Tóm tắt Luận án Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

1

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân
Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lý
thuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là các
ngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý
ảnh,... Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toán
thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này
có dạng
∞

1
(F f )(x) = √
2π

e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R).

(1)

−∞

Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thay
thế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết các
bài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu,
xử lý ảnh, xử lý âm thanh,... Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1 (R) được
cho bởi các công thức sau
∞

1

(H1 f )(y) = √
2π
1
(H2 f )(y) = √
2π

f (x) cas(xy)dx,

(2)

f (x) cas(−xy)dx,

(3)

−∞
∞

−∞

trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley.
Trong thời gian gần đây, đã có nhiều nghiên cứu mới về phép biến đổi tích
phân Hartley và ứng dụng. Năm 2014 tác giả Bouzeffour F. nghiên cứu về phép
biến đổi Hartley suy rộng trên L1α (R) và các ứng dụng liên quan. Cũng trong
năm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B. nghiên cứu về phép biến đổi tích phân
Hartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong không gian L2 (R+ ).
Để nghiên cứu không gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhân
chập hay còn gọi là tích chập, khi cố định một hàm ta có một lớp biến đổi tích
phân gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập.
Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giải
quyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳng

hạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vì trong
đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều phép
biến đổi tích phân hơn). Tuy vậy, cho đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứu
về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể kể tên những công
trình nghiên cứu gần đây, chẳng hạn


2
• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có hàm
trọng: Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Fourier cosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp (R+ ), (1 < p < 2)
được nghiên cứu bởi tác giả Tuan V.K. và các cộng sự. Năm 2013, phép
biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine và KontorovichLebedev được nghiên cứu bởi Hong N.T., Tuan T. và Thao N.X..
• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng:
Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với
tích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả
Thao N.X., Tuan V.K. và Hong N.T..
Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích
chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiều
nghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuất
phát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế. Vì vậy, nghiên cứu
về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúc
toán tử của nó là một mục đích của luận án.
Tích chập và tích chập suy rộng
Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuất
hiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập (không có hàm trọng và có
hàm trọng), tích chập suy rộng (không có hàm trọng và có hàm trọng) và tiếp
đến là đa chập.
Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn một
phép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng. Khi đó, tích chập suy

rộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện.
Cho đến nay có rất ít công trình nghiên cứu về tích chập suy rộng đối với
phép biến đổi tích phân Hartley (có trọng và không có trọng), mặc dù hướng
nghiên cứu này mang lại nhiều ứng dụng hữu ích. Do đó, vấn đề xây dựng các
tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó
là một nội dung có ý nghĩa khoa học và là mục đích nghiên cứu của luận án.
Bất đẳng thức kiểu tích chập và tích chập suy rộng
Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng
trong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phương
trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý,... Việc giải
các bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập, vì vậy
xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suy rộng
để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu được nhiều
nhà toán học quan tâm.
Những nghiên cứu về lĩnh vực này ở trong và ngoài nước có thể thấy như sau:
• Đối với tích chập Fourier:
Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier.
Mặc dù đây là một kết quả đẹp, nhưng khi p = q = 2 thì nó không


3
còn đúng nữa. Cũng trong năm 2000, các tác giả Saitoh S., Tuan V.K.,
Yamamoto M. đã khắc phục được hạn chế của bất đẳng thức trên bằng
việc xây dựng một bất đẳng thức đối với tích chập Fourier trong không
gian Lp (R, ρ), p > 1 với hàm trọng ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng. Hơn
nữa, nhóm nghiên cứu Tuan V.K., Duc D.T. và Nhan N.D.V. đã mở rộng
bất đẳng thức kiểu tích chập đối với tích chập Fourier sang nhiều chiều.
Nhận được các bất đẳng thức Saitoh ngược trong không gian R2 , Rn và
một số ứng dụng.
Ngoài ra, bất đẳng thức đối với tích chập Laplace cũng được tác giả Tuan

V.K. và các cộng sự nghiên cứu, nhận được bất đẳng thức ngược đối với
tích chập này và cho ứng dụng trong giải bài toán truyền nhiệt ngược.
• Gần đây, nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosine
của tác giả Hong N.T. đã công bố năm 2010, nhận được các bất đẳng
thức kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng. Đây là kết quả mới mở
rộng sang tích chập khác, nhưng đối với bất đẳng thức ngược dạng này
vẫn chưa được nghiên cứu.
Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley
như: bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, cho đến nay
chưa có công trình nào công bố, mặc dù các ứng dụng của nó có vai trò quan
trọng khi nghiên cứu những vấn đề nảy sinh từ một số bài toán thực tiễn. Do
đó, mục tiêu được quan tâm nghiên cứu là các bất đẳng thức tích chập suy rộng
Hartley và một số ứng dụng, đây cũng là một phần quan trọng trong mục đích
nghiên cứu của luận án.
Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học đối với hướng nghiên cứu này là việc
giải phương trình Toeplitz-Hankel tổng quát có dạng
∞

[k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x), x > 0,

f (x) +

(4)

0

trong đó g, k1 , k2 là những hàm đã biết, và f là ẩn hàm.
Gần đây, sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích phân
Toeplitz-Hankel (4) trong trường hợp đặc biệt có thể giải được và cho nghiệm
dưới dạng đóng. Cho đến nay, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, bài toán

tìm nghiệm đóng cho phương trình (4) trong trường hợp tổng quát vẫn đang là
bài toán mở. Do đó, các ứng dụng theo hướng này cũng là một vấn đề cần được
tiếp tục quan tâm nghiên cứu và đây cũng là một mục tiêu đặt ra khi nghiên
cứu các ứng dụng của Luận án.
Vì các lí do trên và để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, chúng tôi
đã định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu và lựa chọn đề tài cho Luận
án với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng
dụng".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu


4
• Mục đích:
- Xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley. Nghiên cứu các tính chất
của các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tích
phân nhân Toeplitz-Hankel.
- Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley,
chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh
và các ứng dụng liên quan.
- Xây dựng một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Hartley, nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến đổi tích phân
này trong các không gian hàm L2 (R), Lp (R), với 1 p 2 và một số ứng
dụng.
• Đối tượng: Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, HartleyFourier sine. Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập suy rộng, các bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng và một
số ứng dụng.
• Phạm vi nghiên cứu: Là các phép biến đổi tích phân, các tích chập và
các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley,
Fourier cosine, Fourier sine, các bất đẳng thức tích chập và tích chập suy
rộng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong Luận án này, đã sử dụng các phương pháp liên quan đến lý thuyết giải
tích hàm, phương pháp tích chập và tích chập suy rộng để xây dựng, nghiên cứu
các tích chập suy rộng mới, chứng minh sự tồn tại của các tích chập suy rộng
này cũng như tính bị chặn của chúng. Ngoài ra, còn sử dụng phương pháp biến
đổi tích phân để đánh giá và đưa ra các tính chất toán tử của những kết quả
nghiên cứu mới, nhằm mục đích giải một số phương trình tích phân với nhân
Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình tích phân, phương trình và
hệ phương trình vi-tích phân. Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức
tích phân trong không gian để chứng minh các bất đẳng thức tích phân đối với
tích chập suy rộng và xây dựng các đánh giá nghiệm.
4. Cấu trúc và các kết quả của Luận án
Luận án được trình bày trong 125 trang. Ngoài phần mở đầu và tài liệu
tham khảo, luận gồm bốn chương:
Chương 1 : Nhắc lại những kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu.
Chương 2 : Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley mới là tích chập suy
rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1
và H2 . Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý
kiểu Titchmarch. Áp dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích
phân, phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel.


5
Chương 3 : Nghiên cứu một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley như
bất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và kiểu Saitoh
ngược. Áp dụng những kết quả đạt được đánh giá nghiệm của phương trình tích
phân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý.
Chương 4 : Xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Hartley. Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính
unita của các phép biến đổi tích phân mới xây dựng trong không gian L2 (R).

Nhận được định lý Plancherel, định lý về tính bị chặn của toán tử vi-tích phân,
cho minh hoạ về sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên bằng một số
ví dụ cụ thể. Vận dụng kết quả mới nhận được cho việc tìm nghiệm đóng của
lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolic một
chiều.
5. Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án
Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, có ý nghĩa khoa học trong lĩnh
vực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phú
thêm lý thuyết tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân, bất đẳng
thức tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier
cosine, Fourier sine. Các kết quả này cho ứng dụng trong việc tìm nghiệm đóng
của một lớp các phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel,
phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được các biểu diễn và đánh
giá nghiệm trong một số bài toán Toán-Lý. Các kết quả và ý tưởng của luận án
có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các phép biến
đổi tích phân khác, và nghiên cứu bài toán quang phổ, xử lý ảnh.
Nội dung chính của Luận án dựa trên bốn công trình nghiên cứu được liệt
kê ở "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án". Trong đó có 03 công
trình trong danh mục các tạp chí quốc tế uy tín ISI, 01 công trình trong kỷ
yếu Hội nghị Toán học Quốc tế. Các kết quả này đã được báo cáo toàn bộ hay
từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau:
• Các hội nghị khoa học:
- Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng
(ICFIDCAA), tháng 7 năm 2012 tại Hà Nội.
- Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng 8 năm 2012 tại Huế.
- Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013 tại Nha trang.
- Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 tại Thành
phố Hồ Chí Minh.
• Các seminar:
- Seminar Giải tích và Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại

học Quốc gia Hà Nội.
- Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.


6

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, nhắc lại những kiến thức đã biết được sử dụng cho nghiên
cứu của luận án như:
• Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tích chập và tích chập suy
rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân, cũng như quá trình phát
triển của hướng nghiên cứu.
• Nhắc lại một số định lý liên quan đến các kết quả nghiên cứu trong luận
án, chẳng hạn là Định lý Wiener-Lévy, Định lý nội suy Riesz.
• Nhắc lại một số bất đẳng thức tích phân đã biết, các định lý về bất đẳng
thức đối với tích chập liên quan đến hướng nghiên cứu của luận án.
Các bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong chứng minh một số
kết quả nghiên cứu và ứng dụng của luận án là bất đẳng thức H¨older và
bất đẳng thức H¨older ngược sau đây
1
Định lý 1.0.1 (Bất đẳng thức H¨
older). Giả sử p, q > 1 sao cho +
p
1
= 1. Khi đó với mọi f ∈ Lp (X), g ∈ Lq (X), ta có
q
1
p

|f |p dµ

|f (x)g(x)|dµ
X

Hay ta có: f g

1
q

|g|q dµ

·

X

f

L1 (X)

Lp (X)

.

(1.1)

X

· g

Lq (X) .

Định lý 1.0.2 (Bất đẳng thức H¨
older ngược). Cho hai hàm dương
f và g thỏa mãn
f
0M < ∞,
(1.2)
g
1 1
trên tập X, cho các số thực p, q > 1 sao cho + = 1. Khi đó, ta có bất
p q
đẳng thức sau là đúng nếu vế phải hội tụ:
1
p

1
q

f dµ
X

gdµ

m
M

Ap,q

X

1

1

f p g q dµ,
X

trong đó,
1

Ap,q (t) = p

− p1

q

− 1q

t− pq (1 − t)
1−t

1
p

1
p

1−t

1
q

1
q

.

• Nhắc lại các hàm đặc biệt được sử dụng trong nghiên cứu.

(1.3)


7

Chương 2
TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY
Mục đích của chương này là xây dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng
Hartley mới như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine. Nghiên cứu các
tính chất tương ứng của nó, chẳng hạn như các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng
thức Parseval, định lý Titchmarch,... Trong phần ứng dụng sẽ xây dựng và giải
một số phương trình và hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel.
Nội dung chính của chương này là kết quả của các bài báo [1, 2] trong "Danh
mục các công trình đã công bố của Luận án", đây là hai kết quả được công bố
trong các tạp chí quốc tế uy tín ISI.

