Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Toán - Cơ - Tin học

BÀI TẬP LỚN
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ KHÔNG GIAN
EUCLID TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện:
Lớp:
Môn học:
Giáo viên hướng dẫn:

HÀ NỘI - 2015

Phạm Thị Thu Hà
K58A1S
Thực hành Tính toán
Nguyễn Hữu Điển



LỜI NÓI ĐẦU

2

LỜI NÓI ĐẦU
Hơn hai nghìn năm nay, Toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trí
tuệ của con người, ứng dụng vào hầu hết các ngành khoa học và là nền tảng
của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Plato khẳng định: Chỉ trong Toán
học chúng ta mới có thể có được những tri thức tuyệt đối khách quan. Hơn

nữa, Toán học còn là khung xương vững chắc của rất nhiều ngành khoa học.
Toán học giống như chiếc chìa khóa vạn năng, nắm được chiếc chìa khóa ấy
có nghĩa là đã nắm được công cụ vững chắc cho việc học, nghiên cứu tất cả
các lĩnh vực khoa học. Cũng chính vì thế mà việc thúc đẩy sự phát triển của
Toán học sẽ góp phần thúc đẩy nền khoa học nói chung phát triển. Latex,
maple lại là công cụ tuyệt vời cho người làm toán, học toán. Chúng hỗ trợ
cho chúng ta việc tính toán, và tạo ra các văn bản khoa học nói chung, văn
bản toán nói riêng, một cách chuyên nghiệp. Rõ ràng, con người có thể làm
tất cả, các phần mềm có khả năng xử lý mạnh mẽ đến mấy thì cũng do con
người tạo ra. Tuy nhiên, tốc độ tính toán và khả năng tính nhiều phép toán
cùng một lúc của con người lại giới hạn. Vì vậy, máy móc hỗ trợ đắc lực cho
chúng ta trong những trường hợp như thế. Có thể nói, maple và Latex là
chiếc chìa khóa vàng đóng góp vào sự phát triển của khoa học nói chung,
toán học nói riêng.
Maple là một công cụ tính toán vô cùng hữu ích. Nó có thể giải rất nhiều
loại phương trình từ bậc thấp đến bậc cao, các hệ phương trình, các phương
trình vi phân, thực hành tính toán trên các ma trận, các vector,... và rất nhiều
những chức năng khác.
Latex là một công cụ cho phép chúng ta tạo ra các văn bản toán một cách
nhanh chóng, thuận tiện, gọn gàng. Tất cả những gì chúng ta cần là những
gói lệnh, dòng lệnh, các ký hiệu toán học sẽ nằm ngay ngắn trong file .pdf
một cách đáng kinh ngạc.
Trong thời lượng ngắn ngủi của môn học, em xin phép được sử dụng
Latex, trình bày một góc nhỏ của không gian Euclid, cụ thể là: "Một số dạng
bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính"
Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn
Hữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắc mắc của
em khi cần thiết để em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này. Nhờ có những
bài giảng của thầy mà em được tiếp cận những phần mềm tuyệt vời như
Maple và Latex.

Bài tập lớn này vẫn còn rất nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được ý
kiến đóng góp của thầy và các bạn. Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ Email:

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!


LỜI NÓI ĐẦU
Sinh viên trình bày: Phạm Thị Thu Hà
Lớp: K58 Sư phạm toán
Mã sinh viên: 13010049

3


MỤC LỤC

4

Mục lục
1

Giới thiệu về Maple
1.1 Maple là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các chức năng chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5

2

Giới thiệu về Latex
2.1 Latex là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tại sao dùng Latex? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
6

3

Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính
3.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Dạng 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Dạng 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Dạng 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Dạng 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Dạng 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Dạng 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
9
11
13
14

16
17
18
20
22
23

4

Kết luận
25
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1. Giới thiệu về Maple

1

Giới thiệu về Maple

1.1

Maple là gì?

