LỜI GIẢI CHÍNH xác bài TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU TRONG tọa độ PARABOLIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


LÊ ĐẠI NAM

LỜI GIẢI CHÍNH XÁC BÀI TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU
TRONG TỌA ĐỘ PARABOLIC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


LÊ ĐẠI NAM

LỜI GIẢI CHÍNH XÁC BÀI TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU
TRONG TỌA ĐỘ PARABOLIC

Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÍ
Mã số: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2015


Lời cảm ơn

Để thực hiện được khóa luận với một khối lượng lớn kiến thức vật lí cũng
như kĩ thuật tính toán giải tích này, xin cho tôi được gửi lời tri ân sâu sắc đến người
thầy hướng dẫn của tôi – PGS. TSKH Lê Văn Hoàng. Thầy đã tận tình hướng dẫn,
tạo điều kiện tốt nhất và giúp tôi hoàn toàn tự tin để tôi hoàn thành khóa luận này.
Không chỉ nâng cao về kiến thức, tôi còn học được ở Thầy phương pháp làm việc
khoa học, sự tự tin khi theo đuổi mục tiêu của mình và sự kiên trì khi thực hiện
công việc của mình.
Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy, cô ở khoa Vật lí, trường Đại học Sư phạm Tp.
Hồ Chí Minh và đặc biệt là các thầy, cô ở bộ môn Vật lí lí thuyết đã truyền thụ
những kiến thức khoa học trong suốt thời gian tôi học tập tại đây. Nhờ những kiến
thức đó, tôi mới có thể nắm bắt được vấn đề và hoàn thành khóa luận này.
Khóa luận này khó có thể hoàn thành được nếu không nhận được sự giúp đỡ
của các bậc đàn anh, những người đi trước trong lĩnh vực mà tôi nghiên cứu. Tôi
xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Nguyễn Thành Sơn, giảng viên trường
Đại học Kiến trúc Tp. HCM, anh Thới Ngọc Tuấn Quốc, giáo viên trường Phổ
Thông Năng Khiếu, Đại học Quốc gia Tp.HCM và thầy Phan Ngọc Hưng, giảng
viên trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã mang lại cho tôi những đóng góp quý
báu cũng như đã hỗ trợ đắc lực trong quá trình tôi thực hiện khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè luôn quan tâm, động viên và
khích lệ tinh thần cho tôi, giúp tôi an tâm và tập trung hoàn thành khóa luận.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 4 năm 2015
Lê Đại Nam


i

Mục lục

Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục ........................................................................................................................ i
Danh mục các hình .................................................................................................... iii
Danh mục các bảng ................................................................................................... iv
Mở đầu .......................................................................................................................1
Chương 1 Đơn cực từ và bài toán MICZ – Kepler ................................................6
1.1

Đơn cực từ trong không gian 9 chiều ............................................................7

1.1.1

Đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang ....................................................7

1.1.2

Quá trình tìm kiếm đơn cực từ Dirac bằng thực nghiệm ......................11

1.1.3

Đơn cực từ SO(8) trong không gian 9 chiều.........................................14

1.2

Bài toán MICZ - Kepler 9 chiều .................................................................15

1.2.1

Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều và 5 chiều .........................................15

1.2.2

Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều ..........................................................17


ii
Chương 2 Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic ..................20
2.1

Phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa

độ parabolic ...........................................................................................................21
2.2

Lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic ................26

2.2.1

Hàm cầu suy rộng trong bài toán MICZ – Kepler 9 chiều ...................26

2.2.2

Hàm sóng và năng lượng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều ...........34

2.3

Liên hệ lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu và trong

tọa độ parabolic .....................................................................................................38
Kết luận và hướng phát triển .....................................................................................41
Kết luận .................................................................................................................41
Hướng phát triển ...................................................................................................41
Danh mục công trình của tác giả đã công bố ............................................................43
Tài liệu tham khảo .....................................................................................................44
Tiếng Anh ..............................................................................................................44
Tiếng Đức ..............................................................................................................53
Tiếng Pháp.............................................................................................................53
Phụ lục tính toán........................................................................................................54
Phụ lục 1. Toán tử Laplace – Beltrami trong tọa độ parabolic 9 chiều .................54
Phụ lục 2. Hàm siêu bội tổng quát .........................................................................55
Phụ lục 3. Giải các phương trình (2.15) .................................................................55


iii

Danh mục các hình

Chương I
Hình 1.1 Đơn cực từ và kì dị dây Dirac .....................................................................9
Hình 1.2 Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc LHC [80]. ......12
Hình 1.3 Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [12]. ....................................................13
Hình 1.4 Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac [45]. .........................13
Hình 1.5 Mô phỏng đơn cực từ Dirac trong thí nghiệm của nhóm D. Hall [74]......13
Chương II
Hình 2.1 Mô tả hình học của đơn cực như một cầu S7 đính vào không gian R9. .....37

iv

Danh mục các bảng

Mở đầu

Trang

Bảng 0.1 Liên hệ giữa các bài toán MICZ – Kepler...................................................3
Chương 1
Bảng 1.1 So sánh một số tính chất của 3 bài toán MICZ – Kepler ..........................19


Mở đầu

1.