2.1
2.1.1

Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine
Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 2.1.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với phép biến
đổi tích phân Hartley, Fourier sine ký hiệu là (f ∗ g) được định nghĩa bởi công
1

thức

∞

1
(f ∗ g)(x) := √
1
2π

f (u)[g(x − u) − g(x + u)]du, x ∈ R.

(2.1)

0

Định lý 2.1.1. Giả sử f ∈ L1 (R+ ) và g ∈ L1 (R). Khi đó, tích chập suy rộng
Hartley–Fourier sine (2.1) thuộc không gian L1 (R) ∩ C0 (R) và có các đẳng thức
nhân tử hóa sau luôn đúng.
H1 (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R;
1

H2 (f ∗ g)(y) = −(Fs f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R,
1

(2.2)

ở đây (Fs f )(−y) = −(Fs f )(y), với y < 0. Hơn thế, ta nhận được bất đẳng thức
(f ∗ g)
1

L1 (R)

f

L1 (R+ )

· g

L1 (R) .

(2.3)

Đặc biệt, nếu g ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), thì ta có các đẳng thức Parseval sau
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
1
2π

(Fs f )(y) · (H2 g)(y) cas(xy)dy,

(2.4)

−∞
∞

1
(f ∗ g)(x) = − √
1
2π

(Fs f )(y) · (H1 g)(y) cas(−xy)dy,

(2.5)

−∞

tích phân trong các đẳng thức Parseval trên được hiểu là giá trị chính Cauchy.


8
Định lý 2.1.2. Giả sử f là hàm thuộc không gian Lp (R+ ), g là hàm thuộc
1 1
không gian Lq (R), và + = 1, p, q > 1. Khi đó tích chập suy rộng (2.1.1)
p q
tồn tại với mọi x ∈ R trong không gian Lα,β,γ
(R), α > −1, β > 0, γ > 0, r 1
r
thỏa mãn bất đẳng thức sau
(f ∗ g)(x)
1

C f

Lα,β,γ
(R)
r

1

−α+1
2q
ở đây, C = √
2γ −1 β γ Γ
2π

α+1
γ

1
r

Lp (R+ )

· g

Lq (R) ,

(2.6)

.

Bổ đề 2.1.1. Nếu f (x) ∈ L1 (R) và (H2 f )(y) = 0, ∀y ∈ R, thì ta có f (x) = 0
hầu khắp nơi.
Định lý 2.1.3 (Định lý kiểu Titchmarch). Giả sử f và g là các hàm liên
tục thỏa mãn f ∈ L1 (R+ , ex ), g ∈ L1 (R, e|x| ). Nếu (f ∗ g)(x) ≡ 0 hầu khắp nơi
1

trên R, thì ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ , hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R.

2.1.2

Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi
Hartley

Định nghĩa 2.1.2. Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép
biến đổi tích phân Hartley, Fourier ký hiệu là (f ∗ g), được xác định bởi công
HF

thức
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
HF
2 2π

g(y)[f (x + y) + f (x − y) + if (−x − y) − if (−x + y)]dy.

(2.7)

−∞

Định lý 2.1.4. Giả sử các hàm f, g ∈ L1 (R). Khi đó, tích chập suy rộng
Hartley-Fourier (2.7) thuộc không gian L1 (R) và thỏa mãn các đẳng thức nhân
tử hóa sau
H1 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (F g)(y), ∀y ∈ R,
HF
(2.8)
H2 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (F g(−t))(y), ∀y ∈ R.
HF

Định nghĩa 2.1.3. Các tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các
phép biến đổi tích phân Hartley H1 , H2 tương ứng ký hiệu là f ∗ g và f ∗ g
H11

H12

lần lượt xác định bởi
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
H11
2 2π

f (t)[g(x + t) + g(−x + t) + g(−x − t) − g(x − t)]dt,

(2.9)

f (t)[g(x + t) + g(x − t) + g(−x − t) − g(−x + t)]dt.

(2.10)

−∞
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
H12
2 2π

−∞


9
Định lý sau đây cho phép ta xác định được các đẳng thức nhân tử hóa của hai
tích chập suy rộng này.
Định lý 2.1.5. Giả sử các hàm f, g ∈ L1 (R). Khi đó, các tích chập suy rộng
(2.9) và (2.10), thuộc không gian L1 (R), và thỏa mãn các đẳng thức nhân tử
hóa sau
H1 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R,
H11

H2 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R;
H11

(2.11)

H1 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R,
H12

H2 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R.
H12

2.1.3

(2.12)

Ứng dụng

2.1.3.1. Phương trình tích phân
a) Phương trình tích phân loại một
Xét phương trình tích phân
∞

1
√
2π

f (u)[k(x − u) − k(x + u)]du = h(x),

x ∈ R,

(2.13)

0

trong đó k, h là những hàm cho trước thuộc không gian L1 (R), f là ẩn hàm.
Bổ đề 2.1.2. Giả sử k và h là các hàm thuộc không gian L1 (R) sao cho
(H1 h)(y)
(H2 k)(y) = 0, ∀y. Khi đó

là một hàm lẻ khi và chỉ khi (h ∗ k)(y) ∈
H
(H2 k)(y)
Ker Tc .
Định lý 2.1.6. Giả sử rằng k, h ∈ L1 (R), sao cho (H2 k)(y) = 0, ∀y, và
(h ∗ k)(y) là một hàm lẻ. Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân
H

(2.13) có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R+ ) là
(H1 h)(y)
∈ L1 (R) và F −1
(H2 k)(y)

(H1 h)(y)
(H2 k)(y)

∈ L1 (R+ ),

và nghiệm của phương trình được xác định bởi công thức
f (x) = F −1

(H1 h)(y)
(x).
(H2 k)(y)

(2.14)


10
b) Phương trình tích phân loại hai

Xét phương trình tích phân có dạng
∞

1
f (|x|) sign x + √
2π

[k(x − y) − k(x + y)]f (y)dy = h(x), x ∈ R,

(2.15)

