TÍNH TOÁN kết cấu BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
KHOA CƠ KHÍ
BỘ MÔN CƠ SỞ THIẾT KẾ MÁY

Đề tài :
TÍNH TOÁN KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

GVHD
SVTH
LỚP
MSSV

TP.HỒ CHÍ MINH

Thán g 1-2003

:
:
:
:

PHAN ĐÌNH HUẤN
TRẦN ĐÌNH TÍN
CK98
29802072


LỜI NÓI ĐẦU

Trong xu thế ngày nay, sự phát triển của máy tính điện tử đã thúc đẩy các
lónh vực liên quan khác phát triển theo, trong ngàn h kỹ thuật nói chung và
ngàn h cơ khí nói riêng đã có một ảnh hưởng rất lớn đến tác động đó. Một cán h
nhìn tổng quát, sự ảnh hưởn g đó xuất phát từ sự ra đời của các phần mềm đồ
hoạ, AutoCAD, 3D Studio, SolidWorks, Pro/ENGINEER .v.v. các phần mềm
tính toán Sap, RDM, Ansys
Ansys là một phần mềm mang tính chuyên môn hoá cao, nó chủ yếu được
ứn g dụn g trong ngàn h xây dựng, đặc biệc là ngàn h cơ khí: Tính toán nhiệt,
dòng chảy, từ, chuyển vò ,ứng suất và dao động.Cùn g với sự phát triển của máy
tính các thế hệ của Ansys đã dần dần phát triển từ phiên bản 4.4 đến 5.4 và cho
đến nay là phiên bản 7.4 .Đối với nước ta sự ứng dụn g phần mềm này cũn g
chưa được phổ biến , nó chỉ được giới hạn trong các trường đại học cũn g như
chỉ được dùng tính toán trong các đồ án môn học và luận văn tốt nghiệp. Chính
vì sự mới lạ và một vốn kiến thức đã có về phần mềm này, đã đưa em đến quyết
đònh chọn đề tài “ Tính toán kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn ( Sử
dụng phần mềm tính toán Ansys) làm đề tài tốt nghiệp . Do thời gian và kiến
thức còn hạn hẹp cho nên không tránh khỏi nhữn g thiếu xót, do đó em mong
rằng sẽ nhận thêm được nhiều sự gợi ý và chỉ dẫn thêm của các thầy, cô.

Trần Đình Tín


LỜI CẢM ƠN

Để có được kiến thức vô cùn g q giá và hoàn thành tốt đề tài tốt nghiệp
được giao như ngày hôm nay, em xin chân thàn h cảm ơn quý thầy cô trườn g Đại
học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh nói chung và thầy cô Bộ môn Cơ Sở
Thiết Kế Máy nói riên g, đặc biệt là thầy Phan Đình Huấn đã tận tình giúp đỡ
và tạo mọi điều kiện để em hoàn thàn h tốt nhiệm vụ được giao và giáo viên
chủ nhiệm thầy Nguyễn Hữu Lộc đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tâïp tại

trường. Một lần nữa em xin chúc thầy, cô luôn dồi dào sức khoẻ và chấp cán h
cho các thế hệ sau, bước vào tương lai.
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn đã giàn h nhiều thời
gian để giúp đỡ em hoàn thành luận án này.
Cuối cùng con xin cảm ơn gia đình và cùng tất cả các bạn bè đã gúp đỡ
vật chất và tinh thần trong suốt quá trình học tập .

Ngày 30 tháng12 năm 2002
Trần Đình Tín


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

CHƯƠNG I

TỔN G QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHẦN MỀM
ANSYS

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 1


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

1.1 Tổn g quan về phương pháp phần tử hữu hạn
1.1.1 khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số đặc biệt
có hiệu quả để tìm dạng gần đún g của một hàm chưa biết trong miền xác đònh V
của nó. Tuy nhiên PP PTHH khôn g tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn
miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác đònh V. Do đó
phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó
hàm cần tìm được xác đònh trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có
đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chòu nhữn g điều kiện khác nhau. Phương
pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ
và tổn g quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số
nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử.
Trong PP PTHH miền V được chia thàn h một số hữu hạn các miền con,
gọi là phần tử. Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm đònh trước
trên biên phần tử, gọi là nút. Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượn g cần tìm được
lấy xấp xỉ trong dạn g một hàm đơn giản được gọi là các hàm xấp xỉ
(approximation function). Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trò
hàm (và có khi cả các giá trò của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử.
Các giá trò này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần
tìm của bài toán.
Với bài toán cơ vật rắn biến dạn g và cơ kết cấu tùy theo ý nghóa vật lý của
hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:
1.1.1.1Theo mô hình tương thích
Người ta xem chuyển vò là đại lượn g cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu
diễn gần đúng dạn g phân bố của chuyển vò trong phần tử. Các ẩn số được xác
đònh từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng,

