tài liệu ôn thi cao học phần đại số cơ sở

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
TS Trần Huyên
Ngày 11 tháng 10 năm 2004

.NE
T

Mở Đầu

TM
A

THS

Độc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề "Đại số cơ sở" của Khoa Toán Tin ĐHSP Tp. HCM. Chuyên đề của chúng tôi xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp các ứng
viên Thạc sĩ tương lai về chuyên ngành đại số hệ thống lại các kiến thức cơ sở, các kỹ thuật
cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán để có thể vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao học
của ĐHSP Tp. HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số của trường. Chuyên đề bám
sát các nội dung đề ra trong chương trình tuyển sinh, không chỉ giúp các học viên có thể vững
tâm đối diện với kỳ thi tuyển mà còn giúp cho học viên một khả năng, phương pháp tự học,
tự đào tạo mình. Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu các nội dung sẽ được biên soạn dưới dạng
các bài giảng với ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu nhất, mỗi bài giảng độ hai tiết cho mỗi tuần.
Chuyên đề đề sẽ được dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục được cập nhật cho tới
ngày các bạn có thể tham gia đợt ôn tập tập trung trước khi bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng
05 − 2005. Để chuyên đề càng ngày càng được triển khai một cách hữu ích, hiệu quả hơn, chúng
tôi luôn luôn sẳn sàng đón nhận các góp ý, yêu cầu của các bạn. Chúng tôi cũng sẳn sàng trao
đổi, giải đáp các thắc mắc của các bạn, hầu mong chuyên đề sẽ là người bạn tâm giao của độc
giả trong hành trình phấn đấu khoa học của mình.

Các bài tập kiểm tra nhóm

VIE

Nhóm là một khái niệm cơ bản của Đại số, và là một trong những nội dung không thể vắng
bóng trong các đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số cơ sở. Vì vậy bạn phải nắm vững kỹ
năng kiểm tra một tập X cho trước với một phép toán nào đó trên X lập thành một nhóm. Dĩ
nhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo đó mà từng bước kiểm tra tập X đã cho và
phép toán đã cho có thỏa mãn tất cả các điều kiện cần có cho một nhóm hay không?
Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau như
sau :

1

Định nghĩa 1

Nhóm là một tập hợp X = ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa các
điều kiện :
1. N1 : (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz).
2. N2 : (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thì
1

ex = x
xe = x


3. N3 : (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x−1 ∈ X sao cho

2

x−1 x = e

xx−1 = e

Định nghĩa 2

Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị trái e và mọi x ∈ X đều có nghịch đảo trái x (tức x x = e)
Như vậy so với định nghĩa 1, thì định nghĩa 2 tiết kiệm hơn; ở điều kiện N2 chỉ cần kiểm
tra ex = x và ở điều kiện N3 chỉ phải kiểm tra x−1 x = e.
Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửa
nhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x (tức xx = e)

3

Định nghĩa 3

Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là giải được (tức có nghiệm)
trong X với mọi a, b ∈ X
Để kiểm tra một tập cho trước X và một phép toán cho trên X là nhóm, tùy trường hợp
cụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa nào trong các định nghĩa nêu trên để áp dụng cho phù hợp.

4

Ví dụ

4.1

Ví dụ 1

Cho tập hợp X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} xác định trên X phép toán sau :
(k1 , k2 ).(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )
Chứng minh rằng X với phép toán trên là nhóm. Giải :

1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta lần lượt kiểm tra từng bước như sau:)
• X = Z × Z = ∅ vì Z = ∅.
• Dễ dàng thấy là nếu (k1 , k2 ), (l1 , l2 ) là cặp số nguyên thì (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) cũng
là một cặp số nguyên nên phép toán trên X là phép toán hai ngôi.
• ∀(k1 , k2 ), (l1 , l2 ), (t1 , t2 ) ∈ X ta có :[(k1 , k2 )(l1 , l2 )](t1 , t2 )
= (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )(t1 , t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 )

(1)

Mặt khác : (k1 , k2 )[(l1 , l2 )(t1 , t2 )]
= (k1 , k2 )(l1 + t1 , l2 + (−1)l1 t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2
So sánh ( 1) vào ( 2) ta có điều kiện kết hợp.
• Tồn tại (0, 0) ∈ X mà với mọi (k1 , k2 ) ∈ X thì
(0, 0)(k1 , k2 ) = (0 + k1 , 0 + (−1)0 k2 ) = (k1 , k2 )
và
(k1 , k2 )(0, 0) = (k1 + 0, k2 + (−1)k1 .0) = (k1 , k2 )
Vậy (0, 0) là đơn vị trong X.
2

(2)


• ∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∃(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) ∈ X mà
(−k1 , (−1)k1 +1 k2 )(k1 , k2 ) = (−k1 + k1 , (−1)k1 +1 k2 + (−1)−k1 k2 ) = (0, 0)
(k1 , k2 )(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (k1 − k1 , k2 + (−1)2k1 +1 k2 ) = (0, 0)
tức
(k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 )
Vậy X là một nhóm.

.NE

T

• Nhận xét : Như vậy để kiểm tra một nhóm theo định nghĩa 1, ta đã làm theo đúng
các yêu cầu của định nghĩa là kiểm tra tập X = ∅, kiểm tra phép toán cho trên X
thật sự là phép toán hai ngôi (hai phần tử bất kỳ của tập hợp X phải có tích là một
phần tử thuộc X!) và ba tiên đề N1 , N2 , N3 . Dĩ nhiên, trong các bước đó, nếu có
bước nào mà các đòi hỏi đuợc thỏa mãn một cách hiển nhiên thì ta có thể bỏ qua.
Chẳng hạn ở ví dụ trên nếu xem bước 1, bước 2 là hiển nhiên thỏa mãn thì vẫn có
thể chấp nhận được. Tuy nhiên trong một số trường hợp cần kiểm tra một cách cẩn
trọng, tránh sự sai sót.

THS

2. Cách 2 : Nếu sử dụng định nghĩa 2 thì trong lời giải trên chỉ cần bỏ đi hai đẳng thức
kiểm tra đơn vị phải, kiểm tra nghịch đảo phải (hoặc bỏ đi hai đẳng thức kiểm tra đơn
vị trái, kiểm tra nghịch đảo trái).

TM
A

3. Cách 3 : (Nếu sử dụng định nghĩa 3 ) Trước hết hết ta kiểm tra X = ∅, phép toán trên
X thật sự là phép toán hai ngôi, kiểm tra điều kiện kết hợp của phép toán (Điều này là
như cách 1). Tiếp theo ta kiểm tra các phương trình ax = b và xa = b là có nghiệm trong
X. Cho a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ∈ X và x = (x1 , x2 ).
• ax = b ⇐⇒ (a1 , a2 )(x1 , x2 ) = (b1 , b2 )
⇐⇒ (a1 + x1 , a2 + (−1)a1 x2 ) = (b1 , b2 )
a1 +
x1
= b1
x1 =

b 1 − a1
∈ Z
⇐⇒
⇐⇒
a2 + (−1)a1 x2 = b2
x2 = (−1)a1 (b2 − a2 ) ∈ Z
Vậy phương trình ax = b có nghiệm nghĩa là x = (b1 − a1 , (−1)a1 (b2 − a2 )) ∈ X

VIE

• Tương tự : xa = b ⇐⇒ (x1 , x2 )(a1 , a2 ) = (b1 , b2 )
⇐⇒ (x1 + a1 , x2 + (−1)x1 a2 ) = (b1 , b2 )
x1 +
a1
= b1
x 1 = b1 −
a1
∈ Z
⇐⇒
⇐⇒
x1
b1 −a1
x2 + (−1) a2 = b2
x2 = b2 − (−1)
a2 ∈ Z
b1 −a1
tức phương trình xa = b có nghiệm là : x = (b1 − a1 , b2 − (−1)
a2 ) ∈ X
Vậy tập X với phép toán đã cho lập thành nhóm.
• Nhận xét : Để tìm được phần tử đơn vị (0, 0) hay nghịch đảo (k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 )

ở cách 1, ta sử dụng việc giải các phương trình đưa ra ở cách 3 với b = a khi tìm
đơn vị e hay với b = e = (0, 0) khi tìm a−1 .

