Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động (TT)

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016


Luận án được thực hiện tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Đình Kiên

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện
họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ–18 Hoàng Quốc Việt – Hà Nội.
Vào hồi........giờ.......phút.......ngày......tháng.....năm 2016

Có thể tìm luận án tại:
• Thư viện Quốc Gia Việt Nam
• Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ


MỞ ĐẦU
Tính thời sự của đề tài luận án
Cho tới thời điểm hiện tại các nghiên cứu về dầm có cơ tính biến thiên
FGM chịu tải trọng di động mới chỉ được thực hiện trên dầm có tiết diện
không đổi chịu một tải trọng di động và chuyển động của tải trọng được
giả định là đều. Trong thực tế những giả thiết này không phải khi nào
cũng đúng và việc loại bỏ các giả thiết này là một trong các yêu cầu đặt
ra. Nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm FGM có tiết diện thay đổi,
chịu nhiều lực di động và xem xét ảnh hưởng của yếu tố tăng, giảm tốc
của lực di động tới đáp ứng động lực học của dầm mà Luận án này đặt
ra nhằm mục đích giải quyết phần nào các hạn chế nêu trên. Thêm vào
đó, Luận án nhằm phát triển công thức phần tử hữu hạn dùng trong phân
tích dầm FGM nói chung và dầm FGM chịu tải trọng di động nói riêng.

Định hướng nghiên cứu
1. Xây dựng hoặc lựa chọn các hàm dạng thích hợp cho từng loại phần
tử dầm khác nhau.
2. Trên cơ sở các hàm dạng nhận được sẽ tiến hành thiết lập các biểu
thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút cho
phần tử dầm FGM.
3. Lựa chọn thuật toán phân tích động lực học kết cấu thích hợp và phát
triển chương trình tính toán số.
4. Tiến hành phân tích các bài toán cụ thể và đánh giá các kết quả số
thu nhận được.

1


2

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1. Tải trọng di động nghiên cứu trong luận án là lực tập trung di động
và lực điều hòa di động. Như vậy, ảnh hưởng quán tính của tải trọng
di động không xét tới trong Luận án này.
2. Dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao hoặc cơ tính biến đổi
theo chiều dọc chịu các lực di động. Bề rộng mặt cắt ngang dầm được
giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm.
3. Dầm FGM liên tục có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Mặt cắt ngang
của dầm liên tục được giả định là không thay đổi.

Phương pháp nghiên cứu
Do những phức tạp về mặt toán học sinh ra từ tính không đồng nhất của
tính chất vật liệu dầm FGM và mặt cắt ngang của dầm, phương pháp số,
cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn được lựa chọn trong luận án.

Cấu trúc luận án
• Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài
nước về kết cấu dầm FGM. Các mục tiêu chính của luận án cũng được
đề cập tới trong chương này.
• Chương 2 thiết lập phương trình chuyển động của dầm Timoshenko
trên cơ sở nguyên lý Hamilton. Các phương trình cho dầm EulerBernouli nhận được như là trường hợp riêng của dầm Timoshenko.
• Chương 3 trình bày chi tiết việc xây dựng các hàm dạng cho dầm
Timoshenko. Biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và
vec-tơ lực nút của phần tử dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều
cao và dọc được trình bày chi tiết.

• Các kết quả số nhận được từ các tính toán của Luận án được trình
bày trong Chương 4.


Chương 1

TỔNG QUAN
Dầm có cơ tính biến thiên
Bài toán dầm FGM chịu tác dụng lực di động, nghiên cứu sớm nhất là
nhóm tác giả S¸im¸sek và Kocat¨
urk. Năm 2009, S¸im¸sek và Kocat¨
urk khảo
sát phản ứng động lực học của dầm Bernoulli có cơ tính biến đổi theo quy
luật số mũ và số e dưới tác dụng của lực điều hòa tập trung di động. Năm
2010, S¸im¸sek mở rộng nghiên cứu của mình sang bài toán dầm FGM chịu
khối lượng tập trung di động. Trong các bài báo công bố năm 2009 và
2010, các tính chất cơ-lý của vật liệu dầm được giả định biến thiên theo
chiều dày dầm. Trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, S¸im¸sek và cộng
sự năm 2012 xác định tần số dao động riêng và các đặc trưng động lực học
của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc trục chịu tác dụng của lực điều hòa
di động. Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Đình Kiên và Gan công bố 2014 xây
dựng công thức phần tử hữu hạn để nghiên cứu dầm thon FGM có chuyển
vị lớn, dưới tác động của lực tập trung. Ảnh hưởng của vị trí mặt trung
hòa được Nguyễn Đình Kiên và cộng sự xem xét khi xây dựng phần tử hữu
hạn dùng trong phân tích bài toán phi tuyến.

Mục tiêu của luận án
Mục tiêu thứ nhất
Xây dựng các biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của
dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi.

