HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TIẾN CƯỜNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 2: GSKH.TS. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào
ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hệ phương trình là một dạng toán quen thuộc đối với học sinh
từ bậc Trung học cơ sở, đồng thời nó cũng chiếm một vị trí quan
trọng và đặc biệt trong chương trình Toán của khối THPT bởi lẽ
ngoài việc phát huy tính tư duy, suy luận và logic dạng toán trên còn
có mặt tại hầu hết trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và các kỳ thi
học sinh giỏi quốc gia, Olympic....Nét quyến rũ của hệ phương trình
nằm ở tính đặc thù của mỗi dạng và phương pháp tìm nghiệm tương
ứng cho mỗi dạng đó. Với mong muốn có thể hiểu kĩ hơn về các
dạng và phương pháp giải hệ phương trình và được sự gợi ý của giáo
viên hướng dẫn – TS. Lê Hải Trung nên tôi lựa chọn đề tài: “Hệ
phương trình và ứng dụng trong chương trình THPT”cho luận
văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nghiên cứu các dạng toán về hệ phương
trình trong chương trình THPT và các phương pháp giải đồng thời
sáng tạo một số hệ phương trình. Ngoài ra tác giả cũng cố gắng
nghiên cứu và ứng dụng phần mềm Maple để giải các hệ phương
trình và giải gần đúng một số hệ phương trình phức tạp.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn tác giả có sử dụng các kiến thức liên quan
đến các lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính...
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng hệ phương trình và phương pháp giải.
Phạm vi nghiên cứu

2
Các dạng hệ phương trình trong chương trình Toán thuộc
khối THPT, các bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, học
sinh giỏi quốc gia và Olympic.
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài
liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy
môn toán khối Trung học Phổ Thông.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm:
Phần mở đầu
Chương 1. Một số dạng toán về hệ phương trình
1.1. Các dạng toán cơ bản về hệ phương trình
1.2. Hệ phương trình chứa căn thức
1.3. Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối
1.4. Hệ phương trình lượng giác
1.5. Hệ phương trình chứa hàm số mũ
1.6. Hệ phương trình chứa hàm logarit
1.7. Hệ phương trình không mẫu mực
1.8. Một số bài toán hệ phương trình.
1.9. Hệ phương trình và một số đề thi Olimpic, học sinh
giỏi
Chương 2. Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình
2.1. Tổng quan về phần mềm Maple
2.2. Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maple trong giải hệ
phương trình
2.3. Ứng dụng của Maple để giải một số hệ phương trình

3
2.4. Ứng dụng phần mềm Maple trong giảng dạy chuyên
đề hệ phương trình trong khối THPT
Phần kết luận.
Tài liệu tham khảo.


4
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nội dung chính của chương này nhằm giới thiệu một số dạng
hệ phương trình và các phương pháp cơ bản để giải bài toán đồng
thời cũng đưa ra những ví dụ điển hình cho các dạng hệ phương
trình đó. Giúp ta có cái nhìn khái quát về hệ phương trình và tìm hiểu
về cách sáng tạo ra các hệ phương trình đó. Các kiến thức có thể
tham khảo tại các tài liệu [1], [2], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
1.1. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Định nghĩa 1.1. Biểu thức có dạng:

ì a1 x + b1 y = c1 ,
í
î a2 x + b2 y = c2 ,

(1.1)

trong đó ai , bi , ci Î ¡ (i = 1, 2) ; x, y là nghiệm cần phải tìm,
được gọi là hệ phương trình tuyến tính bậc nhất.
Ta đưa vào điều kiện: a12 + b12 ¹ 0; a2 2 + b2 2 ¹ 0.
Định nghĩa 1.2.

