TỔNG hợp các DẠNG bài tập HÌNH học KHÔNG GIAN

Luyện Thi Quốc Gia
LUYỆN TẬP
Bài 1:
Cho hình chóp
SABC có đáy
ABC là tam giác
vuông tại B. SA
vuông (ABC).

Cho hình chóp SABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại B.
hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuông với (ABC).

Cho tam giác
ABC vuông tại
B. Lấy điểm S
nằm ngoài
(ABC) sao cho
SA vuông
(ABC).

Cho tam giác ABC vuông tại B.
kẻ tia Ax vuông góc (ABC). Lấy
điểm S trên tia Ax.

1/ Góc hợp bởi
SB và mặt
(ABC)

Do SA  ( ABC )

 AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC).

2/ Góc hợp bởi
SC và mặt
(ABC)

Do SA  ( ABC )
 AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC).

3/ CMR: tam
giác SBC vuông.

 BC  AB
 BC  SB (định lí ba đường vuông

 BC  SA

.
 góc hợp bởi SB và (ABC) là góc SBA

.
 góc hợp bởi SC và (ABC) là góc SCA

góc).

 SBC  B .

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

Luyện Thi Quốc Gia
4/ Góc hợp bởi
SC và mặt (SAB)

 BC  AB
 BC   SAB 

BC

SA

 SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB).
.
 góc hợp bởi SC và (SAB) là góc CSB

5/ Góc hợp bởi
SB và mặt (SAC)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC

6/ Góc hợp bởi
(SBC) và mặt
(ABC)

 SBC    ABC   BC

 AB  BC
 SB  BC


 Góc hợp bởi (SBC) và (SAC) là góc tạo bởi hai

đường thẳng SB và AB hay SBA

7/ Tính thể tích
khối SABC.

1
1
VSABC  SA.SABC  SA. AB. AC
3
6

8/ Xác định tâm
và bán kính mặt
cầu đi qua 4
điểm S,A,B,C.

Cách 1:
Gọi I là trung điểm của SC.

 BE  AC

 BE  ( SAC )
 BE  SA
 SE là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC).
.
 góc hợp bởi SB và (SAC) là góc BSE

SAC  A  IA  IS  IC (1)

(dựa vào câu 3)

SBC  B  IB  IS  IC (2)
Từ (1) và (2) suy ra

IA  IS  IC  IB
 I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm S,A,B,C. Với bán
1
kính R  SC .
2
Cách 2: (thực hiện 4 bước tổng quát)

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
9/ Gọi M là trung
điểm của SB, N
là điểm trên SC
sao cho
NS=2NC.
Tính thể tích
khối AMNCB.

Ta có:

9/ Gọi G là trọng
tâm tam giác
SBC. Mp (P) qua

AG và // BC, cắt
SB, SC tại M, N.
Tính thể tích
khối AMNCB.

Gọi K là trung điểm BC. G là trọng tâm của tam giác
SBC
Trong tam giác SBC qua G kẻ // BC, cắt SB tại M, SC
tại N.

VSAMN SM SN 1 2 1

.
 . 
VSABC
SB SC 2 3 3
1
VSAMN  VSABC
3
2
 VAMNCB  VSABC
3

MN / / BC


SM SN SG 2




SB SC SI 3

Ta có:

VSAMN SM SN 4

.

VSABC
SB SC 9
4
VSAMN  VSABC
9
5
 VAMNCB  VSABC
9
10/ Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu
vuông góc của A
lên SB và SC.
Tính tỉ lệ thể tích
của chóp SABC
được chia bởi
(AHK).

SAB  A :
SH SH .SB
SA2



SB
SB 2
SA2  AB 2
SAC  A :
SK SK .SC
SA2

 2
SC
SC 2
SA  AC 2
Ta có:

VSAHK SH SK 

.