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 2

GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

hay nguyên lý biến phân Lagrange.
1.1.1.2 Theo mô hình cân bằng
Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạn g phân bố của ứng suất hay nội lực
trong phần tử. Các ẩn số được xác đònh từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở
nguyên lý năn g lượn g toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất
(nguyên lý Castigliano).
1.1.1.2 Theo mô hình hỗn hợp
Coi các đại lượng chuyển vò và ứn g suất là hai yếu tố độc lập . Các hàm
xấp xỉ biểu diễn gần đún g dạng phân bố của cả chuyển vò lẫn ứn g suất trong
phần tử. Các ẩn số được xác đònh từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên
lý biến phân Reisner.
Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa
nhận được thì cũng có nghóa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượn g cần
tìm trong tất cả các phần tử và từ đó cũng tìm được tất cả các đại lượng còn lại .
Trong ba mô hình trên , mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả.

1.1.2 Trình tự tính toán bài toán theo phương pháp phần tử hữu
hạn
Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát
Trong bước này, miền khảo sát V được chia thàn h các miền con Ve hay
thàn h các phần tử có dạng hình học thích hợp.
Với bài toán cụ thể, số phần tử, hình dạng hình học của phần tử, cũn g như
kích thước các phần tử phải được xác đònh rõ. Số điểm nút phần tử không lấy
được

một cách tuỳ tiện mà tuỳ thuộc vào hàm xấp xỉ đònh chọn.
Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản . (Hình 1.1.1)

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 3


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Hình1.1.1 – Dạng hình học đơn giản của các phần tử
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạn g xấp xỉ của nó sao
cho đơn giản đối với tính toán bằn g máy tính nhưng phải thoả mãn các tiêu
chuẩn hội tụ, và thường chọn ở dạng đa thức, rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập
hợp giá trò và có thể cả các đạo hàm của nó tại các nút phần tử {q}e .
Bước 3: Xây dựn g phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứn g
phần tử [Ke] và vector tải phần tử {P}e
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp , hoặc sử dụng nguyên lý biến phân,
hoặc các phương pháp biến phân , …
Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phương
trình phần tử: [Ke] {q}e = {P}e
Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thức mà kết quả là
hệ thống phương trình:

[K ]{q} = {P }
Trong đó, có thể gọi:

[K ]:

ma trận độ cứn g tổn g thể (hay ma trận hệ số toàn miền )

{q }: vector tập hợp các giá trò đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là
vector chuyển vò nút tổn g thể)

{P }:

vector các số hạn g tự do tổng thể (hay vector tải tổng thể)

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 4


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Rồi sử dụn g điều kiện biên của bài toán, mà kết quả là nhận được hệ
phương trình sau:

{}{}

K *  q * = P *
 

Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là phương trình để giải

Bước 5: Giải hệ phương trình đại số

{}{}

K *  q * = P *
 

Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình đại số là khôn g khó
khăn. Kết quả là tìm được các chuyển vò của các nút .
Nhưng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các
bước lặp mà sau mỗi bước ma trận cứn g [K ] thay đổi (trong bài toán phi tuyến
vật lý) hay vector lực nút {P} thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học).
Bước 6: Hoàn thiện
Từ kết quả trên, tiếp tục tìm ứng suất , chuyển vò hay biến dạng của tất cả
các phần tử.

1.1.3 các phương trình cơ bản
Khi giải bài toán theo mô hình tương thích (còn được gọi là phương pháp
chuyển vò) đại lượn g cơ bản cần tìm trước tiên là chuyển vò. Chuyển vò được xấp
xỉ hoá và nội suy theo vector chuyển vò nút phần tử {q}e . Sau khi tìm được ma
trận các hàm dạn g, chún g ta biểu diễn được trường chuyển vò theo các chuyển vò
nút phần tử {q}e .