Rõ ràng là hệ trên có thể có một nghiệm, có thể vô nghiệm
hoặc có vô số nghiệm. Ta kí hiệu:

D=

a1
a2

b1
c
, Dx = 1
b2
c2

b1
a
, Dy = 1
b2
a2

b1
.
b2

Định lý 1.1.
Nếu D ¹ 0 thì hệ (1.1) có nghiệm duy nhất được xác định bằng:

x=

Dx

;
D

y=

Dy
D

.


5
Ví dụ 1.1.
Định lý 1.2. Nếu D = 0 và Dx ¹ 0 hoặc D y ¹ 0 thì hệ (1.1) vô
nghiệm.
Ví dụ 1.2.
Định lý 1.3. Nếu D = 0 và Dx = 0 hoặc Dy = 0 thì hệ có vô số
nghiệm.
Ví dụ 1.3.
Nhận xét 1.1.
Ví dụ 1.4.
Định nghĩa 1.3. Biểu thức có dạng:

ì Ax + By + C = 0,
(1.7)
í 2
2
î ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0,
trong đó A, B, C , a, b, c, d , f Î ¡ ; x, y là nghiệm cần phải tìm,
được gọi là hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một

phương trình bậc hai.
Ta đưa vào điều kiện: A2 + B 2 ¹ 0; a 2 + c 2 ¹ 0 .
Định nghĩa 1.4.
Ví dụ 1.5.
Định nghĩa 1.5. Biểu thức có dạng:
2
2
ïì a1 x + b1 xy + c1 y = d1 ,
í 2
2
ïî a2 x + b2 xy + c2 y = d 2 ,

(1.10)

trong đó ai , bi , ci Î ¡ , i = 1, 2 ; x, y là nghiệm cần phải tìm, được
gọi là hệ phương trình tổng quát bậc hai.
Ta đưa vào điều kiện: a12 + c12 ¹ 0, a2 2 + c2 2 ¹ 0 .


6
Định nghĩa 1.6.
Ví dụ 1.6.
Định nghĩa 1.7. Hệ phương trình có dạng:

ì f ( x, y ) = 0,
í
î g ( x, y ) = 0,
trong đó khi đổi vai trò của x, y thì từng phương trình của hệ
không đổi, được gọi là hệ phương đối xứng loại một.
Nói cách khác, ta có được:

Định nghĩa 1.8.

ì f ( x, y ) = f ( y, x),
(1.13)
í
=
g
(
x
,
y
)
g
(
y
,
x
).
î

Hệ quả 1.1.
Nhận xét 1.2.
Ví dụ 1.7.
Định nghĩa 1.9. Biểu thức có dạng:

ì f ( x, y ) = g ( x, y ),
í
î f ( y, x) = g ( y, x),
trong đó ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành

phương trình kia của hệ và ngược lại, được gọi là hệ phương trình
đối xứng loại hai.
Định nghĩa 1.10.
Ví dụ 1.8.
Định nghĩa 1.11.
Định nghĩa 1.12.
Ví dụ 1.9.


7
Định nghĩa 1.13. Biểu thức có dạng:

ì f ( x1 ) = g ( x2 ),
ï f ( x ) = g ( x ),
2
3
ïï
í...
ï f ( x ) = g ( x ),
n -1
n
ï
ïî f ( xn ) = g ( x1 ),

(1.20)

trong đó xi (i = 1; n) là nghiệm cần phải tìm, được gọi là hệ phương
trình hoán vị.
Định nghĩa 1.14.
Định lý 1.4. Nếu hai hàm số f ( x), g ( x) cùng tăng trên tập A và

( x1 , x2 ,..., xn ) là nghiệm của hệ (trong đó xi Î A, i = 1; n ) thì
x1 = x2 = ... = xn .
Định lý 1.5.
Định lý 1.6.
Trong giới hạn của luận văn ta chỉ xét hệ lặp ba ẩn:
Ví dụ 1.10.
Ví dụ 1.11.
Định nghĩa 1.17. Biểu thức có dạng:
m
n
ïì f ( x , y ) = 0,
í
h
k
ïî g ( x , y ) = 0,

trong đó m, n, h, k Î ¡ , x, y là nghiệm cần phải tìm, được gọi là
hệ phương trình bậc cao.
Định nghĩa 1.1.18.
Ta đưa và một số phương pháp giải sau:


8
a. Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1.12.
Nhận xét 1.3.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.13.
c. Sử dụng phương pháp đánh giá

Ví dụ 1.14.
d. Sử dụng phương pháp đồng bậc
Ví dụ 1.15.
Ví dụ 1.16.
Ví dụ 1.17.
1.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nội dung của phần này nói về các phương pháp đi tìm
nghiệm của hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình
có chứa căn thức.
a. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1.18.
Nhận xét 1.4.
Ví dụ 1.19.
b. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.20.
c. Sử dụng phương pháp hàm số
Ví dụ 1.21.
d. Sử dụng phương pháp đánh giá
Ví dụ 1.22.


9
1.3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi
tìm nghiệm của hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương
trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
a. Giải bằng định nghĩa và phương pháp chia khoảng
Ví dụ 1.23.
b. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.24.

c. Giải bằng phương pháp hàm số
Ví dụ 1.25.
d. Sử dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1.26.
e. Sử dụng phương pháp đánh giá.
Ví dụ 1.27.
Ví dụ 1.28.
f. Sử dụng phối hợp nhiều phương pháp
Ví dụ 1.29.
1.4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi
tìm nghiệm của các dạng hệ phương trình lượng giác cơ bản:
a. Với các hệ phương trình lượng giác dạng:

ìsin x ± sin y = m,
í
îx ± y = a.
ì tan x ± tan y = m,
í
îx ± y = a.

ìcos x ± cos y = m,
í
îx ± y = a.
ìcot x ± cot y = m,
í
îx ± y = a.


10

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:
Chuyển tổng f ( x) ± f ( y ) = m thành tích.
Nhận xét 1.5. Phương pháp chung là nếu biết tổng x + y thì cần tìm
hiệu x - y hay ngược lại, bằng các công thức biến đổi, tức là:

f ( x) ± f ( y ) = m Û g1 ( x + y ).g 2 ( x - y ) = m1 ,
từ đó ta thay phương trình x ± y = a vào phương trình trên để tìm
biểu thức còn lại.
Ví dụ 1.30.
b. Với hệ phương trình lượng giác có dạng:

ìs inx.sin y = m,
í
îx ± y = a.
ìs inx.cos = m,
í
îx ± y = a.

ìcos x.cos y = m,
í
îx ± y = a.
ì tan x.tan y = m,
í
îx ± y = a.

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:
Chuyển tích f ( x).g ( y ) = m thành tổng.
Ví dụ 1.31.
c. Với các hệ phương trình lượng giác dạng:

ì f ( x)
= m,
ï
í f ( y)
ïx ± y = a ,
î
trong đó f ( x) là một hàm số lượng giác theo biến x .
Ví dụ 1.32.
Ví dụ 1.33.
d. Với hệ phương trình lượng giác dạng

(1.54)


11

ìs inx = f ( y ),
í
îcos x = g ( y ).
Ta sử dụng phương pháp bình phương:
+ Bước 1: Bình phương phương trình thứ nhất và thứ hai rồi cộng lại
để thu được phương trình hệ quả:

f 2 ( y) + g 2 ( y) = 1 .

