Kĩ thuật hằng số vắng trong giải phương trình chứa căn lớp 10 thpt

KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Dạy học môn toán ở trường phổ thông là hướng tới việc dạy cho học sinh
biết giải toán. Tuy nhiên khả năng của mỗi học sinh là khác nhau. Cùng một thầy
cô giáo truyền đạt với cùng một nội dung nhưng có học sinh làm được và có
những học sinh gặp khó khăn với vấn đề đó. lí do ở đây là từ phía học sinh hay
phía thầy cô? Theo bản thân tôi thì từ hai phía:
Từ phía thầy cô là không đơn giản hoá những vấn đề phức tạp để học sinh
nắm được dễ dàng hơn; thầy cô truyền đạt kiến thức một cách máy móc; thầy cô
chỉ mô tả lại những gì đã được viết trong sách giáo khoa hay các tài liệu tham
khảo, không phân tích, không nhấn mạnh những nội dung trọng tâm, không giải
mã được các điểm mấu trốt của bài toán.
Từ phía trò là khả năng của một bộ học sinh còn hạn chế; cảm thấy khó tiếp
thu với cách thầy cô truyền đạt.
Bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn là
dạng toán chúng ta thường gặp trong các kì thi tuyển sinh ĐH&CĐ. Và chúng ta
đã biết có rất nhiều cách để giải bài toán này như: biến đổi tương đương, đặt ẩn
phụ, phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số....tuy nhiên đối với học sinh lớp
10 thì có một vài phương pháp là chưa thể dùng được hoặc có những bài toán đã
được tích hợp rất nhiều kĩ năng trong đó mà một bộ phận học sinh không thể phát
hiện ra cách giải và thầy cô cũng chưa khái quát được phương pháp chung cho nó.
Sau khi tìm hiểu, tiến hành giải các bài toán loại này tôi đã chọn đề tài
“ Kỹ thuật hằng số vắng trong giải phương trình chứa căn thức”
1.2. Cơ sở thực tiễn
Từ việc đọc tài liệu, thông qua các tiết luyện tập và dạy bồi dưỡng cho các
đối tượng học sinh. Tôi nhận thấy cần thiết phải khái quát dạng bài toán trên nhằm
đưa ra một lối tư duy đơn giản và hiệu quả trong dạy học, gỡ bỏ những rào cản về
mặt kiến thức cho học sinh, giúp các em có thêm một công cụ trong giải toán.
1.3. Cơ sở khoa học

Giải quyết tốt nội dung trong đề tài sẽ giúp đa số học sinh có thể làm được
bài tập, hơn thế nữa là giúp một bộ phận Thầy, Cô giáo trong việc đánh giá, nhìn
nhận năng lực tiếp thu của học sinh, trên cơ sở đó để lựa chọn cách thực hiện hoạt
động giáo dục phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này tập trung giải quyết các nội dung:
- Khái quát cách giải cho một lớp bài toán, gỡ bỏ rào cản về mặt kiến thức
cho học sinh.
- Chỉ ra cách tạo “hằng số vắng” cho bài toán.
- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận và thực nghiệm sư phạm.

Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

1


KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

2. NỘI DUNG
2.1. Cách tạo “ Hằng số vắng”:
Bài toán 1: Giải phương trình: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 = 0 (1)
(Đề thi ĐH khối B – 2010)
Đáp án của Bộ giáo dục và đào tạo
1
3
3 x + 1 − 4 + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 5 = 0

Điều kiện: − ≤ x ≤ 6
Pt(1) ⇔ (

) (

tạo ra
như
thế
nào?

tạo ra
như thế
nào?

