Chuyên đề phép biến hình trong mặt phẳng Đại Số 11

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG
Lê Nam

1/ Phép Dời Hình ……………………………………………………………………….
2/ Phép Tịnh Tiến............................................................................................................
3/ Phép Đối Xứng Trục………………………………………………………………..
4/ Phép Đối Xứng Tâm………………………………………………………………
5/ Phép Quay.................................................................................................................
6/ Hai hình bằng nhau…………………………………………………………………
7/ Phép Vị Tự………………………………………………………………………….
8/ Phép Đồng Dạng……………………………………………………………………

-1-

trang 2
trang 5
trang 10
trang 18
trang 22
trang 30
trang 32
trang 38


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Phép biến hình.
 ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm
duy nhất điểm M  của mặt phẳng. Điểm M  gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.
 Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M  là ảnh của M qua phép f . Ta viết:
f
M   f  M  hay f  M   M  hay f : M
M .
M  hay M 
Lưu ý :
+ Điểm M gọi là tạo ảnh, M  là ảnh.
+ f là phép biến hình đồng nhất  f  M   M , M  H . Điểm M gọi là điểm bất động,
điểm kép, bất biến.
+ f1 , f 2 là các phép biến hình thì f 2 f1 là phép biến hình.

 Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M   f  M  , với M  H , tạo thành hình H  được

gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H   f  H  .
2/ Phép dời hình.
Phép dời hình là phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là với hai
điểm bất kì M , N và ảnh M , N  của chúng, ta ln có: M N   MN .(Bảo tồn khoảng cách)
3/ Tính chất (của phép dời hình):
 ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm khơng thẳng hàng
thành ba điểm khơng thẳng hàng.
 HQ: Phép dời hình biến:
+ Đường thẳng thành đường thẳng.
+ Tia thành tia.
+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
+ Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm  trực tâm, trọng tâm  trọng tâm,…)

+ Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm: I  I , R  R )
+ Góc thành góc bằng nó.
B . BÀI TẬP
x = 2x  1
1 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f: M(x;y) I
 M = f(M) = 
.
 y = y + 3
Tìm ả nh củ a cá c điể m sau : a) A(1;2) b) B(  1;2) c) C(2;  4)
Giả i :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B = f(B) = (  7;6)
c) C = f(C) = (3;  1)
x = 2x  y  1
2 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = 
.
y = x  2y + 3
Tìm ả nh củ a cá c điể m sau : a) A(2;1) b) B(  1;3) c) C(  2;4)
Giả i :
a) A = f(A) = (4;3)
b) B = f(B) = (  4;  4)
c) C = f(C) = (  7;  7)
3 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (3x; y) . Đâ y có phả i là phé p dờ i
hình hay khô ng ?

-2-

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Giả i : Lấ y hai điể m bấ t kì M(x1; y1 ),N(x2 ; y2 )
Khi đó f : M(x1; y1 ) I
 M = f(M) = (3x1; y1 ) .
f : N(x2 ; y2 ) I
 N = f(N) = (3x2 ; y2 )
Ta có : MN = (x 2  x1)2  (y 2  y1)2 , MN = 9(x 2  x1)2  (y2  y1 )2
Nế u x1  x2 thì MN  MN . Vậ y : f khô ng phả i là phé p dờ i hình .
(Vì có 1 số điể m f khô ng bả o toà n khoả ng cá ch) .
4 Trong mpOxy cho 2 phé p biế n hình :
a) f : M(x;y) I
 M = f(M) = (y ; x-2)
b) g : M(x;y) I
 M = g(M) = ( 2x ; y+1) .
Phé p biế n hình nà o trê n đâ y là phé p dờ i hình ?
HD :
a) f là phé p dờ i hình
b) g khô ng phả i là phé p dờ i hình ( vì x1  x 2 thì MN  MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phé p biế n hình :
a) f : M(x;y) I
 M = f(M) = (y + 1 ;  x)
b) g : M(x;y) I
 M = g(M) = ( x ; 3y ) .
Phé p biế n hình nà o trê n đâ y là phé p dờ i hình ?
Giả i :
a) f là phé p dờ i hình
b) g khô ng phả i là phé p dờ i hình ( vì y1  y2 thì MN  MN )

