Tài liệu Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Bất đẳng thức (Hướng dẫn và đáp số) pptx

Chương I
NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N
ƯƠNG
I . Tính ch t cơ b n:
ax > bx khi x > 0
ax < bx khi x < 0

a. a > b ⇔ 

a > x
⇒ a + b > x + y Chú ý
b > y

b. 

a > x

b > y


a − b > x − y

 ab > xy
a x
 >

b y

⇒

a > x ≥ 0

⇒ ab > xy
b > y ≥ 0

c. 

d. a > b ≥ 0 ⇒ a 2 > b 2
H qu : a > b ⇔ a 2 > b 2
1 1
<
a b
1 1
aa b
f. A > 0
• x < A ⇔ −A < x < A

e. a > b > 0 ⇒

x < − A
x > A

• x > A⇔ 

II. Vài b t

ng th c thông d ng:

V i a, b, c,… tùy ý ( a, b, c... ∈ R )
a. a 2 + b 2 ≥ 2ab ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b )
b. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c )

1

1

1

1

4

c. V i a, b > 0 ta có: (a + b)  +  ≥ 4 ⇔ + ≥
a b a+b
a b

III. Các ví d :
 π π


tan x − tan y
<1
1 − tan x tan y

Ví d 1: Cho x, y ∈  − ;  . Ch ng minh b t
4 4

ng th c:

Gi i:
 π π
x, y ∈  − ;  thì −1 < tan x; tan y < 1; 0 ≤ tan 2 x, tan 2 y < 1

 4 4
tan x − tan y
Ta có:
<1
1 − tan x tan y

1

I TƯƠNG


⇔ tan x − tan y > 1 − tan x tan y
⇔ tan 2 x + tan 2 y − 2 tan x tan y < 1 − 2 tan x tan y + tan 2 x tan 2 y
⇔ tan 2 x + tan 2 y − tan 2 x tan 2 y − 1 < 0
⇔ tan 2 x(1 − tan 2 y ) − (1 − tan 2 y ) < 0
 π π
⇔ (1 − tan 2 y )(tan 2 x − 1) < 0 ( Luôn úng ∀x, y ∈  − ;  )
 4 4

Ví d 2:
Ch ng minh r ng v i m i s th c a, b, c th a mãn i u ki n a + b + c = 1 thì:
1 1 1
a b c
+ b + c ≥ 3.  a + b + c 
a
3 3 3
3 3 3 

Gi i:
1

gi m nên ta có:
3x
a b
a b
1 1
0 ≥ ( a − b)  a − b  ⇒ b + a ≥ a + b
3 3
3 3  3 3

Vì hàm s

Tương t ta có:
b c
b c c a c a
+ b ≥ b+ c; a+ c ≥ c+ a
c
3 3 3 3 3 3 3 3

C ng v theo v các b t

ng th c trên ( chú ý r ng a + b + c = 1 ), ta ư c:

1 1 1 a b c
a b c
+ b + c −  a + b + c  ≥ 2 a + b + c 
a
3 3 3 3 3 3 
3 3 3 
1 1 1
a b c

⇔ a + b + c ≥ 3  a + b + c  ( pcm)
3 3 3
3 3 3 

Ví d 3:
a. Cho x > 0, y > 0 và xy ≤ 1 . Ch ng minh:
2

≥

1
1
+
(1)
1+ x 1+ y

1 + xy
b. Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d và bd ≤ 1 . Ch ng minh:
4
1
1
1
1
≥
+
+
+
1 + 4 abcd 1 + a 1 + b 1 + c 1 + d

Gi i:

a. Vì x > 0, y > 0 nên b t

ng th c (1) tương ương v i:

2(1 + x)(1 + y ) ≥ (1 + xy )(1 + y ) + (1 + xy )(1 + x)
⇔ 2 + 2 x + 2 y + 2 xy ≥ 1 + xy + y + y xy + 1 + xy + x + x xy
⇔ ( x + y ) + 2 xy ≥ xy ( x + y ) + 2 xy
⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + 2( xy − xy ) ≥ 0
⇔ ( x + y )(1 − xy ) + 2 xy ( xy −1) ≥ 0
⇔ (1 − xy )( x + y − 2 xy ) ≥ 0
2


⇔ (1 − xy )( x − y )2 ≥ 0 (2)
( x − y ) 2 ≥ 0

nên (2) úng ( pcm)
Vì: 
 xy ≤ 1 ⇒ 1 − xy ≥ 0

 a , b, c , d > 0
 a , b, c , d > 0
a ≤ b


⇒ ac ≤ db ≤ 1
b. a ≤ b ≤ c ≤ d nên 
c≤d
bd ≤ 1



bd ≤ 1


Theo k t qu câu a, ta có:
1
2
 1
1 + a + 1 + c ≤ 1 + ac (a, c > 0; ac ≤ 1)


2
 1 + 1 ≤
(b, d > 0; bd ≤ 1)

1 + c 1 + d 1 + bd
⇒

1
1
1
1
1 
 1
+
+
+
≤ 2. 
+


1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
 1 + ac 1 + bd 
2
≤ 2.
1 + ac . bd
4
=
( pcm)
1 + abcd

Ví d 4:
Cho a, b, c ∈ [ − 1; 2] th a mãn i u ki n a + b + c = 0 . Ch ng minh:
a 2 + b2 + c 2 ≤ 6

Gi i:
• a ∈ [ − 1; 2] ⇔ −1 ≤ a ≤ 2 ⇔ ( a + 1)(a − 2) ≤ 0
⇔ a 2 − a − 2 ≤ 0 ⇔ a 2 ≤ a + 2 (1)
•

b 2 ≤ b + c (2)

Tương t ta cũng có  2
c ≤ c + 2 (3)


