Các phương pháp giải phương trình vô tỉ trong đề thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.01 MB, 46 trang )
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM
Câu 1: Giải phương trình x3 + x 2 − 2 x + 10 = 2 ( x 2 + x + 1) x − 1 + 6
21
x−4
2
Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3
Câu 2: Giải phương trình
2 x + 1 + 4 x − 7 = x3 − 6 x 2 +
Câu 4: Giải phương trình
1
1
−
=
2x + 3
x+4
x3 − 1
x2 − 2 x + 5 − 1
Câu 5: Giải phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 = ( x + 8 ) x + 3
.
Câu 6: Giải phương trình x3 + 5 x + ( x − 2 ) x + 1 = 4 x 2 + 4 − x + 2
Câu 7: Giải phương trình x3 + 4 x + ( x − 1) 2 x + 1 = 3 x 2 + x + 3
Câu 8: Giải phương trình
x − 1 + 3 x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình x3 + x 2 − 2 x + 10 = 2 ( x 2 + x + 1) x − 1 + 6
Lời giải:
ĐK: x ≥ 1 . Khi đó: PT ⇔ ( x − 1) − 2 ( x + x + 1) x − 1 + x 2 − 2 x + 10 − 5 = 0
3
⇔ ( x 2 + x + 1) x − 1
(
2
)
x −1 − 2 +
x 2 − 2 x − 15
=0
x 2 − 2 x + 10 + 5
( x − 5)( x + 3) = 0
x−5
⇔ ( x 2 + x + 1) x − 1.
+
x −1 + 2
x 2 − 2 x + 10 + 5
x −1
x+3
⇔ ( x − 5 ) ( x 2 + x + 1)
+
= 0 (1)
2
x
−
1
+
2
x
−
2
x
+
10
+
5
x −1
x+3
+
>0
x −1 + 2
x 2 − 2 x + 10 + 5
Với ĐK: x ≥ 1 ta có: ( x 2 + x + 1)
Do vậy PT (1) ⇔ x = 5 ( tm ) .
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 1 .
Câu 2: Giải phương trình
21
x−4
2
Lời giải:
2 x + 1 + 4 x − 7 = x3 − 6 x 2 +
(
) (
)
7
21
. Khi đó ta có: PT ⇔ 2 x + 1 − 3 + 4 x − 7 − 3 = x3 − 6 x 2 + x − 10
4
2
2 ( x − 4)
4 ( x − 4)
5
⇔
+
= ( x − 4) x2 − 2 x +
2
2x +1 + 3
4x − 7 + 3
ĐK: x ≥
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x = 4
⇔
2
4
5
+
= x2 − 2 x + ( 2)
2
2 x + 1 + 3
4x − 7 + 3
2
4
2 4
Xét PT(2) ta có: VT ( 2 ) =
+
< + =2
2x +1 + 3
4x − 7 + 3 3 3
Facebook: Lyhung95
7
∀x ≥
4
2
3 7 3
7
VT ( 2 ) = ( x − 1) + > − 1 + > 2 ∀x ≥
2 4 2
4
Do vậy PT(2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 4 .
2
Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3
ĐK: x ≥ 3 . Khi đó ta có: PT ⇔ 2 x + 1
⇔
2 2x + 1 ( x − 4)
+
3( x − 4)
(
Lời giải:
2 x + 1 − 3 + 3x + 4 − 4 + x − 3
) (
x − 3 ( x − 4)
+
)
(
)
x − 3 −1 = 0
=0
2x +1 + 3
3x + 4 + 4
x − 3 +1
2 2x +1
3
x −3
⇔ ( x − 4 ) .
+
+
= 0 ( 2 )
+
+
+
+
−
+
x
x
x
2
1
3
3
4
4
3
1
2 2x +1
3
x −3
+
+
>0
2x + 1 + 3
3x + 4 + 4
x − 3 +1
Do đó: ( 2 ) ⇔ x = 4 là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
Với x ≥ 3 ta có:
1
1
−
=
2x + 3
x+4
Câu 4: Giải phương trình
x3 − 1
x2 − 2 x + 5 − 1
Lời giải.
2 x + 3 > 0; x + 4 > 0
3
Điều kiện
⇔
x
>
−
.
2
2
0
x
2
x
5
1
≤
−
+
≠
Phương trình đã cho tương đương với
x + 4 − 2x + 3
x3 − 1
=
( 2 x + 3)( x + 4 ) x 2 − 2 x + 5 − 1
⇔
(
1− x
x + 4 + 2x + 3
⇔ ( x − 1)
(
)
( 2 x + 3)( x + 4 )
1
x + 4 + 2x + 3
)
=
( x ∈ ℝ) .
( x − 1) ( x2 + x + 1)
x2 − 2 x + 5 −1
=0
+
2
( 2 x + 3)( x + 4 ) x − 2 x + 5 − 1
x2 + x + 1
(1)
Chú ý rằng
1
(
=
x + 4 + 2x + 3
(
)
( 2 x + 3)( x + 4 )
)
x2 − 2 x + 5 − 1
( 2 x + 1) + 3 > 0, ∀x > − 3
2
2
( x − 1) + 4 − 1
2
1
x + 4 + 2x + 3
x2 + x + 1
+
( 2 x + 3)( x + 4 )
+
4
Do đó (1) có duy nhất nghiệm x = 1 .
Câu 5: Giải phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 = ( x + 8 ) x + 3
( x ∈ ℝ).
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Lời giải
ĐK: x ≥ −
⇔
1
(*) . Khi đó (1) ⇔ 3x + 1 − 2 = ( x + 8)
3
(
x+3−2
)
3x + 1 − 4
x +3− 4
3
x +8
= ( x + 8) .
⇔ ( x − 1)
−
=0
3x + 1 + 2
x+3 +2
2 + 3x + 1 2 + x + 3
Với x ≥ −
(2)
1
áp dụng BĐT Côsi ta có
3
(
)
2 2 + x + 3 = 4 + 2 x + 3 ≤ 4 + ( x + 3) + 1 = x + 8 ⇒
x+8
> 2.
2+ x+3
1
3
3
3
3
x+8
x+8
Với x ≥ − ⇒
≤ < 2⇒
<
⇒
−
< 0.
3
2 + 3x + 1 2
2 + 3x + 1 2 + x + 3
2 + 3x + 1 2 + x + 3
Do đó ( 2 ) ⇔ x = 1. Đã thỏa mãn (*).
Đ/s: x = 1.
Câu 6: Giải phương trình x3 + 5 x + ( x − 2 ) x + 1 = 4 x 2 + 4 − x + 2
( x ∈ ℝ).
Lời giải
ĐK: x ≥ −1 ( *) . Khi đó (1) ⇔ x − x + 2 − ( x − 2 ) x + 1 = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 4
(2)
Ta thấy x = −1 không thỏa mãn (2). Ta xét với nên x > −1 ⇒ x + x + 2 > −1 + −1 + 2 = 0.
Khi đó ( 2 ) ⇔
⇔
x2 − x − 2
− ( x − 2 ) x + 1 = ( x − 2) ( x2 − 2 x + 2)
x+ x+2
( x − 2 )( x + 1) −
x+ x+2
( x − 2)
x + 1 = ( x − 2) ( x2 − 2 x + 2)
x +1
⇔ ( x − 2)
− x + 1 − ( x2 − 2 x + 2) = 0
x+ x+2
(3)
Theo trên thì x + x + 2 > 0 nên với x > −1 ⇒ x + 2 > 1 ⇒
Mà − x + 1 − ( x 2 − 2 x + 2 ) = − x + 1 − ( x − 1) − 1 ≤ −1 ⇒
2
x +1
x+ x+2
<
=1
x+ x+2 x+ x+2
x +1
− x + 1 − ( x2 − 2 x + 2 ) < 1 − 1 = 0.
x+ x+2
Do đó ( 3) ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. Đã thỏa mãn điều kiện đang xét x > −1.
Đ/s: x = 2.
Câu 7: Giải phương trình x3 + 4 x + ( x − 1) 2 x + 1 = 3 x 2 + x + 3
( x ∈ ℝ).
