Tóm tắt phương pháp phần tử hữu hạn

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.

Phần tử lò xo

Xét 1 phần tử lò xo với:
i ; j – ký hiệu nút phần tử.
ui ; uj – Chuyển vị nút (m).
fi ; fj – Lực nút (N).
k – Độ cứng lò xo (N/m)
Δ – Biến dạng của lò xo (m)

Xét trong miền biến dạng tuyến tính của lò xo, ta có:

F = k∆

Trong đó, ∆ = u j − ui
Phương trình phần tử:
k
− k

Hay:

− k   ui   f i 
 = 
k  u j   f j 

[ k ]{ u} = { f }

Trong đó,

[ k ] = 

k
− k

− k
k 

là ma trận độ cứng của phần tử.

 ui 

u j 

vecto chuyển vị nút của phần tử.

 fi 

fj

vecto tải của phần tử.

{ u} = 

{ f} =

1

II.

Phần tử thanh

1. Nội suy chuyển vị
u ( x) = N 1 ( x ) u i + N 2 ( x ) u j
với N 1 = 1 −

x
;
L

(1.1)
N2 =

x
L

(1.2)

Hình 1.2

2. Phương trình phần tử
Ma trận độ cứng phần tử:
1 − 1
[ k e ] = E e Ae 
Le − 1 1 
Véc tơ chuyển vị nút phần tử:
u 
{de } =  i 

u j 

(1.4)

(1.5)

Véc tơ lực nút phần tử:
f 
{ fe} =  i 
fj

(1.6)

3. Nội lực trong phần tử
E A
N e = e e (u j − ui )
Le

(1.7)

4. Ứng suất pháp trong phần tử
N
E
σ e = e = e (u j − u i )
Ae Le

(1.8)

2

5. Trường hợp phần tử chịu lực phân bố đều dọc trục với cường độ q = const:
Ta có thể chuyển lực phân bố đó thành các lực nút tương đương như sau:

Ta có vecto tải của phần tử là:
qL / 2
{ f } = 

qL / 2
Chuyển vị trong phần tử:
u ( x) = N 1 ( x ) u i + N 2 ( x ) u j +

(1.9)
qx( Le − x )
2 E e Ae

Lực dọc trong phần tử:
E A
q
N e = e e ( u j − u i ) + ( Le − 2 x )
Le
2

3

(1.10)

(1.11)

III.

Phần tử dầm phẳng

1. Nội suy độ võng
v( x ) = N 1 ( x ) v i + N 2 ( x )θ i + N 3 ( x ) v j + N 4 ( x )θ j

(2.1)

với các hàm nội suy:
N1 ( x) = 1 −
N 3 ( x) =

3x 2 2 x 3
+ 3 ;
L2e
Le

3x 2 2 x 3
− 3 ;
L2e
Le

N 2 ( x) = x −
N 4 ( x) = −

2x 2 x 3
+ 2
Le
Le

(2.2)

x2 x3
+
Le L2e

2. Phương trình phần tử
Ma trận độ cứng phần tử là
6 Le
 12
 6L
4 L2e
Ee I e  e
[ ke ] = 3
Le − 12 − 6 Le

2 L2e
 6 Le

− 12
− 6 Le
12
− 6 Le

6 Le 
2 L2 
− 6 Le 

4 L2e 

(2.4)

Véc tơ chuyển vị nút phần tử:
 vi 
θ 
{ d e } =  i 
v j 
θ j 

(2.5)

Véc tơ tải phần tử:
 fi 
m 
{ f e } =  i 
 fj 
m j 

(2.6)

4


3. Góc xoay
dv( x )  6 x 6 x 2
=  − 2 + 3
dx
Le
 Le

θ ( x) =


 4 x 3x 2
v i + 1 −

 L + L2
e
e




 6x 6x 2
θ i +  2 − 3

L
Le

 e


 2 x 3x 2 
v j +  −


 L + L2 θ j
e
e 



(2.7)

4. Mômen uốn
M ze =

[

(

)

(

) ]

Ee I e
( − 6 Le + 12 x ) vi + − 4 L2e + 6 Le x θ i + ( 6 Le − 12 x ) v j + − 2 L2e + 6 Le x θ j
3
Le
(2.8)

5. Lực cắt
Q ye =

dM ze E e I e
= 3 (12vi + 6 Leθ i − 12v j + 6 Leθ j )
dx
Le

(2.9)

6. Nội lực 2 đầu phần tử

{ Se }

 Q yi 
M 
 zi  E e I e
=
= 3
Le
 Q yj 
M zj 

 12
− 6 L
e

 12

 6 Le

6 Le
− 4 L2e
6 Le
2 L2e

− 12

6 Le
− 12
− 6 Le

6 Le   vi 
 
− 2 L2e  θ i 
 
6 Le  v j 

4 L2e  θ j 

(2.10)