Trong lí thuyết trường điện từ cổ điển, hệ các phương trình Maxwell mô tả

rất tốt trường điện từ. Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên có thể
sinh ra từ trường và ngược lại, từ trường biến thiên có thể sinh ra điện trường. Tuy
nhiên, theo hệ phương trình Maxwell, điện trường có nguồn phát là điện tích còn từ
trường không có nguồn phát tường minh. Điều này làm mất đi tính đối ngẫu của
điện – từ.
P. A. M. Dirac là người đầu tiên giải quyết được vấn đề này về mặt lí thuyết.
Năm 1931, Dirac đưa ra khái niệm “từ tích” hay còn gọi là đơn cực từ Dirac [14].
Dirac đã chứng minh được rằng sự lượng tử hóa điện tích đòi hỏi sự lượng tử hóa từ
tích thông qua điều kiện lượng tử hóa Dirac. Đơn cực từ Dirac giúp hệ phương trình

Maxwell không mất đi tính đối ngẫu của điện – từ. Trong lí thuyết trường gauge,
trường đơn cực từ Dirac được nhìn nhận là nhóm U (1) .
Vào giữa thập niên 1950, lí thuyết trường gauge được tái sinh qua các công
trình của C. N. Yang và R. Mills. Lí thuyết trường gauge cho phép các nhà vật lí
đưa thêm các chiều không gian dư để mở rộng không gian vật lí từ 3 chiều lên
những số chiều cao hơn. Năm 1978, C. N. Yang mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac
trong không gian 3 chiều lên đơn cực từ Yang trong không gian 5 chiều [83]. Trong
lí thuyết trường gauge, trường đơn cực từ Yang được nhìn nhận là nhóm SU ( 2 ) .
Đơn cực từ trong không gian 9 chiều được đề xuất bởi B. Grossman vào năm
1984, khi ông giải phương trình Yang – Mills trong không gian 8 chiều tương ứng
với trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf [17]. Năm 2003, nhóm nghiên cứu của
S. Zhang đã dẫn ra đơn cực từ trong không gian 9 chiều mà trong lí thuyết trường
gauge được nhìn nhận là SO ( 8 ) [5, 72, 88].Năm 2009, các tác giả Lê Văn Hoàng,
Nguyễn Thành Sơn và Phan Ngọc Hưng đã đưa ra được bộ thế đơn cực của đơn cực

1


từ SO ( 8 ) trong không gian 9 chiều khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa bài toán
dao động tử điều hòa 16 chiều với bài toán Kepler 9 chiều và định lí Hurwitz [37,
38, 89]. Từ đó, nhóm tác giả trên đã chỉ ra đơn cực từ SO ( 8 ) là sự mở rộng trực
tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không gian 9 chiều.
Cho đến thời điểm hiện tại, ngoài các đơn cực từ vừa nêu, còn một số các
đơn cực từ khác được xây dựng về mặt lí thuyết mà có thể kể đến như đơn cực từ
Wu – Yang[84], đơn cực từ ‘t Hooft – Polyakov [70, 79], đơn cực từ BPS [71].
Việc đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ đã giúp giải thích hợp lí rất nhiều
vấn đề vật lí hóc búa. Đơn cực từ xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết vật lí ngày
nay như lí thuyết thống nhất lớn [86], lí thuyết siêu đối xứng [85], lí thuyết hấp dẫn
lượng tử [22], lí thuyết siêu dây [30, 86] và trong vũ trụ học [11, 16]. Do đó, tuy
rằng chưa có bằng chứng thực nghiệm xác thực, các nhà vật lí lí thuyết vẫn tin vào

sự tồn tại của đơn cực từ . Các bài toán có sự có mặt của đơn cực từ, vì vậy, cũng
được các nhà vật lí lí thuyết xây dựng và khảo sát.
Đặc biệt hơn cả, các đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang và đơn cực từ

SO ( 8 ) có liên hệ mật thiết với sự tồn tại của các phân thớ Hopf [90, 91], sự tồn tại
của các đại số chia và định lí Hurwitz [62, 89]. Dođó, tôi tập trung nghiên cứu vào
các bài toán có sự có mặt của các đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang và đơn cực từ

SO ( 8 ) .
2.

Bài toán MICZ – Kepler là bài toán điển hình có tính đến sự có mặt của đơn

cực từ. Bài toán MICZ – Kepler thực chất là bài toán Kepler (hay bài toán
Coulomb) được đưa thêm thế đơn cực. Bài toán được đưa ra lần đầu tiên vào những
năm 1960 bởi D. Zwanziger, McIntosh và Cisneros khi mở rộng bài toán Kepler 3
chiều bằng cách thêm vào thế đơn cực của đơn cực từ Dirac [44, 87]. Đây là một bài
toán quan trọng, được khảo sát nhiều bằng các phương pháp khác nhau trong vài
thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn được các nhà vật lí lí thuyết quan tâm.
Cùng với việc mở rộng đơn cực từ trong không gian nhiều chiều, bài toán
MICZ – Kepler cũng được mở rộng trong không gian nhiều chiều và khảo sát bằng

2


các phương pháp khác nhautrong các công trình [37, 38, 39, 44, 47, 48, 49, 50, 51,
52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 63, 64, 69 ,81 ,87]. Như đã nói ở trên, các đơn cực từ
Dirac, đơn cực từ Yang và đơn cực từ SO ( 8 ) là những trường hợp đặc biệt hơn cả.
Chính vì lẽ đó, bài toán MICZ – Kepler 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều là những bài
toán đặc biệt. Riêng đối với trường hợp 2 chiều, bài toán MICZ – Kepler cũng chính

là bài toán Kepler. Trong bốn trường hợp vừa kể trên, bài toán MICZ – Kepler
2h + 1 chiều ( h = 0,1, 2,3 ) được chứng minh là tương đương với bài toán dao động

tử điều hòa 2h+1 chiều thông qua các phép biến đổi song tuyến dạng Hurwitz –
tương ứng với đại số chia chuẩn hóa bội h [6, 36, 37, 43, 54, 68] và phân thớ Hopf
thứ h [7, 17, 19, 42 ,72, 86]. Bốn trường hợp trên có thể được tóm tắt qua bảng
Bảng 0.1.
Bảng 0.1 Liên hệ giữa các bài toán MICZ – Kepler.
Bài toán
MICZ – Kepler