4.2

Ví dụ 2

a b
: ac = 0
0 c
Chứng minh rằng X là nhóm đối với phép nhân ma trận.
Cho X =

Giải :
3


1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1)
• Hiển nhiên là X = ∅
a1 b 1
a2 b 2
• ∀
,
∈ X thì
0 c1
0 c2
a1 b 1
a2 b 2
a1 a2 b
=

∈ X(a1 a2 c1 c2 = 0)
0 c1
0 c2
0 c1 c2
Vậy phép nhân ma trận là phép toán hai ngôi trên X.
• Theo đại số tuyến tính, phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp.
1 0
• Đơn vị là E =
∈X
0 1
• ∀

a b
0 c

∈ X do ac = 0 theo đại số tuyến tính ta có :
a b
0 c

−1

=

1
ac

c −b
0 a

∈X

Vậy X là một nhóm.
• Nhận xét : Trong ví dụ trên, tập các ma trận và phép nhân ma trận là các đối
tượng mà chuyên ngành ĐSTT đã nghiên cứu, vì vậy để kiểm tra một số điều kiện
nào đó mà bản chất là các kết quả đã biết ở chuyên ngành này, ta không cần lặp lại
các kiểm tra chi tiết mà chỉ cần nhắc rằng theo chuyên ngành đó (hay kết quả nào
đó) ta có được điều muốn kiểm tra. Chẳng hạn tính chất kết hợp của phép nhân
ma trận, đơn vị hay nghịch đảo của một ma trận không suy biến ở ví dụ trên. Tuy
nhiên trong trường hợp đơn vị hay nghịch đảo, cần phải chỉ ra, phần tử đang nói tới
phải thuộc tập X đã cho.
2. Cách 2 : (nếu sử dụng định nghĩa 3) :
Trước hết ta kiểm tra X = ∅, phép nhân ma trận là phép toán 2 ngôi trên X, tính kết
hợp của phép nhân ma trận trên X (như đã làm ở cách 1). Tiếp theo cho
a=

a1 a2
0 a3

,b=

b1 b2
0 b3

∈X

ta cần chỉ ra các phương trình ax = b và xa = b đều có nghiệm trong X. Gọi x =
x1 x2
.
0 x3
• ax = b ⇐⇒

a1 a2
0 a3

x1 x2
0 x3

=

b1 b2
0 b3

⇐⇒

a1 x 1 a1 x 2 + a2 x 3
0
a3 x 3

b1 b2
0 b3

= b1
 a1 x 1
a3 x 3
= b3
⇐⇒

a1 x2 +a2 x3 = b2



b1


x1 =
(a1 = 0)


a1


b3
⇐⇒
x3 =
(a3 = 0)

a3


b a − a2 b 3


 x2 = 2 3
(a1 a3 = 0)
a1 a3
4

=




b 2 a3 − a2 b 3

a1 a3
∈X
b3
a3
• Tương tự chứng minh phương trình xa = b có nghiệm. Vậy X là nhóm.
b1

Vậy nghiệm x =  a1
0


• Nhận xét : Thật ra cách 2 này khá dài dòng, chúng tôi đưa ra nhằm để các bạn
làm quen nhiều hơn với định nghĩa 3, và muốn khẳng định điều rằng, mỗi bài toán
đều có thể có nhiều lời giải khác nhau nếu ta ta biết huy động và vận dụng kiến
thức đã biết một cách hợp lý, năng động.

4.3

Ví dụ 3

.NE
T

Cho tập số M = {−1, 1}. Chứng minh rằng M lập thành nhóm với phép nhân thông thường
các số.
Giải :
1. Cách 1 :
·

• Xét bảng nhân của M : -1
1
Kết quả của một tích bất kỳ
trên M là phép toán 2 ngôi.

THS

• Hiển nhiên M = ∅

-1 1
1 -1
-1 1
hai phần tử của M lại thuộc M nên phép nhân các số

• Đơn vị là 1 ∈ M

TM
A

• Phép nhân các số (nói riêng trên M ) có tính kết hợp.
• Dễ thấy nếu x ∈ M thì x−1 = x ∈ M
Vậy M là nhóm

2. Cách 2 : Ta biểu diễn M dưới dạng sau :

VIE

M = {x ∈ R : |x| = 1}

• Hiển nhiên M = ∅

• ∀x, y ∈ M thì |x| = |y| = 1 nên |xy| = |x|.|y| = 1, do đó xy ∈ M , tức phép nhân các
số trên M là phép toán hai ngôi.
• Phép nhân các số có tính chất kết hợp
• Đơn vị là 1 ∈ M

• ∀x ∈ M thì |x| = 1 nên |x−1 | =

1
= 1 do đó x−1 ∈ M Vậy M là nhóm.
|x|

3. Cách 3 : Ta biểu diễn M = {x ∈ R : x2 = 1} hay M = {(−1)n : n ∈ Z} và tiến hành
kiểm tra các điều kiện như trên.
4. Cách 4 : Các bạn có thể sử dụng định nghĩa 3 với lưu ý là :
1.M = M = M.1
(−1).M = M = M.(−1)
5


• Nhận xét : Mỗi tập hợp có thể được biểu diễn dưới các dạng khác nhau. Và với
mỗi cách biểu diễn, chúng ta có thể có những cách xử lý khác nhau để có được các
lời giải không giống nhau. Ví dụ này muốn các bạn khi nhìn nhận một vấn đề phải
biết xem xét ở những góc độ khác nhau để thấy được các cách tiếp cận khác nhau
giải quyết vấn đề đó.

