Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân phần 2

Chương 5
Tích phân Lebesgue trừu tượng.
Hàm khả tích
Bây giờ, ta xét trường hợp các hàm f định nghĩa trên E nhận giá trị trong R, R hoặc
C.

5.1
5.1.1

Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa
∗

Hàm f đo được từ (E, B, µ) vào (R, BR ) gọi là µ − khả tích nếu

f + dµ < +∞ và
E

∗

f − dµ < +∞.
E

Ta đặt:
∗

f dµ =

L(f ) =
E

f

E

f − dµ

dµ −

E

E

f − dµ

f + dµ −

=

∗
+

E

Điều này mở rộng trường hợp một hàm f ≥ 0 (f − = 0). L(f ) gọi là tích phân Lebesgue
trừu tượng của f trên E. (Ta chỉ cần xét trường hợp E vì trên A ∈ B hệ thức:
f · 1A dµ

f dµ =
A

E

đã thiết lập cho trường hợp hàm dương được suy rộng cho trường hợp tổng quát này).

5.1.2

Ví dụ

Ta lấy lại các ví dụ đã nêu ở chương 4.


5.1 Định nghĩa và tính chất

60

Độ đo Dirac: δa khối lượng tại một điểm a. Với mọi A, ta có:
∗

1A dδa = 1A (a) = δa (A) =

1
0

nếu a ∈ A
nếu a ∈
/A

E

Mặt khác giả sử f ≥ 0. f −→ f (a) thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) của định lý tồn

tại, đẳng thức trên chứng tỏ nó cũng thỏa mãn cả (iii), do đó:
∗

f dδa = f (a)
E

Vậy f là δa − khả tích khi và chỉ khi f (a) < +∞. (f ≥ 0). Với f bất kỳ, f là
δa − khả tích khi và chỉ khi |f (a)| < ∞.
Độ đo rời rạc: µ hình thành bởi khối lượng αn đặt ở điểm xn với cùng phương pháp,
ta có kết quả:

∗

αn · f (xn )

f dµ =
n

E

Như vậy f là µ − khả tích khi và chỉ khi
∗

∞

f (n). f là µ − khả tích khi và chỉ khi chuỗi

f dµd =

tổng. Trường hợp riêng

αn · |f (xn )| < ∞, tức là họ này khả
n

n=1

N

{f (n)} hội tụ tuyệt đối.
Độ đo Borel và Lebesgue trên R: Đối với các độ đo này, ta sẽ thấy sau này một lớp
quan trọng các hàm mà tích phân định nghĩa ở đây chính là tích phân Riemann.
Tương tự đối với độ đo Borel-Stiltjes trên R với tích phân Riemann -Stieltjes.

5.1.3

Hệ quả

Suy từ các tính chất của f + và f − :
1. Nếu f là một hàm giá trị thực (chứ không dương) thì ánh xạ υ : A −→ υ(A) =

f dµ
A

không còn là một độ đo dương nữa (mà có dấu). Nhưng nó vẫn luôn là một hàm
tập σ − cộng tính, tức là:
∞

f dµ,

f dµ =

∞

∪ Ai

i=1 A

Ai ∩ Aj = ∅, i = j.

i

1

2. Mọi hàm f µ − khả tích là hữu hạn µ − hkn.
3. Nếu f = g µ − hkn và nếu f là µ − khả tích thì g µ − khả tích và ta có: L(f ) = L(g).


5.1 Định nghĩa và tính chất

61

Định lý 5.1. (i) Không gian của các hàm thực µ−khả tích là một R−không gian tuyến tính
và ánh xạ L : f −→ L(f ) = f dµ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian
E

này.
(ii) Nếu f là đo được, g là µ − khả tích và |f | ≤ g. Khi đó, f là µ − khả tích.
(iii) Hàm f đo được là µ−khả tích khi và chỉ khi |f | cũng thế. Với mọi hàm f µ−khả tích,
ta có |L(f )| ≤ L(|f |). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f có dấu không đổi µ − hkn.
Chứng minh. (i) Giả sử: f = f1 − f2 , nếu f1 và f2 ≥ 0, µ − khả tích. Khi đó, f là
µ − khả tích. Thực vậy:

f + = sup(f, 0) = f1 − inf(f1 , f2 )
f − = sup(−f, 0) = f2 − inf(f1 , f2 )
Do đó L(f + ) ≤ L(f1 ) < ∞ và L(f − ) ≤ L(f2 ) < ∞. Suy ra f là µ − khả tích. Hơn nữa
L(f ) = L(f1 ) − L(f2 ). Thực vậy f + − f − = f1 − f2 , suy ra f + + f2 = f − + f1 . Suy ra
L(f + + f2 ) = L(f − + f1 ) (cộng tính đúng với các hàm dương).
Do đó: L(f + ) − L(f − ) = L(f1 ) − L(f2 ) vì các số hạng là hữu hạn. Bây giờ giả sử f và
g là µ − khả tích. Khi đó:
h = f + g = f + + g + − (f − + g − ) = h1 − h2
và ta áp dụng kết quả ở phần trên:
L(f + g) = L(h1 ) − L(h2 ) = L(f + + g + ) − L(f − + g − )
Suy ra L(f + g) = L(f ) + L(g). Ta suy ra L(αf + βg) = αL(f ) + βL(g).
∗

f + dµ < ∞ và

(ii) |f | ≤ g, f + + f − ≤ g, suy ra f + ≤ g và f − ≤ g. Khi đó
E

∗

f − dµ < ∞. Suy ra f khả tích.
E

(iii) Nếu f là µ − khả tích, f + và f − cũng thế nên |f | = f + + f − cũng khả tích
(µ − khả tích). Ngược lại |f | khả tích, suy ra f là µ − khả tích theo (ii). Hơn nũa:

E

f − dµ ≤

f + dµ −

f dµ =
E

E

f − dµ

f + dµ +
E

E

Suy ra
f dµ ≤
E

|f | dµ
E

Ghi chú: f đo được, suy ra |f | đo được, nhưng ngược lại là sai. Từ đó cần thiết phải
chính xác hóa f − đo được trong (ii) và (iii).


5.1 Định nghĩa và tính chất

62

Định lý 5.2. Nếu f là µ − khả tích thì với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε, f ) sao cho với mọi

A ∈ B với µ(A) ≤ δ thì:
|f | dµ ≤ ε
A

Chứng minh. Phương pháp cắt cụt: Giả sử {fn } là một dãy định nghĩa bởi:
|f (x)|
n

fn (x) =

nếu |f (x)| ≤ n
nếu |f (x)| ≥ n

{fn } là một dãy hàm dương, đo được, {fn } tăng và ta có: sup fn = |f |. Theo định lý
Beppo-Levi:
|f | dµ = lim

fn dµ

n

E

E

ε
ε
(|f | − fn0 ) dµ ≤ . Xét tập A ∈ B của E sao cho µ(A) ≤
.
2

2n0

Giả sử n0 thỏa mãn
E

Khi đó
|f | dµ =
A

(|f | − fn0 ) dµ +
A

fn0 dµ
A

Suy ra
|f | dµ ≤

ε
+ n0 µ(A) = ε
2

A

5.1.4

Hàm nhận giá trị trong C

Giả sử f = R(f ) + iJ(f ), theo định nghĩa:
R(f ) dµ + i

f dµ =
E

E

J(f ) dµ
E

Các tính chất thấy ở trên có thể mở rộng, vì chúng là đúng với các hàm R(f ) và J(f )
đều có giá trị thực. Đặc biệt, ta cũng có thể chứng minh được rằng:
f dµ ≤
E

|f | dµ
E

Giả sử L(f ) = 0, giả sử α ∈ C:
R(αL(f )) = L(R(αf )) ≤ L(|α| · |f |) = |α| · L(|f |)
Đặt α =