{u e } = [N] {q}e

(1.1.1)

Từ đó theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vò và biến dạn g (các
phương trình Cauchy), biến dạng của một điểm trong phần tử sẽ là:

{ε} = [∂ ]{u }e
SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

= [∂ ][ N]{q}e = [ B]{q }e

(1.1.2)

Trang 5


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN
Trong đó

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

[B]=[∂][N]

Và [B] được gọi là ma trận tính biến dạng.
Ứng suất tại một điểm thuộc phần tử, trong trường hợp vật liệu tuân theo
đònh luật Hooke sẽ là:

( { } )+ {σ }
(1.1.3)
Trong đó {εo }e và {σ o }e lần lượt là biến dạn g và ứng suất ban đầu của
{σ}e

= [ D] {ε}e − ε o

o

e

e

phần tử.
Sử dụn g (1.1.2), ta có

{σ}e = [D][B] {q}e - [D] {εo }e +

{σ o }e
{σ}e = [T] {q}e - [D] {εo }e + {σ o }e

Hay

(1.1.4)

Trong đó [T] = [D][B] gọi là ma trận tính ứng suất phần tử (1.1.5),(1.1.1),
(1.1.2) và (1.1.5) cho ta biểu diễn chuyển vò, biến dạn g và ứng suất trong phần
tử theo vector chuyển vò nút phần tử {q}e .
Thế năn g toàn phần của phần tử :

∏e ({u}e ) = ∫ 2 {ε}Te {σ}e dV − ∫ {g}T {u}e dV − ∫ {p}T {u}e dS
1

Ve

Ve

Se

Dùn g (1.1.1), (1.1.2) và (1.1.5):

∏e ({q}e ) = ∫ 2 {q}Te ([B]T [ D][B]){q}e dV
1

Ve



T
T
1
1
−  ∫ {g }T {u }e dV + ∫ {p}T {u }e dS + ∫ ε o e [ D][B]dV − ∫ σ o e [ B]dV {q }e
V
2
2

Se
Ve
Ve
 e


{ }

{ }

Hay

∏e ({q}e ) = 2 {q}Te [ K]e {q}e − {q}Te {P}e

(1.1.6)

Trong đó

[K]e =

(1.1.7)

1

∫ [B]

T

[D][B]dV

Ma trận cứng phần tử

Ve

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 6


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

{P}e

= ∫ [ N] T {g}e dV + ∫ [N ]T {p}e dS +
Ve

{P} e

Se

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP
1

∫ 2[B]

T

{ }

[ D] εo e dV −

Ve

1

∫ 2 [B]

T

{σ } dV
o

e

(1.1.8)

Ve

được gọi là vector tải phần tử

Dễ thấy rằn g vì [D] là ma trận đối xứn g nên tích [B] T[D][B] cũn g đối
xứng và do đó [K]e là ma trận đối xứng.

1.1.4 Tính toán hệ thanh
1.1.4.1 Tính toán hệ thanh dàn
Phương pháp phân tích bài toán hệ thanh theo PP PTHH với mô hình
tương thích cũn g khôn g nằm ngoài các bước đi chung đã nói . Vấn đề còn lại là
tuỳ thuộc đặc tính của từn g loại bài toán mà áp dụng. Trước hết cần thấy rằn g
bài toán hệ thanh là bài toán thuộc loại bài toán một chiều khi các thành phần
chuyển vò của các phần tử chỉ là hàm của một biến tọa độ x.
Như đã biết dàn là một hệ gồm các thanh chỉ chòu kéo nén đún g tâm hay
là một trường hợp cụ thể của thanh chỉ chòu biến dạn g dọc trục. Vậy trước tiên ta
xét đến thanh chòu biến dạng dọc trục.

1.1.4.1.1 Phần tử thanh chòu biến dạn g dọc trục
Xét một phần tử thanh có hai điểm nút chòu biến dạn g dọc trục, chòu tải
trọn g phân bố dọc trục p(x) như hình 1.1.2.
Rõ ràn g phần tử chỉ có hai bậc tự do là hai chuyển vò của hai nút đầu và
cuối . Do đó chuyển vò dọc trục u(x) của phần tử chỉ có thể là một xấp xỉ tuyến
tính.
u(x) = a1 + a2x
Hay

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

u(x) = [N] {q}e

Trang 7


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

y
p(x)

u1 ≡ q1

u2 ≡ q2
x

P1

P2

u(x)
L, E, F

Hình 1.1.2 – Phần tử thanh chòu tải trọn g phân bố dọc trục
 q1 
 u1 

 ≡ 
q2 e u 2 e

{q}e = 

Trong đó:




Ma trận các hàm dạng

[N]= 1 −

x

L

x
L 

Trong bài toán này , vector biến dạn g {ε} = {ε x }, vector ứng suất cũng chỉ
còn {σ} = {σ x }.
d

Trong phương trình quan hệ chuyển vò biến dạng: [∂ ] =   vì ε x =
dx
 dx 
du

Trong phương trình đònh luật Hooke, ma trận [D] chỉ còn [D] = [E] hay
σ x = Eε x (với E là module đàn hồi Young).