6 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (2x ; y  1) . Tìm ả nh củ a đườ ng
thẳ ng () : x  3y  2 = 0 qua phé p biế n hình f .
Giả i :
Cá ch 1: Dù ng biể u thứ c toạ độ

 x
x =  2x
x 
Ta có f : M(x;y) I
 M = f(M) = 

2
 y   y  1  y  y  1

 x
Vì M(x;y)  ()  (
)  3(y  1)  2  0  x  6y  2  0  M(x;y)  () : x  6y  2  0
2
Cá ch 2 : Lấ y 2 điể m bấ t kì M,N  () : M  N .
+ M  () : M(2;0) I
 M  f(M)  (4;1)
+ N  () : N(  1;  1) I
 N  f(N)  (2; 0)

Qua M(4;1)
x+ 4 y  1
()  (MN) : 
 PTCtắ c () :


 PTTQ () : x  6y  2  0
6
1
VTCP : MN  (6; 1)
7 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (x  3 ; y  1) .
a) CMR f là phé p dờ i hình .
b) Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = 4 .

I
 (C) : (x  2)2 + (y  3)2 = 4

8 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (x  3 ; y  1) .
a) CMR f là phé p dờ i hình .
b) Tìm ả nh củ a đườ ng thẳ ng () : x + 2y  5 = 0 .
c) Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = 2 .

x2
y2
d ) Tìm ả nh củ a elip (E) :
+
=1.
3
2

-3-


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN

GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Giả i : a) Lấ y hai điể m bấ t kì M(x1; y1 ),N(x2 ; y2 )
Khi đó f : M(x1; y1 ) I
 M = f(M) = (x1  3; y1  1) .
f : N(x2 ; y2 ) I
 N = f(N) = (x2  3; y 2  1)
Ta có : MN = (x2  x1 )2  (y 2  y1 )2 = MN
Vậ y : f là phé p dờ i hình .
b) Cá ch 1: Dù ng biể u thứ c toạ độ
x = x  3 x  x  3
Ta có f : M(x;y) I
 M = f(M) = 

y  y  1
 y  y  1
Vì M(x;y)  ()  (x  3)  2(y  1)  5  0  x  2y  4  0  M(x;y)  () : x  2y  4  0

Cá ch 2 : Lấ y 2 điể m bấ t kì M,N  () : M  N .
+ M  () : M(5 ;0) I
 M  f(M)  (2;1)
+ N  () : N(3 ; 1) I
 N  f(N)  (0;2)
 Qua M(2;1)
x  2 y 1
()  (MN) : 
 PTCtắ c () :

 PTTQ () : x  2y  4  0
2

1
 VTCP : MN  (2;1)
Cá ch 3 : Vì f là phé p dờ i hình nê n f biế n đườ ng thẳ ng () thà nh đườ ng thẳ ng () // () .
+ Lấ y M  () : M(5 ;0) I
 M  f(M)  (2;1)
+ Vì () // ()  () : x + 2y  m = 0 (m  5) . Do : ()  M(2;1)  m =  4  () : x  2y  4  0
c) Cá ch 1: Dù ng biể u thứ c toạ độ
 x = x  3  x  x   3
Ta có f : M(x;y) I
 M = f(M) = 

 y  y  1
 y  y  1
Vì M(x;y)  (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = 2  (x  4)2  (y  3)2  2 

 M(x;y)  (C) : (x  4)2  (y  3)2  2
+ Tâ m I(  1;2) f
+ Tâ m I= f [ I(  1;2)]  (4;3)
Cá ch 2 : (C) 

 (C) 
 BK : R = 2
 BK : R= R = 2

 (C) : (x  4)2  (y  3)2  2

d) Dù ng biể u thứ c toạ độ

x = x  3 x  x  3
Ta có f : M(x;y) I

 M = f(M) = 

y  y  1
 y  y  1

Vì M(x;y)  (E) :

x2
y2
(x+ 3)2
(y  1)2
(x + 3)2
(y  1)2
+
=1 
+
= 1  M(x;y)  (E) :
+
=1
3
2
3
2
3
2