0

trong đó k và h là những hàm cho trước, f là ẩn hàm.
Bổ đề 2.1.3. Giả sử các hàm k, h ∈ L1 (R) sao cho 1 + (Hj k)(y) = 0,
∀y ∈ R (j = 1, 2), và q là một hàm lẻ thuộc không gian L1 (R) xác định bởi
(H1 q)(y) = (H1 h)(y)[1 + (H2 k)(y)].
Khi đó,

(2.16)

(H1 h)(y)
cũng là một hàm lẻ.
1 + (H2 k)(y)

Định lý 2.1.7. Giả sử k, h ∈ L1 (R) sao cho 1 + (H2 k)(y) = 0, ∀ y ∈ R và
h + (h ∗ k) là hàm lẻ thuộc không gian L1 (R), p ∈ L1 (R) thỏa mãn
H

(F p)(y) =

(H2 k)(y)
1 + (H2 k)(y)

(2.17)

Khi đó, phương trình tích phân (2.15) có nghiệm duy nhất trong không gian
L1 (R), xác định bởi công thức
f (|x|) = [h(x) − (h ∗ p)(x)] sign x, x ∈ R.
HF

Từ Định lý 2.1.7, ta nhận được hệ quả sau
Hệ quả 2.1.1. Với giả thiết tương tự định lý 2.1.7 và p là hàm thỏa mãn công
thức (2.17). Khi đó, ta có
f (x) = h(x) − (h ∗ p)(x), x > 0,
HF

là nghiệm trong L1 (R+ ) của phương trình tích phân sau
∞

1
f (x) + √
2π

f (y)[k(x − y) − k(x + u)]dy = h(x), x ∈ R+ ,

(2.18)

0

trong đó k và h là những hàm đã biết, f là ẩn hàm.
Bổ đề 2.1.4. Giả sử k ∈ L1 (R) thỏa mãn 1 + (H2 k)(y) = 0, ∀y ∈ R và q là
một hàm lẻ sao cho q, h ∈ L1 (R) xác định bởi
(H1 q)(y) = (H1 h) (y) · [1 + (H2 k)(y)].
Khi đó,

(H2 h)(y)
cũng là một hàm lẻ.
1 + (H2 k)(y)

(2.19)


11
2.1.3.2. Hệ phương trình tích phân
Trong phần này, ta xét hệ phương trình sau
f (x) + (g ∗ h)(x) = p(x)
1

(2.20)

g(x) + (f ∗ k)(x) = q(x), x ∈ R+ .
1

Định lý 2.1.8. Giả sử rằng h, k ∈ L1 (R+ ), p, q ∈ L1 (R) sao cho điều kiện sau
được thỏa mãn
1 + (H1 k)(y) · (H2 h)(y) = 0, ∀y ∈ R,

(2.21)

l ∈ L1 (R) xác định bởi công thức
(F l)(y) =

(H1 k)(y) · (H2 h)(y)
.
1 + (H1 k)(y) · (H2 h)(y)

(2.22)

Khi đó, hệ phương trình (2.20) có nghiệm duy nhất (f, g) ∈ L1 (R+ ) × L1 (R+ )
xác định bởi
f (x) =p(x) − (q ∗ h)(x) − (p ∗ l(−t))(x) + [(q ∗ h) ∗ l(−t)](x), ∀x ∈ R+
H11

HF

H11

HF

g(x) = − q(x) + (k ∗ p)(x) + (q ∗ l(−t))(x) − [(k ∗ p) ∗ l(−t)](x), ∀x ∈ R+ .
H11

2.2
2.2.1

HF

H11

HF

Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine
Định nghĩa và các tính chất toán tử

Định nghĩa 2.2.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f ∈ L1 (R+ ) và g ∈ L1 (R)
đối với phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine ký hiệu là (f ∗ g) được
2

định nghĩa bởi
∞

1
(f ∗ g)(x) := √
2
2π

[g(x + u) + g(x − u)] f (u) du, x ∈ R,

(2.23)

0

Định lý 2.2.1. Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (2.23) của các hàm
f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) thuộc không gian L1 (R) và có các đẳng thức nhân tử
hóa sau luôn đúng
Hj (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y) · (Hj g)(y), ∀y ∈ R, j = 1, 2,
2

(2.24)

ở đây (Fc f )(−y) = (Fc f )(y), với y < 0. Hơn thế, ta có bất đẳng thức
(f ∗ g)
2

L1 (R)

2
f
π

L1 (R+ )

· g

L1 (R) .

(2.25)


12
Đặc biệt, khi f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ta nhận được các đẳng thức Parseval có dạng
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
2
2π

(Fc f )(y) · (Hj g)(y) cas(±xy)dy, j = 1, 2.

(2.26)

−∞

tích phân trong công thức (2.26) được hiểu là giá trị chính Cauchy như sau
∞

N

f (x) dx = lim

N →∞

−∞

f (x) dx.
−N

Từ bất đẳng thức (2.25), ta nhận được bất đẳng thức đúng trong không gian
Lα,β,γ
(R) với α > −1, β > 0, γ > 0, r 1.
r
Định lý 2.2.2 (Định lý kiểu Titchmarch). Cho f và g là các hàm liên tục
sao cho f ∈ L1 (R+ , ex ), g ∈ L1 (R, e|x| ). Nếu (f ∗ g)(x) ≡ 0 hầu khắp nơi trên
2

R, thì ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ , hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R.
Mệnh đề 2.2.1. Cho f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) và h ∈ L1 (R+ ). Khi đó các phép
toán của các tích chập suy rộng (2.1) và (2.23) là không có tính giao hoán và

cũng không kết hợp, tuy nhiên chúng thỏa mãn các đẳng thức sau
a) f ∗ (g ∗ h) = −(f ∗ g) ∗ h,
1

1

2

Fs Fs

b) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h,
2

2

Fc

2

c) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h.
1

2.2.2

2

Fs Fc

1

Ứng dụng

Trong phần này ta xét phương trình Toeplitz-Hankel (4), đối với trường
hợp nhân k1 = k2 , và điều kiện nhân k2 là hàm chẵn, đây cũng là phương trình
Toeplitz- Hankel lần đầu tiên được xét trên toàn trực thực.
Xét các phương trình
∞

1
f (|x|) + √
2π

[k(x + y) + k(x − y)]f (y)dy = g(x), x ∈ R,

(2.27)

[f (x + y) + f (x − y)]k(y)dy = g(x), x ∈ R.