Đơn cực

Phép biến đổi

Đại số chia
chuẩn hóa

2 chiều

Không có

Levi – Civita

Đại số thực

3 chiều

Đơn cực
Dirac

Kustaanheimo
– Stiefel

Đại số phức

5 chiều

Đơn cực
Yang

Davtyan

Đại số
quartenion

(2 ) : S

9 chiều

Đơn cực
SO(8)

Hurwitz
mở rộng

Đại số
octonion

(3 ) : S

Phân thớ Hopf

(0 ) : S
th

(1 ) : S
st

nd

rd

3

1

→ S1

S

→S2
1

7

S

→S4

15

S

→ S8

3

7

Việc đưa thêm thế đơn cực vào bài toán Kepler đã được chứng minh là
không làm thay đổi tính đối xứng của bài toán Kepler [6, 8, 18, 39, 55, 58, 67].
Không chỉ giữ nguyên tính đối xứng, việc đưa thế đơn cực còn được tin rằng sẽ
không làm thay đổi tính siêu khả tích của bài toán Kepler. Tính siêu khả tích của bài
toán MICZ – Kepler 3 chiều mới được chứng minh gần đây [52, 53]. Nếu bài toán
MICZ – Kepler là bài toán siêu khả tích thì phương trình Schroedinger của bài toán
sẽ tách biến trong tọa độ cầu, tọa độ parabolic và một số loại tọa độ cong trực giao
khác. Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều và 5 chiều đã có lời giải giải tích chính xác
3


trong tọa độ cầu và tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến [44, 48, 56, 57].
Do vậy, bài toán MICZ – Kepler 9 chiều được tin rằng sẽ có lời giải giải tích chính
xác trong tọa độ cầu và tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến. Riêng lời giải
giải tích chính xác hàm sóng và năng lượng của bài toán mới đưa ra gần đây trong
tọa độ cầu 9 chiều [63]. Đó chính là cơ sở để tôi thực hiện khóa luận “Lời giải
chính xác của bài toán MICZ – Kepler chín chiều trong tọa độ parabolic”.
3.

Mục tiêu của khóa luậnnày là tìm lời giải chính xác của bài toán MICZ –

Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic thông qua việc xây dựng hàm sóng và phổ
năng lượng của bài toán trong tọa độ parabolic 9 chiều. Ngoài ra, tôi còn so sánh
hàm sóng, phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều và của bài toán
Kepler 9 chiều để nghiên cứu ảnh hưởng của thế đơn cực SO ( 8 ) đối với bài toán.
Không những thế, tôi còn xây dựng mối liên hệ giữa lời giải chính xác của bài toán
MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic với lời giải chính xác của bài toán
MICZ – Kepler trong tọa độ cầu.
Những mục tiêu trên được hoàn thành thông qua các công việc sau:
−

Tìm hiểu tổng quan về đơn cực từ SO ( 8 ) như một sự mở rộng trực

tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không gian 9 chiều;
−

Tìm hiểu tổng quan về bài toán MICZ – Kepler 9 chiều và mối liên hệ

với bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều;
−

Tìm hiểu tổng quan về lời giải chính xác của bài toán Coulomb nhiều

chiều bằng phương pháp tách biến trong tọa độ parabolic;
−

Thành lập phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9

chiều trong tọa độ parabolic;
−

Xây dựng lời giải giải tích chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9

chiều trong tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến nhằm tìm hiểu ảnh
hưởng của thế đơn cực SO ( 8 ) lên hàm sóng và phổ năng lượng của bài toán;
−

Xây dựng phép biến đổi giữa hàm sóng của bài toán MICZ – Kepler 9

chiều trong tọa độ parabolic và trong tọa độ cầu.

4


4.

Cấu trúc của khóa luận:
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận và hướng phát triển, khóa luận này

gồm có 2 chương:
Chương 1: Đơn cực từ và bài toán MICZ – Kepler
Chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất giới thiệu tổng quan về khái niệm
đơn cực từ Dirac và mở rộng của đơn cực từ Dirac trong không gian nhiều chiều
cùng với quá trình tìm kiếm đơn cực từ của giới khoa học. Phần thứ hai giới thiệu
tổng quan về bài toán MICZ – Kepler trong không gian nhiều chiều, những tính
chất của bài toán MICZ – Kepler cũng như mối liên hệ giữa bài toán MICZ –
Kepler 2, 3, 5, 9 chiều với bài toán dao động tử điều hòa 2, 4, 8, 16 chiều thông qua
định lí Hurwitz. Qua đó, tôi sẽ giải thích tại sao ta nên khảo sát các bài toán MICZ –
Kepler 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều.
Chương 2: Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic

Chương này gồm ba phần. Phần thứ nhất, tôi trình bày về tọa độ parabolic 9
chiều và áp dụng hệ tọa độ này để thành lập phương trình vi phân đạo hàm riêng từ
phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều. Ngoài ra, tôi còn
chỉ ra sự tách biến của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic. Phần
thứ hai, tôi trình bày lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic
bao gồm hàm sóng, năng lượng và bậc suy biến của năng lượng trong bài toán. Đối
chiếu với bài toán Kepler 9 chiều, tôi sẽ chỉ ra ảnh hưởng của thế đơn cực lên bài
toán như thế nào. Phần cuối cùng, tôi giới thiệu về lời giải của bài toán MICZ –
Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu đã được xây dựng gần đây bao gồm hàm sóng, năng
lượng và bậc suy biến của năng lượng trong bài toán. Sau đó, tôi trình bày cách thức
và kết quả của việc xây dựng mối liên hệ giữa lời giải của bài toán MICZ – Kepler
9 chiều trong tọa độ cầu và trong tọa độ parabolic.
5.