3


4
Mục tiêu thứ hai
Xây dựng vec-tơ tải trọng nút cho trường hợp dầm chịu một hoặc nhiều
lực di động. Ảnh hưởng của sự tăng tốc và giảm tốc của các tải trọng di
động cũng được xem xét trong Luận án.
Mục tiêu thứ ba
Phát triển chương trình tính toán số để áp dụng phân tích các bài toán cụ
thể.
Mục tiêu thứ tư
Tính toán các đặc trưng động lực học như tần số dao động riêng, độ võng
tại giữa dầm, sự phân bố ứng suất theo chiều dày dầm ... khi dầm chịu
tác dụng của một số loại lực di động khác nhau. Thảo luận và đưa ra các
nhận xét về kết qủa số nhận được.
Luận án có một số điểm mới dưới đây:
• Xây dựng được các công thức phần tử hữu hạn cho phần tử dầm
Timoshenko và phần tử dầm Bernoulli làm từ vật liệu có có tính biến
đổi ngang và cơ tính biến đổi dọc trên cơ sở các hàm nội suy chính
xác. Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa được xét tới trong công thức
phần tử hữu hạn của dầm có cơ tính biến đổi ngang.
• Phát triển thuật toán và chương trình tính toán số để nghiên cứu ứng
xử động lực học của dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu tác
dụng của nhiều lực di động. Thuật toán cũng cho phép nghiên cứu đáp
ứng động lực học của dầm chịu lực di động tăng tốc và giảm tốc.
• Đã khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện
và tham số lực di động tới các đặc trưng động lực học của dầm. Đã
đưa ra đánh giá ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tới đáp ứng động

lực học của dầm FGM.


Chương 2

MÔ HÌNH DẦM FGM
2.1. Tính chất vật liệu FGM
Luận án này sử dụng mô hình Voigt để đánh giá các tính chất hiệu dụng
của dầm FGM.

2.1.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao
Tính chất hiệu dụng P (chẳng hạn mô đun Young, mô đun trượt, mật độ
khối...) được đánh giá theo mô hình của Voigt có dạng
z 1
+
P(z) = Pc Vc + Pm Vm = (Pc − Pm )
h 2

n

+ Pm

(2.1)

Trong đó chỉ số mũ n là tham số vật liệu; z là tham số tọa độ theo chiều
cao của dầm; Pc và Pm tương ứng là tính chất của vật liệu gốm và kim
loại.

2.1.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc
Các tính chất hiệu dụng cho dầm có cơ tính biến đổi dọc đánh giá theo

mô hình Voigt có dạng
P(x) = (Pc − Pm ) 1 −

x
L

n

+ Pm

(2.2)

2.1.3. Mặt trung hòa
Mô đun đàn hồi của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao cho bởi công
thức (2.1) không đối xứng qua mặt giữa của dầm. Mặt trung hòa của dầm,

5


6
0.25

0.2

h0 / h

0.15

0.1
Ec/Em = 3

0.05

Ec/Em = 5
Ec/Em = 10

0
0

2

4

6

8

10

n

Hình 2.1: Ảnh hưởng của tham số vật liệu n đối với vị trí của mặt trung
hòa
vì thế không trùng với mặt giữa của dầm. Khoảng cách từ mặt trung hòa
tới mặt giữa, ký hiệu h0 được xác định theo công thức:
h0 =

h/2
−h/2 E(z)zdz
h/2

−h/2 E(z)dz

=

hn(Ec − Em )
2(n + 2)(Ec + nEm )

(2.6)

Trong (2.6), Ec và Em tương ứng là mô đun Young của gốm và kim loại.

2.2. Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi
chịu lực di động
Hình 2.2 minh họa dầm FGM trong hệ tọa độ đề các 0xyz. Dầm có chiều
dài L, chiều cao h = const, chiều rộng thay đổi theo trục dầm b = b(x),
chịu tác dụng của Nf lực P1 , P2 , ..., PNf di động từ đầu trái sang đầu phải
của dầm. Trên Hình 2.2, s1 , s2 , ..., sNf tương ứng là khoảng cách từ các lực
P1 , P2 , ..., PNf tới nút trái dầm; h0 là khoảng cách từ mặt trung hòa đến
mặt giữa dầm; d là khoảng cách giữa hai lực liên tiếp nhau (được giả thiết
là như nhau trong luận án này). Diện tích A(x) và mômen quán tính bậc


7

Hình 2.2: Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động
hai I(x) của mặt cắt ngang dầm được giả thiết thay đổi dưới hai dạng sau
x 1
−
L 2
x 1

1−α −
L 2

Dạng A : A(x) = A0 1 − α
I(x) = I0
Dạng B : A(x) = A0
I(x) = I0

2

x 1
1−α
−
L 2
x 1
1−α
−
L 2

(2.7)

2

trong đó A0 và I0 tương ứng là diện tích và mô men quán tính của mặt
cắt ngang ở giữa dầm; α là tham số xác định sự thay đổi diện tích mặt cắt
ngang và là tham số tiết diện.


