Đề thi thử môn toán có đáp án trường THPT Tam Đảo năm 2016

TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO

ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán - Khối A, D - Lớp: 12

Câu 1 (2.0 điểm). Cho hàm số y =

x
(C).
2x −1

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng

2
.
3

Câu 2 (1.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x + 1 trên [–
1; 5].

Câu 3 (1.0 điểm).
1

4

a) Tính: A = 81log 3 + 27 log 6 + 33log 9
b) Giải phương trình: cos3x.cos x = 1
Câu 4 (1.0 điểm). Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4

5

3

8

môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự
chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40
học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn
môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X. Tính xác suất để trong
3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học.
Câu 5 (1.0 điểm). Giải bất phương trình:

x 4 − 2 x3 + 2 x − 1
x≥ 3
(x ∈ ¡ )
x − 2x2 + 2 x

Câu 6 (1.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a,

AD=a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với
đáy một góc bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A
tới mặt phẳng (SCD).
Câu 7 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B,
AB=2BC, D là trung điểm của AB, E thuộc đoạn AC sao cho AC=3EC, biết phương
16
3
 xy ( x + 1) = x 3 + y 2 + x − y

, ( x, y ∈ ¡ ).

Câu 8 (1.0 điểm). Giải hệ PT 
2
2
3 y 2 + 9 x + 3 + ( 4 y + 2 ) 1 + x + x + 1 = 0
Câu 9 (1.0 điểm). Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2 . Tìm GTLN

trình đường thẳng CD: x-3y+1=0 , E ( ;1) . Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

(

)

(

)

của biểu thức
S=

ab
bc
ca
+
+
ab + 2c
bc + 2a
ca + 2b

-----------------Hết----------------Thí sinh không được dùng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:………………………………………………SBD:…………………

TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO

Câu

ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán - Khối A, D - Lớp: 12
Nội dung

Điểm

x
Cho hàm số y =
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2x −1
1 
• TXĐ D = ¡ \  2  .
 
lim y = +∞; lim − y = −∞
1
1
y = , đồ thị có TCN y = ; x → 1 +
1
• xlim
, đồ thị hàm số có
x → ÷
 ÷
→±∞

2
2
2
2
1
TCĐ x = .
2
1
• y ' = − ( 2 x − 1) 2 ⇒ y ' < 0, ∀x ∈ D.

• BBT
x
y'
-

1a

−∞

1.0
0.25

0.25

+∞

1/2

1
2

y

0.25

+∞

1
2

−∞


1 1



Hàm số nghịch biến trên các khoảng  −∞; ÷,  ; +∞ ÷.
2 2


• Đồ thị

0.25

1 1

Đồ thị nhận I  ; ÷ là tâm đối xứng
2 2
1b

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng

2
.
3

1.0


Với y0 =

2
x0
2
⇒
= ⇒ 4 x0 − 2 = 3 x0 ⇒ x0 = 2
3
2 x0 − 1 3

Ta có: f '( x) = −

1

( 2 x − 1)

⇒ f '(2) = −

2

1
9

0.25

1
8
 2
Vậy PT tiếp tuyến tại điểm  2; ÷ là: y = − x +
9
9
 3
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x + 1 trên [–1; 5].
y ' = 6 x 2 + 6 x − 12

2

 x = 1( ∈ [ −1;5] )
y' = 0 ⇔ 
 x = −2 ( ∉ [ −1;5] )
Ta có: y (−1) = 14, y (1) = −6, y (5) = 266
Vậy max y = 266 khi x = 5, min y = −6 khi x = 1
[ −1;5]

[ −1;5]

1

4

a) Tính: A = 81log 3 + 27log 6 + 33log 9
5

3

3log 3 32

A=3
+3
+3
2log 2
4
3
=5 +6 +3
= 54 + 63 + 22 = 845
b) Giải phương trình: cos3x.cos x = 1
PT ⇔ cos 4 x + cos 2 x = 2 ⇔ 2cos 2 2 x + cos 2 x − 3 = 0
cos 2 x = 1
⇔
⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ )
cos 2 x = − 3 ( L)

2
Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học
sinh chọn môn Hóa học.
3
Số phần tử của không gian mẫu là nΩ = C40
Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học
sinh chọn môn Hóa học”
1

1
1
1
+ C20
.C10
.C10
Số phần tử của biến cố A là n A = C101 .C202 + C102 .C20
3log3 6

2

3

3

4

Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là PA =
Giải bất phương trình:

x≥

0.5
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5

8

4
4log3 5

0.25

n A 120
=
nΩ 247

x 4 − 2 x3 + 2 x − 1
(x ∈ ¡ )
x3 − 2 x 2 + 2 x

0.25
0.25
0.5
0.25
0.25

1.0
0.25
0.5
0.25
1.0

ĐK: x > 0, BPT tương đương:
5

( )

3

x
( x + 1)( x − 1)3
( x − 1)3
x≥
⇔
≥
(1)
x + 1 ( x − 1) 2 + 1
x ( x − 1)2 + 1
t3
Xét hàm số f (t ) = 2
trên ¡
t +1
Ta có: f '(t ) =

t 4 + 3t 2

(t

2

+ 1)

2

≥ 0 ∀t ∈ ¡

Mà f(t) liên tục trên ¡ nên f(t) đồng biến trên ¡ .