5

Maple là một phần mềm Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo
(Canada) và đại học kỹ thuật Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thương
mại đầu tiên năm 1985. Qua nhiều phiên bản, giao diện của Maple mỗi
ngày một thân thiện hơn đối với người sử dụng. Maple cung cấp rất nhiều

công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại
học. Ngày nay, rất nhiều nước trên thế giới sử dụng maple trong học tập,
giảng dạy.

1.2

Các chức năng chính

Maple có tính ứng dụng cao trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật.
Một số chức năng của Maple được nêu ra dưới đây:
1. Thực hiện các phép tính khổng lồ trong thời gian ngắn.
2. Ngôn ngữ lập trình thân thiện, có khả năng tương tác với các ngôn
ngữ lập trình khác.
3. Các gói lệnh của Maple rất đa dạng: Dữ liệu rời rạc (DiscreteTransforms), Hình học giải tích (geometry), Phương trình vi phân ( DEtools),
Giải tích (student), Lý thuyết số ( numtheory),Vẽ đồ thị ( plots), Đại số
tuyến tính ( linalgs),...
4. Vẽ đồ thị và làm hoạt hình đồ thị, các đồ thị này có thể được đặt trong
nhiều hệ tọa độ khác nhau, lại có thể lưu ra file ảnh để đưa vào tex,
làm tăng thêm tính sinh động cho các văn bản khoa học.
5. Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các
lớp học tương tác trực tiếp.
6. Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học...


2. Giới thiệu về Latex

2

Giới thiệu về Latex

2.1

Latex là gì?

6

Latex là một hệ thống soạn thảo phù hợp với việc tạo ra các tài liệu khoa
học và toán học với chất lượng bản in rất cao. Nó cũng phù hợp với việc
soạn thảo nhiều kiểu văn bản, từ thư từ, bài báo, đến những cuốn sách hoàn
chỉnh.

2.2

Tại sao dùng Latex?

Cũng là soạn thảo văn bản, Latex có gì đặc biệt hơn so với các phần mềm
khác?
1. Khi soạn thảo các lá thư, các bài báo thì Microsoft word là công cụ
thân thiện, dễ tiếp cận với tất cả mọi người. Nhưng soạn thảo các văn
bản khoa học với các kí hiệu chuyên ngành và công thức lại không
phải là điều đơn giản. Cụ thể, đối với các văn bản toán học, chúng ta
hoàn toàn có thể sử dụng Mathtype hỗ trợ soạn các công thức toán
học trên word. Nhưng việc cứ phải ấn vào từng loại công thức, điền
từng thông số vào các vị trí thích hợp lại ngốn quá nhiều thời gian nếu
chúng ta soạn thảo các văn bản dài. Chỉnh sửa hình thức các văn bản
khoa học sao cho chuẩn bằng word cũng không phải là điều dễ dàng.
Trong khi đó, Latex lại khắc phục được tất cả những nhược điểm trên.
Chúng ta hoàn toàn có thể tạo ra các công thức đẹp và chuẩn chỉ bằng
việc gõ các lệnh, copy các lệnh từ đoạn này sang đoạn kia của văn bản.
Với Latex, thời gian soạn thảo sẽ được rút ngắn rất nhiều.

2. Chúng ta có thể tạo ra và tham chiếu đến một danh sách tài liệu tham
khảo rất lớn nhờ sử dụng Bibtex.
3. File nguồn của Latex lưu ở dạng kí tự ASCII (file.tex) nên rất nhỏ,
không tốn bộ nhớ. Sau khi biên dịch file nguồn, Latex tạo ra kết quả
có thể là file.pdf (Adobe Portable Document Format), .ps (PostScript),
hoặc .dvi (De-vice Independent format).
4. Hiện nay trên thế giới có rất nhiều cá nhân và tổ chức sử dụng TEX.


3. Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính

3

7

Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong
đại số tuyến tính

3.1

Dạng 1

Trong không gian Euclid P2 [x] với tích vô hướng:
1

<u,v> =

u( x )v( x )dx
0

Cho 3 vector:
u1 = x 2
u2 = −5x2 + 4x
u3 = x2 + ax + b
Xác định a và b để 3 vector trên tạo thành một hệ trực giao của P2 [x]
Bài giải
3 vector tạo thành một hệ trực giao của P2 [x] khi và chỉ khi:


< u1 , u2 >= 0
< u1 , u3 >= 0


< u2 , u3 >= 0

(1)
(2)
(3)

1

[ x2 (−5x2 + 4x )].dx = 0

⇔

• (1)

0
1

5
4
(−5x + 4x ).dx = 0 ⇔ (− x5 + x4 )
5
4
4

⇔
0

1

3

= 0 (luôn đúng)
0

Chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng Maple để tính tích phân này. Cú
pháp như sau:
>int(x^2*(-5*x^2+4*x),x=0..1);
0


3.1

Dạng 1

8

Kết quả cho ra (= 0) cũng giống như phần tính toán thủ công.

1

[ x2 ( x2 + ax + b)].dx = 0

• (2) ⇔
0
1

( x4 + ax3 + bx2 ).dx = 0

⇔
0

⇔(

x5 ax4 bx3
+
+
)
5
4
3

1

=0
0

1 a b
+ + = 0 (2)

5 4 3
Tính bằng Maple:

⇔

>int(x^2*(a*x+x^2+b), x = 0 .. 1);
1/4 a + 1/5 + 1/3 b
1

[(−5x2 + 4x )( x2 + ax + b)]dx = 0

• (3) ⇔
0
1

[−5x4 + (4 − 5a) x3 + (4a − 5b) x2 + 4bx ]dx = 0

⇔
0

4 − 5a 4 4a − 5b 3
x +
x + 2bx2 )
⇔ (− x +
4
3

1

5

=0
0

a
b
+ = 0 (3)
12 3
Tính bằng Maple:

⇔

>int((-5*x^2+4*x)*(a*x+x^2+b), x = 0 .. 1);
1/12 a + 1/3 b
Giải hệ gồm (2)’ và (3)’ :
>solve({(1/12)*a+(1/3)*b, (1/4)*a+1/5+(1/3)*b}, {a, b});

{ a = −6/5, b = 3/10}


3.2

Dạng 2

9


a = − 6
5
3


b =
10

Chú ý: Không thể dùng lệnh >dotprod(ui,uj) để tính tích vô hướng của
ui và u j . Vì lệnh đó trong Maple dùng để tính tích vô hướng thông thường.
Trong trường hợp bài tập này, tích vô hướng được định nghĩa một cách riêng
biệt.

3.2

Dạng 2

Trong không gian Euclid E với tích vô hướng thông thường, cho 3 vector:
x = (1,1,1,1) , y = (2,2,-2,-2), z = (− 12 , 12 , − 72 , 72 )
1. Chứng minh rằng: hệ x,y,z là hệ trực giao.
2. Bổ sung vào hệ đã cho thêm 1 vector để có một cơ sở trực giao của E.
Bài giải
1. Chứng minh rằng: hệ x,y,z là hệ trực giao.
Tính toán bằng Maple:
>with(linalg);
>x := vector([1, 1, 1, 1]):
>y := vector([2, 2, -2, -2]):
>z := vector([-1/2, 1/2, -7/2, 7/2]):

>dotprod(x, y);
0
>dotprod(x, z);
0
>dotprod(y, z);

0


x ⊥ y
⇒ xy = 0, xz = 0, yz = 0 ⇒ x ⊥ z


y⊥z

(đpcm)


3.2

Dạng 2

10

2. Gọi u(a,b,c,d) ∈ E. Ta cần:




u
⊥
x

< u, x >= 0
u ⊥ y ⇔ < u, y >= 0





u⊥z
< u, z >= 0

(♥)

Tính < u, x >, < u, y >, < u, z > bằng Maple:
>u := vector([a, b, c, d]);
>dotprod(u, x);
a + b + c + d
>dotprod(u, y);
2 a + 2 b - 2 c - 2 d
>dotprod(u, z);