8

2.3. Năng lượng dầm FGM
2.3.1. Năng lượng biến dạng đàn hồi
Năng lượng đàn hồi của dầm Timoshenko làm từ vật liệu FGM có cơ tính
biến đổi theo chiều cao được cho bởi
1
2
1
=
2

U=

(σx

x

+ τxz γxz )dV

V
L
2
A11 (x)u2,x − 2A12 (x)u,x θ,x + A22 (x)θ,x
+ ψA33 (x)(w,x − θ)2 dx
0

(2.11)
Trong (2.11), U là năng lượng biến dạng đàn hồi, V là thể tích của dầm.
Các đại lượng A11 , A12 , A22 , A33 tương ứng là các độ cứng dọc trục, độ
cứng tương hỗ dọc trục-uốn, độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt.
A11 =

E(z)dA;

A(x)
2

E(z)(z − h0 ) dA;

A22 =

E(z)(z − h0 )dA

A12 =

A(x)

A(x)

(2.12)

A33 =

G(z)dA
A(x)

dễ dàng kiểm chứng rằng A12 định nghĩa bởi phương trình (2.12) bằng
không khi xét tới ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa. Thay các mô đun
đàn hồi E(z) và G(z) từ (2.1) vào (2.12) ta nhận được dạng tường minh
cho Aij
1

[(Ec − Em )tn + Em ] hdt = b(x)

A11 = b(x)
0

h
(Ec + nEm )
n+1

h(Ec − Em )
h0
−
(Ec + nEm )
2(n + 1)(n + 2) n + 1
3Ec (n2 + n + 2) + Em (n3 + 3n2 + 8n)
A22 = b(x)h3
12(n + 3)(n + 2)(n + 1)
n(Ec − Em )
h0
+ h0 b(x)h −h
+
(Ec + nEm )
(n + 1)(n + 2) n + 1
1
h
A33 = b(x)
[(Gc − Gm )tn + Gm ] hdt = b(x)
(Gc + nGm )
n+1

0
(2.15, 2.17, 2.18)
A12 = b(x)h

Năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm Timoshenko có cơ tính biến đổi


9
dọc cho bởi công thức
1
U=
2

L

2
E(x)A(x)u2,x + E(x)I(x)θ,x
+ ψG(x)A(x) (w,x − θ)2 dx

0

(2.20)

2.3.2. Động năng
Động năng cho dầm có dạng
1
2
1
=
2

ρ(z)(u˙ 21 + u˙ 22 + u˙ 23 )dV

T =

V

(2.21)

L

I11 (u˙ + w˙ ) − 2I12 u˙ θ˙ + I22 θ
2

2

˙2

dx

0

với ρ(z) là mật độ khối lượng biến đổi theo trục z; I11 , I12 , I22 là các mômen
khối lượng
I11 =

ρ(z)dA
A(x)

ρ(z)(z − h0 )dA

I12 =

(2.22)

A(x)

ρ(z)(z − h0 )2 dA

I22 =
A(x)

Tương tự như độ cứng, ta có thể dễ dàng viết các mô men khối lượng dưới
dạng tường minh.
h
(ρc + nρm )
n+1
(ρc − ρm )
h0
= b(x)h h
−
(ρc + nρm )
2(n + 1)(n + 2) n + 1

I11 = b(x)
I12

I22 = b(x)h

3

3ρc (n2 + n + 2) + ρm (n3 + 3n2 + 8n)
12(n + 3)(n + 2)(n + 1)

+ h0 b(x)h −h

(2.23)

n(ρc − ρm )
h0
+
(ρc + nρm )
(n + 1)(n + 2) n + 1

Với dầm có cơ tính biến đổi dọc, động năng của dầm được viết dưới
dạng
1
T =
2

L

ρ(x)A(x)(u˙ 2 + w˙ 2 ) + ρ(x)I(x)θ˙2 dx
0

(2.24)


10

2.3.3. Thế năng của lực di động
Thế năng của các lực di động Pi (i = 1..Nf ) có dạng
Nf

V=−

Pi w(x, t)δ(xP i − si (t))

(2.26)

i=1

trong đó, δ(.) là hàm delta Dirac; w(x, t) là độ võng của dầm tại vị trí lực
tác dụng, xP i là tham số tọa độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí lực Pi .