VSABC SB SC 


V
 SABC
 
 VAHKCB 
VSABC

V

 SAHK 
VAHKCB   

VSAHK 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


11/ Tính

d  A;  SBC  

Luyện Thi Quốc Gia
Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của A lên SB

 AH  SB

(C 3) : BC  ( SAB)  AH  AH  BC
 AH  ( SBC )
 d  A;  SBC    AH
Tính AH bằng các công thức sau:

1
1
1
SA2 . AB 2



AH


AH 2 SA2 AB 2
SA2  AB 2
AB. AC
 AB. AC  AH .BC  AH 
BC
  AH  AH  AB.sin SBA

 sin SBA
AB


Cách 2:

d  C ;  SAB  

1
VSABC  d  A;( SBC )  .SSBC
3
3.V
SA. AB. AC
 d  A;( SBC )   SABC 
SSBC
SB.BC
(C3): BC  ( SAB)
 d  C ;( SAB )   BC

13/ Tính

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC

d  B;  SAC  

 BE  AC

 BE  ( SAC )
BE

SA

d  B;  SAC    BE

12/ Tính

(tính BE như các công thức C11)
14/ Tính

d  SA;BC 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

 AB  SA
 d  SA; BC   AB

AB

BC


14/ Tính

Luyện Thi Quốc Gia
Gọi P sao cho PACB là hình bình hành.

d  SB;AC 

AC / / BP, BP  (SBP)
 d  AC ;SB   d  AC;(SBP)   d  A;(SBP) 
Gọi K là hình chiếu của A lên BP. H là hình chiếu của
A lên SK.

AH  SK (1)
 BP  AK
 BP  ( SAK )  AH

 BP  SA

 AH  BP (2)
Từ (1), (2) AH  ( SPB )
 d  A;(SBP)   AH
15/ Tính

Gọi P sao cho ABCP là hình bình hành.

d  SC ; AB 

Vì 
ABC  900  ABCP là hình chữ nhật.

AB / / CP, CP  ( SCP)
 d  AB; SC   d  AB;( SCP )   d  A;( SCP) 
Gọi H là hình chiếu của A lên SP.

AH  SP (1)
CP  AP
 CP  ( SAP)  AH

CP  SA

 AH  CP (2)
Từ (1), (2) AH  ( SCP)
 d  A;(SCP)   AH
16/ Tính

Ta có:

d  Q;  SBC   .

QA (SBC)  B

Q thuộc AB sao
cho AQ  nQB

d  Q;(SBC)  QB

d  A;(SBC)  QA
QB
 d  Q;(SBC)  

d  A;(SBC) 
QA

17/ Tính

d  G;  SBC   .
G là trọng tâm
của tam giác
SAB.

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304



Bài toán quay về C11.
Gọi M là trung điểm của AB. G là trọng tâm của tam
giác SAB.

GM  (SBC)  S
d  G;(SBC)  GS 2


d  M ;(SBC)  MS 3
2
 d  G;(SBC)   d  M ;(SBC)  (1)
3


Luyện Thi Quốc Gia

AM  (SBC)  B
d  A;(SBC)  AB

2
d  M ;(SBC)  MB
1
 d  M ;(SBC)   .d  A;(SBC)  (2)
2


Từ (1), (2) suy ra

1
d  G;(SBC)   d  A;(SBC) 
3
Bài toán quay về C11.
Áp dụng thực tế

AB  a , BC  a 2 , AB  a 3
AB  BC  a , SB  a 3
AB  a , BC  a 2 , góc hợp bởi SB và (ABC) là 600 .
AB  a , AC  a 5 , góc hợp bởi SC và (SAB) là 300 .
1
AB  a , AC  a 5 , d  A;  SBC    a
2
Bài 2:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA  ( ABCD). O  AC  BD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nẳm rõ bài 1 để trình bày và lý luận.
1/ Góc hợp bởi SB và


SB
;  ABCD   SBA
mặt (ABCD)
2/ Góc hợp bởi SC và


SC
;  ABCD   SCA
mặt (ABCD)
3/ Góc hợp bởi SD và


SD
;  ABCD   SDA
mặt (ABCD)
4/ Góc hợp bởi SC và


SC ;  SAB   CSB
mặt (SAB)
5/ Góc hợp bởi SC và


SC
;  SAD   CSD
mặt (SAD)

6/ Góc hợp bởi (SBC)

SBC  ;  ABCD   SBA

và mặt (ABCD)





Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

















Luyện Thi Quốc Gia


SCD  ;  ABCD   SDA


7/ Góc hợp bởi (SCD)
và mặt (ABCD)
8/ Góc hợp bởi (SBD)
và mặt (ABCD)
9/ Góc hợp bởi (SBC)
và mặt (SAB)




SBD  ;  ABCD    SOA


Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB.
Cách 1:

( SAB)  ( SBC )  SB

 AH  SB
 BC  SB

SBC  ;  SAB   
AH ; BC




 



Cách 2:

 AH  ( SBC )

 AD  ( SAB )
SBC  ;  SAB   
AH ;AD



10/ Góc hợp bởi
(SCD) và mặt (SAD)

 



Tương tự C9

SBC  ;  SAB  

 
AH ; CD



 
AH ;AB 
11/ Góc hợp bởi
(SBC) và mặt (SCD)

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC
( khi đó H cũng là hình chiếu vuông góc của
D lên SC).