{−1/2 a + 1/2 b − 7/2 c + 7/2 d}


a+b+c+d = 0


(♥) ⇔ 2a + 2b − 2c − 2d = 0


− 1 a + 1 b − 7 c + 7 d = 0
2
2
2
2

Giải hệ bằng Maple:
>solve({a+b+c+d = 0, 2*a+2*b-2*c-2*d = 0,
-(1/2)*a+(1/2)*b-(7/2)*c+(7/2)*d = 0}, {a, b, c, d});
{a = 7 d, b = -7 d, c = -d, d = d}
Ta cũng có thể sử dụng phương pháp khử Gausse để giải hệ trên:




1 1
1
1
1 1
1
1
1 1 −1 −1 → 0 0 −2 −2
1 −1 7 −7
0 −2 6 −8


1 1 1 1

→ 0 0 1 1
0 1 −3 4




1 1 1 1
 a = 7d

→ 0 1 −3 4 → b = −7d


0 0 1 1
c = −d
Chọn d = 1, suy ra u(7, −7, −1, 1)


3.3

Dạng 3

11

Bài tập dưới đây cùng dạng với bài trên:
Cho x = (0, 1, 1, 1), y = (3, −2, 1, 1), z = (3, 3, −4, 1)
1. Chứng minh rằng: x,y,z là một hệ trực giao.
2. Bổ sung vào hệ đã cho thêm 1 vector để có một cơ sở trực giao của
không gian.

3.3

Dạng 3

Trong không gian vector E, cho 2 không gian con:

U=

x ∈ R3 :

x1 + x2 − x3 = 0
x1 − x2 + x3 = 0

x = ( x1 , x2 , x3 ) t
V = x ∈ R3 : x2 + x3 = 0
1. Tìm cơ sở, số chiều của U, V, U + V
2. U và V có trực giao với nhau không? Vì sao?
Bài giải
1. Cơ sở của U là u(0, 1, 1)

→ dimU = 1
Cơ sở của V là
v1 = (1, 0, 0)
v2 = (0, 1, −1)

→ dimV = 2
U là không gian sinh bởi u: U = L(u)
V là không gian sinh bởi v1 , v2 : V = L(v1 , v2 )


3.3

Dạng 3

12

Suy ra: U + V = L(u, v1 , v2 )
Xét hạng ma trận:





 
0 1 1
1 0 0
u
Rank v1  = Rank 1 0 0  = Rank 0 1 1 
v2
0 1 −1
0 1 −1


1 0 0

= Rank 0 1 1  = 3
0 0 −2
Hoặc tính toán bằng maple:
>with(linalg);
>A := matrix(3, 3, [0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, -1]);


0 1

1





 1 0 0 



0 1 −1
>rank(A);
3

⇒ {u, v1 , v2 } độc lập tuyến tính
Vậy cơ sở của U + V là: (u, v1 , v2 )
Dim(U + V) = 3
2. Ta có:

>v1 := vector([1, 0, 0]):
>v2 := vector([0, 1, -1]):
>u := vector([0, 1, 1]):
>dotprod(u, v1);
0
>dotprod(u, v2);
0


3.4

Dạng 4

13

Suy ra:
uv1 = 0 → u ⊥ v1
uv2 = 0 → u ⊥ v2

⇒ u ⊥ V, ∀u ∈ U
Vậy: U ⊥ V

3.4

Dạng 4

Cho không gian vector Euclid M2x2 (R) với tích vô hướng:

< U, V >= u11 v11 + u12 v12 + u22 v22 + u21 v21
Trong đó, U =

u11 u12
,V =
u21 u22

v11 v12
v21 v22

1. Hãy tìm tham số m để 2 vector:
A=

m m−1
1
m

,B=

1
0

m m−1

trực giao với nhau.
2. Với m tìm được, hãy kiểm chứng định lý Pitago.
Bài giải
1. Ta có:

< A, B >= m + m + m(m − 1) = m2 + m
A trực giao với B ⇔< A, B >= 0

⇔ m2 + m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = −1
2.

