NCKH SV môn sức bền có chỉnh sửa bơ sung bản demo

MỤC LỤC

Lời mở đầu
Chương 1 : Các công thức nền tảng
Chương 2 : Khái niệm hàm ứng suất và cách giải bài toán phẳng dầm theo
hàm ứng suất lượng giác
Chương 3 : Áp dụng phương pháp hàm ứng suất lượng giác để giải bài toán
cụ thể


LỜI NÓI ĐẦU
Đối với ngành xây dựng công trình dân dụng cũng như công trình giao
thông, môn học Lý thuyết đàn hồi là 1 môn học đóng vai trò hết sức quan
trọng. Tuy nhiên, hiện nay số lượng ví dụ nhằm minh họa cho những kiến
thức của môn học này còn chưa nhiều vì vậy nên đề tài “ Giải bài toán phẳng
dầm bằng chuỗi hàm Fourier” nhằm mục đích đóng góp 1 ví dụ cụ thể để
giúp bạn đọc có cái hiểu biết sâu hơn về môn học này.
Nhân đây, nhóm nghiên cứu khoa học cũng muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc
tới thầy TS. Tô Giang Lam- Bộ môn sức bền vật liệu trường đại học Giao
thông vận tải đã nhiệt tình giúp đỡ chúng em trong quá trình nghiên cứu về
cả mặt lý luận cũng như tài liệu để chúng em hoàn thành đề tài nghiên cứu
này

Hà Nội,

Nhóm sinh viên lớp XDCTGTTT-K51


CHƯƠNG 1: CÁC CÔNG THỨC NỀN TẢNG
1. Phương trình vi phân cân bằng tĩnh học-động học :
(1.1)

2. Phương trình hình học
2.1.Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị ( phương trình biến dạng
Cauchy)
=
,
=
=

,

(1.2)

,
2.2. Phương trình liên tục biến dạng ( phương trình Saint- Venant).
+=
+=
+=

(1.3)

3. Phương trình vật lý ( phương trình đàn hồi).

εx =

εy =

εz =

1
E

1
E
1
E

,

,

(1.4)

,

4. Chuỗi Fourier: số tuần hoàn với chu kì 2L xác định trong khoảng từ (-L,
L) và ngoài khoảng này . Khi đó, chuỗi Fourier dùng để biểu diễn có dạng :


Trong đó,

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM ỨNG SUẤT VÀ CÁCH GIẢI BÀI
TOÁN PHẲNG DẦM THEO HÀM LƯỢNG GIÁC
Bài toán phẳng của lí thuyết đàn hồi là bài toán trong đó các yếu tố tính
toán cũng như ứng suất, biến dạng hoặc chuyển vị chỉ phụ thuộc vào 2 bên.
Loại bài toán này có thể chia làm 2 nhóm: biến dạng phẳng và ứng suất
phẳng.
Trong bài toán ứng suất phẳng, loại kết cấu điển hình là dầm – tường
chịu tải trọng khác nhau và liên kết gối khác nhau. Trong trường hợp thứ
hai, trạng thái ứng suất là ba phương, nhưng biến dạng chỉ xẩy ra trong 1
mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm thuộc bài toán này.Tuy
khác nhau về dạng thức và ý nghĩa nhưng mô hình toán học của 2 nhóm bài

toán này được giải bằng phương pháp giống nhau.
Do sự giống nhau về cách thức tiếp cận bài toán và đặt trong điều kiện của
nghiên cứu này nên trong đề tài chỉ đề cập đến bài toán ứng suất phẳng.
I . BÀI TOÁN ỨNG SUẤT PHẲNG
Ta xét 1 tấm mỏng chịu lực tác dụng ở biên và song song với một mặt
phẳng tọa độ, ví dụ mặt xOy.


