cận đến tương tác hấp dẫn. Người ta dùng
các trường vô hướng, các trường véctơ, các trường tenxơ, các trường tenxơ-vô
hướng, các tenxơ-véctơ để mô tả tương tác hấp dẫn. Sau đây ta sẽ xét qua rất sơ
lược những hướng tiếp cận khác này.
1.3.1 Các lý thuyết hấp dẫn vô hướng
Theo như Page và Tupper (1968) [80], lý thuyết trường vô hướng tổng quát
đến từ nguyên lý tác dụng tối thiểu:
  f ( / c 2 )ds  0

ở đây trường vô hướng là:

  GM / r

(1.12)
.

( 1.13)

Vận tốc ánh sáng c có thể phụ thuộc vào trường  .
Trong Bergmann (1956) [13]:
f ( / c 2 )  exp[ / c 2  ( / c 2 ) 2 / 2], c  c

.

ở đây

c

(1.14)

là vận tốc ánh sáng tại vô cùng.

Trong Whitrow và Morduch (1960) [102]:

f ( / c 2 )  1

, c  c   2
2

2

(1.15)

Trong Whitrow và Morduch (1965) [103]:
. f ( / c )  exp(  / c )
2

Trong Page và Tupper (1968) [80]:

2

2
2
, c  c   2

(1.16)

12
f ( / c 2 )   / c

c 2 / c

2

2

  ( / c 2 ) 2 .

 1  4 (  / c 2 )  ( 15  2  )(  / c 2 ) 2

(1.17)

Page và Tupper (1968) phù hợp với Yilmaz (1958) [111, 112] tới bậc hai
khi   7 / 2 .
Độ lệch hấp dẫn của ánh sáng phải là zêrô khi c là hằng số. Nếu điều chỉnh các
tham số của lý thuyết sao cho c có thể thay đổi và độ lệch phù hợp với thực
nghiệm thì độ dịch chuyển đỏ hấp dẫn lại sai.………………………………………
… Ni (1972) [73] đã tóm tắt một vài lý thuyết và cũng đề xuất 2 lý thuyết mới
khác. Trong lý thuyết đầu tiên, một không – thời gian của Thuyết tương đối hẹp
tồn tại trước. Một tọa độ thời gian Vũ trụ tác động lên vật chất và các trường
không hấp dẫn để sinh ra một trường vô hướng. Trường vô hướng này tác động
lên tất cả phần tĩnh còn lại để sinh ra mêtríc. Tác dụng là:

S 

1

d
1 6 G 

4

x  g L  S m

L   R  2 g

với



  

(1.18)

(1.19)

Misner và cộng sự (1973) [65] cho tác dụng này mà không có số hạng  R .
Ở đây Sm là tác dụng vật chất, phương trình chuyển động là:

  4T  [  e 2  (e 2  e 2   t t ]

(1.20)

là tọa độ thời gian Vũ trụ. Lý thuyết này là tự hợp và đầy đủ. Tuy nhiên chuyển
động của hệ Mặt trời trong Vũ trụ không phù hợp với thực nghiệm.
Trong lý thuyết thứ hai của Ni (1973) [74], có hai hàm bất kỳ f ( ) và k ( ) liên

hệ với mêtríc như sau:


13
ds 2  e 2 f ( ) dt 2  e 2 f ( ) (dx 2  dy 2  dz 2 )

       4 * k ( )

(1.21)
(1.22)

Ni (1972) cũng liên hệ đến lý thuyết lưỡng mêtríc của Rosen (1971), trong đó
cũng có 2 trường vơ hướng  và  liên hệ với mêtríc bởi:
ds 2   2 dt 2   2 (dx 2  dy 2  dz 2 )

(1.23)

1.3.2 Các lý thuyết hấp dẫn véctơ
Kế đến, ta sẽ xem xét một số hướng tiếp cận tương tự điện từ đến hấp dẫn từ
trước đến nay. Do có sự tương tự hình thức giữa đònh luật hấp dẫn Newton và
đònh luật tónh điện Coulomb nên từ trước đến nay cũng có nhiều tác giả cố gắng
tiếp cận theo hướng này. Đầu tiên là Maxwell, sau đó đến Heaviside [51] chú ý
đến khả năng phát triển một lý thuyết hấp dẫn trong dạng tương tự với các
phương trình trường điện từ. Tuy nhiên vấn đề năng lượng âm của trường hấp
dẫn do lực hút tương hỗ giữa các vật, tạo nhiều khó khăn, nó cản trở các tác giả
này đi tiếp theo hướng này. Holzmuller và Tisserand [99a] đã tiên đề rằng lực
hấp dẫn của mặt trời có một thành phần từ nữa, thành phần từ hấp dẫn này có
thể đã gây ra sự dòch chuyển điểm cận nhật của sao Thuỷ. Kết quả tính toán chỉ
bằng 1/6 giá trò thực nghiệm.
Trong những năm 70 và 80 của thế kỷ trước cũng có một số tác giả tiếp cận

đến tương tác hấp dẫn bằng con đường véctơ tựa Maxwell. Các tác giả này đã
thay thế điện tích và hằng số điện môi dương trong phương trình Maxwell hoặc
bởi tích hấp dẫn ảo như ở Majernik [66, 67], hoặc bởi hằng số điện môi âm như
ở Brillouin [99b]. Mật độ năng lượng trường hấp dẫn đều âm trong các hướng


14
tiếp cận này. Majernik cũng đã tìm lại được dòch chuyển điểm cận nhật của sao
Thuỷ đúng khi tính đến sự tự hấp dẫn của năng lượng trường hấp dẫn (tính toán
này có nhiều chổ còn phải đưa tham số ngoài vào bằng tay). Ông ấy cũng chứng
tỏ được rằng nhờ liên kết giữa trường hấp dẫn và trường điện từ, tất cả các kiểm
tra liên quan đến chuyển động của ánh sáng trong trường điện từ đều tính đú ng
như trong thuyết hấp dẫn Einstein. Sự phù hợp của lý thuyết hấp dẫn véctơ cũng
được thực hiện bởi Singh [99c], ông ấy đã bổ xung cho Hamiltonian tương tác
của 2 vật một số hạng đặc trưng cho sự tự tương tác giữa vận tốc hạt và thế
véctơ của nó để giải thích dòch chuyển điểm cận nhật của các hành tinh, sự lệch
của tia sáng trong trường hấp dẫn mặt trời và dòch chuyển đỏ hấp dẫn. Một
hướng tiếp cận mới đây của S. Ulrych [99] cũng đáng quan tâm. Tác giả xây
dựng lý thuyết véctơ tựa điện từ bằng cách mở rộng trực tiếp đối xứng gauge
U(1,C) của điện từ thành nhóm unita hyperbolic U(1,H). Các kết quả của hướng
tiếp cận này gần giống với hướng của Singh.
Một số tác giả khác như L. Nielsen [75] cũng đã rút ra được một hệ phương
trình rất gần giống với hệ phương trình phi tương đối của chúng tôi ở đây. Tác
giả cũng tiên đề khối lượng hấp dẫn bất biến Lorentz nhưng lại chỉ có dấu
dương, còn dấu âm lại gắn kết với phần năng lượng âm của trường hấp dẫn. Tác
giả cũng đưa ra cách giải thích cho nhiều hiện tượng của Vũ trụ.
Các phương trình của L. Nielsen có dạng
 

 .G  g

(1.24)




N
 G  
t

(1.25)

 
.N  0

(1.26)

0


 

G
 N  k0 j .g  k00
t

(1.27)