41 câu hệ pt đặc sắc

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

41 CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC
(Nhân dịp Việt Nam thắng Đài Loan 4-1)
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
2 xy
 2
2
x
4
y
−
+
= −1

x + y −1
Câu 1: Giải hệ phương trình 
 1 − 2 y + ( x + 2 y ) y = 2 (1 − y ) + ( 3 x − 1)2

Lời giải.
Điều kiện 0 ≤ y ≤

1
và x + y ≠ 1 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2
( x2 − 4 y 2 ) ( x + y − 1) + 2 xy = −1 ⇔ ( x + 2 y − 1) ( x2 − xy − 2 y 2 + y + 1) = 0 .

Xét trường hợp x 2 − xy − 2 y 2 + y + 1 = 0 (1) .

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x tham số y ta có điều kiện có nghiệm x
2 + 2 10
2 − 2 10
∆ = y 2 − 4 ( −2 y 2 + y + 1) = 9 y 2 − 4 y − 4 ≥ 0 ⇔ y >
∨y≤
.
9
9
1
Hệ quả này mâu thuẫn với điều kiện 0 ≤ y ≤ nên (1) vô nghiệm x, y.
2
2
Xét trường hợp x + 2 y = 1 thì phương trình thứ hai trở thành 1 − 2 y + y = 2 (1 − y ) + ( 3x − 1) .

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

1 − 2 y + y ≤ 2 (1 − 2 y + y ) = 2 (1 − y ) ≤ 2 (1 − y ) + ( 3 x − 1) .
2

1 − 2 y = y
1

Dấu đẳng thức xảy ra khi 3x − 1 = 0 ⇔ x = y = .
3
x + 2 y = 1

1
Thử lại thấy hệ có nghiệm duy nhất x = y = .
3


2 − x − 3 y x2 + y 2
=
+2
( x + 2 )
x− y+2
x− y
Câu 2: Giải hệ phương trình 

 x − y − 1 + 5 − 2 x = 12 y − 4 xy + 7
Lời giải
x − y ≥ 1
5
Điều kiện: 
và x ≤ . Phương trình một của hệ tương đương với:
2
2 ≥ x + 3 y

 2 − x − 3y
 x2 + y2
2 − x − 3y − x − y + 2 y ( x + y)
y 2 + xy
− 1 =
−x=
⇔ ( x + 2) .
=
( x + 2) 
x− y
x− y
x− y
x− y+2

 x− y+2

2( x + y)
y ( x + y)
⇔ − ( x + 2) .
=
x− y
x − y + 2 2 − x − 3y + x − y + 2

(

)



y
2x + 4
 = 0 ⇔ x + y = 0 ⇔ x = −y
⇔ ( x + y) 
+
x− y
x − y + 2 2 − x − 3y + x − y + 2 


Với thế vào phương trình hai của hệ ta được 2 2 x − 1 + 2 5 − 2 x = 8 x 2 − 24 x + 14

(

)

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

) (

Facebook: LyHung95

)

⇔ 2 x − 1 − 2 2 x − 1 + 5 − 2 x − 2 5 − 2 x + 8 x 2 − 24 x + 10 = 0
⇔

( 2 x − 1)( 2 x − 5 )

2x − 1 + 2 2x − 1

+

( 2 x − 1)( 2 x − 5)

5 − 2x − 2 5 − 2x

+ 2 ( 2 x − 1)( 2 x − 5 ) = 0


x =

1
1


⇔ ( 2 x − 1)( 2 x − 5 ) 
+
+ 2 = 0 ⇔ 
 2x − 1 + 2 2x − 1 5 − 2x − 2 5 − 2x

x =

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

1
1
⇒ y=−
2
2
5
5
⇒ y=−
2
2

 x 2 − xy − 2 y − 1 + ( x − 1) y = 0
Câu 3: Giải hệ phương trình 
 x3 − 5 x 2 + 7 y + 6 = 3 y − 2
Lời giải:
2
Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ .

3
a = x − 1
x = a2 + 1
Đặt 
. Khi đó phương trình một của hệ tương đương với:
( a, b ≥ 0 ) ⇒ 
2
y
b
=
b
y
=




(a

2

+ 1) − ( a 2 + 1) b 2 − 2b 2 − 1 + ab = 0 ⇔ a 4 + 2a 2 − ( a 2 + 1) b 2 − 2b 2 + ab = 0
2

⇔ ( a 2 + 2 )( a 2 − b 2 ) + b ( a − b ) = 0 ⇔ ( a 2 + 2 ) ( a + b )( a − b ) + b ( a − b ) = 0
⇔ ( a − b ) ( a 2 + 2 ) ( a + b ) + b  = 0 ⇔ a = b ⇔

x −1 =

y ⇔ y = x − 1.