4.4

Ví dụ 4

Chứng minh rằng một nửa nhóm hữu hạn X có luật giản ước hai phía là nhóm.
Giải :
1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 3). Điều kiện về các phương trình ax = b và xa = b
giải được trong X của định nghĩa 3 là tương đương với đòi hỏi aX = X = Xa, ∀a ∈ X.
Gải sử rằng X = {x1 , x2 , ..., xn }. Khi đó ∀a ∈ X thì aX = {ax1 , ax2 , ..., axn } ⊂ X đồng
thời do X có luật giản ước nên n tích trong aX là đôi một khác nhau (nếu axi = axj thì
xi = xj ) nên |aX| = |X| suy ra aX = X. Một cách tương tự có thể chứng minh Xa = X.
Vậy X là nhóm.
2. Cách 2 : Các bạn có thể sử dụng định nghĩa 1 (hay định nghĩa 2 với chú ý rằng do
X = ∅ nên ∃a ∈ X và do X hữu hạn nên có m > n > 0 và am = an . Đơn vị của X khi
đó là e = am−n (hãy tự chứng minh). Với mọi x ∈ X, ắt tồn tại k > l > 0 mà xk = xl và
x−1 = xk−l−1 (hãy tự chứng minh). Lưu ý trong chứng minh luôn luôn có ý thức sử dụng
luật giản ước.
• Nhận xét : Đây là một ví dụ tương đối khó. Việc sử dụng dạng tương đương cho
sự tồn tại nghiệm các phương trình ax = b, xa = b là hoàn toàn có quyền chấp nhận,
không cần phải chứng minh. Thật ra đó là dạng phát biểu khác của các điều kiện
trên theo ngôn ngữ tập hợp.
Cách thứ 2 chúng tôi chỉ đưa ra các cách tìm đơn vị và nghịch đảo, việc hoàn thiện chứng
minh dành cho độc giả để tự khám phá lấy chính mình, thử khơi dậy bản năng khéo léo
của mình.

BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Cho X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} Trên X xác định phép toán sau :
(k1 , k2 )(l1 , l2 ) = (k1 + (−1)k2 l1 , k2 + l2 )
Chứng minh X với phép toán trên là nhóm.
a 0
: ac = 0 . Chứng minh X với phép nhân ma trận lập thành một
b c
nhóm. Nhóm X có giao hoán không?

2. Cho X =

3. Cho tập các số phức D = {1, i, −1, −i}. Chứng minh rằng D là nhóm với phép nhân
thông thường các số.
4. Cho tập X = ∅ và Φ(X) là tập các song ánh của X lên X. Chứng minh Φ(X) là nhóm
đối với phép nhân ánh xạ.
6


5. Cho Mn ∗ là tập hợp các ma trận cấp n không suy biến. Chứng minh Mn ∗ là nhóm với
phép nhân ma trận.

VIE

TM
A

THS

.NE
T

6. Ta gọi ma trận vuông A = (aij ) cấp n có dạng tam giác nếu aij = 0 khi i > j. Chứng
minh rằng tập các ma trận vuông cấp n không suy biến có dạng tam giác lập thành nhóm
với phép nhân ma trận.

7


ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên
Ngày 28 tháng 10 năm 2004

Các bài tập kiểm tra nhóm con
Một dạng khác của kỹ năng kiểm tra nhóm là kỹ năng kiểm tra nhóm con. Muốn kiểm tra
nhóm con ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường về nhóm con như sau.

1

Tiêu chuẩn 1
Một tập con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X (viết A ⊂n X hoặc A

X) nếu

• ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A;
• e ∈ A;
• ∀x ∈ A thì x−1 ∈ A.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng Mn1 = A : det A = 1 (gồm các ma trận vuông cấp n, định thức
bằng 1) là nhóm con của nhóm Mn∗ (nhóm nhân các ma trận cấp n không suy biến)
Bài giải: Ta chứng minh Mn1 ⊂n Mn∗ theo tiêu chuẩn 1. Trước hết hiển nhiên Mn1 = ∅, đồng
thời ta có
• ∀ X, Y ∈ Mn1 thì det X = det Y = 1 do đó det X.Y = det X. det Y = 1.1 = 1 nghĩa là
X.Y ∈ Mn1 .
• Ma trận đơn vị E ∈ Mn1 (vì det E = 1).
• ∀ X ∈ Mn1 thì det X = 1 nên det X −1 =

1

= 1, do đó X −1 ∈ Mn1 .
det X

Vậy Mn1 thỏa cả ba điều kiện của tiêu chuẩn 1 nên Mn1 ⊂n Mn∗ .

1


2

Tiêu chuẩn 2

Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả của
hai đòi hỏi còn lại). Như vậy, nếu áp dụng tiêu chuẩn 2 để xử lí Ví dụ 1 thì trong lời giải ta
loại bỏ đòi hỏi E ∈ Mn1 .
Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m. Chứng minh rằng
mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂n (Z, +)
Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂n (Z, +) theo tiêu chuẩn 2. Trước hết, hiển nhiên mZ = ∅ và ta có:

.NE
T

• ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ : mz1 + mz2 = m(z1 + z2 ) ∈ mZ.
• ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ.

Vậy mZ thỏa cả hai đòi hỏi của tiêu chuẩn 2 nên mZ ⊂n (Z, +).

3

THS

Nhận xét: Thông thường trong lý thuyết ta ngầm định phép toán trong nhóm là nhân và ký
hiệu phần tử nghịch đảo là (·)−1 . Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là cộng thì tất cả các
dấu nhân trong các biểu thức đều đổi sang dấu cộng và phần tử nghịch đảo đổi thành phần tử
đối và viết là −(·).

Tiêu chuẩn 3

TM
A

Một tập hợp con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X nếu ∀ x, y ∈ A thì xy −1 ∈ A.
Nếu áp dụng tiêu chuẩn 3 này để xử lý Ví dụ 1 ta chỉ cần kiểm tra:
∀ X, Y ∈ Mn1 ⇒ det X = det Y = 1
1
det X
= =1
⇒ det(XY −1 ) =
det Y
1
⇒ XY −1 ∈ Mn1

VIE

Nếu áp dụng tiêu chuẩn 3 cho ví dụ 2, ta chỉ cần kiểm tra
∀ mz1 , mz2 ∈ mZ ⇒ mz1 − mz2 = m(z1 − z2 ) ∈ mZ
Nhận xét: Trong ba tiêu chuẩn nêu trên, các lời giải sử dụng tiêu chuẩn 3 có vẻ ngắn gọn hơn
cả. Tuy nhiên nếu trong lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo thì để tránh sự rườm rà
ta nên dùng tiêu chuẩn 2 vì thực chất việc dùng tiêu chuẩn 3 lúc đó các bước tính toán cũng
dài ngang với dùng tiêu chuẩn 2.

Ví dụ 3: Cho tập hợp các ma trận cấp hai
K=

a b
0 1

:a=0

Chứng minh K ⊂n M2∗ (M2∗ là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến).
Bài giải: (Vì nếu dùng tiêu chuẩn 3, ta cũng phải tính trước các phần tử nghịch đảo, do vậy
ta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K = ∅ (hiển nhiên). Và đồng thời:
2


• ∀

a b
0 1

,

c d
0 1

∈ K ta có: a = 0, b = 0 nên
a b
0 1

c d
0 1

=

ac ad + b
0
1

∈K

vì ac = 0
• ∀

a b
0 1

∈ K thì

a b
0 1

−1

=

1/a −b/a
0
1

∈ K vì

1
a

= 0.

Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂n M2∗
Đến đây, chúng tôi đã cùng độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra một tập
hợp A = ∅ trong nhóm X cho trước có là nhóm con của nhóm X không? Tùy theo từng bài
tập cụ thể mà chúng ta lựa chọn hợp lý một trong các tiêu chuẩn đó để áp dụng giải quyết bài
tập đã cho.
Khi đặt vấn đề ở đầu mục chúng tôi có nói rằng kỹ năng kiểm tra nhóm con là một dạng
khác của kiểm tra nhóm. Nguyên do phần lớn các bài tập về kiểm tra nhóm, tập A đã cho cùng
với phép toán chỉ là bộ phận của một trong những nhóm khá quen biết và do vậy thay vì kiểm
tra nhóm theo định nghĩa ta chỉ cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm con đương nhiên là đơn
giản hơn.
Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tất cả các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh rằng X cùng
với phép nhân thông thường các số phức lập thành nhóm.
Bài giải: Hiển nhiên X = ∅ cùng với phép toán nhân trên nó chỉ là một bộ phận của nhóm
nhân C∗ các số phức khác 0. Vậy để chứng minh X là nhóm ta cần kiểm tra rằng X ⊂n (C∗ , .).
Ta biểu diễn
X = z ∈ C : zn = 1
và áp dụng tiêu chuẩn 3:
∀ z1 , z2 ∈ X ⇒ z1n = z2n = 1
⇒

1
z1n
= n = =1
z2
1

∈X

(z1 .z2−1 )n

⇒ z1 .z2−1
Vậy X ⊂n (C∗ ), tức là X là nhóm.

Nhận xét: Mỗi tập hợp X cho trước có thể có một số cách biểu diễn khác nhau, tương đương
nhau và do vậy có thể cho chúng ta những lời giải khác nhau. Chẳng hạn trong Ví dụ 4, ta còn
có thể biểu diễn:
2kπ
2kπ
X = {z = cos
+ i sin
: k ∈ Z}
n
n
nhờ vào công thức lấy căn phức bậc n của đơn vị. Khi đó lời giải dựa theo sự biểu diễn mới
này là:
2k1 π
2k1 π
2k2 π
2k2 π
∀ z1 = cos
+ i sin
, z2 = cos
+ i sin
∈X
n
n

n
n
thì
2(k1 − k2 )π
2(k1 − k2 )π
z1 z2−1 = cos
+ i sin
∈X
n
n
(Dĩ nhiên nếu độc giả có biết dạng Ơle của một số phức thì lời giải trên đây sẽ còn được viết
ngắn gọn hơn!)
3


√
√
Ví√dụ 5: Cho tập hợp các số phức Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z}. Chứng minh rằng
Z( −3) là một nhóm với phép cộng thông thường các số phức.
√
Bài giải: Hiển nhiên Z( −3) = ∅ và cùng với phép
√ cộng nói trên là một bộ phận của nhóm
−3) ⊂n (C, +) theo tiêu chuẩn 3: với mọi
cộng C√các số phức.
Vậy
ta
chỉ
cần
kiểm
tra

Z(
√
√
a1 + b1 −3, a2 + b2 −3 ∈ Z( −3) thì
√
√
√
√
(a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Z( −3)

.NE
T

Đến đây hiển nhiên một câu hỏi đặt ra là những nhóm như thế nào được gọi là quen biết.
Đó chính là những nhóm được ngiên cứu trong những chuyên ngành trước đây một cách khá kỹ
lưỡngvà gần như trở thành thông dụng. Chẳng hạn đó là các nhóm (C, +); (C∗ , .) các số phức;
các nhóm (Mm×n , +) các ma trận cấp m × n với phép công ma trận; (Mn∗ , .) các ma trận vuông
cấp n không suy biến; nhóm nhân các song ánh S(X) từ tập X = ∅ vào chính nó; nhóm công
các đa thức hệ số thực. Khi tiếp cận một bài toán kiểm tra nhóm, điều đầu tiên phải xem xét
là tập hợp cho trước cùng phép toán có là bộ phận của một nhóm quen biết nào không, từ đó
mà lựa chọn hợp lý phương thức kiểm tra: theo định nghĩa hay theo tiêu chuẩn nhóm con.

1. Cho tập hợp các ma trận
K1 =

1 0
a b

THS

Bài tập làm thêm
:b=0

và K1 =

1 a
0 1

:a∈R

TM
A

Chứng minh rằng các tập hợp trên đều là nhóm với phép nhân ma trận.

VIE

2. Chứng minh rằng tập hợp Mn±1 gồm các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 hay
−1 là nhóm với phép nhân ma trận.
√
√
√
3. Cho tập hợp các số thực Q( 2) = a + b 2 : a, b ∈ Q, a2 + b2 = 0 . Chứng minh Q( 2)
là nhóm với phép nhân các số thực.
√
√
√
4. Cho Q( −2) = {a + b −2 : a, b ∈ Q}. Chứng minh rằng Q( −2) là nhóm với phép
cộng các số phức.
5. Chứng minh rằng tập hợp các số phức có môđun bằng một, là nhóm với phép nhân các

số phức.
∞

6. Gọi Xn là tập hợp các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh X =

Xn là nhóm với
n: 2

phép nhân số phức.

4


ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên
Ngày 19 tháng 11 năm 2004

Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm
Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong
Nhóm
Để kiểm tra một nhóm cho trước là cyclic, thông thường ta áp dụng định nghĩa về nhóm cyclic.
Ta nhắc lại định nghĩa đó:
Định nghĩa 1 Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử a ∈ X và X = a ,
tức X trùng với nhóm con sinh bởi phần tử a, bao gồm tất cả các lũy thừa nguyên của a.
Vậy :X = a = {an : n ∈ Z}
Như vậy, để chứng minh nhóm X là cyclic, theo định nghĩa 1, ta bắt buộc phải chỉ ra cho được
một phần tử sinh a ∈ X, đồng thời phải chứng minh rằng bất kỳ phần tử x ∈ X đều viết được

dưới dạng một lũy thừa nguyên của a.
Ví dụ 1 Cho X là nhóm cyclic, X = a . Chứng minh rằng mọi nhóm con A ⊂n X đều là
nhóm cyclic.
Bài giải Trường hợp A = {e} thì A = e .
n X = {an : n ∈ Z}, ắt tồn tại một lũy thừa ak = e mà ak ∈ A,
Trường hợp A = {e}, do A ⊂
và khi đó a−k ∈ A do A là nhóm con. Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vào
A (hoặc ak , hoặc a−k ).
Đặt m = min{k > 0 : ak ∈ A}, ta chứng minh A = am . Thật vậy, với mọi x ∈ A thì
x = ak với k = q.m+r(0 ≤ r < m), và từ ak = aq.m+r = (am )q .ar ta suy ra: ar = ak . (am )−q ∈ A
do ak , am ∈ A. Bởi điều kiện 0 ≤ r < m và m là một số nguyên dương bé nhất để am ∈ A,
buộc r = 0. Tức là k = q.m hay x = ak = (am )q . Vậy A là nhóm cyclic.
Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A là lũy thừa nguyên dương bé nhất am ∈ A, ta
căn cứ vào tính chất của phần tử sinh: nếu am là phần tử sinh của A thì mọi phần tử ak ∈ A
tất phải có ak = (am )q , tức k = m.q từ đó có thể thấy m phải là số bé nhất bởi nó là ước của
mọi số k mà ak ∈ A.
1


Ví dụ 2 Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1. Chứng minh A với phép nhân thông
thường các số phức là một nhón cyclic.
Phân tích ban đầu: Vì A ⊂ (C ∗ , ·) nên ta chứng minh A là nhóm con cyclic của (C ∗ , ·)
bằng cách tìm một phần tử a ∈ C ∗ mà A = a , và từ đó có kết luận A là nhóm cyclic.
Bài giải Ta biểu diễn A =

cos

2kπ
2kπ
+ i sin

:k∈Z
n
n
k

2π
2π
+ i sin
:k∈Z
n
n
2π
2π
+ i sin
∈ C ∗ tức là A là nhóm cyclic
Vậy: A = a với a = cos
n
n
cos

.NE
T

hay A =

Nhận xét Việc chứng minh A là nhóm cyclic buộc ta phải lựa chọn cách biểu diễn các phần
tử của A dưới dạng cụ thể, để từ đó có thể nhận ra được phần tử sinh của A.
Liên quan đến các nhóm cyclic là khái niệm cấp của phần tử trong nhóm.

