Tổng hợp bất đẳng thức

24H H C TOÁN - CHI N TH NG 3 CÂU PHÂN LO I
Giáo viên: oàn Trí D ng Hà H u H i
BÀI 21: T ng h p B t ng th c ph n 2

Bài 1: Cho a , b , c là các s th c d
3
P
2a b
8bc

ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
8
1
2
a b c
2b 2 2 a c
3

thi th THPT

ào Duy T 2015

PHÂN TÍCH
Bài toán b t i x ng d ng phân th c, bi u th c cu i là m t i l ng i
x ng không ch a c n và h s âm nên v i nh h ng ã
c nh c n
trong các bài toán phân th c tr c: N u bài toán ch a phân th c ng
nh t v s l ng và h s thì ta nh h ng ánh giá sao cho m u s
ng
nh t .
Ta th y: 2 a b

8bc

2a b 2 2bc

2

2

2 a b b 2c

Và :

2b 2

2 a c

Ta

a

c bài toán v bi n a b c , i m r i là

a b c

2 a b c

a b c
b 2c
b a c

a c

b
2

Do i u ki n c a bi n a b c 0 nên ta mong mu n hàm s thu
c c ti u trên 0,
.
BÀI GI I
Áp d ng AM-GM:
2 2bc

b 2c

8bc

ng th c: 2 a 2

Áp d ng b t
2b 2

2a b

2 a c

2

b2

a b c

2

8
2b 2

3
2 a b c

tt

a b c

2a b

a b

8bc

3
2 a b c

2

a b c
8

2 a c

P

3

2 a b c

2

a b c 3

3

8
a b c 3
t

0

P

f t

1
a b c
1
2t

1
2 a b c
8

t 3

8
a b c 3

c có


PHÂN TÍCH HÀM S
S d ng công c TABLE c a máy tính
X
CASIO v i:
1
8
F X
2X X 3
START = 0.5
END = 5
STEP = 0.5
D a vào b ng giá tr trên ta th y hàm
s
t c c ti u và giá tr nh nh t t i
X 1.
Giá tr nh nh t c a f t là f 1

nh h

Xét hàm s : f t
f' t

1
2t 2

0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

b 2c
b a c
a b c 1

khi t 1 khi ó giá tr a , b , c c n tìm là
mãn nên ta

F(X)

ng ch ng minh hàm s
1
8
v it 0
2t t 3
8
f' t 0 t 1

2
t 3

1.285
1.5
1.444
1.35
1.254
1.166
1.087
1.017
0.955
0.9

a c

t c c ti u t i t 1 .

BBT:
t
f (t)

0

1
0
3
2
3
2

f(t)
D a vào b ng bi n thiên

f t

b 2c
ng th c x y ra khi b a c
a b c 1

f 1

a c

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là

1
,b
4

1
,b
4

3
2

P

1

.
2

3
khi a c
2

1
,b
4

1
.
2

1
th a
2


1
,1 ; y , z
4

Bài 2: Cho các s th c x
nh t c a bi u th c:

P

th a mãn xyz 1 . Tìm giá tr nh

1,

1

1

1

1 x

1 y

1 z

thi th Nghi S n

Thanh Hóa 2015

PHÂN TÍCH
i x ng d ng phân th c và i u ki n y , z 1 làm ta ngh

Bài toán

ng th c quen thu c:

1

1

1 a

1 b

nb t

2

v i ab 1
1
ab
Ta s d ng b t ng th c trên và i u ki n
a bài toán v bi n x.
BÀI GI I
1
1
2
v i ab 1
Ta có b t ng th c :
1 a 1 b 1
ab
Th t v y:

1

1

1 a

1 b

Áp d ng b t
P

1

Xét hàm s : f t

Hàm s

1

2

1 x

f' t

2
ab

ng th c:

1

1

1 y

1 z

2 x

1 x

yz
1
1 t

1

1 t

2

1
,1
2

ng bi n trên

yz 1 y

ng th c x y ra khi x

2

1 t2
f t

2

úng khi ab 1

0

ab

Do yz 1

yz
1
x

Do yz

2 t 1

2
2

x

1

2

b

2

2t
v it
1 t

2

a

1 a 1 b 1

1

1

2t
1 t2

ab 1

1
,1
2

x

t

t2

t 1

1 t

f

1
2

x

1
,y
4

0

2

22
15

1
,1
2

t

P

22
15

z

1
4

xyz 1

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là

22
khi x
15

z

2

1
,y
4

z

2.


