skkn rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………………………….
CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………………..
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI…………………………………………………………1
1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………....1
2. Nhiệm vụ của đề tài…………………………………………………………….......1
3. Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………………...1
PHẦN II: NỘI DUNG……………………………………………………………………..2
1. Những vấn đề lý luận chung……..………………………………………………....2
2. Thực trạng của vấn đề……….……………………………………………………..2
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề…………………………………..2
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………….12
PHẦN III: KẾT LUẬN…………………………………………………………………..13
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………..14

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

1


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Học sinh:
Giáo viên:
Hình học :
Phương pháp vectơ:
Sách giáo khoa:
Sách bài tập:

Trung học cơ sở:
Trung học phổ thông:

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

HS
GV
HH
PPVT
SGK
SBT
THCS
THPT

2


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lý do chọn đề tài
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học hiện đại. Không chỉ
trong phạm vi của toán học, vectơ được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của vật lí và
kĩ thuật.
Trong chương trình hình học hiện hành khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm
học lớp 10 và có vai trò khá quan trọng , vectơ vừa là đối tượng nghiên cứu, vừa là công
cụ để nghiên cứu hình học đồng thời phục vụ cho việc học môn Vật lí.
Thực tế dạy học cho thấy, việc sử dụng phương pháp vectơ giúp học sinh có thêm
một công cụ mới để nghiên cứu ,diễn đạt, suy luận giải toán hình học, tránh được ảnh
hưởng không có lợi từ trực giác. Tuy nhiên, khi sử dụng phương pháp vectơ học sinh vẫn

gặp phải một số khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu trong quá trình giải bài tập và không
tránh khỏi những sai lầm khi giải toán hình học 10.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng
mới là vectơ, các phép toán trên vectơ. Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc
trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình
học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên
khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của
bài toán.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại.
Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải toán
bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10” nhằm giúp học sinh có
cách nhìn rộng hơn, hình thành cho học sinh kỹ năng giải các bài toán hình học bằng
PPVT.
2. Nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.
3. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp vectơ trong chương I, chương II SGK,
SBT hình học 10 theo chương trình cơ bản và nâng cao.
Kỹ năng giải toán hình học bằng PPVT của học sinh khối 10 trường THCS&THPT
Hà Trung.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

3


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PHẦN II: NỘI DUNG
1. Những vấn đề lý luận chung
Hình thành cho học sinh một quy trình chung , phương pháp tìm lời giải cho một bài
toán theo quy trình bốn bước của Pôlya.
Hình thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ.
Xuất phát từ các yêu cầu đối với học sinh về kiến thức cơ bản và kỹ năng cơ bản
trong chương I, II-SGK HH cơ bản và nâng cao là:
- Về kiến thức cơ bản: nắm được khái niệm vectơ, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ
đối nhau, vectơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, định nghĩa và tính chất
phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với một số thực, tích vô hướng của hai vectơ, tính
chất trung điểm của đoạn thẳng, tính chất trọng tâm của tam giác, điều kiện để hai vectơ
cùng phương.
- Về kỹ năng cơ bản: Biết dựng một vectơ bằng một vectơ cho trước, biết lập luận
hai vectơ bằng nhau, vận dụng được quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng
vectơ tổng và giải một số bài toán, biết xác định số thực k đối với hai vectơ cùng phương
r r
r
r
a, b sao cho b = k a , vận dụng tính chất cơ bản của tích vô hướng của hai vectơ, đặc biệt
để xác định điều kiện cần và đủ của hai vectơ ( khác vectơ không) vuông góc với nhau,
vận dụng tổng hợp kiến thức về vectơ để nghiên cứu một số quan hệ hình học như: tính
thẳng hàng của ba điểm, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, giao điểm
hai đường chéo của hình bình hành…
2. Thực trạng của vấn đề
Trong thực tế dạy học cho thấy PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập
hình học. Tuy vậy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vectơ vào giải
các bài tập cụ thể là do học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lý, quy
tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng

mới là vectơ, các phép toán trên vectơ. Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc
trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình
học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên
khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của
bài toán.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong quá trình dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho
học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để
giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy
giáo phải hình thành cho học sinh môt quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

4


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

bài toán.Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho môt bài toán thường được tiến hành
theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
Sau đây là ví dụ áp dụng quy trình bốn bước giải toán của Polya để chứng minh:
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm I, bán kính R và một điểm M. Một đường thẳng qua M
uuur uuur
bất kì cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng: MA.MB = MI 2 − R 2 (*)

Giải:
Bước 1: Tìm hiểu bài toán
- GV: Nhận xét 2 vế của đẳng thức (*)
- HS: Vế trái chứa yếu tố tích vô hướng của hai
uuur uuur

vectơ MA, MB . Vế phải chứa yếu tố về độ dài.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
- GV: Để biến đổi vế trái thành vế phải, phải phân
uuur uuur

tích các vectơ MA, MB theo các vectơ nào để
chuyểnuu
từur yếu
tố vectơ sang yếu rtố độ
dài?
uur uuuur uuu
r uuu
r
uuuur uuuur uuur uuu
- HS: MA = MB ' + B ' A , MB = MI + IB, MB ' = MI + IB '
uuur

uuuur

uur

uuu
r

uuur

uuuur uur

uuu
r

- GV: Tìm mối liên hệ giữa MB và B ' A ; IB và IB ' . Hs: MB ⊥ B ' A, IB = − IB '
Bước 3: Trình bày lời giải
uuur uuur

uuur uuuur uuuur

(

)

uuur uuuur

(

uuu
r uur uuu
r uuu
r

)(

)

uuu
r 2 uur2

Hs: MA.MB = MB. MB ' + B ' A = MB.MB ' = MI + IB MI + IB ' = MI − IB = MI 2 − R 2
uuur uuuur
uuur uuuur
uuu
r
uur
Do MB ⊥ B ' A nên MB.B ' A = 0 , IB ' = − IB

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
uuur uuur
- GV: Tìm mối liên hệ giữa MA.MB và MT khi M nằm ngoài đường tròn?
uuur uuur
- HS: MA.MB = MT 2 với MT là tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (I).
uuur uuur
- GV: Giá trị không đổi MA.MB = MI 2 − R 2 trong bài toán gọi là phương tích của điểm M
đối với đường tròn (I) kí hiệu PM /( I ) .
Áp dụng quy trình bốn bước trong dạy giải bài tập toán hình học 10, giáo viên cần
hình thành cho học sinh các bước giải toán hình học bằng phương pháp vectơ theo quy
trình bốn bước sau:
Bước 1: Chọn các vectơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích vectơ và các phép toán vectơ để biểu diễn,
chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ.
Bước 3: Giải bài toán vectơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

5


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Cụ thể minh họa quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho góc xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M thuộc Ox, N
thuộc Oy, luôn thỏa mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn thuộc
đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải:
uuu
r uuur
Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho OA = OB, và chọn hai vectơ OA, OB làm
hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ trong bài toán đều phân tích được( hoặc biểu thị được) qua hai
vectơ này.
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
Bước 2: Giả thiết OM = 2ON, nên nếu ON = kOB thì OM = 2kOA . Điều phải
chứng minh là I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng này đi qua O) tương
r
uur r
đương với OI = lv , với v là một vectơ cố định nào đó.
Bước 3: Do I là trung điểm MN nên ta có :
uur 1 uuuu
r uuur 1
uuu

r uuur
OI = OM + ON = k 2OA + OB
2
2
uuu
r uuu
r r
1
Đặt k = l ,2OA + OB = v , ta được điều phải
2
chứng minh.

(

)

(

)

Bước 4: Nhận xét:
uuur
uuu
r
r uuur uuur
Nếu lấy OA ' = 2OA thì v = OA ' + OB , suy ra đường thẳng cố định nó đi qua O và
trung điểm của A’B.
Lưu ý học sinh: Ta có thể tổng quát hóa bài toán theo hai cách:
- Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (với m là hằng số)
- Thay cho kết luận: Trung điểm I của MN thuộc đường thẳng cố định bằng kết luận:

Mỗi điểm chia MN theo tỉ số

IM p
= (p, q là các số dương) đều thuộc một đường thẳng
IN q

cố định.
Ví dụ 3: (Bài toán 3_tr 21_SGK HH 10-nâng cao)
Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm ,
trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ngôn ngữ hình học
Ngôn ngữ vectơ
uuu
r uuu
r uuur uuur
GT
H là trực tâm tam giác ABC
OA + OB + OC = OH
O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
uuu
r uuu
r uuur r
G là trọng tâm tam giác ABC
GA + GB + GC = 0
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r

MA + MB + MC = 3MG (M là tùy ý), ta
có thể chon M ≡ O . Việc lựa chọn này
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

6


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

KL

dựa vào phân tích kết luận của bài toán
uuur
uuur
Tồn tại số thực k : OH = kOG

O, H, G thẳng hàng

uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur
Chọn các vectơ cơ sở: OA, OB, OC . Ta sẽ phân tích vectơ OH , OG qua ba vectơ này.
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur
Giải: Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: OG = OA + OB + OC
3
uuur
uur

Gọi I là trung điểm của BC. Dễ thấy AH = 2OI nếu tam giác ABC vuông.
Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.
Khi đó: BH song song với DC
BD song song với CH
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm
uuur
uur
của HD. Từ đó AH = 2OI
uuu
r uuur
uur uuur
Tacó: OB + OC = 2OI = AH nên
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur
OA + OB + OC = OA + AH = OH
uuur
uuur
Vậy OH = 3OG suy ra O, H, G thẳng hàng.

(

)

Nhận xét: Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC.
Để thực hiện bốn bước giải toán trên bằng PPVT giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh một số kỹ năng cơ bản sau trong quá trình giải toán:
Kỹ năng thứ nhất: Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ.
Quan hệ hình học
I là trung điểm của đoạn

thẳng AB

G là trọng tâm tam giác ABC

Ba điểm A,B, C thẳng hàng
Hai điểm B, C trùng nhau

Ngôn ngữ vectơ
uu
r
uur uur uur 1 uuu
r
IA = − IB, AI = IB = AB
2
uu
r uur r
IA + IB = 0

Hình biểu diễn

uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
MA + MB + MC = 3MG
(M là điểm tùy ý)

uuu
r
uuur uuur
uuur
AB = k AC , AC = k BC ,
uuur
uuu
r uuu
r
OC = kOA + lOB
Với O tùy ý và k + l = 1.
uuur r uuu
r uuur
BC = 0, AB = AC

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

7


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Hai đường thẳng song song
AB // CD
Điểm M chia đoạn thẳng AB
theo tỉ số k ≠ 1
AM là trung tuyến của tam
giác ABC

uuur
uuur
AB = kCD

uuur
uuur
MA = k MB
uuu
r
uuu
r
uuuu
r OA − kOB
OM =
1− k
uuu
r uuur
uuuu
r
AB + AC = 2 AM

uuur uuur
Hai đường thẳng vuông góc
AB.CD = 0
AB ⊥ CD
Như vậy, việc chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ là điểm xuất phát trong việc
sử dụng công cụ vectơ để giải toán.
Kỹ năng thứ hai: Phân tích một vectơ thành tổ hợp vectơ.
Một khâu mấu chốt khác nữa để giải bài toán hình học bằng PPVT là GV cần rèn
luyện cho HS kỹ năng vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để phân tích

một vectơ thành một tổ hợp vectơ khác nhau.
• Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc hình bình hành.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = a. Gọi I là tâm đường
uu
r
uur
uur r
tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = 0
Hướng dẫn giải:
uur uur
uu
r
Phân tích IA theo hai véc tơ IB, IC bằng quy tắc hình bình hành.
Dựng hình bình hành AC ' IB ' có AC '/ / IB', AB '/ / IC'
uu
r uuu
r uuur
Ta được IA = IB ' + IC ' (1)

uuur
IC ' DA c uur
=
= , IC và IC ' ngược hướng nên ta có:
IC DC a
uuu
r
IB ' EA b uur
=
= , IB và IB ' ngược hướng nên ta có:
IB EB a

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

uuur
c uur
IC ' = − IC
a
uuu
r
b uur
IB ' = − IB
a

(2)
(3)

8


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Thay (2), (3) vào (1) ta được:
uu
r
uu
r
uur
uur r
b uur c uur
IA = − IB − IC ⇔ a.IA + b.IB + c.IC = 0

a
a

• Phương pháp 2: Phương pháp xen điểm (vận dụng quy tắc ba điểm)
Ví dụ 5:
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
Cho bốn điểm A,B,C,D tùy ý. Chứng minh rằng: AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 (*)
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để được một tổng bằng 0, ta có thể chọn phép biến đổi làm xuất hiện các
cặp giá trị đối nhau.
uuur uuur uuur
Chọn véc tơ AB, AC , AD làm các vectơ cơ sở. Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều
được phân tích qua các vectơ này.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
= AB AD − AC + AC AB − AD + AD AC − AB
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
= AB. AD − AD. AB + AC. AB − AB. AC + AD. AC − AC. AD = 0
Nhận xét:
Đẳng thức vectơ (*) được gọi là hệ thức Ơle. Có thể áp dụng hệ thức Ơle để chứng
minh: “ Ba đường cao trong tam giác đồng quy”

Thật vậy, giả sử các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC cắt nhau tại H. Áp dụng
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
hệ thức Ơle cho bốn điểm H, A, B, C ta có: HA.BC + HB.CA + HC. AB = 0
uuur uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur
Do HB ⊥ AC , HC ⊥ AB nên HB.CA = HC. AB = 0 từ đó HA.BC = 0 tức là HA ⊥ BC
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
Kết quả vừa chứng minh là sự mở rộng đẳng thức AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 khi
A, B, C, D nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ 6:
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho:
uuur uuuu
r r uuu
r uuur r uuu
r uuu
r r
MB − 2MC = 0, NA + 2 NC = 0, PA + PB = 0 . Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng.

(

)

(

)

(

)

Hướng dẫn giải:

uuur uuur
Chọn hai véc tơ AB, AC làm hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều
được phân tích qua hai vectơ này.
uuuu
r
uuur
- Chỉ ra số thực k sao cho: PM = k PN .
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

9


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

uuuu
r uuur
uuu
r
- Với điểm O bất kì và tỉ số thực t ta có: OM = tON + (1 − t )OP .
Ta có:
uuuu
r uuu
r uuuu
r 1 uuur uuur

PM = PB + BM = AB + 2BC
2
r
uuu
r uuur
1 uuu
= AB + 2 AB + BC
2
r
uuur
r 2 uuur 
3 uuu
 1 uuu
= − AB + 2 AC = 3  − AB + AC ÷
2
3
 2

uuur uuu
r uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
1
2

PN = PA + AN = − AB + AC
2
3
uuuu
r
uuur
Ta thấy PM = 3PN . Vậy M, N, P thẳng hàng.

(

)

Kỹ năng thứ ba: Ghép một số vectơ trong một tổ hợp vectơ.
Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN.
uu
r uur uur uur r
Ta biết rằng IA + IB + IC + ID = 0
uu
r uur uur uur r
Đặt tổ hợp vectơ IA + IB + IC + ID = v

r

Nếu nhìn v dưới dạng
r uu
r uur
uur uur
uur uur
v = IA + ID + IB + IC = 2IE + 2IF

(

) (

)

(E, F là trung điểm của AD, BC ) ta được E, I,
F thẳng hàng.
r
Nếu nhìn v dưới dạng
r uu
r uur
uur uur
uur uur
v = IA + IC + IB + ID = 2IP + 2 IQ (P, Q là

(

) (

)

trung điểm của AC, BD) ta được P, I, Q thẳng
hàng.
r
Nếu nhìn v dưới dạng
r uu
r uur uur uur
uur uur
v = IA + IB + IC + ID = 3IG + ID với (G là

(

)

trọng tâm tam giác ABC) ta có G, I, D thẳng
hàng.
Tương tự, sẽ dẫn đến các đoạn nối mỗi đỉnh của tứ giác ABCD và trọng tâm tam giác tạo
bởi ba đỉnh còn lại đồng quy.
Rõ ràng nếu nhìn một tổ hợp vectơ theo từng nhóm ta có được nhiều kết quả thú vị.

Ví dụ 8: ( Bài tập 8-tr17-SGK HH10-cơ bản)
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

10


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Giải:
uuuu
r uuur uuu
r r
Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta có: GM + GN + GP = 0
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu

r uuur uuur uuu
r uuur uuur
Mặt khác: 2GM = GA + GB, 2GP = GC + GD, 2GR = GE + GF
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuuu
r uuu
r uuu
r r
Suy ra: GA + GB + GC + GD + GE + GF = 2(GM + GP + GR ) = 0
uuu
r uuur
uuur uuur
uuu
r uuur r
uuur
uuur
uuu
r r
Do đó: (GB + GC ) + (GD + GE ) + (GA + GF ) = 0 ⇔ 2GN + 2GQ + 2GS = 0
uuur uuur uuu
r r
⇔ GN + GQ + GS = 0

Vậy G là trọng tâm tam giác NQS.
Tóm lại: ∆MPR và ∆NQS có cùng trọng tâm.
Kỹ năng thứ tư: Khái quát hóa một số những kết quả để vận dụng vào bài toán
tổng quát hơn.
Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về vectơ để chứng minh một số

tính chất trong hình học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa…chẳng hạn giúp học sinh khái quát hóa những vấn đề sau:
uuu
r uuu
r uuur uuur r
O là tâm của hình bình hành ABCD: OA + OB + OC + OD = 0
O là trung điểm của đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo hoặc hai
uuu
r uuur uuur uuur r
cạnh đối của tứ giác ABCD: OA + OB + OC + OD = 0
Ví dụ 9: Ta có bài toán:
uuur uuur
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : AB 2 + CD 2 − BC 2 − AD 2 = 2 AC .BD (*)
Từ bài toán trên ta thấy:
uuur uuur
Nếu tứ giác ABCD có AC ⊥ BD thì AC.BD = 0 ,khi đó : AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 .
uuur uuuuuuur
Nếu tứ giác ABCD có AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 thì từ (*) suy ra AC.BD = 0 hay
AC ⊥ BD .
Trong tứ giác ABCD: AC ⊥ BD ⇔ AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2
Ví dụ 10: Ta có bài toán: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam
uuur uuur uuuu
r
uuuur
giác ABC và A’B’C’ thì: AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
Từ bài toán trên , ta đặt bài toán “phủ định” là: Điều kiện cần và đủ để hai tam giác
ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm?
uuur uuur uuuu
r r
Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm: AA ' + BB ' + CC ' = 0

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

11


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Trong quá trình giải bài tập hình học không phải lúc nào việc áp dụng qui trình bốn
bước giải toán HH bằng PPVT cũng được rõ ràng và thuận lợi. Vì vậy, trong quá trình
giảng dạy, giáo viên hướng dẫn học sinh linh hoạt vận dụng phương pháp tìm lời giải bài
toán theo bốn bước của Polya hay sử dụng quy trình bốn bước giải toán HH bằng PPVT.
Sau đây là những ví dụ minh họa cho điều này:
Ví dụ 11: Cho hình vuông ABCD, E, F lần lượt là các điểm xác định bởi
uuu
r 1 uuur uuur
1 uuur
BE = BC , CF = − CD , đường thẳng AE cắt BF tại I. CMR: ·AIC = 900
3
2
Hướng dẫn giải:
uuu
r r uuur r
Đặt AB = a, AD = b . Chọn hai vectơ này làm véc tơ cơ sở. Mọi vectơ trong bài toán đều
phân tích được qua hai vectơ này.
rr
Giả thiết ABCD là hình vuông ta có AB ⊥ AD hay a.b = 0 .
uur
uuur
-Giả sử BI = k BF . Vì A, I, E thẳng hàng nên

uuur uur
uuur uur
cùng
phương.
Biểu
diễn
AE , AI
AE , AI theo hai

r r
vectơ cơ sở a, b sau đó dùng điều kiện cùng
phương ta tìm được k.
-Điều phải chứng minh ·AIC = 900 , tương đương

uur uur
uur uur
AI .CI = 0. Với AI , CI đều phân tích được qua
rr
r r
a, b (để sử dụng giả thiết a.b = 0)

uuu
r r uuur r r r
Đặt AB = a, AD = b, a = b = a (a là độ dài cạnh hình vuông)
uuur 2 uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur r 1 r
Ta có: AE = AB + AC = AB + AD = a + b
3

3
3
3
uur uuu
r uur uuu
r
uuur  k  uuu
r
uuur  k  r
r
AI = AB + BI = AB + k BF = 1 + ÷AB + k AD = 1 + ÷a + kb
 2
 2
uuur uur
1
k
2
 k
Vì AE , AI cùng phương nên: 1 + ÷:1 = k : ⇒ 1 + = 3k ⇒ k =
3
2
5
 2
uur 6 r 2 r
uur uur uuur 1 r 3 r
AI
=
a
+
b

CI
= AI − AC = a − b .
Vậy:
. Mặt khác
5
5
5
5
uur uur  6 r 2 r  1 r 3 r  6 2 6 2
Ta có: AI .CI =  a + b ÷ a − b ÷ = a − a = 0 . Suy ra AI ⊥ CI
5  5
5  25
25
5
Kết luận ·AIC = 900 .

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

12


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PPVT có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, trong quá
trình thực tế đứng lớp giảng dạy khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp một số
khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10.
Sau đây là những sai lầm cơ bản của học sinh trong quá trình giải bài tập:
uuu
r uuur uuur uuu
r

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB . Với bài
toán trên, nhiều học sinh đã hiểu bài toán này như sau: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng
minh rằng AB + CD = AD +CB. Vì hiểu sai bài toán dẫn đến khó khăn trong quá trình
tìm lời giải bài toán.
uuu
r uuur
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = 3, AC = 5, BC = 7 . Tính AB. AC , tính góc A,
và góc giữa hai đường thẳng AB và AC.
Có học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải 1:
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB. AC
µ
Ta có : AB. AC = 3.5 = 15 . cos A =
= 1 nên số đo của góc A là 00 , suy ra góc
AB. AC
0
giữa hai đường thẳng AB, AC là 0 .
uuu
r uuur 1
15
Lời giải 2: Ta có AB. AC = ( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) = −
2
2
uuu
r uuur
AB. AC

1
cos µA =
= − . Suy ra góc A bằng 1200 . Vậy góc giữa hai
AB. AC
2
0
đường thẳng AB, AC là 120 .
Bài này học sinh trên giải sai do chưa nắm vững các kiến thức về vectơ, độ dài của
vectơ và tích vô hướng của hai vectơ. Đặc biệt có sự nhầm lẫn về xác định góc giữa hai
vectơ và góc giữa hai đường thẳng.
Lời giải đúng như sau:
uuu
r uuur
uuur uuur 1
15
AB
. AC
1
2
2
2
Ta có AB. AC = ( AB + AC − BC ) = −
, cos µA =
= − . Suy ra góc A bằng
2
2
AB. AC
2
1200 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 600.
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:

Sáng kiến này được áp dụng trong quá trình giảng dạy chuyên đề hình học ở các lớp
mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THCS & THPT Hà Trung năm học 20112012 , 2014-2015. Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp đã nghiên cứu tôi
thấy kỹ năng giải toán hình học bằng phương pháp vectơ của các em được nâng lên rõ rệt,
góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục
của nhà trường nói chung. Điều đó được minh chứng bởi kết quả học tập của học sinh lớp
10/1, 10/2 năm học 2011-2012 và học sinh lớp 10/1 trong học kì I năm học 2014-2015.

Kết quả học tập ở lớp đã áp dụng SKKN trong năm học 2011-2012 và 2014-2015:
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

13


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Yếu
Trung bình
Khá
SL
TL
SL
TL
SL
TL
2011-2012 10/1
31
0
0%
4
12,9% 15 48,4%

2014-2015 10/1
40
0
0%
12
30%
18
45%
Kết quả học tập ở lớp không áp dụng SKKN trong năm học 2011-2012
Năm học

Lớp
10/2

Lớp

Sĩ số
40

Giỏi

Sĩ số

Yếu
11
27,5%

Trung bình
17
42,5%

Khá
9
22,5%

SL
12
10

TL
38,7%
25%

Giỏi
3

7,5%

Tổng kết kinh nghiệm quá trình công tác của bản thân, học tập và tiếp thu kinh
nghiệm của đồng nghiệp, trao đổi trực tiếp với học sinh, giáo viên giảng dạy tìm ra những
khó khăn vướng mắc của học sinh khi giải bài tập theo chủ đề vectơ để tìm ra phương
pháp giúp hình thành kỹ năng giải toán hình học bằng PPVT.

PHẦN III: KẾT LUẬN

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

14

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Qua những vấn đề trình bày trong sáng kiến này có thể rút ra một số kết luận sau:
Trong các nhiệm vụ của môn toán ở trường THPT, cùng với việc truyền thụ tri thức,
rèn luyện kỹ năng là một nhiệm vụ quan trọng, là cơ sở để thực hiện các nhiệm vụ khác.
Để rèn luyện kỹ năng giải toán, góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần
đưa ra một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí, được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học
sinh củng cố khiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng toán học vào
thực tiễn.
Sáng kiến đã hướng dẫn học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải của bài
toán theo bốn bước trong lược đồ của Pôlya.
Sáng kiến đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống
bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập HH bằng PPVT với nội dung phong phú đã
đề cập được tới hầu hết các tình huống điển hình mà học sinh hay gặp khi giải toán HH
bằng PPVT. Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu của học sinh, đều có tác dụng rèn
luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT.
Kết quả thu đươc qua thử nghiệm đã chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp mà sáng kiến đề cập tới. Sáng kiến đã góp phần nào trong việc nâng cao chất lượng
dạy và học ở trường THCS & THPT Hà Trung.
Với những ý kiến được trình bày trên đây hi vọng rằng sáng kiến sẽ là tài liệu tham
khảo cho quý Thầy cô giáo, cho các em học sinh góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
nói chung và bộ môn toán nói riêng. Với kinh nghiệm còn ít ỏi của mình chắc chắn sáng
kiến này còn thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến độc giả để bản sáng kiến được
đầy đủ và có ý nghĩa thiết thực hơn. Đồng thời đây cũng là vấn đề mở cần được tiếp tục
nghiên cứu mở rộng thêm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

15

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

1. G.Polya – Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục-1997
2. Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài toán Hình học 10, NXB Đại Học Quốc
Gia Hà Nội.
3. PGS.TS Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Việt Dũng (2011), Tuyển chọn 400
bài tập Toán 10 Hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
4. Lê Đức, Vương Ngọc (2010), Các dạng toán điển hình Hình học 10, NXB Đại Học
Quốc Gia Hà Nội.
5. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Thất Tôn, Đặng Quang Viễn
(1996), Toán bồi dưỡng học sinh Hình học 10, NXB Hà Nội.
6. Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp
véctơ chương trình hình học 10, chương I + II nâng cao, Luận văn thạc sĩ.
7. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 10 (cơ bản) , NXB Giáo Dục – 2006.
8. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 10 (nâng cao), NXB Giáo dục – 2006.
9. Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán 10, NXB Giáo Dục – 2011.
10. Các bài báo, tài liệu trên Internet, Tạp chí Toán học tuổi trẻ.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

16