SBC  ;  SCD     BH
;DH 

Cách 2:
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A lên SB, SD.

SBC  ;  SCD     
AM ; AN 

12/ Tính thể tích các
khối:…..

1
1
VSABCD  SA.S ABCD  SA. AB 2

3
3
1
VSABC  VSABD  VSACD  VSBCD  VSABCD
2

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


13/ Xác định tâm và
bán kính mặt cầu
ngoại tiếp chóp
SABCD

Luyện Thi Quốc Gia
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của SC.

SAC  A  IA  IS  IC (1)
SBC  B  IB  IS  IC (2)
SCD  D  ID  IS  IC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra

IA  IB  IC  ID  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp
1
SABCD với bán kính R  SC
2
14/ Tính

d  A;  SBC  

15/ Tính

d  A;  SCD  

16/ Tính

d  A;  SBD  

17/ Tính

d  B;  SCD  

Cách 2: (thực hiện 4 bước tổng quát)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB.

d  A;  SBC    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.

d  A;  SBC    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SO.

d  A;  SBD    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD)

 d  B;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


18/ Tính

d  M ;  SCD   . Với
M thuộc AB.

19/ Tính

d  O;  SCD   .

Luyện Thi Quốc Gia
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD) , M  AB

 d  M;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AO  ( SCD)  C

d  A;( SCD)  AC

2
d  O;( SCD)  OC
1
 d  O;( SCD )   AH
2



20/ Tính

d  P;  SCD   . Với
P là trung điểm BO.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do PB  ( SCD )  O

d  P;( SCD)  PO 1


d  B;( SCD)  BO 2
1
 d  P;( SCD)   d  B;( SCD ) 
2
Do AB / /( SCD)
 d  A;( SCD)   d  B;( SCD) 
1

Vậy: d  P;( SCD)   d  A;( SCD) 
2


21/ Tính

d  G;  SCD   . Với
G là trọng tâm của
tam giác SAB

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD. M là trung điểm AB.

2
d  G;( SCD)   d  M;( SCD) 
3
d  M;( SCD)   d  A;( SCD ) 
 d  G;( SCD)  

2
AH
3

22/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SB; AD  .

d  SB; AD   AH

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


23/ Tính

d  AB;SC  .

Luyện Thi Quốc Gia
Cách 1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC

d  AB;SC   BH
Cách 2:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SD

AB / /(SCD)
 d  AB;SC 

 d  AB;  SCD  
 d  A;  SCD    AK
24/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC

d  BD;SC  .

d  BD;SC   OH

25/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SC;AD  .

AD / /( SCB)
 d  AD; SC   d  AD;(S CB ) 
 d  A;( SCB)   AH

26/ Tính

d  SB; CD  .

27/ Tính

d  BM ; CD  . Với M
là trung điểm SC.

d  SB; CD   AD

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AK.

CD / / AB  ( MAB)
 CD / /( MAB )
 d  CD; BM   d  CD;( MAB) 
 d  C ;( MAB) 
1
1

 d  O;( MAB )   OH
2
2

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
28/ Gọi H, I, K lần
lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên
SB, SC, SK.
CMR: A,H,I,K đồng
phẳng.
Tính thể tích khối
SAHIK.

 SC  AH
 SC  ( AHK )
SC

AK

Mà AI  SC
 AI  ( AHK ) …
Gợi ý: 

Ta có:

VSAHI SH SI

.
VSABC SB SC
SA2
SA2
 2
.

SA  AB 2 SA2  AC 2
 VSAHI  VSABC
 2VSAHI   2VSABC

29/ Gọi G là trong tâm
tam giác SBD. (P) qua
AG song song BD cắt
SB, SC, SD tại M, N,
Q.
Tính thể tích khối
SAMNQ.

 VSAHIK  VSABCD
VSAMN SM SN 1

.