Do đó ma trận tính biến dạn g:
d
[B]=[∂ ][N]=  
 dx 

Hay

 1
 L

[B]= −


x
1 − L 



x
L 

1
L 

Và ma trận độ cứng phần tử:
[K]e

=

∫ [B]

T

[D][B]dV

Ve

1 − 1 1
∫ L  1  E L [− 1 1]Fdx
L

=

0

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

=

EF  1 − 1
L − 1 1 

(1.1.9)

Trang 8

GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Trong đó:
F : Diện tích mặt cắt ngang phần tử
Vector tải {P}e được tính theo (1.1.8)
Do lực phân bố dọc trục p(x):

{P}Pe



x 

= ∫ [N ]T {p (x )}dx = ∫  L p( x )dx
x 
0
0
 L 
L 1 −

L

(1.1.10)

Trường hợp p(x) = p 0 = const:


{P}Pe

x 

p L 1
= p o ∫  L dx = o  
x 
2 1
0
 L 
L 1 −

(1.1.11)

Do nhiệt độ:

{P}ie

= ∫ [B]T [D]{ε o }dV
Ve
L

=

1 − 1

− 1

∫ L  1 E{α∆T}Fdx = EFα ∆T  1 

(1.1.12)

0

Trong đó:
∆ T:

độ biến thiên nhiệt độ

1.1.4.1.2 Phần tử thanh trong dàn phẳn g
Trong dàn phẳng, khi tính theo PP PTHH, người ta xem mỗi mắc dàn là
một đỉnh nút , và mỗi thanh dàn là một phần tử chòu biến dạn g dọc trục. Rõ ràn g
nút i bất kỳ của dàn có 2 bậc tự do: là chuyển vò theo phương ngang và phương
đứng của nó. Các bậc tự do được đánh số lần lượt là 2i-1 và 2i.
Xét phần tử thanh bất kỳ mà nút 1 và nút 2 của nó tương ứng nút i và j
theo chỉ số tổn g thể. Các nút này có các chuyển vò (q’ 2i-1, q’2i) và (q’2j-1) và sẽ
gây ra chuyển vò tại hai nút theo phương dọc trục thanh là q 1 và q2.

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 9


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

q 1 = q' 2i−1 l ij + q '2 i mij

q 2 = q '2 j−1 l ij + q '2 j m ij

Dễ thấy rằng

v’j = q’2j
y

x
u2 ≡ q2

u’j ≡ q’2j-1

v’I = q’2i

q’2i-1≡ u’i
y’

x’

Hình 1.1.3 – Phần tử thanh trong dàn phẳng
Trong đó: l ij, mij là cos chỉ phương của trục phần tử (trục x) đối với hệ trục
tổng thể xy.
Hay, vector chuyển vò nút phần tử trong hệ tọa độï đòa phương:

{q}e ≡ {u 1 , u 2 }Te = {q 1 , q 2 }Te
được biểu diễn qua vector chuyển vò nút phần tử trong hệ tọa độ tổn g thể:

{q '}e
như sau:

{

≡ u 'i , v 'i , u ' j , v ' j

{q}e
(2 × 1)

=

}T ≡ {q'2i −1 , q' 2i , q' 2 j−1 , q'2 j }T

[T]e

{q'}e

(2 × 4)

(4 × 1)
lij

Trong ma trận chuyển trục: [T] e = 
0
(2 × 4)

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

(1.1.13)

m ij

0

0

l ij

0 
m ij 

(1.1.14)

Trang 10


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

y’
x
y

y’j

e

α

y’i

i

x’i

x’j

x’

Hình 1.1.4 – Phần tử trong hệ tọa độ
tổng thể
Vậy ma trận cứng phần tử trong hệ tọa độ tổn g thể là:
 l ij
m
T
[K’] e = [T]e [K] e[T] e =  ij
 0