(2.28)

0
∞

1
f (x) + √
2π
0

Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Wiener-Lévy). Giả sử f ∈ L1 (R). Khi đó,
1 + (Hj f )(y) = 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2) là điều kiện đủ để tồn tại hàm l ∈ L1 (R)

sao cho
(Hj f )(y)
(Hj l)(y) =
.
(2.29)
1 + (Hj f )(y)


13
Nhận xét rằng, do tính tuyến tính nên từ Định lý 2.2.3, với f ∈ L1 (R) sao cho
1 − (Hj f )(y) = 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2), l ∈ L1 (R), ta nhận được công thức sau
(Hj l)(y) =

(Hj f )(y)
.
1 − (Hj f )(y)

(2.30)

2.2.2.1. Phương trình Toeplitz-Hankel trên R
Định lý 2.2.4. Cho k, g ∈ L1 (R) là những hàm đã biết và thỏa mãn các điều
kiện dưới đây
a) 1 + (H1 k)(x) = 0 với bất kỳ x ∈ R.
b) g(x) − (g ∗ l)(x) là hàm chẵn, trong đó l là hàm xác định bởi
H

l(x) = H1

(H1 k)(y)
(x).

1 + (H1 k)(y)

(2.31)

Khi đó, phương trình (2.27) có nghiệm duy nhất f ∈ L1 (R+ ), được cho bởi công
thức sau
f (x) = g(x) − (g ∗ l)(x), x ∈ R+ .
H

Định lý 2.2.5. Cho k ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) là những hàm đã biết, ta giả sử
1 + (Fc k)(x) = 0, x ∈ R,
và l(x) là hàm thuộc không gian L1 (R) sao cho
l(x) = Fc

(Fc k)(y)
(x) ∈ L1 (R+ ).
1 + (Fc k)(y)

(2.32)

Khi đó phương trình (2.28) có nghiệm duy nhất f ∈ L1 (R+ ) xác định bởi
f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), x ∈ R.
2

(2.33)

2.2.2.1. Hệ phương trình Toeplitz - Hankel trên R
Ta xét hệ gồm hai phương trình tích phân Toeplitz - Hankel




1


f (|x|) + √



2π


1


√
g(|x|)
+



2π

∞

g(u)[k1 (x + u) + k1 (x − u)]du = p(x), x ∈ R,
0
∞

(2.34)
f (u)[k2 (x + u) + k2 (x − u)]du = q(x), x ∈ R,

0

trong đó p, q, k1 , k2 ∈ L1 (R) là các hàm đã biết, f, g ∈ L1 (R+ ) là các ẩn hàm.


14
Định lý 2.2.6. Giả sử rằng điều kiện sau luôn đúng
1 − (H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) = 0, ∀y ∈ L1 (R),

(2.35)

và các hàm sau là những hàm chẵn
p(x) − (q ∗ k1 )(x) + (p ∗ l)(x) − (q ∗ k1 ∗ l)(x);
H

H

H

H

q(x) − (p ∗ k2 )(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ k2 ∗ l)(x),
H

H

H

H

trong đó, l(x) là một hàm thuộc không gian L1 (R) sao cho
l(x) = H1

(H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y)
(x).
(1 − H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y)

(2.36)

Khi đó hệ phương trình (2.34) có nghiệm duy nhất f, g ∈ L1 (R) được xác định
bởi công thức sau
f (x) = p(x) − (q ∗ k1 )(x) + (p ∗ l)(x) − (q ∗ k1 ∗ l)(x),

x > 0,

g(x) = q(x) − (p ∗ k2 )(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ k2 ∗ l)(x),

x > 0.

H

H

H

H

H
H

H
H

(2.37)

Kết luận chương 2
Chương này đã đạt được một số kết quả sau:
• Xây dựng các tích chập suy rộng mới Hartley-Fourier sine (f ∗ g), Hartley1

Fourier cosine (f ∗ g), Hartley-Fourier (f ∗ g) và các tích chập suy rộng
2

HF

Hartley (f ∗ g), (f ∗ g).
H11

H12

• Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, tính không
có ước của không như định lý kiểu Titchmarch, ... của các tích chập suy
rộng Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine.
• Nhận được định lý kiểu Wiener-Lévy đối với phép biến đổi tích phân
Hartley.
• Trong phần ứng dụng, xây dựng và giải một số lớp phương trình và hệ
phương trình tích phân, phương trình và hệ phương trình tích phân nhân
Toeplitz-Hankel.

15

Chương 3
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ
ỨNG DỤNG
Mục đích của chương 3 là xây dựng một số bất đẳng thức đối với các tích
chập suy rộng f ∗ g và f ∗ g, chứng minh bất đẳng thức ngược đối với tích
1

2

chập suy rộng Hartley-Fourier cosine. Áp dụng kết quả nhận được để đánh giá
nghiệm của một số bài toán Toán-Lý.
Nội dung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu [3, 4], trong "Danh
mục các công trình đã công bố của Luận án", trong đó có một kết quả được
công bố trong tạp chí quốc tế uy tín ISI.

3.1

Bất đẳng thức Hausdorff - Young

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Hausdorff - Young đối với phép biến đổi
tích phân Hartley.
Định lý 3.1.1 (Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young). Giả sử f ∈ Lp (R),
với 1 < p ≤ 2 và q là số liên hợp của p. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau
Hj f

Lq (R)

≤

f

Lp (R) , j

= 1, 2.

(3.1)

trong đó Hj , j = 1, 2 là các phép biến đổi tích phân Hartley.
Từ Định lý 3.1.1, ta chứng minh được định lý kiểu Hausdorff - Young đối với
các tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine và Hartley-Fourier cosine sau
Định lý 3.1.2. Giả sử rằng f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R) và p1 , q1 , r1 là các số liên
hợp tương ứng của p, q, r sao cho
1
1
1
=
+ , với 1
r
p1 q1

p, q

2, và 1

r

2.

