DÃY TỶ số TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

NGUYỄN THÀNH HIỂN

ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015)
(PHẦN 1)

Một tính chất cực kỳ đơn giản trong toán học, nếu biết cách khai thác sẽ tạo ra vô số bài toán Hệ phương
trình hay và độc đáo. Xin gửi tặng các thành viên group Nhóm Toán bài viết nhỏ về "Dãy tỷ số bằng nhau",
cũng như hướng giải các câu hệ mà mình đăng trong khoảng thời gian vừa qua. !

A. Tính chất dãy tỷ số. Nếu tồn tại
1.
2.

h(x, y)
f (x, y)
=
, thì
g(x, y)
k(x, y)

h(x, y)
a.f (x, y)
b.h(x, y)
a.f (x, y) + b.h(x, y)
f (x, y)
=
=
=
=
, với mọi a, b = 0.

g(x, y)
k(x, y)
a.g(x, y)
b.k(x, y)
a.g(x, y) + b.k(x, y)
f (x, y)
g(x, y)

n

=

h(x, y)
k(x, y)

n

=

b.(h(x, y))n
a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n
a.(f (x, y))n
=
=
, với mọi a, b = 0.
a.(g(x, y))n
b.(k(x, y))n
a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n

B. Sáng tạo hệ phương trình.

• Bước 1 : Chọn dãy tỷ số sao cho có thể tìm nghiệm x và y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !)
T =

h(x, y)
f (x, y)
=
g(x, y)
k(x, y)

Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y).
• Bước 2 : Sử dụng dãy tỷ số [1] hoặc [2] để tạo ra phương trình (2)
1. Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y)).
2. Mức độ khó : a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = T n .(a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ).
Ví dụ. Xét dãy tỷ số

√
3
x
x−1
√
=
= 2.
y+1
x+1
√
√ 3 1+2 2−2
Ta nhận được nghiệm (x; y) = 2 + 2 2;
2
√
√

• Phương trình (1) : xy + x = x + 1 3 x − 1.
√
• Mức độ dễ : chọn a = x + 1 + y 2 ; b = −1, ta được hệ phương trình như sau
√
√
xy + x = √ x + 1 3 x − 1 (1)
√
(x, y ∈ R )
(x − 2y 2 ) x + 1 + xy 2 + 2y = 2x + 3 x − 1 (2)
• Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2 , ta được hệ phương trình sau
√
√
xy + x = x + 1 3 x − 1 (1)√
(x, y ∈ R )
x2 [1 + (2y + 2)3 ] = 8(x + 1) x + 1 (2)


C. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
 √
 x y + 2 − y x2 − y = x2 − y (1)
√
x2 + 2 √
 y y + 2 + x x2 − y = √ − y + 2 (2)
3

(x, y ∈ R )

Hướng dẫn :
√

√
x2 − y
y+2
• Dễ thấy x = 0 và y = 1, (1) ⇔
=
. Chọn a = y + 2; b = x2 − y, ta có
y+1
x
√
x2 − y
y+2
x2 + 2
=
=
√
y+1
x
(y + 1) y + 2 + x x2 − y
• Từ (2) ⇔

• Vậy

√

x2 + 2

=

(y + 1) y + 2 + x x2 − y


√

√
 y=
y+2= √
3(y + 1)
⇔

x2 − y = 3x
 x=

√

3

1 √
( 13 − 5)
6
√
1 1
5 − 13
2 3

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
√
x3 + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (1)
2x3 + 2y 2x + y = 2y 2 + xy + 3x + 1 (2)

(x, y ∈ R )

Hướng dẫn :
(2x + 1)
(x + 2y)
=
, chọn a = y; b = x + 1, ta có
• (1) ⇔ √
x2
y + 2x
2x2 + 2y 2 + xy + 3x + 1
y(x + 2y)
(2x + 1)(x + 1)
√
√
=
=
.
x2 (x + 1)
y y + 2x
y 2x + y + x3 + 2
• Từ (2) ⇔

