LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Đồ án môn học

LÝ THUYẾT ĐIỀU
KHIỂN TỰ ĐỘNG


LỜI NÓI ĐẦU .
Ngày nay tự động hoá đã trở thành một vấn đề thiết yếu trong ngành công
nghiệp. Để thiết kế được các mô hình tự động hoá trong nhà máy công nghiệp thì
người thiết kế cần nắm được các kiến thức về Lý thuyết điều khiển tự động - bộ
môn cơ bản của ngành tự động hoá. Một trong các kỹ năng mà người học cần phải
có sau khi học xong bộ môn này là nhận dạng các hệ thống điều khiển và biết cách
ổn định các mô hình điều khiển khi mô hình điều khiển không ở trạng thái ổn
định.
Trong đồ án này em sẽ trình bày các cách nhận dạng đối tượng của hệ thống
điều khiển,cách xác định hàm truyền đạt của đối tượng từ đáp ứng đầu ra cho
trước từ đó xác định đối tượng có ổn định hay không theo các phương pháp xét
tính ổn định hệ thống đã được học,hay dùng trong thực tế và từ thiết kế các bộ
điều khiển P, PI, PID để nâng cao chất lượng đầu ra của hệ thống.
Trong quá trình thực hiện đồ án này em đã nhận được rất nhiều sự chia sẻ , góp
ý về việc trình bày một đồ án như thế nào và các kiến thức bổ ích sử dụng trong đồ
án này từ các bạn , anh chị khóa trên cũng như các thầy cô, đặc biệt là cô Phạm
Thị Hương Sen - Giáo viên bộ môn “ lý thuyết điều khiển tự động ” - khoa Công
nghệ tự động - Trường Đại Học Điện lực.
Do khả năng tiếp thu kiến thức còn non kém và thời gian có hạn nên trong bài
đồ án của em không thể tránh khỏi có các lỗi sai sót về mặt hình thức và về nội
dung kiến thức .
Em xin chân thành cảm ơn các bạn , các anh chị khóa trên và các thầy cô đã
giúp em làm đồ án này và mong mọi người xem lại dùm em đồ án của em về các
mắc phải trong đồ án và hy vọng các bạn , anh chị và thầy cô góp ý cho em để em
có thể chỉnh sửa đồ án được hoàn thiện hơn !

Em xin chân thành cảm ơn !...
Sinh viên trình bày .

Nguyễn Mạnh Tuấn.

2


MỤC LỤC .
Trang
Để bài

4

Chương I. Xác định hàm truyền đạt từ đường đặc tính cho trước

5

I. Hàm truyền đạt và đặc tính động học

5

1. Định nghĩa hàm truyền đạt

5

2. Đặc tính động học của hệ thống

6

2.1. Đặc tính thời gian

6

2.2. Đặc tính tần số

6

II. Cách xác định hàm truyền đạt

7

III. Ứng dụng

10

Chương II. Khảo sát tính ổn định của hệ thống
I. Khái niệm tính ổn định của hệ thống

11
11

1. Định nghĩa

11

2. Ổn định của hệ tuyến tính

12

II. Tiêu chuẩn ổn định đại số

14

1. Điều kiện cần

14

2. Tiêu chuẩn ổn định Routh

14

3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

15

III. Tiêu chuẩn ổn định tần số

16

3


1. Nguyên lý góc quay

16

2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov

16

3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

16

4. Tiêu chuẩn ổn định Bode

17

IV. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

18

V. Điểm cực ( Pole ) và điểm không ( Zero )

20

Chương III. Thiết kế hệ thống PID

21

I. Các quy luật điều chỉnh chuẩn và bộ điều khiển PID

21

1. Quy luật tỉ lệ P

21

2. Quy luật tỉ lệ tích phân PI

21

3. Quy luật điều chỉnh tỉ lệ vi tích phân PID

22

4. Bộ điều khiển PID

22

II. Thiết kế hệ thống PID

24

1. Phương pháp giải tích

24

2. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

25

3. Phương pháp Zeigler-Nichols

25

4. Sử dụng Matlab để thiết kế mạch P , PI , PID

27

Chương IV. Tổng kết và nhận xét.