Một số kết quả trình bày trong khóa luận đã được công bố trong 01 bài báo

quốc tế và 01 bài báo trên tạp chí khoa học chuyên ngành của Việt Nam.
5


Chương 1
Đơn cực từ và bài toán MICZ – Kepler

Được Dirac đưa ra lần đầu tiên vào năm 1931 nhằm đảm bảo tính đối xứng
giữa điện và từ, giả thuyết về sự tồn tại đơn cực từ là một trong những vấn đề lớn
nhất của vật lí lí thuyết đương đại. Sự tồn tại của đơn cực từ cho phép các nhà vật lí
lí thuyết giải quyết được những câu hỏi hóc búa nhất và do đó, các lí thuyết vật lí
đương đại đều đề cập đến sự tồn tại của đơn cực từ bất chấp việc các nhà thực
nghiệm vẫn chưa có được bằng chứng về sự tồn tại của nó.
Cùng với dòng chảy của lí thuyết trường gauge và quá trình đưa thêm những

chiều không gian dư, đơn cực từ Dirac trong không gian 3 chiều cũng được mở rộng
trực tiếp lên những không gian nhiều chiều hơn. Sự mở rộng trực tiếp của đơn cực
từ Dirac trong không gian 5 chiều là đơn cực từ Yang và trong không gian 9 chiều
là đơn cực từ SO ( 8 ) . Sự tồn tại của 3 đơn cực từ trên gắn liền với những vấn đề
thuần túy toán học như sự tồn tại các phân thớ Hopf trong topology, các đại số chia
chuẩn hóa trong đại số và các phép biến đổi song tuyến dạng Hurwitz.
Một trong những bài toán cơ bản nhất có mặt đơn cực từ chính là bài toán
MICZ – Kepler. Là bài toán Kepler có chứa thêm thế đơn cực, bài toán MICZ –
Kepler với các số chiều tương ứng là 2, 3, 5, 9 lần lượt tương ứng với các trường
hợp: không có đơn cực từ, đơn cực Dirac, đơn cực Yang và đơn cực SO ( 8 ) là
những bài toán hết sức đặc biệt khi chúng được chứng minh là tương đương với các
bài toán dao động tử điều hòa có số chiều tương ứng là 2, 4, 8, 16. Trong đó, bài
toán MICZ – Kepler 9 chiều mới được quan tâm và khảo sát trong vài năm trở lại
đây.

6


1.1 Đơn cực từ trong không gian 9 chiều
1.1.1 Đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang
Từ những kiến thức thông thường về điện từ học, chúng ta đều dễ dàng biết
rằng điện trường được sinh ra bởi các điện tích còn từ trường được sinh ra bởi sự
chuyển động của các điện tích. Chính điều này đã dẫn đến hàng loạt những câu hỏi
hóc búa liên quan đến tính đối ngẫu giữa điện và từ như tại sao lại tồn tại các hạt
điện tích sinh ra điện trường mà không tồn tại các hạt từ tích sinh ra từ trường; tại
sao các hạt điện tích hoặc dương hoặc âm có thể tồn tại riêng rẽ trong khi các nguồn
sinh ra từ trường luôn dưới dạng lưỡng cực từ bắc – nam; tại sao không thể “bẻ”
một lưỡng cực từ bắc – nam thành các hạt từ tích “bắc” hoặc từ tích “nam”? Ý
tưởng đầu tiên về đơn cực từ được đưa ra vào năm 1269 khi P. P. Maricourt đã đặt
ra những câu hỏi trên trong công trình “The Epistola de Magnete”[94].

Những nghiên cứu về điện từ học được phát triển mạnh mẽ vào cuối thế kỉ
18, đầu thế kỉ 19. Thành tựu nổi bật nhất chính là lí thuyết trường điện từ cổ điển
của J. C. Maxwell. Maxwell đã thống nhất điện – từ vào hệ phương trình nổi tiếng
của ông
  ρ
∇⋅E = e ,

e


 
∂B
,
∇× E = −
∂t
 
∇ ⋅ B = 0,

(1.1)


 
 
∂B 
∇=
× B µ  Je + e
,
∂t 


 

trong đó, E , B lần lượt là cường độ điện trường và cảm ứng từ, ε , µ lần lượt là

hằng số điện môi tuyệt đối và độ thẩm từ tuyệt đối của môi trường và ρe , J e là mật
độ điện tích và mật độ dòng điện từ. Các phương trình của Maxwell mô tả các định