L(f )
, ta có |α| = 1. Suy ra |L(f )| ≤ L(|f |).
|L(f )|

Bài tập: Chứng minh rằng: dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f = eiα ϕ µ − hkn, α
thực, ϕ là hàm nhận giá trị dương. (BT 3)


5.2 Định lý hội tụ

5.2

63

Định lý hội tụ

Định lý 5.3. (Beppo-Levi) Giả sử {fn } là dãy tăng các hàm µ − khả tích, nhận giá trị
trong R. Khi đó:
lim fn dµ

fn dµ =

lim

n→∞

n→∞
E

E

nếu lim fn là µ − khả tích.
Chứng minh. Ta chỉ cần xét dãy {ϕn } định nghĩa bởi: ϕn = sup fn − fn , ϕn ≥ 0 và {ϕn }
∗

ϕ1 dµ < ∞ thỏa mãn vì

là dãy giảm. Điều kiện
E

∗

(lim fn ) dµ −

ϕ1 dµ =
E

f1 dµ < ∞

n

E

E

Áp dụng định lý 4.8, ta suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 5.4. (Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue) Giả sử {fn } là một dãy hàm
đo được thỏa mãn với mọi n, |fn | ≤ g µ − hkn, với g là µ − khả tích. Khi đó:
lim fn dµ ≤ lim

(i)

n→∞

fn dµ

n→∞

E

E

lim fn dµ ≤ lim

(ii)

n→∞

fn dµ

n→∞

E

E

(iii) Đặc biệt nếu lim fn tồn tại µ − hkn thì lim
n→∞

fn dµ =

n→∞
E

lim fn dµ.

n→∞
E

∗

Chứng minh. Các fn là µ − khả tích với mọi n ∈ N . Ta có thể giả thiết |fn (x)| ≤ g(x),
với mọi x ∈ E và với mọi n ∈ N∗ .
(i) Vì −g(x) ≤ fn (x) ≤ g(x), ta có: fn (x) + g(x) ≥ 0. Vậy ta có thể áp dụng bổ đề
Fatou cho dãy {fn + g} vì đó là một dãy các hàm dương, khi đó:
( lim fn ) dµ ≤

g dµ +

g dµ + lim

n→∞
E

fn dµ

n→∞

E

E

E

Suy ra điều phải chứng minh. Nó được coi như một sự mở rộng của bổ đề Fatou với
điều kiện phụ |fn | ≤ g.
(ii) Ta biết rằng lim un = − lim (−un ). Sử dụng (i) suy ra điều phải chứng minh.
n→∞

n→∞

(iii) Suy từ (i) và (ii). Kết quả (iii) mở rộng cho trường hợp một dãy hàm nhận giá
trị phức.
Định lý 5.5. (Lebesgue hội tụ giới nội đều) Giả sử {fn } là một dãy hàm đo được
thỏa mãn: lim fn = f µ−hkn, với |fn | ≤ M < ∞ với mọi n ∈ N∗ . Khi đó nếu µ(E) < ∞,
n→∞

ta có:
lim

fn dµ =
E

lim fn dµ =
E

f dµ
E


5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp
độ đo Lebesgue)
64
Chứng minh. Đơn giản chỉ là hệ quả của định lý 5.4 vì hàm M là µ − khả tích trên E
nếu độ đo µ(E) < ∞ (giới nội).
2

Ví dụ: fn (x) = e−nx cos nx trên [0, A], |fn (x)| ≤ 1 trên [0, A]. Khi đó:
n→∞

2

e−nx cos nx dλ −−−→ 0
[0,A]

5.3

So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue
trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue)

5.3.1

Nhắc lại tích phân Riemann

Giả sử f là một hàm xác định và bị chặn trên [a, b], đoạn giới nội. Ta xét các phân
hoạch P của đoạn [a, b] thành các khoảng {I1 , I2 , ..., In }. Độ dài mỗi khoảng Ip ký hiệu
là |Ip |. Các tổng Darboux gắn với f và P được định nghĩa bởi:
n

n

(sup f (x)) · |Ik |

S(f, P ) =
k=1

và

(inf f (x)) · |Ik |

s(f, P ) =

Ik

k=1

Ik

và khi đó ta xét:
S∗ (f ) = inf S(f, P )
P ∈P

và

s∗ (f ) = sup s(f, P )
P ∈P

trong đó P ký hiệu tập hợp tất cả mọi phân hoạch của [a, b]. Ta biết rằng f khả tích
b

Riemann khi và chỉ khi S∗ (f ) = s∗ (f ) và giá trị chung ký hiệu là

f (x) dx, gọi là tích
a

phân Riemann của hàm f trên đoạn [a, b].

5.3.2

Hàm f ∗ và f∗
n

j
Trong phần tiếp theo, ta sẽ sử dụng các phân hoạch {Pj }∞
j=1 với Pj = {Ij,k }k=1 sao

cho sup |Ij,k | → 0 khi j → ∞, cũng như các hàm f j và fj gắn với mỗi Pj như sau:
k
nj
j

nj

(sup f (x)) · 1Ij,k

f =
k=1

và

(inf f (x)) · 1Ij,k

fj =

Ij,k

k=1

Ij,k

Định nghĩa của f ∗ và f∗ , ta đăt:
f ∗ (x) = lim f (y) = lim

sup

f (y)

f∗ (x) = lim f (y) = lim

inf

f (y)

y→x

y→x

Tính chất:
(i) f∗ (x) ≤ f (x) ≤ f ∗ (x).

ε→0 y∈[x−ε,x+ε]
ε→0 y∈[x−ε,x+ε]


5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp
độ đo Lebesgue)
65
(ii) lim f j = f ∗ λ − hkn, lim fj = f∗ λ − hkn.
j→∞

j→∞

(iii) f ∗ và f∗ là đo được.
f ∗ dλ = S∗ (f ),

(iv)
[a,b]

f∗ dλ = s∗ (f ).
[a,b]

Chứng minh. (i) suy trực tiếp, 3 trường hợp còn lại ta chứng minh cho f ∗ , với f∗ chứng
minh tương tự.
(ii) Giả sử x0 ∈ [a, b], x0 không thuộc đầu mút của một khoảng Ij,k , với mọi k =
1, 2, ..., nj và với mọi j. Khi đó tồn tại ε0 (phụ thuộc j và k) sao cho: [x0 ε0 , x0 + ε] ⊂ Ij,k .
Khi đó
f ∗ (x0 ) ≤

f (y) ≤ sup f (x) = f j (x0 )

sup

x∈Ij,k

y∈[x0 −ε0 ,x0 +ε0 ]

qua giới hạn trên j: f ∗ (x0 ) ≤ lim f j (x0 ). Ngược lại với mọi ε > 0, điều kiện lim sup |Ij,k | = 0.
j→∞

k

Suy ra tồn tại j0 (phụ thuộc x0 và ε) và k sao cho Ij,k ⊂ [x0 − ε, x0 + ε] với j > j0 . Suy
ra bất đẳng thức:
lim fj (x0 ) ≤ f ∗ (x0 )

j→∞

Suy ra điều phải chứng minh cho x0 ∈
/ ∂Ij,k với mọi k, với mọi j. Do tập hợp các
x ∈ ∂Ij,k với mọi k, với mọi j là tập hợp đếm được có độ đo Lebesgue bằng 0, ta có:
(iii) Các hàm f j đo được, vì chúng là các hàm bậc thang trên các tập Lebesgue đo
được. Từ (ii) suy ra rằng f∗ cũng đo được.
(iv) Ta có thể áp dụng định lý hội tụ giới nội (định lý 5.5) đối với dãy hàm f j vì f
giới nội. Khi đó
f ∗ dλ

f j dλ =

lim
[a,b]

[a,b]

Nhưng
nj

lim

j

j→∞
[a,b]

(sup f (x)) · |Ij,k | = S∗ (f )

f dλ = lim

j→∞

k=1

Ij,k

theo các tính chất của S∗ (f ).

