Đề cương ôn tập toán lớp 11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11
ĐỀ 1
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a. lim

Bài 2. Tìm

a

2n3 + n 2 + 4
2 − 3n3

b. lim
x →1

để hàm số sau liên tục tại điểm

x=0

2 x − 1 − 3 3x − 2
x −1

:

khi x ≤ 0
 x + 2a
 2
f ( x ) =  x −1+ x + 1
khi x > 0

x


Bài 3.
f ( x ) = ( x2 + 2x ) x −1

f '( x) ≥ 0

a. Cho hàm số

. Giải bất phương trình
.
( C)
( C)
y = x − 2x − 4
b. Cho hàm số
có đồ thị
. Tìm tọa độ những điểm trên đồ thị
sao cho
tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm đó song song với trục hoành.
( m2 + m + 1) x 4 + 2 x − 2 = 0
m
c. Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm với mọi .
4

2

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều
a. Chứng minh

S . ABCD

M, N
. Gọi

AC ⊥ SD

MN ⊥ ( SBD )

b. Chứng minh
c. Cho

SA
lần lượt là trung điểm của

AB = SA = a

( SBD )

. Tính cosin của góc giữa
BC
SD
d. Tính khoảng cách giữa
và
.
ĐỀ 2
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

( ABCD )
và

và

SC

.


(x
a . lim

2

+ 2016 ) x + 1 − 2016

b. lim

x + 2x
3

x →0

x →+∞

(

x2 + 2 x −1 − x

)

Bài 2.

 x2 − 3 x −1 −1
khi x ≠ 1

f ( x) = 
x −1
 −2
khi x = 1


x0 = 1

a. Cho hàm số
. Xét tính liên tục của hàm số tại
a , b, c
2a + 3b + 8c = 0
b. Cho 3 số
thỏa mãn hệ thức
. Chứng minh rằng phương trình
ax 2 + bx + c = 0

( 0;1)
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

y = f ( x ) = 4 x2 − x4
Bài 3. Cho hàm số

.

( C)
có đồ thị

.

f '( x) < 0
a. Giải bất phương trình

( C)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Bài 4. Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABC

( C)
tại điểm của

với trục tung

là tam giác vuông tại

B SA
,
vuông góc với đáy,

SA = a 2, AB = a, BC = 2a
.

a. Chứng minh rằng tam giác
b. Gọi

H

SBC

là chân đường cao vẽ từ

vuông
B

của tam giác
( SBC )
A
c. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

ABC

d. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua
tích thiết diện đó
ĐỀ 3
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

( SAC ) ⊥ ( SBH )
. Chứng minh

A

và vuông góc với

SC

. Tính diện


a. lim

2n3 − 2n + 3
1 − 4n 3

b. lim ( x − 1)
x →+∞ 


(

)

x2 + 2 x − 3 − x −1 


Bài 2.
 x+6 −2
khi x ≠ −2

f ( x) =  x + 2
m
khi x = −2 m


m
a. Cho hàm số
( là tham số). Tìm
để hàm só trên liên
x = −2
tục tại
.
m
tan x −
=1
m
m
sin x
b. Chứng minh rằng phương trình
( là tham số) có nghiệm với mọi .
Bài 3.
f ( x ) = 2sin x + cos x − tan x
a. Cho hàm số

f ' ( x ) + tan 2 x + 1 = 0

. Giải phương trình
.
C
( )
( C)
b. Cho hàm số
có đồ thị
. Viết phương trình tiếp tuyến của

biết
d : y = 22 x + 2016
tiếp tuyến song song với đường thẳng
.
f ( x ) = 2 x3 − 2 x + 3

Bài 4. Cho hình chóp

S . ABCD

, đáy

ABCD

·
a BAD
= 600 SA = SB = SD = a
là hình thoi cạnh ,
,
.

( SAC ) ⊥ ( ABCD )
a. Chứng minh rằng
b. Chứng minh tam giác
c. Tính khoảng cách từ

SAC

S

vuông
( ABCD )

đến

d. Tính góc giữa hai mặt phẳng

( SCD )

( ABCD )
và
ĐỀ 4

Bài 1.


( Un )

u1 + u5 − u3 = 10

u1 + u6 = 17

a. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
, biết
b. Tìm các giới hạn sau:
x 2 − x − 1 + 3x
x3 + 1 − 1
1. lim
2. lim
x →−∞

x →0
2x + 7
x2 + x
Bài 2.
 x3 − 1
khi x ≠ 1

f ( x ) =  x −1
 2m + 1 khi x = 1


m
R
. Xác định
để hàm số liên tục trên .
( 1 − m 2 ) x5 − 3 x − 1 = 0
m
b. Chứng minh rằng phương trình:
luôn có nghiệm với mọi .

a. Cho hàm số

Bài 3.
a. Tìm đạo hàm của các hàm số:
2 − 2x + x2
1. y =
x2 −1

2. y = 1 + 2 tan x

( C)

y = x4 − x2 + 3

( C)

b. Cho hàm số

có đồ thị
. Viết phương trình tiếp tuyến của
d : x + 2y − 3 = 0
tuyến vuông góc với đường thẳng

Bài 4. Cho tứ diện
BC
trung điểm
.