Vì ( a 2 + 2 ) ( a + b ) + b > 0; ∀a, b ≥ 0 . Thế vào phương trình thứ hai trong hệ ta được:
5
x3 − 5 x 2 + 7 ( x − 1) + 6 = 3 ( x − 1) − 2 ⇔ x 3 − 5 x 2 + 7 x − 1 = 3x − 5 với x ≥ .
3

(

)

⇔ x3 − 5 x 2 + 6 x + x − 1 − 3x − 5 = 0 ⇔ x ( x 2 − 5 x + 6 ) + x − 1 − 3x − 5 = 0

( x − 1)
+

2

− ( 3x − 5 )

1


= 0 ⇔ ( x2 − 5x + 6)  x +
 = 0 ( ∗)
x − 1 + 3x − 5
x − 1 + 3x − 5 

x = 2
1
x2 − x + 1 + x 3x − 5

5
Dễ thấy x +
=
> 0; ∀x > , do đó ( ∗) ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ 
.
3
x − 1 + 3x − 5
x − 1 + 3x − 5
x = 3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 2;1) , ( 3; 2 )} .
⇔ x ( x − 5x + 6)
2

(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y
Câu 4: Giải hệ phương trình 
2
2 y − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3
Lời giải:
Điều kiện y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ 2 y; 4 x − 5 y − 3 ≥ 0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(1 − y ) x − y − (1 − y ) + x − y − 1 = ( x − y − 1)
⇔ (1 − y ) ( x − y − 1) + ( x − y − 1) (1 − y )
(1 − y )( x − y − 1) + ( x − y − 1)(1 − y ) = 0
⇔

x − y +1

Facebook: LyHung95

y

1+ y


1
1 
⇔ (1 − y )( x − y − 1) 
+
= 0 (1)
 x − y + 1 1 + y 


1 − y = 0
y =1
1
1
Ta thấy
+
> 0 nên (1) ⇔ 
⇔
x − y +1 1+ y
 x − y −1 = 0
 y = x −1
Với y = 1 ⇒ 9 − 3 x = 0 ⇔ x = 3 .
Với y = x − 1 ta có

2 x 2 − x − 3 = 2 − x ⇔ 2 ( x 2 − x − 1) + x − 1 − 2 − x = 0
⇔ 2 ( x 2 − x − 1) +

1
x2 − x − 1


= 0 ⇔ ( x 2 − x − 1)  2 +
=0
x −1 + 2 − x
x −1 + 2 − x 


 x2 − x − 1 = 0
1+ 5
1+ 5
5 −1
⇔ x=
⇒x=
;y=
.

2
2
2
1 ≤ x ≤ 2
 1 + 5 −1 + 5 
Kết luận hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm ( x; y ) = ( 3;1) , 
;
 .

2
2


1
Vì 2 +
> 0 nên thu được
x −1 + 2 − x

( 3x − 2 y − 1) y + 2 + ( y + 3) 3 x − 2 y = 3x − y + 2
Câu 5: Giải hệ phương trình 
2
 y + 3 y + 3x + 5 = 2 ( 3x − 2 y ) 3 y + 4
Lời giải.
Điều kiện y ≥ −2;3 x ≥ 2 y . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( 3x − 2 y − 1) y + 2 − 3 x + 2 y + 1 + ( y + 3) 3x − 2 y − y − 3 = 0
⇔ ( 3 x − 2 y − 1) ( y + 2 − 1) + ( y + 3) ( 3 x − 2 y − 1) = 0
( y + 3)( 3 x − 2 y − 1) + ( 3x − 2 y − 1)( y + 3) = 0
⇔
y + 2 +1

3x − 2 y + 1



1
1
⇔ ( 3 x − 2 y − 1)( y + 3) 
+

=0
3 x − 2 y + 1 
 y + 2 + 1
4
1
1
Ta thấy y + 3 > 0, ∀y ≥ − ;
+
> 0 nên thu được 3 x − 2 y − 1 = 0 ⇔ 3 x = 2 y + 1 .
3 y + 2 +1
3x − 2 y + 1
Phương trình thứ hai trở thành
y 2 + 3 y + 2 y + 1 = 5 = 2.1. 3 y + 4 ⇔ y 2 + 5 y + 6 = 2 3 y + 4
⇔ y 2 + 2 y + 1 + 3 y + 4 − 2 3 y + 4 + 1 = 0 ⇔ ( y + 1) +
2