THS

Định nghĩa 2 Cho nhóm X và a ∈ X. Cấp của phần tử a là cấp của nhóm con cyclic sinh
bởi phần tử a
(cấp của nhóm con là số phần tử của nhóm đó, khi nhóm là hữu hạn; còn nếu nhóm con có
số phần tử là vô hạn thì cấp của nó là ∞!)

TM
A

Để tính cấp của phần tử a ∈ X, thông thường ta sử dụng một kết quả tiện dụng hơn sau
đây:
"Cấp của phần tử a (trong trường hợp hữu hạn) là số nguyên dương n bé nhất mà an = e."
Khái niệm bé nhất trong mệnh đề trên hiểu theo nghĩa so sánh về giá trị lớn bé của các số,
tuy nhiên nó còn được chính xác hóa hơn như ví dụ sau:
.
Ví dụ 3 Cho X là nhóm và a ∈ X với cấp a = n. Chứng minh rằng ak = e khi và chỉ khi k ..n.
Bài giải

.
– Hiển nhiên khi k ..n thì k = l.n, do đó ak = al.n = (an )l = el = e

VIE

– Nếu ak = e và k = q.n + r với 0 ≤ r < n thì từ ak = aqn+r = (an )q .ar = eq .ar = ar Suy
ra ar = e với 0 ≤ r < n. Vì n là số nguyên dương bé nhất mà an = e nên các điều kiện
ar = e và 0 ≤ r < n, buộc r = 0.
.
Vậy: k = q.n hay k ..n.
Nhận xét Ví dụ này cho thấy khái niệm bé nhất của cấp a còn có thể được hiểu theo quan
hệ thứ tự chia hết: "Cấp a là số tự nhiên n thỏa an = e và là ước số của mọi số nguyên k mà

ak = e".
Thật ra mệnh đề này thường được dùng để tính cấp của một phần tử. Chẳng hạn xem ví
dụ sau:
n
Ví dụ 4 Cho X là nhóm cyclic cấp n sinh bởi a và b = ak . Chứng minh cấp b =
với
d
d = (k, n).

2


k
k
= (an ) d = e. (Chú ý vì d = (k, n) nên ∈ Z!)
d
.. n
m
Để kết thúc chứng minh ta còn phải chứng minh nếu b = e thì m. . Ta có:
d
k .n
k n
.
.n
m
e = bm = ak = akm =⇒ km..n =⇒ m.. =⇒ m..
(do
,
= 1).
d d

d
d d
n
Vậy: cấp b = .
d
n

Bài giải Trước hết ta có: b d = ak

n
d

Nhận xét Bài toán sẽ khó hơn chút ít nếu yêu cầu tìm cấp b (thay cho chứng minh cấp b =

n
)
d

Nếu vậy bạn có thể xử lý được không?
Đến đây ta quay lại vấn đề nhóm cyclic. Để chứng minh nhóm cyclic, như ta đã lưu ý ở
trên là thông thường dùng định nghĩa, tuy nhiên trong trường hợp nhóm cho trước X là hữu
hạn, tức cấp X = n thì có thể chứng minh X là cyclic bằng cách chỉ ra trong X có tồn tại một
phần tử a ∈ X mà cấp a = n = cấp X.
Ví dụ 5 Cho X và Y là các nhóm cyclic và cấp X = m, cấp Y = n. Chứng minh rằng nếu
(m, n) = 1 thì nhóm tích X × Y là cyclic. (Ta nhắc rằng X × Y = {(x, y), x ∈ X, y ∈ Y } và
phép nhân được xác định như sau:
(x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ) biến X × Y trở thành nhóm)
Bài giải Ta chỉ cần chỉ ra nếu X = a
m.n = cấp X × Y

m

và Y = b

n

thì phần tử (a, b) ∈ X × Y có cấp là

• Hiển nhiên là (a, b)mn = (amn , bmn ) = (e, e) - là đơn vị của X × Y
• Và nếu (a, b)k = (e, e) thì ak , bk = (e, e)
.
.
ak = e
k ..m
Do vậy:
=⇒
=⇒ k ..mn
k
.
b =e
k ..n

( do (m, n) = 1)

Vậy: cấp (a, b) = m.n = cấp X × Y
Suy ra: X × Y = (a, b) mn .

Bài tập
n (Z; +). Chứng minh rằng tồn tại số m sao cho A = m.Z
1. Cho A ⊂

2. Chứng minh rằng nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic.
3. Cho X là nhóm và các phần tử a, b ∈ X. Chứng minh rằng cấp (ab) = cấp (ba).
4. Cho nhóm X và 2 phần tử a, b ∈ X thỏa ab = ba. Chứng tỏ rằng cấp a.b = [m, n], trong
đó m = cấp a, n = cấp b và [m, n] là BCNN của m, n.
5. Cho X là nhóm cyclic cấp n và k là một ước số của n. Chứng minh rằng trong X tồn tại
đúng một nhóm con A cấp k.
6. Cho X là nhóm cyclic. Tìm số tất cả các phần tử sinh của X nếu:
Cấp X = ∞.

a) Cấp X = n

b)

7. Cho X là nhóm con đơn, tức X chỉ có duy nhất hai nhóm con là {e} và X. Chứng minh
X là nhóm cyclic hữu hạn và cấp X = p là số nguyên tố.
3


ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên

.NE
T

Ngày 23 tháng 11 năm 2004

THS

Bài 4. Các Bài Toán Kiểm Tra Nhóm
Con Chuẩn Tắc
Một nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm con chuẩn tắc (hay ước chuẩn tắc) của X,
nếu A thỏa thêm điều kiện:
∀x ∈ X,

∀a ∈ A thì

xax−1 ∈ A (∗)

TM
A

( hoặc x−1 ax ∈ A)

Điều kiện (∗) được gọi là điều kiện chuẩn tắc
Vậy : A X nếu A ⊂n X và A thỏa điều kiện chuẩn tắc.
Và để kiểm tra A X thì ta phải kiểm tra :
• A là nhóm con của X và sau đó tiếp tục

Ví dụ 1. Cho nhóm

VIE

• Kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc.

