Giải tích malliavn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Bùi Hùng Cường

GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số : 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Bùi Hùng Cường

GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Công thức tích phân từng phần trừu tượng
1.1

1.2

2.2

1

Trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Vấn đề độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Mật độ của phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Giải tích Malliavin Brown
2.1

iii

12

Trường hợp hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1

Các định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2

Các toán tử vi phân. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 14

Trường hợp vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1

Miền xác định tập Domp (D) = D1,p

2.2.2

Miền xác định tập Domp (δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.4

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5

Công thức Clark - Ocone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.6

Miền xác định tập Domp (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.7

Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Chuyển động Brown nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4

Các đạo hàm bậc cao và các công thức tích phân từng phần . . . . . . 41

2.5

Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

i


2.6

Phụ lục. Phân tích hỗn độn Wiener (Wiener chaos decomposition) . . . 48

3 Áp dụng vào Tài chính

53

3.1

Công thức Clark - Ocone và danh mục đầu tư tái tạo . . . . . . . . . . 53

3.2

Tính toán độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3

3.2.1

Tập Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2

Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1

Thủ tục đường chéo và các công thức cơ bản . . . . . . . . . . . 69

3.3.2

Công thức địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ii


LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích Malliavin được hình thành từ những năm 70 của thế kỷ XX và đến những
năm 80, 90 một lượng khổng lồ các công việc đã được thực hiện trong lĩnh vực này. Lý
thuyết phần lớn được xây dựng trên tính toán ngẫu nhiên Itô nhằm mục đích nghiên
cứu cấu trúc cũng như phân bố của không gian các hàm Wiener. Đầu tiên năm 1974,
Malliavin đã dùng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối để chứng minh rằng dưới điều kiện
Hormander phân bố của quá trình khuếch tán có mật độ mịn và với cách này ông đã
chứng minh được định lý xác suất Hormander. Sau đó người ta đã dùng phương pháp
giải tích này trong nhiều bài toán khác nhau có liên quan tới quá trình ngẫu nhiên.
Cuối cùng người ta đã tìm ra ứng dụng của giải tích Malliavin trong phương pháp số
xác suất, chủ yếu trong lĩnh vực toán tài chính. Những ứng dụng này hơi khác những
phương pháp trước đó bởi công thức tích phân từng phần trong giải tích Malliavin
được dùng để giải thích một cách chắc chắn các vấn đề trong thuật toán phi tuyến.

Bố cục luận văn gồm ba chương :
Chương 1: “Công thức tích phân từng phần trừu tượng ”. Chương này nhằm
giới thiệu công thức tích phân từng phần trừu tượng. Từ đó ta đưa ra được những kết
quả quan trọng như : vấn đề độ nhạy, mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện.
Chương 2: “Giải tích Malliavin Brown”. Chương này đưa ra các khái niệm về các
hàm đơn giản, các quá trình đơn giản, từ các khái niệm này người ta mới đưa ra định
nghĩa đạo hàm Malliavin. Tiếp theo đưa ra định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan
hệ giữa tích phân Skorohod với tích phân Itô, từ mối quan hệ này ta thấy được tích
phân Skorohod là mở rộng của tích phân Itô như thế nào. Áp dụng công thức tích
phân từng phần trừu tượng để suy ra được các tính chất quan trọng của tích phân
như : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark – Ocone và công thức tích
phân từng phần Malliavin. Ngoài ra chương 2 còn giới thiệu quá trình khuếch tán và
phân tích hỗn độn Wiener, các tập Domp (D), Domp (δ), Domp (L).
Chương 3: “Áp dụng vào tài chính”. Ta áp dụng các kết quả của chương 1 và
iii


chương 2 vào chương này. Trước tiên áp dụng công thức Clark – Ocone để tìm danh
mục đầu tư tái tạo, tức là tìm được những cổ phiếu φit để lựa chọn việc đầu tư tái tạo;
tìm giá của tùy chọn (H, T ) kiểu châu âu tại thời điểm t, nghĩa là tại kỳ hạn thanh
toán T tương ứng với chi trả ngẫu nhiên H. Áp dụng việc tính toán độ nhạy ở chương
1 và công thức tích phân từng phần Malliavin để tính toán độ nhạy. Việc tính toán
độ nhạy cho ta biết phương án đầu tư có an toàn hay không, khi độ nhạy thấp thì
phương án đầu tư là an toàn ngược lại khi độ nhạy cao thì cần tính đến việc thay đổi
phương án đầu tư khác. Một áp dụng nữa là tính kỳ vọng có điều kiện, tính kỳ vọng
có điều kiện giúp ta quyết định có bán cổ phiếu theo giá bảo hiểm hay không.
Luận văn được dựa trên cơ sở chính là tài liệu "An Introduction to Malliavin Calculus
and its applications to Finance" của các tác giả : Vlad Bally trường đại học Paris - Est
Marne - la - Vallée, Lucia Caramellino trường đại học Roma -Tor Vergata và Luana
Lombardi trường đại học L’Aquila.

Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trường đại học Khoa học
tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô viện Toán học đã trang bị kiến
thức, dìu dắt tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại đây, đặc biệt là thầy
TS. Nguyễn Thịnh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn
này.

Hà Nội, ngày 01 tháng 7 năm 2015

Bùi Hùng Cường

iv


Chương 1
Công thức tích phân từng phần
trừu tượng
Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một phép tính Malliavin trừu tượng, đó là công
thức tích phân từng phần và ta nhấn mạnh vài kết quả quan trọng như :tính toán độ
nhạy, mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện.