• m=0


3.5

Dạng 5
A=

14
0 −1
1 0

→ A+B =
|| A|| =
|| B|| =

√

√

1 0
0 −1

,B=
1 −1
1 −1

< A, A > =

< B, B > =

|| A + B|| =

√

√

√

2

2

< A + B, A + B > = 2

⇒ || A||2 + || B||2 = || A + B||2
Vậy định lý Pitago thỏa mãn trong trường hợp m = 0 với tích vô
hướng được định nghĩa như trên.

• m = -1
Tương tự như trường hợp m = 0. Định lý Pitago vẫn thỏa mãn.

3.5

Dạng 5

Xác định một cơ sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ của không gian
con U trong R4 . Trong đó, U được xác định bởi hệ phương trình:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
Bài giải
Ta có U là không gian nghiệm của hệ phương trình:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x2 + x3 − x4 = 0

⇔

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x2 + 2x4 = 0

⇔

x2 = − x4
x1 = − x3

Hoặc giải bằng Maple như sau:
>solve({x1-x2+x3-x4 = 0, x1+x2+x3+x4 = 0}, {x1, x2, x3, x4});
{x1 = -x3, x2 = -x4, x3 = x3, x4 = x4}

3.5

Dạng 5

15

Tập nghiệm của hệ là: {(− x3 , − x4 , x3 , x4 )t , x3 = 0, x4 = 0}
Suy ra: Một cơ sở của U là:
α1 (−1, 0, 1, 0)
α2 (0, −1, 0, 1)
Gọi u⊥ ( a, b, c, d) ∈ U ⊥ → u⊥ ⊥ U

⇒

u ⊥ ⊥ α1
u ⊥ ⊥ α2

⇔

< u⊥ , α1 >= 0
< u⊥ , α2 >= 0

(♠)

Tính < u⊥ , α1 > và < u⊥ , α2 > bằng Maple:
>utg := vector([a, b, c, d]):
>alpha1 := vector([-1, 0, 1, 0]):
>alpha2 := vector([0, -1, 0, 1]):
>dotprod(utg, alpha1);

-a + c
>dotprod(utg, alpha2);
-b + d
(Ở đây utg là u⊥ )

(♠) ⇔

−a + c = 0
−b + d = 0

⇔

a=c
b=d

Tập nghiệm của hệ phương trình trên là:

{(c, d, c, d)t , c = 0, d = 0}
Suy ra: một cơ sở của U ⊥ là:
β 1 (1, 0, 1, 0)
β 2 (0, 1, 0, 1)
Nhận thấy: β 1 ⊥ β 2
Vậy β 1 , β 2 chính là cơ sở trực giao cần tìm.


3.6

3.6

Dạng 6

16

Dạng 6

Áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt để tìm một cơ sở trực
chuẩn của các không gian vector E từ các hệ cơ sở sau:
1. {u1 (2, 2, −1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, −5)} của R3 .
2. {u1 (0, 2, 1, 0), u2 (1, −1, 0, 0), u3 (1, 2, 0, −1), u4 (1, 0, 0, 1)} của R4 .
Bài giải
1. Trực giao hóa cơ sở {u1 (2, 2, −1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, −5)} của R3 .
Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ta làm như sau:
• Đặt: e1 = u1 = (2, 2, −1)
•

e2 = λ21 e1 + u2
λ21 = −

< u 2 , e1 >
9
= − = −1
< e1 , e1 >
9

⇒ e2 = −(2, 2, −1) + (4, 1, 1) = (2, −1, 2)
•

e3 = λ31 e1 + λ32 e2 + u3
λ31 = −

< u 3 , e1 >
27
= − = −3
< e1 , e1 >
9

λ32 = −

< u 3 , e2 >
18
=
=2
< e2 , e2 >
9

⇒ e3 = −3(2, 2, −1) + 2.(2, −1, 2) + (1, 10, −5) = (−1, 2, 2)
⇒ e3 = (−1, 2, 2)
Chuẩn hóa hệ vector (e1 , e2 , e3 ) ta được cơ sở trực chuẩn:
2 2 1
2 1 2
1 2 2
e1 = ( , , − ), e2 = ( , − , ), e2 = (− , , ).
3 3 3
3 3 3
3 3 3