(1.58)

+ Bước 2: Giải phương trình (1.58) để nhận được y , rồi thay vào hệ
để thu được x .
Nhận xét 1.6.

e. Với hệ phương trình lượng giác dạng

ì 1
= f ( y ),
ï
í cos x
ïî tan x = g ( y ),

hoặc

ì 1
= f ( y ),
ï
í s inx
ïîcot x = g ( y ),

Ví dụ 1.34.
Một số phương pháp đưa vào giải hệ phương trình lượng giác:
* Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.35.
* Sử dụng phương pháp hàm số
Ví dụ 1.36.
1.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm
nghiệm của hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình
mũ.
a. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.37.
b. Sử dụng phương pháp hàm số

12
Ví dụ 1.38.
Ví dụ 1.39.
c. Sử dụng phương pháp đánh giá
Ví dụ 1.40.
1.6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm
nghiệm của hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình
logarit.
a. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1.41.
b. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
c. Sử dụng phương pháp hàm số
Ví dụ 1.43.
1.7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm
nghiệm của một số hệ phương trình.
a. Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1.44.
Ví dụ 1.46.
b. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.47.
c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá
Ví dụ 1.48.
d. Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Ví dụ 1.49.
Ví dụ 1.50.
Ví dụ 1.51.

13
1.8. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Khi giải hệ phương trình dù có dùng cách nào biến đổi đi
chăng nữa thì mục đích cuối cùng của ta cũng là chuyển về
phương trình một biến rồi giải phương trình thu được. Đó cũng là
suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến là quy luật trong toán học.
Ví dụ 1.52.
Ví dụ 1.53. Giải hệ phương trình:

Nhận xét 1.8.

ìï x 2 - 2 xy + x + y = 0,
(1.90)
í 4
2
2
2
ïî x - 4 x y + 3 x + y = 0.

Ví dụ 1.54.
Nhận xét 1.9.
Ví dụ 1.55.
Nhận xét 1.10.
Ví dụ 1.56.
Nhận xét 1.11. Ở ví dụ 1.56 chúng ta thấy f (t ) không đơn điệu
trên ¡ . Do đó phải có thêm nhận xét. Đây chính là mấu chốt của
bài toán.
Sau đây là bài toán thay vì ta đánh giá riêng lẻ x, y, z , ta sẽ đánh
giá những biểu thức hoán vị của x, y, z là x + y , y + z , z + x .

Ví dụ 1.57. (VMO 2006) Giải hệ phương trình:

ì x 3 + 3x 2 + 2 x - 5 = y,
ï 3
2
í y + 3 y + 2 y - 5 = z,
ï z 3 + 3 z 2 + 2 z - 5 = x.
î


14
Nhận xét 1.12. Cách thứ nhất là phương pháp dùng bất đẳng thức,
cách thứ hai ta thấy việc đánh giá x + y , y + z , z + x rõ ràng có lợi
thế của nó. Ta vẫn có thể so sánh x + y , y + z , z + x dựa vào mối
quan hệ hoán vị giữa x, y, z . Ta cũng xét một ví dụ tương tự sau:
Ví dụ 1.58. Giải hệ phương trình:

ì x = 3 y3 + 2 y2 ,
ï
3
2
í y = 3z + 2 z ,
ï z = 3 x3 + 2 x 2 .
î
Nhận xét 1.13. Câu hỏi đặt ra là khi nào xét x + y , y + z , z + x ?
Mấu chốt ở đây chính là xây dựng một hàm đơn điệu trên miền
xác định. Nếu để nguyên hệ phương trình ta xét f (t ) = 3t 3 + 2t 2
thì f '(t ) = 9t 2 + 4t có nghiệm t = 0 nên f (t ) có thể đổi chiều
đơn điệu. Như vậy ta phải biến đổi phương trình để có được một
hàm đơn điệu bằng cách cộng hai vế của phương trình thứ nhất

cho ky , tương tự với phương trình thứ hai và phương trình thứ ba.
Như vậy hệ trở thành

Ví dụ 1.59.
Ví dụ 1.60.
Nhận xét 1.14.
Nhận xét 1.15.
Ví dụ 1.61.
Nhận xét 1.16.

ì x + ky = 3 y 3 + 2 y 2 + ky,
ï
3
2
í y + kz = 3 z + 2 z + kz ,
ï + = 3+ 2+
î z kx 3 x 2 x kx.


