Bài tập tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính

1
BÀI TẬP TỐI ƯU HÓA VÀ QHTT
Bài tập chương 1
1.1 Một công ty sản xuất bánh trung thu dự kiến năm nay đưa ra thị trường 3 loại bánh : bánh loại 200g
(B200), bánh loại 300g (B300) và bánh loại 400g (B400). Nguyên liệu dùng để sản xuất gồm : bột, trứng,
sữa và hạt dưa đã được chuẩn bị sẵn trong kho, với khối lượng tương ứng là : 3 tấn, 2 tấn, 1 tấn và 0.5 tấn.
Mức tiêu hao mỗi loại nguyên liệu (g) để sản xuất một cái bánh và giá bán mỗi bánh thành phần (ngàn
đồ
ng/bánh) cho ở bảng sau :

Bánh
Nguyên liệu
B200 B300 B400
Bột 100 150 250
Trứng 30 40 50
Sữa 30 35 40
Hạt dưa 25 30 40
Giá bán 1 cái bánh 50 70 100

Theo bạn Công ty cần sản xuất mỗi loại bánh là bao nhiêu cái sao cho với lượng nguyên sẵn có mà doanh thu
của công ty đạt được cao nhất. Biết rằng sản phẩm của công ty có thể tiêu thụ hết.
1.2 Một chủ trang trại biết rằng nhu cầu dinh dưỡng trong một ngày của loài gia súc đang nuôi gồm: Đạm,
Gluxit, Protit, Khoáng tương ứng là 200, 50, 40 và 5 (gam). Tỷ lệ % theo khối lượng các chất trên có trong
các loại thức ăn E
1
,E
2
, E
3
như sau:

Thức ăn
Chất Dinh Dưỡng
E
1
E
2
E
3
Đạm 50 30 60
Gluxit 20 15 30
Protit 10 15 12
Khoáng 3 6 5
Giá mua 1kg thức ăn($) 2 3 4
Hãy lập mô toán học cho bài toán xác định khẩu phần ăn tối ưu.

2
1.3 Giải các bài toán QHTT sau (bằng PP hình học)

12
12
12
12
12
) 2 max(min)
2 2
22
2 4
2
aZ x x

xx
xx
xx
xx
=− + →
+≥−
−+≤
−≤
−+≤

12
12
12
12
1
) 2 3 min
2 2
2
2 3 12
1
bZ x x
xx
xx
xx
x
=
+→
−
≥−
−

≥−
+
≥−
≤

12
12
12
12
12
)2124 max
2 33
13
5 8 80
, 0
cZ x x
xx
xx
xx
xx
=+ →
+≤
+≤
+≤
≥

12
12
12
12

12
)4030 max
3 16
2 17
2 3 23
, 0
dZ x x
xx
xx
xx
xx
=+→
+≤
+≤
+≤
≥

12
12
12
12
12
12
) 2 max(min)
1
2 4
2 6
4 20
, 0
eZ x x

xx
xx
xx
xx
xx
=
−+→
+≥
−+ ≤
−≤
+≤
≥

12
12
1
2
2
12
) 20 10 max
2 +3 30
9
8
2
, 0
fZ x x
xx
x
x
x

xx
=+→
≤
≤
≤
≥
≥

12
12
12
1
12
12
) 2 3 max
1
2 4
5
2 3 12
0, 0
gZ x x
xx
xx
x
xx
xx
=
+→
+≥
−+≤

≤
+≤
≥≥

12
12
12
12
1
12
) 24 max
3 3
2 2
5
4
0, 0
hZ x x
xx
xx
xx
x
xx
=
+→
−+≤
+≥
+≤
≤
≥≥

12
12
12
12
12
) 2 min
3 3
2 2
2 4
5
kZ x x
xx
xx
xx
xx
=+ →
−+≤
+≥−
−≤
+≤

12
12
12
12
12
) 8 2 min
3 3
2 6
2 4

2 3
lZ x x
xx
xx
xx
xx
=
+→
−+≤
+≤
−≤
+≥−

1.4 Giải các bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình:
124
123
1234
123
)2 min
15
27
2 18
0, 1, 4
j
aZ x x x
xxx
xxxx
xxx
xj
=− + + →

+− ≤
+++=
−− ≤
≥=

123
12 3
123
12 3
) 3 2 min
2 6
2 5
3 2 14
0, 1,3
j
bZ x x x
xx x
xxx
xx x
xj
=
−+→
−+ + ≤
+−≤
−+ ≤
≥=

12 3
123
12 3

12 3
13
)234 max
2 3 54
3 4 77
2 2 54
2 3 48
0, 1, 4
j
cZ x x x
xxx
xxx
xxx
xx
xj
=++→
++ ≤
++≤
++≤
+≤
≥=

123
12 3
12 3
12 3
) 6 10 12 max
2 4 32
2 2 42
3 2 2 30

0, 1,3
j
dZ x x x
xx x
xxx
xx x
xj
=
++→
++≤
++≤
++ =
≥=


3
123
123
123
123
12 3
)53 3 max
2 2 3 5
2 4 4
2 5 3
, 0, 0
eZ x x x
xxx
xxx
xxx

xx x
=+ +→
++≤
+−≤
−+≤
≥≤

123
12 3
13
123
)43min
2 2 16
4 2 8
2 12
0, 1,3
j
fZ x x x
xx x
xx
xxx
xj
=− − →
+− ≤
−≥−
+−≤
≥=