C ng (1), (2), (3) ta có:
a 2 + b 2 + c 2 ≤ ( a + b + c) + 6 = 6 ( pcm)

Ví d 5:
Cho x, y, z ∈ [0;2] và x + y + z = 3 . Ch ng minh r ng:

x2 + y 2 + z 2 ≤ 5

Gi i:
Ta có: x, y, z ≤ 2 ⇒ (x − 2)( y − 2)( z − 2) ≤ 0
⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) + 4( x + y + z ) − 8 ≤ 0
⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) − 4.(3) − 8 ≤ 0
⇔ xyz ≤ 2( xy + yz + zx) − 4 ( vì x + y + z = 3 )
⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4
⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4 = 32 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4
3


⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 − xyz ( Vì x + y + z = 3 )
⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 ( Vì xyz ≥ 0 ) ( pcm)

Ví d 6:
Cho x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1 . Ch ng minh các b t

ng th c sau:

1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤ 1 (1)
3
x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1
1
1

1
b.
+
+
≤ 1 (2)
x + y +1 y + z +1 z + x +1

a.

3

Gi i:
a. t T = v trái c a b t ng th c (1) ( ta c n ch ng minh T ≤ 1 )
Ta có: x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 + y 2 − xy )
 x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇔ x 2 + y 2 − xy > xy
 x + y > 0 ( Vì x > 0, y > 0)

Mà 

Nên ( x + y )( x 2 + y 2 − xy ) ≥ ( x + y ) xy hay x3 + y 3 ≥ xy ( x + y )
⇒ x3 + y 3 +1 ≥ xy ( x + y ) + xyz ( Vì xyz = 1 )
⇔ x 3 + y 3 +1 ≥ xy ( x + y + z ) > 0
1
1
⇔ 3
≤
(a)
3
x + y + 1 xy ( x + y + z )

Tương t ta có:
1
1

 y 3 + z 3 + 1 ≤ xy ( x + y + z ) (b)

⇔
1
1

≤
(c)
3
3
 z + x + 1 xy ( x + y + z )


C ng v theo v (a), (b), (c), ta có:
 1
 x+ y+ z 
1
1 1
1
 + + =

 = 1 ( Vì xyz = 1 ) ( pcm)
( x + y + z )  xy yz zx  x + y + z  xyz 
b. t S b ng v trái c a b t ng th c (2) ( ta c n ch ng minh S ≤ 1 )
 x = a3
 x , y , z > 0 ⇒ a , b, c > 0


t  y = b3 mà 
3 3 3
 xyz = 1 ⇒ a b c ⇔ abc = 1
 z = c3

T≤

a, b, c > 0 và abc = 1 nên theo k t qu câu a, ta có:
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤1
3
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
1
1
1
⇔
+
+
≤ 1 ( pcm)
x + y +1 y + z +1 z + x +1

Ví d 7:
Cho a, b > 0 và b, c > 0 . Ch ng minh:
(a − c)c + (b − c)c ≤ ab (1)

4


Gi i:
Bt

ng th c (1) tương ương v i:
c(a − c) + (b − c)c + 2 c 2 (a − c)(b − c) ≤ ab

⇔ c 2 + c 2 − ac + ab − bc − 2c (a − c)(b − c) ≥ 0
⇔ c 2 + a(b − c) − c(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ 0
⇔ c 2 + (a − c)(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ 0
2



⇔  c − (a − c)(b − c)  ≥ 0 ây là b t

Ví d 8:
Ch ng minh r ng

ng th c úng ( pcm)

i v i m i a, b, c ∈ R , ta có:

2

a
+ b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc (1)
4

Gi i:
B t ng th c (1) tương ương v i:
a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ac − 8bc + 4ac ≥ 0
⇔ ( a − 2b + 2c) 2 ≥ 0 ây là b t phương trình úng ( pcm)

Ví d 9:
Cho a 3 > 36 và abc = 1 . Ch ng minh:
a2
+ b 2 + c 2 > ab + bc + ca (1)
3

Gi i:
Bt

ng th c (1) tương ương v i:
2

a
+ (b + c)2 − 2bc > a (b + c) + bc
3
a2
⇔ (b + c) 2 − a (b + c) + − 3bc > 0
3
 a2 3 
1
2
⇔ (b + c) − a (b + c) +  −  > 0 ( Vì bc = )
a
 3 a

x = b + c

⇔
(a)
 a2 3 
f ( x) = x 2 − ax +  −  > 0

 3 a


Xét tam th c b c hai f ( x) = x 2 − ax + (

a2 3
− ) có:
3 a

 a 2 3  36 − a 3
∆ = a2 − 4  −  =
< 0 ( Vì a 3 > 36 )
3 a
3a

⇒ f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ (a ) úng ( pcm)

Ví d 10:
Cho −1 < x < 1 và n ∈ N , n > 1 . Ch ng minh:
5

(1 − x)2 + (1 + n)n < 2n

Gi i:
Vì −1 < x < 1 nên x = cos α (0 < α < π) lúc ó:
(1 + n) n + (1 − n) n = (1 + cos α )n + (1 − cos α ) n
n

n

α 
α

=  2 cos 2  +  2sin 2 
2 
2

n
n

α 
α 
α
α

= 2 n  cos 2  +  sin 2   < 2n  cos 2 + sin 2  = 2 n ( pcm)
2 
2 
2
2






* Chú ý: Khi ch ng minh b t ng th c b ng phương pháp bi n i tương ương c n:
1. Chú ý xem kĩ gi thuy t cho, vì trong m t s trư ng h p có th bi n i gi thuy t cho
thành b t ng th c c n ch ng minh ( như ví d 4, 5…).
2. Trong m t s trư ng h p có th bi n i b t ng th c c n ch ng minh thành m t b t ng th c
luôn úng ( ư c nêu ví d 1, 3, 7, 8…).
3. Nên thu c lịng và b t ng th c thông d ng ư c gi i thi u ph n II.