Khi đó, các bất đẳng thức dưới đây là đúng
f ∗g
1

Lr1 (R)

2 f

Lp (R+ )

· g

Lq (R) ,

f ∗g

Lr1 (R)

2 f

Lp (R+ )

· g

Lq (R) .

2

3.2

(3.2)

Bất đẳng thức tích chập suy rộng HartleyFourier cosine

Định lý 3.2.1 (Định lý kiểu Young). Giả sử p, q, r > 1, thoả mãn điều
1 1 1
kiện + + = 2, sao cho f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R) và h ∈ Lr (R). Khi đó ta
p q r


16
có bất đẳng thức sau
∞
1

1

(f ∗ g)(x) · h(x)dx ≤ 2 p (2π)− 2 f
2

Lp (R+ )

· g

Lq (R)

· h

Lr (R) .

(3.3)

−∞

Từ định lý trên, ta nhận được một hệ quả là bất đẳng thức kiểu Young đối với
tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine sau đây.
Hệ quả 3.2.1 (Bất đẳng thức kiểu Young). Giả sử p > 1, q > 1, r > 1
1 1
1
sao cho + = 1 + . Khi đó, với mọi hàm f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R), ta có tích
p q
r
chập suy rộng (f ∗ g) ∈ Lr (R) và thỏa mãn bất đẳng thức
2

f ∗g
2

1

1

2 p (2π)− 2 f

Lr (R)

Lp (R+ )

· g

Lq (R) .

(3.4)

Tuy nhiên, khi f ∈ L2 (R+ ), g ∈ L2 (R) thì các bất đẳng thức (3.3) và (3.4)
không còn đúng nữa. Trong phần tiếp theo, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
trong không gian Lp (R, ρ) có hàm trọng dương ρ, đối với tích chập suy rộng
Hartley-Fourier cosine. Hơn nữa, bất đẳng thức này vẫn đúng trong trường hợp
p = q = 2.
Định lý 3.2.2 (Định lý kiểu Saitoh). Giả sử ρj , (j = 1, 2) là hai hàm dương
sao cho tích chập suy rộng (ρ1 ∗ ρ2 ) xác định. Khi đó, với mọi F1 ∈ Lp (R+ , ρ1 ),
2

F2 ∈ Lp (R, ρ2 ), p > 1 bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier
cosine sau đây là đúng
2
F1
π

1

((F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )) · (ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
2

2

Lp (R)

Lp (R+ ,ρ1 )

· F2

Lp (R,ρ2 ) .

(3.5)

Nhận xét 3.2.1. Khi ρ1 ≡ ρ ∈ L1 (R+ ) và ρ2 ≡ 1, bất đẳng thức (3.5) có dạng
(F1 ρ) ∗ F2
2

2 ρ

Lp (R)

1− p1
L1 (R+ )

· F2

Lp (R)

· F1

Lp (R+ ,ρ) .

(3.6)

Định lý 3.2.3 (Định lý kiểu Saitoh ngược). Giả sử ρ1 (u), ρ2 (x) là các hàm
trọng dương, F1 (u) và F2 (x) là những hàm dương thỏa mãn
1

0 < m1p

1

1

F1 (u)

M1p < ∞; 0 < m2p

1

F2 (x)

M2p < ∞, p > 1, u ∈ R+ , x ∈ R,

(3.7)

sao cho (F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ ρ2 ) ∈ Lp (R). Khi đó, ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh
2

2

ngược đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine trong không gian Lp (R)
xác định như sau
1

(F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
2

trong đó C = Ap,q

2

m1 m2
M1 M2

Lp (R)

−1

.

2C F1

Lp (R+ ,ρ1 )

· F2

Lp (R,ρ2 ) ,

(3.8)


17

3.3

Bất đẳng thức tích chập suy rộng HartleyFourier sine

Với kỹ thuật tương tự như chứng minh các bất đẳng thức đối với tích chập
suy rộng Hartley-Fourier cosine, ta cũng nhận được các định lý kiểu Young,
kiểu Saitoh và các hệ quả tương ứng đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier
sine.

3.4

Ứng dụng

3.4.1

Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel

Xét phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel trong trường hợp k1 =
k2 = f có dạng
∞

1
f (x) + √
2π

k(y)[f (x + y) + f (x − y)]dy = h(x)ρ(x), x ∈ R,

(3.9)

0

trong đó, k ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), h ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ) là những hàm đã biết,
f ∈ L1 (R+ ) là ẩn hàm.

3.4.2

Phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân bậc 2n với hệ số hằng như sau
n

(−1)k ak
k=0

d2k
f (x) = g(x) · ρ(x), x ∈ R,
dx2k

(3.10)

ở đây f ∈ L1 (R+ ) là ẩn hàm và g, ρ là các hàm cho trước và thoả mãn
g ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ), ρ ∈ L1 (R+ ), với điều kiện biên là
dk
f (x) → 0 khi x → ±∞, k = 0, 2n.
dxk

3.4.3

(3.11)

Bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng

Xét phương trình Laplace có dạng

uxx + utt = 0, −∞ < x < ∞, t > 0.

(3.12)

u(x, 0) = f (x)ρ(x), −∞ < x < ∞,
ux (x, t) → 0 khi |x| → ∞, t → ∞,

(3.13)
(3.14)

với điều kiện biên

ở đây f, ρ là các hàm đã biết sao cho ρ ∈ L1 (R), f ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ), p > 1.


18

3.4.4

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt

Xét phương trình truyền nhiệt có dạng
kuxx = ut , −∞ < x < ∞, t > 0,

(3.15)

ux (x, t) → 0 khi |x| → ∞,
u(x, t) → 0 khi |x| → ∞,

(3.16)

(3.17)

u(x, 0) = f (x)ρ(x),

(3.18)

với điều kiện biên

và điều kiện ban đầu
trong đó ρ ∈ L1 (R), f ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ), p > 1 là các hàm đã biết, và k > 0
là hệ số khuếch tán.
Nhận xét 3.4.1. Đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine, bằng kỹ
thuật tương tự như đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine ta cũng
nhận được công thức nghiệm và đánh giá nghiệm của bài toán Dirichlet trên
nửa mặt phẳng và bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt.