5.3.3

Hệ quả

Từ các tính chất trên mà ta có: f khả tích Riemann khi và chỉ khi:
f ∗ dλ =
[a,b]

f∗ dλ
[a,b]

nhưng mà f∗ (x) ≤ f (x) ≤ f ∗ (x) và điều kiện:
f ∗ dλ −
[a,b]

[a,b]

(f ∗ − f∗ ) dλ = 0

f∗ dλ =
[a,b]


5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số

66

Suy ra f ∗ = f∗ = f λ − hkn và ngược lại. Do đó f là R − khả tích suy ra f là đo được,
là L − khả tích. Khi đó
b

f dλ =

f (x) dx
a

[a,b]

Hơn nữa f ∗ = f∗ λ − hkn khi và chỉ khi f liên tục λ − hkn. Suy ra định lý Lebesgue
dưới đây:
Định lý 5.6. (Lebesgue) Một hàm giới nội trên [a, b] là khả tích Riemann trên [a, b]
khi và chỉ khi nó liên tục hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue. Khi đó nó khả tích theo
nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau.
Tính chất bằng nhau của hai tích phân suy rộng cho cả tích phân suy rộng của

Riemann hội tụ tuyệt đối, nhưng nó không còn đúng đối với tích phân bán hội tụ. Thực
vậy trong trường hợp đầu chỉ cần xét các hàm dương và định nghĩa dãy {fn }:
fn (x) =

f (x)
0

nếu x ∈ [a, n]
nếu x > n

n

+∞

f (x) dx =

Theo định lý trên
a

lim

n→∞
[a,∞[

fn dλ nhưng

n

f (x) dx = lim
a

[a,∞[

f (x) dx và

n→∞
a

f dλ vì {fn } là một dãy tăng, suy ra dấu bằng.

fn dλ =
[a,∞[

Kết luận: Những định lý hội tụ đã chứng minh đối với độ đo Lebesgue là áp dụng
được trong khuôn khổ tích phân Riemann. Trong thực hành, ta sẽ có lợi nếu sử dụng một
cách hệ thống (nếu có thể) các định lý của Lebesgue (hội tụ bị trị, hội tụ bị chặn) cho
phép "tiết kiệm" hội tụ đều.

5.4

Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số

f là hàm từ E × [a, b] → R. Ta giả thiết rằng hàm x −→ ft (x) = f (x, t) đo được
với mỗi t ∈ [a, b] (ft ∈ M(E, B; R, BR )) và ta quan tâm đến tính chất của hàm t −→
f (x, t) dµ(x) với µ là một độ đo dương trên B.
E

Định lý 5.7. (Tính liên tục) Giả sử lim f (x, t) = l(x) với mọi x ∈ E, t0 ∈ [a, b],
t→t0

|f (x, t)| ≤ g(x), g µ − khả tích với mọi t ∈ [a, b]. Khi đó
lim

f (x, t) dµ(x) =

t→t0
E

l(x) dµ(x)
E

Chứng minh. Giả sử {tn } ⊂ [a, b] và tn → t0 khi n tiến ra vô cùng. Ta xét dãy {fn }:
fn : x −→ fn (x) = f (x, tn )
và ta áp dụng định lý hội tụ bị trị.


5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số

67

Hệ quả: Nếu hàm t −→ f (x, t) liên tục trên đoạn [a, b] với mọi x ∈ E và nếu tồn tại
một hàm g µ − khả tích trên E sao cho |f (x, t)| ≤ g(x). Khi đó hàm số:
F : t −→ F (t) =

f (x, t) dµ(x)
E

liên tục trên [a, b].
Ví dụ:
a

tf (x)
π
dx = f (0+ )
2
2
t +x
2

lim

a→0

(f liên tục trên [0, a], đặt x = tX).

0

Định lý 5.8. (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây:
(i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x −→ f (x, t0 ) là µ − khả tích trên E.
(ii)

∂f
tồn tại trên E × [a, b].
∂t

(iii) Tồn tại hàm g µ − khả tích trên E sao cho:
Khi đó, hàm số t −→ F (t) =

∂f
(x, t) ≤ g(x) với mọi t ∈ [a, b].

∂t

f (x, t) dµ(x) khả vi trên [a, b] và ta có:
E

dF (t)
d
=
dt
dt

df
(x, t) dµ(x)
dt

f (x, t) dµ(x) =
E

E

∂f
f (x, tn ) − f (x, t)
f (x, tn ) − f (x, t)
(x, t) = lim
, x ∈ E. Nhưng ϕn (x) =
tn →t
∂t
tn − t
tn − t
∂f

là một hàm đo được (theo x). Suy ra
(x, t) là đo được với mọi t ∈ [a, b]. Áp dụng định
∂t
lý về số gia hữu hạn
∂f
f (x, t) − f (x, t0 ) = (t − t0 ) ·
(x, θ)
∂t
ta có:
Chứng minh.

|f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (t − t0 )g(x)

(theo gt (iii)).

Suy ra x −→ f (x, t) là µ − khả tích (giả thiết (ii)v(iii)) và đúng với mọi t ∈ [a, b]. Mà
F (tn ) − F (t)
=
tn − t

f (x, tn ) − f (x, t)
dµ(x)
tn − t
E

theo (iii), ta có thể áp dụng định lý hội tụ bị trị vì
f (x, tn ) − f (x, t)
≤ g(x)
tn − t
Suy ra điều phải chứng minh.

Ghi chú: Ta chú ý điều kiện (i): Không cần phải giả thiết rằng x −→ f (x, t) là
µ − khả tích với mọi t. Điều này suy được từ (ii) và (iii).


5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số

68

Định lý 5.9. (Tính khả tích Riemann) Dưới các điều kiện sau:
(i) t −→ f (x, t) là liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E.
(ii) Tồn tại g µ − khả tích trên E sao cho: |f (x, t)| ≤ g(x).
Khi đó, hàm số t −→ F (t) =

f (x, t) dµ(x) là khả tích Riemann trên [a, b] và ta có:
E

b

b

b

F (t) dt =
a

f (x, t) dt dµ(x)

f (x, t) dµ(x) dt =
a

E

E

a

Chứng minh. Các tích phân theo t là tích phân Riemann. Đặt h là hàm định nghĩa trên
E × [a, b] bởi:
t

(x, t) −→ h(x, t) =

f (x, s) ds
a

∂h
= f (x, t) (vì f : t −→ f (x, t) liên tục). Do tích phân Riemann tồn tại, nó
∂t
là giới hạn của một dãy tổng Riemann. Suy ra ánh xạ x −→ h(x, t) là đo được với mọi
Khi đó

t ∈ [a, b]. Mặt khác |f (x, t)| ≤ g(x), suy ra |h(x, t)| ≤ (b − a)g(x) nên x −→ h(x, t) là
µ − khả tích trên E với mọi t ∈ [a, b]. Đặt H : t −→ H(t) =

h(x, t) dµ(x), áp dụng lên
E

H định lý trước:
∂h
(x, t) dµ(x) =

∂t

dH(t)
=
dt
E

f (x, t) dµ(x) = F (t)
E

Từ đó, ta nhận được:
b

F (t) dt = H(b) − H(a) =
a

(h(x, b) − h(x, a)) dµ(x)
E

và

b

b

F (t) dt =
a

f (x, t) dt dµ(x)
E

a

Vấn đề ở đây liên quan đến một định lý về đổi thứ tự lấy tích phân giữa một tích
phân Riemann và một tích phân Lebesgue. Trường hợp hai tích phân Lebesgue sẽ xét ở
phần tích phân theo độ đo tích (Định lý Fubini, chương 8).
Ghi chú: Các tính chất liên quan đến x có thể đòi hỏi chỉ với µ − hkn.
+∞