IV. Bài t p tương t :
1. Ch ng minh r ng: n u 0 < x ≤ y ≤ z thì:
1 1 1
1 1
y  +  + ( x + z) ≤  + ( x + z)
x z y
x z

* Hư ng d n:
Tìm b t ng th c tương ương b ng cách quy ông m u s , ư c lư c s h ng ( x + z ) , chuy n
v , bi n i v trái thành d ng tích s ,…
2. a, b, c, d là năm s th c tùy ý, ch ng minh b t ng th c:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ ab + ac + ad + ac

Khi nào ng th c x y ra?
* Hư ng d n:
Tìm b t ng th c tương ương b ng cách bi n
2

2

2

ib t

ng th c ã cho v d ng:

2

a
 a
 a
 a

 − b +  − c +  − d  +  − e ≥ 0
2
 2
 2
 2


…
3. a, b, c, là

dài ba c nh c a tam giác ABC, ch ng minh:

a + b + c 2 < 2(ab + bc + ca )
2

2

* Hư ng d n:
a < b + c ⇒ a 2 < ab + ac, b < a + c ⇒ ...

4. Ch ng minh:
a 2 + b 2 ≥ 2ab, ∀a, b ∈ R

Áp d ng a, b, c là ba s th c tùy ý, ch ng minh:
a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c)

6


* Hư ng d n:
Dùng công th c (a − b)2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ ...
Áp d ng k t qu trên.
5. Ch ng minh ∀t ∈ [ − 1;1] ta có:
1+ t + 1− t ≥ 1+ 1+ t2 ≥ 2 − t2

* Hư ng d n
• V i ∀t ∈ [ − 1;1] , ta ln có:
(1 − t ) + 2 (1 − t )(1 + t ) + (1 + t ) ≥ 1 + 2 1 − t 2 + (1 − t 2 )

Bi n

i tương ương suy ra 1 + t + 1 − t ≥ 1 + 1 + t 2

• T : 0 ≤ 1− t2 ≤ 1
⇒ 1+ 1+ t2 ≥ 2 − t2

B T

Chương II
NG TH C CƠSI (CAUCHY)

I. Phương pháp gi i tốn
1) Cho 2 s a,b > 0, ta có:

a+b
≥ ab
2

D u “ = ” x y ra khi và ch khi a = b.
2) Cho n s a1, a2 , a3,..., an ≥ 0 ta có:

a1 + a2 + a3 + ... + an n
≥ a1a2 a3 ...an
n
D u “ = ” x y ra khi và ch khi a1 = a2 = a3 = ... = an
3) B t

ng th c côsi suy r ng

Phát bi u: V i các s th c dương a1 , a2 , a3 ,..., an và x1 , x2 , x3 ,..., xn là các s
th c khơng âm và có t ng b ng 1, ta có:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn ≥ a1x1 a2 x2 a3 x3 ...an xn

7

T ng quát: Cho n s dương tùy ý ai, i = 1, n và n s h u t dương qi,
n

th a

∑q

i

i =1

= 1 khi ó ta ln có:

n

∏a

qi
i

i =1

i = 1, n

n

≤ ∑ qi .ai
i =1

D u “=” x y ra
II. Các ví d
Ví d 1: Cho n s dương ai, i = 1, n . Ch ng minh r ng:

1 1 1
1
(a1 + a2 + a3 + ... + an )  + + + ... +  ≥ n 2
an 
 a1 a2 a3
Gi i:
Áp d ng b t

ng th c côsi cho các s a1 , a2 , a3 ,..., an ,

1 1 1
1
, , ,...,
a1 a2 a3
an

Ta có:

a1 + a2 + a3 + ... + an ≥ n n a1a2 a3 ...an
1 1 1
1
n
+ + + ... + ≥
a1 a2 a3
an n a1a2 a3 ...an

Nhân 2 v tương ng ta ư c b t

ng th c c n ch ng minh và d u “=” x y ra khi

a1 = a2 = a3 = ... = an
Ví d 2:Ch ng minh v i m i a,b,c dương ta ln có:

1
1
1
27
+
+
≥
a (a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c) 2
Gi i:
Áp d ng b t

ng th c côsi cho v trái:

1
1
1
3
+
+
≥
a (a + b) b(b + c) c(c + a ) 3 abc(a + b)(a + c)(b + c)
Mà

33 abc ≤ (a + b + c)3
33 (a + b)(b + c)(c + a ) ≤ 8( a + b + c)3
8
( a + b + c)6
6
3
2
⇔ 3 abc(a + b)(b + c)(c + a ) ≤ ( a + b + c) 2
9

⇒ abc (a + b)(b + c)(c + a) ≤

8

(1)


⇔

9

3
27
≥
2
abc(a + b)(b + c)(c + a ) 2( a + b + c)

(2)

T (1)(2) pcm

D u “=” x y ra a = b = c
Ví d 3: Ch ng minh v i m i s dương a, b, c ta ln có

1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
a 3 + b 3 + abc b + c + abc c + a 3 + abc abc
Gi i
Ta có:

a3 + b3 ≥ ab(a + b)
Nên

abc
abc
c
≤
=
3
a + b + abc ab( a + b) + abc a + b + c
3

Tương t ta cũng có
abc
abc
a

≤
=
b3 + c3 + abc bc(b + c) + abc a + b + c

abc
abc
b
≤
=
3
a + c + abc ac(a + c) + abc a + b + c
C ng v theo v ta ư c
3

1
1
1


abc  3 3
+ 3 3
+ 3 3
 ≤1
a + b + abc b + c + abc c + a + abc 

Hay

1
1
1

1
+ 3 3
+ 3
≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

( pcm)

III. Bài t p tương t
1. Các s dương x, y, z có tích b ng 1. Ch ng minh b t
xy
yz
xz
+ 5
≤1
5
5
5
5
x + xy + y
y + yz + z x + xz + z 5

*Hư ng d n:
Ta có: x 2 + y 2 ≥ 2 xy
⇒ x5 + y 5 ≥ 2 x5 y 5 = 2x 2 y 2 xy ≥ (x+y)x 2 y 2

9

ng th c :


Do ó :
xy
xy
1
z
≤
=
=
5
2 2
x + xy + y
xy + (x+y)x y
1 + xy ( x + y ) x + y + z
5

Tương t :
yz
x
≤
5
y + yz + z
x+ y+z
xz
y
≤
5

5
x + xz + z
x+ y+z
5

C ng v theo v ta có pcm. D u “=” x y ra khi x = y = z.
2. V i m i x, y, z dương. Ch ng minh :
x3 y 3 z 3
+ +
≥ x+ y+z
yz xz xy

*Hư ng d n:
Áp d ng b t d ng th c cơsi, ta có:
x3
+ y + z ≥ 3x
yz
y3
+ x + z ≥ 3y
xz
z3
+ x + y ≥ 3z
xy

C ng v theo v ta ư c:
x3 y 3 z 3
+ + + 2( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z )
yz xz xy
⇒ pcm
D u “=” x y ra khi x = y = z.

3. Cho a, b, c là 3 s nguyên dương. Ch ng minh:
2

(b + c) + (a + c) + (a + b) ≤  (a + b + c) 
3

a

*Hư ng d n:
Áp d ng b t

b

a +b + c

c

ng th c côsi, ta có:

(b + c) + ... + (b + c) + (a + c) + ... + (a + c) + (a + b) + ... + (a + b)

nl n

nl n

nl n

≥ (a + b + c).a +b + c (b + c) a (a + c)b (a + b)c

Hay :
 2(a + b + c) 
 a+b+c 



a +b + c

≥ (b + c) a (a + c)b (a + b)c (1)
10


Ta có b t

ng th c sau:

2(a + b + c) 2(ab + bc + ca )
≥
(2)
3
a+b+c
Th t v y (2) ⇔ (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca)
⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( úng)

T (1)(2), ta có pcm
D u “=” x y ra khi a = b = c
4. Cho a, b, c là

dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng:

a
b
c
+
+
≥3
b+c−a c+ a−b a +b−c

*Hư ng d n:
Áp d ng b t

ng th c côsi:

(b + c − a )(c + a − b) ≤

b + c − a + c + a − b)
=c
2

Tương t :
(a + b − c)(c + a − b) ≤ a
(b + c − a )(a + b − c) ≤ b

Nhân v theo v ta ư c:
(b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc
abc
⇒
≥ 1 (1)
(b + c − a )(c + a − b)(a + b − c)

Ta l i d d ng b t

ng th c côsi:

a
b
c
abc
+
+
≥ 33
≥ 3 do(1) ( pcm)
b+c−a c+a −b a +b−c
(b + c − a )(c + a − b)(a + b − c)

11


Chương III
B T
I. B t

NG TH C B NG B T
NG TH C
BUNHIACOPXKI ( B.C.S)

ng th c bunhiacopxki:

Cho 2 n s th c ( n ≥ 2 )
a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn.

Ta có: (a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )
D u “ = ” x y ra ⇔

a
a1 a2
=
= ... = n hay a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; ...; an = kbn
b1 b2
bn

Ch ng minh:
a = a 2 + a 2 + ... + a 2
1
2
n

t: 
b = b12 + b2 2 + ... + bn 2

• N u a = 0 hay b = 0 thì b t ng th c ln úng
• N u a, b > 0 :
a
b
t: α i = i ; β i = i ( i = 1, n )
a
b
2
2
Th thì α1 + α 2 + ... + α n 2 = β12 + β 2 2 + ... + β n 2 = 1
1

Mà: α i β i ≤ (α i 2 + β i 2 )
2
1
Suy ra: α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≤ 1
2
⇒ a1b1 + a2b2 + ... + an bn ≤ ab

L i có: a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ a1b1 + a2b2 + ... + anbn
Suy ra: (a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )
α = β i
D u “ = ” x y ra ⇔  i
n
u
α1β1 ,...α n β n cùg dấ
⇔

a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn

II. Các ví d :
Ví d 1:
Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh:
a2
b2
c2
a+b+c

+
+
≥
b+c c+a a+b
2

Gi i:
Áp d ng b t

ng th c B.C.S, ta có:
12




a2
b2
c2
( b + c )2 + ( a + c ) 2 + ( a + b ) 2 ≥ (a + b + c) 2
+
+

2
2
2 
 ( b + c) ( c + a) ( a + b) 
a2
b2
c2
a+b+c

⇔
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

(

)

Ví d 2:
Cho a 2 + b 2 = 1 . Ch ng minh: a b + 1 + b a + 1 ≤ 2 + 2
Gi i:
Áp d ng 2 l n b t

ng th c B.C.S ta có:
2

(a b + 1 + b a + 1 ) ≤ ( a 2 + b 2 )(b + 1 + a + ) = 2 + a + b
≤ 2 + 12 + 12 . a 2 + b 2 = 2 + 2 (do a 2 + b 2 = 1 )

Vì v y a b + 1 + b a + 1 ≤ 2 + 2 .
 a b +1
 =
D u “ = ” x y ra ⇔  b a + 1 ⇒ a = b
a = b


Ví d 3:

Ch ng minh r ng n u phương trình
x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 1 = 0 (1) cos nghi m thì a 2 + b 2 + c 2 ≥

Gi i:
T (1) ta có: −(1 + x 4 ) = ax3 + bx 2 + cx
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
(1 + x 4 ) 2 = (ax3 + bx 2 + cx) 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )( x 6 + x 4 + x 2 )
(1 + x 4 ) 2
(2)
x6 + x4 + x2
(1 + x 4 )2
4
M t khác: 6 4 2 ≥ (3)
x +x +x
3
4
Th t v y: (3) ⇔ 3(1 + 2 x + x8 ) ≥ 4( x 6 + x 4 + x 2 )
⇒ (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥

⇔ 3x8 − 4 x 6 + 2 x 4 − 4 x 2 + 3 ≥ 0
⇔ ( x 2 − 1) 2 (3 x 4 + 2 x 2 + 3) ≥ 0 ( luôn úng)
4
T (2) và (3): a 2 + b 2 + c 2 ≥
3
2

 a = b = c = 3 ( x = 1)
D u “ = ” x y ra ⇔ 
 a = b = c = − 2 (x = −1)


3


Ví d 4:
Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng:
13

4
3


P=

1
1
1 1
+
+ +
≥ 30
2
2
a + b + c ab bc ca
2

Gi i:
Áp d ng b t

ng th c B.C.S:




1
1
1
1
100 = 
. a 2 + b2 + c 2 +
.3 ab +
.3 bc +
.3 ca 
2
2
2
ab
bc
ca
 a +b +c

1
1
1 1 

≥ 2
+
+ +  ( a 2 + b 2 + c 2 + 9ab + 9bc + 9ca )
2
2
 a + b + c ab bc ca 
 7
 10 P

= P (a + b + c)2 + 7(ab + bc + ca )  ≤ P 1 + (a + b + c)2  ≤
⇒ P ≥ 30


3
 3

Do: a + b + c = 1 ( theo gi thuy t)
(a + b + c)2
⇒ ab + bc + ca ≤
3

Ví d 5:
Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng:
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥
a (b + c) b (c + a ) c (a + b) 2
3

Gi i:
1
x

1
y

1
z

t: a = ; b = ; c = . Khi ó t a, b, c > 0 và abc = 1 ⇒ x, y, z > 0 và xyz = 1
Bt

ng th c ã cho ưa v dư i d ng sau:

3

x yz y 3 zx z 3 xy 3
+
+
≥
y+z z+x x+ y 2
⇒

x2
y2
z2
3
+
+
≥
(do xyz = 1 ) (1)
y+z z+x x+ y 2

Áp d ng b t

ng th c B.C.S, ta có:

 x
y
z2 
2
⇒
+
+
 ( y + z + z + x + x + y) ≥ ( x + y + z )
y+ z z+ x x+ y

x2
y2
z2
( x + y + z )2 x + y + z
⇔
+
+
≥
=
(2)
y + z z + x x + y 2( x + y + z )
2
x
y
z
x+ y+z
1
D u “ = ” x y ra ⇔

=
=
=
=
y + z z + x x + y 2( x + y + z ) 2
⇔ y + z = 2 x; z + x = 2 y; x + y = 2z
⇔ x= y=z
2

2

M t khác, theo b t ng th c Causi: x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 ( do xyz = 1 ) (3)
D u “ = ” x y ra khi x = y = z .
x2
y2
z2
3
+
+
≥ . V y (1) úng.
y+z z+x x+ y 2
D u “ = ” x y ra ⇔ x = y = z hay a = b = c

T (2) và (3) suy ra:

14


⇒ pcm.
Ví d 6:

Cho ∆ABC tùy ý có m1, m2, m3 là
ngo i ti p tam giác. Ch ng minh r ng

dài 3 ư ng trung tuy n và R là bán kính ư ng trịn

9R
≥2
m1 + m2 + m3

Gi i:
Ta có cơng th c ư ng trung tuy n:
2b 2 + 2c 2 − a 2
4
3
⇒ ma 2 + mb 2 + mc 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )
4
M t khác, trong m i tam giác ta có: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (1)
D u “ = ” trong (1) x y ra ⇔ ∆ABC u.
27 2
⇒ ma 2 + mb 2 + mc 2 ≤
R (2)
4
ma 2 =

Áp d ng b t

ng th c B.C.S:

⇒ ( ma + mb + mc ) ≤ 3( ma 2 + mb 2 + mc 2 ) (3)

2

D u “ = ” trong (3) x u ra ⇔ ma = mb = mc ⇔ ∆ABC

u.

81 2
R
4
9R
⇔ ma + mb + mc ≤
2
9R
⇔
≥2
ma + mb + mc

T (2) và (3) ⇒ ( ma + mb + mc ) ≤
2

D u “ = ” x y ra ng th i trong (2) và (3) hay ∆ABC
Ví d 7:
Cho a1 , a2 ,..., an > 0 . Ch ng minh r ng:

u.

an
(a1 + a2 + ... + an ) 2
a1
a2

+
+ ... +
≥
a2 + a3 a3 + a4
a1 + a2 2(a12 + a2 2 + ... + an 2 )

Gi i:
Áp d ng b t

ng th c B.C.S, ta có:

 a1
an 
a2
2
+
+ ... +

 [ a1 ( a2 + a3 ) + a2 ( a3 + a4 ) + ... + an ( a1 + a2 )] ≥ (a1 + a2 + ... + an )
a2 + a3 a3 + a4
a1 + a2 

an
(a1 + a2 + ... + an ) 2
a1
a2
Hay
+
+ ... +
≥

(1)
a2 + a3 a3 + a4
a1 + a2 a1a2 + a1a3 + a2 a3 + a2 a4 + ... + an a1 + an a2
D y “ = ” x y ra: ⇔ a2 + a3 = a3 + a4 = ... = an + a1 = a1 + a2
15


⇔ a1 = a2 = ... = an
a 2 + a32
a12 + a2 2 a12 + a3 2
+
= a12 + 2
2
2
2
2
2
a + a4
a2 a3 + a2 a4 ≤ a2 2 + 3
2

Do a1a2 + a1a3 ≤

…
a12 + a2 2
an a1 + an a2 ≤ an +
2
2

C ng t ng v n b t

ng th c trên ta có:

( a1a2 + a1a3 ) + ( a2 a3 + a2 a4 ) + ... + ( an a1 + an a2 ) ≤ 2 ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) (2)

D u “ = ” trong (2) x y ra khi:
a1 = a2 = ... = an

T (1), (2) suy ra:
an
(a1 + a2 + ... + an ) 2
a1
a2
+
+ ... +
≥
a2 + a3 a3 + a4
a1 + a2 2(a12 + a2 2 + ... + an 2 )
D u “ = ” x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an

III. Bài t p tương t :
1. Cho ab + bc + ca = 4 . Ch ng minh: a 4 + b 4 + c 4 ≥
*Hư ng d n
Áp d ng b t

16
3

ng th c B.C.S hai l n:

(ab + bc + ca ) ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(b 2 + c 2 + a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ≤ 3(a 4 + b 4 + c 4 )
16
⇒ a4 + b4 + c4 ≥
( do ab + bc + ca = 4 ).
3
2
D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c = ±
3
2

 x 2 + xy + y 2 = 3

2. Cho  2
2
 y + yz + z = 16

Ch ng minh r ng: xy + yz + xz ≤ 8

*Hư ng d n
Theo b t

ng th c B.C.S, ta có:

2
2

x  3  3
z 

18 = ( x 2 + xy + y 2 )( y 2 + yz + z 2 ) =  y +  + x 2   z 2 +  y +  

2  4  4
2 





2


x 3
3 
z 
3
2
≥  y + 
z+
x  y +   = ( xy + yz + xz )
2 2
2 
2 
4

⇒ ( xy + yz + xz ) ≤ 64
2

⇒ pcm.
16

3. Ch ng minh r ng n u phương trình x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + 1 = 0 có nghi m thì:
a 2 + b2 ≥

4
5

*Hư ng d n
G i x là nghi m c a phương trình ã cho:
x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + 1 = 0 ( ⇒ x ≠ 0 )
Chia 2 v cho x 2 > 0 , ta ư c:
1
 2 1 

 x + 2  + a  x +  + b = 0 (1)
x 
x


1
t t = x+ , t ≥2.
x
2
(1) ⇔ t + at + b − 2 = 0 ⇔ 2 − t 2 = at + b

Áp d ng B.C.S: ( 2 − t 2 ) = ( at + b ) ≤ ( a 2 + b 2 )( t 2 + 1)
2

2

(2 − t )

≥

2 2

⇒ a +b
2

2

t 2 −1

(2 − t )
c:

2 2

Ta d ch ng minh ư

t −1
2

⇒ a2 + b2 ≥

≥

4
( dành cho b n
5

c t ch ng minh).

4
5

4. Cho x, y, z > 0 th a xy + yz + xz = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a:
T=

x2
y2
z2
+
+
x+ y y+z z+x

*Hư ng d n
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
+) 1 = x y + y z + z x ≤ x + y + z . x + y + z = x + y + z
 x

y
z
+) ( x + y + z ) = 
x+ y +
y+z +
z+x
 x+ y

y+z
z+x



 x2
y2
z2 
≤
+
+
 ( x + y + y + z + z + x ) = 2T ( x + y + z )
 x+ y y+z z+x
2

⇒T ≥

1
1
(x + y + z) =
2
2

D u “ = ” x y ra ⇔ x = y = z =
V y Min(T ) =

1
3

1
1
khi x = y = z = .
2
3

17

2


5. Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Ch ng minh r ng:
x2 y y2 z z 2 x
+
+
≥ x2 + y 2 + z 2
z
x
y

*Hư ng d n
Áp d ng b t

ng th c B.C.S:

 x y y z z 2 x   x2 z y 2 x z 2 y 
2
2
2 2
+
+
+
+



 ≥ (x + y + z )
x
y  y
z
x 
 z
2

2

Xét hi u:
x2 y y2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y
+
+
−
−
−
z
x
y
y
z
x
1
=
( x − y )( y − z )( z − x )( xy + yz + xz ) > 0 (2)
xyz
x2 y y2 z z2 x
+
+

≥ x2 + y 2 + z 2
T (1), (2) ⇒
z
x
y
D u “ = ” x y ra ⇔ x = y = z
A=

6. Cho ∆ABC , M là i m b t kì trong tam giác. G i x, y, z, là các kho ng cách t M xu ng BC,
AC, AB. Ch ng minh r ng:
x+ y+ z≤

a2 + b2 + z 2
2R

*Hư ng d n
Ta có: S MBC + SMCA + S MAB = S
⇒

x y z
+ + =1
ha hb hc

 x y z 
+ + 
ha hb hc 


Ta có: ha + hb + hc = ( ha + hb + hc ) 
Theo b t

ng th c B.C.S, suy ra:


x
y
z 
ha + hb + hc ≥  ha
+ hb
+ hc



ha
hb
hc 

⇒ ha + hb + hc ≥ x + y + z (1)

Do trong m i tam giác nên ta có:
ha = b sin C ; hb = c sin A; hc = a sin B nên:

ha + hb + hc = ha = b sin C + hb = c sin A + hc = a sin B =

Theo b t

ng th c Causi:

ha + hb + hc =

a2 + b2 + c2
(2)
2R

18

bc + ac + ab
2R


T (1), (2) suy ra pcm.
D u “ = ” x y ra khi ∆ABC

B T

u, M là tr ng tâm tam giác.

Chương IV
NG TH C TRÊ – BƯ – SEP (TCHEBYCHEV)

I. Phát bi u
- Cho 2 dãy s a1 , a2 , a3 ,..., an và b1 , b2 , b3 ,..., bn
+ N u 2 dãy s cùng tăng ho c cùng gi m

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an
 a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an

ho c 
b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ... ≤ bn
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ... ≥ bn

Ta có:

( a1 + a2 + a3 +...+ an )( b1 +b2 +b3 +... +bn ) ≤ n(ab1 + a2b2 + a3b3 +... + anbn)
1
+ N u 1 dãy tăng, 1 dãy gi m

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an

ho c 
b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ... ≤ bn
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ... ≥ bn
Ta có:

( a1 + a2 + a3 + ... + an )( b1 + b2 + b3 + ... + bn ) ≥ n(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn )
 a1 = a2 = a3 = ... = an
b1 = b2 = b3 = ... = bn

D u “=” x y ra khi và ch khi 

II. Các ví d
Ví d 1: Cho a + b ≥ 0 .
3
3
5
5
9
9
Ch ng minh (a + b)(a + b )(a + b ) ≤ 4(a + b )

19


Gi i
Gi s

a 3 ≥ b3

a≥b⇒ 5
5
a ≥ b

Áp d ng b t

ng th c trê – bư – sep, ta có:

 a 3 + b3  a 5 + b5  a 8 + b8
(1)


≤
2  2 
2

Nhân v c a (1) cho

a+b
≥ 0 , ta có:
2

3
3
5
5
8
8
 a + b   a + b  a + b   a + b   a + b 

≤




 2   2  2   2   2 

Cũng theo b t

ng th c trê – bư – sep ta có:

8
8
9
9
 a + b  a + b   a + b 
≤



 2  2   2 

Suy ra:

(a + b)( a 3 + b3 )( a 5 + b5 ) a 9 + b9
≤
8
2
3
3
5
5
⇔ ( a + b)( a + b )(a + b ) ≤ 4(a 9 + b9 )
D u “=” x y ra

⇔a=b

2
2
2
Ví d 2: Cho dãy s dương trong ó : a1 + a2 + ... + an > 1

3
3
an
a13
a2
1
+
+ ... +
>
Ch ng minh:

s − a1 s − a2
s − an n − 1

V i s = a1 + a2 + ... + an
Gi i
Không m t tính t ng quát ta gi s :

a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an do:
20


2
 a12 ≥ a2 ≥ ... ≥ an 2

ai > 0 ∀i = 1, 2,3,..., n ⇒  a1
an
a2
 s − a ≥ s − a ≥ ... ≥ s − a
1
2
n


Áp d ng b t

ng th c trê – bư – sep, ta có:

3
3
3

 a1
an   a1
an 
a2
a2
( a + a +...+a )  s −a + s −a +...+ s −a  ≤ n s −a + s −a +...+ s −a  (1) vì
1
2
n
1
2
n


2
2
a12 + a2 + ... + an > 1
2
1

2
2

2
n

Nên t (1) suy ra:
3
3
an

a 
a13
a2
1 a
a
+
+ ... +
>  1 + 2 + ... + n  (2)
s − a1 s − a2
s − an n  s − a1 s − a2
s − an 

M t khác:

a
a1
a
+ 2 + ... + n
s − a1 s − a2
s − an


a  
a 
a
=  1 + 1  +  1 + 2  + ... + 1 + n
 s − a1   s − a2 
 s − an
 1
1

1
= s
+
+ ... +
s − an
 s − a1 s − a2

=


−n



−n


 1
1
1
1 
( s −a1) +( s −a2 ) +...+( s −an )
+
+... +
 −n (3)
 s −a s −a
n−1
s −an 
2
 1

Áp d ng b t

ng th c côsi ta có:

 1
1
1 
2
( s − a1 ) + ( s − a2 ) + ... + ( s − an )  

 s − a + s − a + ... + s − a  ≥ n (4)

1
2
n 
3
3
an
1
a13
a2
+
+ ... +
>
T (2), (3), (4) ⇒
( pcm)
s − a1 s − a2
s − an n − 1

Ví d 3: G i a1 , a2 ,..., an là các c nh c a n giác và g i c là chu vi c a a giác
Ch ng minh r ng :

an
a1
a2
n
+
+ ... +
≥
c − 2a1 c − 2a2
c − 2an n − 2

Gi i
Khơng m t tính t ng qt, ta gi s :
21


c − 2a1 ≤ c − 2a2 ≤ ... ≤ c − 2an

a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ⇒  a1
an
a2
≥
≥ ... ≥
 c − 2a
c − 2a2
c − 2an
1


Áp d ng b t

ng th c trê – bư – sep, ta có

 a1
a 
a


+ 2 +...+ n ( c−2a1 ) +( c−2a2 ) +...+( c−2an )  ≥n(a1 +a2 +...+an) =nc

c−2an 
 c−2a1 c−2a2
(1)
M t khác

( c − 2a ) + ( c − 2a ) + ... + ( c − 2a ) = nc − 2(a
1

2

1

n

+ a2 + ... + an ) = (n − 2)c

an
a1
a2

nc
n
+
+ ... +
≥
=
Thay vào (1) ta có:
c − 2a1 c − 2a2
c − 2an (n − 2)c n − 2
D u “=” x y ra

 a1
a2
an
=
= ... =

c − 2 an
⇔  c − 2a1 c − 2a2
 c − 2a = c − 2a = ... = c − 2a
n
1
2


⇔ a1 = a2 = ... = an
III. Bài t p tương t
1.Cho a, b, c > 0 ch ng minh:
a
b

c
3
+
+
≥
b+c a+c a+b 2

*Hư ng d n
Khơng m t tính t ng quát, ta gi s : a ≥ b ≥ c > 0
b + c ≤ a + c ≤ a + b

Suy ra  a
b
c
b + c ≥ a + c ≥ a + b


Áp d ng b t

ng th c trê – bư – sep cho 2 dãy: b + c, a + c, a + b và

a
b
c
,
,
.
b+c a+c a+b

2. Cho a, b, c th a a 2 + b 2 + c 2 ≥ 1 ch ng minh :

a3
b3
c3
1
,
,
≥
b+c a+c a+b 2

*Hư ng d n
Không m t tính t ng quát, ta gi s : a ≥ b ≥ c
a 2 ≥ b 2 ≥ c 2

Suy ra  a
b
c
≥
≥

b + c a + c a + b

22


Áp d ng b t

ng th c trê – bư – sep cho 2 dãy:

a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 và

a
b
c
≥
≥
b+c a+c a+b

Chương V
NG TH C BERNOULLI

B T
I. Phương pháp gi i toán

Cho a ≥ −1 , 1 ≤ n ∈ » thì (1 + a ) ≥ 1 + na

a = 0
D u “ = ” x y ra khi và ch khi 
n = 1
II. Các ví d
Ví d 1: Cho
Gi i:
Ta có:

n ∈ » , n ≥ 3 . Ch ng minh
n −1

n > n n +1 ⇔ n
⇔

Áp d ng b t

n

( nn 1 ) n >
+

n −1

n > n n +1

> (n + 1)n +1
1
n +1

ng th c Bernoulli:
n

n

1 
n
1
 n  
=

 = 1 −
 > 1−
n +1 n +1
 n +1  n +1
⇒ pcm

Ví d 2: Cho a,b,c >0. ch ng minh : (b + c ) + (c + a ) + ( a + b ) > 2 (*)
Gi i:
• N u trong 3 s a,b,c có m t s l n hơn ho c b ng 1 thì b t ng th c (*) ln
úng.
• N u 0 < a, b, c < 1
Áp d ng b t ng th c Bernoulli:
a

b

c

a [1 − (b + c) ] a + b + c
 1   1 − (b + c ) 
<

 = 1 +
 < 1+
b+c 
b+c 
b+c
b+c

a

⇒

(b + c)a >

a

b+c
(1)
a+b+c

Ch ng minh tương t :
23


(c + a )b

c
> a a ++c
+b

( a + b)c

> aa+b c
+b+

(2)
(3)

C ng (1)(2)(3) ta ư c: (b + c ) + (c + a ) + ( a + b) > 2 ( pcm)
a

b

c

5

a 5 + b5 + c5  a + b + c 
≥
Ví d 3: Cho a,b,c > 0. ch ng minh r ng :
 (1)
3
3


Gi i:
5

B t

5

5

 3a   3b   3c 
ng th c (1) ⇔ 
 +
 ≥3
 +
 a+b+c   a+b+c  a+b+c

Áp d ng b t

ng th c bernoulli:

5
5 ( b + c − 2a )
 3a 
 b + c − 2a 
≥ 1+
(2)

 = 1 +

a+b+c 
a+b+c
 a+b+c 


5

Ch ng minh tương t :
5
5 ( a + c − 2b )
 3b 
 a + c − 2b 
≥ 1+
= 1 +
(3)



a +b+c 
a+b+c

 a+b+c 


5

5

5
 3c 
5 ( a + b − 2c )
 a + b − 2c 
(4)

 = 1 +
 ≥ 1+
a+b+c 
a+b+c
 a+b+c 


C ng (2)(3)(4) ta ư c:
5

5

5
 3a   3b   3c 
 ≥3

 +

 +
 a+b+c  a+b+c   a+b+c 

⇒ pcm

III. Bài t p tương t :
1. Ch ng minh r ng v i m i n = 1,2,…ta có:
n
n +1
1 
 1 
a) 1 +  < 1 +

 n   n +1
n

3
 1
b)  1 +  ≤ 3 −
n+2
 n
* Hư ng d n:

24


a) Bi n

i

1 

1 +

n +1

n
1

1 + 
n


n +1

n + 2  n 2 + 2n 
thành


n + 1  n 2 + 2n + 1 

b) Dùng qui n p, sau ó áp d ng b t

n

ng th c bernoulli :

k

1

k+3


1 + 2
 ≥
k + 2k 
k+2


2. Cho 2 s t nhiên a < b < c. ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n>a, ta có b t
th c : a + b < c (*)
n

n

n

*Hư ng d n:
n

Vi t b t

c
a
ng th c (*) dư i d ng tương ương   > 1 +  
b
b
n +1

n

n+2

1
1 


3. Ch ng minh r ng  1 +  >  1 +
 , n ≥ 1, n ∈ »
n
n +1


*Hư ng d n:
n+2
1 

n +1
1 +


1  
1 
 n +1
thành 1 −
Bi n i
1 +

2
n +1

 1
 ( n + 1)   n + 1 


1 + 
 n

4. Ch ng minh r ng n u 0 < α <

( 2 + sin α )

2 + tan α

π

, thì ta có:
2
1+ sin α
> ( 3 + tan α )
(1)

*Hư ng d n:
t x = 1 + sin α , y = 2 + tan α
B t

ng th c (1) ⇔ (1 + x ) > (1 + y )
y

x

Chương VI
ÁP D NG TÍNH ƠN I U C A HÀM S
I. Phương pháp gi i toán:
Gi s c n ch ng minh b t ng th c f ( x) > g(x), x ∈ (a;b)
Xét hàm s h(x) = f ( x) − g ( x) v i x ∈ [a;b]
• N u h( x) ng bi n trên (a;b) thì h( x) > h(a ) , ∀ x ∈ (a;b)
25

ng