Kết luận chương 3
Chương này đã đạt được một số kết quả sau:
• Thiết lập được các bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young đối với phép
biến đổi tích phân Hartley, các bất đẳng thức tích chập suy rộng HartleyFourier cosine và Hartley-Fourier sine.
• Nhận được các bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine,
Hartley-Fourier cosine như: Bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức
kiểu Saitoh và bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược đối với tích chập suy rộng
Hartley-Fourier cosine.
• Nhận được các đánh giá nghiệm của phương trình tích phân kiểu ToeplitzHankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý.


19

Chương 4

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
SUY RỘNG HARTLEY-FOURIER
Trong chương này nghiên cứu một lớp phép biến đổi tích phân kiểu tích
chập suy rộng Hartley-Fourier cosine và Hartley-Fourier sine, các phép biến đổi
tích phân này có dạng
f (x) → g(x) = (Th f )(x) := 1 −

d2
(h ∗ f )(x), x ∈ R,
2
dx2

(4.1)

f (x) → g(x) = (Tk f )(x) := 1 −

d2
(k ∗ f )(x), x ∈ R.
1
dx2

(4.2)

Nội dung chính của chương này tập trung nghiên cứu các toán tử Th , Tk trên
không gian Lp (R), 1 p 2. Nhận được điều kiện cần và đủ đối với các toán
tử Th , Tk , để phép biến đổi tích phân (4.1) và (4.2) là unita trong L2 (R). Các
định lý kiểu Watson và Plancherel cho lớp các phép biến đổi này trong L2 (R)
cũng được chứng minh. Hơn nữa, còn chứng minh được tính bị chặn của các
toán tử vi-tích phân nói trên không gian Lp (R), 1 p 2. Các ứng dụng của
chương là nghiên cứu và giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích

phân, nhận được công thức biểu diễn nghiệm của lớp phương trình parabolic.

4.1
4.1.1

Các tích chất toán tử
Định lý kiểu Watson

Định lý 4.1.1. Giả sử các hàm f ∈ L2 (R), h ∈ L2 (R+ ). Khi đó điều kiện
|(Fc h)(y)| =

1
, y > 0,
1 + y2

(4.3)

là điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (4.1) là unita trong L2 (R).
Hơn nữa, công thức ngược của phép biến đổi Th f trong L2 (R) có dạng
f (x) =

Th−1 g

d2
(x) := 1 − 2 (h ∗ g)(x)
2
dx
1
d2
=√

1− 2
dx
2π

∞

[g(x + u) + g(x − u)]h(u)du , (4.4)
0

ở đây h là liên hợp phức của hàm h, và ta có: f (x) = Th−1 g (x) = Th g (x),
x ∈ R.


20

4.1.2

Định lý kiểu Plancherel

Định lý 4.1.2. Giả sử h ∈ L2 (R) ∩ C 2 (R) và là hàm số có đạo hàm liên tục
d2
đến cấp 2, thoả mãn điều kiện (4.3) sao cho H(x) = 1 − 2 h(x) là hàm bị
dx
chặn. Nếu f ∈ L2 (R), thì với mỗi số tự nhiên N , ta đặt
N

1
gN (x) = √
2π

f (u)[H(x + u) + H(x − u)]du, x ∈ R.

(4.5)

−N

Khi đó;
1) gN ∈ L2 (R).
2) Khi N → ∞ thì dãy hàm {gN (x)} hội tụ theo chuẩn trong L2 (R) tới hàm
g(x) ∈ L2 (R) và thỏa mãn: g L2 (R) = f L2 (R) .
3) Đặt g N = g.χ(−N,N ) , ở đây χI là hàm đặc trưng trên khoảng hữu hạn I,
khi đó
d2
(4.6)
fN (x) = 1 − 2 (g N ∗ h)(x)
2
dx
cũng thuộc không gian L2 (R) và dãy hàm {fN (x)} hội tụ theo chuẩn trong L2 (R)
tới hàm f (x) ∈ L2 (R) khi N → ∞.

4.1.3

Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân

Định lý 4.1.3. Giả sử rằng h ∈ L2 (R) ∩ C 2 (R), sao cho h(x) có đạo hàm liên
d2
tục đến cấp 2 trên R và thỏa mãn điều kiện (4.3), H(x) = 1 − 2 h(x)
dx
là hàm bị chặn trên R. Khi đó, Th là toán tử bị chặn từ Lp (R) vào Lq (R), với
1 p 2 và p là số mũ liên hợp của q. Hơn nữa, phép toán sau là toán tử bị

chặn từ không gian Lp (R) vào Lq (R)
Th f = lim

N →∞

d2
1 − 2 (f N ∗ h),
2
dx

(4.7)

ở đây, giới hạn trong công thức trên được hiểu theo nghĩa chuẩn trên không gian
Lq (R), trong đó
f N = f · χ(−N,N ) .
(4.8)
Nhận xét 4.1.1. Đối với toán tử Tk của phép biến đổi tích phân kiểu tích
chập suy rộng Hartley-Fourier sine, ta cũng nhận được các kết quả tương tự
như đối với toán tử Th ở trên.


21

4.2
4.2.1

Ứng dụng
Phương trình vi-tích phân

Xét bài toán vi-tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine sau

n

d2
(2k − 1) − 2 (h ∗ f )(x) = g(x), x ∈ R,
2
dx
2

f (x) +
k=1
2k−1

(4.9)

d
f (0) = 0, k = 1, n,
dx2k−1
lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n − 1,

x→∞

trong đó f là ẩn hàm và h ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) là các hàm cho trước, sao cho
h(x) = h1 (t) ∗ sech t (x), h1 ∈ L1 (R+ ),

(4.10)

Fc

ở đây sech t =

1
.
cosh(t)

Định lý 4.2.1. Giả sử rằng
1+

πy
π
sech
2
2

n

y 2 + (2k − 1)2 (Fc h1 )(y) = 0, ∀y > 0.