3.7

Dạng 7

17

Tính toán bằng Maple rút ngắn thời gian rất nhiều:

>restart;
>with(linalg);
>u1 := vector([2, 2, -1]);
>u2 := vector([4, 1, 1]);
>u3 := vector([1, 10, -5]);
>basis({u1, u2, u3});
{u1, u2, u3}
>GramSchmidt([u1, u2, u3], normalized);

[[2/3, 2/3, −1/3], [2/3, −1/3, 2/3], [−1/3, 2/3, 2/3]]
2. Câu này làm tương tự câu trên

3.7

Dạng 7

Tìm một cơ sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ của không gian con U
trong R4 sinh bởi các vector sau đây:


α1 (1, 0, 2, 1)
α2 (2, 1, 2, 3)


α3 (0, 1, −2, 1)

Bài giải
Gọi u⊥ ( a, b, c, d) ∈ U ⊥ → u⊥ ⊥ U


⊥
⊥


 u ⊥ α1
< u , α1 >= 0
⇒ u⊥ ⊥ α2 ⇔ < u⊥ , α2 >= 0


 ⊥

u ⊥ α3
< u⊥ , α3 >= 0

(♦)


3.8

Dạng 8

18

Tính < u⊥ , α1 > , < u⊥ , α2 > và < u⊥ , α3 > bằng Maple:
>restart;
>with(linalg);

>alpha1 := vector([1, 0, 2, 1]);
>alpha2 := vector([2, 1, 2, 3]);
>alpha3 := vector([0, 1, -2, 1]);
>utg := vector([a, b, c, d]);
>dotprod(utg, alpha1);
a + 2 c + d
>dotprod(utg, alpha2);
2 a + b + 2 c + 3 d
>dotprod(utg, alpha3);
b - 2 c + d


 a + 2c + d = 0
(♦) ⇔ 2a + b + 2c + 3d = 0


b − 2c + d = 0
Tương tự như cách giải hệ phương trình ở trên (Giải bằng phương pháp
khử Gausse hoặc có thể dùng lệnh solve trên Maple), ta được:

⇔

a = −2c − d
b = 2c − d

Tập nghiệm của hệ phương trình là:

(−2c − d, 2c − d, c, d)t , c = 0, d = 0
Suy ra: Một cơ sở là:
e1 (−2, 2, 1, 0)

e2 (−1, −1, 0, 1)
Nhận thấy e1 ⊥ e2
Kết luận: (e1 , e2 ) chính là cơ sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ cần
tìm.

3.8

Dạng 8

Xác định hình chiếu trực giao của vector α = (4, −1, −3, 4) lên không
gian con U sinh bởi các vector:


3.8

Dạng 8

19

α1 (1, 1, 1, 1), α2 (1, 2, 2, −1), α3 (1, 0, 0, 3)
Bài giải
Ta có thể làm như sau:
>restart;
>with(linalg):
>alpha1 := vector([1, 1, 1, 1]):
>alpha2 := vector([1, 2, 2, -1]):
>alpha3 := vector([1, 0, 0, 3]):
>u := x*([1,1,1,1])+y*([1,2,2,-1])+z([1,0,0,3]);
x+y+z x+2y x+2y x−y+3z
>alpha := vector([4, -1, -3, 4]);

>b := ([4, -1, -3, 4])-([x+y+z, x+2*y, x+2*y, x-y+3*z]);

[− x − y − z + 4, − x − 2 y − 1, − x − 2 y − 3, − x + y − 3 z + 4]
>dotprod(b, alpha1);
4 - 4 x - 4 y - 4 z
>dotprod(b, alpha2);
-8 - 4 x - 10 y + 2 z
>dotprod(b, alpha3);
16 - 4 x + 2 y - 10 z
Cụ thể, ý tưởng của những câu lệnh trên được trình bày lại như sau:
Gọi u = xα1 + yα2 + zα3 là hình chiếu trực giao của α lên U.