1.1

Trường hợp một chiều

Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất và E là kỳ vọng chuẩn trên P . Bộ Cck (Rd )
và Cbk (Rd ) là không gian các hàm f : Rd → R khả vi liên tục bậc k, compact và các
đạo hàm được hạn chế trên các tập tương ứng. Khi các hàm khả vi vô hạn, ta có các
tập tương ứng là Cc∞ (Rd ) và Cb∞ (Rd ) .
Định nghĩa 1.1.1:
Cho F, G : Ω → R là các biến ngẫu nhiên khả tích. Ta nói rằng công thức tích phân

từng phần IP (F ; G) là đúng nếu tồn tại biến ngẫu nhiên khả tích H(F ; G) sao cho:
IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R)

(1.1)

Hơn nữa, ta có công thức tích phân từng phần IPk (F ; G) là đúng nếu tồn tại biến
ngẫu nhiên khả tích Hk (F ; G) sao cho:
IPk (F ; G) : E(φ(k) (F )G) = E (φ(F )Hk (F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R).
1

(1.2)


Nhận xét 1.1.2:
- Bằng cách sử dụng kết quả tiêu chuẩn chính quy, có thể kiểm tra các hàm Cc∞ (R)
trong IPk (F ; G) có thể chuyển thành Cck (R) hoặc Cb∞ (R), Cbk (R).
- Rõ ràng IP1 (F ; G) chính là IP (F ; G) và H1 (F ; G) chính là H(F ; G).
Hơn nữa, nếu ta có các công thức IP (F ; G) và IP (F ; H(F ; G)) thì ta sẽ suy ra công
thức IP2 (F ; G) với H2 (F ; G) = H(F ; H(F ; G)) .
Tương tự như vậy cho các đạo hàm bậc cao hơn.
Ví dụ: Trong IPk (F ; 1) cho chúng ta xác định Hk (F ; 1) ≡ Hk (F ) bằng cách xác định
lại:
H0 (F ) = 1,

Hk (F ) = H(F ; Hk−1 (F )), k ≥ 1

- Nếu có công thức IP (F ; G) thì từ E(H(F ; G)) = 0 suy ra G = 1 ở (1.1).
Hơn nữa, H(F ; G) trong IP (F ; G) không phải là duy nhất : Với bất kỳ biến ngẫu
nhiên R thỏa mãn E(φ(F )R) = 0 (nghĩa là E(R |F ) = 0) ta cũng có thể sử dụng như
H(F ; G) + R ( thực tế E(H(F ; G) |F )) là duy nhất ). Trong số học điều này đóng vai

trò quan trọng bởi vì nếu ta muốn tính E(φ(F )H(F ; G)) sử dụng phương pháp Monte
Carlo thì nó có thể cho ta phương sai tối thiểu. Cũng lưu ý rằng để thực hiện thuật
toán Monte Carlo ta có mô phỏng F và H(F ; G). Trong một số trường hợp, H(F ; G)
có thể tính toán trực tiếp. Nhưng giải tích Malliavin cho ta một hệ thống phép toán
để tính toán điều này. Thường trong các ứng dụng F là lời giải của phương trình ngẫu
nhiên và H(F ; G) xuất hiện như một sự tổng hợp của các toán tử vi phân trên F .
Những điều này cũng có liên quan tới các phương trình ngẫu nhiên và vì vậy ta có thể
sử dụng một số xấp xỉ của các phương trình để tạo ra các thuật toán cụ thể.
Ví dụ: Cho f = ∆ và G = g(∆) trong đó f, g là các hàm khả vi và ∆ là biến ngẫu
nhiên Gauss có kỳ vọng 0 của phương sai σ. Khi đó:
E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆)

∆
− g (∆)]
σ

(1.3)

∆
− g (∆). Từ ứng dụng trực
σ
tiếp của công thức tích phân từng phần nhưng với sự có mặt của mật độ Gauss

vì vậy ta có công thức IP (F ; G) với H(F ; G) = g(∆)

2


p(x) = √

x2
exp(− ) ta có :
2σ
2πσ 2
1

E(f (∆)g(∆)) =

f (x)g(x)p(x)dx

=−

f (x)(g (x)p(x) + g(x)p (x))dx

=−

f (x)[g (x) + g(x)

= E(f (∆)[g(∆)

p (x)
]p(x)dx
p(x)

∆
− g (∆)])
σ

Giải tích Malliavin tạo ra H(F ; G) cho một lớp lớn các biến ngẫu nhiên - (1.3) đại
diện cho ví dụ đơn giản kiểu này, nhưng đó không phải là mục tiêu của phần này . Ở

đây ta chỉ đưa ra một vài hệ quả của tính chất trên.

1.1.1

Vấn đề độ nhạy

Trong nhiều ứng dụng ta xem xét đến những số có dạng E(φ(F x )) trong đó F x là một
loại biến ngẫu nhiên chỉ số trên tham số hữu hạn x. Một ví dụ điển hình là F x = Xtx
là một quá trình khuếch tán bắt đầu từ x. Để nghiên cứu độ nhạy của yếu tố này với
tham số x, ta chứng minh rằng x → E(φ(F x )) là khả vi và tìm biểu thức đạo hàm
của nó. Có hai cách để giải quyết vấn đề này, đó là : cách tiếp cận theo từng quỹ đạo
hoặc cách tiếp cận theo phân bố.
Cách tiếp cận theo từng quỹ đạo : giả sử rằng x → F x (ω) là khả vi hầu khắp nơi
ω ( và đây là trường hợp x → Xtx (ω) trong ví dụ) và φ cũng khả vi. Khi đó :
∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x )
nhưng cách tiếp cận này không thực hiện được nếu φ không khả vi.
Cách tiếp cận theo phân bố : vượt qua trở ngại trên nhờ sử dụng sự uyển chuyển
mật độ của phân bố của F x . Vì vậy trong cách tiếp cận này ta giả thiết rằng F x ∼
px (y)dy và x → px (y) là khả vi với mỗi y.
Khi đó:
∂x E(φ(F x )) =