Ta thấy trên hai mặt
bên của tấm, tức là khi z = thì
σz =0, τxz =0, τzy = 0
Vì tấm mỏng nên có thể giả thiết rằng, trên toàn bộ bề dày của tấm
σz =0, τxz =0, τzy = 0

(2.1)

Còn các ứng suất khác thì phân bố đều trên bề dày, tức là σx, σy, τxy không
phụ thuộc vào loại tọa độ z.
Ta xét trường hợp thể tích là trọng lượng bản than của tấm. Lúc đó
X= Z= 0,

ρ Y = -q

Trong đó q : là trọng lượng riêng
Phương trình cân bằng biến dạng

∂σ x ∂τ yx
+
=0;
∂x

∂y
∂τ xy ∂σ y
+
−q =0
∂x
∂y

(2.2)

Phương trình liên tục của biến dạng
+=

(2.3)

Phương trình của định luật Hooke

εx =

1
E

εy =

(σx - µσy)
1
E

(σy - µσx)

(2.4)

γxy =

2(1 + µ )
E

τxy

Nếu biểu diễn ứng suất qua biến dạng, từ (2.3) ta có
E

σx =

1− µ

2

(εx+ µεy)

E

σy =

τxy =

1− µ

2

(εy+ µεx)

E
2(1 + µ )

(2.5)

γxy

Thay (2.4) vào (2.3) ta có
(σx - µσy)+ (σy - µσx) = 2(1+µ) (2.6)
Lấy đạo hàm phương trình đầu của (2.2) đối với x và phương trình thứ hai
của (2.2) với y rồi cộng lại, ta được
2=
Thay biểu thức này vào (2.6) ta được phương trình liên tục của biến dạng
được biểu diễn theo ứng suất pháp
+ +

+ =0

Hoặc + =0
Ta gọi phương trình này là phương trình LÉVY.
II. HÀM ỨNG SUẤT
Để giải hệ (2.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy.


Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (2.1):

∂σ x ∂τ yx
+

=0;
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ y
+
−q =0
∂x
∂y
Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y)
tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa

p và q phải có quan hệ :

∂p ∂q
=
∂y ∂x

.

- Phương trình thứ (1) của hệ (2.1) ⇔
Tức (.dy - .dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta

có quan hệ σx =

∂A
∂y

−

; τyx =

∂A
∂x

(a)

Tương tự, phương trình thứ 2( bỏ qua lực thể tích) :
⇒ (.dx - .dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó :
∂B
∂x

→ Ta có quan hệ : σy =

So sánh (a) và (b) ta có :

−

; Txy =

∂A
∂x

=

∂B
∂y

∂B
∂y

(b)

(c)

⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm ϕ(x,y) nào đó :
→ Ta có quan hệ : A =

∂ϕ
∂y

;

Thay (d) vào (a) và (b) ta có:

B=

∂ϕ
∂x

(d)


2

∂ ϕ

σx =

∂y

2

∂ ϕ

2

; σy =

∂x

−

2

; τxy =

∂ 2ϕ
∂x∂y

(2.7)

Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng
theo ứng suất.
Tiếp tục thay (2.7) vào phương trình LÉVY ta được phương trình trùng
điều hòa có dạng như sau:
+ 2+ = 0 (2.8)
III. GIẢI BÀI TOÁN THEO CÁCH DÙNG HÀM LƯỢNG GIÁC
Do nhược điểm của cách giải đại số chỉ áp dụng được trong các trường hợp
đặc biệt nên cách giải theo hàm lượng giác được ứng dụng rộng rãi hơn.
Trong trường hợp cụ thể bài toán được nghiên cứu, ta sử dụng chuỗi lượng

giác để giải.
Giả thiết rằng tải trọng đặt dọc theo mặt cắt hình chữ nhật đều có thể khai
triển thành chuỗi lượng giác
ϕ(x, y) =
Đặt = . Khi đó,

; ;

Thay vào phương trình (2.8) ta được:

Hoặc

Nghiệm của phương trình trên có dạng : (2.9)
ϕ(x,y) =
+
Tùy thuộc vào điều kiện ở 2 đầu dầm để chọn hàm ứng suất . Nếu tại điểm
đầu và điểm cuối của dầm mà tải trọng


