Phép biến hình học trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÁI NGUYÊN

KHOA TOÁN
BÀI THẢO LUẬN NHÓM
MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH II
Đề tài: các không gian con bất biến CỦA các
phép biến đổi hình học ở THPT
GVHD: Dương Quang Hải
Nhóm thực hiện: Nhóm 1
Lớp học phần: MOA341M


Nội dung bài thảo luận
1. Các phép biến hình cơ sở
2. Phép biến hình tuyến tính
3. Ma trận của phép biến hình.
4. Kết hợp các phép biến hình
5. Các phép biến hình trong không gian 3 chiều


1. Các phép biến hình cơ sở
*Phép biến hình:
Định nghĩa: Phép biến hình là 1 quy tắc để với mỗi điểm M
của mặt phẳng xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó.
Kí hiệu: phép biến hình T
T : M → M'
Ta có:

M ' = f (M)

⇒ T là phép đồng nhất ⇔ M = f ( M ), ∀M

*Phép biến hình hợp
Thực hiện 2 phép biến hình liên tiếp ta được một phép
biến hình gọi là hợp thành của 2 phép biến hình.

f1 , f2 : hai phép biến hình ⇒ f1 o f2 : phép biến hình


1. Các phép biến hình cơ sở
1.1. Phép tịnh tiến /dời hình: (translation)
• Phép tịnh tiến dùng để dịch chuyển đối tượng từ vị trí này
sang vị trí khác.
• Ảnh của phép tịnh tiến theo vector (a,b) của điểm P(x,y) là
điểm Q(x’,y’)
x ' = x + a

y ' = y + b
• Vector tịnh tiến (a,b) còn gọi là “vector độ dời”. Chúng ta có
thể áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm của đối tượng để dịch
chuyển nó.
y

O

x


1. Các phép biến hình cơ sở
1.2. Phép tỷ lệ /vị tự: (scaling)
6

• Phép biến đổi 5tỷ lệ làm thay đổi kích thước của đối tượng.
4

tx=ty=3

3
2

 x ' = tx.x

 y ' = ty.y

tx=3; ty=1

trong đó ty, tx là
1 hệ số co dãn theo trục tung và trục hoành.
1

2

3

4

5

6

• Khi tx,ty nhỏ hơn 1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng.
• Khi tx,ty lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng to đối tượng.

• Khi tx=ty: ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling),
nó bảo toàn tỷ lệ về kích thước của vật thể.


1. Các phép biến hình cơ sở
1.3. Phép quay: (rotation)
• Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng.
• Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay và góc quay.
Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ một góc α tạo
thành điểm ảnh Q(x’,y’) có công thức như sau:
 x ' = x .cos α − y.sin α

 y ' = x.sin α + y.cos α
y
180
0

O

Phép quay quanh một điểm

x


2. Phép biến hình tuyến tính

Một phép biến hình T được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa
mãn 2 tính chất sau đây:
r r
r

r
rr
T
u
+
v
=
T
u
+
T
v
,
∀
u
,v
) ( ) ( )
a) Cộng tính: (
r
r
r
b) Tỷ lệ: T ( ku ) = kT ( u ) , ∀u, ∀k ∈ Κ
r r
Từ tính chất cộng tính của T dễ dàng suy ra là T 0 = 0

( )

hay một điều kiện cần để T tuyến tính là T phải giữ cố
định gốc tọa độ O

2. Phép biến hình tuyến tính

Tính chất đặc biệt của phép biến hình tuyến tính là” ta

r
r
r
cần biết được T ( e1 ) , T ( e2 ) thì sẽ tìm được tất cả các T ( u )

với là vecto bất kỳ” (ở đây là các vector đơn vị)
Thật vậy, vì mỗi vecto bất kì đều có biểu diễn là với x ,y
là các tọa độ của nến ta có :
r
r
r
r
r
T ( u ) = T ( xe1 + ye2 ) = T ( xe1 ) + T ( ye2 )
r
r
r
⇒ T ( u ) = xT ( e1 ) + yT ( e2 ) ( * )


2. Phép biến hình tuyến tính
2.1. Bài toán 1: Tìm công thức tọa độ của phép quay:
Xét T là phép quay tâm O, góc α. Ta tìm ảnh của hai vector , .
Rõ ràng:
r

r
T ( e1 ) = (cos α,sin α), T ( e2 ) = ( − sin α,cos α)

Thế vào công thức (*) ta thu được công thức biểu diễn của
phép quay tâm O góc là:
r
r
r
r
r
T ( u ) = T ( xe1 + ye2 ) = T ( xe1 ) + T ( ye2 )

Hay công thức tọa độ của điểm
ảnh
( x ', y ') = T ( x, y ) = ( x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)
 x ' = x cos α − y sin α
⇔
(**)
 y ' = x sin α + y cos α


2. Phép biến hình tuyến tính
Như vậy ta thấy rõ chỉ cần lưu lại 2 ảnh
r
r
T ( e1 ) = (cos α,sin α ), T ( e2 ) = ( − sin α,cos α)

Hơn nữa ta có thể viết lại công thức (**) thành:
 x '   cos α − sin α  x 
 ÷= 

÷ ÷
y
'
sin
α
cos
α
  
 y 

(trong cách viết này tất cả các vecto đều xuất hiện ở dạng cột)
 cos α − sin α 
Và do đó ma trận A = 
÷
sin
α
cos
α



được gọi là ma trận biến đổi của phép quay tâm O góc .


2. Phép biến hình tuyến tính
2.2. Bài toán 2: Tìm công thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Tương tự ta sẽ tìm được ma trận biến đổi của phép đối xứng
trục là đường thẳng (d) đi qua O:
 cos2θ sin 2θ 
B =

÷
sin
2
θ
−
cos2
θ



Trong đó θ là góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục hoành Ox.
Tuy nhiên đối với đường thẳng ta hay dùng dạng phương trình
tổng quát .
Do đó ta dùng với là vector chỉ phương của đường thẳng (d). Ta
chuyển ma trận B thành
1  a2 − b2
B= 2

a + b2  2ab

2ab 
÷
b2 − a2 


3. Ma trận của phép biến hình.
3.1. Ma trận của PBH:
Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y)
(x*,y*) như trên thì ma trận của các phép biến hình như
sau:

Phép tịnh tiến:
(x*,y*) = (x,y) + (a,b)
Q = P + T trong đó T = (a,b)
Phép tỷ lệ:

 tx 0 

( x*, y *) = ( x, y ) 
 0 ty 

Q = P×S trong
đó

 tx 0 
 là ma trận của phép đồng dạng
S = 
 0 ty 


3. Ma trận của phép biến hình.

Phép quay quanh gốc tọa độ:
 cos α sin α 

( x*, y *) = ( x, y ) 
 − sin α cos α 


3. Ma trận của phép biến hình.
3.2. Hệ tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinates)

Tọa độ thuần nhất (đôi khi còn gọi là “đồng nhất”) của điểm
(x,y) trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba (xh,yh,h) liên
hệ với tọa độ (x,y) bởi công thức
x=

xh
,
h

y=

yh
h

Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là (x,y,z) trong không
gian Decac thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là trong đó h là số
thực khác không bất kỳ
Ngược lại điểm ) trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng
với điểm ( trong hệ tọa độ Decac.


3. Ma trận của phép biến hình.
3.3. Ma trận của các phép biến hình trong hệ tọa độ thuần
nhất
Phép tịnh tiến:
1 0 0
( x ', y ',1) = ( x, y,1) .  0 1 0 ÷÷
a b 1÷



Hay Q = P × T trong đó T là ma trận của phép tịnh tiến
 1 0 0


T =  0 1 0
 a b 1




3. Ma trận của phép biến hình.
Phép tỷ lệ:

 tx 0 0 
( x ', y ',1) = ( x, y,1) .  0 tx 0 ÷÷
 0 0 1÷



 tx 0 0 


Hay Q = P × S trong đó S là ma trận của phép tỷ lệ S =  0 ty 0 
 0 0 1



Phép quay quanh gốc tọa độ:
 cos α sin α 0 

( x ', y ',1) = ( x, y,1) .  − sin α cos α 0 ÷÷
 0
÷
0
1



Hay Q = P × R trong đó R là ma trận của phép quay
 cos α

R =  − sin α
 0


sin α
cos α
0

0

0
1 


4. Kết hợp các phép biến hình
4.1. Kết hợp các phép tịnh tiến
Ta thực hiện phép tịnh tiến T1 với vector tịnh tiến (a,b) lên
điểm P(x,y) và thu được ảnh Q’, sau đó thực hiện tiếp phép
tịnh tiến T2(c,d) đối với Q’ và thu được Q(x*,y*)

1 ( a ,b )
2 ( c ,d )
P ( x, y ) T
→ Q ' ( x' , y ' ) T
→ Q ( x*, y*)

Kết hợp của 2 hay nhiều phép tịnh tiến cho kết quả là phép
tịnh tiến có ma trận là tổng các ma trận hành phần:
T1 (a, b).T2 (c, d ) = T (a + c, b + d )
0
 1 0 0 1 0 0  1

 
 
0
1
0
×
0
1
0
1

 
= 0
a b 1  c d 1  a + c b + d

 
 

0

0
1 


4. Kết hợp các phép biến hình
4.2. Kết hợp các phép tỷ lệ
Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1. S2 Ma trận kết
hợp sẽ là
 tx1 0

 0 ty1
0 0


0   tx 2
 
0 ×  0
1   0

0
ty1
0

0   tx1tx 2
 
0 =  0
1   0

0
ty1ty 2
0

0

0
1 

4.3. Kết hợp các phép quay
Giả sử phép quay R1có góc quay là α1, phép quay R2 có
góc quay α2, ma trận kết hợp của hai phép quay R1. R2 là
 cos α 1

 − sin α 1
 0


sin α 1
cos α 1
0

0   cos α 2
 
0  ×  − sin α 2
1   0

sin α 2
cos α 2
0

0   cos( α 1 + α 2 ) sin ( α 1 + α 2 ) 0 
 

0  =  − sin ( α 1 + α 2 ) cos( α 1 + α 2 ) 0 
1  
0
0
1 


4. Kết hợp các phép biến hình
4.4. Phép quay với tâm quay bất kỳ
Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay α có thể phân
tích thành các phép biến hình cơ sở sau:
• Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay về gốc tọa
độ
• Quay quanh gốc tọa độ một góc α
• Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng về chỗ cũ
0 0   cos α sin α 0   1 0 0 
 1

 
 

1 0  ×  − sin α cos α 0  ×  0 1 0  =
 0
 − x − y 1  0
0
1   x y 1 


 
cos α
sin α
0



=
− sin α
cos α
0
 x(1 − cos α ) + y. sin α − sin α .x + (1 − cos α ) y 1 




4. Kết hợp các phép biến hình
4.5. Phép đối xứng
Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục
đối xứng. Phép đối xứng qua trục hoành và trục tung có ma
trận lần lượt là
M Ox

1 0 0
 −1 0 0





=  0 − 1 0  , M Oy =  0 1 0 
0 0 1
 0 0 1





4.6. Phép biến dạng
Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ về kích thước, nói cách
khác là làm méo mó đối tượng. Hai phép biến dạng là:
• Phép biến dạng theo trục hoành làm thay đổi hoành độ còn
tung độ giữ nguyên
• Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ còn
hoành độ giữ nguyên


4. Kết hợp các phép biến hình

M Ox

(1,3)

(1,1)

1 0 0
1 t 0





=  t 1 0  , M Oy =  0 1 0 
0 0 1
0 0 1





(3,3)

(3,1)

(10,3)

(4,1)

(6,1)

Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3

(12,3)


4. Kết hợp các phép biến hình
4.7. Phép biến đổi ngược
Giả sử phép biến hình M có ma trận như sau:
a

M = c

e


b
d
f

0

0
1 

giả thiết ad-bc ≠ 0. Khi đó phép biến đổi ngược của M, ký
hiệu là M-1, được biểu diễn như sau:
M −1

−b
 d

1
=
a
 −c
ad − bc 
 cf − de be − af

0

0
1 

4. Kết hợp các phép biến hình
Phép quay quanh gốc tọa độ R(α) có biến đổi ngược như
sau:
 cos α

−1
R ( α ) =  sin α
 0


− sin α
cos α
0

0

0  = R (−α )
1 

Gọi S (tx,ty) là phép đồng dạng, S-1 được biểu diễn như sau:
1

 tx
S −1 (tx , ty ) =  0

0



0
1
ty
0


0

0

1




5. Các phép biến hình trong không gian 3 chiều
Phép tịnh tiến
Ma trận của phép tịnh tiến T(a,b,c) là
1

0
T (a, b, c ) = 
0

a


0
1

0
b

0
0
1
c

0

0
0

1 

Phép tỷ lệ
Ma trận của phép tỷ lệ S(a,b,c) là
a

0
S ( a , b, c ) = 
0

0


0
b
0
0

0
0
c
0

0

0
0

1 

trong đó a,b,c là hệ số tỷ lệ tương ứng theo các trục tọa độ
Ox,Oy,Oz


5. Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

y

y

x

x

z

z

Phép tỷ lệ

Phép tịnh tiến