Chuyên đề hệ phương trình môn toán lớp 9 bồi dưỡng học sinh giỏi

CHUYÊN ĐỀ 3 :
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH
1) Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp thế, phửơng pháp cộng.
a) Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phửơng trình thành hệ phửơng trình
tửơng đửơng.
+ Bước 1: Từ một phửơng trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào
phửơng trình thứ hai để đửợc một phửơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phửơng trình mới ấy để thay thế cho phửơng trình thứ hai trong hệ (phửơng
trình thứ nhất cũng thửờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đửợc ở
bửớc 1).
b) Quy tắc cộng đại số: Quy tắ ccộng đại số dùng để một hệ phương trình thành hệ phương
trình tương đương.
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phửơng trình của hệ của hệ phửơng trình đã cho để đửợc
một phửơng trình mới.
+ Bửớc 2: Dùng phửơng trình mới ấy thay thế cho một trong hái phửơng trình của hệ (và giữ
nguyên phửơng trình kia)
Lửu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai vế
của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với
số thích hợp để đửa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
A. Các hệ phương trình cơ bản:
Loại 1: Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp cộng, phửơng pháp thế.
Bài 1 a)

ìï 2x + 3y = - 2
ï
í
ïï 3x - 2y = - 3
î

ì x - 6y = 17

ïï
d) íï 5x + y = 23
ïî

Bài 2

b)
e)

ìï x + y - 2 = 0
ïï
4
í3
ïï 5x - y = 11
îï

a)

ìï x = y
ïï
3
í2
ïï x + y - 10 = 0
ïî

Bài 3:

a)
d)

ìï x 2 - y 3 = 1
ïï
í
ïï x + y 3 = 2
ïî

ìï x 2 - y 3 = 1
ïï
í
ïï x + y 3 = 2
ïî

ìï 4x + 3y = 6
ï
í
ïï 2x + y = 0
î

ìï 7x + 4y = 74
ï
í
ïï 3x + 2y = 32
î
ïìï a + b = - 1
ï
3
b) íï 5 3
ïï 4a - 5b - 10 = 0
ïî

ìï 9x + 8y = 6
c) ïíï 2x - y = 2
ïî

f)

ìï x - 3y = 6
ï
í
ïï - 2x + 6y = - 12
î

c)

ìï ( 2 - 1)x - y = 2
ï
b) ïíï
ïïî x + ( 2 + 1)y = 1

e)

c)

ìï (x 5 - (1 +
3)y = 1
ïï
í
ïï (1 3)x + y 5 = 1
ïî

ìï x 2 - 3y = 1
ïï
í
ïï 2x + y 2 = - 2
ïî

f)

ìï 5x 3 + y = 2 2
ïï
í
ïï x 6 - y 2 = 2
ïî

Bài 4:

a)

ìï 6(x + y ) = 8 + 2x - 3y
ï
í
ïï 5(y - x ) = 5 + 3x + 2y
ïî

b)

ïìï (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3)
í
ïï (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1)
ïî

c)

ìï (x - 2)(y + 1) = xy
ï
í
ïï (x + 8)(y - 2) = xy
ïî

Loại 2: Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp đặt ẩn phụ.
Dạng thứ nhất:
chuyên đề giải hệ phương trình

1

NH: 2014-2015


CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 3 :
a)

ìï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïî

1
1
=1
x
y
3
4
+
=5
x
y

b)

ìï 4
5
ïï
+
=2
ïï x - 3
y + 1
f) íï 5
1
29
ïï
+
=
ïïî x - 3
y + 1

20
ìï 1
1
ïï
+
=2
ïï x - 1
y- 2
í
ïï 2
3
=1
ïï
x- 1
ïî y - 2

j)
n)

ìï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïî

g)

ïìï 7x 2 + 13y = - 39

ïí
ïï 5x 2 - 11y = 33 k)
ïî

6
5
+
=3
x
y
9
10
=1
x
y

ìï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïî

c)

ìï 1
ïï +
ïï x
í

ïï 10
ïï
ïî x

8
1
=1
x
y + 12
1
5
+
=3
x
y + 12

ïìï 2x 2 + 3y 2 = 36
ïí
ïï 3x 2 + 7y 2 = 37
ïî

ìï 3 x + 2 y = 6
ï
í
ïï x y = 4, 5
î

o)

l)