OABC

OA =

OA, OB, OC
có

đôi một vuông góc và

( OAI ) ⊥ ( ABC )
a. Chứng minh rằng
b. Tính góc giữa

AB

( OAI )

và mặt phẳng
( ABC ) ( OAB )
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và

biết tiếp

a 2
OB = OC = a I
2
,
, là


d. Xác định thiết diện của tứ diện bởi mặt phẳng chứa

OB

và vuông góc với mặt phẳng

( ABC )
. Tính diện tích của thiết diện đó
ĐỀ 5
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a. lim

x →1


b. lim− ( x 2 − 9 )
x →3


x − 2x − 1
x 2 − 12 x + 11

x−4

x−3 

Bài 2.

( Un )
a. Tìm số hạng đầu và công bội của mội cấp số nhân

, biết

u1 − u3 + u5 = 65

u1 + u7 = 325

.

 x − 5x + 6
khi x > 3


f ( x)  x − 3
2 x + 1
khi x ≤ 3

2

b. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
Bài 3.
a. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = x x 2 + 1
x −1
x +1

( C)

S . ABCD

ABCD

y=
b. Cho hàm số

2. y =

3

( 2 x + 5)

2

( C)

có đồ thị
. Viết phương trình tiếp tuyến với
d : x − 2y − 2 = 0
song song với đường thẳng
.

Bài 4. Cho hình chóp

, đáy

( SAC ) ⊥ ( SBD )
a. Chứng minh rằng
b. Tính góc giữa

SC

( SAB )
và

biết tiếp tuyến

a SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 2
là hình vuông cạnh ,
,
.


( SAB )

( SCD )

c. Tính góc giữa 2 mặt phẳng
và
SC
AD
d. Tính khoảng cách giữa
và
ĐỀ 6
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
a. lim

Bài 2. Tìm

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)

m

( 2n + 1)

b. lim

2

x3 + x 2 sin 2 x + x cos 3 x − 1

( x + 1)

x →−∞

2

để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng:
2 x 3 + 2mx 2 − 7 ( m − 1) x − 54 = 0

Bài 3. Cho hàm số

 3x 2 + 1 − 2

khi x ≠ 1
f ( x) = 
x −1
m
khi x = 1

y = f ( x ) = x3 − 2 x 2 + 1

Bài 4. Cho hàm số

. Tìm

m

để hàm số trên liên tục tại

x =1

.

( C)
có đồ thị

.

( C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
tại điểm có tung độ bằng 1.
( C)
Ox, Oy
M
M
b. Tìm tọa độ điểm
trên đồ thị
biết tiếp tuyến tại
của đồ thị cắt trục tọa độ
OAB
A
B
tại và
sao cho tam giác
cân.

Bài 5. Cho hình chóp

a. Gọi
b. Gọi

H

S . ABC

có

ABC

là trung điểm của

(α)

là mặt phẳng qua

AC
C

và

SAC

a

là 2 tam giác đều cạnh

SB =
,

a 6
2

.

SH ⊥ ( ABC )
. Chứng minh rằng
và vuông góc với

SA

.
. Chứng minh rằng

BH / / ( α )


(α)
c. Xác định thiết diện tạo bởi

và hình chóp

S . ABC

ĐỀ 7
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

(

a. lim n − 2 − 3n 2 + n − 1

)

3

b. lim

x →−∞

x3 − 2 x + 1 − 1
x2 + 2x

Bài 2.

a. Cho hàm số


 π π
sin x khi x ∈  − 2 ; 2 



f ( x) = 
 ax + b khi x ∉  − π ; π 
 2 2 


a, b

. Xác định
3
2
x + mx + ( m − 3) x − 1 = 0

b. Chứng minh rằng phương trình
biệt với mọi m.
f ( x ) = x2 − 2x
Bài 3. Cho hàm số

để hàm số liên tục trên

R

.