12 3
123

123
12 3
13
)3max
2 3 6
2 3 6
2 4
0, 0
gZ x x x
xxx
xxx
xx x
xx
=+ + →
−+=
++≤
−−≤
≥≤

124
12 3 4
234
234
)2 min
2 4 2
7 5 5
2 10
0, 1,4
j
hZ x x x

xx x x
xxx
xxx
xj
=+ + →
−
++=
−
−=
+
−≤
≥=


Bài tập chương 2

2.1 Lập bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu của các bài toán QHTT sau:
12 3
123
12
123
123
) 3 5 max
4 + 3 1
3 4 1
5 6 7 1
, , 0
aZ x x x
xxx
xx

xxx
xxx
=++→
+≤
+≥
++=
≥

123
123
12 3
12 3
12
) min
4 + 2 1
5 2 +3x 1
4 3 2 1
0, 0
bZ x x x
xxx
xx
xx x
xx
=
++→
+
=
+
≤
+

+≥
≤≥


2.2 Cho bài toán QHTT sau:
1234
12 3 4
234
34
1234
2max
+ 2 2
7 3x 2
3 2 51
, , , 0
Zxxxx
xx x x
xx
xx
xxxx
=
−−++→
+−=
−
−+ ≤
−
+≤
≥

a)

Hãy giải bài toán trên.
b)
Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó.
2.3. Giải các bài toán QHTT sau:
123
123
123
123
) 12 16 16 min
2 + 2 6
2 3 8
3 2 2 9
aZ x x x
xxx
xxx
xxx
=++→
+≥
++≥
++≥

123
123
123
123
123
) 12 27 6 min
2 3 2 12
3 6
6 9 2 24

, , 0
bZ x x x
xxx
xxx
xxx
xxx
=
++→
++≥
++≥
++≥
≥


4
123
123
123
123
12 3
)704016 min
6 2 3 12
3 2 6
9 4 5 15
10 8 10
0, 1,3
j
cZxxx
xxx
xx x

xxx
xx x
xj
=++→
++≥
++≥
++≥
++ ≥
≥=

12 3
123
123
12 3
123
)2 3max
2 2 4
5
2 3 6
3 4 2 9
dZ x x x
xxx
xxx
xx x
xxx
=− + − →
−+≥
++≥
−− ≥
++≥

2.4 Cho bài toán QHTT sau:
1234
134
234
234
234
1
5 2 2 4 min
2 14
4 14 36
2 3 12
3 5 2 23

Zxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
x
=
−+ + − →
++=
−+≤
−+≥
−+ ≤
234
,,, 0xxx≥

Chứng tỏ rằng

0
(9, 7 / 2, 0, 5)x = là một phương án tối ưu của bài toán.
2.5 Cho bài toán QHTT sau:
1234
12 3 4
234
34
2max
2 2
7 3 2
3 2 5
0, 1,4
j
Zxxxx
xx x x
xxx
xx
xj
=− − + + →
++ −=
−− + ≤
−+ ≤
≥=

a)
Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình.
b)
Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm phương án tối ưu (nếu có) của bài toán đối ngẫu
này.
2.6 Cho bài toán QHTT sau:

1234
134
12 3 4
12 3 4
124
86 45 min
2 7
2 3 4
3 2 6 5
, , 0
Zxxxx
xxx
xx x x
xx x x
xxx
=− + + + →
−+≤
−+ −+ =−
−+ − ≥
≥

a)
Chứng tỏ vector
0
(3,0, 2,0)x =−là một phương án của bài toán đã cho. Dựa vào
0
x
tìm tập
phương án tối ưu (nếu có) của bài toán đối ngẫu của bài toán này.
b)

Tìm tập phương án tối ưu cho bài toán đã cho.
2.7 Cho bài toán QHTT sau:
123
123
123
12 3
3 min
2 4
(2)2 5
2 3 8
0, 1,3;( )
j
Zxmxx
xxx
mxxx
xx x
x
jmR
=+ + →
+−=
−++≤
−+ =
≥= ∈


5
a) Giải bài toán trên với 1m
=
.
b)

Tìm giá trị của
m
để
0
(5 / 2,0,1)x =
là phương án tối ưu của bài toán.

Bài tập chương 3
3.1 Giải các bài toán vận tải sau:
a)
30 40 30 50
60 1 2 4 3
70 2 3 2 7
20 3 5 6 4
b)
40 100 60 50
80 1 2 4 3
70 2 4 5 1
100 4 1 2 5

6
c)
100 50 30 70
80 4 6 4 6
70 5 6 8 9
50 4 5 5 4
50 6 6 9 9
3.2. Giải các bài toán vận tải ( không cân bằng thu - phát) sau:
a)
140 150 180

150 5 4 6
100 8 5 9
145 11 6 12
100 9 7 13
b)
100 50 30 70
80 3 5 6 5
70 4 5 7 8
50 3 4 4 3