τxy =0 và thì chọn tổng thứ hai của (2.9) và khi
τxy 0 và thì chọn tổng thứ nhất của (2.9).
Tải trọng q(x) có thể khai triển thành chuỗi lượng giác trong khoảng từ
(0,L). Nếu q(x) là hàm chẵn thì chuỗi khai triển Fourier sẽ trở thành

Trong đó: và
Ngược lại nếu tải trọng là hàm lẻ thì

Trong đó
CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM ỨNG SUẤT LƯỢNG
GIÁC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỤ THỂ

Bài toán : xác định sự phân bố ứng suất trên một dầm giản đơn có độ dài
hữu hạn bị tác dụng bởi một lực đặt tại tâm.
Cho biết :

2 LO = 220mm, 2 L1 = 180mm 2h = 30mm, ε = 2mm, δ = 2mm P = 960 N

,

y

2h

2

I. Rút ra công thức của ứng suất :
Điều kiện biên :
+) Đỉnh :

,

2

x

2L1
2L0

2

.

σ yy ( x, + h) = −
σ yy ( x, + h) = 0

P
2ε

| x|<ε

σ xy ( x, + h) = 0

tại các điểm khác trên dầm.
+) Hai biên :
σ xx (± Lo, y ) = 0
σ xy (± Lo, y ) = 0

+) Đáy :
σ yy ( x, −h) = −
σ xy ( x, −h) = 0

P
4δ

− L1 − δ < x < − L1 + δ or L1 − δ < x < L1 + δ

Sử dụng chuỗi Fourier để biểu diễn điều kiện biên ở đỉnh và đáy của dầm
∞

σ yy ( x, +h) = Bo + ∑ Bm cos

m =1

+) Đỉnh :

mπ x
L0

Có :
1
B0 =
2 L0

Bm =
Bm =

+) Đáy :

1
L0

L0

∫

− L0

1
f ( x)dx =
2 L0

L0

∫

f ( x) cos

− L0

1 − P L0
L0 2ε mπ

ε

−P

P

∫ε 2ε dx = − 2 L

−

mπ x
1
dx =
L0
L0

0

ε

L0

−P
mπ x
1 −P
mπ x
∫− L 2ε cos L0 dx = L0 2ε −∫ε cos L0 dx
0


mπε
− mπε
− sin
 sin
L0
L0


 −P
mπε
sin
÷=
L0
 mπε


∞

σ yy ( x, − h) = B0' + ∑ Bm' cos

m =1

1
B =
L0
'
0

Có :

L0

∫

− L0

1
f ( x)dx =
L0

Bm' =

1
L0

− L1 +δ

∫δ

− L1 −

L0

∫

− L0

f ( x) cos

mπ x
L0

−P
1
dx +
4δ
L0

L1 +δ

−P

P

∫δ 4δ dx = − L

L1 −

mπ x
1

dx =
L0
L0

0

− L1 +δ

∫

− L1 −δ

−P
mπ x
1
cos
dx +
4δ
L0
L0

L1 +δ

∫

L1 −δ

−P
mπ x
cos

dx
4δ
L0

1 − P L0 
mπ (− L1 + δ )
mπ (− L1 − δ ) 
− sin
 sin
÷
L0 4δ mπ 
L0
L0

1 − P L0 
mπ ( L1 + δ )
mπ ( L1 − δ ) 
+
− sin
 sin
÷
L0 4δ mπ 
L0
L0


Bm' =


−mπ L1

mπδ
sin
 2 cos
L0
L0

−P
mπ L1
mπδ
Bm' =
cos
sin
mπδ
L0
L0
Bm' =

−P
4mπδ


−P
÷+
 4mπδ


mπ L1
mπδ 
sin
 2 cos

÷
L0
L0 


Hàm ứng suất AIRY :
− Px 2 ∞ 
mπ y
mπ y 
mπ y
Φ ( x, y ) =
+ ∑ ( A1m + A2 m y ) cosh
+ ( A3m + A4 m y ) sinh
 cos
4 L0 m =0 
L0
L0 
L0