7


luật cơ bản của điện và từ cũng như thể hiện được nguồn gốc và tính chất của điện
trường và từ trường. Hệ phương trình Maxwell mô tả rất tốt và rất đẹp điện trường
và từ trường. Điện trường và từ trường được thống nhất thành điện từ trường trong
hệ phương trình này. Tuy nhiên, nếu ta chú ý vào phương trình thứ nhất và phương
trình thứ ba của hệ phương trình (1.1), chúng ta dễ dàng nhận thấy sự bất cân xứng
giữa điện trường và từ trường, điều này làm cho tính đối ngẫu giữa điện trường và
từ trường bị mất đi [77]. Nhằm khắc phục điều này, năm 1894, P. Curie đã đưa ra
giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ trong tự nhiên [93]. Với giả thuyết này, tính
đối ngẫu giữa điện và từ được khôi phục và hệ phương trình Maxwell trở nên đối
xứng hơn
  ρ
∇⋅E = e ,

e


 

∂B
∇× E = −

− m Jm ,
∂t
 
∇ ⋅ B = mρ m ,

 
 
∂B 
∇=
× B m  Je + e
,
∂t 


(1.2)


bằng việc có thêm mật độ từ tích và mật độ dòng từ ρ m , J m [93]. Tuy nhiên, giả

thuyết này của Curie chỉ dừng lại ở mức ý tưởng chứ không có cơ sở nào chỉ ra rằng
giả thuyết này là hợp lí.
Năm 1931, khi khảo sát đóng góp của thừa số pha vào hàm sóng, Dirac đã
chứng minh rằng cần thiết phải có một nguồn sinh ra từ trường – gọi là từ tích hay
đơn cực từ [14]. Đồng thời, Dirac cũng chỉ ra rằng sự lượng tử hóa từ tích phải đi
kèm với sự lượng tử hóa điện tích. Từ tích g của đơn cực từ Dirac được chỉ ra là số
nguyên lần từ tích nguyên tố g D . Điều kiện lượng tử hóa Dirac xác định giá trị của
từ tích nguyên tố là

8

=
gD

2πe 0 c 2 ec
,
=
e
2α

(1.3)

với α ≈ 1 137 là hằng số cấu trúc tinh tế [14]. Khối lượng của đơn cực từ Dirac là
[14]
mD 

1
4α 2

me  2, 4 GeV .

(1.4)

Từ trường do đơn cực từ Dirac có dạng


g
r
B = µg 3 ,
r

(1.5)

có thông lượng gửi qua một mặt kín khác không và có đối xứng cầu O ( 3) [14].Thế
gauge của đơn cực từ Dirac có dạng [14]
g
=
A

µg

r ( r + x3 )

( − x2 , x1 , 0 ) ,

(1.6)

tương ứng với kì dị dây Dirac ở phần âm của trục Ox3 và thỏa mãn [14]

  
B = ∇× A.

Hình 1.1 Đơn cực từ và kì dị dây Dirac

9

(1.7)


Năm 1921, trong nỗ lực thống nhất trường hấp dẫn và trường điện từ, T.

Kaluza đã mở rộng lí thuyết tương đối tổng quát lên không thời gian năm chiều.
Năm 1926, O. Klein đưa ra giả thuyết rằng chiều không gian thứ tư mà Kaluza đưa
ra thực chất bị cuộn lại thành tập compact với bán kính rất bé. Lí thuyết mà Kaluza
đưa ra và được Klein bổ sung được công nhận là thuyết Kaluza – Klein. Đây chính
là lí thuyết đầu tiên đưa ra khái niệm chiều không gian cao hơn và bị cuộn lại thành
tập compact. Trong lí thuyết trường gauge, chiều không gian cao hơn mà Kaluza
đưa ra có thể được mô tả bằng nhóm U (1) . Bằng cách thay đổi nhóm U (1) bằng
các nhóm Lie khác, ta có thể có được các lí thuyết trường gauge khác nhau. Năm
1954, Yang và Mills làm sống lại lí thuyết trường gauge bằng cách mở rộng lí
thuyết cho nhóm giao hoán sang các nhóm không giao hoán. Hiện tại, mô hình
chuẩn cũng dựa trên lí thuyết trường gauge để biểu diễn không gian và các hạt cơ
bản. Dựa trên những ý tưởng cơ bản như thế, các nhà vật lí đã đưa thêm 6 chiều
không gian cao hơn, tạo thành không thời gian 10 chiều (9 chiều không gian + 1
chiều thời gian) trong lí thuyết dây. Năm 1995, E. Witten đã thống nhất các lí thuyết
dây trong không thời gian 10 chiều thành lí thuyết siêu dây trong không thời gian 11
chiều (10 chiều không gian + 1 chiều thời gian) mà các nhà vật lí ngày nay gọi là
thuyết M. Thuyết M được xem là có khả năng mô tả toàn bộ thế giới chúng ta, là
ứng cử viên sáng giá nhất trở thành “lí thuyết dành cho vạn vật” 1. Cuốntheo dòng
chảy của sự phát triển, khái niệm đơn cực từ, vì lẽ đó, cũng được mở rộng lên
những không gian có số chiều cao hơn là đơn cực từ Yang trong không gian 5 chiều
và đơn cực từ SO(8) trong không gian 9 chiều [17,83] .
Năm 1978, khi khảo sát phương trình Yang – Mills, Yang đã đưa ra bộ thế
đơn cực SU ( 2 ) [83]. Bộ thế đơn cực mà Yang đề xuất là

1

TOE – Theory of Everything.