 0

Cuối cùn g:

l ij2

EF 
[K’] e =
L 




0 
0 

l ij
EF  1 − 1
×
×
0
lij 
L e − 1 1 


m ij 

l ij mij

− l 2ij

m 2ij

− l ij m ij

đx

l ij2

− lij m ij 

− m2ij 
l ij mij 
m 2ij 

m ij

0

0

l ij

0 
m ij 

(1.1.15)

Chú ý : l ij, mij là cosin chỉ phương của trục phần tử (trục x) trong hệ tọa độ
tổng thể và nó cũng là cosin của góc nghiên g giữa đường thẳn g nối các nút i và j
với các trục x’, và y’ và chún g được tính qua tọa độ các điểm nút trong hệ tọa độ
tổng thể như sau:
lij = cos (x,x’) =

x' j − xi

mij = cos (x,y’) =

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

L

(1.1.16)

y' j − yi
L

Trang 11


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Ở đây (x’ i, y’i) và (x’ j,y’j) là tọa độ của nút i, j trong hệ tọa độ tổn g thể
x’y’ và L là chiều dài phần tử ij và được tính bởi

(x ' j −x'i )2 + (y' j −y'i )2

L=

(1.1.17)

+ Cũn g có thể thấy rõ hơn ma trận [T] e nếu ta gọi α là góc nghiêng giữa
trục phần tử (nối từ điểA m đầu i đến điểm cuối phần tử là j) đối với trục ngang
x’ thì dễ thấy rằn g: lij = cosα , mij = sinα
cos α

Hay

[T]e = 
 0

sin α
0

0 
cos α sin α 
0

(1.1.18)

và do vậy công thức [K’ e] cũng có thể viết với sự sử dụng góc α này . Cụ thể:
 c2

EF  cs
[K’e] =
L − c 2

 − cs

với

c = cosα

và

cs
s2

− c2
− cs

− cs
s2

c2
cs

− cs 

− s2 
cs 

s 2 

(1.1.19)

s = sinα

α là góc nghiêng giữa trục phần tử (đườn g nối ij) với trục x’
Nội lực trong thanh dàn:
Vì

ε x = [B] {q}e
σ x = Eε x

nên lực dọc trục trong thanh dàn, tính theo {q}e được tính là:
Ne = σ xF = EF[B] {q}e
Còn trong hệ tọa độ tổn g thể, ta có thể tính lực dọc trục theo vector
chuyển vò nút {q'}e bằng cách thay {q}e = [T]e {q'}e , ta tính được:
Ne = EF[B][T]e {q '}e = [S’e] {q '}e

(1.1.20)

Trong đó: Ma trận tính nội lực [S’e] = EF [B][T] e

hay

 1

[S’e] = EF −
 L

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

1  l ij
× 
L   0

m ij

0

0

l ij

0 
m ij 

Trang 12


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

hoặc

[

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

]

[S’e] =

EF
− l ij
L

[S’e] =

EF
[− cos α − sin α cos α sin α]
L

− m ij

l ij m ij

(1.1.21)
(1.1.22)

Côn g thức (1.1.20) cho ta xác đònh lực dọc trong phần tử do chuyển vò nút

{q} gây ra. Trường hợp trên chiều dài phần tử còn có tác dụn g những lực dọc
trục, hay chòu sự thay đổi của nhiệt độ thì để có kết quả chính xác đối với nội lực

nên kể thêm phần lực dọc do tải trọng hay do biến thiên trên phần tử khi xem
các nút là cố đònh.
Cụ thể:

q0

∆ To

L
qo L
2

+
No

-

qo L
2

No

-

α∆ t o
EF

1.1.4.1.3 Dàn không gian
Nếu xem mỗi mắt dàn là một điểm nút và một thanh dàn là một phần tử,
thì dễ thấy rằng mỗi điểm nút có ba bậc tự do: đó là 3 chuyển vò thành phần theo

3 phương x’; y’; z’ của hệ tọa độ kết cấu. Và vector chuyển vò nút phần tử trong
hệ tọa độ kết cấu là: (Cụ thể với phần tử mà điểm đầu và điểm cuối là nút i và
nút j)

{q'}(e ) ≡ {u'i , v'i , w 'i , u' j , v' j , w ' j }T
(6 × 1)
= {q '3i −2 , q '3i −1 , q '3i , q '3 j−2 , q '3i −1 , q '3i }T
Trong hệ tọa độ đòa phương xyz (với x là trục phần tử, hay trục nối 2 nút i
và j) vector chuyển vò nút phần tử vẫn là:

{q}(e) ≡

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

{u i , u j }T
Trang 13


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Trong đó u i, uj là chuyển vò của nút i và nút j theo phương x (phương nối i
và j).
Vậy quan hệ giữa {q'}e và {q}e chính là:

{q}e = [T]e {q'}e
Trong đó ma trận biến đổi [T] e là:
l ij

[T]e = 
0

m ij

n ij

0

0

0

0

lij

m ij

0
n ij 

q
j
e

q3j-1
y’

i

x
q’3j-2

q’3j

q3j-2

q 3j
x’

z’

Hình 1.1.5 – Phần tử dàn không gian
với l ij, mij, nij là các cosin chỉ phương của đường nối ij trong hệ tọa độ kết
cấu x’y’z’ và được xác đònh qua hệ tọa độ các đỉnh nút I, j bằng các công thức
quen thuộc:

và

l ij =

x 'i − x 'i
,
L

L=

(x ' j − x'i )2 + (y' j − y'i )2 + (z' j − z'i )2

m ij =

y 'i − y'i
,
L

n ij =

z'i − z'i
L

Ma trận độ cứn g phần tử trong hệ tọa độ đòa phương [K] e là đã biết . Vậy
ma trận độ cứn g phần tử trong hệ tọa độ kết cấu là:
[K’] e =
(6 × 6)

[T]Te

[K]e

[T]e

(6 × 2)

(2 × 2)

(2 × 6)

Cụ thể:

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 14


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN
l 2ij



EF 
[K’] e =
L 
(6 × 6)





l ij m ij

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP
− l ij2

− l ij m ij

m ij n ij

− lij m ij

− m 2ij

n 2ij

− l ij n ij

− n ij m ij

l 2ij

l ij m ij

l ij n ij

m 2ij

đối xứng

− lij n ij 

− m ijl ij 

− n ij2 
l ij n ij 

m ij n ij 
n 2ij 

m 2ij

Trong đó
E:

module đàn hồi Young của vật liệu

F:

diện tích mặt cắt ngang thanh

L:

chiều dài phần tử

1.1.4.2 Hệ khung phẳn g
1.1.4.2.1. Phần tử dầm chòu uốn – Dầm liên tục
Xét phần tử dầm chòu uốn có chiều dài L, mặt cắt ngang khôn g đổi.
v2 ≡ q3
θ2 ≡ q4

y

x

2

v1 ≡ q1
L,EJ

1
θ1 ≡ q2

Hình 1.1.6 – Phần tử dầm chòu
uốn
Chuyển vò theo phương vuông góc trục thanh v(x) được chọn là đa thức
xấp xỉ bậc 3.
v(x) = a1 + a2x + a 3x 2 + a 4x 3
Hay

v(x) = [P (x)] = {a}

Với

P[ (x) ] = 1 x x 2

[

Và vector tham số: {a}= {a1 a 2

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

(*)
x3

]

a 3 a 4 }T

Trang 15

GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Từ điều kiện đồn g nhất chuyển vò nút là các giá trò của hàm v(x) và đạo
hàm bậc nhất của nó tại các điểm nút 1 và 2 của phần tử, ta có:

{q}e = [A] {a}
Trong đó {q}e là vector chuyển vò nút phần tử và:

{q}e = {v1

θ1

θ 2 }Te ≡

v2

{q1

q2

q3

q 4 }Te

Còn
0 
1 0 0
0 1 0

0 
[A] = 
và tồn tại nghòch đảo
1 L L2 L3 

2
0 1 2 L 3L 

 1
 0
[A]-1= 
− 3 / L2

3
 2 /L

Từ đó

0

0

1
− 2/ L

0
3 / L2

1 / L2

− 2 / L3


0 
− 1 / L3 

1 / L2 
0

{a}=[A]-1 {q}e

Thay {a} vào (*) ta biểu diễn được hàm chuyển vò v(x) theo vector chuyển
vò nút {q}e
v(x) = P[(x)][A] -1 {q}e =[N] {q}e
Với [N] là ma trận các hàm dạng và [N] = [N1

(1.1.23)
N2

N3

N 4]