(

)

2

3 y + 4 −1 = 0

 y +1 = 0
 y + 1 = 0
 1

⇔
⇔

⇔ y = −1 ⇒ ( x; y ) =  − ; −1
 3

 3 y + 4 = 1 3 y + 4 = 1
 1

Kết luận hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  − ; −1 .
 3


Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

Facebook: LyHung95

)

 x 12 − y + y 12 − x 2 = 12

Câu 6: Giải hệ phương trình 
 x3 − 8 x − 1 = 2 y − 2
Lời giải:
Điều kiện 2 ≤ y ≤ 12; x ≤ 12 .

a 2 + b2
. Áp dụng bất đẳng thức này ta có

2
x 2 + 12 − y y + 12 − x 2
2
2
x 12 − y + y (12 − x ) = x 12 − y + y . 12 − x ≤
+
= 12 .
2
2
x ≥ 0
 x = 12 − y
Phương trình thứ nhất của hệ có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là 
⇔
2
2
 y = 12 − x
 y = 12 − x
Ta có ( a − b ) ≥ 0, ∀a, b ∈ ℝ ⇒ ab ≤
2

Phương trình thứ hai của hệ trở thành x3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 ⇔ x3 − 8 x − 3 + 2 − 2 10 − x 2 = 0
2 ( x2 − 9)

2 ( x + 3) 
2
⇔ ( x − 3) ( x + 3 x + 1) +
= 0 ⇔ ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 +
 = 0 (1)
1 + 10 − x 2
1 + 10 − x 2 


2 ( x + 3)
> 0, ∀x ≥ 0 nên (1) có nghiệm duy nhất x = 3 ⇒ y = 3 .
Dễ thấy x 2 + 3 x + 1 +
1 + 10 − x 2
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3;3) .
 12 − 2 x 2 = y + 4
Câu 7: Giải hệ phương trình 
2
 1 − 2 y − y = 5 − 2 x
Lời giải.
2
2
Điều kiện x ≤ 6;1 − 2 y − y ≥ 0 .

) (

(

Cộng theo từng vế hai phương trình ta có 2 x + 12 − 2 x 2 +

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

( 2x +

12 − 2 x 2

) =(
2

2.x 2 + 1. 12 − 2 x 2

)

2

)

1− 2 y − y2 − y −1 = 8 .

≤ ( 2 + 1) ( 2 x 2 + 12 − 2 x 2 ) = 36 ⇒ 2 x + 12 − 2 x 2 ≤ 6

 1 − 2 y − y 2 + ( − y − 1)  ≤ (12 + 12 )(1 − 2 y − y 2 + y 2 + 2 y + 1) = 4 ⇒ 1 − 2 y − y 2 + ( − y − 1) ≤ 2


2

) (

(

Kết hợp lại thu được 2 x + 12 − 2 x 2 +

)

1− 2 y − y2 − y −1 ≤ 8

(*).

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) xảy ra đẳng thức, nghĩa là

x 2
12 − 2 x 2
=

x = 2
1
⇔
(Thỏa mãn hệ ban đầu).
 2
y = −2


2
 1 − 2 y − y = − y −1
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; −2 ) .
 4 x − y + x x 2 − 4 x + y + 1 = 1 + x 2
Câu 8: Giải hệ phương trình 
3
2
5 x − 25 x + 3 x + 4 y + 4 + x + y − 3 = 0
Lời giải.
Điều kiện căn thức xác định. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho phương trình thứ nhất ta có

(

4 x − y + x x2 − 4 x + y + 1

)

2

≤ (1 + x 2 )( 4 x − y + x 2 − 4 x + y + 1) = (1 + x 2 )

2

⇒ 4 x − y + x x2 − 4 x + y + 1 ≤ 1 + x2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Dấu đẳng thức xảy ra khi
 x 2 ( 4 x − y ) = x 2 − 4 x + y + 1
x2 − 4 x + y + 1
⇔
x
 x > 0
2
2
 x ( 4 x − y − 1) + 4 x − y − 1 = 0
( x + 1) ( 4 x − y − 1) = 0
⇔
⇔
⇔ y = 4x −1
 x > 0
 x > 0
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
5 x3 − 25 x 2 + 19 x + 5 x − 4 = 0 ⇔ x − 5 x − 4 = 5 x3 − 25 x 2 + 20 x