2.4. Phương trình chuyển động
2.4.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi theo chiều cao
Phương trình vi phân chuyển động của dầm Timoshenko FGM có cơ tính
biến đổi theo chiều cao chịu Nf lực di động dưới dạng


I11 u¨ − I12 θ¨ − (A11 u,x ),x + (A12 θ,x ),x = 0



I11 w¨ − ψ [A33 (w,x − θ)],x =

Nf
i=1 Pi δ(xP i

− si (t))



I θ¨ − I u¨ + (A u ) − (A θ ) − ψA (w − θ) = 0
22
12
12 ,x ,x
22 ,x ,x
33
,x

(2.35)

và các điều kiện biên về lực và mô men như sau

A11 u,x − A12 θ,x = N , A22 θ,x − A12 ux = M tại x = 0 và x = L
ψA33 (w,x − θ) = Q tại x = 0 và x = L
(2.36)
trong đó N , M và Q là các lực dọc trục, mô-men và lực cắt cho trước tại
các đầu dầm.
Với đầu tựa giản đơn
u(0, t) = 0
w(0, t) = w(L, t) = 0

(2.37)

Việc giữ lại độ cứng A12 nhằm đánh giá ảnh hưởng của vị trí mặt trung
hòa tới đáp ứng động lực học của dầm.

11

2.4.2. Vật liệu có cơ tính biến đổi dọc
Phương trình chuyển động của dầm Timoshenko có cơ tính biến đổi dọc
dưới dạng


ρ(x)A(x)¨
u − [E(x)A(x)u,x ],x = 0




N

f
ρ(x)A(x)w¨ − ψ [G(x)A(x)(w,x − θ)],x = i=1
Pi δ(xP i − si (t))



ρ(x)I(x)θ¨ − [E(x)I(x)θ ] − ψG(x)A(x) (w − θ) = 0

,x ,x

,x

(2.41)
và điều kiện biên cho lực và mô-men có dạng


E(x)A(x)u,x = N , E(x)I(x)θ,x = M tại x = 0 và x = L

(2.42)

ψG(x)A(x) (w − θ) = Q tại x = 0 và x = L
,x

2.5. Giả thiết Euler-Bernoulli
Do góc quay và biến dạng ngang không còn độc lập như trong lý thuyết
dầm Timoshenko, số lượng phương trình trong hệ phương trình vi phân
chuyển động của dầm giảm bớt một.

2.6. Kết luận chương 2
Một số kết luận của chương 2 có thể tóm lược như sau:
1. Với dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao, do tính không đổi xứng
của vật liệu đối với mặt giữa dầm, vị trí trục trung hòa không trùng
với mặt giữa, mặt trung hòa thay đổi theo phân bố vật liệu.
2. Vị trí mặt trung hòa phụ thuộc vào tham số vật liệu và tỉ số của mô
đun đàn hồi hai vật liệu cấu tạo nên dầm
3. Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi được thể hiện rõ qua các hệ số trong
các phương trình chuyển động của dầm, các hệ số này là hàm tọa độ
x, vì thế nghiệm của nó khó có thể giải bằng phương pháp giải tích.


Chương 3

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ
THUẬT TOÁN SỐ
3.1. Chuyển vị nút và hàm dạng

3.1.1. Hàm dạng cho dầm Timoshenko
Luận án sẽ tiến hành xây dựng hàm dạng cho phần tử dầm làm từ vật liệu
FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Trong trường hợp mặt cắt ngang
của dầm không thay đổi, từ phương trình (2.35), phương trình vi phân cân
bằng tĩnh cho phần tử dầm Timoshenko làm từ vật liệu FGM có cơ tính
biến đổi theo chiều cao có dạng
A11 u,xx − A12 θ,xx = 0; ψA33 (w,xx − θ,x ) = 0

(3.4)

A12 u,xx − A22 θ,xx − ψA33 (w,x − θ) = 0

sử dụng lệnh dsolve trong Maple ta dễ dàng thu được nghiệm của phương
trình (3.4) và cho các hàm dạng. Sử dụng các ký hiệu
A12
A22
A212
, β=
, λ=
αa =
A11
A33
A11 A33

(3.6, 3.12)

ta nhận được các hàm dạng cho chuyển vị dọc trục của dầm

x2 x
x2 x



6αa 2 −
3αa 2 −


x
l
l
l
l


; Nu3 =
Nu1 = − + 1; Nu2 =
l
l(1 + φ)
l(1 + φ)
2
2
x
x
x
x


6α
−
3α
−


a
a


x
l2
l
l2
l

Nu4 =
Nu5 = −
; Nu6 =
l
l(1 + φ)
l(1 + φ)
(3.13)

12


13
Trong (3.13), nếu dầm làm từ một vật liệu đồng nhất hoặc khi xét đến
ảnh hưởng của mặt trung hòa thì A12 = 0 do đó αa = 0, vì thế các hàm
dạng Nu2 , Nu3 , Nu5 , Nu6 bằng 0. Tương tự như u(x), ta có thể viết chuyển
vị ngang w(x) dưới dạng