Ví dụ: (BT 8) Xét tính liên tục và khả vi của hàm: t −→ F (t) =
ra

√
π
F −F =− √
2 t

0

2

e−tx
dx. Suy
1 + x2


5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của hàm một biến

và biểu thức của F :
F (t) =

69

√
π t
· e [1 − θ( t)]
2

t

2
với θ là hàm Gauss: θ(t) = √
π

2

e−τ dτ .
0

5.5

Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của
hàm một biến

5.5.1

Định nghĩa
f (x)e−2iπxy dλ. Để

Cho f là một hàm λ − khả tích trên R, xét hàm: y −→ f (y) =

R

f tồn tại, cần và đủ là f λ − khả tích.
f hay Ff , gọi là phép biến đổi Fourier của f . (Tùy từng trường hợp người ta xét cả
1
phép biến đổi Fourier dưới dạng: f (x)e−ixy dλ hay √
f (x)e−2iπxy dλ).
2π
R

R

Trong xác xuất, phép biến đổi Fourier của một hàm phân phối F được định nghĩa bởi:
e−ixy dF (x)
R

Trong giáo trình lý thuyết xác xuất, ta sẽ thấy lợi ích của phép biến đổi này và khi
đó gọi là hàm đặc trưng.

5.5.2

Tính chất trực tiếp của fˆ

a) Nếu f là λ − khả tích thì f là một hàm liên tục trên R và ta có:
|f | dλ

||f ||∞ ≤
R

(||.||∞ là chuẩn hội tụ đều).

b) Nếu f là λ − khả tích trên R thì f thuộc lớp C 1 trên R và:
df
= −2iπxf
dy
Tổng quát hơn nếu xk f là λ − khả tích trên R thì f thuộc lớp C k trên R và ta có:
dp f
= (−2iπ)p xp f
dy p

∀p = 1, 2, ..., k

Chứng minh các tính chất này suy từ định lý 5.7 và 5.8 ở trên.


5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn

5.5.3

70

Ví dụ

α) Phép biến đổi Fourier của hàm χ(a,b) là:
χ(a,b) : y −→ χ(a,b) (y) =

e−2iπay − e−2iπby
2iπy

2

2

β) Phép biến đổi Fourier của x −→ e−πx là: y −→ e−πy .

Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn

5.6
5.6.1

Định nghĩa

(*) Giả sử (E, B, µ) là một không gian có độ đo, f là một ánh xạ từ E vào F , định
nghĩa trên A ∈ B với µ(A) = 0. Ta nói rằng f định nghĩa µ − hkn trên E.
(**) Giả sử (F, B ) là một không gian đo được, f là một ánh xạ từ A ∈ B vào F với
µ(CA) = 0. Ta nói rằng f là đo được, định nghĩa µ − hkn nếu f là đo được khi A
được trang bị σ − đại số cảm sinh bởi B.

5.6.2

Tính chất

α) Ta có các tính chất trực tiếp sau: Để một ánh xạ từ E vào F định nghĩa µ − hkn là
đo được cần và đủ là nó bằng µ − hkn với một hàm đo được từ E vào F .
β) Giả sử F = R hoặc R. Từ quan hệ tương đương R: f Rg khi và chỉ khi f (x) = g(x)
µ − hkn, với g là một hàm số đo được từ E vào F . Ta xây dựng không gian vector
của các lớp tương đương f . Chúng gồm các hàm số đo được tương đương với f .
(không gian thương).

5.6.3

Tích phân của một hàm đo được định nghĩa µ − hkn

Ta định nghĩa tích phân này bằng cách làm lại các bước như trước, nhưng chuyển
sang trung gian của một hàm g ∈ f . Chỉ cần chứng minh được rằng kết quả không phụ
thuộc vào đại diện được lựa chọn của lớp hàm f . Thực vậy, ta có:
∗

∗

g1 dµ =
E

nếu g1 = g2 µ − hkn. Ta định nghĩa

E

f dµ =
E

khắp nơi và g = f µ − hkn.

g2 dµ

g dµ, trong đó g là một hàm định nghĩa
E


5.7 Bài tập chương 5

5.7

71

Bài tập chương 5

Bài 1. Nếu µ là một độ đo hữu hạn và f là một hàm đo được thì

1
là µ − khả tích.
1 + |f |

f dµ = 0, với mọi A ∈ B, khi đó f = 0

Bài 2. Nếu f là một hàm µ − khả tích sao cho
A

µ − hkn.
Bài 3. Giải bài tập đề xuất ở cuối mục 5.1.

Bài 4. Giả sử {fn } là một dãy tăng các hàm dương, µ − khả tích nhận giá trị trong R+ ,
fn dµ ≤ M .

sao cho
E

(a) Chứng minh rằng {fn (x)} là một dãy bị chặn µ − hkn. (Ta viết điều kiện cần
và đủ để tại một điểm x dãy không bị chặn).
(b) Suy ra tồn tại một hàm f : x −→ f (x) nhận giá trị trong R+ sao cho fn hội
tụ đến f µ − hkn,

fn dµ hội tụ đến
E

f dµ.
E

Bài 5. Suy từ bài tập 3 định lý hội tụ đơn điệu dưới dạng: Nếu {fn } là một dãy tăng
các hàm µ − khả tích, nhận giá trị trong R sao cho:
fn dµ ≤ M
E

Khi đó tồn tại một hàm f µ − khả tích sao cho

fn dµ hội tụ đến
E

f dµ.
E

Bài 6. Giả sử p và q sao cho p > −1 và q là số tự nhiên.
n

xp (log x)q 1 −

(a) Chứng minh rằng

x
n

n

dx, n ∈ N, có giới hạn là:

0
+∞

xp (log x)q e−x dx
0

khi n → +∞.
+∞

e−x log x dx được tính bởi:

(b) Từ đó suy ra rằng giá trị của tích phân
0

lim

n→+∞

log n− 1 +

1 1
1
+ + ··· +
2 3
n

→+∞

f (x) dx là tích phân suy rộng Riemann của hàm f trên R.

Bài 7. Ký hiệu
→−∞


5.7 Bài tập chương 5

72

(a) Chứng minh rằng nếu f có tích phân suy rộng trên R thì f liên tục λ − hkn.
Xét mệnh đề đảo.
(b) Nếu f ≥ 0 và có tích phân suy rộng thì nó là λ − khả tích và hai tích phân
bằng nhau. Cho một phản ví dụ khi f không dương.
Bài 8. Giải bài tập nêu ở mục 5.4.
Bài 9. λ là độ đo Lebesgue, f và g là các hàm đo được. Xét tích phân:
f (t − x)g(x) dλ,

t ∈ R.

R

(a) Chứng minh rằng x −→ f (t − x)g(x) và x −→ f (x)g(t − x) cùng λ − khả tích
trên R và tích phân của chúng bằng nhau.
(b) Giả sử f và g liên tục và g có giá compact. Ký hiệu h là hàm:
t −→ h(t) =

f (t − x)g(x) dx
R

Chứng minh rằng h là xác định hầu khắp nơi và liên tục trên R. Để chứng
minh khẳng định cuối, ta sẽ chứng minh rằng trong một lân cận của một điểm
t0 bất kỳ, ta có:
|f (t − x)g(x)| ≤ K|g(x)|
Bài 10. Tìm biến đổi Fourier của:
2

(a) Hàm x −→ e−πx

(b) x −→ χ[−1,1] . Giả sử χ là kết quả của biến đổi. Tìm biến đổi của χ.