Trường hợp phần tử chịu lực phân bố đều vuông góc với trục với cường độ q:
Ta có thể chuyển lực phân bố đó thành các lực nút tương đương như sau:

Ta có vecto tải của phần tử là:
 qL / 2 
 qL2 / 12 

{ f } = 

 qL / 2 
− qL2 / 12
(2.11)
Độ võng:

5

v( x ) = N 1 ( x ) vi + N 2 ( x )θ i + N 3 ( x ) v j + N 4 ( x )θ j +

(

q
x 4 − 2 Lx 3 − L2 x 2
24 EI ze
(2.12)

Véc tơ nội lực 2 đầu phần tử :

{ Se }

 Q yi 
M 
 zi  E e I e
=
= 3
Q
Le
yj


M zj 

 12
− 6 L
e


 12

 6 Le

6 Le
− 4 L2e
6 Le
2 L2e

− 12
6 Le
− 12
− 6 Le

6 Le   vi   qLe / 2 
 
− 2 L2e  θ i   qL2e / 12 
 +

6 Le  v j   qLe / 2 

4 L2e  θ j  − qL2e / 12
(2.13)

6

)


IV.

Phần tử dàn phẳng

vj

fyj

j

vi

uj

j

fyi

α
i

y

ui

x

fxj

α
i

fxi

(a)

(b)
Hình 3.1: Phần tử dàn phẳng

1. Phương trình phần tử
Ma trận độ cứng phần tử:
 c2
cs

2
[ k e ] = E e Ae  cs 2 s
Le − c
− cs

2
 − cs − s

− cs 

− s2 
cs 

s 2 

− c2
− cs

c2
cs

c = cos α ; s = sinα

Véc tơ chuyển vị nút phần tử:
u i 
v 
{ d e } =  i 
u j 
v j 

(3.1)

(3.2)

Véc tơ lực nút phần tử (véc tơ tải):
 f xi 
f 
{ f e } =  yi 
 f xj 
 f yj 

(3.3)

2.Lực dọc trong phần tử
Ne =

[

E e Ae
c(u j − u i ) + s( v j − vi )
Le

7

]

(3.4)


V.

Phần tử khung phẳng
vj

fyj

θj

mj
uj

j

vi
θi

j
fyi

α
i

α

mi

y

ui

fxj

x

i

fxi

Hình 4.1: Phần tử khung phẳng
1. Phương trình phần tử
Ma trận độ cứng phần tử:
 Ac 2 + Bs 2



[ke ] = 




dx


(

) ( A − B ) cs
( As + Bc )

với c = cos α ; s = sinα; A =

2

2

(

− Cs − Ac 2 + Bs 2
Cc
− ( A − B ) cs
4D
Cs
2
Ac + Bs 2

(

E e Ae
12 E e I e
;B =

;
Le
L3e

)

)

C=

6 Ee I e
;
L2e

− ( A − B ) cs
As 2 + Bc 2
− Cc
( A − B ) cs
As 2 + Bc 2

(

)

(

)

(4.1)
E I

D= e e ;
Le

2. Trong trường hợp bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc đến chuyển vị:
12 s 2 − 12cs − 6 Le s − 12s 2 12cs − 6 Le s 


12c 2
6 Le c
12cs − 12c 2 6 Le c 

4 L2e
6 Le s − 6 Le c
2 L2e 
E e I ze 
[ ke ] = 3 

Le 
12s 2
− 12cs 6 Le s 

12c 2 − 6 Le c 


4 L2e 
 dx
Véc tơ chuyển vị nút phần tử:

8

(4.2)

− Cs 

Cc 
2D 

Cs 
− Cc 

4 D 


u i 
v 
 i
θ 
{ d e } =  i 
u j 
v j 
 
θ 

(4.3)

Véc tơ lực nút phần tử (véc tơ tải)
 f xi 
f 
 yi 
m 

{ f e } =  i 
 f xj 
 f yj 
 
m j 

(4.4)

3. Véc tơ tải phần tử trong trường hợp chịu lực phân bố đều:
 f xi − qLe s / 2 
 f + qL c / 2
e
 yi

 mi + qL2e / 12 
{ fe} = 

 f xj − qLe s / 2 
 f yj + qLe c / 2


2
m j − qLe / 12 

(4.5)

fyj

fyj + qLec/2
mj –qLe2/12

mj
j

j

fxj

fyi

qLes/2
qLes/2

fyi +qLec/2

mi

q
i

fxi

y

mi + qLe2/12

x

i
Hình 4.2

9

fxj –qLes/2

fxi –qLes/2