Hàm này thỏa mãn hàm trùng điều hòa và điều kiện biên.
Thành phần ứng suất :
σ xx =

+)

∂ 2Φ
∂y 2

mπ x  m 2π 2
mπ y

mπ
mπ y
= ∑ cos
+2
A2 m sinh
+
 2 ( A1m + A2 m y ) cosh
L0  L0
L0
L0
L0
m =1
∞


m 2π 2
mπ y
mπ
mπ y 
+2
A4 m cosh
( A3m + A4 m y ) cosh

2
L0
L0
L0
L0 

σ yy

+)

∂ 2Φ
= 2
∂x

=

σ xy =

+)

− P ∞ m 2π 2
mπ x 
mπ y
mπ y 
− ∑ 2 cos
+ ( A3 m + A4 m y ) sinh
( A1m + A2 m y ) cosh

2 L0 m =1 L0
L0 
L0
L0 

∂ 2Φ
∂x∂y
mπ
mπ x  mπ

mπ y
mπ y
sin
+ A2 m cosh
+
( A1m + A2m y ) sinh

L0  L0
L0
L0
m =1 L0
∞

= −∑

mπ
mπ y
mπ y 
+ A4 m sinh
( A3m + A4m y ) cosh

L0
L0
L0 

Xem xét điều kiện biên ở đỉnh và đáy của dầm :
+) Tại đỉnh:

σ yy ( x, + h) =

2

 mπ  
 mπ h 
 mπ h  
P
mπε
−
sin
÷ ( A1m + A2 m h ) cosh 
÷+ ( A3m + A4 m h ) sinh 
÷ = −
mπε
L0
 L0  
 L0 
 L0  

+) Tại đáy:

σ yy ( x, −h) =

2

 mπ  
 mπ h 
 mπ h  
P
mπ L1
mπδ

−
cos
sin
÷ ( A1m − A2 m h ) cosh 
÷− ( A3m − A4 m h ) sinh 
÷ = −
mπδ
L0
L0
 L0  
 L0 
 L0  

σ xy ( x, + h) = 0

+)


 mπ
−
 L0

+)


 mπ h  mπ ( A3m + A4 m h)
 mπ h 
 mπ h  mπ ( A1m + A2 m h)
 mπ h  
cosh 

sinh 
÷ A2 m cosh 
÷+
÷+ A4 m sinh 
÷+
÷ =
L0
L0

 L0 
 L0 
 L0 
 L0  

σ xy ( x, − h) = 0

 mπ
−
 L0


 mπ h  mπ ( A3m − A4 m h )
 mπ h 
 mπ h  mπ ( A1m − A2 m h)
 mπ h  
cosh 
sinh 
÷ A2 m cosh 
÷+
÷− A4 m sinh 

÷−
÷ =
L0
L0

 L0 
 L0 
 L0 
 L0  

Viết lại các phương trình dưới dạng ma trận . Ta có :
2
2
2
 mπ  2

 mπ h 
 mπ 
 mπ h 
 mπ 
 mπ h 
 mπ 
 mπ h 


cosh
h
cosh
÷


÷

÷

÷

÷ sinh 
÷

÷ h sinh 
÷
 Lo 
 Lo 
 L0 

 L0 
 L0 
 L0 
 L0 
 L0 


2
2
2
2
 mπ h 
 mπ 
 mπ h 
 mπ 

 mπ h 
 mπ 
  A1m   Bm 
 mπ 
 mπ h 
cosh
−
h
cosh
−
sinh
h
s
inh

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

 L
  A   B ' 
 Lo 
 Lo 
 L0 
 L0 
 L0 
 L0 
 L0 
 0 
  2m  =  m 
A
0 
 mπ
 mπ h 
 mπ h  mπ h
 mπ h 
 mπ h 
mπ h
mπ
 mπ h 
 mπ h    3m  

sinh 
cosh 
sinh 
cosh 
cosh 
÷
÷+

÷
÷
÷+ sinh 
÷   A4 m   0 
L0
Lo
 Lo 
 Lo  
 L0
 L0 
 L0  L0
 L0 
 L0 


 mπ h 
mπ h
mπ
 mπ h 
 mπ h  
 − mπ sinh  mπ h  cosh  mπ h  + mπ h sinh  mπ h 
cosh
−
cosh
−
sinh