→ u = ( x + y + z, x + 2y, x + 2y, x − y + 3z)
→ α − u = u⊥ = (4 − x − y − z, −1 − x − 2y, −3 − x − 2y, 4 − x + y − 3z)


3.9

Dạng 9

20



< α − u, α1 >= 0
⊥
Do u ⊥ U nên < α − u, α2 >= 0


< α − u, α3 >= 0



4 − x − y − z − 1 − x − 2y − 3 − x − 2y + 4 − x + y − 3z = 0
⇔ 4 − x − y − z − 2 − 2x − 4y − 6 − 2x − 4y − 4 + x − y + 3z = 0


4 − x − y − z + 12 − 3x + 3y − 9z = 0




−4x − 4y − 4z = −4
 x + y + z = 1 (1)
⇔ −4x − 10y + 2z = 8
⇔ 2x + 5y − z = −4 (2)




−4x + 2y − 10z = −16
2x − y + 5z = 8 (3)
Lấy (2) - (3) được: 6y − 6z = −12 → y = z − 2

(4)

(1) + (2) → 3x + 6y = −3 → x + 2y = -1 → x = −1 − 2y

(5)

Thế (4) vào (5) được: x = -1-2.(z - 2)=3 - 2z

→ x − y + 3z = 3 − 2z − z + 2 + 3z → x - y + 3z = 5
Suy ra: u = (x + y + z,x + 2y, x + 2y, x - y + 3z) = (1,-1,-1,5)

3.9

Dạng 9

Tìm khoảng cách từ vector α = (2, 4, −4, 2) tới phẳng được xác định bởi
hệ phương trình:
B:

x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1
x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 2
Bài giải

Chọn β = (−1, 1, 0, 0) ∈ B → B = β + V, trong đó, V là không gian nghiệm
của hệ phương trình thuần nhất:
x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0
x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 0

(*)

Khi đó, V ⊥ là không gian con được sinh bởi 2 vector hệ số của hệ
phương trình (*):


3.9

Dạng 9

21

V ⊥ = L((1,2,1,-1),(1,3,1,-3))

→ v⊥ thừa nhận phân tích:
v⊥ = a(1, 2, 1, −1) + b(1, 3, 1, −3) = ( a + b, 2a + 3b, a + b, − a − 3b)
Giả sử: α − β = v + v⊥

→ v = α − β − v⊥
v = (3 − a − b, 3 − 2a − 3b, −4 − a − b, 2 + a + 3b)
v thỏa mãn hệ phương trình xác định V

⇔

3 − a − b + 6 − 4a − 6b − 4 − a − b − 2 − a − 3b = 0
3 − a − b + 9 − 6a − 9b − 4 − a − b − 6 − 3a − 9b = 0

⇔

−7a − 11b = −3
−11a − 20b = −2

(♣)

Ta có thể giải hệ này bằng máy tính bỏ túi Casio hoặc dùng lệnh trong
Maple:
>restart;
>with(linalg);
>solve({7*a+11*b = 3, 11*a+20*b = 2}, {a, b});

{a = 2, b = -1}

♣⇔

a=2
b = −1

→ v⊥ = (1, 1, 1, 1)
Ta tính chuẩn bằng lệnh Norm(a,2) trong Maple:
>a := vector([1, 1, 1, 1]);
>norm(a, 2);
2

→ |v⊥ | = 2
→ d(α, β) = 2


3.10

Dạng 10

3.10

22

Dạng 10

Tìm khoảng cách giữa 2 phẳng α + U và β + V. Trong đó:
α = (4, 5, 3, 2), β = (1, −2, 1, −3).
Không gian con U sinh bởi các vector: u1 (1, 2, 2, 2), u2 (2, −2, 1, 2)