Bài 3: Cho a , b , c là các s th c ôi m t phân bi t và th a mãn a b c 1 và

ab bc ca 0 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
2

2

P

2

a b

2

2

b c

1

5

c a

ab bc ca

thi th THPT

a Phúc 2015

PHÂN TÍCH

Ta th y i u ki n là bi n th c và ôi m t phân bi t nên i n r i s x y ra
khi các bi n khác nhau.
T bi u th c u c a P ta th y trong c n có d ng i x ng theo a b và
b c nên ta m nh d ng ánh giá và d
2

2
2

a b

b c

2

ng th c x y ra khi a b

1
3

P

Kh o sát hàm s

f t

15
t

bi n thiên ta

c f t

gi s

a b c

6
2

3a 1

Áp d ng b t
2
a b
P

a

2

a

a c
1

1

1
a

3

1
a
3

2
2a
3

c

1

1

a b

b c

a c 2b

1

ng th c : 2 x 2

b c

b c

a c 2b

6
2

6

2

a b

10 6 .
2

2
9

6
BÀI GI I

x y

2

2

1

1

a b

b c

x, y

1

1

a b

b c

1

1

1

5

a b

b c

c a

ab bc ca

Không m t tính t ng quát gi s : a b c

1
3

a c

2
3

2
a a2
3

o hàm và l p b ng

i m r i c a bài toán khi t

6

y2

b
5

v i t 3a 1 0 .

3 t2

2

2

1

15

6

2

1

b c

f

oán:

6
2


P

1
a b

1
b c

1
a c

5

ab bc ca
NH H
NG T DUY
T d oán ban u v i m r i ta th y i m r i khi a b b c , khi ó ta
t n ph
a bài toán v hai bi n x a b , y b c thì i m r i c a bài

toán s là x
Ta có: a c

y r t quen thu c và d dàng ánh giá.

a b b c

2 a b c

Và: ab bc ca

Ta có: ab bc ca
1
x

Áp d ng b t

tt

10
x y

x y

2

a b

1
y

x, y

b c

2

c a

2

1 x2

y2

2

2

b c

2

c a

6

2

1 x2 y2 xy
3

15

x y

3 3 x

2

xy y 2

1
x

1
y

x y

y2

xy

x y

ng th c:

15
9
x y
4

0 t

2

3

a b

1

3

x y

0

2 a b c

Áp d ng AM-GM: x2
P

2

6

t x a b, y b c

P

x y

2 3
3

4

10
x y

2

P

f t

2

xy

x y

2

1
x y
4

3
x y
4

2

30
12 9 x y
10
t

2

30

12 9t 2
PHÂN TÍCH HÀM S
S d ng công c TABLE c a máy tính

X
CASIO v i:
0.5
10
30
0.6
F X
2
X
0.7
12 9 X
0.8
START = 0.5
0.9
END = 1.2
1
STEP = 0.1
1.1
D a vào b ng giá tr trên ta th y hàm
1.2
s có c c ti u và
t giá tr nh nh t

trong kho ng 0.7,0.9

2

F(X)
29.607
26.802

25.175
24.509
24.934
27.32
37.565
ERROR


Giá tr trên th a mãn v i i m r i ã d
s ch ng minh hàm s có c c ti u và
Xét hàm s : f t
10

f' t

t

10
t

30
12 9t

270t

2

12 9t 2

2

x y

6
.
3

2 3
3

27 t 3

0

6
nên ta
3

a c

t giá tr nh nh t t i t

v i0 t

f' t

3

oán là t

12 9t 2

3

t

6
3

BBT:
6
3
0

0

t
f (t)
f(t)

10 6

D a vào b ng bi n thiên

f t

f

ng th c x y ra khi

2

6
6

,b

a c

6
3

x y

1
,c
3

6
3

10 6

6

P

a b b c

x y

ho c a

2 3
3

2

6
6

6
3

a

2

6
6

,b

1
,c
3

2

,b

1
,c
3

2

6
6

a b c 1

.

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 10 6 khi a

2

6
6

6
6

.