VSABC
SB SC 3
1
 VSAMN  VSABC

3
1
 2VSAMN  .2VSABC
3
1
 VSAMNQ  VSABCD
3

Áp dụng thực tế

AB  a , SB  a 2
AB  2a , góc hợp bởi của SC và mặt (ABCD) là 450
AB  a , góc hợp bởi của (SBD) và mặt (ABCD) là 300
SB  a , góc hợp bởi của SC và mặt (SAB) là 600
Bài 3:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA  ( ABCD). O  AC  BD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nẳm rõ bài 1 để trình bày và lý luận.

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
1/ Góc hợp bởi SB và
mặt (ABCD)
2/ Góc hợp bởi SC và
mặt (ABCD)
3/ Góc hợp bởi SD và
mặt (ABCD)

4/ Góc hợp bởi SC và
mặt (SAB)
5/ Góc hợp bởi SC và
mặt (SAD)
6/ Góc hợp bởi (SBC)
và mặt (ABCD)
7/ Góc hợp bởi (SCD)
và mặt (ABCD)
8/ Góc hợp bởi (SBD)
và mặt (ABCD)
9/ Góc hợp bởi (SBC)
và mặt (SAB)



SB
;  ABCD   SBA





;  ABCD    SCA
 SC


;  ABCD    SDA
 SD

SC ;  SAB    CSB




;  SAD    CSD
 SC

SBC  ;  ABCD    SBA


SCD  ;  ABCD    SDA


SBD  ;  ABCD    SOA

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB.
Cách 1:

( SAB)  ( SBC )  SB

 AH  SB
 BC  SB

SBC  ;  SAB   
AH ; BC




 



Cách 2:

 AH  ( SBC )

 AD  ( SAB )
SBC  ;  SAB   
AH ;AD



10/ Góc hợp bởi
(SCD) và mặt (SAD)

Tương tự C9

SBC  ;  SAB  

 
AH ; CD



 
AH ;AB 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

 




Luyện Thi Quốc Gia
Cách 1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC
( khi đó H cũng là hình chiếu vuông góc của
D lên SC).

11/ Góc hợp bởi
(SBC) và mặt (SCD)


SBC  ;  SCD     BH
;DH 

Cách 2:
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A lên SB, SD.

SBC  ;  SCD     
AM ; AN 

12/ Tính thể tích các
khối:…..

1

1
VSABCD  SA.S ABCD  SA. AB 2
3
3
1
VSABC  VSABD  VSACD  VSBCD  VSABCD
2

13/ Xác định tâm và
bán kính mặt cầu
ngoại tiếp chóp
SABCD

Cách 1:
Gọi I là trung điểm của SC.

SAC  A  IA  IS  IC (1)
SBC  B  IB  IS  IC (2)
SCD  D  ID  IS  IC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra

IA  IB  IC  ID  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp
1
SABCD với bán kính R  SC
2
14/ Tính

d  A;  SBC  

15/ Tính

d  A;  SCD  

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

Cách 2: (thực hiện 4 bước tổng quát)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB.

d  A;  SBC    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.

d  A;  SBC    AH


16/ Tính

d  A;  SBD  

17/ Tính

d  B;  SCD  

Luyện Thi Quốc Gia
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SO.

d  A;  SBD    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD)

 d  B;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

18/ Tính

d  M ;  SCD   . Với
M thuộc AB.

19/ Tính

d  O;  SCD   .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD) , M  AB

 d  M;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AO  ( SCD)  C

d  A;( SCD)  AC


2
d  O;( SCD)  OC
1
 d  O;( SCD )   AH
2


20/ Tính

d  P;  SCD   . Với
P là trung điểm BO.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do PB  ( SCD )  O

d  P;( SCD)  PO 1


d  B;( SCD)  BO 2
1
 d  P;( SCD)   d  B;( SCD ) 
2
Do AB / /( SCD)
 d  A;( SCD)   d  B;( SCD) 
1
Vậy: d  P;( SCD)   d  A;( SCD) 
2


Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


21/ Tính

d  G;  SCD   . Với
G là trọng tâm của
tam giác SAB

Luyện Thi Quốc Gia
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD. M là trung điểm AB.

2
d  G;( SCD)   d  M;( SCD) 
3
d  M;( SCD)   d  A;( SCD) 
 d  G;( SCD)  

2
AH
3

22/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SB; AD  .

d  SB; AD   AH

23/ Tính

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC

d  AB;SC  .

d  AB;SC   BH
Cách 2:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SD

AB / /(SCD)
 d  AB;SC 
 d  AB;  SCD  
 d  A;  SCD    AK
24/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC

d  BD;SC  .

d  BD;SC   OH

25/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SC;AD  .

