Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

A.MỞ ĐẦU
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thực tế cho ta thấy môn toán là nền tảng và công cụ thực tế cho các môn
khoa học tự nhiên. Nó chiếm một vai trò quan trọng trong học tập ở bậc phổ
thông.
Toán học như một kho tài nguyên vô cùng phong phú, giỏi Toán là niềm
mơ ước của nhiều người và biết bao thế hệ học sinh. Việc giúp học sinh hiểu
,yêu môn toán của người giáo viên có vai trò rất quan trọng,chúng ta phải đầu
tư suy nghĩ, phân dạng toán,đề ra những phương pháp giải phù hợp cho từng
loại toán và từng đối tượng học sinh .
Là học sinh khi tiếp cận với môn toán thì tất yếu phải hình thành một kỹ
năng giải toán đối với một kiến thức nhất định. Có được kỹ năng giải toán nghĩa
là đã khẳng định được mình vận dụng lý thuyết vào bài tập một cách có tư duy,
sáng tạo. Đối với chương trình toán 6 được viết trong SGK thì lượng kiến thức
không nhiều nhưng bài tập áp dụng đối với mỗi kiến thức thì khá phong phú và
đa dạng trong đó có dạng toán chia hết. Thực tế cho thấy,dạng toán chia hết
được bắt gặp xuyên suốt chương trình toán THCS. Chính vì thế là một giáo viên
chúng ta cần rèn cho các em kỹ năng giải dạng toán này khi kiến thức còn là nền
tảng đó là dạng toán chia hết trong chương trình toán 6. Trong quá trình giảng
dạy tôi nhận thấy học sinh mình còn rất yếu dạng toán này nếu biết giải thì sự
lập luận chưa chặt chẽ. Nếu ở lớp 6 các em không làm quen với lập luận chặt
chẽ thì lên lớp trên các em cảm thấy kiến thức chỉ là áp đặt,từ đó không tạo ra
sự tò mò, hứng thú đối với môn học. Vì vậy chúng ta cần có giải pháp lâu dài
rèn các em biết giải toán từ những phép biến đổi cơ bản. Có như thế toán học
mới thực sự lôi cuốn các em vào dòng say mê chiếm lĩnh tri thức, hơn nữa toán
lại là môn chủ đạo. Chính vì lẻ đó tôi đã nghiên cứu đề tài “Rèn kỹ năng giải
toán chia hết cho học sinh lớp 6”
II/MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
1/18

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Học sinh hiểu, làm được và có kỹ năng giải một số dạng toán chia hết như: tìm
chữ số thích hợp để được số chia hết, tìm điều kiện để một biểu thức,một số chia
hết cho một biểu thức, chứng minh chia hết.
III/ ĐỐI TƯỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU
+ Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán chia hết
+ Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán chia hết trong chương trình toán 6
+ Thời gian: Từ tháng 10 năm 2014 đến tháng 4 năm 2015
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Đọc tài liệu SGK, sách tham khảo, tài liệu mạng
- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giáo dục ở những lớp học trước để rút
kinh nghiệm cho lớp học sinh sau.
B.NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ THỰC TIỂN
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải
toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào
để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao
kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các
phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từng
chương. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học
sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này.
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không
chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy
luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ
dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi
được lồng vào các tiết luyện tập. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các
em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này,

điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều.

2/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ năng giải toán chia hết ở lớp 6 để làm hành trang
kiến thức vững chắc cho các em gặp lại dạng toán này ở các lớp trên.
II/ NỘI DUNG
Hệ thống hóa lý thuyết chia hết và bài tập vận dụng tương ứng, từ dạng cơ
bản nhất đến tương đối và khó hơn. Trong quá trình giải nhiều dạng bài tập là
đã hình thành khắc sâu cho các em kỹ năng giải các dạng toán chia hết.Giáo
viên nêu ra các dấu hiệu chia hết hay là các phương pháp chứng minh chia hết
trong SGK ngoài ra bổ sung thêm một số phương pháp cần thiết nhất để vận
dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau.
1. LÝ THUẾT:
a) Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, môt tích
-Nếu a Mm và bMm thì a + b Mm , a – b Mm , a.bMm
- Nếu a Mm thì a n Mm(n ∈ N )
- Nếu a Mm và bMn thì a.bMm.n đặc biệt a Mb thì a n Mb n
b) SKG toán 6 giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 ở đây giáo viên
cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 11,25 và 125.
Mục đích đưa thêm các dấu hiệu là để khi vận dụng vào bài tập học sinh không
bị lúng túng ngay cả khi lên các lớp trên (7, 8, 9)
Chia hết cho
2
3
4(hoặc 25)