÷

÷


÷

÷

÷

÷
 L0
L0
Lo
 Lo 
 Lo  
 L0 
 L0  L0
 L0 
 L0 


II.Chương trình tính toán ứng suất:
Chương trình được viết bằng Matlab để tính toán các thành phần ứng suất.
Những ứng suất này được tính với tổng cộng 61x221điểm lưới điện ở
dải. Khoảng csách giữa hai đường lưới liên tiếp là 0.5mm theo
hướng thẳng đứng và 1mm chiều ngang.Các tiêu chuẩn hội
tụ dựa trên chỉ tiêu của vector (hệ số hằng số):

norm( Am ) < 1e − 16

Miền ứng suất đúng.
Chuỗi các nghiệm được tạo ra từ một miền ứng suất σ là không bằng không

ở hai đầu dầm. Chúng ta có thể tính lại miền ứng suất trên dựa trên phương
pháp tính lực tổng hợp lực trục và mômen uốn, và sau đó thêm vào miền ứng
suất đã được tính toán dựa trên phương pháp tính toán từ hợp lực tương
đương.


Tổng hợp lực được tính bởi chương trình theo công thức sau:
σ xx (i,1) + σ xx (i + 1,1) 2h
2
60
i =1

h

60

N x ( x = 0, L0 ) = ∫ σ xx dy ≈∑
−h
h

M z ( x = 0, L0 ) =

∫

−h

σ xx (i,1) + σ xx (i + 1,1) 2h ( i − 31)
2
60 2
i =1

60

yσ xx dy ≈∑

Kết quả trong trường hợp này là:
N x = 0.05542 N
M z = 17667 N.mm

So sánh với kết quả được giải theo lý thuyết cơ bản, chương trình cũng đã
tính ứng suất bằng lý thuyết cơ bản tại các điểm tương ứng
( chương trình tính và bảng phân bố ứng suất được thể hiện ở phần mục lục
trang…)

PHỤ LỤC
1.
2.

Chương trình MatLab dùng để tính toán sự phân bố ứng suất
(Phần code)
Sự phân bố ứng suất trên các mặt cắt bằng phương pháp sử dụng hàm
ứng suất và sự so sánh số liệu thu được với kết quả trong môn Sức bền
vật liệu


Stress (σxx) Contours - Series Solution
15
100
10
0

y (mm)

5
-100
0
-200
-5
-300

-10

-400

-15
-100

-80

-60

-40

-20

0
x (mm)

20

40

60

80

100

Stress(σ xx )Contours - Corrected Series Solution
15

200

10

100
0

y (mm)

5

-100

0

-200
-5

-300

-10
-15

-400
-500
-100

-80

-60

Stress (σ

-40

xx

-20

0
20
x (mm)

40

60

80

100

) Contours - Elementary Theory Solution

15
200
10
100

y (mm)

5

0

0
-5

-100

-10

-200

-15

-100

-80

-60

-40

-20

0
20
x (mm)

40

60

80

100


Stress (σ ) Contours - Series Solution
xy

15
40
10

30
20

y (mm)

5

10
0

0
-10
-20

-5

-30
-40

-10

-50
-15

-60
-100

-50

0
x (mm)

50

100

Stress (σ xy ) Contours - Elementary Theory Solution
15
15
10
10

y (mm)

5

5
0

0
-5
-5

-10
-15

-10

-20
-15

-100

-50

0
x (mm)