4x − y
=
1

 x2 − 5x + 4 = 0
(1)
x − 5x + 4

2
⇔
= 5x ( x − 5x + 4) ⇔ 
1
= 5x
x + 5x − 4
( 2)
 x + 5 x − 4
1
1 5
4
Ta thấy
≤ = < 4 ≤ 5 x, ∀x ≥ nên (2) vô nghiệm.
5
x + 5x − 4 4 4
5
Ta có (1) ⇔ x ∈ {1; 4} , kết luận bài toán có hai nghiệm ( x; y ) = (1;3) , ( 4;15 ) .
2

Câu 9: Giải phương trình ( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12 .
Lời giải:
Cách 1: Liên hợp theo hằng số bình thường

ĐK: x ≥ −2

(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

(

)

x + 7 − 3 ≥ x 2 + 7 x + 12 − 2 ( x + 1) − 3 ( x + 6 )

⇔

( x + 1)( x + 2 − 4 ) + ( x + 6 )( x + 7 − 9 ) ≥ x 2 + 2 x − 8

⇔

( x − 2 )( x + 1) + ( x − 2 )( x + 6 ) −

x+2 +2

2+ x+2

x+7 +3

3+ x + 7

( x − 2 )( x + 4 ) ≥ 0

x+6
 x +1

⇔ ( x − 2) 
+
− x − 4 ≥ 0
 2+ x + 2 3+ x + 7

V ới x ≥ − 2 ⇒

(2)

x +1
x+2
x+2
x+6
x+6
<
≤
và
<
2
2
2+ x+2 2+ x+2

3+ x + 7

⇒

x +1
x+6
x+2 x+6
+
−x−4<
+
− x − 4 = 0.
2
2
2+ x + 2 3+ x + 7

Do đó (2) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta được −2 ≤ x ≤ 2 thỏa mãn.

Đ/s: −2 ≤ x ≤ 2
Cách 2: Liên hợp theo hằng số kiểu truy ngược dấu
ĐK: x ≥ −2

(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x + 2 ) x + 2 − x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12
⇔ x 2 + 7 x + 12 + x + 2 − ( x + 2 ) x + 2 − ( x + 6 ) x + 7 ≤ 0

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1

1

x + 2 − 1 + ( x + 6 ) x + 7 
x + 7 − 1
⇔ ( x + 2) x + 2 
2

3

+

(

)

x + 2 − 2 + x 2 + 7 x + 14 −

⇔ 3( x + 2) x + 2
+6
⇔
⇔

(

(

1
1
2
( x + 2 ) − ( x + 6 )( x + 7 ) ≤ 0
2
3

)

x + 2 − 2 + 2 ( x + 6) x + 7

(

x+7 −3

)

)

x + 2 − 2 + 6 ( x 2 + 7 x + 14 ) − 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) − 2 ( x 2 + 13 x + 42 ) ≤ 0

3( x + 2) x + 2 ( x + 2 − 4)
x+2+2
3 ( x − 2 )( x + 2 ) x + 2
2+ x+2

+

+

2 ( x + 6) x + 7 ( x + 7 − 9)
x+7 +3

2 ( x − 2 )( x + 6 ) x + 7
3+ x + 7

+

+

6 ( x + 2 − 4)
x+2 +2

6 ( x − 2)
2+ x+2

+ x 2 + 4 x − 12 ≤ 0

+ ( x − 2 )( x + 6 ) ≤ 0

 3( x + 2) x + 2 2 ( x + 6) x + 7

6
⇔ ( x − 2) 
+
+
+ x + 6 ≤ 0
 2+ x+2


3+ x + 7
2+ x+2


Với x ≥ −2 ⇒

3( x + 2) x + 2
2+ x+2

+

2 ( x + 6) x + 7
3+ x + 7

+

(2)

6
+ x + 6 > 0.
2+ x+2

Do đó (2) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta được −2 ≤ x ≤ 2 thỏa mãn.