Dấu hiệu
Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3
Số chia hết cho 4(hoặc 25) khi hai chữ số tận cùng lập thành

5
6
8(hoặc 125)

một số chia hết cho 4(hoặc 25)
Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3
Số chia hết cho 8(hoặc 125) khi ba chữ số tận cùng lập thành

9
10
11

một số chia hết cho 8(hoặc 125)
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
Số có chữ số tận cùng là 0
Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng
ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ phải
3/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

sang trái) chia hết cho 11
c) Nguyên tắc Đirichlê:

Ngay từ khi lớp 6 giáo viên cũng có thể giới thiệu sơ lược về nguyên tắc
Đirichlê có nội dung được phát biểu dưới dạng một bài toán:
“Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng (n> m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn
hai con thỏ”.
d) Phương pháp chứng minh phản chứng:
Muốn chứng minh khẳng định P đúng có 3 bước:
- Giả sử P sai
- Nhờ tính chất đã biết từ giả sử sai suy ra điều vô lí
- Vậy điều giả sử là sai , chứng tỏ P đúng.
e) Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n
Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n
khi đó a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b
Nếu (m,n) khác 1 thì ta biểu diễn a = a 1.a2 rồi chứng minh a1 chia hết cho
m, a2 chia hết cho n hoặc ngược lại. khi đó a 1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết
cho b
2.CÁC DẠNG TOÁN:
Để giúp học sinh dễ tiếp cận và hình thành kĩ năng giải toán loại này tôi sẽ
đưa ra các dạng toán từ cơ bản nhất đến mở rộng hơn như sau
a) Dạng 1: Dạng toán điền vào * để được số chia hết cho một số.
Bài toán 1: Điền vào * để số 17 *
a) chia hết cho 2
b) chia hết cho 5
c) chia hết cho cả 2 và 5

4/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Đây là dạng toán hết sức cơ bản. khi gặp dạng toán này thì đương nhiên giáo

viên phải cho học sinh tái hiện lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 và số như thế
nào chia hết cho cả 2 và 5.
a) 17 *M2  * ∈ {0; 2; 4;6;8}
b) 17 *M5 ⇒ * ∈ { 0;5}
c) 17 *M2 và 5 ⇔ * ∈ { 0}
Bài toán 2: Điền vào * để
a) 3*5M3
b) 6*3M9
Tương tự như bài toán 1 học sinh có thể vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết
cho 3 và cho 9 để làm
a) 3*5M3 ⇔ 8 + *M3
⇔ * ∈ { 1; 4;7}

b) 6*3M9 ⇔ 6 + * + 3M9
⇔ 9 + *M9
⇔ * ∈ { 0;9}

b) Dạng 2: Tìm các chữ số chưa biết của một số:
Bài toán 3: Tìm chữ số a, b sao cho a72b chia hết cho đồng thời 2,3,5,9
Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ
số tận cùng
Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên
quan đến chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số
chia hết cho 9 thì đương nhiên chia hết cho 3.
a 72b M2,5 ⇔ b = 0
a 720M3,9 ⇔ a + 7 + 2 + 0 M9

5/18

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6
⇔ 9 + a M9
⇔ a M9
⇔ a ∈ { 0;9}
⇔a=9

(Vì a là chữ số hàng nghìn nên số 0 không có nghĩa)
Vậy a= 9; b= 0 thì a72b chia hết cho đồng thời 2,3,5,9
Bài toán 4: Tìm chữ số a, b sao cho 87abM9 và a – b = 4
Lập luận