Trong đó
N1(x) = 1-3

x2
L2

N2(x) = x(1-2

N3(x) = 3

x2
L2

N4(x) = x(-

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

+2

x3
L3

x x2
)
+
L L2

−2

x3
L3

x x2
)
+
L L2

Trang 16

GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Như đã biết ở giáo trình Sức bền vật liệu, khi dầm chòu uốn mặt cắt ngang
của
dầm còn là phẳng khi biến dạn g và xoay đi góc θ =

dv
.
dx

∂v
∂x
dx
dv

y

A
B’

v

A

y

B

u= − y

∂z
∂x

Hình 1.1.7 – Biến dạn g của phần tử dầm chòu uốn
Do đó chuyển vò dọc trục u và độ võn g v có quan hệ (như hình 1.1.7):
u =-y

dv
dx

Trong đó y là khoảng cách từ điểm đang xét tới đường trung hoà.
Khi đó biến dạng dọc trục:

εx =

du
d 2v
=- y
dx
dx 2

Sử dụn g (1.1.23)
εx = - y

Trong đó

d 2 [ N]
dx 2

[B]=-y

{q}e =[B] {q}e
d 2 [ N]
dx 2

 6 12  4 6  6 12  2 6x 
Hay [B] = -y  − 2 + 3  − + 2  2 − 3  − + 2 
L  L L  L
L  L L 
 L

(1.1.24)

Ứng suất tại mọi điểm của dầm chòu uốn
σ x =Eε x

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 17


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Hay ở dạng ma trận {σ}=[D] {ε x }

Ở đây ma trận [D]=[E]
Sử dụng côn g thức (1.1.7), ma trận độ cứn g phần tử dầm chòu uốn được
xác đònh như sau
[K]e =

∫ [B]

T

[D][B]dV = E ∫

Ve

∫ [B]

T

[B]dF.dx

L F

Hay
 12

EJ
[K]e = z 
L3 

đối xứng

Ở đây Jz =

∫y

2

6L
2

4L

− 12

6L 
− 6 L 2L2 
12 − 6 L 

4L2 

(1.1.25)

dF là moment quán tính của mặt cắt ngang lấy với trục z.

F

Với vector tải phần tử {Pe }, trường hợp tổn g quát , khi trên chiều dài phần tử có
tải trọng phân bố q(x), các lực tập trung Qi và các moment tập trung M i tác dụn g
thì trên cơ sở công thức (1.1.8) hay từ sự cân bằng công của lực nút trên các
chuyển vò nút tương ứng và tổng côn g của các ngoại lực (trên phần tử) trên các
chuyển dời tương ứng, ta có thể tìm vector tải phần tử {P}e theo công thức sau:

nQ

nM

{Pe } = ∫ [ N]T q (x )dx + ∑ [ N( x Qi )]T Q i + ∑ 
L

i =1

( )

T

dN

x Mi  M i
dx

i=1 

(1.1.26)

Trong đó:
q(x): cường độ lực phân bố trên chiều dài phần tử
Qi và x Qi: Lực tập trung và hoành độ điểm đặt lực trên hệ trục đòa phương
Mi và x Mi : Moment tập trung và hoành độ điểm đặt trên hệ trục phần tử
nQ và nM : Số lực tập trung và số moment tập trung trên chiều dài phần tử
đang xét .
Sử dụng (1.1.26) xác đònh vector tải phần tử cho một vài trường hợp cụ

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 18


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

thể
- Trường hợp tải trọng phân bố đều trên phần tử (Hình 1.1.8)
y
q

P1

P4
e

i

P2

L

j

P3

x

Hình 1.1.8 –Trường hợp tải trọn g phân bố
đều
 3x 2
x3 
 qL 
1 − 2 + 2 3 
 2 
L
L


2
3


 P1 


2x
x
qL2 

x
−
+
P 

2 
2 

{Pe } =  2  = ∫  2L L3  qdx =  qL
 P3  L  3 x − 2 x 



2
3 
2
 P4 


 L 2 L3 
 qL2 
 −x +x 
−

 12 

L L2 

Ta có:

Trường hợp trên phần tử có lực tập trung giá trò Q đặt cách nút đầu phần
tử khoản g cách a (x Q = a)(Hình 1.1.9)
y