1
1
ìï
ïï
=
y
4
ï
d) ïíï
1
ïï
=1
ïïî
y
ìï
4
ïï
+
ïïí 2x + 1
h) ï 3
ïï
ïïî 2x + 1

1
1
1
+
=
x

y
24
2
3
=
x
y
9
=- 1
y- 1
2
13
=
y- 1
6

ìï 3x 2 + y 2 = 5
ïï
í 2
ïï x - 3y 2 = 1
ïî

ìï x + 3 - 2 y + 1 = 2
ïï
í
ïï 2 x + 3 + y + 1 = 4
ïî

m)
p)

ìï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïî

e)

ìï 1
1
ïï
+
=2
ïï x - 2
y- 1
í
ïï 2
3
=1
ïï
y- 1
ïî x - 2

i)

y =5
ïìï 3 x í

ïï 2 x + 3 y = 18
î
7
x - 7
5
+
x - 7

4
5
=
y + 6
3
3
1
=2
6
y + 6

Dạng thứ hai:
a)

ìï 2x
y
ïï
+
=2
ïï x + 1
y + 1
í

ïï x
3y
+
=- 1
ïï
x
+
1
y
+ 1
ïî

d)

x
ìï x =1
ïï
y + 12
ïy
í
x
x
ïï
ïï y + 12 - y = 2
ïî

g)

xy
5

ìï x + y
ïï
+
=
x + y
2
ïï xy
í
xy
10
ïï x - y
+
=
ïï
xy
x
y
3
ïî

b)

ìï
4
5
ïï
+
=- 2
ïï 2x - 3y
3x + y

í
ïï
3
5
= 21
ïï
2x - 3y
ïî 3x + y

e)

ìï
3
6
ïï
=- 1
ïï 2x - y
x + y
í
ïï
1
1
=0
ïï
x + y
ïî 2x - y

h)

ìï 2x

3y
ïï
+
=1
ïï y - 1
x - 1
í
ïï 2y
5x
=2
ïï
x
1
y
- 1
ïî

c)

ìï
ïï
ïï x í
ïï
ïï
ïî x -

7
5
9
=

y+ 2
x + y- 1
2
3
2
+
=4
y+ 2
x + y- 1

f)

ìï
ïï
ïï x +
í
ïï
ïï
ïî x +

4
5
5
=
y- 1
2x - y + 3
2
3
1
7

+
=
y- 1
2x - y + 3
5

i)

ìï
6
2
ïï
+
=3
ïï x - 2y
x + 2y
í
ïï
3
4
+
=- 1
ïï
x
2
y
x
+
2y
ïî

Loại 3: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích đửợc
thành nhân tử.
ì (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0

ì x + y + xy + 1 = 0

ïï
b) íï

ïï
a) íï x 2 + y 2 - x - y = 22
ïïî

2
ïïî xy + y + 3y + 1 = 0
ìï (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = 0
ï
d) íï 2
2
ïïî 3x + 32y + 5 = 0
ìï (x - 1)2 - (y + 1)2 = 0
ï
f) íï x + 3y - 5 = 0
ïïî
ìï (x - y )2 - (x - y ) = 6
ï
b) ïíï 2
2
ïïî 2(x + y ) = 5xy

ì (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = 0

ïï
c) íï x - 3y = 1
ïïî

ìï (x + y )2 - 3(x + y ) + 2 = 0
ï
e) íï x - y - 5 = 0
ïïî
ìï (x + y )2 - 4(x + y ) = 12
ï
g) ïíï
2
ïïî (x - y ) - 2(x - y ) = 3

B. Các hệ phương trình nâng cao.
Loại 4: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y.
1. Định nghĩa:
Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
chuyên đề giải hệ phương trình

2

NH: 2014-2015


CHUYÊN ĐỀ 3 :
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH

2
f(mx; my) = m f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
ïìï f (x , y ) = a
í
ïï g(x , y ) = b
ïî

Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.
2. Cách giải:
Xét x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
{f(x,xt)=a g(x,xt)=b ⇔{x2f(1,t)=a ; x2g(1,t)=b
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
f(1,t)=abg(1,t)(∗)
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).
ïìï x 2 - 4xy + y 2 = 1
a) ïíï 2
ïïî y - 3xy = 4
ìï 3x 2 + y 2 = 5
ï
d) ïíï 2
2
ïïî x - 3y = 1
ìï x 2 + 4xy - 2y 2 = 3
ï
g) ïíï 2
2

ïïî 2x - xy + 3y = 4
ïìï x 2 + y 2 = 25 - 2xy
j) íï
ïïî y (x + y ) = 10

b)

ïìï x 2 - xy + y 2 = 21
ïí
ïï y 2 - 2xy + 5 = 0
ïî

e)

ïìï 2x 2 + 3y 2 = 36
ïí
ïï 3x 2 + 7y 2 = 37
ïî

ìï x 2 + 3xy = 54
ï
h) ïíï
2
ïïî xy + 4y = 115

k)