0.25

0.25
0.25


3+ 5
2
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(SCD).
(1) có dạng: f

( x ) ≥ f ( x − 1) ⇔

x ≥ x −1 ⇔ 0 < x ≤

0.25
1.0

S

P
A

D

0.25

H

6

M

B

C

Ta có HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) suy ra
0
(SC;(ABCD))=(SC;AC)=¼
SCH =45
HC=a 2 suy ra SH=a 2

7

1
1
2 2 a3
VSABCD = SH .S ABCD = SH .AB.AD =
3
3
3
Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên SM khi đó HM ⊥ CD; CD ⊥ SH
suy ra CD ⊥ HP mà HP ⊥ SM suy ra HP ⊥ (SCD) Lại có AB//CD suy ra AB//
(SCD) suy ra d(A;(SCD))=d(H;(SCD))=HP
1
1

1
a 6
a 6
=
+
Ta có
suy ra HP=
vậy d(A;(SCD))=
2
2
2
HP
HM
HS
3
3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, AB=2BC,
D là trung điểm của AB, E thuộc đoạn AC sao cho AC=3EC, biết phương trình
đường thẳng CD: x-3y+1=0 , E (

16
;1) . Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
3

0.25
0.25
0.25

1.0

A

D

E
I
B

C

Gọi I = BE ∩ CD
BA 1 EA
= =
⇒ E là chân đường phân giác trong góc ABC
BC 2 EC
BD = BC ⇒ BE ⊥ CD ⇒ BE : 3x + y − 17 = 0 .
I = BE ∩ CD ⇒ Tọa độ I (5; 2)

0.25
0.25


x 5
3

Đặt BC = x > 0 ⇒ AB = 2 x; AC = x 5; EC =
∠CEB = 450 ⇒ IC = IB = BC.cos 450 =
IE 2 = CE 2 − CI 2 ⇒ IE =

x

3 2

C ∈ CD ⇒ C (3a − 1; a)

x 
uur
2  uur
⇒
IB
=
−
3
IE ⇒ B(4;5)




0.25

a = 1
BC = BI 2 ⇒ BC = 2 5 ⇔ a 2 − 4a + 3 = 0 ⇔ 
a = 3
Với a=1 thì C (2;1), A(12;1)

0.25

Với a=3 thì C (8;3), A(0; −3)
 xy ( x + 1) = x 3 + y 2 + x − y

, ( x, y ∈ ¡ ).

Giải hệ PT 
2
2
3
y
2
+
9
x
+
3
+
4
y
+
2
1
+
x
+
x
+
1
=
0
(
)

ĐKXĐ ∀x ∈ ¡ .
3

2
3
2
2
Ta có xy ( x + 1) = x + y + x − y ⇔ x − x y + y − xy + x − y = 0

)

(

)

(

1.0

y = x
⇔ ( x − y ) ( x 2 − y + 1) = 0 ⇔ 
2
 y = x +1

8

0.25

Với y = x 2 + 1 thay vào PT thứ 2 ta được

)

(

3 ( x 2 + 1) 2 + 9 x 2 + 3 + ( 4 x 2 + 6 )

(

)

1 + x + x 2 + 1 = 0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.

(

)

2
Với y = x thay vào PT thứ 2 ta được 3 x 2 + 9 x + 3 + ( 4 x + 2 )

)
( 3 + ( 2x + 1) + 2)
9 x + 3 ) = ( −2 x − 1) ( 3 + ( −2 x − 1) + 2 )
Xét hàm số f (t ) = t ( t + 2 + 2 ) ta có f '(t ) = t + 2 + 2 +
(
⇔ 3x ( 2 +

⇔ 3 x 2 + 9 x 2 + 3 = − ( 2 x + 1)

(

)

1 + x + x2 +1 = 0

0.25

2

2

2

2

2

0.25
t

2

t +2
2

> 0 suy ra hàm số

đồng biến.
1

9

 1

1

Từ đó suy ra 3 x = −2 x − 1 ⇔ x = − . Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) =  − ; − ÷.
5
 5 5
Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2 . Tìm GTLN của biểu
thức S =

ab
bc
ca
+
+
ab + 2c
bc + 2a
ca + 2b

ab
1 a
b 
≤ 
+
( a + c ) ( b + c ) 2  a + c b + c ÷
a
b
=
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a+c b+c
bc
1 b

c 
ca
1 c
a 
≤ 
+
≤ 
+
Tương tự ta cũng có
÷,
÷
bc + 2a 2  b + a c + a  ca + 2b 2  c + b a + b 

Ta có

ab
ab
=
=
ab + 2c
ab + ( a + b + c ) c

0.25
1.0

0.25
0.25


1 a+b

b+c

c+a

3

+
+
Cộng các vế ta được S ≤ 
÷= .
2 a+b b+c c+a  2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
3
3
2
Vậy S max = ⇔ x = y = z = .
2
3

0.25

0.25