X=
Chứng minh rằng : A

a b
0 c

: ac = 0

và A =

X

GIẢI:
Hiển nhiên là A = ∅. Trước hết ta chứng minh A ⊂n X.
Thật vậy:

1

1 b
0 c

:c=0


1 b1
0 c1

• ∀

,

1 b2

0 c2

với c1 c2 = 0, nên
1 b
0 c

• ∀

∈ A thì

1 b1
0 c1

∈A:
1 b1
0 c1
1 b
0 c

1 b2
0 c2
−1

=

1 b2
0 c2

=

1 b2 + b1 c 2
0
c1 c2

∈ A.
1 −b/c
0
1/c

∈A

Theo tiêu chuẩn 2 về nhóm con ta có A ⊂n X
Tiếp tục kiểm tra điều kiện chuẩn tắc:
a b
0 c

• ∀

a b
0 c
1 x
0 c1

∈ X, ∀

1 b1
0 c1

1 b1
0 c1

a b
0 c

∈ A thì:
−1

=

a b
0 c

1 b1
0 c1

1/a −b/ac
0
1/c

=

∈A

−b ab1 + bc2
+
, tuy nhiên ở đây có thể ta không cần tính cụ thể x, vì đòi hỏi một ma
c
c
trận thuộc A chỉ cần có số 1 ở góc trên bên trái và c1 = 0).
Vậy: A X

(với x =

Ví dụ 2. Cho nhóm X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} với phép toán hai ngôi:
(k1 , k2 )(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )
(đã kiểm tra X là nhóm trong ví dụ 1.§1)
Chứng minh rằng nhóm con A sinh bởi phần tử a = (0, 1) là nhóm con chuẩn tắc của X.
Phân tích ban đầu: Trong bài toán này giả thiết đã cho A là nhóm con < a >. Vì vậy chỉ còn
phải kiểm tra A thoả điều kiện chuẩn tắc. Tuy nhiên muốn làm điều đó thì phải biết được dạng
tổng quát phần tử của A, tức trước hết phải mô tả tường minh các phần tử của A.

GIẢI:
Ta có: A =< a >= {an : n ∈ Z} với a = (0, 1)
Trước hết ta chỉ ra (0, 1)n = (0, n) khi n > 0 theo qui nạp.
Thật vậy:
Với n = 1 thì (0, 1)1 = (0, 1)
Giả sử (0, 1)n−1 = (0, n − 1) với n ≥ 2
Khi đó: (0, 1)n = (0, n − 1)(0, 1) = (0 + 0, n − 1 + (−1)0 1) = (0, n)
Vậy: (0, 1)n = (0, n) với mọi n > 0
Với n < 0 thì −n > 0 nên:
(0, 1)n = [(0, 1)−n ]−1 = (0, −n)−1 = (0, (−1)0+1 (−n)) = (0, n)
Cuối cùng: (0, 1)0 = (0, 0).
Vậy: A = {(0, 1)n : n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z}
Bây giờ ta kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc:
∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A:
2


(k1 , k2 )(0, n)(k1 , k2 )−1 = (k1 , k2 )(0, n)(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (0, m) ∈ A
(với m = (−1)k1 n; tuy nhiên giá trị m có thể không phải tính cụ thể vì đòi hỏi phần tử thuộc

A chỉ cần thành phần đầu bằng 0 là đủ !)
Kết luận: A X
Ví dụ 3. Cho nhóm X như ví dụ 2, và cho tập
B = {(n, 0) : n ∈ Z} ⊂ X
Chứng minh rằng B là nhóm con không chuẩn tắc của X.

Để kiểm tra B ⊂n X, ta có thể dùng tiêu chuẩn 2
• ∀(n, 0), (m, 0) ∈ B ta có:
(n, 0)(m, 0) = (n + m, 0) ∈ B
• ∀(n, 0) ∈ B : (n, 0)−1 = (−n, 0) ∈ B

.NE
T

GIẢI:

THS

Vậy B ⊂n X Để chỉ ra B không thỏa điều kiện chuẩn tắc ta chỉ ra tồn tại các phần tử (1, 1) ∈ X
và (1, 0) ∈ B mà:
(1, 1)(1, 0)(1, 1)−1 = (1 + 1, 1)(−1, 1) = (1, 1 + (−1)2 1) = (1, 2) ∈
/B
Vậy : B là nhóm con không chuẩn tắc của X.

• Nếu y ∈ xA thì yA = xA.

TM
A

Khái niệm nhóm con chuẩn tắc còn có thể được định nghĩa nhờ vào các lớp ghép trái và lớp

ghép phải
Ta nhắc lại các khái niệm lớp ghép theo nhóm con để dùng cho các ví dụ tiếp theo.
Cho nhóm X, A ⊂n X và x ∈ X. Khi đó:
- Lớp ghép trái xA = {xa : a ∈ A}
- Lớp ghép phải Ax = {ax : a ∈ A}.
Về mối quan hệ giữa các lớp ghép theo nhóm con ta có vài kết quả cần ghi nhớ để sử dụng:

VIE

• Hai lớp ghép xA và yA thì hoặc xA ∩ yA = ∅ hoặc xA ≡ yA.
Khái niệm nhóm con chuẩn tắc định nghĩa trên cơ sở các lớp ghép là :
” Nhóm con A ⊂n X là nhóm con chuẩn tắc của X nếu với mọi x ∈ X thì xA = Ax”.
Hiển nhiên là định nghĩa mới này hoàn toàn tương đương với định nghĩa ban đầu, độc giả có
thể xem các chứng minh trong các tài liệu về đại số đại cương, ở đây ta chỉ nhắc lại để sử dụng.
Ví dụ 4. Cho nhóm X và các nhóm con chuẩn tắc của X là A, B. Chứng minh AB = BA và
AB X
GIẢI:
Ta có AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} =

{ab : b ∈ B} =
a∈A

BA
Để chứng minh AB

aB =
a∈A

X, truớc hết ta cần chỉ ra AB ⊂n X

3

Ba =
a∈A

{ba : b ∈ B} =
a∈A


Hiển nhiên AB = ∅ và để kiểm tra AB ⊂n X ta dùng tiêu chuẩn 3:
∀a1 b1 , a2 b2 ∈ AB thì
−1
−1
(a1 b1 )(a2 b2 )−1 = a1 (b1 b−1
2 )a2 = a1 a2 b ∈ AB
−1
−1
−1
−1 −1
−1
(do b1 b−1
2 a2 ∈ Ba2 = a2 B nên ∃b ∈ B mà b1 b2 a2 = a2 b).
Cuối cùng với ∀x ∈ X:

x(AB) = (xA)B = (Ax)B = A(xB) = A(Bx) = (AB)x
Vậy: AB

X

Nhận xét 1: Để chứng minh AB = BA và AB ⊂n ta chỉ cần sử dụng tính chuẩn tắc của một

nhóm con B (hoặc A) là đủ.
Nhận xét 2: Ví dụ này hoàn toàn có thể giải bằng định nghĩa ban đầu, tuy nhiên định nghĩa
mới giúp ta tiết kiệm ngôn ngữ trình bày hơn.
Ví dụ 5. Cho nhóm X và A ⊂n X sao cho tập thương
X/ = {xA : x ∈ X}
A
chỉ gồm có hai lớp ghép trái. Chứng minh rằng A

X.

GIẢI:
Theo giả thiết của bài toán ta có:
X = A ∪ (X \ A)
trong đó lớp ghép trái X \ A = xA với bất kì x ∈
/ A.
Ta chứng minh A thỏa điều kiện chuẩn tắc:
- Nếu x ∈ A và a ∈ A thì hiển nhiên xax−1 ∈ A
- Nếu x ∈
/ A và a ∈ A mà xax−1 ∈
/ A, tức xax−1 ∈ x \ A
−1
−1
Suy ra: ax ∈ A, do đó x ∈ A và x ∈ A.
Điều vô lí này chứng tỏ xax−1 ∈ A.
Vậy ∀x ∈ X, ∀a ∈ A : xax−1 ∈ A, tức A X

4


BÀI TẬP

a b
0 c

1. Trong nhóm X =

B=

: ac = 0 , chứng minh các bộ phận
a b
0 1

:a=0

và C =

1 b
0 1

:b∈R

là các nhóm con chuẩn tắc.
2. Cho nhóm X. Ta gọi tâm của nhóm X là

Chứng minh C(X)

.NE
T

C(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X}
X.