15
Ví dụ 1.62.
Nhận xét 1.17.
1.9. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ MỘT SỐ ĐỀ OLYMPIC, HỌC
SINH GIỎI
a. Phương pháp cộng, phương pháp thế trong việc sáng tác
bài toán mới
Đây là phương pháp cơ bản nhất. Từ bài học “vỡ lòng” đã có
phương pháp này. Tuy nhiên phương pháp này vẫn thường xuất hiện
trong các kỳ thi lớn, những kỳ thi chỉ dành cho những học sinh xuất
sắc. Sau đây là một số kĩ thuật giải và sáng tác bài toán.

Ví dụ 1.63.
Ví dụ 1.64.
Nhận xét 1.18.
Ví dụ 1.65. Xuất phát từ biến đổi tương đương ta chọn:

( v + 5) = ( u - 3) Û u 3 + v3 - 9u 2 + 15v = -98 - 72u - 75v .
Khi ( u; v ) = ( 3; -5 ) thì (1.109) đúng, với ( u; v ) = ( 3; -5 ) thì:
3

3

u 3 + v3 = -98 .

(1.110)

Từ (1.109) và (1.110) ta được:

3u 2 - 5v 2 = 9u + 25v .
(1.111)
Đặt u = x + y, v = x - y . Thay vào (1.110) và (1.111) ta ví dụ sau:
Ví dụ 1.66. (HSG Quốc gia – 2014, bảng B).
Nhận xét 1.19.
b. Sử dụng nhị thức Niu-tơn sáng tác một số hệ phương
trình không mẫu mực
Ví dụ 1.67.
Ví dụ 1.68.
Ví dụ 1.69. Từ

ìï( x + y )5 = 3,
ìï x + y = 5 3,

Ûí
í
5
ïî x - y = 1.
ïî( x - y ) = 1.


16
Bằng một số phép biến đổi ta có được ví dụ sau:
Ví dụ 1.70. (Chọn đội tuyển thành phố Hồ Chí Minh dự thi HSG
Quốc gia 2002-2003). Giải hệ phương trình:

ì1 1
4
4
ï x - 2 y = 2( y - x ),
ï
í
ï 1 + 1 = (3x 2 + y 2 )( x 2 + 3 y 2 ).
ïî x 2 y
c. Bài toán về hệ đối xứng loại một
Ví dụ 1.71. Xét x = 3, y = 0. Cần có một hệ bậc hai đối xứng với S
và P . Ta chỉ cần tính xy + x + y = 3, x 2 + y 2 + x + y = 12 .
Ta có ví dụ sau:
Ví dụ 1.72. (Canadian Mathematical Olympiad Repechage 2011)
Ví dụ 1.73.
Ví dụ 1.74.
d. Bài toán về hệ đối xứng loại hai
Ví dụ 1.75.
Ví dụ 1.76.

Ví dụ 1.77.
Ví dụ 1.78.
Ví dụ 1.79. Chọn phương trình ( x + y ) 2 + ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 = 0, ta
biến đổi thành: Û y + x - 1 = y 2 + xy + x 2 .

(1.123)

Ta biết rằng khi giải hệ đối xứng loại hai, nếu lấy hai phương trình
trừ cho nhau sẽ xuất hiện

é y - x = 0,
( y - x ) f ( x, y ) = 0 Û ê
ë f ( x, y ) = 0.