9 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (x  1; y  2) .
a) CMR f là phé p dờ i hình .
b) Tìm ả nh củ a đườ ng thẳ ng () : x  2y  3 = 0.

c) Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = 2 .
d) Tìm ả nh củ a parabol (P) : y 2 = 4x .
ĐS : b) x  2y  2 = 0

c) (x + 2)2 + (y  1)2 = 2

d) (y + 2)2 = 4(x  1)

10 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (x ;y) . Khẳ ng đònh nà o sau đâ y
sai ?
A. f là 1 phé p dờ i hình
B. Nế u A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đố i xứ ng nhau qua trụ c hoà nh
D. f [M(2;3)]  đườ ng thẳ ng 2x + y + 1 = 0

-4-


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

ĐS : Chọ n C . Vì M và f(M) đố i xứ ng nhau qua trụ c tung  C sai .
12 Trong mpOxy cho 2 phé p biế n hình :
f1 : M(x;y) I
 M = f1(M) = (x + 2 ; y  4) ; f2 : M(x;y) I
 M = f2 (M) = (  x ;  y) .
Tìm toạ độ ả nh củ a A(4;  1) qua f1 rồ i f2 , nghóa là tìm f2 [f1(A)] .
f

f

1  A(6;  5) I
2  A(  6 ; 5 ) .
ĐS : A(4;  1) I

x
11 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳ ng đònh nà o sau đâ y sai ?
2
A. f (O) = O (O là điể m bấ t biế n)
B. Ả nh củ a A  Ox thì ả nh A= f(A)  Ox .
C. Ả nh củ a B  Oy thì ả nh B= f(B)  Oy .
D. M= f [M(2 ;  3)] = (1;  9)
ĐS : Chọ n D . Vì M= f [M(2 ;  3)] = (1; 9)

Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M  sao cho MM   u .
Kí hiệ u : T hay Tu .Khi đó : Tu (M)  M  MM  u

Phé p tònh tiế n hoà n toà n đượ c xá c đònh khi biế t vectơ tònh tiế n củ a nó .
Nế u To (M)  M , M thì To là phé p đồ ng nhấ t .

2/ Biểu thức tọa độ: Cho u = (a;b) và phép tịnh tiến Tu .
 x= x + a
M(x;y) I
 M=Tu (M)  (x; y ) thì 
 y= y + b
3/ Tính chất:

ĐL : Phé p tònh tiế n bả o toà n khoả ng cá ch giữ a hai điể m bấ t kì .
HQ :
1. Bả o toà n tính thẳ ng hà ng và thứ tự củ a cá c điể m tương ứ ng .
2. Biế n mộ t tia thà nh tia .
3. Bả o toà n tính thẳ ng hà ng và thứ tự củ a cá c điể m tương ứ ng .
5. Biế n mộ t đoạ n thẳ ng thà nh đoạ n thẳ ng bằ ng nó .
6. Biế n mộ t đườ ng thẳ ng thà nh mộ t đườ ng thẳ ng song song hoặ c trù ng vớ i đườ ng thẳ ng đã cho .

7. Biến tam giá c thà nh tam giá c bằ ng nó . (Trự c tâ m I
 trự c tâ m , trọ ng tâ m I
 trọ ng tâ m )
8. Đườ ng trò n thà nh đườ ng trò n bằ ng nó .

(Tâ m biế n thà nh tâ m : I I I , R = R )
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
 x= x + a
M(x;y) I
 M=Tu (M)  (x; y ) thì 
 y= y + b
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: khơng đổi)

 M  (H)
1/ Lấy M  (H) I
2/

(H)  đườ ng thẳ ng 
 (H)  đườ ng thẳ ng cù ng phương

-5-

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

 Tâ m I
Tâ m I
(H)  (C) 
I
 (H)  (C) 
(cầ n tìm I) .
+ bk : R
+ bk : R= R

Cá ch 2 : Dù ng biể u thứ c tọ a độ .
Tìm x theo x , tìm y theo y rồ i thay và o biể u thứ c tọ a độ .
Cá ch 3 : Lấ y hai điể m phâ n biệ t : M, N  (H) I
 M, N  (H)
B. BÀI TẬP
1 Trong mpOxy . Tìm ả nh củ a M củ a điể m M(3;  2) qua phé p tònh tiế n theo vectơ u = (2;1) .
Giả i
 x  3  2
 x  5
Theo đònh nghóa ta có : M = Tu (M)  MM  u  (x  3; y  2)  (2;1)  

 y  2  1
y  1
 M(5; 1)