(m là tham số) có 3 nghiệm phân

( C)
có đồ thị

.

f '( x)
a. Tính

( C)

x=3
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng
.
( C)
M
M

c. Tìm tọa độ của điểm
trên
, biết tiếp với đồ thị tại
tạo với trục hoành một góc

bằng

600

.
S . ABCD

ABCD

Bài 4. Cho hình chóp
có
là nửa lục giác đều cạnh
SAB
bên
là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a. Chứng minh rằng

BD ⊥ SC

a ( AB / / CD, AB > CD )

. Mặt


SD

b. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
( SAD ) ( ABCD )
c. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng
và

và

AB

ĐỀ 8
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
a. lim

1 + 2 + 2 2 + ... + 2n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

3

b. lim

x →−1

x + 2 −1
x2 + x

Bài 2.
a. Tìm

a

để hàm số sau liên tục tại

x=2

:

1 − 3 x − 1
khi x ≠ 2

f ( x) =  x − 2
4 − a
khi x = 2

a, b, c

x, y , z

b. Chứng minh rằng nếu 3 số

lập thành 1 cấp số cộng thì 3 số

cũng lập thành 1

x = a − bc, y = b − ac, z = c − ab
2

2

2

cấp số cộng với

.

Bài 3.
y = 1010cos x + 1011sin x

y "+ y = 0

a. Cho hàm số

. Chứng minh
.
3
2
y = x − 3x + 2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến đi qua điểm
M ( −1; −2 )
.
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng
mặt bên

AA ' B ' B

ABC. A ' B ' C '

là hình vuông. Từ

C

có đáy

ABC

C , CA = a, CB = b
là tam giác vuông tại

,

CH ⊥ AB ', HK / / A ' B ( H ∈ AB ', K ∈ AA ' )
kẻ

.


BC ⊥ CK , AB ' ⊥ ( CHK )
a. Chứng minh rằng:

( AA ' B ' B )

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng
c. Tính khoảng cách từ

A

( CHK )
và
( CHK )

đến mặt phẳng
ĐỀ 9

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a. lim
x →3

x + 1 − 3x − 5
2x + 3 − x + 6

b. lim
x→0

1 + 2 x − 3 1 + 3x
x2

Bài 2.
 πx
khi x ≤ 1
cos
f ( x) = 
2
 x − 1 khi x > 1


a. Xét tính liên tục của hàm số sau:
.
x5 − 5 x 3 + 4 x − 1 = 0
b. Chứng minh rằng phương trình

có đúng 5 nghiệm.
Bài 3.
g ( x ) = x 3 + bx 2 − cx + d
a. Cho hàm số

có đồ thị là

độ

1
3

b, c , d
. Xác định các hệ số

M ( −1; −3) , N ( 1; −1)

( C)
đồ thị

( C)

đi qua điểm

b. Tính đạo hàm cấp

n

y=
của hàm số

( C)
và tiếp tuyến của đồ thị

song song với trục hoành

2x + 3
x + 3x + 2
2

sao cho
tại điểm có hoành


Bài 4. Cho hình chóp

( ABC )
SA = 2a SA
ABC
có
,
vuông góc với mặt phẳng
. Tam giác

S . ABC

·
AC , H
AB = 2a BAC
= 300

M
vuông tại với
,
. Gọi
là một điểm di động trên cạnh
là hình
S
BM
chiếu vuông góc của trên
.
C

AH ⊥ BM
a. Chứng minh rằng
0≤ x≤ 3
h
a
x
AM = x
S
BM
b. Đặt
, với
. Tính khoảng cách từ đến
theo và .
x
h
c. Tìm các giá trị của để khoảng cách có GTNN và GTLN
n

lim
x →0

Bài 5. Chứng minh rằng:

1 + ax − 1 a
=
x
n
ĐỀ 10

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
4

a. lim
x →1

2x −1 + 5 x − 2
x −1

f ( x ) = sin x −
Bài 2. Cho hàm số

b. lim

x →+∞

f '( x ) = 0

b. Giải phương trình

y=
Bài 3. Cho hàm số

x +1
x −1

x + x+2 − x

sin 3 x cos 3 x
cos 2 x
+
− cos x + x −
3
3
2

f '( 0)
a. Tính

1
2

( C)
có đồ thị


( d)

( C)

a. Viết phương trình tiếp tuyến
Ox

tại

I

Oy
và cắt

tại

J

có đường cong

tại điểm

( d)
. Giả sử

cắt

SOIJ
. Tính

( C)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của
2 x + y − 2012 = 0

Bài 4. Cho hình lập phương

M ( 0; −1)

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

ABCD. A ' B ' C ' D '

có cạnh bằng

a

AA ' ⊥ B ' D ' B ' D ⊥ ( BA ' C ' )
a. Chứng minh rằng
,
( BA ' C ') ( ACD ')
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
AM = DN = x 0 < x < a 2
x
MN
M ∈ AD ' N ∈ BD
c. Lấy điểm
,
sao cho
. Tìm để
có độ
dài ngắn nhất

(

{ xn }
Bài 5. Cho dãy số

xác định như sau

)

 x1 = 2012, x2 = 2013

 xn ( xn−1 + xn+1 ) = 2 xn−1 xn+1 ( x ≥ 2 )

lim xn
. Tìm

.