Không gian V sinh bởi các vector: v1 (2, 0, 2, 1), v2 (1, −2, 0, −1)
Bài giải
• U = L ( u1 , u2 )
V = L ( v1 , v2 )

→ U + V = L ( u1 , u2 , v1 , v2 )
• Xét:




u1
1 2
 u2 
2 −2


Rank 
 v1  = Rank 2 0
v2
1 −2




2 2
1 2
2
2



1 2 
 = Rank 0 −6 −3 −2
0 −4 −2 −3
2 1 
0 −1
0 −4 −2 −3




1 2
2
2
0 −6 −3 −2

= Rank 
2 −4 −2 −3 = 3 (Phương pháp khử Gausse)
0 0
0
0
Ta cũng có thể tính hạng của ma trận chỉ với một lệnh:
>restart;
>with(linalg):
>A := matrix(4, 4, [1, 2, 2, 2, 2, -2, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, -2, 0, -1]);


1

2

2


 2 −2 1

 2 0 2


2




2 

1 


1 −2 0 −1
>rank(A);
3

⇒ Cơ sở của U + V là (u1 , u2 , v1 )
Ta có: α − β = (3, 7, 2, 5) = t + t⊥


3.11

Dạng 11

23

với:
t ∈ (U + V )
t ⊥ ∈ (U + V ) ⊥
t = xu1 + yu2 + zv1

→ t = ( x + 2y + 2z, 2x − 2y, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z)
Từ α − β = t + t⊥ → t⊥ = α − β − t
t⊥ = (3 − x − 2y − 2z, 7 − 2x + 2y, 2 − 2x − y − 2z, 5 − 2x − 2y − z)
Do t⊥ ⊥ (U + V ) nên:

⊥

< t , u1 >= 0
< t⊥ , u2 >= 0

 ⊥
< t , v1 >= 0


−13x − 4y − 8z = −31
⇔ −4x − 13y − 8z = −4


−8x − 8y − 9z = −15

( )

Giải hệ bằng Maple:
>solve({-13*x-4*y-8*z = -31, -8*x-8*y-9*z = -15,
-4*x-13*y-8*z = -4}, {x, y, z});
{x = 3, y = 0, z = -1}


x = 3
( )⇔ y=0


z = −1

⇒ t⊥ = (2, −1, −2, 0)
⇒ d(α + U, β + V ) = |t⊥ | = 3
(Tương tự như bài trước, ta cũng chuẩn hóa vector bằng lệnh
norm(a,2); trong gói linalg)

3.11

Dạng 11

Giả sử e1 , e2 là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng và tự đồng cấu ϕ có ma
trận:
1 2
A=
trong cơ sở gồm: f 1 = e1 , f 2 = e1 + e2
1 −1
Tìm ma trận của tự đồng cấu liên hợp ϕ∗ trong cùng cơ sở: ( f 1 , f 2 )

3.11

Dạng 11

24
Bài giải

e1 = f 1
e2 = f 2 − f 1
Ma trận chuyển từ cơ sở ( f 1 , f 2 ) sang cơ sở (e1 , e2 ) là:
C=

1 −1
0 1

Tính C −1 trong Maple:
>restart;
>with(linalg):
>C := matrix(2, 2, [1, -1, 0, 1]);
1 −1
0

1

C1 := inverse(C);
1 1
0 1

⇒ C −1 =

1 1
0 1

Ma trận của ϕ trong cơ sở: (e1 , e2 ) là: B = C −1 AC
B=

1 1
0 1

1 2
1 −1

1 −1
0 1

=

2 1
1 −1

1 −1
0 1

Ta cũng có thể nhân ma trận bằng Maple:
>A := matrix(2, 2, [1, 2, 1, -1])
1

2

1 −1

>multiply(multiply(C1, A), C)
2 −1
1 −2
Ma trận của ϕ∗ trong cơ sở (e1 , e2 ) là: Bt =

2
1
−1 −2

=

2 −1
1 −2