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39

4


ĐỂ BÀI .

5


Đồ án môn học: Lý thuyết điều khiển tự động.
Đề bài:
Cho 1 đối tượng chưa biết mô hình toán học. Bằng thực nghiệm người ta dùng tác
động ở đầu vào là hàm 10.1(t) và đo tín hiệu đầu ra thu được đường đặc tính y(t)
như
sau:

Yêu cầu:

1.Xác định hàm truyền đạt của đối tượng trên từ đường đặc tính thu được?

2. Từ hàm truyền xác định được dùng Matlab vẽ lại đường quá độ và so sánh.
Nhận

6


xét về tính ổn định của đối tượng. Tìm các điểm cực và điểm không?

3. Tổng hợp bộ điều khiển P, PI, PID để hệ có chất lượng điều khiển tốt nhất.

CHƢƠNG I. XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN ĐẠT
TỪ ĐƢỜNG ĐẶC TÍNH CHO TRƢỚC .

HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC :

I.

1. Định nghĩa hàm truyền đạt :
Cho một hệ thống như hình vẽ :

Quan hệ của tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể được mô
tả bằng phương trình vi phân hệ số hằng :

a0

d n c(t )
d n1c(t )
d 1c(t )

a

...


a
 an c(t ) 
1
n 1
dt n
dt n1
dt

d m r (t )
d m1r (t )
d 1r (t )
 b0
 b1
 ...  bm1
 bm r (t )
dt m
dt m1
dt1

Trong đó :
{

i  0, n
j  0, m

: là các thông số của hệ thống ; m ≤ n ;

a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 ;
n là bậc của hệ thống .

7


Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace 2 vế ta được :

(a0 s n  a1s n1  ...  an1s  an )C (s)  (b0 s m  b1s m1  ...  bm1s  bn ) R(s)
C ( s) b0 s m  b1s m1  ...  bm1s  bn


R( s) a0 s n  a1s n 1  ...  an 1s  an
Đặt :

C ( s) b0 s m  b1s m1  ...  bm1s  bn
G( s) 

R( s) a0 s n  a1s n 1  ...  an 1s  an

G(s) gọi là hàm truyền đạt của hệ thống
Định nghĩa : Hàm truyền đạt của hệ thống là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín
hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0.
* Phép biến đổi Laplace :
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là :


F(s) = L { f(t) } =



f (t ).e st dt

0

Trong đó : s là biến phức ( biến Laplace ), s    j

L là toán tử biến đổi Laplace
F(s) là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace
2. Đặc tính động học của hệ thống :
Đặc tính động học của hệ thống mô tă sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ
thống theo thời gian khi có tác động ở đầu vào.
Để khảo sát tính động của hệ thống thì tín hiệu vào thường được chọn là tín
hiệu cơ bản như hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hoà. Tuỳ theo
dạng của tín hiệu vào thử mà đặc tính động học thu được là đặc tính thời gian hay
đặc tính tần số.
2.1. Đặc tính thời gian :
8


Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ
thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.
Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị (
hay còn gọi là hàm trọng lượng g(t) của hệ thống ).
c(t) =

L-1{C(s)}

=

L-1 {G(s)} = g(t)

( Do R(s)=1 )

Đáp ứng nấc là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị ( hay
còn goi là hàm quá độ h(t) của hệ thống ).
t

c(t) =

L

-1

{C(s)} =

L

-1

G (s)
{
}=
s

 g ( )d

= h(t)

1
s

( Do R(s) = )

0

2.2. Đặc tính tần số :
Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính liên tục mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra
và tín hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu
dao động điều hoà tác động ở đầu vào của hệ thống.
Như vậy đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác
lập và tín hiệu vào hình sin :
Đặc tính tần số =