10


=
A1

=
A2

=
A3

1
( x2 , − x1 , − x4 , x3 ,0 ) ,
r ( r + x5 )
1
( x4 , − x3 , x2 , − x1 ,0 ) ,
r ( r + x5 )

(1.8)

1
( − x3 , − x4 , x1 , x2 ,0 ) ,
r ( r + x5 )

tương ứng với kì dị dây Dirac ở phần âm của trục Ox5 [83]. Từ trường do đơn cực từ
Yang gây ra có thông lượng gửi qua một mặt kín khác không và có đối xứng cầu

O ( 5 ) [83]. Bộ thế (1.8) của đơn cực từ Yang tương tự như bộ thế (1.6) của đơn cực
từ Dirac và các tính chất của từ trường gây ra bởi đơn cực từ Yang cũng giống như
từ trường gây ra bởi đơn cực từ Dirac nên đơn cực từ Yang chính là sự mở rộng trực

tiếp của đơn cực từ Dirac trong không gian 5 chiều [83]. Trong lí thuyết trường
gauge, bộ thế đơn cực Dirac được nhìn nhận là có đối xứng U (1) và đơn cực từ
Yang có đối xứng là SU ( 2 ) [76, 83]. Sự mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac và đơn
cực từ Yang là đơn cực từ SO ( 8 ) sẽ được trình bày ở mục1.1.3.

1.1.2 Quá trình tìm kiếm đơn cực từ Dirac bằng thực nghiệm
Đơn cực từ đóng vai trò rất quan trọng trong các lí thuyết vật lí đương đại
như lí thuyết thống nhất lớn GUT [86], lí thuyết siêu đối xứng SUSY [85], lí thuyết
hấp dẫn lượng tử [22], lí thuyết siêu dây [30, 86] và trong cả vũ trụ học[11, 16].
Dạng thức động lực của trường đơn cực còn xuất hiện trong vật lí hệ ngưng tụ [20,
46]. Đây cũng là lĩnh vực mở ra nhiều triển vọng tìm thấy đơn cực từ trong tự nhiên.
Tầm quan trọng của đơn cực từ đã khiến quá trình tìm kiếm đơn cực từ trong tự
nhiên trở thành những vấn đề thời sự. Nó thu hút sự chú ý của các nhà vật lí thực
nghiệm [15, 76]. Hiện tại, các máy gia tốc hiện đại nhất tại các trung tâm nghiên
cứu lớn trên thế giới (CERN, RHIC) đang thực hiện nhiều thí nghiệm để tìm kiếm
đơn cực từ [12, 41, 80]. CERN bố trí hẳn một khu vực riêng thuộc LHC nhằm phát
hiện đơn cực từ thông qua các va chạm hạt được gia tốc đến năng lượng lớn cỡ 8
11


TeV (trong tương lai có thể đạt mức 14 TeV) [9, 80]. Bên cạnh đó, nhiều nhóm
nghiên cứu khác tìm kiếm đơn cực từ thông qua phân tích các bức xạ vũ trụ. Từ
năm 2009, nhiều thí nghiệm với độ chính xác cao nhằm tìm kiếm đơn cực từ đã
được tiến hành và cho kết quả khả quan. Công trình thực nghiệm do Morris và các
cộng sự đăng trên tạp chí Science vào năm 2009 cho biết tinh thể một chiều
dyprosyum titanate được làm lạnh đến nhiệt độtrong khoảng từ 0.6 đến 2 Kelvin
được quan sát bằng tán xạ neutron hành xử như một giả đơn cực từ 2 [46]. Năm 2010
nhóm nghiên cứu H.-B. Braun đãcông bố ảnh chụp các dây Dirac trong băng spin
trên tạp chí Nature Physics [45]. Năm 2011, cũng trên tạp chí Nature Physics, nhóm
nghiên cứu Giblin thực hiện với cùng đối tượng thí nghiệm với nhóm của Morris

nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, 0.35 Kelvin cho kết quả tương tự [20]. Gần đây nhất vào
tháng 01 năm 2014, nhóm nghiên cứu của D. Hall tại Massachusetts đã công bố
quan sát được đơn cực từ Dirac trong hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein bằng cả
thực nghiệm và mô phỏng [74]. Công trình là một bước đột phá lớn trong việc tìm
kiếm đơn cực từ. Tuy nhiên, nhóm tác giả vẫn chưa đo được khối lượng của “hạt từ
tích” tìm thấy và chưa thể kết luận hạt được quan sát là đơn cực từ thực thụ [74].
Dù các công trình nghiên cứu trên vẫn chưa tìm thấy đơn cực từ thực thụ, nó vẫn
tạo được một niềm tin rất lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ trong tương lai.

Hình 1.2 Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc LHC [80].

2

magnetic monopole quasiparticle.

12


Hình 1.3Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [12].

Hình 1.4Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac 3 [45].

Hình 1.5 Mô phỏng đơn cực từ Dirac trong thí nghiệm của nhóm D. Hall [74].