ïìï (x + y )(x 2 + y 2 ) = 5
ïí
ïï (x - y )(x 2 - y 2 ) = 3

ïî

ïìï 3x 2 + 5xy - 4y 2
c) ïíï 2
2
ïïî 5x - 9xy - 3y
ìï x 2 + 2xy + 3y 2
ï
f) ïíï 2
2
ïïî 2x + 2xy + y
ìï 2x 2 - y 2 = 1
ï
i) ïíï
2
ïïî xy + x = 2

l)

= 38
= 15
=9
=2

ïìï (x + y )(x 2 - y 2 ) = 45
ïí
ïï (x - y )(x 2 + y 2 ) = 85
ïî

Loại 5: Hệ phương trình đối xứng loại 1.

1. Dạng tồng quát của hệ đối xứng loại I:
Định nghĩa:
Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương
trình không thay đổi.
ìï f(x,y)= 0
ï
í
ïï g(x,y)= 0 , trong đó
ïî

ìï f(x,y)= f(y,x)
ï
í
ïï g(x,y)= g(y,x)
ïî

Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 ³ 4P) .
Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P.
iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P. Chọn S,P thỏa mãn S2 ³ 4P.
iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0 ( định lý Viét đảo )
Chú ý:
chuyên đề giải hệ phương trình

3

NH: 2014-2015

CHUYÊN ĐỀ 3 :
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH
i) Cần nhớ:
x2+y2=S2−2P x3+y3=S3−3SP
…
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:
{ u=u(x) v=v(x) và { S=u+v P=uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ.
Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có nghiệm:
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S,P và S2 ⩾4P (*).
iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình.
Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m (với m là tham số)
a)

ìï x + y + xy = 7
ï
í 2
ïï x + y 2 + xy = 13
ïî

ïìï xy = x + y + 17
d) í 2
ïï x + y 2 = 65
ïî
ïìï xy = 10
g) íï 2
2

ïïî x + y = 29
ìï x + y + xy = - 1
ï
ị) í 2
ïï x y + y 2x = - 6
ïî
ìï xy (x + 2)(y + 2) = 9
ï
m) íï 2
2
ïïî x + y + 2(x + y ) = 6
ìï x 2 + y 2 + xy = 1
ï
o) ïíï 3
3
ïïî x + y = x + y

b)

ìï x + xy + y = 5
ï
í 2
ïï x + y 2 = 5
ïî

ïìï x 2 + y 2 + x + y = 8
c) ïíï 2
2
ïïî x + y + xy = 7

e)

ìï x + + y - xy = - 17
ï
í
ïï xy - 12 = 0
î

ïìï x + y = 8
f) íï x 2 + y 2 = 34
ïïî

h)

ìï xy = 15
ï
í 2
ïï x + y 2 = 34
ïî

ìï x 2 + xy + y 2 = 4
ï
i) íï x + xy + y = 2
ïïî

ïìï x 2 + y 2 - x - y = 102
k) íï xy + x + y = 69
ïïî

n)

ìï 3(x + y ) = xy
ï
l) íï 2
2
ïïî x + y = 160

ïìï x 2 + y 2 + 2x (y - 3) + 2y (x - 3) + 9 = 0
í
ïï 2(x + y ) - xy + 6 = 0
ïî

ìï x 2 + y 2 = 52
ïï
t) ïíï 1 1
5
ïï + =
12
ïî x y

ïìï x (x + 1) + y (y + 1) + xy = 17
p) íï
ïïî (x + 1)(y + 1) = 8
ïìï xy + x + y = 11
ïìï xy + x + y = 7
ï
ï
r) íï 6 6
s) íï x y 10
ïï x + y + xy = 11

ïï y + x = 3
ïî
ïî
ìï
1
ìï
1
ïï x +
ïï y +
=- 1
=- 5
ïï
x+y
ïï
2x - y
u) íï x
v) íï x
ïï
ïï
=- 2
=6
ïïî x + y
ïïî 2x - y

ìï x 3 + y 3 = 9
ï
x) ïíï 2
2
ïïî x + y = 5

ìï x + y = 7
ï
y) íï 3
3
ïïî x + y = 133

ìï x + y + xy = 5
ï
q) íï 2
2
ïïî x + y + xy = 7

ì x y + y x = 30

ïï
z) íï x x + y y = 35
ï
ïî

Loại 6: Hệ phương trình đối xứng loại 2.
1. Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau
thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
chuyên đề giải hệ phương trình
4
NH: 2014-2015