17
Vậy để tạo ra một hệ đối xứng loại hai, ta nhân cả hai vế của (1.123)
với ( y - x), dẫn tới:

y 2 - x 2 + x - y = y 3 - x 3 Û y 3 - y 2 - x + C = x 3 - x 2 - y + C.
Từ đây ta sẽ có rất nhiều hệ đối xứng loại hai.
Từ hệ (1.121) này, nếu y = x thì x3 - x 2 - x - C = 0, do đó ta nên
chọn C sao cho hệ phương trình có nghiệm “đẹp” để bài toán không
quá khó. Giả sử chọn C = 0 . Ta có ví dụ sau:
Ví dụ 1.80. (Czech And Slovakia Mathematical Olympiad 2008).
Giải hệ phương trình:

ìï x + y 2 = y 3 ,
í
2

3
ïî y + x = x .
e. Các hệ bậc hai tổng quát
Ví dụ 1.81. Từ một hệ đẳng cấp bậc hai, bằng cách tịnh tiến nghiệm,
ta sẽ thu được một hệ bậc hai tổng quát. Xét hệ:

ìïu 2 + uv + 2v 2 = 4,
í 2
2
ïî3u - uv - v = 1.

Đặt u = x + 2, v = y - 3 .

Ta thu được ví dụ sau:
Ví dụ 1.82.
Nhận xét 1.20.
f. Đề xuất giải hệ phương trình bằng phương pháp dùng tính
đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1.83.
Ví dụ 1.84.
Nhận xét 1.21.


18
CHƯƠNG 2
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TÌM NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách tổng quan
về phần mềm Maple và cách sử dụng phần mềm Maple để tìm
nghiệm một số hệ phương trình. Các kiến thức này có thể tham

khảo tại các tài liệu [3], [4], [12], [13], [14],[15],[16],[17].
2.1. TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MAPLE
Phần mềm Maple là thành quả của nhóm các nhà khoa học
trường Đại học Waterloo – Canada và là một trong những bộ phần
mềm toán học sử dụng rộng rãi nhất hiện nay.
Đề tài này chỉ đề cập đến một vấn đề rất nhỏ: Sử dụng phần mềm
Maple vào việc giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT.
Vì đây là nội dung quan trọng xuyên suốt chương trình đại số ở
trường THPT và nó được đề nhiều trong các kì thi Đại học, Học sinh
giỏi và Olympic.... Điều này đòi hỏi không những bản thân giáo viên
cần có những kĩ năng tốt mà còn phải biết hướng dẫn giảng dạy chỉ
rõ cho học sinh của mình về các công đoạn, hướng suy luận logic và
các phương pháp giải bài tập mẫu, biết cách khai thác để tạo ra
những bài tập tương tự và khái quát hơn.
2.2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TÌM
NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Một trong những ưu điểm nổi bật của Maple là các lệnh viết như
ngôn ngữ thông thường, đơn giản, cùng với khả năng tính toán
nhanh, chính xác. Chính những ưu điểm đó đã giúp chúng ta có thể
kiểm tra kết quả sau khi giải phương trình, hệ phương trình một cách
dễ dàng và không mất nhiều thời gian.


19
Tóm lại, sử dụng Maple trong việc tìm nghiệm của phương trình,
hệ phương trình mang lại lợi ích hết sức to lớn trong việc kiểm tra
đánh giá nâng cao kĩ năng tính toán. Và lệnh “solve” là lệnh được
dùng để giải tìm nghiệm của hệ phương trình mà chúng ta sẽ phải
nghiên cứu.
Màn hình làm việc của Maple:

Các phép tính cơ bản:
a. Xây dựng biểu thức
b. Khai triển biểu thức: lệnh expand
Ví dụ 2.1.
Ví dụ 2.2.
c. Xác định giá trị: lệnh evalf
Ví dụ 2.3.
d. Tính tổng: lệnh sum
Ví dụ 2.4.
e. Phân tích đa thức thành nhân tử: lệnh factor
f. Tính giá trị biểu thức với hệ điều kiện rằng buộc của các
biến ta sử dụng lệnh: simplify(biểu thức,{điều kiện})
g. Giải hệ phương trình


20
Với lệnh solve này thì ta có thể giải rất nhiều loại hệ phương
trình từ đơn giản đến phức tạp.
Ví dụ 2.5.
2.3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TÌM NGHIỆM HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 2.6.
Ví dụ 2.7.
Ví dụ 2.8.
Ví dụ 2.9.
Ví dụ 2.10.
Ví dụ 2.11.
Ví dụ 2.12.
Ví dụ 2.13.

