Đề thi khảo sát chất lượng giáo viên THCS môn toán tỉnh vĩnh phúc lần 2 năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN LẦN 2
NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN: TOÁN - CẤP THCS
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức P =

x+2
x +1
x +1
+
−
.
x x −1 x + x x +1 x −1

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả các giá trị của P sao cho P =

2
.
7

Câu 2 (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = ( 4 − 2m ) x + 3 đồng biến trên ¡ .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = mx 2 đi qua điểm A ( −2;8 ) .
Câu 3 (1,0 điểm).
Một tổ sản xuất theo kế hoạch sẽ sản xuất 130 sản phẩm trong thời gian dự kiến. Nhờ

tăng năng suất làm vượt định mức mỗi ngày 2 sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn 2 ngày
và còn làm thêm được 2 sản phẩm. Tính thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản
xuất trên.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho phương trình x 2 − 2mx + m − 5 = 0 ( x là ẩn, m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
2
2
thỏa mãn x1 + x2 = 12 .
Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các
đường cao BE, CF của tam giác ABC (E thuộc cạnh AC, F thuộc cạnh AB) và gọi H là giao
của BE, CF. Kẻ đường kính AD của đường tròn (O).
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
c) Chứng minh OA vuông góc EF và AH = 2.OM , trong đó M là trung điểm BC.
2
Câu 6 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho ( n − 2n ) M( n + 3) .

Câu 7 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 3 .
ab
bc
ca
+
+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
.
2c + a + b 2a + b + c 2b + c + a
−−−−− HẾT −−−−−
Thí sinh không sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh..................................................................Số báo danh.............................


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN



NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN – CẤP THCS



Câu 1 (2,0 điểm).

Nội dung trình bày

Điểm
1,00

a)
x ≥ 0
, khi đó ta có:
x ≠ 1

Điều kiện xác định của P: 
P=
=

(

x+2

)(

) (

x −1 x + x + 1

x + 2 + x −1 − x − x −1

(

(

+

)(

)

x −1 x + x + 1

=

)(

x +1

)(

)

x −1

−

) (

x −1 x + x +1

(

x− x

)(

)

x −1 x + x + 1

=

0,50
x + x +1

)(

)

x −1 x + x +1

x
x
P=
.
Vậy
x + x +1
x + x +1

b)

0,25
1,00

Ta có: P =

(

⇔2 x

(

(

)

2
x

2
⇔
= ⇔ 7 x = 2 x + x +1
7
x + x +1 7

⇔ 2x − 5 x + 2 = 0
⇔ 2x − 4 x − x + 2 = 0

⇔

0,25

) (

x −2 −

)

x −2 =0

1

1

x=
x=


2⇔

x − 2 2 x −1 = 0 ⇔
4 . So sánh với điều kiện thỏa mãn.


 x = 2
x = 4

)(

0,5

0,5

)

Câu 2 (1,0 điểm)
Nội dung trình bày
a)
Hàm số y = ( 4 − 2m ) x + 3 đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 4 − 2m > 0
⇔ 4 > 2m ⇔ m < 2 . Vậy m < 2 .
b)
2
Đồ thị hàm số y = mx 2 đi qua điểm A ( −2;8 ) ⇔ 8 = m ( −2 )
⇔ 8 = 4m ⇔ m = 2 . Vậy m = 2 .
Câu 3 (1,0 điểm)
Nội dung trình bày
Gọi thời gian dự kiến hoàn thành xong công việc là x (ngày), x > 0 .
Gọi số sản phẩm mỗi ngày làm được theo dự kiến là y (sản phẩm), y > 0 .
Do dự kiến làm 130 sản phẩm nên xy = 130 (1).
Nhờ tăng năng suất làm vượt định mức mỗi ngày 2 sản phẩm nên đã hoàn thành

sớm hơn 2 ngày và còn làm thêm được 2 sản phẩm nên ta có phương trình
( x − 2 ) ( y + 2 ) = 132 (2)
 xy = 130
 x = 13
Từ (1) và (2) ta được hệ 
. Giải hệ ta được 
( x − 2 ) ( y + 2 ) = 132
 y = 10
Vậy thời gian dự kiến là 13 ngày.
Câu 4 (1,0 điểm):