1
x2

x
x3


N
=
N
=
0;
N
=
−
3
−
φ
+1+φ
2

w1
w4
w2

1+φ
l3
l2
l





l
1 x2
1 x
x3


−
(2
+
φ)
+
(1
+
φ)
Nw3 =
1 + φ l3
2 l2
2 l
x3
x2
x
1


2 3 −3 2 −φ
Nw5 = −



1+φ

l
l
l


2
3

l
1
x
1 x
x


Nw6 =
−
(1
−
φ)
−
φ)
1 + φ l3
2 l2
2 l
Cuối cùng góc xoay θ(x) được biểu diễn dưới dạng sau đây

6
x2 x



Nθ1 = Nθ4 = 0; Nθ2 =
−


2

l(1
+
φ)
l
l


x2
x
l
3 − (4 + φ) + 1 + φ
Nθ3 =

1 + φ l2
l


2

x
x
6
x

l
x2


Nθ5 = −
;
N
=
3
−
−
(2
−
φ)
θ6
l(1 + φ) l2
l
1 + φ l2
l

(3.16)

(3.18)

Nhận xét: các hàm dạng cho w(x) và θ(x) cho bởi các phương trình (3.16)
và (3.18) có dạng giống hệt hàm dạng do Kosmatka, ngoại trừ định nghĩa
tham số biến dạng trượt φ. Hàm dạng cho bởi các phương trình (3.13),
(3.16) và (3.18) được sử dụng trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang
không đổi.

3.2. Ma trận độ cứng
3.2.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao
Năng lượng biến dạng đàn hồi cho một phần tử dầm Timoshenko FGM
có cơ tính biến đổi theo chiều cao và có mặt cắt ngang thay đổi theo trục
dầm có dạng
Ue =

1 T
1
d (kaa + kab + kbb + kss )d = dT k d
2
2

(3.21)


14
Trong đó k = kaa + kab + kbb + kss là ma trận độ cứng phần tử, và
l

l

NTu,x A11 (x)Nu,x dx;

kaa =
0
l

0
l

NTθ,x A22 (x)Nθ,x dx; kss =

kbb =

NTu,x A12 (x)Nθ,x dx

kab = −

0

(Nw,x − Nθ )T ψA33 (x)(Nw,x − Nθ )dx
0

(3.23)
tương ứng là các ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng dọc trục,
tương hỗ giữa biến dạng dọc trục và uốn, biến dạng uốn và biến dạng trượt.

3.2.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc
Ma trận độ cứng cho phần tử dầm Timoshenko có cơ tính biến đổi dọc có
dạng

1
1
Ue = dT (kaa + kbb + kss ) d = dT kd
2
2
Trong đó k = kaa + kbb + kss là ma trận độ cứng phần tử và
l

l

NTu,x E(x)A(x)Nu,x dx;

kaa =

(3.24)

NTθ,x E(x)I(x)Nθ,x dx

kbb =

0

0

(3.26)

l

(Nw,x − Nθ )T ψG(x)A(x)(Nw,x − Nθ )dx

kss =
0

3.3. Ma trận khối lượng
3.3.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao
Ma trận khối lượng cho dầm Timoshenko FGM có cơ tính biến đổi theo
chiều cao có dạng
Te =

1
1 ˙T
d (muu + mww + muθ + mθθ )d˙ = d˙ T m d˙
2
2

(3.27)

Trong đó m = muu + mww + muθ + mθθ là ma trận khối lượng nhất quán
của phần tử, và
l

l

NTu I11 (x)Nu dx; mww =

muu =
0

NTw I11 (x)Nw dx
0

NTu I12 (x)Nθ dx; mθθ =

muθ = −
0

(3.29)

l

l

NTθ I22 (x)Nθ dx
0


15
tương ứng là các ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch theo
phương dọc trục, phương ngang, tương hỗ giữa chuyển vị dọc trục và quay
của mặt cắt ngang, sự quay của mặt cắt ngang.

3.3.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc
Động năng cho phần tử dầm Timoshenko với chiều dài l, có cơ tính biến
đổi dọc có dạng
1
1
Te = d˙ T (muu + mww + mθθ )d˙ = d˙ T md˙
2
2

(3.30)

trong đó m = muu + mww + mθθ là ma trận khối lượng nhất quán của phần
tử và
l

l

NTu ρ(x)A(x)Nw dx;

muu =

NTw ρ(x)A(x)Nw dx

mww =
0

0
l

(3.32)

NTθ ρ(x)I(x)Nθ dx

mθθ =
0

3.4. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli
Tương tự như dầm Timoshenko, ta cũng có thể xây dựng các hàm dạng
cho phần tử dầm Euler-Bernoulli FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao.
Hệ phương trình cân bằng của phần tử dầm Euler-Bernoulli nhận được từ
phương trình chuyển động có dạng
A11 u,xx − A12 w,xxx = 0
A12 u,xxx − A22 w,xxxx = 0