Chương 6
Các không gian Lebesgue Lp và Lp
(1 ≤ p ≤ ∞)
Nửa chuẩn tổng quát Np

6.1

Xét các hàm dương: f ∈ M+ (≡ M(E, B; R+ , BR+ )) và ta đặt:
∗
p

Np (f ) =

f dµ

1
p

,

1≤p<∞

E

Trong đó µ là một độ đo dương trên B.

6.1.1

Định lý

Định lý 6.1. Các ánh xạ f −→ Np (f ) từ M+ vào R+ (p ≥ 1) thỏa mãn:
(i) Np (0) = 0, Np (cf ) = cNp (f ) với mọi c ∈ R+ . f ∈ M+ , g ∈ M+ với f ≤ g, suy ra
Np (f ) ≤ Np (g).
(ii) Nếu p > 1 và q > 1 với

1 1
+ = 1, khi đó với mọi f, g ∈ M+ :
p q

N1 (f g) ≤ Np (f )Nq (g)

(bất đẳng thức H¨
older)

(iii) Với mọi f, g ∈ M+ :
Np (f + g) ≤ Np (f ) + Np (g)

(bất đẳng thức Minkovski)

Nhận xét:
(a) Ta xét hàm t −→ tp (p ≥ 1) thác triển lên R+ bởi đặt ∞p = ∞ và hàm số
f p : x −→ f p (x) = (f (x))p
(b) Bất đẳng thức Young: với mọi α > 0 và β > 0 sao cho α + β = 1; a ≥ 0 và b ≥ 0
thì:
aα bβ ≤ αa + βb

(1)

Chứng minh: do x −→ − log x là hàm lồi nên − log(αa + βb) ≤ −α log a − β log b ⇒
(1).


6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np

74

Chứng minh định lý: (i) Suy từ tính chất của hàm t −→ tp và của tích phân trên.
(ii) Bất đẳng thức H¨
older suy từ:
∗

∗

∗
α

α β

f g dµ ≤
E

β

f dµ

g dµ

E

,

α > 0, β > 0, α + β = 1

(2)

E

1
1
Nó còn có một dạng khác bằng cách đặt α = , β = và thay thế f và g tương ứng bởi
p
q
f p và g q . Chứng minh bất đẳng thức (2): giả sử một trong hai tích phân ở vế phải bằng
∗

∗

f α g β dµ = 0

f dµ = 0 ⇒ f = 0 µ − hkn. Suy ra f α = 0 µ − hkn. Do đó

0, chẳng hạn

E

E

⇒ bất dẳng thức. Nếu cả hai tích phân ở vế phải khác 0. Đặt f1 =

f
∗

, g1 =

g
∗

f dµ
E

∗

.

g dµ
E

f1α g1β dµ ≤ 1. Nhưng

Để chứng minh (2), ta chỉ cần chứng minh rằng
E
∗

f1α g1β

≤ αf1 + βg1

∗

f1α g1β

⇒

dµ ≤ α

E

∗

f1 dµ + β
E

g1 dµ
E

có nghĩa là:
∗

∗

f1α g1β dµ ≤ α + β = 1

f1 dµ =

do

E

∗

E

g1 dµ = 1.
E

(iii) Nếu một trong các số Np (f ) hay Np (g) vô hạn thì Np (f + g) cũng thế ⇒ có dấu
bằng. Trường hợp Np (f + g) = 0 cũng thế, ta có đẳng thức. Bây giờ giả sử: Np (f ) < ∞
và Np (g) < +∞ thì Np (f + g) < ∞. Thực vậy t −→ tp là lồi nên với mọi a và b ≥ 0, ta
có:

a+b p
1
1
≤ 2p ap + bp = 2p−1 (ap + bp )
2
2
2

p
p−1
p
p
Suy ra (f + g) ≤ 2 (f + g ). Vì vậy Np (f + g) < ∞. Ta viết
(a + b)p = 2p

(f + g)p = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1
∗

∗

g(f + g)p−1 dµ. Một mặt:

f (f + g)p−1 dµ,

và xét các tích phân trên
E

E
∗

∗
p−1

f (f + g)

p

dµ ≤ Np (f )

E

(f + g) dµ
E

áp dụng bất đẳng thức H¨
older cho f và (f + g)p−1 với
∗

1 p−1
+
= 1. Mặt khác:
p
p

∗
p−1

g(f + g)
E

1− p1

p

dµ ≤ Np (g)

(f + g) dµ
E

1− p1


6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np

75

Cuối cùng
∗

∗
p

(f + g)p dµ

(f + g) dµ ≤ (Np (f ) + Np (g))
E

1− p1

E

⇒ bất dẳng thức Minkovski vì ta có thể giả thiết Np (f + g) hữu hạn và khác 0.
Ghi chú:
(*) Các Np ngay từ đầu chưa phải là các nửa chuẩn vì giá trị của chúng có thể bằng
+∞.
(**) Xuất phát từ bất đẳng thức H¨
older cho hai hàm có thể chứng minh bất đẳng thức
H¨

older tổng quát:
∗

∗

∗

α1

f1α1 · · · fnαn dµ ≤

f1 dµ

αn

···

fn dµ
E

E

E

( xem BT 6.2)

Định lý 6.2. (Tính lồi đếm được)
(i) Nếu {fn } là một dãy tăng các hàm trong M+ , ta có:
Np (sup fn ) = sup Np (fn )
n

n

(ii) Nếu {fn } là một dãy bất kỳ các hàm thuộc M+ thì
∞

∞

fn ) ≤

Np (
n=0

Np (fn )
n=0

Chứng minh. (i) Vì t −→ tp là một hàm liên tục nên lim fnp = ( lim fn )p , dãy {fn } tăng
n→∞

nên dãy

{fnp }

cũng tăng. Theo tính chất Beppo-Levy, ta có:
∗

∗

fnp dµ =

lim

n→∞
E
∗

Suy ra

n→∞

fnp

lim

n→∞

dµ

∗

lim fnp dµ =

E
1
p

n→∞

E

∗

(lim fn )p dµ

=

( lim fn )p dµ

n→∞

1
p

, tức là Np (sup fn ) = sup Np (fn ).
n

E

E

n
∞

(ii) Giả sử gn = f1 + f2 + · · · + fn , {gn } là dãy tăng và sup gn =
n=0

n

Np (sup gn ) = sup Np (gn ) nhưng Np (gn ) ≤
n

Np (fk ). Suy ra
k=0

∞

n=0

∞

n

fn ) ≤ sup(

Np (

Np (fk )) =
k=0

fn . Áp dụng (i),

Np (fn )
n=0


6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

6.1.2

76

Ví dụ

(*) E = R, B = BR , µ = λ.
∗

∞

(**) E = N, B = P(N), µ là độ đo đếm. Khi đó

f dµ =

apn

Np (f ) =

1
p

an , an ≥ 0 và

f (n) =
n=0

E

∞

∞

n=0

. Các bất đẳng thức H¨
older và Minkovski là các bất đẳng thức

n=0

đối với các chuỗi dương:
∞

∞

apn

an b n ≤
n=0

(an + bn )

1
p

p

n=0
∞

∞
1
apn ) p

≤(

1

bpn ) p

+(

n=0

n=0

1
p

bpn

n=0

∞

6.1.3

∞

1
p

n=0

Ghi chú

Ta có bất đẳng thức lý thú trong thực hành:
0≤f ≤g

(Np (f ))p + (Np (g − f ))p ≤ (Np (g))p

⇒

suy từ bất đẳng thức sơ cấp: ap + bp ≤ (a + b)p , a > 0, b > 0 và với mọi p ≥ 1, áp dụng
cho: g = f + g − f , f ≥ 0, g − f ≥ 0.
Trường hợp 0 < p < 1, ta nhận được kết quả sau: Bất đẳng thức H¨
older cho 0 < p < 1:
∗

∗

f p dµ

f g dµ ≥
E

với

∗

1
p

g q dµ

1
q

E

E

1 1
+ = 1. (ghi nhớ rằng lúc này q < 0).
p q
Bất đẳng thức Minkovski cho 0 < p < 1:
∗
p

f dµ
E

1
p

∗
p

+

g dµ
E

1
p

∗

(f + g)p dµ

≤

1
p

⇔

Np (f ) + Np (g) ≤ Np (f + g)

E

cho các hàm dương.
Bất đẳng thức quasi-normes (tựa chuẩn): Với 0 < p < 1 và với f, g bất kỳ, ta có:
1

Np (f + g) ≤ 2 p −1 (Np (f ) + Np (g))
Điều này cho phép coi các không gian Lp (0 < p < 1) như các không gian tựa - định
chuẩn.