87 ab M9 ⇔ 8 + 7 + a + b M9
⇔ 15 + a + b
⇔ a + b ∈ { 3;12}

Mà điều kiện a – b = 4 nên ta loại a + b = 3. Từ a –b = 4 và a + b = 12
ta tìm được a = 8; b = 4
Bài toán 5: cho số 76a 23
a) Tìm a để 76a 23M9
b) Trong các số vừa tìm được của a có giá trị nào làm cho số 76a 23M11
không ?
Hướng dẫn
a) Tính tổng các chữ số của 76a 23 ta được a+18
76a 23 chia hết cho 9 khi a + 18M9 do đó a ∈ { 0;9}

b) với a = 0 thì số 76023 có
(7 + 0 + 3) – (6 + 2 ) = 2 M11
Tương tự với a = 9 ta có
(7 + 9 + 3) – ( 6 + 2) = 11 M 11
Vậy a= 9 thì 76a 23M11

Bài toán 6: Tìm a, b sao cho b851a chia hết cho 3 và 4
Hướng dẫn
Lập luận chia hết cho 4 trước ta được a = 2 và a = 6

6/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

+ Thay a = 2 vào b851a ta được b8512 . Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho 3
bằng cách tính tổng các chữ số.
b8512M3 ⇔ b + 8 + 5 + 1 + 2M3
⇔ b + 16M3
⇔ b ∈ { 2;5;8}

Lập luận tương tự với a = 6 ta được b ∈ { 1; 4;7}
Bài toán 7: Thay các chữ số x, y bằng chữ số thích hợp để cho
a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125
b) Số 9 xy 4 chia hết cho 2, cho 4, cho 8
Hướng dẫn
b) 9 xy 4M2 ⇔ x, y ∈ { 0;1; 2;3;.....;9} vì chữ số tận cùng là số chẵn
 x ∈ { 0;1; 2...;9}
9 xy 4M4 ⇔ 
 y ∈ { 0; 2; 4;6;8}
 x ∈ { 0; 2; 4;6;8}
9 xy 4M8 ⇔ 
 y ∈ { 2;6}

Hoặc

 x ∈ { 1;3;5;7;9}
⇔
 y ∈ { 0; 4;8}

Bài toán 8:Tìm các chữ số a và b sao cho 24a68b chia hết cho 45
Ta có 45=9.5 mà (9,5)=1
Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết
cho 5 và 9
Vì 24a68b chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5
+ Trường hợp 1: b = 0 ta có số 24a680
Để số 24a680 chia hết cho 9 thì (2+4+a+6+8+0) M9hay a+20 M9
Suy ra a=7 ta có số 247680.
+ Trường hợp 2 : b=5 ta có số 24a685
Để 24a685 M9 thì (2+4+a+6+8+5) M9 hay a+25M9
7/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Suy ra a=2 ta có số 242685
Vậy để 24a68b M45 thì ta có thể thay a=7 ; b=0 hoặc a=2 ; b=5
Bài toán 9: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8
vì aaaaa96 M8 ⇔ a96 M8 ⇔ 100a + 96 M8 suy ra 100a M8
vậy a là số chẵn ⇒ a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1).
vì aaaaa96 M3 ⇔ (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) M3 ⇔ 5a + 15 M3
mà 15 M3

⇒

5a M3

mà (5, 3) = 1
Suy ra a M 3 vậy a ∈{ 3, 6 ,9} (2).
Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
KL: Vậy số phải tìm là 6666696.
Bài toán 10: Tìm chữ số a để 1aaa1 M11
HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a.
* Nếu 2a ≥ a + 2 ⇔ a ≥ 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7
mà (a - 2) M11 nên a - 2 = 0 ⇔ a = 2
* Nếu 2a ≤ a + 2 ⇔ a < 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a mà 2 hoặc là 1 không chia hết
cho 11.Vậy a=2
Bài toán 11:Tìm x để x1994M3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
Hướng dẫn
x1994M3 ⇔ x + 23M3

Vì 1 ≤ x ≤ 9 nên 24 ≤ x + 23 ≤ 32
Từ đó ta được x = 1; x = 7
c) Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
Bài toán 12: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 9 không?
a) 1251+5316
b) 5436-1234
c) 1.2.3.4.5.6 + 27
8/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Hướng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để lập luận
Bài toán 13: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7
N = 16 354 + 675 41

Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3
N chia hết cho 5
Ta có: 7.9.11.13 M 3( vì 9M3 )
2.3.4.7 M 3 (vì 3 M 3)
7.9.11.13 + 2.3.4.7 M3
Vậy M chia hết cho 3
Ta có giá trị của tổng 16 354 + 67 541 có chữ sô tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
Vậy N chia hết cho 5
Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40
Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho 8
b) A chia hết cho 5
Hướng dẫn
a) Dựa vào tính chất chia hết của một tổng ta lập luận
2.4.6.8.10 M8 ( vì tích có chứa thừa số 8)
40M8

⇒ 2.4.6.8.10 + 40M8

Vậy A chia hết cho 8
b) Tương tự 2.4.6.8.10M5 ( vì 10 chia hết cho 5)
40M5
⇒ 2.4.6.8.10 + 40M5

Bài toán 15: Chứng minh rằng 995 − 984 + 973 − 962 M2 và 5
Hướng dẫn: Theo đề bài ta suy ra chữ số tận cùng (CSTC) của từng lũy thừa
trong bài
995 – 984 + 973 – 962 =…9 - …6 +…3 – …6 =… 0
Biểu thức đã cho có giá trị chứa CSTC là 0 nên chia hết cho 2 và 5
9/18

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vậy 995 − 984 + 973 − 962 M2 và 5
d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích các số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho
một số
Để làm dạng toán này ta áp dụng phương pháp dùng mệnh đề: “ Nếu…thì …”.
Nếu ngay lớp 6 các em được làm dạng bài tập này thì rất thuận tiện để các em
làm dạng toán chia hết ở các lớp trên. Nếu không, các em sẽ cảm thấy kiến thức
chia hết rất lạ, rất xa vời khi lên lớp 7,8,9 gặp bài toán mà sử dụng kiến thức
đáng lí ra phải được chứng minh ở lớp 6.
Bài toán 16: Chứng tỏ rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
Gv cần gợi mở rằng: ở đây ta chứng minh bài toán trên đúng với mọi cặp giá trị
liên tiếp trong N, chứ không phải chỉ cần chỉ ra một hoặc hai cặp giá trị là đủ mà
phải đi chứng minh đúng dưới dạng tổng quát.
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1
• Nếu a M 2 thì bài toán đã được giải
• Nếu a M 2 thì a chia 2 dư 1
Ta có a= 2k + 1.
a + 1 = 2k + 1 + 1
= 2k + 2 M 2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2.Cho
nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Bài toán 17: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2
• Nếu a M 3 thì bài toán đã được giải
• Nếu a = 3k+1(nghĩa là a chia 3 dư 1) thì lúc đó
Ta có a+2= 3k+1+2 = 3k+3 M 3
• Nếu a= 3k+2 (nghĩa là a chia 3 dư 2) thì lúc đó
Ta có a+1= 3k+2+1

= 3k+3 M 3
10/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3.
Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Bài toán 18: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia
hết cho 3 nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2
Tống của chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3 M 3
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
Tương tự tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + 6 M 4(vì 6 M4)
Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Bài toán 19: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2 (n ∈ N)
Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1)
= 4.n.(n+1)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán
16)
Vì thế 4.n.(n+1) M 8
Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài toán 20: Chứng minh rằng tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n +4 ((n∈ N)
Tích 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2)
= 8.n.(n+1).(n+2)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán
16)
Ta có n.(n+1).(n+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3(theo bài

toán 17)
Mà (2,3) = 1 nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6
Vì thế 8.n.(n+1).(n+2) M 48
Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
11/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

e) Dạng 5: Dạng toán vận dụng nguyên lí Đirichlê
Đối với dạng toán vận dụng nguyên lí Đirichlê giáo viên không đi sâu mà chỉ
giới thiêu cho học sinh biết và bài tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu.
Bài toán 21: Cho ba số lẻ. chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu
chia hết cho 8
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1;3;5;7. ta chia
4 số dư này ( 4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)
Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7
Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một
nhóm
- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
- Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chi hết cho 8
Bài tập tương tự:
Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu
chia hết cho 12
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là 1
trong 4 số 1; 5; 7; 11.
Chia làm hai nhóm:
Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 11
Nhóm 2: dư 5 hoặc dư 7