(a) Mn1 = {A ∈ Mn∗ : detA = 1}
(b) Mn±1 = {A ∈ Mn∗ : detA2 = 1}
(c) Mn+ = {A ∈ Mn∗ : detA > 0}

THS

3. Trong nhóm nhân Mn∗ _ các ma trận vuông cấp n không suy biến, chứng minh rằng các
bộ phận sau là các nhóm con chuẩn tắc:

4. Cho X là nhóm và x, y ∈ X. Hoán tử của x và y là [x, y] = x−1 y −1 xy. Gọi A là nhóm
con của X được sinh bởi tập tất cả các hoán tử [x, y] với mọi cặp x, y ∈ X. Chứng minh
A X.
X và B ⊂n X. Chứng minh AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} là một nhóm

TM
A

5. Cho X là nhóm, A
con của X.

6. Trong nhóm S4 _ các phép thế bậc 4 cho tập

K = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}

VIE

trong đó e là phép thế đồng nhất. Chứng minh rằng K

5

S4


ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên
Ngày 10 tháng 12 năm 2004

Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến
Đồng Cấu
Để xử lí các bài tập liên quan đến đồng cấu ta cần nắm vững khái niệm đồng cấu và các kết quả
cơ bản liên quan tới đồng cấu
Ta nhắc lại khái niệm đồng cấu:
"Cho X, Y là các nhóm. Ánh xạ f : X → Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu với mọi x1 , x2 ∈ X
thì f (x1 .x2 ) = f (x1 ).f (x2 )(∗)"
Hiển nhiên là trong các định nghĩa lý thuyết ta luôn ngầm định các phép toán trong nhóm
được ký hiệu theo lối nhân, tuy nhiên trong các bài toán thực tế, thì phép toán có thể được kí
hiệu khác đi, chẳng hạn theo lối cộng. Bởi vậy, khi kiểm tra một đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyển
đổi kí hiệu phép toán trong biểu thức kiểm tra (*) cho phù hợp với thực tế.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng ánh xạ: exp : (R, +) → (R∗ , ·) mà với mỗi x ∈ R thì exp(x) = ex là
một đồng cấu.
Rõ ràng dấu phép toán trong nhóm (R, +) là phép cộng, còn dấu trong nhóm (R, ·) là phép nhân.
Vì vậy, biểu thức đồng cấu lúc đó phải là:
∀x1 , x2 ∈ R : exp(x1 + x2 ) = exp(x1 ).exp(x2 )
và việc kiểm tra tính đúng đắn của hệ thức này là không mấy khó khăn nhờ tính chất của hàm số
mũ, xin nhường cho độc giả.
Ví dụ 2. Cho X, G1 , G2 là các nhóm, G = G1 × G2 là nhóm tích. Cho f : X → G1 , g : X → G2

là các ánh xạ.
Ta xác định ánh xạ h : X → G = G1 × G2 mà mỗi x ∈ X : h(x) = (f (x), g(x))
Chứng minh rằng h là đồng cấu khi và chỉ khi f và g là các đồng cấu.

Giải:
1


Ta có:h là đồng cấu khi và chỉ khi:
∀x1 , x2 ∈ X : h(x1 .x2 ) = h(x1 ).h(x2 )
⇔ (f (x1 .x2 ), g(x1 .x2 )) = (f (x1 ), g(x1 ))(f (x1 ), g(x2 ))
⇔ (f (x1 .x2 ), g(x1 .x2 )) = (f (x1 ).f (x2 )), (g(x1 ).g(x2 ))
⇔

f (x1 .x2 ) = f (x1 )f (x2 )
g(x1 .x2 ) = g(x1 )g(x2 )

⇔ f và g là các đồng cấu

ET

Ví dụ 3. Cho X, Y là các nhóm cyclic có các phần tử sinh lần lượt là x, y và có cấp m, n tương
ứng, tức là:
X =< x >m , Y =< y >n

ATH
S.N

a/ Chứng minh rằng quy tắc ϕ cho tương ứng mỗi phần tử xl ∈ X với phần tử (y k )l (trong đó
k là số tự nhiên cho trước) là một đồng cấu khi và chỉ khi km là bội của n.

b/ Khi ϕ là đồng cấu, hãy tính Kerϕ.

**Phân tích ban đầu: Có thể nhận thấy rằng nếu quy tắc ϕ là ánh xạ, thì hiển nhiên ϕ thỏa các
.

yêu cầu về đồng cấu. Vì vậy thực chất của bài toán là: ϕ là ánh xạ ⇔ km .. n. Vì rằng mỗi phần tử
của một nhóm cyclic hữu hạn có thể được biểu diễn dưới các lũy thừa khác nhau. Do vậy, để chứng
minh ϕ ánh xạ ta cần chỉ ra ϕ không phụ thuộc vào các dạng biểu diễn khác nhau của một phần tử.

• Nếu ϕ là đồng cấu, thì theo tính chất đồng cấu biến đơn vị thành đơn vị, ta có:
eY = ϕ(eX ) = ϕ(xm ) = (y k )m = y km (∗∗)
.
Vì cấp y = n, nên từ (**) suy ra: km .. n
.

VIE

a/

TM

Giải:

• Nếu km .. n, trước hết ta chứng minh ϕ lá ánh xạ, tức cần chứng minh nếu xα = xβ thì
(y k )α = (y k )β . Thật vậy:
xα = xβ ⇒ xα−β = e
.
⇒ (α − β) .. m ( do cấp x = m)

.

⇒ k(α − β) .. km
.
.
⇒ k(α − β) .. n ( do km .. n)

⇒ y k(α−β) = e( do cấp của y = n)
⇒ (y k )α = (y k )β

( đpcm)

Việc kiểm tra ϕ là đồng cấu, xin nhường cho độc giả.
2


b/ Khi ϕ là đồng cấu thì:
Kerϕ = xl ∈ X : (xk )l = e
=

.
xl ∈ X : kl .. n

=

xl :

.n
l ..
d

với d = (k, n)

n

n

Vậy Kerϕ = x d là nhóm con cyclic xinh bởi phần tử x d , với d = (k, n).
.
.n
.n
**Nhận xét 1: Do câu a/, ϕ là đồng cấu nên km .. n. Suy ra m .. và hiển nhiên là n .. , vậy
d
d
n
là ước chung của m và n. Do vậy, từ câu b/ ta có thể đưa ra một bài toán sau:
d
"Cho các nhóm cyclic X =< x >m , Y =< y >n và t là số nguyên dương mà là ước đồng thời
cả m, n. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu ϕ : X → Y sao cho Kerϕ = xt là nhóm
cyclic sinh bởi xt ".
Xem như bài tập, độc giả hãy xem xét lại các lời giải của ví dụ trên và hãy tự mình xây dựng
thử đồng cấu ϕ theo yêu cầu!
**Nhận xét 2: Kết quả của ví dụ 3 giúp cho ta một phương tiện hữu hiệu để xử lí các bài
toán tìm số các đồng cấu có thể có giữa các nhóm cyclic cấp m và n. Nếu ϕ : X → Y với
X =< x >m .Y =< y >n là đồng cấu mà ϕ(x) = y k , thì do tính chất đồng cấu mà ∀xl ∈ X
thì ϕ(xl ) = (y k )l , tức ϕ có dạng như mô tả trong ví dụ 3. Vậy số các đồng cấu ϕ : X → Y đó
.
là số tất cả các số nguyên k mà 0 ≤ k < n sao cho km .. n