(4.11)

k=1

Khi đó, bài toán (4.9) có nghiệm duy nhất trong L1 (R) xác định như sau
f (x) = g(x) − l ∗ g (x),

(4.12)

2

trong đó, l là hàm thuộc không gian L1 (R+ ), xác định bởi
π

2

sech πy
2

(Fc l)(y) =
1+

π
2

sech

n

y 2 + (2k − 1)2 (Fc h1 )(y)

k=1
πy
2

.

n

(4.13)

y 2 + (2k − 1)2 (Fc h1 )(y)
k=1

Ta dễ dàng chứng minh được nghiệm của bài toán này bởi định lý sau đây
Định lý 4.2.2. Giả sử hàm h1 ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn điều kiện
1+

π
πy 2
sech
y + 1 (Fc h1 )(y) = 0, ∀y ∈ R+ ,
2
2

(4.14)

l ∈ L1 (R+ ) là hàm được xác định như sau
(Fc l)(x) =

π
2

1+

2
sech πy
2 y + 1 (Fc h1 )(y)
π
2

2
sech πy
2 y + 1 (Fc h1 )(y)

.

(4.15)


22
Khi đó, phương trình vi-tích phân
f (x) + (Th f )(x) = g(x), x ∈ R,

(4.16)

có nghiệm duy nhất trong L1 (R) xác định bởi công thức
f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), ∀x ∈ R.
2

4.2.2

(4.17)

Phương trình parabolic tuyến tính

Xét phương trình parabolic sau đây
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
=−
− Th (u)(x, t)
∂t
∂x2

(4.18)

trong đó, u(x, t) là hàm chưa biết, ta chọn hàm nhân h(y) sao cho
(Fc h)(y) =

1
,
1 + y2

do đó thỏa mãn điều kiện (4.3).
Bằng cách sử dụng các phép biến đổi tích phân, ta nhận được biểu diễn
nghiệm của phương trình đã xét ở trên.

4.2.3

Hệ phương trình vi-tích phân

Xét hệ hai phương trình vi-tích phân đối với phép biến đổi tích phân kiểu
tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine dưới đây
f (x) + (Th g)(x) = p(x),
g(x) + (Th f )(x) = q(x),

(4.19)

với các điều kiện ban đầu
f (0) = 0, g (0) = 0,
lim f (x) = lim f (x) = 0 = lim g(x) = lim g (x).
x→∞

x→∞

x→∞

x→∞

Trong đó, các toán tử Th , Th xác định bởi
1
d2
√
(Th g)(x) :=
1− 2
dx
2π

∞

[g(x + u) + g(x − u)]h(u)du ,
0

1
d2
Th f (x) := √
1− 2
dx
2π

∞

[f (x + u) + f (x − u)]h(u)du ,
0

(4.20)


23
và các hàm h, h ∈ L1 (R+ ) xác định như sau
h(x) = h1 (τ ) ∗ sech τ (x); h(x) = h1 (τ ) ∗ sech τ (x),
Fc

(4.21)

Fc

với f, g ∈ L1 (R) là các ẩn hàm; h, h1 , h, h1 , p, q là các hàm đã biết, và các hàm
h1 , h1 ∈ L1 (R+ ); p, q ∈ L1 (R).
Định lý 4.2.3. Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn
π
πy
1 − (1 + y 2 )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 = 0, ∀y ∈ R,
2
2

(4.22)

và giả sử hàm l ∈ L1 (R+ ) xác định như sau
π
πy
(1 + y 2 )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2
2
(Fc l)(y) = 2 π

.
πy
1 − (1 + y 2 )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2
2
2

(4.23)

Khi đó, hệ phương trình vi-tích phân (4.19) với điều kiện ban đầu (4.20) có
nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R) × L1 (R) xác định bởi
f (x) =p(x) + (l ∗ p)(x) − 2 (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q (x) − 2 l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q

(x).

g(x) =q(x) + (l ∗ q)(x) − 2 (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) − 2 l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p

(x).

2

2

Fc

Fc

2

2

2

2

Fc

Fc

2

2

(4.24)

Kết luận chương 4
Trong chương này đã nhận được một số kết quả sau:
• Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng HartleyFourier cosine, Hartley-Fourier sine và nhận được các toán tử ngược tương
ứng.
• Nhận được các định lý kiểu Watson, kiểu Plancherel trong L2 (R). Chứng
minh được tính bị chặn của các toán tử tích phân này trong không gian
Lp (R), 1 p 2.
• Xây dựng được các ví dụ cụ thể minh họa cho sự tồn tại của các toán tử
tích phân kiểu tích chập suy rộng đã nghiên cứu, làm rõ hơn sự tồn tại
của các phép biến đổi tích phân trên.
• Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được
công thức biểu diễn nghiệm của lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic.


24

KẾT LUẬN CHUNG

Các kết quả chính của luận án đã đạt được:
• Xây dựng được các tích chập suy rộng Hartley mới như: Hartley-Fourier
sine, Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier, Hartley H1 và H2 . Nhận
được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval và định lý kiểu
Titchmarch, định lý kiểu Wiener-Levy.
• Nhận được các bất đẳng thức tích chập suy rộng kiểu Saitoh, kiểu Saitoh
ngược, kiểu Young và kiểu Hausdorff-Young của các tích chập suy rộng
mới xây dựng. Áp dụng các bất đẳng thức thu được để đưa ra các đánh
giá nghiệm của phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel và một số
lớp bài toán Toán-Lý.
• Xây dựng được hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Hartley-Fourier cosine Th , Hartley-Fourier sine Tk và nhận được các toán
tử ngược tương ứng Th−1 , Tk−1 . Nhận được các định lý kiểu Watson, định
lý kiểu Plancherel trong L2 (R), và tính bị chặn trong không gian Lp (R).
• Ứng dụng các kết quả nhận được giải một lớp phương trình và hệ phương
trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân, phương trình
và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng parabolic
một chiều.