Giải tiếp như bài toán 18
f) Dạng 6: Tìm điều kiện để một biểu thức chia hết cho một số, chia hết cho
một biểu thức
Bài toán 22: Chứng minh rằng Nếu a M m, b M m, a+b+c M m thì cM m.
Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử c M m
Ta có a Mm, bMm nên a + b + c M m (tính chất 2 sgk toán 6 tr 35).
12/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Điều này trái với đề bài a + b + c Mm
Vậy điều giả sử sai.Suy ra c Mm
Đối với bài này, khi dạy giáo viên không nhất thiết khắc sâu phần chứng minh.
Yêu cầu học sinh chỉ cần vận dụng kiến thức đã được chứng minh vào bài tập
cụ thể nào đó là được.
Bài toán 23:Tìn n ∈ N để:
a) n+4 M n
b) 3n + 7 M n
c) 27- 5n M n
Giải:
 n + 4Mn
 nMn

a) 

⇒ 4 M n ( theo bài toán 22)

Vậy n ∈ { 1; 2; 4}

3n + 7 Mn
3nMn

b) 

⇒ 7 Mn

Vậy n ∈ { 1;7}
27 − 5nMn
5nMn

c) 

⇒ 27 M n

Vậy n ∈ { 1;3;9; 27}
Bài 24 . Tìm số nguyên n để
a) n2 – 7 chia hết cho n + 3
b ) n + 3 chia hết cho n2 – 7
Giải:
a)Ta có n2 -7 = n2 +3n – 3n - 9 +2
= n (n+3) – 3(n+3) +2 = (n +3).(n -3) + 2 M(n+3)
⇔ 2 M(n+3) ⇒ n+3 là ước của 2 , ta có bảng sau:

n+3
n

-2
-5

-1
-4

1
-2

2
-1
13/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vậy n∈ { −5; −4; −2; −1}
b) n+3 M n2 – 7
⇒ (n+3) (n-3) M n2 -7
⇒ n2 - 9 M n2 -7
⇒ 2 M n2 -7 ⇒ n2 – 7 là ước của 2 , ta có bảng sau:

n2 -7
-2
2
n
5
n
/
Vậy n∈ { −3;3}

-1
6

/

1
8
/

2
9
±3

g) Chứng minh chia hết
Bài 25 Chứng minh nếu 7x+4y chia hết cho 37 thì 13x+18y cũng chia hết cho
37
Ta có: 5(13x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y ) = 65 x + 90 y − 28 x − 16 y
= 37 x + 74 y = 37( x + 2 y )M37

Hay 5(13x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y) M37 (*)
Vì 7 x + 4 y M37 , mà (4;37) = 1 nên 4(7 x + 4 y) M37
Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x + 18 y)M37 , mà (5; 37) = 1 nên 13x + 18 y M37
3. Kết quả:
Học sinh của tôi nhiều em đã có kỹ năng giải dạng toán này
Kết quả đối chứng
Sĩ

Số học sinh đạt loại

số
Đầu

năm

%

khá

%

14

41,2

12

35,3

21

61,8

10

29,4

34

năm
Cuối

Giỏi

34

14/18

Trung

%

Yếu

%

8

23,5

0

0

3

8,8

0

0

bình

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Kết quả trên cho thấy việc vận dụng phương pháp trên vào giảng dạy toán
giúp học sinh có kết quả cao trong học tập.
*HIỆU QUẢ ĐỔI MỚI.
Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hết
khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạp
toán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích…để giải quyết triệt để các
dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”
Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một
bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà
của học sinh tăng lên rõ rệt. Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết và
điểm thi HKII vừa qua đồng thời kỹ năng giải toán chia hết đạt cao hơn so với
trước khi thử nghiệm. đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn
Toán.

C. KẾT LUẬN
I/. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
1/ Đối với giáo viên:
-Để rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh đạt hiệu qua cao ta cần lưu ý
một số nội dung như sau:
-Thường xuyên kiểm tra miệng và phần bài tập về nhà trong những giờ học
nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản của từng bài học.
15/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

- Lồng ghép nhiều dạng bài tập chia hết vào các tiết luyện tập , tự chọn.

- Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất cơ
bản của nội dung mà ta cần rèn luyện. Bên cạnh đó đưa ra những bài tập tương
tự như những bài tập mà các em đã làm được.
-Việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh phải thực hiện thường xuyên,
lâu dài xuyên suốt quá trình giảng dạy trong cả năm học.
- Qua kết quả trên tôi thấy việc rèn luyện kỹ năng giải toán chia hết là hết sức
cần thiết , phương pháp cho từng dạng toán đem lại hiệu quả cao trong việc nâng
cao kỹ năng giải toán chia hết nói chung và giải Toán nói riêng.
2/ Đối với học sinh:
Để làm tốt được dạng toán chia hết này học sinh cần phải nắm chắc các kiến
thức cơ bản như: tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích….Bên cạnh
đó còn hiểu vả nắm được các phương pháp chứng minh quy nạp toán học,
phương pháp phản chứng, … và một số các phương pháp khác nữa. Tuy nhiên
trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào
từng bài cho phù hợp, có như vậy mới đạt được kết quả tốt. Trong quá trình làm
dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo
trình tự từ dễ đến khó, các dạng rất đa dạng và phong phú. Nhằm cung cấp cho
học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển
khả năng tư duy lôgíc.
Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ người dạy
quan tâm tới việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh mà cả học
sinh cũng cần tham khảo để tự mình nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho
riêng mình và áp dụng nó để giải các dạng bài tập có liên quan
II/. HƯỚNG PHỔ BIẾN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI.
- Qua kết quả nghiên cứu trên tôi nhận thấy “Rèn kỹ năng giải toán chia
hết cho học sinh lớp 6” có thể áp dụng được cho học sinh cả khối 6 của trường
cũng như trong phạm vi cả huyện. Bởi vấn đề tôi nghiên cứu và thực hiện không
16/18

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

quá khó giáo viên nào cũng có thể thực hiện được trong quá trình soạn giảng và
lên lớp.
- Để trang bị cho học sinh một kiến thức cơ bản vững chắc và quan trọng
là các em tự tin không còn phải sợ môn toán, đây chính là tiền đề để các em học
tốt môn toán ở các lớp trên.
III/. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Nếu có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu tiếp đề tài này ở các năm sau nhằm
ngày càng hoàn thiện hơn về phương pháp giảng dạy của bản thân và nhằm góp
phần nâng cao chất lượng bộ môn toán nói chung.
Trên đây là phần trình bày kinh nghiệm giảng dạy về “ Rèn kỹ năng giải
toán chia hết cho học sinh lớp 6” mà tôi đã áp dụng hướng dẫn học sinh trong
năm học này mặc dù có mang lại kết quả khả quan. Tuy nhiên chắc chắn còn
những giải pháp khác để học sinh học tốt hơn mà bản thân cần phải học hỏi .
Nhưng do thời gian và khả năng còn nhiều hạn chế nên rất mong sự đóng góp ý
kiến của quý đồng nghiệp để đề tài đạt hiệu quả hơn trong tương lai.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD
2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD

17/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản
GD
4/ Sách giáo khoa toán 6 tập 1

5/ Sách bài tập toán 6 tập 1

MỤC LỤC
Trang

18/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

A.MỞ ĐẦU:……………………………………………………………. ………
1
1 . Lý do chọn đề tài :................................................................................................
1
2. Đối tượng nghiên cứu:..........................................................................................
1
3. Phạm vi nghiên cứu:.............................................................................................
1
4. Phương pháp nghiên cứu:.....................................................................................
1
B.

NỘI

DUNG

:

………………………………………………………………….2
1. Cơ sở thực tiễn: ...................................................................................................

2
2. Nội dung:..............................................................................................................
2
C. KẾT LUẬN:…………………………………………………………………
15
1.
Bài
học
kinh
nghiệm:
.......................................................................................................................
15
2.
Hướng
phổ
biến,
áp
dụng
đề
tài:
.......................................................................................................................
16
3.
Hướng
nghiên
cứu
trong
thời
gian
tới:

.......................................................................................................................
16
D.

TÀI

LIỆU

……………………………………………….....17
19/18

THAM

KHẢO:


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

E.

MỤC

…………………………………………………………………..18

20/18

LỤC: