Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hình phẳng OXY đặng thành nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.47 MB, 729 trang )
ĐẶNG THÀNH NAM
om
.v
n
(Trung tâm nghiên cứu tư vấn và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)
vi
et
bo
ok
.c
THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI MỚI NHẤT CỦA BỘ GD & ĐT
ng
PHIÊN BẢN MỚI NHẤT
kh
a
Dành cho học sinh luyện thi quốc gia
Bồi dưỡng học sinh giỏi 10, 11, 12
Giáo viên giảng dạy, dạy thêm và luyện thi quốc gia
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
MỤC LỤC
Chương 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Chủ đề 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ..................................................................3
Chủ đề 2. CÁ C BÀ I TOÁ N VÊ TÍNH CHẤ T ĐỐ I XỨNG ................................... 35
Chủ đề 3. BÀ I TOÁ N CÓ CHỨ A THAM SỐ ....................................................... 47
Chủ đề 4. TÌM ĐIỂM THỎ A MÃN ĐIỀ U KIỆN CHO TRƯỚ C ........................... 67
Chủ đề 5. BÀ I TOÁ N CỰ C TRỊ HÌNH GIẢ I TÍCH PHẲNG ............................... 83
et
bo
ok
.c
om
.v
n
Chương 2. TAM GIÁC, TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC
Chủ đề 1. NHẬ N BIẾT TAM GIÁ C, TỨ GIÁ C VÀ ĐA GIÁ C .......................... 106
Chủ đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN .................................................................. 113
Chủ đề 3. ĐƯỜNG CAO ..................................................................................... 128
Chủ đề 4. ĐƯỜNG PHÂ N GIÁ C TRONG TAM GIÁ C ...................................... 143
Chủ đề 5. CÁ C ĐIỂM VÀ CÁ C ĐƯỜNG ĐẶ C BIỆT TRONG TAM GIÁ C ...... 167
Chủ đề 6. HÌNH BÌNH HÀ NH ............................................................................ 226
Chủ đề 7. HÌNH THANG .................................................................................... 239
Chủ đề 8. HÌNH THOI ......................................................................................... 265
Chủ đề 9. HÌNH CHỮ NHẬ T VÀ HÌNH VUÔ NG .............................................. 281
Chủ đề 10. VẬ N DỤNG PHÉ P BIẾ N HÌNH TRONG
HÌNH GIẢ I TÍCH PHẲ NG ............................................................... 365
Chủ đề 11. VẬ N DỤ NG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
HÌNH GIẢI TÍCH PHẲ NG .......................................................... 376
Chủ đề 12. BÀ I TOÁN CHỌ N LỌ C .................................................................... 391
kh
a
ng
vi
Chương 3. ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜ NG TRÒ N ..................................................... 449
Chủ đề 2. ĐƯỜNG TRÒ N NGOẠ I TIẾ P, ĐƯỜNG TRÒN NỘ I TIẾ P TAM GIÁ C,
TAM GIÁ C NỘ I TIẾ P ĐƯỜ NG TRÒ N ............................................. 478
Chủ đề 3. TIẾ P TUYẾ N VỚ I ĐƯỜ NG TRÒN ................................................... 502
Chủ đề 4. TIẾ P TUYẾ N CHUNG CỦA HAI ĐƯỜ NG TRÒ N .......................... 530
Chủ đề 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐ I CỦ A ĐIỂM,
ĐƯỜNG THẲNG VỚ I ĐƯỜ NG TRÒ N ............................................. 540
Chủ đề 6. BÀ I TOÁ N TÌM ĐIỂM THUỘ C ĐƯỜNG TRÒN .............................. 586
Chủ đề 7. BÀ I TOÁ N CHỌ N LỌ C ...................................................................... 601
Chương 4. BA ĐƯỜNG CONIC
Chủ đề 1. XÁ C ĐỊNH CÁ C THUỘ C TÍNH CỦ A BA ĐƯỜ NG CONIC ............. 648
Chủ đề 2. VIẾ T PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮ C CỦ A BA ĐƯỜNG CONIC ..... 656
Chủ đề 3. VỊ TRÍ CỦ A ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲ NG VỚ I BA ĐƯỜNG CONIC ..... 670
Chủ đề 4. ĐIỂM THUỘ C BA ĐƯỜNG CONIC .................................................. 692
Chủ đề 5. BÀ I TOÁ N CHỌ N LỌ C ...................................................................... 720
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Chương 1.
Chủ đề 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
.v
n
Mặt phẳng tọa độ Đề-các vng góc
Oxy, hệ trục gồm trục hồnh nằm
ngang Ox và trục tung Oy vng góc
với Ox tại O- được gọi là gốc tọa độ.
Xét điểm M ( x; y ) khi đó OM x; y .
om
Các phép tốn đối với véc tơ:
Cho hai véc tơ
=
u (=
x1; y1 ) , v ( x 2 ; y 2 ) .
ok
Phép cộng: u + v= ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) .
Phép nhân: =
u.v x1x 2 + y1y 2 .
Độ dài véc tơ:=
u
x12 + y12 .
u.v
Góc giữa hai véc tơ: cos =
u, v
=
u.v
.c
Nhân véc tơ với một số: k.u = ( kx1;ky1 ) .
bo
( )
x1x 2 + y1y 2
x12
+ y12 . x 22 + y 22
(góc giữa hai
et
véc tơ có thể nhọn, tù hoặc vng). Suy ra u ⊥ v ⇔ x1x 2 + y1y 2 =
0 .
x1 y1
=.
x 2 y2
ng
vi
Hai véc tơ cùng phương ⇔
Xét ba điểm A ( x1; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) ,C ( x 3 ; y3 ) khi đó A, B,C thẳng hàng khi và
x 2 − x1 x 3 − x1
.
=
y 2 − y1 y3 − y1
Độ dài đoạn thẳng AB = AB =
kh
a
chỉ khi
( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
u ≠ 0
.
Véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d ⇔
u / /d
Nhận xét. Nếu u là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d thì mọi
véc tơ ku , với k ≠ 0 đều là véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó.
3
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
(
om
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng trong mặt phẳng có dạng tổng quát:
.v
n
b) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
n ≠ 0
Một véc tơ n được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d ⇔
.
n ⊥ d
Nhận xét. Nếu n là một véc tơ pháp tuyến(vtpt) của đường thẳng d thì mọi véc
tơ kn , với k ≠ 0 đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Nếu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = ( a;b ) thì nó có véc tơ chỉ phương
là u = ( −b;a ) .
- Ngược lại nếu đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u = ( a;b ) thì nó có véctơ
pháp tuyến là n = ( −b;a ) .
)
d : a x + by +=
c 0, a 2 + b 2 > 0 .
.c
Trong đó a, b,c là các hệ số thực.
bo
ok
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) ⇔ ax 0 + by0 + c =
0.
Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d là n = ( a;b ) .
Véc tơ chỉ phương song song với d là u = ( −b;a ) .
et
x x 0 − bt
=
Phương trình tham số của đường thẳng: d :
,( t ∈ ) .
y y0 + at
=
x − x 0 y − y0
.
=
a
b
3. Các dạng phương trình đường thẳng đặc biệt.
Trục hoành: Ox : y = 0 .
ng
vi
Phương trình chính tắc của đường thẳng: d :
kh
a
Trục tung: Oy : x = 0 .
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( a;0 ) và B ( 0;b ) (phương trình
đoạn chắn) có phương trình là:
x y
+ =
1.
a b
(áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục tọa độ).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) , N ( x 2 ; y 2 )
là: MN :
d:
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
(áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước).
4
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Phương trình đường thẳng đi qua đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k
là: d : y = k ( x − x 0 ) + y0
(áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều
kiện khác).
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véc tơ
pháp tuyến n = ( a;b ) là: d : a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 =
) 0, a 2 + b2 > 0
(
)
(có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc).
4. Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng.
(
)
.v
n
Xét đường thẳng d : a x + by +=
c 0, a 2 + b 2 > 0 và hai điểm
A ( x A ; yA ) , B ( x B ; yB ) .
( ax A + byB + c )( ax B + byB + c ) .
om
Xét tích T =
(
ok
.c
thì A, B nằm về hai phía so với d .
Nếu
Nếu
thì A, B nằm về cùng một phía so với d .
Nếu T = 0 thì hoặc A hoặc B nằm trên d .
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
)
Xét đường thẳng d : a x + by +=
c 0, a 2 + b 2 > 0 và điểm M ( x 0 ; y0 ) .
bo
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d ( M;d ) và được
xác định theo công thức: d ( M;d ) =
ax 0 + by0 + c
vi
et
.
a 2 + b2
Ứng dụng. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng
(
)
(
)
ng
2
2
2
2
d1 : a1 x + b1y + c=
1 0, a1 + b1 > 0 ; và d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 2 + b 2 > 0 .
kh
a
Nếu điểm M(x; y) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 thì
d ( M;d1 ) = d ( M;d 2 ) . Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
d1 ,d 2 có phương trình là:
∆:
a1x + b1y + c1
a12 + b12
=
a 2 x + b2 y + c2
a 22 + b 22
6. Góc giữa hai đường thẳng.
⇔ ∆:
a1x + b1y + c1
a12 + b12
(
=±
)
(
a 2 x + b2 y + c2
a 22 + b 22
.
2
2
Xét hai đường thẳng d1 : a1 x + b1y + c=
1 0, a1 + b1 > 0 có véctơ pháp tuyến
n1 = ( a1;b1 ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 22 + b 22 > 0 có véctơ
pháp tuyến n 2 = ( a 2 ;b 2 ) .
)
5
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
(
)
Khi đó góc α 0 ≤ α ≤ 900 giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức:
n1.n 2
a1a 2 + b1b 2
.
=
cos α =
n1 . n 2
a12 + b12 . a 22 + b 22
7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
2
2
Xét hai đường thẳng d1 : a1 x + b1y + c=
1 0,(a1 + b1 > 0) có véc tơ pháp tuyến
n1 = ( a1;b1 ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 22 + b 22 > 0 có véc tơ
pháp tuyến n 2 = ( a 2 ;b 2 ) .
)
.v
n
(
d1 / /d 2 ⇔
a1 b1 c1
.
=
≠
a 2 b2 c2
d1 ≡ d 2 ⇔
a1 b1 c1
.
=
=
a 2 b2 c2
ok
Đặc biệt: d1 ⊥ d 2 ⇔ a1a 2 + b1b 2 =
0 .
.c
d1 cắt d 2 ⇔
om
a1 b1
.
≠
a 2 b2
bo
Các bài toán được áp dụng là xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phụ
thuộc tham số.
ng
vi
et
B. CÁC DẠNG TOÁN
PHƯƠNG PHÁP
- Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k.
- Vận dụng công thức phương trình đoạn chắn.
- Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véctơ pháp
tuyến n = ( a;b ) .
kh
a
- Vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
- Vận dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
- Vận dụng công thức phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi ∆ qua hai điểm M1 ( x1; y1 ) và
M 2 ( x 2 ; y2 ) .
- Nếu x=
= x1 .
1 x2 ⇒ ∆ : x
- Nếu y=
= y1 .
1 y2 ⇒ ∆ : y
- Nếu x1 ≠ x 2 , y1 ≠ y 2 ⇒ ∆ :
6
x − x1
y − y1
.
=
x 2 − x1 y 2 − y1
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M ( −1;2 ) và N ( 3; −6 ) .
Đường thẳng đi qua hai điểm M, N xác định bởi:
x +1 y − 2
d: =
⇔ d : 2x =
+ y 0.
3 + 1 −6 − 2
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ
pháp tuyến ( a;b ) .
d : a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 ) =0 ⇔ d : a x + by − ax 0 − by0 =0 .
.v
n
Đường thẳng đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ pháp tuyến (a; b) xác định bởi:
om
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( −1;2 ) và có véctơ pháp
tuyến =
n ( 2; −3) .
Đường thẳng d đi qua điểm M ( −1;2 ) và có véc tơ pháp tuyến =
n ( 2; −3) xác
định bởi:
.c
d : 2 ( x + 1) − 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ d : 2x − 3y + 8 = 0 .
bo
ok
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ chỉ
phương u = ( a;b ) .
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ chỉ phương u = ( a;b ) xác
định bởi:
x − x 0 y − y0
.
=
a
b
x x 0 + at
=
Cách 2: Phương trình tham số d :
,( t ∈ ) .
y y0 + bt
=
ng
vi
et
Cách 1: Phương trình chính tắc d :
kh
a
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;4 ) và có véc tơ chỉ
phương u = ( 2;3) .
Đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;4 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( 2;3) xác định
bởi:
x= 3 + 2t
x −3 y−4
hoặc d :
=
,( t ∈ ) .
2
3
y= 4 + 3t
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d (phương trình đoạn chắn) đi qua hai
điểm nằm trên các trục tọa độ A ( a;0 ) , B ( 0;b ) , ( ab ≠ 0 ) .
d:
Đường thẳng d xác định bởi:
d:
x y
+ =
1.
a b
7
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A ( 4;0 ) , B ( 0;6 ) .
Đường thẳng d đi qua hai điểm A ( 4;0 ) , B ( 0;6 ) xác định bởi:
d:
x y
+ =1 ⇔ d : 3x + 2y − 12 =0 .
4 6
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có hệ số
góc k.
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k xác định bởi:
d : y = k ( x − x 0 ) + y0 .
om
.v
n
Trong đó =
k tan α , là góc tạo bởi đường thẳng d và chiều dương trục hoành.
Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm M (1;2 ) và có hệ số góc k = 3 .
b) Đi qua điểm A ( −3;2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc 450 .
.c
c) Đi qua điểm B ( 3;2 ) và tạo với trục hoành một góc 600 .
ok
Giải
a) Đường thẳng đi qua điểm M (1;2 ) và có hệ số góc k = 3 xác định bởi:
d : y= 3 ( x − 1) + 2 ⇔ d : 3x − y − 1= 0 .
bo
b) Đường thẳng đi qua điểm A ( −3;2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc
et
góc k tan
=
450 1 ⇒ d : y= 1( x + 3) + 2 ⇔ d : x − y + 5= 0 .
450 nên có hệ số =
vi
c) Đường thẳng đi qua điểm B ( 3;2 ) và tạo với trục hoành một góc 600 nên có hệ
tan 600 = 3
.
số góc k =
tan 1800 − 600 =
− 3
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là
)
kh
a
ng
(
d1 : 3x − y + 2 − =
3 3 0; d 2 : 3x + y − 2 − =
3 3 0.
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và song song
với đường thẳng ∆ : Ax + By + C =
0.
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và song song với đường thẳng
∆ : Ax + By + C =
0 nhận n = ( A;B ) véc tơ pháp tuyến của ∆ làm véc tơ pháp
tuyến nên có phương trình là:
d : A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) =0 ⇔ d : Ax + By − Ax 0 − By0 =0 .
Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;2 ) và song song với
đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 12 =
0.
8
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;2 ) và song song với đường thẳng
∆ : 3x + 4y − 12 =
0 nên nhận n = ( 3;4 ) véc tơ pháp tuyến của ∆ làm véc tơ
pháp tuyến nên có phương trình là:
d : 3 ( x − 3) + 4 ( y − 2 ) =0 ⇔ d : 3x + 4y − 17 =0 .
Áp dụng. Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm song song với đường
thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, hình bình hành, hình thoi,
hình chữ nhật, hình vuông.
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và vuông góc
.v
n
với đường thẳng ∆ : Ax + By + C =
0.
om
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và vuông góc với đường thẳng
u ( B; − A ) véc tơ chỉ phương của ∆ làm véc tơ pháp
∆ : Ax + By + C =
0 nhận =
tuyến nên có phương trình là:
d : B ( x − x 0 ) − A ( y − y0 ) =0 ⇔ d : Bx − Ay + Ay0 − Bx 0 =0 .
đường thẳng ∆ : 4x − 5y + 6 =
0.
.c
Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;2 ) và vuông góc với
ok
Vì d vuông góc với ∆ nên nhận véc tơ chỉ phương u = ( 5;4 ) của ∆ làm véc tơ
bo
pháp tuyến nên có phương trình là:
d : 5 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ d : 5 x + 4 y − 13 = 0 .
ng
vi
et
Áp dụng. Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với
đường thẳng, đường cao, đường trung trực trong tam giác, hình thoi, hình chữ
nhật, hình vuông, hình thang vuông.
Dạng 8: Hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d cho trước;
điểm M1 đối xứng với M qua đường thẳng d.
kh
a
- Tọa độ H là giao của đường thẳng đi qua M và vuông góc với d.
2x H − x M
x=
M
- Tọa độ điểm M1 xác định bởi: 1
.
2y H − y M
M1
y=
Ví dụ 8. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M ( 7;4 ) trên đường thẳng
d : 3x + 4y − 12 =
0 . Tìm điểm M1 đối xứng với M qua d.
Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d nhận véc tơ chỉ phương
=
u ( 4; −3) của d làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:
∆ : 4 ( x − 7 ) − 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ ∆ : 4x − 3y − 16 = 0 .
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
16 0 =
4x − 3y −=
x 4
⇔
⇒ H ( 4;0 ) .
12 0 =
3x + 4y −=
y 0
9
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
x M = 2x H − x M = 1
Vì H là trung điểm của MM1 ⇒ 1
⇒ M1 (1; −4 ) .
2y H − y M =
−4
y M1 =
Áp dụng. Bài toán điểm đối xứng qua đường thẳng, đường phân giác trong tam
giác, bài toán cực trị.
Dạng 9: Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
(
)
Xét đường thẳng d : a x + by +=
c 0, a 2 + b 2 > 0 và điểm M ( x 0 ; y0 ) .
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d ( M;d ) và được
ax 0 + by0 + c
.v
n
xác định theo công thức: d ( M;d ) =
(
om
.
a 2 + b2
Ứng dụng. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng
)
(
)
2
2
2
2
d1 : a1 x + b1y + c=
1 0, a1 + b1 > 0 ; và d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 2 + b 2 > 0 .
.c
Nếu điểm M ( x; y ) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 thì
d1 ,d 2 có phương trình là:
a12 + b12
=
a 2 x + b2 y + c2
bo
a1x + b1y + c1
a 22 + b 22
⇔ ∆:
a1x + b1y + c1
et
∆:
ok
d ( M;d1 ) = d ( M;d 2 ) . Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
a12 + b12
=±
a 2 x + b2 y + c2
a 22 + b 22
.
Góc giữa hai đường thẳng.
ng
vi
2
2
Xét hai đường thẳng d1 : a1 x + b1y + c=
1 0,(a1 + b1 > 0) có véc tơ pháp tuyến
n1 = ( a1;b1 ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 22 + b 22 > 0 có véc tơ
pháp tuyến n 2 = ( a 2 ;b 2 ) .
(
(
)
)
kh
a
Khi đó góc α 0 ≤ α ≤ 900 giữa hai đường thẳng được xác định theo công
n1.n 2
a1a 2 + b1b 2
.
thức:=
cos α =
2
n1 . n 2
a1 + b12 . a 22 + b 22
Ví dụ 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P ( 2;5 ) sao cho khoảng cách
từ điểm Q ( 5;1) đến đường thẳng đó bằng 3.
Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tổng quát là
(
)
∆ : a ( x − 2 ) + b ( y − 5 ) = 0 ⇔ ∆ : a x + by − 2a − 5b = 0, a 2 + b 2 > 0 .
10
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Khoảng cách từ Q đến ∆ bằng 3
b = 0
2
.
=⇔
3 ( 3a − 4b ) =
9 a 2 + b2 ⇔
a = 7 b
a 2 + b2
24
- Với b = 0 , chọn a = 1 ⇒ ∆1 : x − 2 = 0 .
⇔
5a + b − 2a − 5b
(
)
7
b , chọn b = 24 ⇒ a = 7 ⇒ ∆ 2 : 7x + 24y − 134 = 0 .
24
Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
∆1 : x − 2 = 0; ∆ 2 : 7x + 24y − 134 = 0 .
- Với a =
thẳng ∆ : 2 x + 3 y + 4 =
0 góc 450 .
Giả =
sử n ( a;b ) , a 2 + b 2 > 0 là véc tơ pháp tuyến của d .
Đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuyến n ∆ = ( 2;3) .
n.n
∆
Góc giữa hai đường thẳng bằng 450 ⇔ cos 450 =
.
n . n∆
om
)
ok
.c
(
.v
n
Ví dụ 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( 2;1) và tạo với đường
a = 5b
1
.
⇔
=
⇔
a = − 1 b
2
2
2
2
2
2 +3 . a +b
5
- Với a = 5b , chọn b =1 ⇒ a =5 ⇒ d : 5x + y − 11 =0 .
et
bo
2a + 3b
kh
a
ng
vi
1
- Với a = − b , chọn b =−5 ⇒ a =1 ⇒ d : x − 5y + 3 =0 .
5
Áp dụng. Trong các bài toán tính góc và khoảng cách, đường phân giác.
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
d1 : A1x + B1y=
+ C1 0;d 2 : A 2 x + B2 y=
+ C2 0 được xác định bởi:
∆:
A1x + B1y + C1y
A12 + B12
A x + B2 y + C 2 y
.
=
± 2
A 22 + B22
C. BÀI TẬP CHỌN LỌC
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( −1;2 ) và đường thẳng
d : x − 2y + 1 =
0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và thỏa mãn một
trong các điều kiện sau:
a) ∆ vuông góc với d .
b) ∆ tạo với d một góc 600 .
c) Khoảng cách từ điểm A ( 2;1) đến ∆ bằng 1.
11
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
Giải
a) ∆ vuông góc với d .
Đường thẳng ∆ đi qua M ( −1;2 ) và có hệ số góc k có phương trình là:
∆ : y= k ( x + 1) + 2 .
Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n=
1 (1; −2 ) ; đường thẳng ∆ có véc tơ pháp
tuyến n=
2 ( k; −1) .
Vì vậy ∆ ⊥ d ⇔ n1 ⊥ n 2 ⇔ k.1 + ( −1) . ( −2 ) = 0 ⇔ k = −2 .
.v
n
Suy ra ∆ : y =
−2 ( x + 1) + 2 ⇔ ∆ : y =
−2x .
b) ∆ tạo với d một góc 600 .
n1.n 2
k.1 + ( −1) .( −2 )
1
Góc giữa ∆ và d bằng 60 ⇔ cos 60 = ⇔
.
=
2
2
2
n1 . n 2
k 2 + ( −1) . 12 + ( −2 )
(
om
0
0
)
2
.c
⇔ 4 ( k + 2 ) =5 k 2 + 1 ⇔ k 2 − 16k − 11 = 0 ⇔ k =8 ± 5 3 .
(
)
ok
Suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn là ∆1,2 : y = 8 ± 5 3 ( x + 1) + 2 .
c) Khoảng cách từ điểm A ( 2;1) đến ∆ bằng 1 .
k ( 2 + 1) + 2 − 1
=
2
k 2 + ( −1)
k2 + 1
.
et
Mặt khác d ( A / ∆ ) =
1 do đó
3k + 1
bo
Ta
có d ( A; ∆ )
=
k = 0
=⇔
1 ( 3k + 1) =
k + 1 ⇔ 8k + 6k =0 ⇔
.
2
k = − 3
k +1
4
Với k = 0 ⇒ ∆1 : y = 2 .
vi
3k + 1
2
2
kh
a
ng
2
3
3
3
5
Với k =
− ⇒ ∆2 : y =
− ( x + 1) + 2 ⇔ ∆ 2 : y =
− x+ .
4
4
4
4
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 2; −1) và hai đường thẳng
d1 : x + 2y + 1 =
0 ; d 2 : 2x − y − 3 =
0.
a) Xác định giao điểm I của hai đường thẳng trên và chứng minh hai đường
thẳng đó vuông góc.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho M là trung điểm của AB .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho MA 2MB .
12
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho MA = 2MB .
Giải
a) Đường thẳng d1 có véc tơ pháp tuyến n1 1;2 ; đường thẳng d 2 có véc tơ
pháp tuyến n=
.
Suy
ra
2;
−
1
n
(
)
2
1.n 2 = 1.2 + 2. ( −1) = 0 vì vậy d1 ⊥ d 2 (đpcm).
Tọa độ giao điểm I của d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình.
=
+1 0 =
x + 2y
x 1
.
⇔
2x − y − 3 =0
y =−1
.v
n
Vì vậy I (1; −1) .
b) Giả sử A ( −2a − 1;a ) ∈ d1 , B ( b;2b − 3) ∈ d 2 .
.c
om
9
−2a − 1 + b
a= −
=2
5
−2a + b =
5
2
.
⇔
⇔
M là trung điểm của AB ⇔
a + 2b =
1
7
a + 2b − 3 =
−1
b=
2
5
bo
ok
13 9 7 1
Suy ra A ; − , B ; −
5 5 5 5
nên đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A, B xác định có phương trình là:
vi
et
13
9
x−
y+
5
5 ⇔ d : 4 x + 3=
d: =
y− 5 0 .
7 13
1 9
−
− +
5 5
5 5
c) Ta có MA 2a 3;a 1, MB b 2;2b 2 .
kh
a
ng
a 3
2a 3 2b 2
5
Vì vậy MA 2MB
.
11
a
1
2
2b
2
b
10
1 3 11 4
Suy ra A ; − , B ; − và đường thẳng đi qua hai điểm xác định trên ta
5 5 10 5
1
3
x−
y+
5
5 ⇔ d : 2 x + 9=
y+ 5 0 .
có d : =
11 1
4 3
−
− +
10 5
5 5
d) Ta chuyển qua véc tơ, với MA = 2MB thì có hai trường hợp.
Trường hợp 1: MA = 2MB theo câu trên ta có phương trình đường thẳng:
d : 2 x + 9 y+ 5 =
0.
13
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
11
a= −
−
2a
−
3
=
−
2
b
−
2
(
)
5
Trường hợp 2: MA =
.
−2MB ⇔
⇔
13
a + 1 =−2 ( 2b − 2 )
b =
10
om
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng
.v
n
17 11 13 2
Suy ra A ; − , B ; − và đường thẳng được xác định bởi
5 10 5
5
17
11
x−
y+
5
5 ⇔ d : 30x + 35y −
d:
25 0 .
=
=
13 17
2 11
−
− +
10 5
5 5
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là d : 5x + 45y + 26 =
0 và d : 30x + 35y − 25 =
0.
d1 : x − 7y + 17 =
0 và d 2 : x + y − 5 =
0.
ok
.c
a) Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1) và tạo với hai đường thẳng
d1 ,d 2 một tam giác cân tại giao điểm của d1 và d 2 .
d ( M / d1 ) = d ( M / d 2 ) .
bo
Giải
a) Điểm M ( x; y ) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 khi và chỉ khi
ng
vi
x − 7y + 17
et
21
x + y−5
∆ : x + 3y − =
0
.
=
⇔ 1
2
2
2
2
2
+
1
1
1 + ( −7 )
0
∆ 2 : 3x − y − 4 =
Vậy phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 có phương trình là
⇔
kh
a
21
=
0 và ∆ 2 : 3x − y − 4 =
0.
2
b) Giả sử đường thẳng d cần tìm cắt d1 ,d 2 lần lượt tại M, N và gọi I là giao điểm
∆1 : x + 3y −
của hai đường thẳng d1 và d 2 . Khi đó tam giác IMN cân tại I nên MN vuông
do đó d vuông góc với đường phân
góc với đường phân giác của góc MIN
giác của góc tạo bởi d1 ,d 2 .
Trường hợp 1: d ⊥ ∆1 suy ra d nhận véc tơ chỉ phương của ∆1 làm véc tơ pháp
tuyến nên n d = ( −3;1) , suy ra d : −3 ( x − 0 ) + 1( y − 1) = 0 ⇔ d : −3x + y − 1 = 0 .
Trường hợp 2: d ⊥ ∆ 2 suy ra d nhận véc tơ chỉ phương của ∆ 2 làm véc tơ pháp
tuyến nên n d = (1;3) , suy ra d :1( x − 0 ) + 3 ( y − 1) = 0 ⇔ d : x + 3 y − 3 = 0 .
14
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
d1 : −3x + y − 1 =0
Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
.
0
d 2 : x + 3y − 3 =
1
1
1
3a
3a 2
.
OA.OB
= =
a.b
a.
=
2
2
2
2 ( 2a + 1) 4 2a + 1
ok
Khi đó =
SOAB
.c
om
.v
n
1 3
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M − ; . Viết phương trình
2 4
đường thẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại hai điểm A và B sao
1
cho diện tích tam giác OAB bằng (trong đó O là gốc tọa độ).
4
Giải
Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại hai
1
điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng (trong đó O là gốc tọa độ).
4
x y
Giả sử A ( a;0 ) , B ( 0;b ) khi đó phương trình đường thẳng d : + =
1.
a b
1
3
3a
Do M ∈ d ⇒ − +
.
= 1⇔ b =
2a 4b
2 ( 2a + 1)
et
bo
a = 1
2
3a=
2a + 1
1
3a 2
1
.
Mặt khác SOAB =
⇔
=
⇔
⇔
a = − 1
4
4 2a + 1 4
− ( 2a + 1)
3a 2 =
3
1
ta có phương trình đường thẳng d : x + 2 y =
1.
2
1
3
2
Với a =− ⇒ b =− ta có phương trình đường thẳng d : −3x − y + 1 =
0.
3
3
2
ng
vi
Với a =1 ⇒ b =
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm M ( 4;1) cắt các trục tọa
kh
a
độ lần lượt tại hai điểm A ( a;0 ) , B ( 0;b )( a, b > 0 ) sao cho.
a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
b) Tổng độ dài OA + OB nhỏ nhất.
9
4
c) Tổng
đạt giá trị nhỏ nhất.
+
2
OA
OB2
Trong đó O là gốc tọa độ.
Giải
a) Giả sử (d) cắt các trục tọa độ tại A ( a;0 ) , B ( 0;b ) ,a, b > 0 .
Khi đó phương trình của (d) là ( d ) :
4 1
x y
1 (1) .
+ =
1 . Do M ( 4;1) ∈ ( d ) ⇒ + =
a b
a b
15
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
Ta có
=
SOAB
1
1
=
OA.OB
ab , theo (1) ta có
2
2
4 1
4 1
4
+ ≥2 . =
⇒ ab ≥ 16 ⇒ SOAB ≥ 8.
a b
a b
ab
x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =8, b =2 ⇒ ( d ) : + =1.
8 2
1=
a
4
4
= a −4+
+ 5 ≥ 2 ( a − 4).
+5=9.
a−4
a−4
a−4
4
x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a − 4 =
⇔ a = 6;b = 3 ⇒ ( d ) : + = 1.
a−4
6 3
.v
n
b) Ta có OA + OB = a + b = a +
9 + 4 ( a − 4)
9
4
73 − 32a + 4a 2
.
c) Ta có
+
=
+
=
=
OA 2 OB2 a 2 a 2
a2
a2
a −4
2
ta có f '(a) =
73 − 32a + 4a 2
a2
−32a − 2 ( 73 − 32a )
a
3
trên ( 4;+∞ ) .
.c
Xét hàm số f (a) =
=
2 (16a − 73)
a
3
;f '(a) = 0 ⇔ a =
73
.
16
73
73
.
⇒b=
16
9
et
bo
Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại a =
Suy ra d :16 x + 9 y − 73 =
0 .
om
4
ok
9
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 =
0 và
vi
đường thẳng d 2 : 3x + y + 1 =
0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
ng
I (1; −2 ) và cắt d1 và d 2 lần lượt tại A và B sao cho độ dài AB bằng 2 2 .
Giải
kh
a
IA = ( a − 1; −3a − 3)
.
Giả sử điểm A ( a; −3a − 5 ) ∈ d1;B ( b; −3b − 1) ∈ d 2 . Ta có
IB = ( b − 1; −3b + 1)
1 k ( a − 1)
b − =
⇔ a = 3b − 2 .
I, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi IB = kIA ⇔
−3b + 1 = k ( −3a − 3)
Khi đó AB =
(a − b)
2
a − b =−2
.
+ [3 ( a − b ) + 4] = 2 2 ⇔
a − b =− 2
5
2
a − b =−2
a =−2
Với a − b =−2 ⇔
⇔
⇒ d : x + y + 1 =0 .
3b − 2
0
a =
b =
16
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
2
2
a=
2
a − b =−
5
Với a − b =− ⇔
⇒ d : 7x − y − 9 =0 .
5⇔
4
5
=
b =
a 3b − 2
5
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x − y − 2 =
0 và điểm
I (1;1) . Viết phương trình đường thẳng ∆ tạo với d một góc 450 và cách I một
khoảng bằng 10 .
Giải
(
)
a = 3b
.
= 1⇔
2
b = −3a
a 2 + b 2 . 22 + ( −1)
2a − b
Với a= 3b ⇒ ∆ : 3x + y + c= 0 .
4+c
=
32 + 12
10 .
.c
10 ⇔
ok
Khoảng cách từ d ( I, ( ∆ ) )=
om
Góc giữa d và ∆ bằng 450 nên
.v
n
Giả sử đường thẳng ∆ : ax + by +=
c 0, a 2 + b 2 > 0 .
bo
0
∆1 : 3x + y + 6 =
c = 6
.
⇔
⇒
c =−14 ∆ 2 : 3x + y − 14 =0
Với b = −3a ⇒ ∆ : x − 3y + c = 0 .
10 ⇔
et
Khoảng cách từ d ( I, ( ∆ ) )=
−2 + c
12 + ( −3)
=
2
10 .
kh
a
ng
vi
0
∆3 : x − 3y + 12 =
c = 12
.
⇔
⇒
0
c = −8 ∆ 4 : x − 3y − 8 =
Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán như trên.
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; –1) và hai đường thẳng
d1 : x −=
y − 1 0,d 2 : 2x +=
y − 5 0 . Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng
trên. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , cắt hai đường thẳng trên lần
lượt tại B và C sao cho tam giác ABC có BC = 3AB .
Giải
Tọa độ giao điểm A = d1 d 2 là nghiệm của hệ phương trình.
− y −1 0 =
x=
x 2
⇔
⇒ A ( 2;1) .
y −5 0 =
2 x + =
y 1
Lấy điểm B1 (1;0 ) ⇒ AB1 =
2.
Lấy điểm C1 ( t ;5 − 2t ) ∈ d 2 sao cho B1C=
3 AB1 ⇔
1
( t − 1) + ( 5 − 2t )=
2
2
3 2.
17
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
2 21 3 21
2
t
=
C1 ; B1C1 = − 5 ; 5 .
⇔ 5t 2 − 22t + 8 = 0 ⇔ 5 ⇒ 5 5 ⇒
1 ( 3; −3)
C2 ( 4; −3)
t = 4
B1C=
Ta có:
.v
n
(Talets đảo).
om
Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng đi qua M (1; −1) và song song với
bo
ok
.c
x −1
y +1
d : −3 / 5 = 21/ 5
0
d : x + y =
.
B1C1 nên có phương trình là
⇔
0
d : 7 x + y− 6 =
d : x − 1 = y + 1
3
−3
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d : x y 0
và d : 7x y 6 0 .
et
Cách 2: Tọa độ giao điểm A d1 d 2 là nghiệm của hệ phương trình.
.
vi
TH1: Đường thẳng d / /Oy ⇒ d : x =
1.
ng
Tọa độ giao điểm B d d1 là nghiệm của hệ phương trình
kh
a
=
x 1=
x 1
⇔
⇒ B (1;0 ) .
y −1 0 =
x −=
y 0
Tọa độ giao điểm C = d d 2 là nghiệm của hệ phương trình
=
x 1=
x 1
⇔
⇒ C (1;3) .
−5 0 =
2x + y=
y 3
Suy ra BC =
3 ≠ 3AB =
3 2 (nên loại trường hợp này).
TH2: Đường thẳng d không song song với Oy .
Giả sử đường thẳng cần tìm đi qua M có hệ số góc k có phương trình là
d : y= k ( x − 1) − 1 .
Khi đó tọa độ B = d1 d là nghiệm của hệ phương trình
18
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
6+k
x=
2x
y
5
0
+
−
=
6 + k 3k − 2
2+k
;
⇔
⇒ C
.
2+k 2+k
y= k ( x − 1) − 1 y = 3k − 2
2+k
Ta tính được
.v
n
k
x = k − 1
0
x − y − 1 =
1
k
⇔
⇒ B
;
.
k −1 k −1
y= k ( x − 1) − 1 y = 1
k −1
Tọa độ C = d 2 d là nghiệm của hệ phương trình
2
2
9 ( k − 2)
9k 2 ( k − 2 )
k 3k − 2
1
6+k
.
BC2 =
−
+
−
=
+
2 + k k −1 2 + k k −1
( 2 + k )2 ( k − 1)2 ( 2 + k )2 ( k − 1)2
2
2
2
k
1
k−2
AB =
− 2 +
− 1 = 2
.
k −1
k −1
k −1
Yêu cầu bài toán tương đương với
2
+
9k 2 ( k − 2 )
ok
9 ( k − 2)
.c
2
2
om
2
2
bo
( 2 + k )2 ( k − 1)2 ( 2 + k )2 ( k − 1)2
2
k−2
9.2
=
.
k −1
⇔ ( k − 2) + k 2 ( k − 2) = 2 ( k + 2) ( k − 2) .
2
2
2
2
vi
et
k = −1
k = 2
k = 2
⇔
⇔ 2
⇔ k =
−7 .
2
2
0
0
2 ( k + 2 ) − k − 1 =
k + 8k + 7 =
k = 2
ng
Trường hợp k = 2 ⇒ B(2; 1) ≡ A nên loại trường hợp này.
Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
kh
a
d : y =
− ( x − 1) − 1
0
d : x + y =
.
⇔
0
−7 ( x − 1) − 1 d : 7x + y − 6 =
d : y =
Cách 3: Tọa độ giao điểm A = d1 d 2 là nghiệm của hệ phương trình.
− y −1 0 =
x=
x 2
⇔
⇒ A ( 2;1) .
y −5 0 =
2 x + =
y 1
Vì B ∈ d1 ⇒ B (1 + b; b ) , C ∈ d 2 ⇒ C ( c;5 − 2c ) , ( b ≠ 1, c ≠ 2 ) .
Suy ra
MB = ( b; b + 1) , MC =
( c − 1;6 − 2c ) , AB = ( b − 1; b− 1) , BC = ( c − b − 1;5 − 2c − b ) .
19
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
Ba điểm M , B, C thẳng hàng nên
7b + 1
.
MB = k MC ⇔ b ( 6 − 2c ) = ( b + 1)( c − 1) ⇔ c =
3b + 1
( c − b − 1) + ( 5 − 2c − b )
Mặt khác BC = 3 AB ⇔
2
2
2
= 3
( b − 1) + ( b − 1)
2
2
.
2
−3b 2 + 3b −3b 2 + 3
2
⇔
3 2 ( b − 1) .
+
=
3b + 1 3b + 1
⇔
( 3b + 1)
2
2
.v
n
2
2
2
2
2
= 18 ( b − 1) ⇔ ( b − 1) b 2 + ( b + 1) − 2 ( 3b + 1) = 0 .
ok
.c
b = 1
1
2
2
b =
⇔ ( b − 1) ( −16b − 10b − 1) =⇔
− .
0
2
1
b = −
8
om
9b 2 ( b − 1) + 9 ( b 2 − 1)
1
1
hoặc b = − .
2
8
bo
Đối chiếu với điều kiện suy ra b = −
ng
vi
et
1 1
B 2 ; − 2 , C ( 5; −5 )
Từ đó suy ra tọa độ điểm B, C là
.
7 1 1 23
B ; − ,C ;
8 8 5 5
kh
a
Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm B, C ta có kết quả tương tự
trên.
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là
d : x y 0 và d : 7x y 6 0 .
Nhận xét. Rõ ràng cách 1 nhanh và hiệu quả nhất nếu sử dụng tính chất hình học
trong quá trình giải toán (xem thêm Chương 2 – Chủ đề 10).
20
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( 0;2 ) và hai đường thẳng
d1 : 3x + y + 2 =
0 và đường thẳng d 2 : x − 3y + 4 =
0 . Gọi A là giao điểm của
d1 ,d 2 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M cắt đồng thời d1 ,d 2 lần lượt
tại B,C sao cho
1
AB
2
+
1
AC2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Nhận thấy hai đường thẳng d1 ,d 2
vuông góc với nhau. Nên nếu gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên
∆ thì ta có:
1
1
1
1
1
1
đạt giá trị nhỏ
+
=
≥
= cons t . Do đó để
+
2
2
2
2
2
AB
AC
AH
AM
AB
AC2
nhất thì ∆ sẽ đi qua M và vuông góc với AM .
Từ đó viết được phương trình đường thẳng ∆ là ∆ : x + y − 2 =
0.
A
M
.v
n
C
H
om
B
.c
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua
ok
điểm M ( 3;1) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại B,C sao cho
bo
a) Tam giác ABC vuông tại A .
b) Tam giác ABC cân tại A .
trong đó A ( −2;2 ) .
et
Giải
vi
a) Giả sử B ( b;0 ) ,C ( 0;c ) , ( bc ≠ 0 ) khi đó phương trình đường thẳng d :
x y
+ =
1.
b c
3 1
b
.
+ =1 ⇔ c =
b c
b−3
6 − b
Khi đó AB = ( b + 2; −2 ) , AC = 2;
.
b−3
6−b
Tam giác ABC vuông tại A ⇔ AB.AC =0 ⇔ 2 ( b + 2 ) − 2
=0 .
b−3
kh
a
ng
Vì M ( 3;1) ∈ d nên
(
)
⇔ 2 b 2 − b − 6 − 12 + 2b =0 ⇔ 2b 2 =24 ⇔ b =±2 3 .
x
y
+
=
1.
−2 3 4 − 2 3
x
y
Với b = 2 3 ⇒ c = 4 + 2 3 ⇒ d :
+
=1 .
2 3 4+2 3
Với b =−2 3 ⇒ c =4 − 2 3 ⇒ d :
21
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
b) Tam giác ABC cân khi và chỉ khi
2
2
6−b
AB2= AC2 ⇔ ( b + 2 ) + (−2) 2= 22 +
.
b−3
b = 2
(do b ≠ 0 ).
⇔ b 4 − 2b3 − 12b 2 + 24b =0 ⇔ b ( b − 2 ) b 2 − 12 ⇔
b = ±2 3
Với b =2 ⇒ c =−2 ⇒ d : x − y − 2 =0 .
(
)
x
y
+
=
1.
−2 3 4 − 2 3
x
y
Với b = 2 3 ⇒ c = 4 + 2 3 ⇒ d :
+
=1 .
2 3 4+2 3
.v
n
Với b =−2 3 ⇒ c =4 − 2 3 ⇒ d :
et
bo
ok
.c
om
3
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC và điểm M ;6 . Biết
2
phương trình ba cạnh của tam giác là
AB : x y 2 0;AC : 2x y 1 0;BC : 4x y 7 0 .
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và chia tam giác ABC thành hai phần
có diện tích bằng nhau.
Giải
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương
trình:
x y 2 0
x 1 A 1;1 .
2x y 1 0
y 1
kh
a
ng
vi
Tương tự ta có B ( 3;5 ) , C (1; −3) .
Dựa vào hình vẽ nhận thấy chỉ có hai khả năng.
TH1: Đường thẳng d đi qua M và cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại B’,C’ và
SAB'C ' 1
.
SABC
2
Phương trình tham số của hai đường thẳng AB và AC là
x 1 t
x 1 u
.
AB :
;AC :
y 1 t
y 1 2u
AB
4;4
,
AC
2; 4
Gọi B'1 t;1 t ,C'1 u;1 2u
.
AB'
t;
t
,
AC'
u;
2u
22
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Do AB, AB' cùng chiều nên t 0 ; AC, AC' cùng chiều nên u 0 .
SAB'C ' AB'.AC' AB'.AC' tu 1
Ta có
ut 4 .
SABC
AB.AC
8 2
AB.AC
5
5
Ta có: MB' t ; t 5 , MC' u ; 2u 5 .
2
2
om
et
bo
ok
.c
.v
n
Do M, B',C' thẳng hàng nên:
5
t 2u 5 t 5u 5 5t 20u 6ut 0 .
2
2
Vậy u,t là hai nghiệm dương của hệ phương trình
u 3 34
2 34 19 2 34 31
ut 4
5
.
MC'
;
10
5
4 34 3
5t 20u 6ut 0
t
5
x 3 2 34 19 t
2
10
Suy ra d :
,t .
2 34 31
y 6
t
5
TH2: Đường thẳng d đi qua M và cắt hai cạnh BA,BC lần lượt tại D,E sao cho
SBDE 1
.
SBAC 2
x 3 / 2
y6
MC :18x y 21 0 .
1 3 / 2 3 6
Tọa độ giao điểm H của MC với AB là nghiệm của hệ phương trình:
23
x
23 57
17
18x y 21 0
H ; .
17 17
57
x y 2 0
y
17
1
1
Ta có SBDE SBCH CH.d B;CM SABC (do vậy trường hợp này không
2
2
thỏa mãn).
x 3 2 34 19 t
2
10
Vậy đường thẳng cần tìm là d :
,t
2 34 31
y 6
t
5
kh
a
ng
vi
Đường thẳng MC :
23
Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam
D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình các cạnh tam giác ABC
biết tọa độ trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt là
M ( −1;1) , N ( 3;4 ) và P ( 5;6 ) .
Giải
Ta có NP =( 2;2 ) , PM =( −6; −7 ) , MN =( 4;3) .
Đường thẳng BC đi qua điểm M ( −1;1) và nhận NP là véc tơ chỉ phương nên có
x +1 y −1
=
⇔ BC : x − y +=
2 0.
2
2
Tương tự AC đi qua điểm N ( 3;4 ) và nhận PM làm véc tơ chỉ phương có
.v
n
phương trình: BC :
phương trình là: AC : 7x − 6y + 3 =
0.
om
Đường thẳng AB đi qua điểm P ( 5;6 ) và nhận MN làm véc tơ chỉ phương nên
et
bo
ok
.c
có phương trình là: AB : 3x − 4y + 9 =
0.
Bài 2. (ĐH Quốc Gia) Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của
tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC,CA, AB lần lượt là M(2; 3), N(4;-1),
P(-3;5). Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC .
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có MN =
( 2; −4 ) , NP =
( −7;6 ) , PM =
( 5; −2 ) .
Phương trình cạnh BC đi qua M ( 2;3) và nhận NP = ( −7;6 ) làm véc tơ chỉ
x −2 y−3
=
⇔ BC : 6x + 7y − 33= 0 .
6
−7
Phương trình cạnh AC đi qua N ( 4; −1) và nhận PM
= ( 5; −2 ) làm véc tơ chỉ
ng
vi
phương nên có phương trình là BC :
kh
a
phương nên có phương trình là
x − 4 y +1
AC : =
⇔ AC : 2x + 5y −=
3 0.
5
−2
Phương trình cạnh AB đi qua P ( −3;5 ) và nhận MN
= ( 2; −4 ) làm véc tơ chỉ
phương nên có phương trình là
x +3 y−5
AB : =
⇔ AB : 2x + y +=
1 0.
2
−4
Đường trung trực cạnh BC đi qua M ( 2;3) và vuông góc với BC nên có phương
trình là d1 : 7 ( x − 2 ) − 6 ( y − 3) = 0 ⇔ d1 : 7x − 6y + 4 = 0 .
Đường trung trực cạnh AC đi qua N ( 4; −1) và vuông góc với AC nên có
phương trình là d 2 : 5 ( x − 4 ) − 2 ( y + 1) =0 ⇔ d 2 : 5x − 2y − 22 =0 .
24
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Đường trung trực cạnh AB đi qua P ( −3;5 ) và vuông góc với AB nên có
phương trình là d3 :1( x + 3) − 2 ( y − 5 ) =0 ⇔ d3 : x − 2y + 13 =0 .
Tọa độ đỉnh A = AB AC là nghiệm của hệ phương trình
2x + y + 1 =0
x =−5
⇔
⇒ B ( −5;9 ) .
33 0 =
6x + 7y −=
y 9
Tọa độ đỉnh C = AC BC là nghiệm của hệ phương trình
.v
n
2x + y + 1 =0
x =−1
⇔
⇒ A ( −1;1) .
=
−3 0 =
2x + 5y
y 1
Tọa độ đỉnh B = AB BC là nghiệm của hệ phương trình
om
5y − 3 0 =
2x + =
x 9
⇔
⇒ C ( 9; −3) .
0
−3
6x + 7y − 33 =
y =
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực,
do đó tọa độ tâm I = d1 d 2 là nghiệm của hệ phương trình
bo
ok
.c
35
x=
0
7x − 6y + 4 =
35 87
4
⇔
⇒ I ; .
0
4 8
5x − 2y − 22 =
y = 87
8
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
M ( 2;5 ) và cách đều hai điểm P ( −1;2 ) ,Q ( 5;4 ) .
et
Giải
(
)
vi
Đường thẳng cần tìm có dạng: d : a ( x − 2 ) + b ( y − 5=
) 0, a 2 + b2 > 0 .
ng
Theo giả thiết ta có: d ( P;d ) =
d ( Q;d ) ⇔
3a − b
b = −3a
.
=
⇔
b = 0
a 2 + b2
a 2 + b2
−3a − 3b
kh
a
TH1: Nếu b = 0 ⇒ d : x − 2 = 0 .
TH2: Nếu b = −3a , chọn a =1, b =−3 ⇒ d : x − 3y + 13 =0 .
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là x − 2= 0; x − 3y + 13= 0 .
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ( 3;0 ) và hai đường thẳng
d1 : 2x − y − 2 =
0 và d 2 : x + y + 2 =
0.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại A và B
sao cho M là trung điểm của AB .
Giải
Gọi
A ( a;2a − 2 ) ∈ d1 , B ( b; −2 − b ) ∈ d 2 ⇒ MA = ( a − 3;2a − 2 ) , MB = ( b − 3; −2 − b ) .
Theo giả thiết ta có:
25