(3.33)

Khác với dầm Timoshenko, phương trình (3.33) chứa đạo hàm cấp bốn của

chuyển vị ngang w(x). Sử dụng lệnh ’dsolve’ trong Maple ta nhận được:
Phương trình trên cho ta các hàm dạng của chuyển vị dọc trục như sau

2

Nu1 = 1 − x ; Nu2 = 6αa x x − 1 Nu3 = 3αa x − 3αa x
l
l22
l
l2 2
l
(3.40)
−6α
x
6α
x
3α
x
3α
x
x

a
a
a
a
Nu4 = ; Nu5 =
+ 2 ; Nu6 =
−
l

l3
l
l2
l
Chuyển vị theo phương ngang w cho ta các hàm dạng cho chuyển vị theo
phương ngang chính là các hàm Hermite.
Nhận xét:


16
-

Trong trường hợp tính tới ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa hoặc
vật liệu dầm là thuần nhất thì A12 = 0, do đó αa = 0. Vì thế các hàm
dạng cho chuyển vị dọc trục trong biểu thức (3.40) chỉ còn lại hai hàm
tuyến tính Nu1 và Nu2 .

-

Các hàm dạng cho chuyển vị ngang của dầm chỉ là các hàm Hermite,
không chứa các thông tin về hình học và vật liệu phần tử. Điều này
có thể thấy được từ phương trình cân bằng (3.33): chuyển vị dọc trục
u(x) chỉ là hàm bậc hai của x và vì thế phương trình thứ hai của (3.33)
sẽ có dạng giản đơn w,xxxx = 0.

3.5. Vec-tơ lực nút
Với các hàm nội suy, ta có thể viết thế năng của các lực này dưới dạng
Ve = − P1 Nw |x1 + P2 Nw |x2 + ... + Pne Nw |xne d

(3.51)

trong đó NTw |xi (i = 1..ne ) là giá trị của ma trận các hàm dạng của chuyển
vị ngang đánh giá tại vị trí của lực Pi , tức là ma trận Nw được đánh giá
với x = xi là hoành độ của các lực Pi tính nút trái phần tử.

3.6. Phương trình phần tử hữu hạn
3.7. Thuật toán số
Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi
Một trong những khó khăn trong việc sử dụng phần mềm Maple để tính
các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng là việc xử lý biểu thức giá trị
tuyệt đối trong biểu thức toán học mô tả sự thay đổi mặt cắt ngang loại
A theo công thức
x 1
−
L 2
x 1
1−α −
L 2

A(x) = A0 1 − α
I(x) = I0

(3.70)


17
Maple không hiểu dấu giá trị tuyệt đối và vì thế không thể thực hiện việc
tính các tích phân tính công thức phần tử. Để vượt qua khó khăn này,
Luận án đưa vào tham số ‘sALP’ dùng để chỉ dấu của α, tức là nó được
định nghĩa như sau

sALP =

α nếu 0 ≤ x ≤
−α nếu

L
2

L
2

(3.71)

≤x≤L

Thuật toán cho vec-tơ lực nút
Vec-tơ lực nút F nhận được bằng cách nối ghép vec-tơ lực nút phần tử
fe trong Mục 3.5 gồm các số hạng bằng không ngoại trừ các số hạng liên
quan tới phần tử trên đó có lực di động, tức là
F = 0 0 0... PNf NTw |xNf 0...0 Pi NTw |xi 0...0 P1 NTw |x1 0...0 0 0

T

(3.1)

trong đó x1 , ...xi , ... xNf tương ứng là hoành độ của các lực P1 , ...Pi , ..., PNf
tính từ nút trái của phần tử trên đó có các lực này.

3.8. Kết luận chương 3
1. Xây dựng các hàm dạng cho dầm Timoshenko FGM và dầm Bernoulli

FGM có mặt cắt ngang không đổi
2. Xây dựng được biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng
cho dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao và cơ tính biến đổi dọc.
3. Việc xử lý dầm có mặt cắt ngang thay đổi theo chiều rộng của dầm
FGM có cơ tính biến đổi bằng giải tích rất phức tạp nhưng với phần
mềm Maple đã giúp tác giảm nhẹ bớt sự phức tạp trong phần xử lý
mặt cắt ngang dầm biến đổi.
4. Dưới sự hỗ trợ của phần mềm Maple và Matlab thì việc xử lý vec tơ
lực nút cho một phần tử và cho toàn bộ dầm cũng như việc tính toán
đáp ứng động lực học cho dầm trở lên nhẹ nhàng hơn.