50

100


Stress (σ yy ) Contours - Series Solution
15
-50

y (mm)

10

5

-100

0

-150

-5

-200

-10
-250

-15

-100

-80

-60

-40

-20

0
20
x (mm)

40

60

80

100

Stress (σ ) Distribution at x = 110 mm
xx

15

10

y (mm)

5

0

-5

Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution

-10

-15
-150

-100

-50

0

σ xx

(N/mm2)

50

100

150


Stress (σ ) Distribution at x = 0 mm
xx

15

10

y (mm)

5

0

-5

Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution

-10

-15
-600

-500

-400

-300

-200

-100

σ xx

(N/mm 2)

0

100

200

300


Stress (σ ) Distribution at x = 2 mm
xx

15

10

y (mm)

5

0

-5

-10

-15
-400

Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution
-300

-200

-100

0

σ xx

(N/mm 2)

100

200

300

Stress (σ ) Distribution at x = 6 mm
xx

15

10

y (mm)

5

0

-5

-10

-15
-300

Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution
-200

-100

0

σ xx

(N/mm 2)

100

200

300


Stress (σ ) Distribution at x = 10 mm
xx

15
Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution

10

y (mm)

5

0

-5

-10

-15
-300

-200

-100

0

σ xx

100

200

300

(N/mm 2)

Stress (σ ) Distribution at x = 45 mm
xx

15
Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution

10

y (mm)

5

0

-5

-10

-15
-150

-100

-50

0

σ xx

(N/mm 2)

50

100

150

Stress (σ ) Distribution at x = 90 mm
xx

15
Corrected Series Solution
Elementary Theory Solution
Series Solution

10

y (mm)

5

0

-5

-10

-15
-250

-200

-150

-100

-50

σ xx
Stress (σ

0

50

100

150

(N/mm2)

) distribution at y=0mm

yy

10
Series Solution

2

σyy (N/mm)

0

-10

-20

-30
-150

-100

-50

0
x (mm)

50

100

150


Stress (σ

) distribution at y=3.5mm

yy

10

2

σyy (N/mm)

0
-10
-20
-30

Series Solution

-40
-50
-150

-100

-50

0
x (mm)

Stress (σ

50

100

150

) distribution at y=7.5mm

yy

20
Series Solution

2

σyy (N/mm)

0
-20
-40
-60
-80
-150

-100

-50

0
x (mm)

50

100

150

Stress (σ ) distribution at y=11.5mm

yy

50

2
σ yy (N/mm )

0
-50
Series Solution

-100
-150
-150

-100

-50

0
x (mm)

50

100

150


Stress (σ ) distribution at y=0mm

xy

30

2
σ xy (N/mm )

20
10
0
-10
Series Solution
Elementary Theory Solution

-20
-30
-150

-100

-50

Stress (σ

0
x (mm)
xy

50

100

150

) distribution at y=3.5mm

30

10

2

σxy (N/mm )

20

0
-10
Series Solution
Elementary Theory Solution

-20
-30
-150

-100

-50

0

x (mm)

50

100

150


Stress (σ ) distribution at y=7.5mm
xy

30

20

2
σ xy (N/mm )

10

0

-10
Series Solution
Elementary Theory Solution

-20

-30

-150

-100

-50

0
x (mm)

50

100

150


Stress (σ ) distribution at y=11.5mm
xy

50
40
30

2
σ xy (N/mm )

20
10
0
-10

-20
Series Solution
Elementary Theory Solution

-30
-40
-50
-150

-100

-50

0
x (mm)

50

100

150

2..
3.Tài liệu tham khảo
+) Advanced Calculus 2nd Edition by Robert C.Wrede – Murray Spiegel,
( Chapter 13 : Fourier function, page 337).
+) Elasticity Martin H.Sadd.
+) Lý thuyết đàn hồi – Nguyễn Xuân Lựu.
( Nhà xuất bản giao thông vận tải , tái bản lần thứ hai)