1
,1 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
2

Bài 4: Cho các s th c a , b , c
P

a b b c c a
abc

thi th THPT

ng L c 2015

PHÂN TÍCH
Do i u ki n các bi n n m trong kho ng ch n và P hoán v nên ta d
1 2c c 1
1
i m r i khi có 2 bi n n m biên, cho a 1, b
P
2
2c

oán


1 2c c 1

Kh o sát hàm s

f c

bi n thiên ta

c f c

1
,c
2

2c
1

f

1
,1 .
2

v i c

o hàm và l p b ng

3 2 2
, nên i m r i c a bài toán là
2

2

1

và các hoán v vòng quanh.
2
th l i v i các TH sau:

a 1, b

CASIO

m b o ta s

1 b b X X 1

1
, dùng TABLE v i F X
2

TH1: Cho a 1 ch n b

bX
1
1
b b X X
2
2
1
bX
2

1
ch n b 1 , dùng TABLE v i F X
2

TH2: Cho a

d ng

3 2 2
nên d oán ban u c a ta úng.
2
c phép gi s a max a, b, c và xét 2 tr ng

Ta th y trong c 2 TH thì F X
Do P là hoán v nên ta

h p: a b c và a c b .
Do bài toán hoán v và không có i u ki n nên không s
mi n giá tr
nên ta s

c, v i i m r i ã d

a
c
,y
c
b

i bi n v x

Không m t t ng quát gi s
TH: a b c

P 0

TH: a c b

P

P

1
,1
2

tt

xy

t

b
a

1

1 x 1 y 1

Do a , b , c

d ng ánh giá
a c
2
oán ta nh n th y r ng

c b

1, 2

i x ng.

BÀI GI I
a max a , b , c
c
b

1

1
xy

xy

a bài toán v d ng

1

a
.
c

xy 1 x y 1

ac
cb

a
b

P

a
,y
c

t x

1
xy

t 1

2

1

x, y 2

xy 2 xy 1 1

1 xy 2

f t

c

b

1
t2

1
xy


Xét hàm s
f' t

Hàm s

2t 2

2

t 1

f t
2

2

2

3

t

t

1

1
t

t2

2

2 t 1

2

t2
t

ng bi n trên 1, 2

x y

ng th c x y ra khi

xy 2

2
t

2t

1
t2

t 1

0

3

f t

x y

v it

f

2

2

a
c

t

1, 2
1, 2

3 2 2
2

c
b

2

P

3 2 2
2

a 1, b

1
,c
2

1
2

và các hoán v vòng quanh.
K t lu n: V y giá tr l n nh t c a P là
Bài 5: Cho a , b , c là các s th c d
nh t c a bi u th c:

P

3 2 2
khi a 1, b
2

ng th a mãn a 2

8 a b c

5

1
a

1
b

b2

c2

1
,c
2

1
2

.

3 . Tìm giá tr nh

1
c

thi th THPT Chuyên V nh Phúc 2015
PHÂN TÍCH
D dàng oán
c i m r i là a b c 1 .
Ta th y P quá s c n gi n và quen thu c, s d ng Cauchy-Schwarz:
1 1 1
9
45
. Ta
a bài toán v
c
P 8 a b c
a b c
a b c a b c
bi n a b c , t i u ki n
a b c 3
S d ng công c TABLE c a máy tính
X
F(X)
CASIO v i:
0.5
94
45
1
53
F X 8X

X
1.5
42
START = 0.5
2
38.5
END = 3
2.5
38
STEP = 0.5
3
39
T giá tr c a b ng trên ta th y hàm s
t c c ti u và giá tr nh nh t trong
kho ng 2,3 ch không ph i t i X 3 . Không th a mãn d
oán v i m
r i. V y ánh giá
a v hàm s theo bi n
Ta th y P i x ng theo 3 bi n nh ng l i r i r
1 1 1
5
P 8 a b c 5
8a
8b
a b c
a
Ta ngh ngay

n ph

a b c là không úng.
c:
5
5
8c
b
c

ng pháp ti p tuy n và c n ph i ánh giá:


5
f a 2 (*)
a
f b2
Ta c n ánh giá trên vì khi ó P f a 2
8a

f c2

g a2

b2

c2

Nh ng v i ph

ng pháp ti p tuy n thì VP (*) là m t ph ng trình
ng

5
th ng ngh a là 8a
ma n . Ta s s lí nh sau:
a
8x 5
Xét hàm s f x
v i x a 2 khi ó dùng ph ng pháp ti p tuy n
x
ta có:

8x 5
x

3
x
2

8a2 5
a

23
2

a 1

2

23
.V n
2

BÀI GI I
5 3 2
8a
a
a 2
5 3 2
8b
b
b 2
5 3 2
8c
c
c 2

Ta có các ánh giá sau:

Th t v y (1)

3 2
a
2

3a 10

0

úng

a

c gi i quy t.