φ(y)∂x px (y)dy =

φ(y)∂x ln px (y)px (y)dy = E (φ(F x )∂x ln px (F ))
3


Đôi khi người ta gọi ∂x ln px (F ) là hàm điểm. Nhưng cách làm này chỉ dùng được khi
ta biết mật độ của phân bố của F x . Nếu không biết mật độ của phân bố của F x thì

sử dụng công thức tích phân từng phần IP (F x ; ∂x F x ) ta có đẳng thức :
∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) = E (φ(F x )H(F x ; ∂x F x )) .
Ta thấy rằng đẳng thức trên đúng ngay cả khi φ không khả vi bởi vì không có đạo
hàm của các số hạng đầu và cuối. Trong thực tế ta có thể sử dụng một số lập luận
thông thường và sau đó chuyển qua giới hạn. Do đó ta thu được H(F x ; ∂x F x ).
Giải tích Malliavin như một cái máy cho phép tính toán số lượng lớn các lớp biến
ngẫu nhiên cho trường hợp mật độ của phân bố không biết một cách rõ ràng (ví dụ
như quá trình khuếch tán). Đây là cách tiếp cận trong Fourni’e, [12] và [13] đối với
tính toán kiểu Hy Lạp (độ nhạy của giá của người châu Âu và lựa chọn của người Mỹ
với các tham số nhất định) trong các vấn đề Toán tài chính.

1.1.2

Mật độ của phân bố

Sau đây ký hiệu 1A (x) hoặc 1x∈A


 1, nếu x ∈ A
là hàm chỉ tiêu, nghĩa là: 1A (x) =
 0, nếu x ∈
/A

Bổ đề 1.1.3
Giả sử rằng F thỏa mãn công thức IP (F ; 1). Khi đó phân bố của F là liên tục tuyệt
đối đối với độ đo Lebesgue và mật độ của phân bố được cho bởi:
p(x) = E(1[x,∞) (F )H(F ; 1))

(1.4)

Hơn nữa p liên tục và p(x) → 0 khi |x| → ∞
Chứng minh:
Hình thức lập luận như sau: Từ δ0 (y) = ∂y 1[0;∞) (y), áp dụng công thức IP (F ; 1) ta
có
E(δ0 (F − x)) = E ∂y 1[0;∞) (F − x)
= E 1[0;∞) (F − x)H1 (F ; 1)
= E(1[x;∞) (F )H(F ; 1))
4


Để có suy luận chính xác, ta làm theo hàm Dirac. Vì vậy ta có một hàm dương
φ ∈ Cc∞ (R) nhận giá trị không đổi trên [-1;1]. Như vậy

φ(y)dy = 1 và với mỗi δ > 0

ta xác định φδ (y) = δ −1 φ(yδ −1 ). Hơn nữa ta xác định Φδ là nguyên hàm của φδ ,
y

Φδ (y) =

φδ (z)dz và ta xây dựng một vài biến ngẫu nhiên θδ của phân bố φδ (y)dy,
−∞

cái mà độc lập với F . Vì θδ hội tụ yếu tới 0 khi δ → 0 nên với mỗi f ∈ Cc∞ (R) ta có :
E(f (F )) = lim E(f (F − θδ ))
δ→0

(1.5)

Đặt Λ là phân bố của F , ta có thể viết :

E(f (F − θδ )) =

(f (u − v)φδ (v)dvdΛ(u)

=

f (z)φδ (u − z)dzdΛ(u)

=

f (z)E(φδ (F − z))dz

=

f (z)E(Φδ (F − z))dz

=

f (z)E(Φδ (F − z)H(F ; 1))dz

Bây giờ Φδ được hạn chế trên δ và Φδ (y) → 1[x,∞) (y) khi δ → 0 với ∀ y. Khi đó sử
dụng định lý hội tụ Lebesgue thông qua giới hạn ta được :
E(f (F )) =

f (z)E(1[z;∞) (F )H(F ; 1))dz

với bất kỳ f ∈ Cc∞ (R), vì vậy z → E(1[z;∞) (F )H(F ; 1)) là hàm mật độ xác xuất của
F , nó cũng là hàm liên tục. Thật vậy, nếu zn → z ta có 1[zn ;∞) (F ) → 1[z;∞) (F ). Vì
vậy áp dụng định lý hội tụ Lebesgue, ta có:
p(zn ) = E(1[zn ;∞) (F )H(F ; 1)) → E(1[z;∞) (F )H(F ; 1)) = p(z)

tức p là hàm liên tục.
Cuối cùng, nếu z → +∞ thì 1[z;∞) (F ) → 0 và khi đó p(z) → 0 .
Nếu thay bằng z → −∞ thì ta sử dụng lập luận tương tự nhưng biểu diễn là :
p(x) = −E(1(−∞;x) (F )H(F ; 1))

(1.6)

điều đó được suy từ thực tế sau 1[x;+∞) = 1 − 1(−∞;x) và nhắc lại rằng E(H(F ; 1)) = 0
(Xem Nhận xét 1.1.2). Ta có điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.1.4. [Bị chặn]
5


Giả sử rằng H(F ; 1) là bình phương khả tích. Khi đó sử dụng bất đẳng thức Chebishev
ta có :
p(x) ≤

P(F ≥ x) H(F ; 1)

2

Đặc biệt, lim p(x) = 0 và tỉ lệ hội tụ được điều chỉnh lên đến tận cùng của phân bố
x→∞

−p/2
.