2 Tìm ả nh cá c điể m chỉ ra qua phé p tònh tiế n theo vectơ u :

a) A(  1;1) , u = (3;1)
b) B(2;1) , u = (  3;2)
c) C(3;  2) , u = (  1;3)

 A(2;3)
 B(  1;3)
 C(2;1)

3 Trong mpOxy . Tìm ả nh A,B lầ n lượ t củ a điể m A(2;3), B(1;1) qua phé p tònh tiế n theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dà i AB , AB .
Giả i
Ta có : A= Tu (A)  (5;4) , B= Tu (B)  (4;2) , AB = |AB |  5 , AB = |AB |  5 .
4 Cho 2 vectơ u1; u2 . Gỉa sử M1  Tu (M),M2  Tu (M1). Tìm v để M2  Tv (M) .
1
2
Giả i
Theo đề : M1  Tu (M)  MM1  u1 , M2  Tu (M1)  M1M2  u2 .
1
2

Nế u : M2  Tv (M)  MM2  v  v  MM2  MM1  M1M2  u1+ u2 .Vậ y : v  u1+ u2
5 Đườ ng thẳ ng  cắ t Ox tạ i A(  1;0) , cắ t Oy tạ i B(0;2) . Hã y viế t phương trình đườ ng thẳ ng  là ả nh
củ a  qua phé p tònh tiế n theo vectơ u = (2;  1) .
Giả i Vì : A  Tu (A)  (1; 1) , B  Tu (B)  (2;1) .

 qua A(1;  1)
Mặ t khá c :   Tu ()   đi qua A,B . Do đó :  
 VTCP : AB= (1;2)

x  1  t

 ptts  : 
y  1  2t

6 Đườ ng thẳ ng  cắ t Ox tạ i A(1;0) , cắ t Oy tạ i B(0;3) . Hã y viế t phương trình đườ ng thẳ ng  là ả nh
củ a  qua phé p tònh tiế n theo vectơ u = (  1;  2) .
Giả i
Vì : A  Tu (A)  (0; 2) , B  Tu (B)  (1;1) .
 qua A(0;  2)
x  t
Mặ t khá c :   Tu ()   đi qua A,B . Do đó :  
 ptts  : 
y  2  3t
 VTCP : AB= (  1;3)

7 Tương tự : a)  : x  2y  4 = 0 , u = (0 ; 3)
b)  : 3x  y  3 = 0 , u = (  1 ;  2)

  : x  2y  2  0
  : 3x  y  2  0

-6-


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:
8 Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x + 1)2  (y  2)2  4 qua phé p tònh tiế n theo vectơ u = (1;  3) .
Giả i
x= x + 1
 x = x  1
Biể u thứ c toạ độ củ a phé p tònh tiế n Tu là : 


y= y  3
y = y+ 3
Vì : M(x;y)  (C) : (x + 1)2  (y  2)2  4  x2  (y  1)2  4  M(x;y)  (C) : x2  (y  1)2  4
Vậ y : Ả nh củ a (C) là (C) : x2  (y  1)2  4

9 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (x  1; y  2) .
a) CMR f là phé p dờ i hình .
b) Tìm ả nh củ a đườ ng thẳ ng () : x  2y  3 = 0.
c) Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = 2 .
d) Tìm ả nh củ a parabol (P) : y 2 = 4x .
ĐS : b) x  2y  2 = 0

c) (x + 2)2 + (y  1)2 = 2

d) (y + 2)2 = 4(x  1)