Chương 4

KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN
4.1. Tham số hình học và vật liệu
Các tính toán được thực hiện cho dầm FGM được tạo từ thép không gỉ
SUS304 và ôxit nhôm Al2 O3 . Để nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng
trượt, Luận án tiến hành tính toán cho hai giá trị khác nhau của tỷ lệ giữa
chiều dài và chiều cao dầm L/h = 20 m và L/h = 5 m, b = 0.5 m. Tham
số cho các vật liệu thành phần của FGM như sau
• SUS304 (pha kim loại): Em = 210 GPa, ρ = 7800 kg/m3 , νm = 0.3.
• Al2 O3 (pha gốm): Ec = 390 GPa, ρ = 3960 kg/m3 , νc = 0.3.
Để kết qủa số có tính tổng quát, tương tự như với dầm làm từ vật liệu
thuần nhất, ta đưa vào các tham số không thứ nguyên đặc trưng cho độ
võng lớn nhất tại giữa dầm và tham số tốc độ của lực di động

4.2. Kiểm nghiệm phần tử và chương trình số
Bảng 4.8 so sánh kết quả tính tham số độ võng động lực học lớn nhất
max(fD ) và vận tốc tương ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc và

mặt cắt ngang không thay đổi với kết quả số của S¸im¸sek và cộng sự [99].
Kết quả số liệt kê trong Bảng 4.8 được tính cho dầm FGM làm từ SUS304
và Al2 O3 với chiều rộng b = 0.9 m và chiều cao h = 0.5 m. Kết quả số
nhận được trong Luận án trên cơ sở phần tử dầm Timoshenko, như thấy
từ Bảng 4.8, hoàn toàn phù hợp với kết quả số của S¸im¸sek và cộng sự [99].

18


19
Bảng 4.8: Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương ứng của
dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di động (α = 0, L/h = 20)

v (m/s)

max(fD )
n

Luận án Tài liệu [99] Luận án Tài liệu [99]

0.3

1.0195

1.01947

219

220

1

1.2064

1.20435

178

179

3

1.5146

1.51669

144

144

SUS304

1.7386

1.73247

132

132

4.3. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao
4.3.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu
Hình 4.2 thể hiện mối liên hệ giữa độ võng chuẩn hóa tại giữa dầm và thời
gian chuẩn hóa của dầm A với α = 0.5 chịu tác dụng của ba lực di động
cho hai giá trị của tham số vận tốc fv = 1/8 và fv = 1/4, và các giá trị
khác nhau của chỉ số mũ n.
2.5

2.5

(b) fv=1/4

2

2

1.5

1.5
w(L/2,t)/w0

w(L/2,t)/w0

(a) fv=1/8

1

0.5

0.5

n=0.2
n=0.5
n=2
n=5

0
−0.5
0

1

0.5

1
t/∆T

n=0.2
n=0.5
n=2
n=5

0

1.5

−0.5
0

0.5

1

1.5

t/∆T

Hình 4.2: Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm A
chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4)
Độ võng của dầm FGM, như ta thấy từ Hình 4.2, chịu ảnh hưởng mạnh
bởi chỉ số mũ n và tốc độ của lực di động. Giá trị cực đại của độ võng tăng


20
dần khi chỉ số mũ n tăng, bất kể giá trị của vận tốc lực di động. Sự tăng
dần giá trị cực đại của độ võng dầm khi tăng n có thể được giải thích bởi
sự suy giảm độ cứng của dầm như nói tới ở trên.

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số lực di động
4

4

(a) α=0.5

3.5

3

3

2.5

2.5
fD

fD

3.5

(b) α=1

2

2

1.5

1.5
d=L/8
d=L/4
d=L/2

1
0.5
0

0.5

1
fv

1.5

d=L/8
d=L/4
d=L/2

1

2

0.5
0

0.5

1
fv

1.5

2

Hình 4.6: Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối quan hệ giữa
tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu ba lực di động
(n = 0.5)
Khoảng cách d giữa các lực di động, như ta thấy từ Hình 4.6, đóng
vai trò quan trọng tới giá trị của tham số độ võng fD của dầm FGM chịu
nhiều lực di động. Với mọi giá trị của tham số vận tốc lực di động fv và
tham số mặt cắt ngang α, tham số độ võng fD tăng rõ rệt khi khoảng cách

giữa các lực nhỏ đi. Tham số tiết diện α làm thay đổi giá trị của tham số
độ võng fD nhưng hầu như không làm thay đổi mối quan hệ giữa fD và fv .

4.3.3. Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang
Hình 4.11 minh họa ảnh hưởng của dạng chuyển động và tỷ số L/h tới mối
liên hệ giữa giá trị lớn nhất của tham số tiết diện và tham số vận tốc cho
dầm với cả hai loại mặt cắt ngang.