Điểm
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
Điểm
0,25
0,25
0,25

0,25


Nội dung trình bày

Điểm
0,50

a)
2

1  19

Có: ∆ ' = m − ( m − 5 ) = m − m + 5 =  m − ÷ +
2
4

2

2

0,25

2

1  19

=  m − ÷ + > 0 với mọi m, suy ra đpcm.
2
4

b)

0,25
0,50
 x1 + x2 = 2m
 x1 x2 = m − 5

Gọi x1 , x2 là các nghiệm của PT, khi đó theo định lý Viet ta có: 

0,25

Theo giả thiết x12 + x22 = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 12
2

m = 1
⇔ 4m − 2 ( m − 5 ) = 12 ⇔ 2m − m − 1 = 0 ⇔ ( m − 1) ( 2m + 1) = 0 ⇔ 
m = − 1
2

Câu 5 (3,0 điểm):
2

2

0,25

A
E
F
H
B

O
C

M

D
Nội dung trình bày

a)
·
Do BE là đường cao nên BEC
= 900
·
Do CF là đường cao nên BFC
= 900

·
·
Suy ra BEC
hay tứ giác BCEF nội tiếp
= BFC

b)
Do AD là đường kính nên ·ACD = 900 ⇒ CD ⊥ AC , kết hợp với BE vuông góc với AC
suy ra CD||AH.

Điểm
1,00
0,25
0,25
0,5
1,0
0,5

Do AD là đường kính nên ·ABD = 900 ⇒ BD ⊥ AB , kết hợp với CF vuông góc với AB

0,25

Từ hai kết quả trên ta được tứ giác BDCH là hình bình hành.
c)

0,25
1,0

suy ra BD||CH.

Do tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn nên ·AEF = ·ABC , kết hợp với ·ADC = ·ABC suy ra
·AEF = ·ADC ⇒ DAC
·
·
+ ·AEF = DAC
+ ·ADC = 900 ⇒ EF ⊥ OA .

0,5

Do tứ giác BHCD là hình bình hành nên M cũng là trung điểm DH, kết hợp với O là trung
điểm AD suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHC suy ra AH = 2.OM

0,5

Câu 6 (1,0 điểm):


Nội dung trình bày
( n − 2n ) M( n + 3) ⇔ n ( n + 3) − 5 ( n + 3) + 15M( n + 3)

2

⇔ 15M( n + 3)

⇔ n + 3 ∈ { 5,15} (do n + 3 > 3 )
⇔ n ∈ { 2,12} . Vậy n ∈ { 2,12} là giá trị cần tìm.

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 7 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
ab
ab
1  ab
ab 
=
≤ 
+
Ta có
÷
2c + a + b c + a + c + b 4  c + a c + b 
Tương tự như vậy ta được
bc
1  bc
bc 
≤ 

+
÷
2a + c + b 4  a + b a + c 
ca
1  ca
ca 
≤ 
+
÷
2b + c + a 4  b + c a + b 
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
1  ab
ab
bc
bc
ca
ca 
P≤ 
+
+
+
+
+
÷
4c+a c+b a+b a+c b+c a+b
1  ab + bc ab + ac bc + ca  1
3
= 
+
+

÷ = ( a + b + c ) = . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4 c+a
c+b
a+b  4
4
3
a = b = c = 1 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng .
4

Điểm
0,25

0,25

0,25

0,25

Yêu cầu:
+ Điểm toàn bài tính đến 0,25;
+ Với các ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống nhất để chia nhỏ đến 0,25;
+ Với mỗi ý, Hướng dẫn chấm chỉ trình bày 1 cách giải với các bước cùng kết quả bắt buộc
phải có. Nếu thí sinh giải theo cách khác và trình bày đủ các kết quả thì vẫn cho điểm tối đa
của ý đó.
+ Trong mỗi ý, thí sinh sai từ đâu thì không cho điểm từ đó.
+ Bài hình học bắt buộc phải vẽ đủ hình, không vẽ đủ hình của ý nào thì không cho điểm
liên quan của ý đó.