AD / /( SCB)
 d  AD; SC   d  AD;(S CB) 
 d  A;( SCB)   AH

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
26/ Tính

d  SB; CD  .

27/ Tính

d  BM ; CD  . Với M
là trung điểm SC.

d  SB; CD   AD

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AK.

CD / / AB  ( MAB)
 CD / /( MAB )
 d  CD; BM   d  CD;( MAB) 
 d  C ;( MAB) 

28/ Gọi H, I, K lần

lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên
SB, SC, SK.
CMR: A,H,I,K đồng
phẳng.
Tính thể tích khối
SAHIK.

1
1
 d  O;( MAB )   OH
2
2
 SC  AH
Gợi ý: 
 SC  ( AHK )
 SC  AK
Mà AI  SC
 AI  ( AHK ) …
Ta có:

VSAHI SH SI

.
VSABC SB SC
SA2
SA2
.

SA2  AB 2 SA2  AC 2

 VSAHI  VSABC


 2VSAHI   2VSABC
29/ Gọi G là trong tâm
tam giác SBD. (P) qua
AG song song BD cắt
SB, SC, SD tại M, N,
Q.
Tính thể tích khối
SAMNQ.

 VSAHIK  VSABCD
VSAMN SM SN 1

.

VSABC
SB SC 3
1
 VSAMN  VSABC
3
1
 2VSAMN  .2VSABC
3
1
 VSAMNQ  VSABCD
3

Áp dụng thực tế

AB  a , SB  a 2
AB  2a , SB  a 2 , góc hợp bởi của SC và mặt (ABCD) là 450

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia

AB  a , SB  a 2 , góc hợp bởi của (SBD) và mặt (ABCD) là 30
SB  a , SB  a 2 , góc hợp bởi của SC và mặt (SAB) là 600

0

Bài 4:
cho hình chóp tam giác đều SABC. M là trung điểm BC, O là tâm của tam giác ABC.

1/ góc hợp bởi cạnh bên và
mặt đáy
2/ góc hợp bởi mặt bên và
mặt đáy
3/ thể tích khối chớp SABC
4/ Tính
d  A;  SBC  
 d  B;  SAC  
 d  C ;  SAB  

5/ Tính
d  SA; BC 

 d  SB; AC 
 d  SC; AB 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304



;  ABC    SAO
 SA

SBC  ;  ABC    SMA

1
3
VSABC  SO.S ABC 
SO. AB 2
3
12
cách 1:
3V
d  A;  SBC    SABC
SSBC
cách 2:
gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên SM.
d  A;  SBC    3d  O;  SBC    3OH

gọi H là hình chiếu vuông góc của M

lên SA.
d  SA; BC   d  M ; SA  MH


6/ xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SABC

Luyện Thi Quốc Gia
SO là trục của tam giác ABC.
gọi N là trung điểm SA. dựng mp
trung trực của SA cắt SO tại I.
 IA  IB  IC  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp SABC, bán kính R=IS.
để tính IS ta dùng:
cách 1:
IS NS
NSI  OSA 

SA SO
SA2
 R  IS 
2 SO
cách 2:
SN
R  IS 

cos NSI

7/ Tính thể tích khối nón
ngoại tiếp chóp SABC.

chóp SABC nội tiếp trong hình nón
có bán kính R=OA; chiều cao h=SO
và đường sinh l=SA
1
Vnon  SO. .OA2
3

8/ Tính thể tích khối trụ
ngoại tiếp chóp SABC.

chóp SABC nội tiếp trong hình trụ có
bán kính R=OA; chiều cao h=SO

Vtru  SO. .OA2

9/ gọi E là trung điểm AB.
Tính d  EC; SB 

gọi P sao cho BECP là hinh bình
hành.
CE vuông AB nên BECP là hình chữ
nhật.
kể gọi K thuộc BP sao cho OK song
song EB.
gọi H là hình chiếu của O lên SK.
d  EC; SB   d  EC;  SBP  

 d  EC;  SBP    d  O;  SBP  
 OH

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
gọi F là trung điểm AC.
K giao điểm AM với EF.
H là hình chiếu của O lên SK.
d  EC; BC   d  BC;  SEF  