23
(1)
2
23
(2)
2
23
(3)
2
0, 3

ng th c x y ra khi a 1
T ng t cho (2) và (3)
3 2 23 3 2 23 3 2 23 3 2
P
a
b
b
a b2
2
2 2
2 2
2 2
ng th c x y ra khi (1),(2),(3) ng th i x y ra
Bài 6: Cho x , y , z là các s th c d

ng th a mãn x

69
39
2
a b c 1

c2

y và x z y z

1 . Tìm

giá tr nh nh t c a bi u th c:
1

P

x y

4
2

4

x z

2

y z

2

thi th THPT H ng Quang 2015
PHÂN TÍCH
i x ng theo 2 bi n x , y nh ng x

i u ki n và P
giá b ng b t

ng th c

1
x z

1
2

y z

Mà x z y z

c. Ta s d ng phép bi n
x

2

1

2

y

2

2z

x z

2

2

2 xz 2 yz
y z

xy xz yz z 2

2

1

z2

x2

y nên ta không ánh

it
y2

ng
2z2

xz yz 1 xy

ng:
2 xz 2 yz


1

1

x z
P

2

y z

1
x y

x2

2

4 x y

2

Và:
P

1
x z

1
x y

Xét hàm s

f t

x y

2

2z2

x z
2

2

a P v hàm s theo bi n x y

y2

2

4 x y

2

8 ta

x2

y z

2 xy 2

BÀI GI I
xy xz yz z 2 1

1
2

2

1

Ta có: x z y z

y2

8.

2

tt

1
4t 8 v i t
t

z2

2 xz 2 yz
y z

x y

2

2

x y

1
t

BBT:

2

P

4 8

2

2

f t

1
4t 8
t

f' t

0

t

1
2

1
2
0

0

t

0

t

f' t

0

xz yz 1 xy

f (t)
f(t)

12
D a vào b ng bi n thiên

ng th c x y ra khi

f t

x y

f

1
2

1

P

1

a b c

2

2 a

2

b

2

2
2

y z

1

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 12 khi x
Bài 7: Cho a , b , c là các s

1

x y

2

x z y z

12

th c không

2

y, z

2 y, y

0, 2

ng th i b ng 0 th a mãn

2

c . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c:
P

a3 b3 c 3
a b c ab bc ca

thi th THPT Nghèn 2015
PHÂN TÍCH
D a vào i u ki n và bài toán i x ng 3 bi n a , b , c và c n tìm c giá tr


l n nh t và giá tr nh nh t nên có 2 i m r i:
Ta s cho c 0

2

a b

2 a2

b2

a b thay vào

P

2a3
2a3

1

Ta không th có a b c vì i u ki n
a b c 0 vô lí.
T d
oán trên ta ch có
c m t i m r i và ch a bi t ó là giá tr l n
h t hay nh nh t. Ta s d ng CASIO
mb ol id
oán trên và tìm
i m r i còn l i nh sau:
Do b t ng th c và i u ki n thu n nh t nên ta chu n hóa a b c 1
1
2 a2 b2 c 2 1 ab bc ca

P 4 a 3 b3 c 3
4
Bài toán t ng i gi ng
kh i B 2012, do i u ki n bài toán th c và i
x ng 3 bi n nên i m r i khi có ít nh t 2 bi n b ng nhau, gi s

a b

2a c 1 , 4 a 2

Thay c 1 2 a

4a

2

2c 2

1 và P

2 1 2a

2

4 2a3
a

1
a

V i a b

1
,c 0
2
1
2
,c
6
3

P 1 th a mãn d

c3
1
2
1
6

c 0
2
3

c

oán ban

u.

11

c i m r i khi P t
2 nên ta có th th y
9
c
giá tr nh nh t là a b
0 , và khi P t giá tr l n nh t là a b , c 0
4
Do bài toán và i u ki n ng c p nên ta s gi m bi n b ng cách chia qua,
bài toán i x ng nên vai trò các bi n là nh nhau ta có th gi s c 0 và
a
b
a bài toán v 2 bi n x
.
,y
c
c
BÀI GI I
Không m t t ng quát gi s c 0
2
2
a
b
,y
a b c
2 a 2 b2 c 2
x y 1
2 x2 y 2 1
t x
c
c

V i a b

x2

y2

P

1 2 xy 2 x 2 y

Áp d ng AM-GM: x y
Và P

2

x3 y 3 1
x y 1 xy x y

2

x y
2 x y

x y

2 x y
1 4 xy

3

1 4 xy
x y

3 xy x y

x y 1 xy x y

1

2

x y

1
2


P

tt

x y

3

2

6 x y

x y 1

x y

x y

1
2

t

2

3 x y

4

2 x y

1

P

f t

t3

6t 2
t 1

3t 4
3

PHÂN TÍCH HÀM S
S d ng công c TABLE c a máy tính
X
CASIO v i:
X 3 6 X 2 3X 4
F X
3
X 1
START = 0.5
END = 6
STEP = 0.5
D a vào b ng giá tr trên ta th
s
t giá tr nh nh t t i X 1
giá tr l n nh t t i X 0.5 và X
V i X 1 a b c thay vào i
ta
c a c , b 0 ho c a 0, b
mãn.
a b
a b
V i X 0.5
a b 1
2

c

V i X
Ta s

x y 5
xy 4

5

nh h

Xét hàm s

f' t

BBT:

x 1, y 4
x 4, y 1

oán ban

t3

t2

6t 2
t 1

6t 5

t 1

4

3t 4

1

3

f' t

0

u.

a 4b c
4a b c

ng ch ng minh hàm s có c c ti u và c c
f t

3

0.5
1
1.5
2
2.5
3

3.5
4
4.5
5
5.5
6

y hàm
và t
5.
u ki n
c th a
c
th a mãn d
4

F(X)
1.2222
1
1.048
1.1111
1.2057
1.1875
1.2057
1.216
1.2208
1.2222
1.2212
1.2186

3 t 1
t 1
t 1
t 5

2
3

v it

1
,
2

i.


1
2

t
f (t)

1

5

0

0

11
9

11
9

f(t)

1
1
2

Ta có: f

11
, f 1
9

11
, lim f t
9 t

1, f 5

D a vào b ng bi n thiên ta th y 1
a b
c

Khi P 1

Khi P

11
9

f t

1

1
11
9

1 P

a c,b 0

a b c

2

2 a2

b2

a 0, b c

c2

1

2

a b
c
a b
c

11
9

1

a b 4c
a 4b c
4a b c

5
2

a b c

2 a2

b2

c2

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 1 khi a b , c 0 và hoán v
Bài 8: Cho a , b , c là các s th c d
a

P

c a

2

2

ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
b

c

2

a b

2

2

c2
a

2

b c

2

b

2

2 a2

b2

c2

thi th THPT C m Bình Hà T nh 2015
PHÂN TÍCH
Ta có P hoán v nên d oán i m r i x y ra khi a b c
Ta th y 3 phân th c u hoán v và
ng b c nên ta có th s d ng ti p
tuy n ho c Cosi ng c d u nh sau:
a2
1
c
1 1
2
2
2
2
c a c
c 2a
c a c
T

ng t
n ây P

P

1 1
2 a

1
b

1
c

2 a2

b2

c2

i x ng theo 3 bi n a , b , c ta ánh giá

a v a b c b ng các


1
ng th c:
a

b t

1
b

1
c

9
và a 2
a b c

Ho c ta có th xét các hàm riêng l
a

Áp d ng AM-GM:
T

ng t :
P

1 1
2 a

c a

b2
a b

2

1
b

a

1
a

2

1
c

c

2

b2

f' t

BBT:

f t
9
2t

2

t

9
2t
4
t
3

1
b

a b c

2 2
t v it
3

a b c

f' t

t

3

1
2a
1
2c

0

t

b

2

c

2

0

3
2

2
3
0

f (t)
f(t)
D a vào b ng bi n thiên

2

1
2x

9

và a 2
a b c

0

f t

f

3
2

9
2
9
2

a b c

ng th c x y ra khi

2

c2

1 1 1
Áp d ng b t ng th c:
a b c
2
9

2
P
a b c
3
2 a b c

Xét hàm s

2x2

f x

c2
1
;
2b b c 2 b 2

2 a2

c

BÀI GI I
1
c
1
2
2
c a c
c

2

2

b

2

a b c

3
2

a b c

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là

P

9
2

1
2

9
khi a b c
2

1

.
2

a b c
3

2