21
5

max(fD)

4

(a) d=L/5

4.5
4
max(fD)

4.5

5
A, n=5
B, n=5
A, n=1
B, n=1
A, n=0.2

B, n=0.2

3.5

3

2.5

2.5

0.4

0.8
α

1.2

2
0

1.6

(b) d=L/4

3.5

3

2
0

A, n=5
B, n=5
A, n=1
B, n=1
A, n=0.2
B, n=0.2

0.4

0.8
α

1.2

1.6

Hình 4.11: Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất của
tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi ngang chịu ba lực di động
2.2

1.8

(L = 5)

2

max(fD)

max (fD)

2

2.2
A, a = 0
A, a > 0
A, a < 0
B, a = 0
B, a > 0
B, a < 0

1.6

1.4

1.2
0

1.8

A, a = 0
A, a > 0
A, a < 0
B, a = 0
B, a > 0
B, a < 0

(L = 20)

1.6

1.4

0.4

0.8
α

1.2

1.6

1.2
0

0.4

0.8
α

1.2

1.6

Hình 4.15: Ảnh hưởng của dạng chuyển động và độ mảnh tới mối liên hệ
giữa giá trị lớn nhất của tham số tiết diện và tham số vận tốc

4.3.4. Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc
Ảnh hưởng của tham số tiết diện ngang α tới giá trị lớn nhất của tham số
độ võng max(fD ) của dầm loại A và dầm loại B, như thấy từ Hình 4.15, là

giống nhau. Giá trị max(fD ) tăng khi tham số tiết diện α tăng. Tuy nhiên,
so với dầm loại A thì dầm loại B ít nhạy cảm với sự thay đổi của tham
số tiết diện ngang. Tỷ số L/h của dầm ảnh hưởng tới giá trị của max(fD )
nhưng không làm thay đổi dáng điệu đường cong biểu thị sự phụ thuộc
của max(fD ) vào α.


22

4.4. Dầm có cơ tính biến đổi dọc
Ảnh hưởng của tham số vật liệu
2.2

2.2

n=1
n=3
n=0(thép)

(L/h=5)

2

1.8

1.8

1.6

1.6

fD

fD

2

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6
0

0.5

fv

1

n=1
n=3
n=0(thép)

(L/h=20)

1.5

0.6
0

0.5

fv

1

1.5

Hình 4.13: Mối quan hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của
dầm loại A có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di động (α = 0.5)
Đường cong biểu thị mối quan hệ giữa tham số độ võng fD với tham
số vận tốc fv của dầm có cơ tính biến đổi dọc trên Hình 4.13 có dáng điệu
tương tự như đường cong của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Với
hầu hết các giá trị của tham số vận tốc, tham số độ võng fD cao hơn khi
dầm có tham số vật liệu n lớn hơn. Tương tự như dầm có cơ tính biến đổi
dọc, điều này được giải thích bởi tỷ lệ của thép trong dầm cao hơn khi chỉ
số mũ n lớn hơn. Kết luận này đúng với cả hai trường hợp của dầm có tỷ
số L/h = 5 và L/h = 20.

4.5. Dầm liên tục
Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc
Từ Hình 4.29, ta có thể rút ra các nhận xét sau đây: Đường cong biểu thị
mối quan hệ giữa fD và fv của dầm chịu lực di động giảm tốc không khác
xa nhiều so với đường cong của dầm chịu chuyển động đều. Trên quan
điểm thực tế, so với chuyển động đều và chuyển động giảm tốc thì chuyển
động tăng tốc ít nguy hiểm hơn cả.


23
1

1
a=0
a>0
a<0

0.8

0.6

fD

fD

0.8

a=0
a>0

a<0

0.4

0.6

0.4
(nhip 1)

0.2

0

1

2

3

(nhip 2)
0.2

3.5

0

1

fv
1

fD

D

3.5

a=0
a>0
a<0

0.8

0.6

0.4

0.6

0.4
(nhip 4)

(nhip 3)
0.2

3

1
a=0
a>0

a<0

0.8

f

2
fv

0

1

2

3

3.5

0.2

0

1

2

3

3.5

fv

fv

Hình 4.29: Ảnh hưởng của tăng, giảm tốc tới mối quan hệ giữa tham số
vận tốc và tham số độ võng của dầm liên tục

4.6. Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa
- Trường hợp h0 = 0: không tính tới ảnh hưởng của mặt trung hòa
- Trường hợp h0 = 0: có tính tới ảnh hưởng của mặt trung hòa
Trong đó sai số được định nghĩa như sau:
Sai số =

fD (h0 = 0) − fD (h0 = 0)
× 104 %
fD (h0 = 0)

(4.11)

4.7. Kết luận chương 4
Các kết quả số nhận được trong Chương 4 cho phép ta hiểu rõ hơn về ứng
xử động lực học của dầm FGM chịu các lực di động. Về mặt thực tế, kết
quả số trong chương giúp cho việc lực chọn vật liệu cũng như thiết kế các
kết cấu làm từ FGM chịu lực di động.