Ví dụ 4. Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm cyclic cấp 24

Giải:

Cho các nhóm X =< a >6 , Y =< b >24 là các nhóm cyclic cấp 6 và 24. Nếu ϕ : X → Y là đồng
cấu, thì ắt tồn tại k mà 0 ≤ k < 24 sao cho với mọi al ∈ X thì ϕ(al ) = (bk )l . Ta biết rằng ϕ là
.
đồng cấu khi và chỉ khi 6k .. 24. Vậy số các đồng cấu ϕ : X → Y bằng số các số nguyên k mà
.

0 ≤ k < 24 thỏa 6k .. 24. Có 6 số nguyên k như vậy là k = 0, 4, 8, 12, 16, 20. Vậy có tất cả 6 đồng
cấu khác nhau từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm cycic cấp 24.
Cụ thể 6 đồng cấu đó là:
ϕ1 : al −→ e
ϕ2 : al −→ b4l
ϕ3 : al −→ b8l
ϕ4 : al −→ b12l
ϕ5 : al −→ b16l
ϕ6 : al −→ b20l
Các bài toán tìm số các đồng cấu từ một nhóm tới một nhóm khác là các bài toán khá hấp dẫn
và rất đa dạng. Ví dụ 3 chỉ cho ta một phương tiện để xử lí một phạm vi khá hẹp của lớp các bài
toán đó. Ví dụ sau cũng thuộc lớp bài toán trên

3


Ví dụ 5. Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm (Q, +) các số hữu tỉ với phép cộng tới nhóm (Q∗ , ·)
các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân.
**Phân tích ban đầu: một đồng cấu ϕ : Q → Q∗ là hoàn toàn xác định ⇔ xác định được giá trị
ϕ(1). Độc giả hãy thử tự mình lí giải điều nhận xét này! Và do vậy thay cho việc tìm số các đồng
cấu ϕ ta tìm xem có bao nhiêu cách cho ϕ(1) một cách hợp lí.

Giải:
Nếu ϕ : (Q, +) → (Q∗ , ·) là đồng cấu và ϕ(1) = a. Khi đó với mỗi số tự nhiên n > 0 ta có:

a = ϕ(1) = ϕ

Vậy với mỗi số tự nhiên n > 0, ta có:
√
n

n

ATH
S.N

n lần

1
= ϕ( )
n

ET

1
1
1
+ + ··· +
n n
n

a=ϕ

1
n

∈ Q∗

(∗ ∗ ∗)

TM

Kết luận cuối cùng chỉ thỏa mãn với giá trị duy nhất a = 1.
Vậy chỉ có một đồng cấu duy nhất ϕ : Q → Q∗ mà ϕ(1) = 1, đó chính là đồng cấu tầm thường.
(bạn đọc có thể tự mình kiểm tra một cách chi tiết khi ϕ(1) = 1 thì ∀m ∈ Z : ϕ(m) = 1m =
m
1
= n ϕ(1) và ϕ
= n ϕ(m) = 1.
1, ∀n > 0 : ϕ
n
n
**Nhận xét: Có thể bạn đọc chưa hài lòng lắm với kết luận từ (***) suy ra a = 1. Chúng ta có thể
đưa ra một√chứng minh để tham khảo. Ta chứng minh rằng nếu a = 1 thì tồn tại một số nguyên
/ Q∗ . Nếu a = 1, ta phân tích tử số và mẫu số của a dưới dạng các nhân tử nguyên
n > 0 mà n a ∈
tố và được, chẳng hạn:
pn1 .pn2 2 . . . pnk k
a = m1 1 m
l
c1 .c2 2 . . . cm
l

VIE

với các pi , ci là các số nguyên tố khác nhau (ta giả√thiết phân số là tối giản!).
Đặt n = max{n1 , . . . , nk , m1 , . . . , ml }. khi đó nếu n a ∈ Q∗ là một phân số tối giản có dạng:
√
n

a=

q1s1 .q2s2 . . . qtst
,
dα1 1 .dα2 2 . . . dαh h
n

q1s1 .q2s2 . . . qtst
trong đó các qj , dj là các nhân tử nguyên tố, thì α1 α2
cũng là phân số tối giản và ta
d1 .d2 . . . dαh h
phải có:
q1s1 n . . . qtst n = pn1 1 . . . pnk k =(tử số phân số tối giản a)
l
dα1 1 n . . . dαh h n = c1m1 . . . cm
=(mẫu số phân số tối giảng a)
l
Tuy nhiên các đẳng thức này không thể xảy ra vì số mũ lũy thừa của các√nhân tử nguyên tố vế
trái luôn lớn hơn hẳn số mũ lũy thừa các nhân tử nguyên tố vế phải. Vậy n a ∈
/ Q∗

4


BÀI TẬP

1. Cho X là nhóm Aben. Chứng minh rằng ánh xạ ϕ : X → X mà ϕ(x) = xk với k là số nguyên
cho trước, là một đồng cấu.
2. Cho X là nhóm. Chứng minh rằng ánh xạ ϕ : X → X mà ϕ(x) = x−1 , ∀x ∈ X là đồng cấu
khi và chỉ khi X là nhóm Aben.
3. Cho X là nhóm. Với mỗi phần tử a ∈ X, xác định ánh xạ fa : X → X mà f (x) = axa−1 ,
∀x ∈ X.
(a) Chứng minh rằng fa là một tự đẳng cấu của X, gọi là tự đẳng cấu trong xác định bởi
a.
(b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong fa với mọi a ∈ X, lập thành nhóm
với phép nhân ánh xạ. Kí hiệu nhóm đó là D(X).
(c) Chứng minh rằng ánh xạ ϕ : X → D(X), từ nhóm X tới nhóm các tự đẳng cấu trong
D(X) mà ∀a ∈ X : ϕ(a) = fa , là một đồng cấu.
(d) Tìm Kerϕ với ϕ là đồng cấu nói trong câu c.
4. Tìm tất cả các đồng cấu:
(a) Từ một nhóm cyclic cấp n đến chính nó
(b) Từ nhóm cyclic cấp 24 đến nhóm cyclic cấp 6.
(c) Từ nhóm cyclic cấp 8 đến nhóm cyclic cấp 20
5. Cho các nhóm cyclic X =< x >m , Y =< y >n , với (m, n) = 1. Chứng minh rằng từ X → Y
chỉ có duy nhất một đồng cấu tầm thường.
6. Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỉ (Q, +) tới nhóm cộng các số nguyên
(Z, +).
7. Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm S3 _nhóm các phép thế bậc 3
1

1

Đánh máy: Nguyễn Ngọc Quyên. Ngày 5/12/2004

5