2x2 + 2y 2 + xy + 3x + 1
√
= 2.
y 2x + y + x3 + 2

(2x + 1)
(x + 2y)
• Vậy √
=

= 2, suy ra (x, y) =
x2
y + 2x

√
1
(1 − 3); ? ;
2

√
1
(1 + 3); ?
2

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
√
√
(x + 3) x + y + 5√− (y + 1) x + 11 = xy − 3 (1)
√
3y x + y + 5 + x x + 11 = x2 + 6y 2 + 6x + 3y (2)

(x, y ∈ R )

Hướng dẫn :
√
√
x+y+5+1
x + 11 + x
• (1) ⇔
=

, chọn a = 3y; b = x, ta có
y+1
x+3
√
√
√
√
3y x + y + 5 + 3y + x x + 11 + x2
x+y+5+1
x + 11 + x
=
=
.
y+1
x+3
3y 2 + x2 + 3x + 3y


√
√
3y x + y + 5 + 3y + x x + 11 + x2
• Từ (2) ⇔
= 2.
3y 2 + x2 + 3x + 3y
√
√
x+y+5+1
x + 11 + x
• Vậy
=

= 2, suy ra (x, y) =
y+1
x+3

1 √
( 21 − 11); ? .
2

Ví dụ 4.Giải hệ phương trình
8x6 + 12x4 + 30x2 + 71x + y + 57 = 0 (1)
√
2x3 + 4x2 + 1 = (x + 1)( 3 x − y − 1) (2)

(x, y ∈ R )

Hướng dẫn :
√
3
√
2x2 + 1
x−y
3
• (2) ⇔ (2x + 1)(x + 2) = (x + 1) x − y ⇔
=
, chọn n = 3; a = 1; b = −1, ta có
x+1
x+2
√
3
3

3
2x2 + 1
(2x2 + 1)3 − x + y
x−y
=
=
.
x+1
x+2
(x + 1)3 − (x + 2)3
2

(2x2 + 1)3 − x + y
= 8.
(x + 1)3 − (x + 2)3
√
3
2x2 + 1
x−y
=
= 2.
• Vậy
x+1
x+2
• Từ (1) ⇔

B. Bài tập.
Câu 1. Giải hệ phương trình
√
√

√
2
x( x + 1 − 3 y − x −
1)
=
3(x
+
y
x + 1) (1)
√
9x2 − 6xy + 9y 2 = 2x y − x − 1 + y (2)

(x, y ∈ R )

Câu 2. Giải hệ phương trình
√
√
x( x + 1 + y√+ 1) = (x + 1)(y + 1) (1)
√
x(3 y + 1 − 2 x + 1) = 2x2 + y − x (2)

(x, y ∈ R )

Câu 3.
√
√
√
√
x3√
( x + 2y − x + 1) + y(x − 6) = 6 xy + y −

√
8( x + 1 + 1) = x2 ( x + 2y − x) (2)

xy + 2y 2 + 8x (1)

Câu 4. Giải hệ phương trình
√
2y(√ x − 1 + x) = x2 √(1)
4x x − 1 + (2x − 5y) x + 1 = x2 (2)

(x, y ∈ R )

Câu 5. Giải hệ phương trình
√
2y( √
x − 1 + x) = x2 (1)
2x(2 x − 1 + y) = x2 + 5y 2 (2)

(x, y ∈ R )

(x, y ∈ R )


Câu 6. Giải hệ phương trình
√
√
xy
√+ x x + 1 = 3y √x + 2 (1)
√
√

6 x2 + 5x + 6 + 2y x + 1 + 2x + 1 = x 5x + 15 + y 5x + 5 (2)

(x, y ∈ R )

Câu 7. Giải hệ phương trình
√
√
xy + x x + 1√= 3y x +√2 (1)
√
8x + 14 + 2y x + 1 = x 5x + 10 + y 5x + 5 (2)

(x, y ∈ R )

* Phần 2 sẽ hướng dẫn các bạn một số kỹ thuật nhận dạng và xử lý dấu hiệu "dãy tỷ số" trong bài hệ phương
trình.
* Năm mới vui vẻ và hạnh phúc nhé !