của F . Ví dụ nếu F có bậc p hữu hạn cho bởi p(x) ≤ Cx

Điều đáng chú ý trong

các ví dụ, quá trình khuếch tán thường có dạng mũ. Vì vậy vấn đề của giới hạn trên
cho hàm mật độ là khá đơn giản ( Ngược lại, vấn đề giới hạn dưới cho hàm mật độ là
một thách thức lớn). Công thức ở trên áp dụng cho trường hợp x → ∞. Trường hợp
tương tự khi x → −∞ ta sử dụng công thức (1.6)
Bây giờ ta nghiên cứu xa hơn nữa và nghiên cứu vấn đề đạo hàm của hàm mật độ.
Bổ đề 1.1.5:
Giả sử ta có công thức IPi (F ; 1), i = 1, ..., k + 1 . Khi đó mật độ là khả vi bậc k và :
p(i) (x) = (−1)i E(1(x;∞) (F )Hi+1 (F ; 1)), i = 0, 1, ..., k

(1.7)

Chứng minh:
x

Cho i = 1. Ta xác định Ψδ (x) =

Φδ (y)dy, khi đó Ψδ = φδ và ta quay trở lại với
−∞

chứng minh Bổ đề 1.1.3, sử dụng IP2 (F ; 1) ta có :
E(φδ (F − z)) = E(Ψδ (F − z)) = E(Ψδ (F − z)H2 (F ; 1))
Do đó :
E(f (F − θδ )) =
Từ

f (z)E(Ψδ (F − z)H2 (F ; 1))dz

lim Ψδ (F − z) = (F − z)+ ta thu được :

δ→0

E(f (F )) =

f (z)E((F − z)+ H2 (F ; 1))dz

do đó
p(z) = E((F − z)+ H2 (F ; 1))
Cái hay ở đây là biểu diễn tích phân mới của mật độ z → (F − z)+ là khả vi. Lấy đạo
hàm công thức trên cho ta :
p (z) = −E(1[z;∞) (F )H2 (F ; 1))
6


và ta đã hoàn thành chứng minh với i = 1.
Để lấy đạo hàm bậc cao, ta sử dụng thêm tích phân từng phần để nhận được :
p (z) = E (ηi (F − z) Hi+1 (F; 1))
(i)

ηi (x) = (−1)i 1[0;∞) (x)

trong đó ηi là hàm khả vi bậc i sao cho :
Ta có ngay điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.1.6 [Bị chặn]

Công thức biểu diễn tích phân (1.7) cho phép có được giới hạn trên của các đạo hàm
của mật độ p. Đặc biệt giả sử F hữu hạn với bậc tùy ý và thỏa mãn công thức IPi (F ; 1)
với ∀i ∈ N và Hi (F ; 1) là bình phương khả tích. Khi đó p là khả vi vô hạn và :
q
−

(i)
p (x) ≤ P(F > x) Hi (F ; 1) 2 ≤ Cx 2 , ∀q ∈ N.
Vì vậy p ∈ S, không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh.
Tích phân từng phần và các mật độ
Bổ đề 1.1.5 chỉ ra rằng có một mối quan hệ tương đương (hầu tương đương) giữa tích
phân từng phần và sự tồn tại "tốt" mật độ của phân bố của F . Trong thực tế, giả sử
rằng F ∼ p(x)dx, ở đây p khả vi và p (F) là khả tích. Khi đó ∀f ∈ Cc∞ (R) ta có :
E(f (F )) =

f (x)p(x)dx

=−

f (x)p (x)dx

=−

f (x)

p (x)
1(p>0) (x)p(x)dx
p(x)

= −E(f (F )

p (F )
1(p>0) (F ))
p(F )

p (F )

1(p>0) (F ) ∈ L1 (bởi vì p (F ) ∈
p(F )
L1 (Ω)). Bằng việc lặp đi lặp lại, ta thu được chuỗi tác động sau đây :
Vì vậy ta có công thức IP (F ; 1) với H(F ; 1) = −

Công thứcIPk+1 (F ; 1)
⇒ p khả vi bậc k và p(k) (F ) ∈ L1 (Ω).
⇒ Công thứcIPk (F ; 1) và Hk (F ; 1) = (−1)k
7

p(k) (F )
1(p>0) (F ) ∈ L1 (Ω)
p(F )


1.1.3

Kỳ vọng có điều kiện

Điều cốt yếu của việc tính toán kỳ vọng có điều kiện là để giải thích một cách chắc
chắn các vấn đề phi tuyến từ các thuật toán lập trình động lực học. Một số tác giả (
xem Fourni’e [13], Lion và Regnier [19], Bally [5], Kohatsu - Higa và Petterson [15],
Bouchard [10]) đã sử dụng các công thức dựa trên các kỹ thuật giải tích Malliavin để
tính toán các kỳ vọng có điều kiện . Trong phần này ta đưa ra dạng trừu tượng của
công thức này.
Bổ đề 1.1.7
Cho F và G là các biến ngẫu nhiên thực thỏa mãn các công thức IP (F ; 1) và IP (F ; G).
Khi đó :
E (G |F = x) =

E 1[x;∞) (F )H(F ; G)
E 1[x;∞) (F )H(F ; 1)

(1.8)

với quy ước rằng số hạng bên phải bằng 0 khi mẫu số bằng 0.
Chứng minh:
Cho θ(x) đại diện cho số hạng bên trái của đẳng thức trên. Ta có thể kiểm tra rằng
với ∀f ∈ Cc∞ (R) ta có E(f (F )G) = E(f (F )θ(F )) . Sử dụng các hàm quy tắc từ việc
chứng minh Bổ đề 1.1.3 ta có :
E(θ(F )f (F )) =
=

f (z)θ(z)p(z)dz
f (z)E 1[0;∞) (F − z)H(F ; G) dz

= lim

f (z)E (Φδ (F − z)H(F ; G)) dz

= lim

f (z)E(Gφδ (F − z))dz

δ→0

δ→0

f (z)φδ (F − z)dz)

= E(G lim

δ→0

= E(Gf (F ))
và ta có điều phải chứng minh.

8


1.2

Trường hợp nhiều chiều

Trong phần này ta nghiên cứu với biến ngẫu nhiên d chiều F = (F 1 , F 2 , ..., F d ). Các
kết quả liên quan đến mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện là khá giống nhau.
∂
. Cho một đa chỉ số
Ta giới thiệu một số ký hiệu. Cho i = 1, ..., d. Ta đặt ∂i ≡
∂ xi
α = (α1 , ..., αk ) ∈ {1, ..., d}k , ta biểu thị |α| = k và ∂α = ∂α1 ... ∂αk với quy ước rằng
∂0 là phần tử đơn vị. Bây giờ ta định nghĩa tích phân từng phần như sau :
Định nghĩa 1.2.1.
Cho F : Ω → Rd và G : Ω → R là các biến ngẫu nhiên khả tích. Cho α ∈ {1, ..., d}k , k ∈
N là một đa chỉ số. Ta nói rằng ta có công thức tích phân từng phần IPα (F ; G) nếu
tồn tại biến ngẫu nhiên khả tích Hα (F ; G) sao cho :
IPα (F ; G) : E(∂α φ(F )G) = E(φ(F )H(F ; G)), ∀φ ∈ Cc∞ (R)

(1.9)

Nhắc lại, cho |α| = k , tập Cc∞ (Rd ) có thể biến đổi thành Cck (Rd ) , Cb∞ (Rd ) hoặc
Cbk (Rd ).
Ta đưa ra một ví dụ đơn giản mà nó là trung tâm của giải tích Malliavin .
Cho F = f (∆1 , . . . , ∆m ) và G = g(∆1 , . . . , ∆m ) trong đó f, g là các hàm khả vi và
∆1 , . . . , ∆m độc lập với nhau, là các biến ngẫu nhiên Gauss kỳ vọng 0 với các phương
sai tương ứng là : σ 1 , . . . , σ m .
Ta biểu thị ∆ = (∆1 , . . . , ∆m ). Khi đó với mỗi i = 1, . . . , m ta có :
E(

∂f
∆i
∂g
(∆)g(∆))
=
E(f
(∆)[g(∆)
− i (∆)])
i
i
∂x
σ
∂x

(1.10)

như một hệ quả trực tiếp của (1.3) và ∆1 , . . . , ∆m độc lập. Nó thỏa mãn công thức :
IP{i} (∆; g(∆)), ∀i = 1, . . . , d.
Bây giờ ta đưa ra kết quả liên quan đến mật độ của phân bố của F .
Định lý 1.2.2
i) Giả sử rằng IP(1,2,...,d) (F ; 1) được thỏa mãn. Khi đó mật độ p của F tồn tại và được

cho bởi :
p(x) = E(1I(x) (F )H(1,2,...,d) (F ; 1))
9

(1.11)


d

trong đó I(x) =

[xi ; ∞). Đặc biệt là p liên tục.

i=1

ii) Giả sử rằng với mọi tập đa chỉ số α ta có công thức IPα (F ; 1). Khi đó ∂α p tồn tại
và được cho bởi :
∂α p(x) = (−1)|α| E(1I(x) (F )H(α+1) (F ; 1))

(1.12)

trong đó (α + 1) =: (α1 + 1, . . . , αd + 1). Hơn nữa, nếu Hα (F ; 1) ∈ L2 (Ω) và F có bậc
hữu hạn tùy ý thì p ∈ S, S là không gian Schwartz của các hàm khả vi vô hạn mà
giảm đến vô hạn cùng với tất cả các đạo hàm.
Chứng minh :
i) Lập luận chính của chứng minh phần (i) là dựa trên cơ sở δ0 (y) = ∂(1,...,1) 1I(0) (y) và
công thức tích phân từng phần . Để chặt chẽ, ta có thể sử dụng quy tắc hàm Dirac
như trong chứng minh Bổ đề 1.1.3.
ii) Để chứng minh (ii) ta có thể sử dụng như " phân phối Schwartz" lập luận như
chứng minh Bổ đề 1.1.5.

Cuối cùng, để thu được giới hạn ta viết :
|∂α p(x)| ≤

P(F 1 > x1 , . . . , F d > xd ) H(α+1) (F ; 1)

2

.

Nếu x1 > 0, . . . , xd > 0 bất đẳng thức Chebishev cho ta |∂α p(x)| ≤ Cq |x|−q , ∀q ∈ N.
Nếu tọa độ của x không dương ta có thể sử dụng phương sai của (1.12) mà (−∞; xi ]
thay cho (xi ; ∞) .
Ta có điều cần chứng minh.
Kết quả liên quan đến kỳ vọng có điều kiện như sau :
Định lý 1.2.3
Cho F = (F 1 , . . . , F d ) và G là hai biến ngẫu nhiên thỏa mãn các công thức IP(1,2,...,d) (F ; 1)
và IP(1,2,...,d) (F ; G) . Khi đó :
E(G F = x) =

E(1I(x) (F )H(1,2,...,d) (F ; G))
E(1I(x) (F )H(1,2,...,d) (F ; 1))

(1.13)

với quy ước số hạng bên phải bằng 0 khi mẫu bằng 0.
Chứng minh
d

Chứng minh tương tự như Bổ đề 1.1.7, sử dụng hàm φδ (x) =
i=1

10

φδ (xi ) và Φδ (x) =


d

Φδ (xi ) và thực tế rằng ∂ (1,...,1) Φδ (x) = φδ (x) ta có điều phải chứng minh.

i=1

11


Chương 2
Giải tích Malliavin Brown
2.1

Trường hợp hữu hạn chiều

Trong phần này ta giới thiệu những hàm đơn giản hữu hạn chiều và quá trình đơn
giản hữu hạn chiều. Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod cho các
đối tượng hữu hạn chiều và ta thu được những tính chất quan trọng của tích phân
như : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark - Ocone và công thức tích
phân từng phần.
Ta sẽ sử dụng không gian Cpk (Rd ) của các hàm f : Rd → R mà đạo hàm bậc k của
chúng tồn tại, liên tục và với tốc độ đa thức. Tương tự như vậy ta định nghĩa cho
Cp∞ (Rd ).

2.1.1

Các định nghĩa và các tính chất

Cho W = (W1 , . . . , Wd ) là một chuyển động Brown d chiều được định nghĩa trên
không gian xác suất (Ω, F, P) và ta giả sử rằng nó có bộ lọc cơ sở {Ft }t∈[0;1] với W là
một chuyển động Brown, nó được tạo ra bởi W và được khuếch tán bởi các tập P có
độ đo 0. Để đơn giản các ký hiệu, ta giả sử trong trường hợp này d = 1. Trường hợp
nhiều chiều sẽ đề cập sau trong Mục 2.3.
Với mỗi n, k ∈ N ta biểu thị tkn = k2−n và :
k
n
∆kn = W(tk+1
n ) − W(tn ), k = 0, . . . , 2 − 1.

12


n −1

Ta biểu thị ∆n = (∆0n , . . . , ∆2n

). Chú ý rằng ∆n là biến ngẫu nhiên Gauss nhiều

n

chiều, nhận giá trị trong R2 với các véc tơ độc lập : ∆n ∼ N (0; 2−n I2n ×2n ) (Ở đây
N (m, Γ) biểu thị phân bố Gauss theo m và ma trận hiệp phương sai Γ, còn Id×d là ma
trận đơn vị d × d).
Định nghĩa 2.1.1.

Một hàm đơn giản cấp n là một biến ngẫu nhiên dạng F = f (∆n ), trong đó
n

f ∈ Cp∞ (R2 ). Ta biểu thị không gian Sn của các hàm đơn giản bậc n bởi :
n

Sn = {F = f (∆n ) : f ∈ Cp∞ (R2 )}
và định nghĩa không gian của tất cả các hàm đơn giản là :

S = ∪ Sn
n∈N

Nhận xét 2.1.2.
1. Sn ⊂ Sn+1 , thật vậy ta có :
2k
2k+1
2k+1 2k+2
[tkn , tk+1
n ) = [tn+1 , tn+1 ) ∪ [tn+1 , tn+1 )

Vì vậy
2k+1
F = f (. . . , ∆kn , . . .) = f (. . . , ∆2k
n+1 + ∆n+1 , . . .).

2. S ⊂ Lp (Ω, F1 , P), ∀p ≥ 1 là một hệ quả của thực tế rằng f có tốc độ đa thức và bất
kỳ biến ngẫu nhiên Gauss có bậc hữu hạn tùy ý.
3. S là tập con tuyến tính trù mật của L2 (Ω, F1 , P). Có một vài cách để chỉ ra tính
hợp lý của khẳng định này, xem chứng minh ở Phụ lục 2.6 (Xem tiếp ở Định lý 2.6.4).
Định nghĩa 2.1.3.

Một quá trình U : [0; 1] × Ω → R được gọi là một quá trình đơn giản bậc n nếu
với bất kỳ k = 0, . . . , 2n − 1 tồn tại một quá trình Uk ∈ Sn sao cho :
2n −1

Ut (ω) =

Uk (ω)1[tkn ;tk+1
) (t)
n
k=0

Ta biểu thị Pn là không gian các quá trình đơn giản bậc n, tức là :
2n −1

Pn = {U : [0; 1] × Ω → R : Ut (ω) =

Uk (ω)1[tkn ;tk+1
) (t) ; Uk ∈ Sn }
n
k=0

và không gian của tất cả các quá trình đơn giản được cho bởi : P = ∪ Pn
n∈N

13


n −1

Từ Uk ∈ Sn ta có Uk = uk (∆0n , . . . , ∆2n

n

), uk ∈ Cp∞ (R2 ) . Do đó uk phụ thuộc vào tất

cả các gia số của chuyển động Brown, vì vậy quá trình đơn giản nhìn chung là không
tương thích . Nhưng U sẽ tương thích nếu và chỉ nếu Uk = uk (∆0n , . . . , ∆k−1
n ), ∀k =
0, . . . , 2n − 1.
Nhận xét 2.1.4.
1. Sn ⊂ Sn+1 suy ra Pn ⊂ Pn+1 .
2. Với mỗi ω cố định, ω ∈ Ω, t → Ut (ω) là một phần tử của L2 ([0; 1] , B [0; 1] , dt) và
nhìn chung thuộc vào Lp ([0; 1] , B [0; 1] , dt), ∀p ≥ 1. Khi đó nếu U, V ∈ P ta có thể
định nghĩa tích vô hướng trên không gian này bằng cách sử dụng một trong các tiêu
1

chuẩn trên L2 ([0; 1]), đó là : U, V =

Us Vs ds.
0

Chú ý rằng U, V phụ thuộc ω và hơn thế nữa nó còn là biến ngẫu nhiên hữu hạn.
3. Để đạt được mục tiêu dễ dàng, đặt:
1

|ϕs |2 ds < ∞}

2

H1 = L ([0; 1] , B [0; 1] , dt) = {φ : [0; 1] → R;

0

và

1
p

L (H1 ) = {U : Ω → H1 : E( U

p
H1 )

p
|Us | ds] 2 ) < ∞}
2

= E([
0

p

Khi đó P ⊂ L (H1 ), ∀p ∈ N.
4. P là một tập con trù mật của L2 (H1 ) ≡ L2 (Ω × [0; 1] , F1 × B([0; 1]), P × dt).

2.1.2

Các toán tử vi phân. Các tính chất cơ bản

Bây giờ ta có thể giới thiệu đạo hàm Malliavin và toán tử liên hợp của nó, tích phân
Skorohod

Định nghĩa 2.1.5.
Đạo hàm Malliavin của biến ngẫu nhiên F = f (∆n ) ∈ Sn là một quá trình đơn
giản {Dt F }t∈[0;1] ∈ Pn được cho bởi :
2n −1

Dt F =
k=0

∂f
(∆n )1[tkn ,tk+1
) (t)
n
∂xk

Ta nhắc lại rằng xk đại diện cho số gia ∆kn = Wtk+1
− Wtkn
n
∂F
Từ định nghĩa ta có Dt F =
, t ∈ [tkn , tk+1
n ).
∂∆kn
14


t
Nếu ta biểu thị ∆tn = ∆kn với t ∈ [tkn , tk+1
n ), ∆n tương ứng với số gia của W theo t. Do

đó ta có thể sử dụng ký hiệu sau đây :

Dt F =

∂F
∂f
n
(∆n ) ≡
(∆0n , ∆1n , . . . , ∆n2 −1 ) khi t ∈ [tkn , tk+1
n )
t
k
∂∆n
∂∆n

Chú ý rằng định nghĩa đưa ra toán tử D không phụ thuộc vào n. Thật vậy, cho
F ∈ Sn ⊂ Sn+1 ta có:
∂F ∂∆kn (∆n ) =

∂F
∂F
(∆n+1 ) =
(∆n+1 )
2k
∂∆n+1
∂∆2k+1
n+1

(2.1)

2k+1
2k+1 2k+2

2k
bởi vì t ∈ [tkn , tk+1
n ) = [tn+1 , tn+1 ) ∪ [tn+1 , tn+1 )
2k+1
và F = f (. . . , ∆kn , . . .) = f (. . . , ∆2k
n+1 + ∆n+1 , . . .). Do đó (2.1) cho phép định nghĩa

Sn → P =

D:S=
n

Pn như sau :
n

Dt F =

∂F
(∆n ) khi t ∈ [0; 1]
∂∆tn

Định nghĩa 2.1.6.
Tích phân Skorohod được định nghĩa như toán tử :
2n −1

(uk (∆n )∆kn −

δ : P → S, δ(U ) =
k=0

∂uk
1
(∆n ) n )
k
∂x
2

2n −1

trong đó U =
k=0

uk (∆n )1[tkn ;tk+1
) (t) ∈ Pn ⊂ P .
n

Chú ý nhắc lại rằng định nghĩa không phụ thuộc vào n vì vậy định nghĩa là phù hợp.
Nhận xét 2.1.7. (Tích phân Skorohod và tích phân Ito)
Ta đã chú ý rằng quá trình U ∈ Pn là Ft - tương thích nếu và chỉ nếu uk (∆n ) chỉ phụ
∂uk
= 0 và trong trường hợp này
thuộc vào các biến ∆1n , .., ∆k−1
n . Do đó
∂xk
1

2n −1

uk (∆n )∆kn =

δ(U ) =
k=0

Us dWs
0

nghĩa là δ(U ) trùng với tích phân Ito đối với W . Điều này cho thấy rằng tích phân
Skorohod nhằm mục đích mở rộng tích phân Ito qua tập hợp của quá trình không
tương thích .
Bây giờ ta có thể chứng minh mối liên hệ giữa đạo hàm Malliavin với tích phân
15


Skorohod và nghiên cứu những tính chất trực tiếp của các toán tử.
Định lý 2.1.8.
(i) [Đối ngẫu] Với bất kỳ F ∈ S và U ∈ P ta có :
E( DF, U ) = E(F δ(U ))
(ii) [Quy tắc chuỗi] Cho F = (F 1 , . . . , F m ) trong đó F i ∈ S, i = 1, . . . , m và Φ ∈
Cp∞ (Rm ). Khi đó Φ(F ) ∈ S và :
m

∂xi Φ(F )DF i

DΦ(F ) =
i=1

(iii) [Tích phân Skorohod của một tích] Cho F ∈ S và U ∈ P . Khi đó :
δ(F U ) = F δ(U ) − DF, U
Chứng minh:
(i) Cho n là một số nguyên sao cho F ∈ Sn và U ∈ Pn . Khi đó :

2n −1

E( DF, U ) = E(
k=0

∂f
1
(∆n )uk (∆n ) × n )
k
∂x
2

∆n là một véc tơ của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Gauss với phương sai hn =

1
. Khi
2n

đó ta có thể sử dụng (1.10) và ta nhận được :
∂f
∆kn ∂uk
E( k (∆n )uk (∆n )) = E(f (∆n )[uk (∆n )
− k (∆n )])
∂x
hn
∂x
Bằng cách thay thế ta có :
2n −1

[uk (∆n )∆kn −

E( DF, U ) = E(f (∆n )
k=0

∂uk
1
(∆n ) n ]) = E(F δ(U ))
k
∂x
2

Ta dễ dàng chứng minh (ii)
(iii) Lấy G ∈ S . Bằng cách sử dụng công thức đối ngẫu và quy tắc chuỗi, ta có :
E[Gδ(F U )] = E[ DG, F U ]
= E[ F DG, U ]
= E[ D(GF ) − GDF, U ]
= E[ D(GF ), U ]−E[G DF, U ]
= E[GF δ(U )] − E [ DF, U ]
16


Khi đó :
E[Gδ(F U )] = E[G(F δ(U ) − DF, U )]
với bất kỳ G ∈ S và suy ra (iii) được chứng minh.
Bây giờ ta đã sẵn sàng để chứng minh công thức tích phân từng phần đầu tiên trong
Malliavin. Cho F = (F 1 , . . . , F m ) trong đó F i ∈ S, i = 1, . . . , m. Tập σF như là hệ ma
trận cỡ m × m sau đây :
1

σFij

= DF i , DF j =

Dt F i Dt F j dt; i, j = 1, . . . , m
0

σF được gọi là ma trận hiệp phương sai liên quan đến F . Đây là một ma trận
xác định dương, bởi vì với bất kỳ ξ ∈ Rm ta có :
1

m

σFij ξ i ξ j

σF ξ, ξ =

i i

=

i,j=1

1

m

i i

Dt F ξ Dt F ξ dt =
0

i,j=1

2

m

j j

Dt F ξ
0

dt ≥ 0

i=1

Định lý 2.1.9. [Công thức tích phân từng phần Malliavin]
Cho F = (F 1 , . . . , F m ) và G sao cho : F 1 , . . . , F m , G ∈ S. Giả sử rằng σF là khả
nghịch và γF là nghịch đảo của σF . Hơn nữa giả sử rằng γF ∈ S. Khi đó với mọi
φ ∈ Cb1 (Rm ) ta có :
E(
m

với

Hi (F ; G) = δ(
j=1

∂φ
(F )G) = E(φ(F )Hi (F ; G))

∂xi

γFji GDF j )

Chứng minh
Sử dụng quy tắc chuỗi ta có :
m

Dφ(F ), DF

j

=
q=1

∂φ
(F ) DF q , DF j =
q
∂x

m

q=1

∂φ
(F )σFqj , j = 1, . . . , m
q
∂x

Vì σF là khả nghịch với ma trận nghịch đảo γF nên ta có thể viết :

∂φ
(F ) =
∂xi

m

Dφ(F ), DF j γFji , i = 1, . . . , m
j=1

17


Do đó
E

∂φ
(F )G
∂xi

m

=E
j=1

Dφ(F ), DF j γFji G
m

=E

Dφ(F ),

j=1

m

= E φ(F )δ(
j=1

2.2

DF j γFji G

DF j γFji G)

Trường hợp vô hạn chiều

Công thức đối ngẫu là công thức được sử dụng để chỉ ra toán tử D, δ là các toán tử
đóng và tính chất cuối cùng cho phép ta mở rộng ra trường hợp vô hạn chiều, nghĩa
là cho biến ngẫu nhiên và quá trình không nhất thiết phải phụ thuộc vào các số gia
của chuyển động Brown nhưng phụ thuộc vào tổng những cách thực hiện.
Ta hãy bắt đầu bằng những dữ kiện sau đây, ta thấy rằng:
D : S ⊂ L2 (Ω) → P ⊂ L2 (H1 ) và δ : P ⊂ L2 (H1 ) → S ⊂ L2 (Ω)
các toán tử D, δ là các toán tử tuyến tính nhưng không bị chặn, tức là không tồn tại
một hằng số C sao cho với bất kỳ F ∈ S ta có :
1

DF

2
L2 (H1 )

|Ds F |2 ds) ≤ C F

= E(

2
L2 (Ω)

0

Dù vậy ta cũng có thể nêu tính chất sau đây
Bổ đề 2.2.1.
D và δ là hai toán tử đóng, nghĩa là :
(i) Nếu {Fn }n ⊂ S sao cho: lim Fn = 0 trong L2 (Ω) và lim DFn = U trong L2 (H1 ) thì
n

n

U = 0;
(ii) Nếu {Un }n ⊂ P sao cho: lim Un = 0 trong L2 (H1 ) và lim δ(Un ) = F trong L2 (Ω)
n

n

thì F = 0;
Chứng minh
(i) Cho {Fn }n ⊂ S sao cho: lim Fn = 0 trong L2 (Ω) và lim DFn = U trong L2 (H1 ) .
n

n

18


Vì P là trù mật trong L2 (H1 ), điều đó đủ chứng tỏ rằng E( U, V ) = 0, ∀V ∈ P . Thật
vậy, nếu V ∈ P , bằng cách sử dụng công thức đối ngẫu ta có :
E( U, V ) = lim E( DFn , V ) = lim E(Fn δ(V )) = 0
n

n

(ii) được chứng minh tương tự.

Miền xác định tập Domp (D) = D1,p

2.2.1

Trước tiên ta giới thiệu một tập phù hợp với đạo hàm Malliavin D là xác định tốt và
khi đó mở rộng tập S các hàm đơn giản .
Định nghĩa 2.2.2
Cho p ∈ N. Ta nói rằng F ∈ Domp (D) = D1,p nếu tồn tại một dãy {Fn }n ⊂ S sao
cho: lim Fn = F trong Lp (Ω) và lim DFn = U trong Lp (H1 ) với U ∈ Lp (H1 ). Trong
n

n

trường hợp này ta định nghĩa DF = U = lim DFn trong Lp (H1 ).
n

Vì .

p

≤ .

p

và .

Lp (H1 )

≤ .

Ta đặt: D1,∞ = Dom∞ D =

Lp (H1 )

với p ≥ p ta có D1,p ⊂ D1,p .

D1,p
p∈N

Ta nhận thấy rằng D1,2 không phụ thuộc vào dãy Fn , n ∈ N bởi vì D là đóng nhưng
không phải là một đại số. Ta chú ý rằng D1,∞ là một đại số và định nghĩa của DF
không phụ thuộc vào p
Ta xác định một chuẩn .

1,p

trên D1,p như sau :
1

F

p
1,p

= F

p
p

+ DF

p
Lp (H1 )

p
|Dt F |2 dt) /2 )

≡ E(|F |p ) + E((
0

Chú ý rằng cho p = 2, chuẩn .

1,2

là một kết quả từ tích vô hướng :
1

F, G

1,2

= E(F G) + E(

Ds F Ds Gds)
0

Hơn nữa D1,2 là không gian Hilbert
Nhận xét 2.2.3.
(i) F ∈ S

.

1,p

nếu tồn tại Fn ∈ S, n ∈ N sao cho Fn → F trong Lp (Ω) và (Fn )n∈N là
19