⇔

3 ( x − 5)
3x + 1 + 4

)

+

x−5
+ ( x − 5 ) ( 3 x + 1) = 0
6 − x +1

3
1


⇔ ( x − 5) 
+

+ 3 x + 1 = 0
6 − x +1
 3x + 1 + 4

x = 5
⇔
3
1

+
+ 3 x + 1 = 0 (*)
6 − x +1
 3 x + 1 + 4
1
Pt(*) vô nghiệm, do VT > 0 với − ≤ x ≤ 6
3

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.
Bình luận: Đáp án trên không có gì sai sót, tuy nhiên tôi đã nhận được rất nhiều
thắc mắc của học sinh là con số 4 và 1 được lấy từ đâu? tại sao lại là hai con số
đó mà không phải là hai con số khác và nó được tạo ra như thế nào? Đúng thật là
một vấn đề cần chú ý đối với học sinh và việc tạo ra hai con số đó là tự phát hay
có một qui luật nào không?
Việc tạo ra hai con số trên là có một qui luật. tôi sẽ giúp các em tìm ra qui luật đó
và đây cũng là nội dung của đề tài “Kỹ thuật hằng số vắng” .
Khi thực hiện tìm hằng số vắng của bài toán các em hãy nhẫm một nghiệm của
phương trình, nhận thấy phương trình (1) có nghiệm x0 = 5.
Tìm hằng số vắng:
con số 4 = 3x0 + 1 = 3.5 + 1 = 4
con số 1 = 6 − x0 = 6 − 5 = 1

Đây là lí do và cách để tạo hai con số 4 và 1.
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

2


KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Bài toán 2:
Giải phương trình: x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 (1)
(OLYMPIC 30/4 đề nghị)
Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥

5
3

Ta nhận thấy : x0 = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy có thể tạo ra hằng số
vắng như sau:
Hằng số 1

x02 + 12 = 22 + 12 = 4

Hằng số 2

x02 + 5 = 22 + 5 = 3

Pt(1) ⇔

) (

(

x 2 + 12 − 4 −
x2 − 4

)

x 2 + 5 − 3 = 3x − 6
x2 − 4

−
= 3( x − 2)
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3


x+2
x+2
⇔ ( x − 2) 
−
− 3÷= 0 ⇔ x = 2
2
x2 + 5 + 3 
 x + 12 + 4
x+2
x+2
5
−

− 3 < 0, ∀x > )
(Do
3
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
⇔

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2.2. Gỡ bỏ rào cản kiến thức
Bài toán 1:
Giải phương trình: 3 x + 6 + x 2 = 7 − x − 1
(3)
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng)
Đáp án:
Điều kiện: x ≥ 1
Pt (3) ⇔ 3 x + 6 + x − 1 + x 2 = 7
+) Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình;
+) Với x > 1, xét hàm số: f ( x ) = 3 x + 6 + x − 1 + x 2 ( x > 1)
Ta có

f '( x) =

1
33 ( x + 6)

2

+

1

+ 2 x > 0, x > 1
2 x −1

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; +∞ ) nên pt(3) có không quá 1 nghiệm trên
( 1; +∞ ) , mặt khác f(2) = 7 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 2.
Bình luận: Với cách giải sử dụng phương pháp hàm số như trên thì học sinh lớp
10 là chưa phù hợp. tuy nhiên nếu sử dụng kỹ thuật hằng số vắng thì sẽ phù hợp
với kiến thức của học sinh lớp 10.
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

3


KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Cách giải phù hợp đối với học sinh lớp 10 – “Gỡ rào cản kiến thức”
Tạo hằng số vắng:
Nhận thấy x0 = 2 là nghiệm của phương trình (3),
3

Hằng số 1

x0 + 6 = 3 2 + 6 = 2

x0 − 1 = 2 − 1 = 1

Hằng số 2

Bài làm
Điều kiện: x ≥ 1

2
Pt (3) ⇔ ( 3 x + 6 − 2 ) + ( x − 1 − 1) + x − 4 = 0
x−2

⇔
3

( x + 6)

2

+ 23 x + 6 + 4

+

x−2
+ ( x − 2) ( x + 2) = 0
x −1 + 2



1
1

⇔ ( x − 2)
+
+ ( x + 2)  = 0
 3 x + 6 2 + 23 x + 6 + 4

x −1 + 2

)
 (

x = 2

1
1
⇔
+
+ x + 2 = 0 (*)
 3 ( x + 6) 2 + 2 3 x + 6 + 4
x −1 + 2

Phương trình (*) vô nghiệm với ∀x ≥ 1 .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài toán 2
 2 2 x + y = 3 − 2 x − y (1)
Giải hệ phương trình:  3
(2)
 x + 6 + 1 − y = 4