Lời giải
ĐK: x ≥ −
1
(*) . Khi đó (1) ⇔ 2 x − x + 3 + ( x − 1) x + 1 + x3 − 3 x 2 + 2 x = 0
2
(2)
1
1
Với x ≥ − ⇒ 2 x + x + 3 ≥ −1 + − + 3 > 0.
2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
4x2 − x − 3
Do đó ( 2 ) ⇔
+ ( x − 1) 2 x + 1 + x ( x 2 − 3x + 2 ) = 0
2x + x + 3
⇔
( x − 1)( 4 x + 3) +
2x + x + 3
( x − 1)
2 x + 1 + x ( x − 1)( x − 2 ) = 0
4x + 3
⇔ ( x − 1)
+ 2 x + 1 + x2 − 2 x = 0
2x + x + 3
Với x ≥ −
(3)
1
áp dụng BĐT Côsi ta có
2
2x + x + 3 ≤ 2x +
( x + 3) + 1 = 5 x + 2 = 4 x + 2 − 3x ≤ 4 x + 2 + 3 . 1 < 4 x + 3.
2
2
Mà theo trên thì 2 x + x + 3 > 0 ⇒
Mặt khác
2
2 2
4x + 3
> 1.
2x + x + 3
2 x + 1 + x 2 − 2 x = 2 x + 1 + ( x − 1) − 1 ≥ −1 ⇒
2
4x + 3
+ 2 x + 1 + x 2 − 2 x > 1 − 1 = 0.
2x + x + 3
Do đó ( 3) ⇔ x = 1. Đã thỏa mãn (*).
Đ/s: x = 1.
Câu 8: Giải phương trình
x − 1 + 3 x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x
( x ∈ ℝ).
Lời giải
x −1 ≥ 0
x ≥ 1
ĐK: 3 x + 1 ≥ 0
⇔
⇔ x ≥ 1 ( *) .
2
( x − 1) ( x + 2 x + 2 ) ≥ 0
3
2
x + x − 2 ≥ 0
Khi đó (1) ⇔ x − 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x − 3x + 1 ⇔ x − 1 +
⇔ x −1 +
( x − 1) ( x 2 + 2 x + 2 ) =
( x − 1)( 4 x + 1) ⇔
2 x + 3x + 1
( x − 1) ( x2 + 2 x + 2 ) =
4 x 2 − 3x − 1
2 x + 3x + 1
( 4 x + 1) x − 1 = 0
x − 1 1 + x2 + 2 x + 2 −
2 x + 3 x + 1
(2)
Với x ≥ 1 áp dụng BĐT Côsi ta có
( 4 x + 1)
x −1
2 x + 3x + 1
⇒
( 4 x + 1)
x −1
2 x + 3x + 1
<
≤
( x + 1)
( 4 x + 1) .
( x − 1) + 1
2
2 x + 3x + 1
2
≤
x
2 = 4x +1 < x +1 =
2x
4
( 4 x + 1) .
+ 1 < 1 + x2 + 2 x + 2 ⇒ 1 + x2 + 2 x + 2 −
( x + 1)
( 4 x + 1)
2
x −1
2 x + 3x + 1
> 0.
Do đó ( 2 ) ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Đã thỏa mãn (*).
Đ/s: x = 1.
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. LIÊN HỢP 2 NGHIỆM ĐẸP
Câu 1: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 4 + 2 = 5 x + 4 x − 3 .
Câu 2: Giải phương trình
2 x2 − x + 8 + x2 − 5x + 2 = 5x − 4
Câu 3: Giải phương trình x 2 + 3 = 16 x − 23 +
(x
2
− 2 x + 4 ) ( 3x − 2 )
Câu 4: Giải phương trình x 3 x − 2 + ( x + 1) 5 x − 1 = 8 x − 3.
Câu 5: Giải phương trình x3 + 3 x 2 − 19 x + 12 + 5 x − 1 + 8 x − 7 = 0.
Câu 6: Giải phương trình 2 x + 1 − 3x − 2 − 5 x − 1 = ( x 2 − 3x + 2 ) x 2 − 2 x + 5.
Câu 7: Giải phương trình x 3 x − 2 + 3 5 x − 1 + ( x 2 − 3 x + 2 ) 3 x + 2 = x 2 + 3 x + 3.
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 4 + 2 = 5 x + 4 x − 3 .
Lời giải:
3
ĐK: x ≥ . Khi đó ta có: PT ⇔ 5 x 2 + 4 − ( 2 x + 1) + x − 4 x − 3 + x 2 − 4 x + 3 = 0
4
2
x − 4x + 3
x2 − 4x + 3
⇔
+
+ x2 − 4 x + 3 = 0
2
5x + 4 + 2x + 1 x + 4 x − 3
1
1
⇔ ( x 2 − 4 x + 3)
+
+ 1 = 0 (1)
2
5x + 4 + 2x + 1 x + 4 x − 3
x = 1
3
Với x ≥ ta có: (1) ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔
( tm ) .
4
x = 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1; x = 3 .
(
Câu 2: Giải phương trình
)
2 x2 − x + 8 + x2 − 5x + 2 = 5x − 4
Lời giải:
4
. Khi đó: PT ⇔ 2 x 2 − x + 8 − ( x + 2 ) + x − 5 x − 4 + x 2 − 5 x + 4 = 0
5
x2 − 5x + 4
x2 − 5 x + 4
⇔
+
+ ( x2 − 5x + 4) = 0
2
2 x − x + 8 + x + 2 x + 5x − 4
1
1
⇔ ( x2 − 5x + 4)
+
+ 1 = 0 (1) .
2
2x − x + 8 + x + 2 x + 5x − 4
5
1
1
Với x ≥ ta có:
+
+1 > 0 .
2
4
2 x − x + 8 + x + 2 x + 5x − 4
x = 1
Do vậy (1) ⇔ x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔
( tm ) .
x = 4
Vậy PT đã cho có nghiệm là : x = 1; x = 4 .
ĐK: x ≥
Câu 3: Giải phương trình x 2 + 3 = 16 x − 23 +
(x
2
− 2 x + 4 ) ( 3x − 2 )
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Lời giải:
23
. Khi đó: PT ⇔ ( 2 x − 1) − 16 x − 23 + x 2 − 2 x + 4 − ( x 2 − 2 x + 4 ) ( 3 x − 2 ) = 0
16
2
4 x − 20 x + 24
⇔
+ x 2 − 2 x + 4 x 2 − 2 x + 4 − 3x − 2 = 0
2 x − 1 + 16 x − 23
4
x2 − 5x + 6
2
⇔ ( x2 − 5x + 6)
+
x
−
2
x
+
4.
=0
2 x − 1 + 16 x − 23
x2 − 2 x + 4 + 3x − 2
x = 2
⇔ ( x 2 − 5 x + 6 ) .M ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔
( do M ( x ) > 0)
x = 3
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x = 2; x = 3 .
ĐK : x ≥
)
(
Câu 4: Giải phương trình x 3 x − 2 + ( x + 1) 5 x − 1 = 8 x − 3.
Lời giải
ĐK: x ≥
⇔
⇔
(
)
(
)
2
(*) . Khi đó (1) ⇔ x x − 3x − 2 + ( x + 1) x + 1 − 5 x − 1 − 2 ( x 2 − 3x + 2) = 0
3
x ( x 2 − 3x + 2 )
x + 3x − 2
x ( x 2 − 3x + 2 )
x + 3x − 2
( x + 1) − ( 5 x − 1) − 2 x 2 − 3x + 2 = 0
+ ( x + 1) .
(
)
2
x + 1 + 5x −1
+
( x + 1) ( x 2 − 3x + 2 )
x + 1 + 5x −1
− 2 ( x2 − 3x + 2 ) = 0
x
x +1
⇔ ( x 2 − 3x + 2 )
+
− 2 = 0
x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1
Với x ≥
(2)
2
x
x +1
x x +1
⇒
+
−2 < +
− 2 = 0.
3
x x +1
x + 3x − 2 x + 1 + 5x − 1
x = 1
Do đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔
đã thỏa mãn (*).
x = 2
Đ/s: x = 1; x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 5: Giải phương trình x3 + 3 x 2 − 19 x + 12 + 5 x − 1 + 8 x − 7 = 0.
Lời giải
ĐK: x ≥
(
) (
)
7
(*) . Khi đó (1) ⇔ x + 1 − 5 x − 1 + 2 x − 1 − 8 x − 7 = x3 + 3x2 − 16 x + 12
8
( x + 1) − ( 5 x − 1) + ( 2 x − 1) − ( 8 x − 7 ) =
⇔
2
x + 1 + 5x −1
2
2 x − 1 + 8x − 7
(x
2
− 3x + 2 ) ( x + 6 )
4 ( x2 − 3x + 2 )
x 2 − 3x + 2
⇔
+
= ( x 2 − 3x + 2 ) ( x + 6 )
x + 1 + 5x −1 2x −1 + 8x − 7
1
4
⇔ ( x 2 − 3x + 2 )
+
− x − 6 = 0
x + 1 + 5x − 1 2 x − 1 + 8x − 7
Với x ≥
(2)
7
1
4
1
4
8 16
2
⇒
+
− x −6 <
+
− 6 = + − 6 = − < 0.
7
7
8
15 3
15
x + 1 + 5x − 1 2 x − 1 + 8x − 7
+ 1 2. − 1
8
8
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
x = 1
Do đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔
đã thỏa mãn (*).
x = 2
Đ/s: x = 1; x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 6: Giải phương trình 2 x + 1 − 3 x − 2 − 5 x − 1 = ( x 2 − 3 x + 2 ) x 2 − 2 x + 5.
Lời giải
ĐK: x ≥
⇔
⇔
(
) (
)
2
(*) . Khi đó (1) ⇔ x − 3x − 2 + x + 1 − 5 x − 1 = ( x2 − 3x + 2) x2 − 2 x + 5
3
x 2 − ( 3x − 2 )
x + 3x − 2
( x + 1) − ( 5 x − 1) =
+
2
x + 1 + 5x −1
(x
2
− 3x + 2 ) x 2 − 2 x + 5
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
+
= ( x2 − 3x + 2) x 2 − 2 x + 5
x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1
1
1
⇔ ( x 2 − 3x + 2 )
+
− x2 − 2 x + 5 = 0
x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1
Với x ≥
⇒
(2)
2
2
10
2
⇒ x + 1 + 5x − 1 ≥ + 1 +
− 1 > 2 và x + 3 x − 2 ≥ .
3
3
3
3
1
1
1 1
+
− x2 − 2 x + 5 ≤ + −
2 2
x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1
3
( x − 1)
2
+4 ≤
3 1
+ − 4 = 0.
2 2
x = 1
đã thỏa mãn (*).
Do đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔
x = 2
Đ/s: x = 1; x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 7: Giải phương trình x 3 x − 2 + 3 5 x − 1 + ( x 2 − 3 x + 2 ) 3 x + 2 = x 2 + 3 x + 3.
Lời giải
ĐK: x ≥
⇔
⇔
(
) (
)
2
(*) . Khi đó (1) ⇔ x x − 3x − 2 + 3 x + 1 − 5 x − 1 = ( x2 − 3x + 2) 3x + 2
3
x ( x 2 − 3x + 2 )
x + 3x − 2
x ( x 2 − 3x + 2 )
x + 3x − 2
( x + 1) − ( 5 x − 1) =
+ 3.
2
x + 1 + 5x −1
+
3 ( x2 − 3x + 2 )
x + 1 + 5x −1
(x
2
− 3x + 2 ) 3x + 2
= ( x 2 − 3 x + 2 ) 3x + 2
x
3
⇔ ( x 2 − 3x + 2 )
+
− 3x + 2 = 0
x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1
Với x ≥
(2)
2
2
10
5 + 21 5 + 16
⇒ x + 1 + 5x −1 ≥ + 1 +
−1 =
>
= 3.
3
3
3
3
3
x
x
x
3
3
≤ =1⇒
+
− 3x + 2 < 1 + − 2 + 2 = 0.
3
x + 3x − 2 x
x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
x = 1
Do đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔
đã thỏa mãn (*).
x = 2
Đ/s: x = 1; x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
GIẢI PHÁP CHO KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 TRÊN MOON.VN
PRO – S
CHƯƠNG TRÌNH
(Dành cho h/s luyện thi từ 8 – 10 điểm )
PRO – E
CHƯƠNG TRÌNH
(Dành cho h/s luyện thi từ 6 – 8 điểm)
Khóa LUYỆN THI THPTQG 2016 – B1
Khóa LUYỆN THI THPTQG 2016 – B2
Khóa LUYỆN ĐỀ THPTQG 2016 – T1
Khóa LUYỆN ĐỀ THPTQG 2016 – T2
Khóa LUYỆN GIẢI BÀI TẬP TOÁN
Học phí trọn gói: 900.000 VNĐ
Học phí trọn gói: 800.000 VNĐ
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. LIÊN HỢP 2 NGHIỆM XẤU KINH
5x − 2
Câu 1: Giải phương trình x 2 − 4 x + 6 =
+ 11x + 7 .
x
Câu 2: Giải phương trình x3 − 3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x − 1 + x ( 3 x + 7 )
Câu 3: Giải phương trình x 2 − 5 x − 15 = 6 x + 2
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ ).
2 x 2 − 10 x + 5 = 5 x − 2 + x3 − 24 x + 11
x3 − 5 x2 + 5x + 1
Câu 5: Giải phương trình x 2 − 4 x + 3 =
3− x
2
2
Câu 6: Giải phương trình ( x + 1) 5 x − 2 + 5 x = 2 x 3 + 3 x
Câu 4: Giải phương trình
Câu 7: Giải phương trình
x2 + x + 1 x2
+
−
x+4
2
1
x2 + 1
−2=0
Câu 8: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 2 x = 4 x + 2 + 3 x + 1
LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình x 2 − 4 x + 6 =
5x − 2
+ 11x + 7 .
x
Lời giải.
2
. Phương trình tương đương
5
x3 − 4 x 2 + 6 x = 5 x − 2 + x 11x + 7
Điều kiện x ≥
⇔ x − 5 x − 2 + x 2 + 3 x − x 11x + 7 + x3 − 5 x 2 + 2 x = 0
(
)
⇔ x − 5 x − 2 + x x + 3 − 11x + 7 + x3 − 5 x 2 + 2 x = 0
x2 − 5x + 2
x2 − 5x + 2
⇔
+ x.
+ x ( x2 − 5x + 2) = 0
x + 5x − 2
x + 3 + 11x + 7
x
1
⇔ ( x2 − 5x + 2)
+
+ x = 0
x + 5 x − 2 x + 3 + 11x + 7
1
x
2
5 + 17
5 − 17
+
+ x > 0, ∀x ≥ nên x 2 − 5 x + 2 = 0 ⇔ x =
;x =
.
5
2
2
x + 5 x − 2 x + 3 + 11x + 7
5 + 17 5 − 17
Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm, S =
;
2
2
Ta thấy
Câu 2: Giải phương trình x3 − 3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x − 1 + x ( 3 x + 7 )
( x ∈ ℝ) .
Lời giải.
1
Điều kiện x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với
3
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
x − 3x − 1 + 2 x + 1 − 3 x 2 + 7 x + x ( x 2 − 3 x + 1) = 0
⇔
x 2 − 3x + 1
x 2 − 3x + 1
+
+ x ( x 2 − 3 x + 1) = 0
2
x + 3x − 1 2 x + 1 + 3x + 7 x
1
1
⇔ ( x 2 − 3 x + 1)
+
+ x = 0 (1)
2
x + 3x − 1 2 x + 1 + 3x + 7 x
2
x − 3x + 1 = 0
1
1
1
3+ 5
+
+ x > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔
Ta thấy
.
⇔x=
1
2
3
2
x + 3x − 1 2 x + 1 + 3x + 7 x
x ≥
3
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất kể trên.
Câu 3: Giải phương trình x 2 − 5 x − 15 = 6 x + 2
( x ∈ ℝ ).
Lời giải:
ĐK: x ≥ −2 (*). Khi đó (1) ⇔ x 2 − 5 x − 15 − 6 x + 2 = 0
(
)
⇔ ( x − 7 x − 17 ) + 2 x + 1 − 3 x + 2 = 0 ⇒ ( x − 7 x − 17 )
2
⇔ ( x − 7 x − 17 ) +
2
2
( x + 1)
+ 2.
2
− 9 ( x + 2)
x +1+ 3 x + 2
=0
2 ( x 2 − 7 x − 17 )
2
= 0 ⇔ ( x 2 − 7 x − 17 ) 1 +
=0
x +1+ 3 x + 2
x +1+ 3 x + 2
(
)
⇔ ( x 2 − 7 x − 17 ) x + 3 + 3 x + 2 = 0
(2)
Với x ≥ −2 có x + 3 + 3 x + 2 ≥ −2 + 3 + 0 > 0 nên ( 2 ) ⇔ x 2 − 7 x − 17 = 0 ⇔ x =
Thử lại
Đ/s:
7 ± 3 13
.
2
7 ± 3 13
thỏa mãn phương trình đã cho.
2
7 ± 3 13
.
2
2 x 2 − 10 x + 5 = 5 x − 2 + x3 − 24 x + 11
Lời giải
2
2 x − 10 x + 5 ≥ 0
Điều kiện:
5 x − 2 ≥ 0
Phương trình tương đương
2 x 2 − 10 x + 4
5 x − 2 − x2
2 x 2 − 10 x + 5 − 1 = 5 x − 2 − x + x3 − 23 x + 10 ⇔
=
+ ( x + 5) ( x2 − 5 x + 2 )
2
5x − 2 + x
2 x − 10 x + 5 + 1
Câu 4: Giải phương trình
⇔
2 ( x2 − 5x + 2)
2 x − 10 x + 5 + 1
2
+
x2 − 5x + 2
5x − 2 + x
− ( x + 5) ( x2 − 5x + 2) = 0
2
5 ± 17
x − 5x + 2 = 0 ⇔ x =
2
⇔
2
1
+
− x − 5 = 0 ( *)
2
5x − 2 + x
2 x − 10 x + 5 + 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1
2 x 2 − 10 x + 5 + 1 > 1 ⇒
Facebook: Lyhung95
2
<2
2 x 2 − 10 x + 5 + 1
2 x 2 − 10 x + 5 + 1
2
1
5
5x − 2 + x > ⇒
<
5
5x − 2 + x 2
2
1
5 9
9
1
⇒
+
< 2 + = < x + 5 x + 5 − = x + > 0 ⇒ (*) vn
2
2 2
2
2
5x − 2 + x
2 x − 10 x + 5 + 1
Ta có:
<1⇒
5 + 17
5 − 17
,x =
2
2
3
2
x − 5x + 5x + 1
Câu 5: Giải phương trình x 2 − 4 x + 3 =
3− x
Lời giải
2
x − 4x + 3 ≥ 0
x ≥ 3, x ≤ 1
x > 3
⇔
⇔
Điều kiện:
x ≠ 3
x ≤ 1
3 − x ≠ 0
Phương trình tương đương
x3 − 5x 2 + 5 x + 1
x2 − 4 x + 3 − 1
x3 − 5 x 2 + 5 x + 1 − 3 + x
x2 − 4x + 3 − 1 =
−1 ⇔
=
3− x
3− x
x2 − 4 x + 3 + 1
Vậy phương trình có nghiệm là x =
⇔
x2 − 4x + 2
x2 − 4 x + 3 + 1
=
( x − 1) ( x 2 − 4 x + 2 )
3− x
x −1
1
⇔ ( x2 − 4 x + 2)
+
=0
2
x − 4x + 3 + 1 x − 3
x2 − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
⇔
x −1
1
+
= 0 ( *)
x2 − 4x + 2 + 1 x − 3
x > 3
x −1
1
x −1
Vì
⇒
≥0⇒
+
> 0 ⇒ ( *) vn
2
x−3
x ≤ 1
x − 4x + 2 x − 3
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 + 2, x = 2 − 2
Câu 6: Giải phương trình ( x 2 + 1) 5 x − 2 + 5 x 2 = 2 x 3 + 3 x
Lời giải
Điều kiện: 5 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
2
5
Phương trình tương đương
(x
2
+ 1)
(
)
5 x − 2 − x + x + x + 5 x = 2 x + 3 x ⇔ ( x + 1)
3
2
3
2
5x − 2 − x2
5x − 2 + x
= x3 − 5 x 2 + 2 x
2
5 ± 17
x − 5x + 2 = 0 ⇔ x =
x +1
2
⇔ ( x 2 − 5x + 2) x +
=0⇔
2
x +1
5x − 2 + x
= 0 ( *)
x +
5x − 2 + x
2
2
x2 + 1
Vì x ≥ ⇒ x +
> 0 ⇒ (*) vn
5
5x − 2 + x
5 + 17
5 − 17
Vậy phương trình có nghiệm là x =
,x =
2
2
Câu 7: Giải phương trình
x2 + x + 1 x2
+
−
x+4
2
Điều kiện: x + 4 > 0 ⇔ x > −4
1
−2=0
x +1
Lời giải
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Phương trình tương đương
x2 + x + 1
−1
x + x +1 x
x2 − 3
x2 + 1 − 2
3 1
1
+
x
4
− 1 + − + −
+
+
=0
=0⇔
x+4
2
x2 + 1
x2 + x + 1
2 x2 + 1
2 2 2
+1
x+4
x2 − 3
x2 − 3
x2 − 3
⇔
+
+
=0
2
2
2
x2 + x + 1
2 x +1 x +1 + 2
+ 1
( x + 4 )
x+4
2
2
)
(
x2 = 3 ⇔ x ± 3
1
1
1
+ +
= 0 ( vn )
⇔
2
2
x + x + 1 2 2 x + 1 x2 + 1 + 2
( x + 4)
+ 1
x+4
Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = − 3
(
)
Câu 8: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 2 x = 4 x + 2 + 3 x + 1
Lời giải:
x ≥ 0
2
2
ĐK: −1
2 (*) . Khi đó: PT ⇔ 5 x + 2 x − ( 2 x + 1) + x + 1 − 4 x + 2 + x − 2 x − 1 = 0
2 ≤ x ≤ − 5
x2 − 2 x − 1
x2 − 2 x − 1
⇔
+
+ x2 − 2 x −1 = 0
2
5x + 2 x + 2 x + 1 x + 1 + 4x + 2
1
1
⇔ ( x 2 − 2 x − 1)
+
+ 1 = 0 (1)
2
5x + 2x + 2x + 1 x + 1 + 4x + 2
1
1
1
+
+1 > 0
Với x ≥ − ta có:
2
5x2 + 2 x + 2 x + 1 x + 1 + 4 x + 2
Do vậy PT (1) ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 ( tm )
Vậy PT đã cho có nghiệm là: x = 1 ± 2 .
GIẢI PHÁP CHO KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 TRÊN MOON.VN
PRO – S
CHƯƠNG TRÌNH
(Dành cho h/s luyện thi từ 8 – 10 điểm )
PRO – E
CHƯƠNG TRÌNH
(Dành cho h/s luyện thi từ 6 – 8 điểm)
Khóa LUYỆN THI THPTQG 2016 – B1
Khóa LUYỆN THI THPTQG 2016 – B2
Khóa LUYỆN ĐỀ THPTQG 2016 – T1
Khóa LUYỆN ĐỀ THPTQG 2016 – T2
Khóa LUYỆN GIẢI BÀI TẬP TOÁN
Học phí trọn gói: 900.000 VNĐ
Học phí trọn gói: 800.000 VNĐ
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
ĐẶT MỘT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình
2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16
Câu 2: Giải phương trình x ( x + 5 ) + 1 + 4 ( x + 2 )
x+3
=0
x+2
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
Câu 3: Giải phương trình ( x − 2 ) + 3 3 ( x − 2 ) ( x 3 + 2 x 2 ) = 8
2
2 x2 + 5x + 2 + x2 − x + 1 = 4 x
/
Câu 4: Giải phương trình
oc
15
.
2
3x − 5 =
01
Câu 5: Giải phương trình sau: x 2 + x + 2 x x − 3 + x 2 − 3 x = 2 ( x + 10 )
Da
)
3x − 5 + 1
x+2
uO
nT
Câu 8: Giải phương trình 5 x 2 + 1 = 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1
(
hi
Câu 7: Giải phương trình 3 x 2 + 2 x − 20 + 2 ( x + 2 )
iH
Câu 6: Giải phương trình x + x + 1 + x − 1 + x 2 − 1 =
2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16
Ta
Câu 1: Giải phương trình
iL
ie
LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP
( x ∈ ℝ) .
s/
Lời giải.
up
Điều kiện x ≥ −1 .
ok
.c
om
/g
ro
Đặt 2 x + 3 + x + 1 = t , t ≥ 1 suy ra t 2 = 3 x + 4 + 2 2 x 2 + 5 x + 3 ⇒ 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 = t 2 − 4 .
Phương trình ban đầu trở thành
t ≥ 1
t ≥ 1
t ≥ 1
⇔ 2
⇔
⇔t =5
2
t = t − 4 − 16
t − t − 20 = 0
t ∈ {−4;5}
bo
⇒ 3 x + 4 + 2 2 x 2 + 5 x + 3 = 25 ⇔ 2 2 x 2 + 5 x + 3 = 21 − 3 x
ww
w.
fa
ce
21 − 3 x ≥ 0
x ≤ 7
⇔
⇔ 2
⇔ x =3
2
2
4 ( 2 x + 5 x + 3) = 9 x − 126 x + 441 x − 146 x + 429 = 0
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất x = 3 .
Câu 2: Giải phương trình x ( x + 5 ) + 1 + 4 ( x + 2 )
x+3
=0
x+2
Lời giải.
( x ∈ ℝ) .
Điều kiện x ≤ −3 ∨ x > −2 . Phương trình tương đương x 2 + 5 x + 6 + 4 ( x + 2 )
x+3
= 5.
x+2
x+3
= t ⇒ t 2 = ( x + 2 )( x + 3) = x 2 + 5 x + 6 .
x+2
Ta thu được t 2 + 4t = 5 ⇔ ( t − 1)( t + 5 ) = 0 ⇔ t ∈ {−5;1} .
Đặt ( x + 2 )
x + 2 < 0
x < −2
5 + 105
t = −5 ⇒ t 2 = 25 ⇔ 2
⇔ 2
⇔x=−
.
2
x + 5 x + 5 = 25
x + 5 x − 20 = 0
x + 2 > 0
x > −2
−5 + 5
t = 1⇒ t2 = 1 ⇔ 2
⇔ 2
⇔x=
.
2
x
+
5
x
+
6
=
1
x
+
5
x
+
5
=
0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Kết luận bài toán đã cho có hai nghiệm kể trên.
Câu 3: Giải phương trình ( x − 2 ) + 3 3 ( x − 2 ) ( x 3 + 2 x 2 ) = 8
2
Lời giải:
Do x = 0 không phải nghiệm của PT đã cho.
4
4
Ta có: PT ⇔ x 2 − 4 x − 4 + 3 3 x 2 ( x 2 − 4 ) = 0 ⇔ x − 4 − + 3 3 x − = 0
x
x
4
ta có: t 3 + 3t − 4 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 4 ) = 0 ⇔ t = 1
x
4
1 ± 17
Với t = 1 ta có: x − = 1 ⇔ x 2 − x − 4 = 0 ⇔ x =
.
x
2
1 ± 17
.
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x =
2
oc
01
/
Đặt t = 3 x −
2 x2 + 5x + 2 + x2 − x + 1 = 4 x
Lời giải:
ĐK: x ≥ 0 .Do x = 0 không phải nghiệm của PT đã cho.
hi
Da
iH
Câu 4: Giải phương trình
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
1
1
Ta có: PT ⇔ 2 x + + 5 + x + − 1 = 4
x
x
1
Đặt t = x + ( t ≥ 0 ) ta có: 2t + 5 + t − 1 = 4 ⇔ 3t + 4 + 2 ( 2t + 5 )( t − 1) = 16
x
t ≤ 4
⇔ 2 ( 2t 2 + 3t − 5 ) = 12 − 3t ⇔
2 ⇔t =2
2
4 ( 2t + 3t − 5 ) = (12 − 3t )
1
Với t = 2 ta có: x + = 2 ⇔ x = 1 .
x
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
ok
.c
Câu 5: Giải phương trình sau: x 2 + x + 2 x x − 3 + x 2 − 3 x = 2 ( x + 10 )
bo
(
)
ce
ĐK: x ≥ 3
Lời giải:
fa
Đặt t = x + x 2 − 3 x t ≥ 3 ta có: t 2 = x 2 − 2 x + 2 x . x 2 − 3 x = x 2 − 2 x + 2 x x − 3
ww
w.
t = 4
Khi đó: PT ⇒ t 2 + t − 20 = 0 ⇔
t = −5 ( loai )
Với t = 4 ta có:
x + x 2 − 3x = 4 ⇔
(
) (
x −2 +
)
x2 − 3x − 2 = 0
1
x−4
x 2 − 3x − 4
x +1
+
= 0 ⇔ ( x − 4)
+
= 0 (1)
x +2
x 2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2
x +2
Với x ≥ 3 ta có: (1) ⇔ x = 4 ( tm )
⇔
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4 .
15
.
2
Lời giải:
Câu 6: Giải phương trình x + x + 1 + x − 1 + x 2 − 1 =
ĐK: x ≥ 1 .
(
)
Đặt t = x + 1 + x − 1 t ≥ 2 ta có: t 2 = 2 x + 2 x 2 − 1 ⇒ x + x 2 − 1 =
t2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
9
x ≤ 2
85
⇔
⇔x=
( tm )
81
36
2
2
x −1 = x − 9x +
4
85
Vậy PT đã cho có ngiệm duy nhất x = .
36
Câu 7: Giải phương trình 3 x 2 + 2 x − 20 + 2 ( x + 2 ) 3 x − 5 =
(
)
3x − 5 + 1
/
9
x
≤
2
x + 1 + x − 1 = 3 ⇔ 2 x + 2 x2 − 1 = 9 ⇔
x 2 − 1 = 9 − x
2
x+2
Da
hi
nT
uO
t = 4
t = −3 ( loai )
( t ≥ 0 ) . Ta có t 2 − t − 12 = 0 ⇔
x + 2 + 3 x 2 + x − 10 = 4 ⇔
(
) (
x+2 −2 +
)
3 x 2 + x − 10 − 2 = 0
up
Với t = 4 ta có:
x + 2 + 3 x 2 + x − 10
ie
t = x + 2 + 3 x 2 + x − 10
) −12 =
2
iL
(
3 x 2 + x − 10 + x + 2
Ta
⇔
5
. Khi đó ta có: PT ⇔ 3 x 2 + x − 10 + 2 ( x + 2 ) 3 x − 5 + x + 2 − 12 = x + 2 + 3 x 2 + x − 10
3
s/
ĐK: x ≥
iH
Lời giải:
01
Với t = 3 ta có:
t = 3
t2
15
+t = ⇔
2
2
t = −5 ( loai )
oc
Khi đó: PT ⇔
Facebook: Lyhung95
3 x 2 + x − 14
1
3x + 7
x−2
+
= 0 ⇔ ( x − 2)
+
= 0 (1)
2
x+2+2
x
2
2
+
+
3x 2 + x − 10 + 2
3
x
x
10
2
+
−
+
5
Với x ≥ ta có: (1) ⇔ x = 2 .
3
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2 .
ok
.c
om
/g
ro
⇔
ce
bo
Câu 8: Giải phương trình 5 x 2 + 1 = 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1
ww
w.
fa
Lời giải:
1
Điều kiện: 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
2
Phương trình tương đương ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1 − 5 x 2 − 2 x = 0
Đặt t = 2 x − 1 ⇒ t 2 + 2 ( 2 x + 1) t − 5 x 2 − 2 x = 0
t = −2 x − 1 + 3 x + 1 = x
2
2
Ta có ∆ ' = ( 2 x + 1) + 5 x 2 + 2 x = 9 x 2 + 6 x + 1 = ( 3 x + 1) ⇒
t = −2 x − 1 − 3 x − 1 = −5 x − 2
• TH1: t = x ⇒ 2 x − 1 = x ⇔ 2 x − 1 = x 2 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1
• TH2: t = −5 x − 2 ⇔ 2 x − 1 + 5 x + 2 = 0 ( vn )
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1
x
Câu 1: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 +
( x + 3)
3x + 2 = x 2 − 3x − 2 .
3
x
/
Câu 4: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0
Câu 5: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1
01
Câu 3: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x +
( x ∈ R)
oc
Câu 2: Giải phương trình
5x − 1
x3 + 3 + 1
hi
x3 + 6 x 2 − 7 x + 4
=
x3 − 2
trên tập số thực.
nT
Câu 7: Giải phương trình
Da
iH
Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực.
uO
Câu 8: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x
x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.
iL
( 4 x − 5)
( x ∈ R)
Ta
Câu 9: Giải phương trình
ie
2
up
s/
Câu 10: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.
/g
ro
LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP
ok
.c
om
Câu 1: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 +
1
x
Lời giải:
ww
w.
fa
ce
bo
2 1
x + ≥ 0
Điều kiện:
x
x ≠ 0
Phương trình tương đương
1
1
1
1
2 x 2 + 3 x + 2 + = ( 2 x + 3 ) x 2 + ⇔ x 2 + − ( 2 x + 3) x 2 + + x 2 + 3 x + 2 = 0
x
x
x
x
1
Đặt t = x 2 + ⇒ t 2 − ( 2 x + 3) t + x 2 + 3 x + 2 = 0
x
2x + 3 + 1
t=
= x+2
2
2
2
Ta có ∆ = ( 2 x + 3) − 4 ( x + 3 x + 2 ) = 1 ⇒
t = 2 x + 3 − 1 = x + 1
2
• TH1: t = x + 2 ⇔
−1 − 2
x=
x ≥ −2
x
≥
−
2
1
2
x2 + = x + 2 ⇔ 2 1
⇔ 2
⇒
2
x
−1 + 2
4 x + 4 x − 1 = 0
x + x = x + 4 x + 4
x =
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
• TH2: t = x + 1 ⇔
Facebook: Lyhung95
x ≥ −1
x = −1
x ≥ −1
1
x + = x +1 ⇔ 2 1
⇔ 2
⇔
1
2
x =
x
x
+
=
x
+
2
x
+
1
+
−
=
2
x
x
1
0
x
2
2
Vậy phương trình có nghiệm x =
Câu 2: Giải phương trình
( x + 3)
1
−1 − 2
−1 + 2
,x =
, x = −1, x =
2
2
2
3x + 2 = x 2 − 3x − 2 .
Lời giải:
2
ĐK: x ≥ − . Khi đó ta có: PT ⇔ 2 ( 3 x + 2 ) + ( x + 3) 3 x + 2 − x 2 − 3 x − 2 = 0
3
Đặt t = 3 x + 2 ( t ≥ 0 ) ta có: 2t 2 + ( x + 3) t − x 2 − 3x − 2 = 0
2
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
Da
iH
oc
− x − 3 + 3x + 5 x + 1
=
(1)
3x + 2 = t =
4
2
Do vậy
3x + 2 = t = − x − 3 − 3x − 5 = − x − 2 ( 2 )
4
2
+) Với x ≥ − ⇒ ( 2 ) vô nghiệm
3
x +1
+) Với 3 x + 2 =
⇔ 4 ( 3 x + 2 ) = x 2 + 2 x + 1 ⇔ x 2 − 10 x − 7 = 0 ⇔ x = 5 ± 4 2.
2
Kết hợp ĐK: Vậy x = 5 ± 4 2 là giá trị cần tìm.
/
2
01
Khi đó ta có: ∆ = ( x + 3) + 8 ( x 2 + 3 x + 2 ) = 9 x 2 + 30 x + 25 = ( 3 x + 5)
up
s/
Câu 3: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x +
3
x
(t ≥ 0)
.c
3
x
ta có: 2t 2 − ( x + 7 ) t + 2 x + 6 = 0 .
ok
Đặt t = x +
om
/g
ro
Lời giải:
3
3
3
3
ĐK: x > 0 . Khi đó PT ⇔ 2 2 x + 3 + = ( x + 7 ) x + ⇔ 2 x + − ( x + 7 ) x + + 2 x + 6 = 0 .
x
x
x
x
ww
w.
fa
ce
bo
x + 7 + x −1 x + 3
=
t =
2
2
4
2
2
Khi đó: ∆ = ( x + 7 ) − 16 ( x + 3) = x − 2 x + 1 = ( x − 1) .Do đó:
t = x + 7 − x + 1 = 2
4
3 x+3
x2 + 3 x2 + 6 x + 9
=
⇔
=
⇔ x3 + 2 x 2 + 9 x − 12 = 0 ⇔ x = 1.
x
2
x
4
x = 1
3
+) Với t = 2 ta có: x + = 2 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔
( tm )
x
x = 3
Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 3 .
+) Với t =
x+3
ta có:
2
x+
Câu 4: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0
Lời giải:
ĐK: x − x + 1 ≥ 0 ta có: PT ⇔ 2 ( x − x + 1) − 3 ( x − 1) x3 − x + 1 − 6 x − 2 = 0
3
3
( t ≥ 0 ) ta có: 2t 2 − 3 ( x − 1) t − 6 x − 2 = 0
2
2
∆ = 9 ( x − 1) + 16 ( 3 x + 1) = 9 x 2 + 30t + 25 = ( 3 x + 5 ) .
Đặt t = x3 − x + 1
Khi đó:
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
3x − 3 + 3 x + 5 3 x + 1
=
t =
4
2
Do vậy ta có:
t = 3x − 3 − 3x − 5 = −2 ( loai )
4
1
x = 3
3x + 1
x ≥ −
3
Với t =
ta có: 2 x − x + 1 = 3 x + 1 ⇔
⇔
3
1
x =
2
4 x3 − 9 x 2 − 10 x + 3 = 0
4
1
Vậy nghiệm của PT là: x = 3; x = .
4
Câu 5: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1
( x ∈ R)
Da
= ( x 2 − 4 x − 2 ) − 4 ( x 2 − 4 x − 3) = ( x 2 − 4 x − 3) − 2 ( x 2 − 4 x − 3) + 1 = ( x 2 − 4 x − 4 ) ≥ 0 nên
2
x −1
01
2
oc
)
x − 1 − ( x2 − 4 x − 2) x − 1 + x2 − 4 x − 3 = 0
2
2
hi
Ta có: ∆
(
iH
⇔
/
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 1 , phương trình đã cho tương đương
( x 2 − 4 x − 2 ) + ( x − 1) − 1 = ( x2 − 4 x − 2) x − 1
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
phương trình trên có hai nghiệm theo ẩn x − 1 là
x2 − 4 x − 2 − x2 + 4 x + 4
x2 − 4 x − 2 + x2 − 4 x − 4
x −1 =
= 1 hoặc x − 1 =
= x 2 − 4 x − 3 , do đó
2
2
• Với x − 1 = 1 suy ra x − 1 = 1 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2
1
• Với x − 1 = x 2 − 4 x − 3 suy ra x − 1 − 2 = x 2 − 4 x − 5 ⇔ ( x − 5 )
− x − 1 = 0 ⇔ x = 5
x −1 + 2
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm: x = 2; x = 5 .
om
/g
Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực.
ok
.c
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0 , phương trình đã cho được viết lại thành:
bo
2 x 3 − 2 x 2 + x − 6 = ( x − 1) 2 x3 − 2 x 2 + 4 x
( ∗)
ww
w.
fa
ce
Đặt t = 2 x 3 − 2 x 2 + 4 x ≥ 0 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + 4 x = t 2 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + x = t 2 − 3 x , khi đó phương trình ( ∗) trở
thành
t 2 − 3 x − 6 = ( x − 1) t ⇔ t 2 − ( x − 1) t − ( 3 x + 6 ) = 0
( ∗ ∗)
Ta có: ∆ (∗∗) = ( x − 1) + 4 ( 3 x + 6 ) = x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) ≥ 0 nên ( ∗∗) có hai nghiệm theo ẩn t là
2
2
x −1+ x + 5
x −1− x − 5
= x + 2 hoặc t =
= −3 mà t ≥ 0 do đó suy ra
2
2
x ≥ 0
t = x + 2 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + 4 x = x + 2 ⇔ 3
⇔x=2
2
2 x − 3x − 4 = 0
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
t=
x3 + 6 x 2 − 7 x + 4
Câu 7: Giải phương trình
=
x3 − 2
Điều kiện: x ≠ 3 2 , nhận thấy x =
5x − 1
trên tập số thực.
x3 + 3 + 1
Lời giải
1
không là nghiệm của phương trình nên phương trình ban đầu trở thành
5
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x3 + 6x2 − 7 x + 4
=
5x − 1
x3 − 2
=
3
+ 3) − 1
= x3 + 3 − 1
x + 3 +1
x + 6x − 7 x + 4
x3 + 6 x 2 − 2 x + 3
3
⇔
+1 = x + 3 ⇔
= x3 + 3
5x − 1
5x − 1
3
x + 3 +1
(x
Facebook: Lyhung95
3
3
2
( ∗)
Đặt t = x3 + 3 ≥ 0 ⇔ x3 + 3 = t 2 , khi đó phương trình ( ∗) tương đương
Ta có: ∆ (∗∗)
t 2 + 6 x2 − 2 x
= t ⇔ t 2 − ( 5 x − 1) t + 6 x 2 − 2 x = 0
( ∗ ∗)
5x − 1
2
2
= ( 5 x − 1) − 4 ( 6 x 2 − 2 x ) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) ≥ 0 , nên có hai nghiệm theo ẩn t là
5x − 1 + x − 1
5x − 1 − x + 1
= 3 x − 1 hoặc t =
= 2 x , do đó:
2
2
1
x = 1
x ≥
3
Với t = 3 x − 1 suy ra 3 x − 1 = x + 3 ⇔
⇔
3
x = 4 + 3 2
x3 − 9 x 2 + 6 x + 2 = 0
Câu 8: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x
( x ∈ R)
Da
iH
x = 1
x ≥ 0
Với t = 2 x suy ra 2 x = x + 3 ⇔ 3
⇔
.
2
x = 3 + 21
x
4
x
3
0
−
+
=
2
3 + 21
; x = 4+3 2
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = 1; x =
2
hi
oc
01
/
t=
iL
ie
uO
nT
3
Ta
2
)
2
+β
( x)
2
α = 2
do đó phương trình trên được viết lại
= 2α + ( β − α ) x ⇔
β = 1
ro
2−x
/g
(
om
Ta thấy: 4 − x = α
up
s/
Lời giải
Điều kiện: 2 ≥ x ≥ 0 , phương trình đã cho tương đương x − 4 + 2 2 − x − x + 3 x ( 2 − x ) = 0
.c
thành
ok
x + 2( 2 − x) − 2 2 − x + x − 3 x ( 2 − x) = 0
(
)
(
)
ce
bo
Đặt t = 2 − x ≥ 0 , khi đó ( ∗) tương đương 2t 2 − 3 x + 2 t + x + x = 0
2
(
)
(
x +2
)
2
≥ 0 , nên có hai nghiệm theo ẩn t là
w.
fa
Ta có: ∆ (∗∗) = 3 x + 2 − 8 x + x = x + 4 x + 4 =
( ∗)
( ∗ ∗)
ww
3 x +2+ x +2
3 x +2− x −2
x
= x + 1 hoặc t =
=
, do đó:
4
4
2
Với t = x + 1 suy ra
1
4+3 2
x ∈ 0;
2 − x = x + 1 ⇔ 2 − x = x + 1 + 2 x ⇔ 1 − 2x = 2 x ⇔
⇔x=
2
4
4 x 2 − 8 x + 1 = 0
x
8
suy ra 2 2 − x = x ⇔ 4 ( 2 − x ) = x ⇔ x =
Với t =
2
5
8
4+3 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = ; x =
5
4
t=
Câu 9: Giải phương trình
( 4 x − 5)
x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.
Lời giải
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
ĐK: x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ ( *) .
2
Đặt
x 2 − 2 x + 2 = t ( t ≥ 0 ) ⇒ 2 x 2 − 2 x + 1 = 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) + 2 x − 3 = 2t 2 + 2 x − 3.
Khi đó (1) trở thành ( 4 x − 5 ) t = 2t 2 + 2 x − 3 ⇔ 2t 2 − ( 4 x − 5 ) t + 2 x − 3 = 0
(2)
Coi (2) là PT bậc hai với t là ẩn số và x là tham số ta có
∆ = ( 4 x − 5 ) − 8 ( 2 x − 3) = 16 x 2 − 56 x + 49 = ( 4 x − 7 ) ≥ 0.
2
2
01
/
4x − 5 − ( 4x − 7) 1
=
t =
4
2
Do đó ( 2 ) ⇔
4x − 5 + ( 4x − 7)
= 2x − 3
t =
4
1
1
2
⇒ x 2 − 2 x + 2 = ⇔ 4 ( x 2 − 2 x + 2 ) = 1 ⇔ 4 ( x − 1) + 3 = 0. PT vô nghiệm.
2
2
TH1. t =
•
TH2. t = 2 x − 3 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 2 x − 3
hi
Da
iH
oc
•
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
3
x≥
3
3
2
7
x ≥ 2
x ≥
⇔
⇔
⇔ x = 1 ⇔ x = . Đã thỏa mãn (*).
2
3
x 2 − 2 x + 2 = ( 2 x − 3) 2
2
7
3 x − 10 x + 7 = 0
x =
3
ro
up
7
Đ/s: x = .
3
5 x − 4 = t ( t ≥ 0 ) ⇒ 2 x − 6 = t 2 − 3 x − 2.
bo
4
(*) . Đặt
5
ce
ĐK: x ≥
Lời giải
ok
.c
om
/g
Câu 10: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.
(2)
w.
fa
Khi đó (1) trở thành 2 x 2 + t 2 − 3x − 2 = ( 3x − 1) t ⇔ t 2 − ( 3x − 1) t + 2 x 2 − 3x − 2 = 0
ww
Coi (2) là PT bậc hai với t là ẩn số và x là tham số ta có
∆ = ( 3 x − 1) − 4 ( 2 x 2 − 3x − 2 ) = x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) ≥ 0.
2
2
3 x − 1 − ( x + 3)
= x−2
t =
2
Do đó ( 2 ) ⇔
3 x − 1 + ( x + 3)
= 2x +1
t =
2
•
TH1. t = x − 2 ⇒ 5 x − 4 = x − 2
x ≥ 2
x ≥ 2
x ≥ 2
⇔
⇔ x = 1 ⇔ x = 8. Đã thỏa mãn (*).
2 ⇔ 2
x − 9x + 8 = 0
x = 8
5 x − 4 = ( x − 2 )
•
TH2. t = 2 x + 1 ⇒ 5 x − 4 = 2 x + 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
1
1
x≥−
1
2
x ≥ − 2
x ≥ −
(Vô nghiệm).
⇔
⇔
⇔
2
2
5 x − 4 = ( 2 x + 1)2
4 x 2 − x + 5 = 0
3 x 2 + x − 1 + 19 = 0
2
4
ww
w.
fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
Da
iH
oc
01
/
Đ/s: x = 8.
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – DẠNG 2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 1
Câu 1 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 − 4 x3 − x 2 − 4 = 4 x − 12
Câu 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 12 x = 9 + 7 x 4 x − 3
b)
2
+ 4 x + 2 = 5 x2 + x + 1
x
Câu 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
2 x2 − 4 x + 5
= 2 x2 + 1
a)
x−2
b) 6 x 2 − x = 21 + ( x − 3) x 2 + x − 6
Câu 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2 − 5 x x 2 + x + 1 = x + 1
3
b) 3 x + 5 1 + = 8 3 + x
x
Câu 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 3 x +
1
+ 2 = 3 x2 + 4 x + 2
x
b) 6 x 2 − 6 x + 5 = 5 ( x − 1) 2 x 2 + 2 x + 1
Câu 6 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 7 x + 1 = 7 x 3 − 1
b) 5 x 2 − 2 x + 8 = 8 x 3 + 1
Câu 7 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 10 x 2 − 6 x + 5 = 5 4 x 4 + 1
b) x 2 + x + 21 = 5 x 3 + 27
Câu 8 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a)
x3 − 64 = 3 x 2 + 10 x + 56
b)
x4 + x2 + 1 1
=
3x 2 − 5 x + 3 3
Câu 9 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 20 x 2 − 3x + 5 = 5 16 x 4 − x 2 + 1
b)
7 x 2 ( x + 1) − 2
5 x 2 + 12 x + 8
=1
Câu 10 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 + 4 x + 1 = x 4 + x 2 + 1
Câu 11 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 72 x 2 − 4 x + 9 = 9 64 x 4 + 1
b) 7 x 2 − 5 x + 7 = 7 x 4 + x 2 + 1
Câu 12 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 16 x + 7 = 4 x 4 − 6 x3 + 8 x 2 − 7 x + 2
Câu 13 [ĐVH]: Giải phương trình 5 x 2 − x + 5 = 5 x 4 + x 2 + 1
Câu 14 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − x + 1 = 4 x 4 + 1
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
( x ∈ ℝ) .
Câu 15 [ĐVH]: Giải phương trình 8 x 2 + 20 x + 1 = 64 x 4 + 1
Câu 16 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 − 4 x + 23 = 3 x 4 − 8 x + 63
(
)
(
x2 − 1 + 2 x2 − x − 2
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
Câu 17 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 + x + 12 = x 4 + 7 x 2 + 16
Câu 18 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − 1
Facebook: Lyhung95
)
x2 + x − 1 = 0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – MẪU 1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG
( x ∈ ℝ) .
( x + 8)( x + 2013) + 8 .
Câu 1: Giải phương trình
x + 1 + x − 2 = x2 − x − 2 + 1
Câu 2: Giải phương trình
x + 8 + 8 x + 2013 =
Câu 3: Giải phương trình ( 3 + x ) 2 x +
7
= 2 ( x 2 + 5) .
x
Câu 4: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 13) x = ( x + 5 ) 4 x 2 + 21 .
Câu 5: Giải phương trình x + 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 3 x − 5 = 15 .
Câu 6: Giải phương trình x + x 3 + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 3 .
Câu 7: Giải phương trình
x2 − x + 7
=
2x + 5
x2 − x + 1
x +1
Câu 8: Giải phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) 2 x − 1 + ( x 2 − 3 x ) x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2 ) .
Câu 9: Giải phương trình 2 x − 3 + ( x − 1) x − 1 = ( x − 1) 2 x − 3 + 2 x 2 − 5 x + 3.
Câu 10: Giải phương trình x3 − x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 + 2 x + 3) x 2 − 2 x + 2.
LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình
x + 1 + x − 2 = x2 − x − 2 + 1
( x ∈ ℝ) .
Lời giải.
Điều kiện x ≥ 2 . Phương trình đã cho tương đương với
Đặt
x + 1 + x − 2 = x 2 − x − 2 + 1 ⇔ x − 2 − 1 = x + 1. x − 2 − x + 1 .
x − 2 = u; x + 1 = v thu được
x − 2 = 1 x − 2 = 1 x = 3
u − 1 = uv − v ⇔ ( u − 1)( v − 1) = 0 ⇔
⇔
⇔
x +1 = 1
x = 0
x + 1 = 1
Kết luận bài toán có hai nghiệm.
Câu 2: Giải phương trình
x + 8 + 8 x + 2013 =
( x + 8)( x + 2013) + 8 .
Lời giải.
Điều kiện x ≥ −8 . Phương trình đã cho tương đương với
x + 8 − 8 = x + 8. x + 2013 − 8 x + 2013 .
Đặt x + 8u; x + 2013 = v thu được
u + 8 = uv − 8v ⇔ ( u − 8)( v − 1) = 0
x +8 = 8
x = 56
x + 2013 − 1 = 0 ⇔
⇔
x + 2013 = 1 x = −2012
Kết luận phương trình có hai nghiệm kể trên.
⇔
(
x +8 −8
)(
)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Câu 3: Giải phương trình ( 3 + x ) 2 x +
Điều kiện x > 0 .
Facebook: Lyhung95
7
= 2 ( x 2 + 5) .
x
Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với ( x + 3) 2 x 2 + 7 = 2 ( x 2 + 5 ) x .
Đặt
u = v
2 x 2 + 7 = u; x = v ( u > 0; v > 0 ) ta có ( v 2 + 3) u = ( u 2 + 3) v ⇔ ( u − v )( uv − 3) = 0 ⇔
uv = 3
• Với u = v ⇔ 2 x 2 − x + 7 = 0 (Vô nghiệm).
• Với uv = 3 ⇔ 2 x 3 + 7 x − 9 = 0 ⇔ ( x − 1) ( 2 x 2 + 2 x + 9 ) = 0 ⇔ x = 1 .
So sánh điều kiện ta thu được nghiệm S = {1} .
Câu 4: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 13) x = ( x + 5 ) 4 x 2 + 21 .
Lời giải.
Điều kiện x ≥ 0 .
x = a; 4 x 2 + 21 = b ( a ≥ 0; b > 0 ) thì phương trình đã cho trở thành
Đặt
a = b
+ 5 ) a = ( a 2 + 5 ) b ⇔ ( a − b )( ab − 5 ) = 0 ⇔
ab = 5
Với a = b ⇔ 4 x 2 − x + 21 = 0 (Vô nghiệm).
Với ab = 5 ⇔ x ( 4 x 2 + 21) = 25 ⇔ ( x − 1) ( 4 x 2 + 4 x + 25 ) = 0 ⇔ x = 1 .
(b
•
•
2
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S = {1} .
Câu 5: Giải phương trình x + 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 3 x − 5 = 15 .
Lời giải:
5
ĐK: x ≥ . Đặt a = x + 1; b = 3 x − 5 ( a; b ≥ 0 ) .
3
Khi đó: PT ⇔ x + 1 + ( 3 x − 5)( x + 1) + 4 3 x − 5 = 16
⇒ a 2 + ab + 4b − 16 = 0 ⇔ ( a − 4 )( a + 4 ) + b ( a + 4 ) = 0 ⇔ ( a + 4 )( a + b − 4 ) = 0 .
⇔ a + b − 4 = 0 ( do a ≥ 0 )
Do đó ta có: x + 1 + 3 x − 5 = 16 ⇔ 4 x − 4 + 2 3 x 2 − 2 x − 5 = 16 ⇔ 3 x 2 − 2 x − 5 = 10 − 2 x .
x ≤ 5
⇔ 2
⇔ x = 3 ( tm ) .
38
105
0
x
−
x
+
=
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
Câu 6: Giải phương trình x + x 3 + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 3 .
Lời giải:
ĐK: x ≥ −1 . Đặt
x + 1 = a; b = x 2 − x + 1 ta có: a 2 + ab + 2b = 4 ⇔ ( a + 2 )( a + b − 2 ) = 0
⇔ a + b = 2 ⇒ x + 1 + x 2 − x + 1 = 2 ⇔ x 2 + 2 + 2 x3 + 1 = 4 ⇔ 2 x 3 + 1 = 2 − x 2
x = 0
x = 0
⇔ 4 ( x3 + 1) = 4 − 4 x 2 + x 4 ⇔ x 4 − 4 x3 − 4 x 2 = 0 ⇔ 2
⇔
x − 4x − 4 = 0
x = 2 ± 2 2
Vậy nghiệm của PT là: x = 0; x = 2 ± 2 2 .
Câu 7: Giải phương trình
x2 − x + 7
=
2x + 5
x2 − x + 1
x +1
Lời giải:
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