10/ gọi E là trung điểm AB.
Tính d  EC; BC 

 d  C;  SEF  
 3d  O;  SEF    3OH

Áp dụng thực tế
Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3
Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp mặt đáy góc một góc 60

0

Cạnh đáy bằng 2a , mặt bên hợp mặt đáy góc một góc 30

0

cạnh bên bằng a 3 , mặt bên hợp mặt đáy góc một góc 30

Cạnh đáy bằng a , diện tích tam giác SAC bằng 4a

0

2

Cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ A đến (SBC) là a 3

Bài 5:
cho hình chóp tứ giác đều SABCD. M là trung điểm CD, O là tâm của ABCD.

1/ góc hợp bởi cạnh bên
và mặt đáy
2/ góc hợp bởi mặt bên
và mặt đáy
3/ thể tích khối chớp
SABC

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304



;  ABCD    SAO
 SA

SCD  ;  ABCD    SMO

1
1

VSABCD  SO.S ABCD  SO. AB 2
3
3


Luyện Thi Quốc Gia
gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên SM.
d  A;  SCD    2d  O;  SCD    2OH

4/ Tính
d  A;  SCD  

 d  A;  SBC  
 d  B;  SCD  
 d  B;  SAD  
...

5/ Tính
d  SA; BC 

gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên SM.
d  SB; CD 

 d  SA; CD 
 d  SB; CD 

 d  SB;  SCD  

 d  SB; AD 

 d  B;  SCD  

 ......

 2d  O;  SCD  
 2OH

6/ xác định tâm và bán
kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp SABCD

SO là trục của ABCD.
gọi N là trung điểm SA. dựng mp
trung trực của SA cắt SO tại I.
 IA  IB  IC  ID  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp SABCD, bán kính R=IS.
để tính IS ta dùng:
cách 1:
IS NS
NSI  OSA 

SA SO
SA2
 R  IS 
2 SO
cách 2:
SN

R  IS 

cos NSI

Áp dụng thực tế
Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3
Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp mặt đáy góc một góc 60

0

Cạnh đáy bằng 2a , mặt bên hợp mặt đáy góc một góc 30

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

0


Luyện Thi Quốc Gia
Bài 6:
cho hình chớp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. (tứ diện vuông OABC)

1/ Góc hợp bởi

AB; OBC  
ABO;








;
AC ;  OBC    
ACO;  BC
;  OAB    BCO

.....

2/ góc hợp bởi
(ABC) và (OBC)

gọi E là hình chiếu vuông góc của O
lên BC.
ABC  ;  OBC   
AEO






3/ thể tích khối
OABC

4/ gọi H là hình
chiếu vuông góc
của O lên (ABC).

chứng minh rằng
H là trực tâm của
tam giác ABC.

1
VOABC  OA.S OBC
3
1
 OA.OB.OC
6
kẻ AH cắt BC tại E.
do H là hình chiếu vuông góc của O
lên (ABC) nên OH vuông góc AE.
suy ra BC vuông AH nên AH đường
cao của tam giác ABC.
tương tự cho BH; CH.
vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
chú ý:
d  O;  ABC    OH


Áp dụng thực tế
OA=a, OB=b, OC=c
Bài 7:

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

1
OH

2



1
OA

2



1
OB

2



1
OC 2


Luyện Thi Quốc Gia
cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi. O là giao điểm AC và BD. Hình chiếu của S lên
(ABCD) là H thuộc AB sao cho AH=2HB.

1/ Tính thể tích khối
SABCD
2/ Tính

d  H ;  SCD  
 d  A;  SCD  
 d  B;  SCD  

1
VSABCD  SH .S ABCD
3
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H
lên CD.
J là hình chiếu vuông góc của H lên
SK.
d  H ;  SCD    HJ

 d  M ;  SCD  
M  AB

3/ Tính d  O;  SCD  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H
lên CD.
J là hình chiếu vuông góc của H lên
SK.
1
1
d  O;  SCD    d  B;  SCD    OH
2
2

4/ Tính d  HC ; SD 

Kẻ d qua D song song HC.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H
lên d.
J là hình chiếu vuông góc của H lên
SK.
d  HC ; SD   d  HC ;  SKD  
 d  H ;  SKD    HJ

Áp dụng thực tế

ABC  600 ; góc hợp bởi SC và (ABCD) là 450 .
Cạnh đáy bằng a , 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304