C ( jw)
R( jw)

Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai
dạng đồ thị thường được sử dụng là biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist.
II. CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN ĐẠT :
Do khả năng có hạn chế nên trong đồ án này chỉ xét đến cách xác định hàm
truyền đạt của khâu chậm trễ và khâu dao động khi đã biết đường đặc tính.
Cho đối tượng có hàm truyền đạt như sau :

W(s)=e-25s 

200
2s  0.5s  1
2

9

Tác động đầu vào là hàm 1(t), sử dụng Matlab ta thu được đường đặc tính như
sau :

Hình 1. Đường đặc tính của hàm W
Giả sử ta đã có đường đặc tính như trên và cần xác định ngược lại hàm truyền
đạt của đối tượng.
Từ đường đặc tính ta có thể xác định hàm truyền đạt của đối tượng có dạng sau :

W(s)=e- s 

K
T 2 s 2  2 Ts  1

Ta cần xác định các thông số  , K , T ,  .
Phương trình đặc tính của đối tượng :

T 2 s 2  2Ts  1  0
Phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp :
10

Với

 1


1  2
s1,2    j
   j 
T

T



Trong đó :

  0

  0 1   2
0 

1
T

Đồ thị đường đặc tính của hàm truyền đạt trên :

Hình 2. Cách xác định các tham số
Từ đường đặc tính ở Hình 2 ta xác định được các tham số :
11


K = 200

A1 = 313 - 200 = 113

T1 = 36,5 – 27,5 = 9

A2 = 237 - 200 = 37

= 24,9

Ta có :



A
1
1
113
 ln 1   ln
 0.12
T1
A2
9
37

 


T1



2  3.14
 0.70
9

0   2   2  0.702  0.122  0.71 

1

 T  1.41
T

  T  0.12 1.41  0.17
Vậy hàm truyền đạt của đối tượng là :

W1 (s)=e-24.9s 

200
1.99s 2  0.48s  1

Cho tác động đầu vào 1(t) ta thu được được đường đặc tính như sau :

12


Hình 3. Đặc tính quá độ của đối tượng đã cho và xác định được.
Trong đó :

W(s)=e-25s 

200
2s  0.5s  1

W1 (s)=e-24.9s 

2

200
1.99s 2  0.48s  1

Từ hình 3 ta có thể nhận thấy đường quá độ của đối tượng và hàm truyền là rất
giống nhau, vì vậy ta hoàn toàn có thể tìm được hàm truyền đạt của đối tượng khi
đã biết tác động đầu vào và đường đặc tính y(t) theo phương pháp trên.

III.

ỨNG DỤNG VÀO BÀI :

Dựa theo phương pháp xác định trên và dựa vào đường đặc tính y(t) đã cho ta
xác

định hàm truyền đạt của đối tượng có dạng sau :

W(s)=e- s 

K
T s  2 Ts  1
2 2

13

 1


;

Ta cần xác định các thông số  , K , T ,  .

Với

Ta có :
+ T1 = 91,3 – 58,7 = 32,6

+ K = 200

;

+ A1 = 280 - 170 = 110

; + A2 = 280 - 200 = 80

+
Từ đó ta suy ra các giá trị T ,  , α :
+

+  =

+ T =

= ln

=

√

√

= -0,32

= 0,101

√



=

√

Vậy hàm truyền đạt của đối tượng là :

Cho tác động đầu vào 1(t) ta thu được đường đặc tính y(t) :

14

= 10,32


Hình 4. Đặc tính quá độ của đối tượng

CHƢƠNG II. KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

I. KHÁI NIỆM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG .
1. Định nghĩa :
Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp
ứng của hệ cũng bị chặn.
Yêu cầu đầu tiên đối với một hệ thống điều kiển tự động là hệ thống phải giữ
được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của
nhiễu lên hệ thống.

Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị
tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại
và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tổn tại một trạng thái cân
bằng.
Có 3 trạng thái cân bằng :
+ Biên giới ổn định.

15


+ Ổn đinh.
+ Không ổn định.

2. Ổn định của hệ tuyến tính

Một hệ thống điều khiển tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân :

a0

d n c(t )
d n1c(t )
d 1c(t )

a

...

a
 an c(t ) 
1

n 1
dt n
dt n1
dt

d m r (t )
d m1r (t )
d 1r (t )
 b0
 b1
 ...  bm1
 bm r (t )
dt m
dt m1
dt1

Trong đó : r(t) là tín hiệu vào, c(t) là tín hiệu ra .
{

i  0, n
j  0, m

: là các thông số của hệ thống ; m ≤ n ;

a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 ;
n là bậc của hệ thống .
Đây là phương trình vi phân không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng :
c(t) = co(t) + cqđ(t)
Trong đó : co(t) là nghiệm riêng của phương trình có vế phải, đặc trưng cho
quá trình xác lập, là trị số của đại lượng cần điều khiển và luôn ổn định.

cqđ(t) là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải, đặc
trưng cho quá trình quá độ.
Do đó, tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc vào cqđ(t), và dạng tổng quát của nó là
:
n

cqđ(t) =

 e
i 1

16

i

pi t


Trong đó : i là hệ số được xác định bởi các điều kiện ban đầu và cấu trúc,
tham số của hệ.
pi là nghiệm thứ i của phương trình đặc tính :

A(s)  a0 s n  a1s n1  ...  an  0
Nghiệm pi có thể được viết dưới dạng : pi  i  j i
Hệ thống ổn định nếu : lim cqd (t )  0
t 

Hệ thống không ổn định nếu : lim cqd (t )  
t 

Khảo sát tính ổn định của hệ thống theo nghiệm pi ta thu được kết quả :

0

2Meit cos( t   )

i
i
lim  
t 
i





i
i
i
i

0
0
0
0

Hệ ổn định
Hệ ở biên giới ổn định
Hệ không ổn định

Như vậy, tính ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào dấu của phần thực
nghiệm của phương trình đặc tính.
- Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính hệ thống đều có phần thực
âm thì hệ thống ổn định.
- Chỉ cần có 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực bằng 0 còn các
nghiệm khác có phần thực âm thì hệ ở biên giới ổn định.
- Chỉ cần 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương thì hệ thống
không ổn định.

* Ứng dụng :
Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên.

17


Hàm truyền đạt của hệ thống :

Phương trình đặc tính của hệ thống là :
A(s) = 106,5 s2 + 2,09s + 1 = 0
Giải phương trình đặc tính ta thu được 2 nghiệm là :

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm nên hệ thống
ổn định.
Các bước xét tính ổn định của phương pháp này tương đối đơn giản nhưng khi
gặp các phương trình vi phân bậc cao thì việc giải chúng là rất khó khăn, vì vậy để
khắc phục nhược điểm này người ta đã đề ra các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của
hệ thống là :
- Tiêu chuẩn ổn định đại số.
- Tiêu chuẩn ổn định tần số.

II. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
1. Điều kiện cần :
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc
trưng phải khác 0 và cùng dấu.
2. Tiêu chuẩn ổn định Routh :
Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc
trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nàm ở cột 1 của bảng
Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số
nghiệm nằm bên phải của mặt phẳng phức.
18


Tiêu chuẩn Routh được áp dụng xét tính ổn định cho cả hệ hở và hệ kín với
phương trình đặc tính bậc bất kỳ.
Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh thì ta cần thành lập
bảng Rọuth theo các quy tắc sau :
- Bảng Routh có n+1 hàng ( với n là bậc cao nhất của phương trình đặc trưng ).
- Hàng 1 của bảng Routh chỉ gồm các hệ số có chỉ số chẵn.
- Hàng 2 của bảng Routh chỉ gồm các hệ số có chỉ số lẻ.
- Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh ( i ≥ 3 ) được tính theo công thức :

cij  ci 2, j 1  i  ci 1, j 1

i 

ci  2,1
ci 1,1

* Ứng dụng :
Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên.

