Lời giải mới cho bài toán quen thuộc

LỜI GIAI MỚI CHO BÀI TOÁN QUEN THUỘC
Bài toán 1: Chứng minh với mọi x ta có :
x
8
- x
5
+ x
2
- x +1 .> 0 (*)
Đây là btoán quen thuộc - bạn có thể bắt gặp trong nhiều sách tham khảo về nội dung bất đẳng
thức , các tác giả chứng minh tính đúng đắn của bđt trên từng khoảng xác định x < 0 ,
0 ≤ x <1 , x ≥ 1. Thử đi tìm một cách cminh khác .
Cái khó của btoán là bậc của vế trái (*) là lớn - thử hạ bậc nó.
Vt = ( x
6
- x
3
+ 1) x
2
- x + 1 là một tam thức bậc hai đối với x có hệ số a = x
6
- x
3
+ 1
Để ý : x
6
- x
3
+ 1= (x
3
-

4
3
4
3
)
2
1
2
≥+
, khi đó
Vt ≥
0
3
2
3
2
x
4
3
1xx
4
3
2
2
>+







−=+−
Bất đẳng thức được chứng minh. Một lời giải đẹp phải không bạn.
Từ lời giải trên ta có phát biểu chặt hơn bđt cần cminh :
"Chứng minh với mọi x ta có : x
8
- x
5
+ x
2
- x +
3
2
.> 0 "
Bài toán 2 :Chứng minh với mọi x ta có :
x
6
+ x
4
- x
3
- x + 3/4 > 0
Vt = ( x
4
+ x
2
+1) x
2
- ( x
2

+ x +1 ) x + 3/4 là một tam thức bậc hai có hệ số
a = x
4
+ x
2
+1 , b = - ( x
2
+ x +1 ) , c = 3/4 .
Ta có a> 0 với mọi x và ∆ = ( x
4
+ x
2
+1)
2
- 3( x
2
+ x +1 ) ≥ 0 với mọi x ( theo bđt Bunhiacốp xki ) ⇒
Vt ≥ 0 với mọi x - Để ý ∆ = 0 ⇔ x =1 , khi đó Vt > 0.
Vậy Vt > 0 với mọi x .Bđt được cminh.
@ Bài toán đề nghị :
"Chứng minh với mọi x ta có :
x
6
- x
5
+ x
4
- x
3
+ x

2
- x + 3/4 > 0 "
Bạn hoàn toàn có thể xác lập được các bài toán mới tương tự như vậy , chúc bạn thành công.