6.2

Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

Cho (E, B, µ) là một không gian có độ đo và M = M(E, B; R, BR ) của các hàm định
nghĩa trên E nhận giá trị trong R, đo được. Nhớ lại rằng f ∈ M ⇒ |f | ∈ M+ .


6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

6.2.1

77

Mở đầu

Định nghĩa 6.1. Giả sử 1 ≤ p < ∞, thì Lp (E, B, µ) là một không gian vector con
của M định nghĩa bởi: f ∈ Lp (E, B, µ) khi và chỉ khi f ∈ M và |f |p khả tích, tức là
∗

|f |p dµ < ∞. (Khẳng định Lp (E, B, µ) là một không gian vector con của M suy từ
E

định lý 6.1).
Trong thực hành để đơn giản, ta viết Lp . Các phần tử của Lp gọi là các hàm lũy thừa
p − khả tích. Với mọi f ∈ Lp , ta còn viết:
p

|f | dµ

Np (f ) =

1
p

E

Trong trường hợp các hàm nhận giá trị trong C, ta có thể mở rộng định nghĩa:
f = f1 + if2 , f ∈ Lp

⇔

f1 và f2 ∈ M và |f |p khả tích

Trong ví dụ E = N, B = P(N), µ là độ đo đếm, người ta thường sử dụng ký hiệu lp ,
∞

|an |p < ∞.

đây là không gian các dãy {an }, an ∈ R sao cho:
n=1

Các hàm µ − khả tích tương ứng với p = 1. Trong các nghiên cứu ở sau, ta sẽ gặp lại
và tổng quát hóa các tính chất ở chương 5.
Hệ quả: Từ các nghiên cứu ở mục 6.1 suy ra Lp là một không gian vector trên R và
ánh xạ f ∈ Lp −→ Np (f ) ∈ R+ là một nửa chuẩn trên Lp . Không gian topo mà ta xét
trong phần tiếp theo luôn là Lp được trang nửa chuẩn trên Np . Ta sẽ vẫn ký hiệu là Lp .
Không gian này không phải là không gian topo tách. Sự hội tụ của một dãy hay một lọc
trong Lp gọi là hội tụ theo trung bình cấp p.
Ghi chú:
(*) Ta hạn chế xét ở đây trường hợp 1 ≤ p ≤ ∞. Trường hợp p = ∞ sẽ xét sau. Có
những sự khác biệt đáng chú ý (chủ yếu theo quan điểm đối ngẫu) giữa các không
gian Lp và L∞ , mà ta xây dựng từ các nửa chuẩn Np và N∞ .
(**) Trường hợp 0 < p < 1 cho ra đời các không gian Lp là các ví dụ về các không gian

tựa chuẩn. Đây là các không gian vector topo. Nhưng đối ngẫu của một không gian
như thế chỉ bao gồm một phần tử O. Điều đó đã làm giảm lợi ích của việc nghiên
cứu chúng trong giải tích hàm. Điều này dẫn đến các Lp với 0 < p < 1 không phải
các không gian topo lồi địa phương (điều đó rõ ràng không dẫn đến sự không tồn
tại của các tập lồi trong các không gian này!).

6.2.2

Tính chất

Giả sử f ∈ M và g ∈ M thì:
(i) f ∈ Lp , g(x) = f (x) µ − hkn, suy ra g ∈ Lp và Np (g) = Np (f ).


6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

78

(ii) f ∈ Lp suy ra |f | ∈ Lp và Np (f ) = Np (|f |).
(iii) f ∈ Lp , suy ra f + và f − ∈ Lp .
(iv) f, g ∈ Lp , suy ra inf(f, g) và sup(f, g) ∈ Lp .
Các khẳng định này được cm ngay từ định nghĩa. (iii) Có f + = 21 (f +|f |), f − = 12 (f −|f |).
(iv) Có sup(f, g) = f + (g − f )+ , inf(f, g) = − sup(−f, −g). Ta suy ra Lp là một dàn.

6.2.3

Định lý Riesz-Fischer

Định lý 6.3. (Riesz-Fischer) Không gian Lp là đầy đủ.
Kết quả này là một hệ quả trực tiếp của định lý 6.4 sau đây:

Định lý 6.4. Giả sử {fn } là một dãy Cauchy trong Lp , khi đó tồn tại một dãy con {fnk }
sao cho:
(i) Chuỗi với các số hạng tổng quát Np (fnk+1 − fnk ) hội tụ.
(ii) Chuỗi với các số hạng tổng quát fnk+1 (x) − fnk (x) hội tụ tuyệt đối µ − hkn.
(iii) Đặt f (x) = lim fnk (x) µ − hkn thì f ∈ Lp và {fn } hội tụ về f trong Lp .
k→∞

Chứng minh. (i) Tồn tại một dãy con {fnk } sao cho:
Np (fnk+1 − fnk ) ≤

1
2k

∀k ∈ N.

∞

|fnk+1 − fnk |, fn ∈ M, suy ra g ∈ M+ . Theo tính chất lồi đếm được:

(ii) Đặt g =
k=0

∞

Np (g) ≤

∞

Np (|fnk+1 − fnk |) ≤
k=0

k=0

1
<∞
2k

⇒ Np (g) hữu hạn ⇒ g(x) hữu hạn µ − hkn. Suy ra sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
∞

(fnk+1 (x) − fnk (x)) µ − hkn.
k=0

(iii) Giả sử f là hàm: lim fnk (x) = f (x) µ − hkn. Khi đó:
k→∞
∞

(fnk+1 (x) − fnk (x)) + fn0 (x)

f (x) =

µ − hkn.

k=0

Suy ra |f (x)| ≤ g(x) + |fn0 (x)| µ − hkn. Do đó Np (f ) ≤ Np (g) + Np (fn0 ) < ∞, tức là
f ∈ Lp . Chứng minh rằng {fn } hội tụ về f trong Lp :
Np (f − fnk ) = Np (f −

(fnk − fnk −1 ) − fn0 )

k ≤k


6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

79

Suy ra
Np (f − fnk ) ≤

Np (fnk − fnk −1 )

(tính lồi đếm được).

k >k

Suy ra
1
2k
Suy ra Np (f − fnk ) → 0 khi k → ∞. Vì {fn } là dãy Cauchy nên suy ra Np (f − fn ) → 0
khi n → ∞.
Np (f − fnk ) ≤

Hệ quả: Nếu {fn } là một dãy Cauchy trong không gian Lp sao cho dãy số {fn (x)}
hội tụ µ − hkn về f (x). Khi đó f ∈ Lp và dãy {fn } hội tụ về f trong Lp .
Thật vậy tồn tại {fnk } sao cho lim fnk (x) = g(x) µ − hkn. Như vậy g(x) = f (x)
k→∞