Hệ thống có phương trình đặc trưng là :
A(s) = 106,5 p2 + 2,09 p + 1 = 0
Bảng Routh
s2

106,5

1

s1

2,09

0

=
so

0=1

1

Vì tất cả các phẩn tử ở cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của
phương trình đặc tính đều nằm ở bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.
3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz :

19


Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con

chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.
Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz được áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín.
Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz ta cần thành lập ma
trận Hurwitz theo các quy tắc :
- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n  n .
- Đường chéo chính của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an ( với n là số
bậc cao nhất của phương trình đặc tính ).
- Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần
nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.
- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng
dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.
Ma trận Hurwitz :

 a1
a
 0
0

0
 ...

 0

a3
a2
a1
a0
...
...

a7 ... 0 
a6 ... 0 
a5 ... 0 

a2 a4 ... 0 
... ...
... 

... ... ... an 
a5
a4
a3

* Ứng dụng :
Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên.
Hệ thống có phương trình đặc trưng :
A(s) = 106,5 s2 + 2,09s + 1 = 0
Ta có ma trận Hurwitz :

[

] = [

]

Các định thức :

20

=

= 2,09

=|

|=|

| = 2,09

1 – 106,5

0 = 2,09

Ta thấy tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều
dương nên hệ thống ổn định.
III. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ :
1. Nguyên lý góc quay .
Xét hệ thống điều khiển tuyến tính có phương trình đặc tính :

A(s)  a0 s n  a1s n1  ...  an  0
Phương trình có n nghiệm pi nên có thể viết dưới dạng :

A(s)  a0 (s  p1 )(s  p2 )...(s  pn )  0
Với pi là các nghiệm của phương trình đặc tính.
Thay s  j vào A(s) ta được :

A( j)  a0 ( j  p1 )( j  p2 )...( j  pn )  0
* Nguyên lý góc quay : Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và ( n - m ) nghiệm
trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A( j ) sẽ quay một góc là (n-2m)/2 vòng kín

theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ  đến  .

2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov .
Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ vectơ đa
thức đặc tính A( j ) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải
quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi  biến thiên từ 0 đến
 , với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống.

21


Tiêu chuẩn này được áp dụng cho cả hệ hở và kín với phương trình đặc tính bất
kỳ.
Cách xây dựng biểu đồ Mikhailov :
- Thay s  j vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo

A( j)  P()  jQ()
- Cho  biến thiên từ 0 đến  , ta vẽ được vectơ đặc tính A( j ) .
3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist .
Tiêu chuẩn này áp dụng để xét cho hệ thống kín với phản hồi (-1) dựa vào đặc
điểm của đặc tính tần số hệ thống hở.

* Phát biểu : Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ
hở G(s) bao điểm (-1, j0)

l
vòng theo chiều dương ( ngược chiều kim đồng
2

hồ ) khi  biến thiên từ 0 đến  , trong đó l là số cực của hệ hở G(s)

nằm ở bên phải mặt phẳng phức.
Như vậy nếu hệ thống ổn định ở trạng thái hở, sẽ ổn định ở trạng thái kín nếu
biểu đồ Nyquist không bao điểm (-1, j0) trên mặt phẳng phức.
Biểu đồ Nyquist ( đường cong Nyquist ) : là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số
G( j ) trong hệ toạ độ cực khi  thay đổi từ 0 đến  .

Để áp dụng tiêu chuẩn này ta làm theo các bước sau :
- Xét tính ổn định của hệ hở. Nếu hệ hở không ổn định ta phải xem xét phương
trình đặc tính có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương l . Có thể dùng tiêu chuẩn
Routh hoặc giải trực tiếp phương trình đặc tính.