Đ/s: −2 ≤ x ≤ 2
Cách 3: Phương pháp hàm số
ĐK: x ≥ −2

(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 − x 2 − 7 x − 12 ≥ 0

(2)

Xét hàm số f ( x ) = ( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 − x 2 − 7 x − 12 với x ∈ [ −2; +∞ ) có
f '( x) = x + 2 +
Với x ∈ ( −2; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) < x + 2 +

⇒ f '( x) <

x +1
x+6
+ x+7 +
− 2 x − 7.
2 x+2
2 x+7

x+2
x+7
+ x+7 +
− 2x − 7
2 x+2
2 x+7

3
3
x+2 +
x + 7 − 2x − 7
2
2

⇒ f '( x) < −

(

)

1
1
4 x + 14 − 3 x + 2 − 3 x + 7 = − g ( x ) .
2
2
2

2

3 
3
19

Ta có g ( x ) = 14 x + 14 − 3 x + 2 − 3 x + 7 =  x + 2 −  +  x + 7 −  + 2 x +
2 
2
2


⇒ g ( x) ≥ 2x +

19
19

> −4 + > 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ )
2
2

1
⇒ − g ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) .
2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Kết hợp với f ( x ) liên tục trên [ −2; +∞ ) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên [ −2; +∞ ) .
Do đó (2) ⇔ f ( x ) ≥ f ( 2 ) ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta được −2 ≤ x ≤ 2 thỏa mãn.
Đ/s: −2 ≤ x ≤ 2
Câu 10: Giải phương trình ( x + 2 ) x + 3 + ( x + 7 ) x + 8 ≥ x 2 + 9 x + 20.
Lời giải
ĐK: x ≥ −3

(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x + 2 )

(

)

x + 3 − 2 + ( x + 7)

(

)

x + 8 − 3 ≥ x 2 + 9 x + 20 − 2 ( x + 2 ) − 3 ( x + 7 )

⇔

( x + 2 )( x + 3 − 4 ) + ( x + 7 )( x + 8 − 9 ) ≥ x 2 + 4 x − 5

⇔

( x − 1)( x + 2 ) + ( x − 1)( x + 7 ) −

x+3 +2

x+8 +3

2+ x+3

3+ x +8

( x − 1)( x + 5 ) ≥ 0

x+7
 x+2

⇔ ( x − 1) 

+
− x − 5 ≥ 0
 2+ x +3 3+ x +8

V ới x ≥ −3 ⇒

(2)

x+2
x+3
x+3
x+7
x+7
<
≤
và
<
2
2
2+ x+3 2+ x+3
3+ x +8
⇒

x+2
x+7
x+3 x+7
+
− x−5 <
+
− x − 5 = 0.

2
2
2+ x +3 3+ x +8

Do đó (2) ⇔ x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1, kết hợp với (*) ta được −3 ≤ x ≤ 1 thỏa mãn.

Đ/s: −3 ≤ x ≤ 1
Câu 11: Giải phương trình 2 ( x + 1) x + 2 + ( x + 2 ) 2 x + 5 ≥ 2 x 2 + 7 x + 2.
Lời giải
ĐK: x ≥ −2

(*)

Khi đó (1) ⇔ 2 ( x + 1)

(
⇔
⇔

)

x + 2 − 2 + ( x + 2)

(

2 ( x + 1)( x + 2 − 4 )
x+2 +2
2 ( x − 2 )( x + 1)
2+ x+2

+

)

2 x + 5 − 3 ≥ 2 x 2 + 7 x + 2 − 4 ( x + 1) − 3 ( x + 2 )

+

( x + 2 )( 2 x + 5 − 9 ) ≥ 2 x 2 − 8
2x + 5 + 3

2 ( x − 2 )( x + 2 )
3 + 2x + 5

− 2 ( x − 2 )( x + 2 ) ≥ 0

x+2
 x +1

⇔ 2 ( x − 2) 
+
− x − 2 ≥ 0
 2 + x + 2 3 + 2x + 5

Vớ i x ≥ − 2 ⇒

(2)

x +1
x+2

x+2
x+2
x+2
<
≤
và
≤
2
2
2+ x+2 2+ x+2
3 + 2x + 5

⇒

x +1
x+2
x+2 x+2
+
−x−2<
+
− x − 2 = 0.
2
2
2 + x + 2 3 + 2x + 5

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Do đó (2) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta được −2 ≤ x ≤ 2 thỏa mãn.
Đ/s: −2 ≤ x ≤ 2
Câu 12: Giải phương trình

9 x2 + 6 x − 8
= ( x + 3)
x2 + 2 x + 3

(

3x + 2 − 2

)

Lời giải

2

3x + 2 ≥ 0
2
x ≥ − 3
ĐK:  2
⇔
⇔ x≥−
3
x + 2x + 3 ≠ 0
( x + 1) 2 + 2 ≠ 0


Khi đó ⇔

(*)

( 3x − 2 )( 3x + 4 ) = ( x + 3)( 3x + 2 − 4 )
x2 + 2 x + 3

⇔

3x + 2 + 2

( 3x − 2 )( 3x + 4 )
x2 + 2 x + 3

=

( 3x − 2 )( x + 3)
2 + 3x + 2

2

x = 3
⇔
x+3
 3x + 4 =
 x 2 + 2 x + 3 2 + 3 x + 2

(

Ta có (2) ⇔ ( x + 3) ( x 2 + 2 x + 3) = ( 3 x + 4 ) 2 + 3 x + 2

2
⇔ ( x + 1) + 2  ( x + 1) + 2  =



2
1
Với x ≥ − ⇒ x + 1 ≥ ,
3
3

(

)

)(

3x + 2 + 2 


(2)

3x + 2

)

2

+ 2  ⇔ f ( x + 1) = f


(

3x + 2

)

(3)

3 x + 2 ≥ 0.

Xét hàm số f ( t ) = ( t + 2 ) ( t 2 + 2 ) với t ∈ [ 0; +∞ ) ta có f ' ( t ) = t 2 + 2 + 2t ( t + 2 ) > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) .
Kết hợp với f ( t ) liên tục trên [ 0; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) .

 x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1
1± 5
Do đó (3) ⇔ x + 1 = 3 x + 2 ⇔ 
⇔
⇔x=
.

2
2
2
x − x −1 = 0
( x + 1) = 3 x + 2
Ta thấy x =

2

1± 5
và x =
đã thỏa mãn (*)
3
2

2 ( y + 1)( 2 y − x + 2 ) + x = x ( 2 y − x + 2 ) + 4 ( y + 1)
Câu 13: Giải hệ phương trình 
( x + y − 3) x + y + 1 + 3 x + y − 2 = 0
Lời giải.
Điều kiện căn thức xác định.
Ta thấy x ( y + 1) ≥ 0 và x + y + 1 ≥ 0 nên y + 1 ≥ 0; x ≥ 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương
2

( y + 1)( 2 y − x + 2 ) −

⇔ 2y − x + 2 =

x ( 2 y − x + 2) = 4 y − x + 4

4y − x + 4
⇔ x + 2 y − x + 2 = 2 y +1
2 y +1 − x

Đặt u = x ; v = 2 y − x + 2 ta được

u + v = 2 ( u 2 + v 2 ) ⇔ u 2 + 2uv + v 2 = 2 ( u 2 + v 2 ) ⇔ ( u − v ) = 0 ⇔ u = v ⇔ x = 2 y − x + 2 ⇔ x = y + 1
2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Phương trình thứ hai của hệ trở thành

( 2 x − 3)

x + y + 1 + 3 x + y − 2 − x + y + 1 = 0 ⇔ ( 2 x − 3) x + y + 1 +

2x − 3
=0
3x + y − 2 + x + y + 1



1
3
1
⇔ ( 2 x − 3)  x + y + 1 +
 ⇒ 2 x − 3 = 0 ⇒ x = ; y =

2
2
3x + y − 2 + x + y + 1 

3
1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = ; y = .
2
2
 x 2 + y + x ( y + 1) = 2 ( x + 1)( x + y )

Câu 14: Giải hệ phương trình 
( y − 2 ) 4 x + 1 − 3 y + 4 = 0
Lời giải.
Đặt

x 2 + y = u; x ( y + 1) = v thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành

u + v = 2 ( u 2 + v 2 ) ⇔ u 2 + 2uv + v 2 = 2 ( u 2 + v 2 )
⇔ ( u − v ) = 0 ⇔ u = v ⇔ x 2 + y = xy + x
2

x = 1
⇔ x 2 − xy − x + y = 0 ⇔ ( x − 1)( x − y ) = 0 ⇔ 
x = y
y ≥ 2
23 + 509
⇔ y=
.
Xét trường hợp x = 1 ⇒ ( y − 2 ) . 5 = 3 y + 4 ⇒  2
10
5 y − 20 y + 5 = 3 y + 4
Xét trường hợp x = y ta được

( x − 2)

4 x + 1 − 3 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 3) 4 x + 1 +

⇔ ( x − 3) 4 x + 1 +

(

)

4 x + 1 − 3x + 4 = 0

x−3
=0
4 x + 1 + 3x + 4

1


⇔ ( x − 3)  4 x + 1 +
 = 0 ⇒ x = 3; y = 3
4 x + 1 + 3x + 4 

Kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là x = 1; y =

23 + 509
∨ x = y = 3.
10

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!