µ − hkn. Suy ra f ∈ Lp và {fn } hội tụ về f trong Lp .
Ghi chú: 1). Nói chung ta không hy vọng một kết quả tốt hơn so với sự hội tụ µ − hkn

của một dãy con của {fn }. (Xem ghi chú 2 cho một trường hợp riêng lý thú). Nói cách
khác, sự hội tụ của {fn } trong Lp không suy ra sự hội tụ của {fn } µ − hkn. Ví dụ sau
(k)

(k)

chứng tỏ điều đó: E = [0, 1], B = B[0,1] , λ là độ đo Lebesgue. Xét k hàm số sau: ϕ1 , ...ϕk
định nghĩa bởi:

(k)

ϕj (x) =




1



nếu x ∈




0

nếu x ∈
/

j−1 j
,
k k

(k)

nói cách khác ϕj (x) = 1 j − 1 j
,
k k

j−1 j
,
k k
(1)

(2)

(2)

(3)

(k)

Ta xây dựng dãy {fn } như sau: f1 = ϕ1 , f2 = ϕ2 , f3 = ϕ1 , f4 = ϕ1 , ..., fn = ϕj
k(k − 1)
(k)
với ϕj sao cho: n =
+ j, 1 ≤ j ≤ k. Như vậy fn = 1 j − 1 j .
2
,

k k
Giả sử f = 0. Khi đó:
fnp

Np (fn − f ) =

dλ

1
p

1
≤
k

1
p

[0,1]

k(k − 1)
. Như vậy fn → 0 trong Lp . Tuy nhiên fn không hội tụ về 0 λ − hkn trên
2
[0, 1] vì với mỗi x ∈ [0, 1] tồn tại một dãy con {fnm } sao cho fnm → 1(m → ∞), và một

với n ≥

dãy con {fnm } sao cho fnm → 0(m → ∞). Ngược lại, ta có thể trích ra một dãy con hội
tụ đến 0.
2). Liên quan đến chuỗi Fourier, ta biết kết quả sau: Xét các hàm liên tục tuần hoàn

chu kỳ 2π trên R lập nên một không gian con của L2 = L2 ([0, 2π], B[0,2π] , λ). Chuỗi Fourier
của một hàm f của L2 hội tụ về f trong L2 . Theo định lý 6.4 trên đây, ta có thể khẳng
định sự hội tụ đơn giản λ − hkn của một dãy con của dãy các tổng riêng {Sn }. Nhưng kết
quả này chưa đủ vì L. Carleson đã chứng minh năm 1968 một giả thiết của Lusin: Chuỗi
Fourier của một hàm f ∈ L2 hội tụ λ − hkn về f .


6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

6.2.4

80

Các định lý hội tụ

Định lý 6.5. Định lý Beppo-Levi (hội tụ đơn điệu) Cho {fn } là một dãy tăng các
hàm dương fn ∈ Lp , sao cho sup Np (fn ) < ∞. Khi đó
(i) sup fn (x) < ∞ µ − hkn.
n
n→∞

(ii) Giả sử f (x) = lim fn (x) µ − hkn thì f ∈ Lp , Np (f ) = lim Np (fn ) và fn −−−→ f
n→∞

trong Lp .

n→∞

Chứng minh. (i) Đặt f = lim fn (= sup fn ) µ − hkn, f ∈ M+ . f = sup fn ⇒ Np (f ) =
n→∞

n

sup Np (fn ) theo (i) của định lý 6.2. Suy ra Np (f ) < ∞, từ đó sup fn (x) < ∞ µ − hkn.
n

n

(ii) Np (f ) = sup Np (fn ) ⇒ (Np (f ))p = sup[Np (fn )]p = lim [Np (fn )]p < ∞. Dãy {[Np (fn )]p }
n

n→∞

n
p

hội tụ trong R+ về (Np (f )) theo bất đẳng thức trong mục 6.1.4 phần ghi chú:
[Np (fm − fn )]p ≤ [Np (fm )]p − [Np (fn )]p
Khi đó {fn } là một dãy Cauchy trong Lp rồi ta sử dụng hệ quả của định lý 6.4.
Hệ quả: Giả sử {fn } là một dãy giảm các hàm dương thuộc Lp , fn ∈ Lp . Khi đó f =
inf fn ∈ Lp và dãy {fn } hội tụ về f trong Lp , và ta có Np (f ) = lim Np (fn ) = inf Np (fn ).
n

n→∞

n

Chứng minh. Ta xét dãy {gn }, gn = f1 − fn , gn ≥ 0, {gn } là dãy tăng và sup Np (gn ) < ∞
n

do Np (gn ) = Np (f1 − fn ) ≤ Np (f1 ). Nhưng
sup gn = − inf(fn − f1 ) = f1 − inf fn = f1 − f
n

nên f1 − f ∈ Lp và f ∈ Lp . Do {f1 − fn } → f1 − f trong Lp , {fn } → f cũng trong Lp .
Hơn nữa, do ánh xạ chuẩn là liên tục. Ta có:
Np (f ) = lim Np (fn ) = inf Np (fn )
n→∞

n

Ghi chú: Tính chất này không đúng cho một dãy bất kỳ. (Xem phần ghi chú 1-mục
6.1.3)
Định lý 6.6. Định lý Lebesgue (hội tụ bị trị) Giả sử {fn } là một dãy hàm trong Lp
và f ∈ M sao cho:
(i) lim fn (x) = f (x) µ − hkn.
n→∞

(ii) Tồn tại g ∈ Lp sao cho |fn (x)| ≤ g(x) µ − hkn, với mọi n ∈ N.
Khi đó f ∈ Lp và dãy {fn } hội tụ về f trong Lp .


6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

81

Chứng minh. (i) và (ii) suy ra |f (x)| ≤ g(x) ⇒ f ∈ Lp . Đặt gn = f − fn ⇒ |gn (x)|p ≤
2p (g(x))p do |gn | ≤ |f | + |fn | ≤ 2|g|. Ta áp dụng định lý hội tụ bị trị với p = 1 cho hàm
gnp vì 2p gnp ∈ L1 suy ra:
lim |gn |p dµ = 0

|gn |p dµ =

lim

n→∞

n→∞
E

E

Nói cách khác: lim Np (f − fn ) = 0.
n→∞

Hệ quả: Suy rộng định lý trên lên một tập hợp có lọc. (Xem sách)

6.3
6.3.1

Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)
Định nghĩa

Xuất phát từ một không gian nửa định chuẩn, ta có thể xây dựng một không gian
định chuẩn bằng cách lấy thương qua quan hệ tương đương:
R : f R g ⇔ ||f − g|| = 0
||.|| ở đây ký hiệu nửa chuẩn. Quan hệ R có nghĩa là Np (f − g) = 0. Nó tương đương với
f (x) = g(x) µ − hkn. Đặt Nµ là không gian con của M gồm các hàm µ − không. Khi đó:
f (x) = g(x) µ − hkn ⇔ f − g ∈ Nµ ⇔ Np (f − g) = 0
Khi đó, ta định nghĩa không gian Lp (E, B, µ) := Lp (E, B, µ) Nµ . Không gian này

định chuẩn vì bằng cách đặt:
||f ||p = Np (f ),

f ∈f

ta có một chuẩn trên Lp (E, B, µ). Lp (E, B, µ) ký hiệu là Lp , đây là tập hợp các lớp tương
đương mà ta ký hiệu là f . (Không có dấu ∼ nếu không có khả năng gây nên sự hiểu lầm).
Như vậy, các Lp là các không gian con của M Nµ xác định bởi:
f ∈ Lp ⇔ ||f ||p < ∞

(||f ||p = Np (f ), f ∈ f ).