Ví dụ 2.14.
Ví dụ 2.15.
Ví dụ 2.16.
Ví dụ 2.17.
Ví dụ 2.18.
Ví dụ 2.19.
Ví dụ 2.20.
Ví dụ 2.21.
Nhận xét 2.1.
2.4. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢNG DẠY
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHỐI THPT
a. Hiệu quả ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy
Hiện nay chúng ta đang chứng kiến sự phát triển như vũ bão
của công nghệ thông tin và truyền thông (ITC). Các nhà khoa học đã


21
khẳng định: chưa có một ngành khoa học và công nghệ nào lại phát
triển nhanh chóng, sâu rộng và có nhiều ứng dụng như tin học. Sự ra
đời của Internet, nó đã mở ra một kỷ nguyên thông tin.
Ngày nay phần mềm đã trở nên rất phong phú, đa dạng, trong
đó có rất nhiều phần mềm có thể khai thác để rèn luyện kỹ năng thực
hành cho học sinh. Chẳng hạn với phần mềm Maple, học sinh có thể
rèn luyện các kỹ năng cơ bản về khảo sát hàm số, tính diện tích của
một miền phẳng.... Phần mềm Maple còn giúp học sinh rèn luyện
việc dụng hình, tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình... Như
vậy việc luyện tập và tự kiểm tra đánh giá của học sinh không còn bị
hạn chế về mặt thời gian và nội dung như các phương pháp kiểm tra
thông thường.
b. Kết quả nhận được khi sử dụng dụng phần mền Maple

vào giảng dạy
Ví dụ 2.22.
Ví dụ 2.23. (HSG Quốc gia – 2010). Giải hệ phương trình:
4
4
ïì x - y = 240,
í 3
(2.18)
3
2
2
ïî x - 2 y = 3( x - 4 y ) - 4( x - 8 y ).

Nhận xét 2.3. Do x, y tách biệt ta hi vọng đưa hai phương trình của
hệ về dạng ( x + a ) 4 = ( y + b)4 . Muốn vậy ta lấy phương trình thứ
hai nhân với a rồi cộng phương trình thứ nhất.

x 4 + a ( x3 - 3x 2 + 4 x) = y 4 + 240 + a (2 y 3 - 12 y 2 + 32) .
Cần chọn a sao cho: ( x + a ) 4 = ( y + b)4 .


22
Đây chính là phương pháp hệ số bất định như đã nói trên. Như
vậy, ta cần phân tích ( x + a ) 4 = ( y + b)4 , trong Maple ta dùng
lệnh “expand”.

Như vậy đồng nhất hệ số ta có được:

ìa = -8,
ï

ía = -2,
ïb = -4.
î
Lấy phương trình thứ hai nhân với (- 8) rồi cộng phương trình thứ
nhất ta có

x 4 + 16 - 8( x 3 - 3x 2 + 4 x) = y 4 + 256 - 8(2 y 3 - 12 y 2 + 32 y ).
Sử dụng lệnh “factor” để phân tích biểu thức trên về dạng nhân tử:


23
Đến đây bài toán đã trở nên dễ dàng.
Nếu x = y - 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ (2.18) có:

Như vậy ta có:

8 y 3 - 24 y 2 + 32 y + 224 = 0 Û y = -2 Þ x = -4 .
Nếu x = 6 - y thay vào phương trình thứ nhất của hệ (2.18) có:

Như vậy ta có: y 3 - 9 y 2 + 36 y - 44 = 0 Û y = 2 Þ x = 4 .

Vậy hệ ban đầu đã cho có nghiệm ( x; y ) = {(-4; -2), (4; 2)} .
Nhận xét 2.4.