Hình bên trái là hình ảnh chụp được. Hình bên phải là bản đồ từ cực: màu đỏ là từ cực bắc và màu
xanh là từ cực nam.
3

13

1.1.3 Đơn cực từ SO(8) trong không gian 9 chiều
Đơn cực từ trong không gian 9 chiều được đề xuất bởi B. Grossman vào năm
1984, khi ông giải phương trình Yang – Mills trong không gian 8 chiều tương ứng
với trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf [17]. Bộ thế đơn cực mà Grossman
đưa ra có dạng [17]
A1λ
=

1
( − x2 , + x1 , + x4 , − x3 , + x6 , − x5 , + x8 , − x7 , 0 ) ,
r ( r + x9 )

A2 λ
=

1
( + x3 , + x4 , − x1 , − x2 , + x7 , − x8 , − x5 , + x6 , 0 ) ,
r ( r + x9 )

A3λ
=

1
( + x4 , − x3 , + x2 , − x1 , + x8 , + x7 , − x6 , − x5 , 0 ) ,
r ( r + x9 )

A4 λ
=

1
( − x5 , − x6 , − x7 , + x8 , + x1 , + x2 , + x3 , − x4 , 0 ) ,
r ( r + x9 )

A5λ
=

1
( + x6 , − x5 , + x8 , + x7 , + x2 , − x1 , − x4 , − x3 , 0 ) ,
r ( r + x9 )

=
A6 λ

1
( + x7 , − x8 , − x5 , − x6 , + x3 , + x4 , − x1 , + x2 , 0 ) ,
r ( r + x9 )

=
A7 λ

1
( − x8 , − x7 , + x6 , + x5 , − x4 , − x3 , + x2 , + x1 , 0 ) .
r ( r + x9 )

(1.9)

Năm 2003, nhóm nghiên cứu của S. Zhang đã dẫn ra đơn cực từ trong không gian 9
chiều mà trong lí thuyết trường gauge được nhìn nhận là SO ( 8 ) khi nghiên cứu về
hiệu ứng Hall lượng tử phân số [6, 72]. Năm 2009, các tác giả Lê Văn Hoàng,

Nguyễn Thành Sơn và Phan Ngọc Hưng đã đưa ra được bộ thế đơn cực của đơn cực
từ SO ( 8 ) trong không gian 9 chiều khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa bài toán
dao động tử điều hòa 16 chiều với bài toán Kepler 9 chiều và định lí Hurwitz [37,
38]. Các thành phần của đơn cực thỏa mãn hệ thức của các vi tử nhóm SO ( 8 ) [38]
Qˆ kj , Qˆ ab  = iδ ka Qˆ jb + iδ jbQˆ ka − iδ kbQˆ ja − iδ ja Qˆ kb .



14

(1.10)


Không những thế, các tác giả trên còn tham số hóa các vi tử trên theo 7 biến số góc
phụ ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 , ϕ5 , ϕ6 [38]. Nhóm tác giả trên đã chỉ ra đơn cực từ SO ( 8 ) là sự
mở rộng trực tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không gian 9
chiều [38].

1.2 Bài toán MICZ - Kepler 9 chiều
Bài toán MICZ – Kepler (được đặt tên theo McIntosh, Cisneros và
Zwanziger) là bài toán mô tả chuyển động của một electron quanh một hạt vừa
mang điện tích, vừa mang từ tích gọi là dyon. Dyon tương tác với electron thông
qua tương tác tĩnh điện Coulomb và tương tác của thế đơn cực. Do đó, bài toán
MICZ – Kepler thực chất là bài toán Kepler có đưa thêm thế của đơn cực từ

1.2.1 Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều và 5 chiều
Bài toán MICZ – Kepler được Zwanziger, McIntosh và Cisneros xây dựng từ
những năm 1960 [44, 87] bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ này
trường đơn cực từ Dirac. Đây là một bài toán quan trọng được khảo sát nhiều bằng
các phương pháp khác nhau trong vài thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn được

quan tâm.Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều trong hệ đơn vị = e= me= 1 [32]là 4
2
 1 

∂
sˆ 2  
+ Aλ sˆ  + 2 −  Ψ ( xλ , φ ) =E Ψ ( xλ , φ ) ,
  −i
∂
x
r
8
λ

 2r



(1.11)

được chứng minh là tương đương với bài toán dao động tử điều hòa 4 chiều [59, 60]
 1  ∂2
∂2

+
− 
 8  ∂us ∂us ∂vs ∂vs


4


 1 2

u
u
v
v
+
ω
+
Ψ ( u s , vs ) =
 Ψ ( u s , vs ) ,
(
)


s s
s s

 2


Trong khóa luận này, kể từ đây tôi sử dụng hệ đơn vị này.

15

(1.12)

qua phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel [10, 28, 29, 34]

=
x1 2(u1v1 + u2v2 ),
=
x2 2(u1v2 − u2v1 ),

(1.13)

x3 = u12 + u22 − v12 − v22 .
Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều còn được chứng minh là có đối xứng SO ( 4 ) và có
đối xứng động lực SO ( 4, 2 ) và là bài toán siêu khả tích với các tích phân chuyển
động là vector Poincaré, vector Runge – Lenz và Hamiltonian [6, 8, 52] tương tự
bài toán Kepler 3 chiều [26]. Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều đã có lời giải giải tích
từ những năm 1970 và được chứng minh là có thể tách biến trong tọa độ cầu và tọa
độ parabolic. Ngoài ra, bài toán còn được tiếp cận theo các cách đại số như tách
nhóm đối xứng SO ( 4 ) ~ SO ( 3) ⊕ SO ( 3) hoặc sử dụng các toán tử bất biến Casimir
của nhóm SO ( 4 ) [44].
Bài toán MICZ – Kepler 5 chiều được nhóm của Mardoyan xây dựng và
khảo sát từ những năm 1998bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ
này trường đơn cực từ Yang [54]. Bài toán MICZ – Kepler 5 chiều
2
∂
Tˆ 2  
 1 
a ˆa 
−
i
+
A

T
+
−  Ψ ( xλ , a , β , γ ) =E Ψ ( xλ , a , β , γ )
 