Rõ ràng ta tự hạn chế chỉ sử dụng các hàm xác định µ − hkn và nghiên cứu các lớp
tương đương tương ứng.

6.3.2

Các tính chất trực tiếp

Lp là một không gian Banach: Lp là một không gian vector định chuẩn theo định
nghĩa. Nó đầy đủ theo định lý Riesz-Fisher.
Lp là không gian Riesz: Tức là một không gian vector sắp thứ tự, có dàn. (Không
gian vector sắp thứ tự: f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x) µ − hkn và ta kiểm tra được rằng quan hệ
này tương thích với cấu trúc không gian vector).
Cấu truc dàn: f và g ∈ Lp ⇒ sup(f , g) ∈ Lp và inf(f , g) ∈ Lp . Điều này suy từ:
sup(f, g) ∈ Lp , inf(f, g) ∈ Lp và sup(f , g) = sup(f, g), inf(f , g) = inf(f, g). Đẳng thức
chứng minh bằng cách cổ điển dùng định nghĩa. Ta suy ra |f | = |f |, f + = |f |+ , f − = |f |− .


6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

82

Định lý 6.7. Lp là một không gian có dàn đầy đủ.
Nhắc lại: a) Không gian vector có thứ tự E có dàn đầy đủ khi và chỉ khi mọi tập
con không rỗng bị làm già của E có một cận trên trong E.
b) Để một không gian vector có thứ tự E là có dàn đầy đủ, cần và đủ là:
(i) E là một không gian Riesz.
(ii) Mọi tập con A của E không rỗng, gồm các phần tử dương, bị làm già và là một lọc
theo quan hệ ≤ có một cận trên trong E.
Ghi chú: (ii) có thể thay bằng điều kiện (ii) : A bị làm non, là một lọc đối với quan
hệ ≥ có một cận dưới trong E. Ta suy ra rằng mọi tập con bị làm non, không rỗng của E
có một cận dưới trong E. Để chứng minh định lý, ta sẽ chứng minh bón tính chất chuẩn
bị:
Tính chất 1. Topo định nghĩa trên Lp bởi chuẩn ||.||p là tương thích với cấu trúc không
gian vector có thứ tự Lp . Ta chỉ cần chứng minh tiên đề về tương thích, tức là: Tập
hợp các phần tử u dương trong E là đóng. Tính chất này suy từ tính chất 2 sau
đây.
Tính chất 2. Trong không gian Riesz Lp , ánh xạ u −→ |u| là liên tục đều. Thật vậy:
||u| − |v|| ≤ |u − v| ⇒ Np (|u| − |v|) ≤ Np (u − v)
Từ đây suy ra tính chất 1 vì tập hợp các u ≥ 0 trùng với tập hợp {u : u = |u|}. Các
ánh xạ u −→ |u| và u −→ u là liên tục (và Lp là tách). Ta có thể áp dụng các kết
quả đã biết.
Tính chất 3. Giả sử E là một tập hợp con của Lp gồm các phần tử dương và là một
lọc với quan hệ ≤, nếu cái lọc của các lát cắt của E có một giới hạn trong Lp thì
giới hạn này là cận trên của E. (Chứng minh xem sách).
Tính chất 4. Giả sử E là một tập con của Lp gồm các phần tử dương lọc bởi quan hệ
≤, để cho E có một cận trên trong Lp cần và đủ là sup ||u||p < ∞.
u∈E

6.3.3

Quan hệ giữa hội tụ theo trung bình với hội tụ đều và hội
tụ µ − hkn

a) µ là bất kỳ: {fn } hội tụ trong Lp ⇒ tồn tại dãy con {fnk } hội tụ µ − hkn. Ngược
lại, theo định lý của Lebesgue (Hội tụ bị trị (bị làm già)) {fn } hội tụ µ − hkn và |fn | ≤ g,
g ∈ Lp , thì {fn } hội tụ trong Lp .
b) Nếu µ là bị chặn thì hội tụ đều suy ra hội tụ trong Lp . Thực vậy:
p

||f ||p =

|f | dµ

1
p

1

≤ (sup |f (x)|)(µ(E)) p
x∈E

E

(*)


6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞)

83

áp dụng (∗) với fn − f ⇒ điều phải chứng minh.
Ta tóm tắt kết quả trên bởi sơ đồ sau: Hội tụ đều −→ hội tụ µ − hkn. Hội tụ µ − hkn
hội tụ bị trị

−−−−−−−→ hội tụ trong Lp . Hội tụ trong Lp − → hội tụ µ − hkn. (Mũi tên ngắt quãng
µ − bị chặn

ký hiệu tính chất chỉ đúng với một dãy con). Hội tụ đều −−−−−−→ hội tụ trong Lp .
Như vậy hội tụ trong Lp không suy ra hội tụ đều vì ta không có ngay cả hội tụ µ−hkn,
dẫn đến vấn đề: Tìm các điều kiện đủ để định lý đảo này đúng. Tuy nhiên sự hội tụ đều
không tương hợp với vấn đề của ta vì thực ra mà nói chúng ta làm việc với độ sai khác
một tập có độ đo không. Ta sẽ đưa ra khái niệm hội tụ µ − hầu đều muộn hơn và sẽ trở
lại vấn đề đã nêu lên.

6.3.4

Trường hợp L2

Định lý 6.8. L2 (E, B, µ) với tích vô hướng (u, v) −→ (u, v) =

uv dµ là một không gian
E

Hilbert trên R.
f g dµ, f ∈ u, g ∈ v. Kết quả này không phụ thuộc vào đại

uv dµ định nghĩa bởi
E

E

diện được lựa chọn. Giả sử f ∈ L2 , g ∈ L2 , khi đó f g ∈ L2 (Holder) nên

f g dµ tồn tại
E

⇒

uv dµ có nghĩa. Kiểm tra được rằng với tích vô hướng trên, chuẩn sinh từ nó trùng
E

với ||.||2 vì ||f ||2 =

f · f dµ

1
2

. Hơn nữa L2 là đầy đủ.

E

Mẫu cụ thể về các không gian Hilbert: Định lý 6.9 dưới đây là một định lý đảo của
định lý 6.8 và cung cấp theo một cách nào đó một đại diện cụ thể (với sự trợ giúp của bộ
ba (E, B, µ)) của tất cả các không gian Hilbert.
Số chiều của không gian Hilbert: Số chiều Hilbertien của một không gian Hilbert H
(ký hiệu là dimh H) là lực lượng chung của mọi cơ sở Hilbert của H (nghĩa là cơ sở topo
của H). (Một họ {ej }j∈J gọi là cơ sở topo của một không gian X nếu [{ej }j∈J ] = X. Ký

hiệu [{ej }j∈J ] là không gian vector sinh bởi họ {ej }j∈J ). Ví dụ trong L2 ((0, 2π), λ), họ
{1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx, ...} là một cơ sở Hilbert và ta có dimh L2 (0, 2π) = N0 (lực
lượng của N). (Ta đã biết không gian này là khả ly).
Định lý 6.9. Mọi không gian Hilbert là isometric với một không gian L2 (E, P(E), µd ),
trong đó E là một tập mà cardE = dimh H còn µd là độ đo đếm trên P(E).
Mọi không gian Hilbert có số chiều hữu hạn là isometric với Rn hoặc Cn và mọi không
gian Hilbert có số chiều vô hạn khả ly là "đẳng cự" (isometric) với l2 .
Đối ngẫu: Trong trường hợp không gian Hilbert, ta chứng minh trực tiếp định lý Riesz
về đối ngẫu. (Xem ...). Ta suy ra định lý đáng nhớ sau:
Định lý 6.10. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L2 (E, B, µ) có dạng:
L : f −→ L(f ) =

f g dµ
E