22


- Vẽ đặc tính G( j ) , xác định số vòng bao của nó với (-1, j0).
- Kết luận hệ kín có ổn định hay không.

4. Tiêu chuẩn ổn định Bode.
Tương tự tiêu chuẩn ổn định Nyquist thì tiêu chuẩn này cũng dùng để xét tính
ổn định của hệ kín có phản hồi (-1). Tuy nhiên, tiêu chuẩn Nyquist thì sử dụng
biểu đồ Nyquist để xét tính ổn định còn tiêu chuẩn Bode lại sử dụng biểu đồ Bode
để xét tính ổn định.
Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm hai thành phần :
- Biểu đồ Bode biên độ : đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp
ứng biên độ L( ) theo tần số  .

L()  20lg M ()
Trong đó : L( ) là đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB ( decibel ).
- Biểu đồ Bode pha : đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha  ( ) theo
tần số  .

Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ toạ độ vuông góc với trục hoành 
chia theo thàng logarith cơ số 10.
Phát biểu : Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên
và dự trữ pha dương.

GM  0


 M  0

hệ thống ổn định

Trong đó : GM là độ dự trữ biên
M là độ dự trữ pha

IV. PHƢƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ .
Cho hệ thống có phương trình đặc tính :

A(s)  a0 s n  a1s n1  ...  an  0

23


Giả sử trong các tham số của phương trình có một tham số có thể thay đổi liên
tục từ 0 đến  , khi đó ứng với mỗi giá trị của tham số đó thì phương trình đặc
tính lại có một bộ nghiệm số riêng. Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình
đặc tính tạo thành đường quỹ đạo nghiệm số.
Định nghĩa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình
đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó của hệ thay đổi từ 0 đến  .
Bằng cách quan sát quỹ đạo nghiệm số thì ta có thể nhận thấy quỹ đạo nghiệm

số nào ở bên trái trục ảo thì hệ thống sẽ ổn định, còn những quỹ đạo nghiệm số
nằm ở bên phải trục ảo thì hệ thống không ổn định. Từ đó ta có thể xác định được
khoảng của thông số thay đổi để hệ thống ổn định.
Phương pháp này thường dùng cho hệ số biến đổi là hệ số khuyếch đại của hệ
thống.
* Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số :
Để vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương
trình đặc tính về dạng :

1 K

N ( s)
0
D( s )

Trong đó : K là thông số thay đổi.
Đặt G0 ( s)  K

N ( s)
.
D( s )

Gọi n là số cực của G0 ( s) , m là số zero của G0 ( s) .
Ta có điều kiện biên độ và điều kiện pha :
G0 ( s)  1

Điều kiện biên độ

 G0 ( s)  (2l  1)

Điều kiện pha
Các quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số :

24


- Quy tắc 1 : Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số bằng với số bậc của phương
trình đặc tính và bằng số cực của G0 ( s) , tức là có n nhánh.
- Quy tắc 2 : Khi K  0 các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực
của G0 ( s) . Khi K tiến đến  thì m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m
zero của G0 ( s) , n  m nhánh còn lại tiến đến  theo các tiệm cận xác định bởi quy
tắc 5 và 6.
- Quy tắc 3 : Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
- Quy tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số
cực và zero của G0 ( s) bên phải nó là một số lẻ.
- Quy tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục
thực xác định bởi



(2l  1)
nm

(l  0, 1, 2,...)

- Quy tắc 6 : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có toạ độ xác
định bởi
n

OA 

m

 p z
i 1

i

i 1

i

nm

Trong đó : pi và zi là các cực và zero của G0 ( s) .
- Quy tắc 7 : Điểm tách nhập ( nếu có ) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục
thực và là nghiệm cảu phương trình :

dK
0
ds
- Quy tắc 8 : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định
bằng một trong hai cách sau :
+ Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz.

25