(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc)

Giải:
2 x + y ≥ 0
y ≤1

Điều kiện: 

 2 x + y = 1 (t / m)
⇔
2
x
+
y
+
2
2
x
+
y
−
3
=
0
⇔

(
)
Pt (1)
 2 x + y = −3 (l )
Với 2 x + y = 1 ⇔ y = 1 − 2 x thay vào (2), ta có: 3 x + 6 + 2 x = 4 (*)

“ Ta sử dụng kỹ thuật hằng số vắng để giải phương trình (*): nhận thấy
phương trình có nghiệm x0 = 2 và 3 x0 + 6 = 3 2 + 6 = 2 ; 2 x0 = 2.2 = 2 ”
phương trình (*) ⇔ ( 3 x + 6 − 2 ) + ( 2 x − 2 ) = 0

Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

4


KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

x−2

⇔
3

( x + 6)

2

+2 x+6 +4
3

+

2 ( x − 2)
2x + 2

=0



1
2 

⇔ ( x − 2)

+
=0
 3 x + 6 2 + 23 x + 6 + 4

2
x
+
2
)
 (

x = 2

1
2
⇔
+
= 0 (**)
2
 3 ( x + 6) + 2 3 x + 6 + 4
2x + 2

Phương trình (**) vô nghiệm với x ≥ 0 . Với x = 2, suy ra y = - 3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; - 3).
Thông thường thì phương trình (*) được giải bằng phương pháp hàm số.
Nhưng nếu thế thì sẽ không phù hợp với học sinh lớp 10 và chúng ta thấy nếu
sử dụng kỹ thuật hằng số vắng thì bài toán này rất quen thuộc với các em học
sinh lớp 10.
2.3. Bài tập vận dụng

Giải các phương trình
1. x − 3 1 − x = 5 − 4 x
2. x − 1 = − x3 − 4 x + 5
3. 2 x − 1 + x 2 + 3 = 4 − x
4. x 2 + 15 + 2 = 3x + x 2 + 8
5. x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11

Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

5


KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

3. KẾT LUẬN
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
1) Đề tài đã chỉ ra được các vướng mắc của một lớp đối tượng học sinh trong
khi giải toán, tiếp thu kiến thức mà khi viết tài liệu các tác giả xem nó như
là những nội dung mà tất cả học sinh đều nắm được một cách đơn giản.
2) Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học sinh
tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, rễ hiểu hơn.
3) Đề tài đã tạo ra cho các thầy, cô giáo một thay đổi trong quá trình nhìn
nhận, đánh giá năng lực của một bộ phận học sinh.
4) Đề tài có thể được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt
động giáo dục.
5) Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải
phương trình chứa căn thức. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có
hướng dẫn kỹ thuật này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã
có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các

lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và
có kỹ năng giải được các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra
thử như sau :
Điểm từ 5 đến
Năm
Tổng
Điểm 8 trở lên
Điểm dưới 5
Lớp
8
học
số
Số
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
lượng
10C1
46
36 78.2 %
7
15.2 %
3
6.6 %
201110C2
48

30
62.5%
10
20.8%
8
16.7 %
2012
10C4
48
15 31.3 % 20 41.7 % 13
27 %
Như vậy tôi thấy kỹ thuật hằng số vắng có hiệu quả trong giảng dạy. Theo tôi
khi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và
cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Các bạn đồng nghiệp thân mến. Các kỹ thuật giải toán được tôi nêu trong
đề tài này tưởng như không có gì đặc biệt, tuy nhiên nó lại tạo ra một hướng giải
toán hiệu quả và phù hợp với đại bộ phận học sinh. Quá trình giảng dạy tôi đã
nhận được không ít những câu hỏi, thắc mắc và bằng cách sử dụng kỹ thuật trên
hướng dẫn cho học sinh thì học sinh nắm được vấn đề và giải tốt các bài toán
tương tự. Đề tài này có thể không tránh khỏi những sai sót nhỏ, mong các bạn
đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thanh cảm ơn!
Yên Định, tháng 4 năm 2012

Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

6