CHUYÊN ĐỀ 3 :
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH

*Chú ý: Nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì(y0;x0) cũng là nghiệm của hệ.
2. Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:
ìï f(x,y)= 0
ï
í
ïï f(y,x)= 0
ïî

(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ
Dạng 2:
ìï f(x,y)= 0
ï
í
ïï g(x,y)= 0
ïî

(trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)

Cách giải:
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
ìï 2x = y 2 - 4y + 5
ï
a) ïíï
2
ïïî 2y = x - 4x + 5
ïìï 2x 2 - 3xy = y 2 - 3x - 1

d) ïíï 2
2
ïïî 2y - 3xy = x - 3y - 1

ìï y 2
ï
b) ïíï 2
ïïî x
ïìï x 2
e) ïíï 2
ïïî y

= 2x + 3
= 2y + 3

ìï x 2 - 2y 2 = 7x
ï
c) ïíï 2
2
ïïî y - 2x = 7y

ïìï x 3 - 2y = 4
f) ïíï 3
ïïî y - 2x = 4

= 2- y
= 2- x

ìï x 3 = 5x + y
ïìï 2x 2 - 3x + 2 = y 2

ï
g) ïí 2
h) ïí 3
2
ïï y = 5y + x
ïï 2y - 3y + 2 = x
ïî
ïî
ïìï x 3 = 13x - 6y
ïìï y 2 = x 3 - 4x 2 + 3x
ï
j) í 3
k) ïí 2
ïï y = 13y - 6x
ïï x = y 3 - 4y 2 + 3y
ïî
ïî
Loại 7: Hệ phương trình bậc nhất ba phương trình ba ẩn.

ïìï x 3 = 2y - x
i) ïí 3
ïï y = 2x - y
ïî

ìï x + y + z = 1
ïï
ï
a) ïíï x + 2y + 4z = 8
ïï
ïïî x + 3y + 9z = 27

ìï x + y + z = 12
ïï
ï
b) ïíï 2x - 3y + z = 12
ïï
ïïî x + y - 2z = 5

ìï x + 2y + 3z = 1
ïï
ï
c) ïíï 3x + y + 2z = 3
ïï
ïïî 2x + 3y + z = - 2

ìï x + y + 2z = 4
ïï
ï
d) ïíï 2x - 3y + 3z = 6
ïï
ïïî x - 3y + 4z = 7

ìï 2x - y + 3z = 4
ïï
ï
e) ïíï 3x - 2y + 2z = 3
ïï
ïïî 5x - 4y = 2

ìï 2x + y + 3z = 2

ïï
ï
f) ïíï - x + 4y - 6z = 5
ïï
ïïî 5x - y + 3z = - 5

chuyên đề giải hệ phương trình

5

ïìï x 3 - 2y = 1
l) ïí 3
ïï y - 2x = 1
ïî

NH: 2014-2015


CHUYÊN ĐỀ 3 :
ìï x = y = z
ï
7 - 6
g) ïí 4
ïï 4x + 3y - 2z = 24
ïî
ïìï x - 2 = y + 1 = z
ï
4
7
j) í 3

ïï 4x - y - z = 3
ïïî
ìï x + y = 4
ïï
ï
k) í y + z = 7
ïï
ïï x + z = 5
ïî

ìï 1
ïï +
ïï x
ïï
1
n) ïí +
ïï y
ïï
ïï 1 +
ïîï x

1
=1
y
1
=2
z
1
=5
z

ìï x + 3y + z = - 2
ïï
ï
q) ïí x - y + 2z = 9
ïï
ïï
z = 3x
ïî

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH
ìï x = y = z
ìï 4x + 3y - 2z = - 1
ïï
ï
7
3
h) í 5
i) ïí x
y
z
ïï 2x - y + 4z = 30
ïï =
=
ïî
ïî 6 - 10 - 2

ìï x + y = 16
ïï
ï

l) ïí y + z = 28
ïï
ïï x + z = 22
ïî

ìï 2x 2
ïï
=y
ïï 1 + x 2
ïï
2
ïï 2y
=z
o) í
ïï 1 + y 2
ïï
ïï 2z 2
=x
ïï
2
ïî 1 + z
ìï x = 2 + z
ïï
ï
r) ïí y = 2 + 3z
ïï
ïï - 3x - 2y + z = - 2
ïî

chuyên đề giải hệ phương trình

6

ìï x + y = 25
ïï
ï
m) ïí y + z = 30
ïï
ïï x + z = 29
ïî

ìï 3xy = 2(x + y )
ïï
ï
p) ïí 5yz = 6(y + z )
ïï
ïï 4xz = 3(z + x )
ïî

NH: 2014-2015