λ
2
2
∂
x
2
r
r
λ





(1.14)

tương đương bài toán dao động tử điều hòa 8 chiều [54, 57, 68]
 1  ∂2
∂2

+
− 
 8  ∂us ∂us ∂vs ∂vs



 1 2

u
u
v
v
ω
+
+
Ψ ( u s , vs ) =
 Ψ ( u s , vs ) ,
(
)


s s
s s

 2


qua phép biến đổi được Davtyan xây dựng năm 1987 [17, 33, 35]

16

(1.15)


x1= 2 ( u1v4 − u2v3 + u3v2 − u4v1 ) ,

x2 =2 ( −u1v3 − u2v4 + u3v1 + u4v2 ) ,
x3= 2 ( u1v2 − u2v1 − u3v4 + u4v3 ) ,

(1.16)

x4= 2 ( u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 ) ,
x5 = u12 + u22 + u32 + u42 − v12 − v22 − v32 − v42 .
Bài toán MICZ – Kepler 5 chiều còn được chứng minh là có đối xứng SO ( 6 ) và có
đối xứng động lực SO ( 6, 2 ) và là bài toán siêu khả tích với các tích phân chuyển
động là vector Poincaré, vector Runge – Lenz và Hamiltonian[53, 55, 67]tương tự
bài toán Kepler 5 chiều [26, 27]. Bài toán MICZ – Kepler 5 chiều đã có lời giải giải
tích từ những năm 2000 và được chứng minh là có thể tách biến trong tọa độ cầu và
tọa độ parabolic. Hàm Green của bài toán cũng đã được xây dựng [69]. Ngoài ra,
bài toán còn được tiếp cận theo các cách đại số như sử dụng các toán tử bất biến
Casimir của nhóm SO ( 6 ) [55].

1.2.2 Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều
Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều được nhóm các tác giả Lê Văn Hoàng, Nguyễn
Thành Sơn và Phan Ngọc Hưng xây dựng và khảo sát từ những năm 2009khi áp
dụng phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz được Lê Văn Hoàng và
Komarov đưa ra vào năm 1993 vào bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều [34, 35,
36, 37, 40]. Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều là bài toán Kepler 9 chiều có đưa thêm
thế đơn cực SO ( 8 ) . Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều có dạng [38]
2
2
1 
 

Qˆ 2  
∂

∂

ˆ
+ Aj Q jk  +  −i
  −i
 + 2 − ψ ( x, j s ) =Eψ ( x, js ) ,

2
2r
x
x
r
∂
∂
j
9


 



tương đương bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều [37]

17

(1.17)


2


∂2
 1 ∂
−
+
 

 8  ∂us ∂us ∂vs ∂vs


 1 2

ω
u
u
v
v
+
+
 Ψ ( u s , vs ) ,
(
)

s s
s s  Ψ ( u s , vs ) =

 2


(1.18)

qua phép biến đổi Hurwitz được Lê Văn Hoàng, Komarov đưa ra vào năm 1993 [35,
37]
x1= 2 ( u1v1 + u2v2 − u3v3 − u4v4 + u5v5 + u6v6 − u7 v7 − u8v8 ) ,
x2= 2 ( u1v2 − u2v1 − u3v4 + u4v3 + u5v6 − u6v5 − u7 v8 + u8v7 ) ,
x3= 2 ( u1v3 − u2v4 + u3v1 − u4v2 + u5v7 − u6v8 + u7 v5 − u8v6 ) ,
x4= 2 ( u1v4 + u2v3 + u3v2 + u4v1 − u5v8 − u6v7 − u7 v6 − u8v5 ) ,
x5= 2 ( u1v5 − u2v6 + u3v7 − u4v8 − u5v1 + u6v2 − u7 v3 + u8v4 ) ,
x6= 2 ( u1v6 + u2v5 − u3v8 − u4v7 − u5v2 − u6v1 + u7 v4 + u8v3 ) ,

(1.19)

x7= 2 ( u1v7 − u2v8 − u3v5 + u4v6 − u5v3 + u6v4 + u7 v1 − u8v2 ) ,
x8= 2 ( u1v8 + u2v7 + u3v6 + u4v5 + u5v4 + u6v3 + u7 v2 + u8v1 ) ,
x9 = u12 + u2 2 + u32 + u4 2 + u5 2 + u6 2 + u7 2 + u8 2
− v12 − v2 2 − v32 − v4 2 − v5 2 − v6 2 − v7 2 − v8 2 .

Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều mới được đưa ra nên đang được nghiên cứu
trong thời gian gần đây. Năm 2011, bài toán được chứng minh là có đối xứng

SO (10 ) và có đối xứng động lực SO (10, 2 ) với các tích phân chuyển động là
vector Poincaré, vector Runge – Lenz và Hamiltonian [39, 64] tương tự bài toán
Kepler 9 chiều [26, 27]. Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều đã có lời giải giải tích gần
đây (năm 2014) và được chứng minh là có thể tách biến trong tọa độ cầu [63].
Trong khóa luận này, tôi sẽ chứng minh bài toán có thể tách biến trong tọa độ
parabolic. Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều được kỳ vọng là siêu khả tích giống như
bài toán Kepler 9 chiều [27] và đang được tiếp cận bằng các phương pháp đại số
như sử dụng các toán tử sinh – hủy hoặc sử dụng các toán tử bất biến Casimir.
Một số so sánh giữa 3 bài toán MICZ – Kepler 3, 5 và 9 chiều được tôi trình
bay trong bảng Bảng 1.1 So sánh một số tính chất của 3 bài toán MICZ – Kepler.

18