P3

Q
P1

x
P2
P4

a
L

Hình 1.1.9

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

Trang 19


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

{P}e

 P1 
P 
 2
= 
 P3 
 P4 
e

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

 3a 2

a3 
1 − 2 + 2 3 
L
L 

2

2a
a3 
+ 2 
a −
L
L 
= [ N(a )]T Q = Q 
2
2a 3 
 3a
−

2
3 
 L 2 L3 
 −a +a


L L2 

- Trường hợp đặc biệt , khi Q đặt tại giữa nhòp phần tử
y

Q

P1

P3
x

P2
L/2

L/2

P4

Hình 1.1.10

{P}e

 PL 
 2 

2 
 PL 


= 8 
PL


 2 

 PL2 
−

 8 

Để tìm moment uốn nội lực trong phần tử dầm, như trong sức bền vật liệu,
với hệ trục tọa độ đòa phương như trên thì dễ thấy rằn g, trường hợp phần tử có
tiết diện không đổi , ta đã có:
M=EJ

d 2v
dx 2

Vậy nếu tính theo vector chuyển vò nút phần tử {q}e thì:
M(x) = EJ

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

d2
dx 2

[N] {q}e = EJ [N’’] {q}e

(1.1.27)

Trang 20


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN
Ở đây

d2

[N’’] =

dx 2

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

[N] = [N’’ 1 N’’ 2 N’’3 N’’4 ]

Từ (1.1.27) dễ nhận thấy rằn g, khi các hàm dạng Ni(x) là các hàm nội suy
Hecmit bậc 3, thì N’’ i(x) là bậc nhất và do đó moment uốn M(x) là hàm tuyến
tính trong phần tử.
Nếu gọi
M(tại nút 1) 
 là vector moment uốn ta ïi các đầu nút phần tử thì
 M(tại nút 2) e

{M}e = 

M1 
[ N ' ' (x = 0 )] 
 =EJ 
 {q}e
M 2 
[ N ' ' (x = L )]

{M}e = 
Hay

{M}e

=

(2 × 1)

[S]e

{q}e

(2 × 4)

(4 × 1)

Ở đa ây [S]e la ø ma tra än tính moment
Và

[ N ' ' (0)] 
EJ − 6 L − 4 L2
[S]e = EJ 
=


2 L2
L3  6 L
[ N ' ' (L)]

6L
− 6L

− 2 L2 

4 L2 

(1.1.28)

(2 × 4)
Cũn g có thể nha än thấy ra èn g, tương tự như trong phương pha ùp chuyển vò
của Giáo trình Cơ kết cấu, moment uốn M(x) = EJ[N ’’] {q}e la ø moment do ca ùc
chuyển vò nút gây ra. Để đa ày đủ, trong trường hợp trên chiều dài phần tử có lực
ta ùc dụng ca àn cộng thêm moment Modulus do tải trọn g này gây ra tên pha àn tử khi
xem xét ta át cả các nút được ga én cứng.

1.1.4.2.2 Phần tử dầm chòu uốn trong hệ tọa độ tổng thể – Khung
phẳng
Như trên đã biết: Trong hệ tọa độ đòa phương xyz chuyển vò v(x) của dầm
chòu uốn được biểu diễn qua vector chuyển vò nút phần tử {q}e và

{q}e

=

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN

{v 1

θ1

v2

θ 2 }T

Trang 21


GVHD: Ts. PHAN ĐÌNH HUẤN

{q1

≡

q2

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP
q3

q 4 }T

Trong hệ tọa độ tổng thể x’y’z’: các chuyển vò nút v1 và v2 có thể pha ân
thàn h ca ùc tha ønh pha àn theo 2 phương x’, y’.
Khi đó, nếu gọi vector chuyển vò nút phần tử trong hệ tọa độ tổn g thể
x’y’z’ la ø {q'}e và:

{q '}e

=

{u'1

v'1

θ'1 u '2

v '2

θ' 2 }

≡

{q '1

q' 2

q '3

q '5

q '6 }

T

(6 × 1)
q '4

T

v3=q3

v’2=q’5

u’2=q’4

y

2

v’1=q’2

θ2=q2 = q’3

v1=q1
α
1

θ1=q’2 = q’3

u’1=q’1

Hình 1.1.11 – Phần tử dầm chòu uốn trong hệ tọa độ tổn g
thể
Thì dễ thấy mối quan hệ giữa ca ùc tha ønh pha àn của {q}e va ø {q '}e là:
 q1 = l yq '1 + m y q '2 


 q 2 = n z q '3 = q '3 


 q 3 = l y q '4 + m y q '5 
q = n q'


z 6
 6


ha y
(4 × 1)

{q}e

=
(4 × 6)

[T ]e

(6 × 1)

{q'}e

Với ma tra än biến đổi trục tọa độ

SVT H:TRẦN ĐÌNH T ÍN

Trang 22