10 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : M(x;y) I
 M = f(M) = (x ; y) . Khẳ ng đònh nà o sau đâ y
sai ?
A. f là 1 phé p dờ i hình
B. Nế u A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đố i xứ ng nhau qua trụ c hoà nh
D. f [ M(2;3)]  đườ ng thẳ ng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọ n C . Vì M và f(M) đố i xứ ng nhau qua trụ c tung  C sai .
9 Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x  3)2  (y  2)2  1 qua phé p tònh tiế n theo vectơ u = (  2;4) .

x= x  2
x = x+ 2

Giả i : Biể u thứ c toạ độ củ a phé p tònh tiế n Tu là : 


y
=
y

4

 y = y  4
Vì : M(x;y)  (C) : (x  3)2  (y  2)2  1  (x  1)2  (y  2)2  1  M(x;y)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  1

Vậ y : Ả nh củ a (C) là (C) : (x  1)2  (y  2)2  1
BT Tương tự : a) (C) : (x  2)2  (y  3)2  1, u = (3;1)

b) (C) : x2  y2  2x  4y  4  0, u = (  2;3)

 (C) : (x  1)2  (y  2)2  1
(C) : x2  y2  2x  2y  7  0

10 Trong hệ trụ c toạ độ Oxy , xá c đònh toạ độ cá c đỉnh C và D củ a hình bình hà nh ABCD biế t đỉnh
A(  2;0), đỉnh B(  1;0) và giao điể m cá c đườ ng ché o là I(1;2) .
Giả i
Gọ i C(x;y) .Ta có : IC  (x  1; y  2),AI  (3;2),BI  (2; 1)
Vì I là trung điể m củ a AC nê n :
x  1  3
x  4
C = T (I)  IC  AI  

 C(4; 4)

AI
y  2  2
y  4
Vì I là trung điể m củ a AC nê n :
x  1  2
x  3
D = T (I)  ID  BI   D
 D
 D(3; 4)
BI
y D  2  2
y D  4

Bà i tậ p tương tự : A(  1;0),B(0;4),I(1;1)

 C(3;2),D(2;  2) .

11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d  . Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d  . Hỏi có bao
nhiêu phép tịnh tiến như thế?

-7-


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Giả i : Chọ n 2 điể m cố đònh A  d , A  d
Lấ y điể m tuỳ ý M  d . Gỉa sử : M = T (M)  MM  AB
AB
 MA  MB  MB / /MA  M  d  d = T (d)

AB
Nhậ n xé t : Có vô số phé p tònh tiế n biế n d thà nh d .
12 Cho 2 đườ ng trò n (I,R) và (I,R) .Hã y chỉ ra mộ t phé p tònh tiế n biế n (I,R) thà nh (I,R) .
Giả i : Lấ y điể m M tuỳ ý trê n (I,R) . Gỉa sử : M = T (M)  MM  II
II
 IM  IM  IM  IM  R  M  (I,R)  (I,R) = T [(I,R)]
II
13 Cho hình bình hà nh ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâ m I thay đổ i di độ ng
trê n đườ ng trò n (C) .Tìm quỹ tích trung điể m M củ a cạ nh BC.
Giả i
Gọ i J là trung điể m cạ nh AB . Khi đó dễ thấ y J cố đònh và IM  JB .
Vậ y M là ả nh củ a I qua phé p tònh tiế n T . Suy ra : Quỹ tích củ a M là
JB
ả nh củ a đườ ng trò n (C) trong phé p tònh tiế n theo vectơ JB
14 Trong hệ trụ c toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 . Gọ i T là phé p tònh tiế n theo vectơ u = (m,n)
và (P) là ả nh củ a (P) qua phé p tònh tiế n đó . Hã y viế t phương trình củ a (P) .
Giả i :
Tu
M(x;y) I
 M(x;y) , ta có : MM= u , vớ i MM= (x  x ; y  y)
 x  x = m
 x = x  m
Vì MM= u  

 y  y = n
 y = y  n
Mà : M(x; y)  (P) : y  ax 2  y  n = a(x  m)2  y = a(x  m)2  n  M(x;y)  (P) : y = a(x  m)2  n
Vậ y : Ả nh củ a (P) qua phé p tònh tiế n Tu là (P) : y = a(x  m)2  n  y = ax2  2amx  am 2  n .
15 Cho đt  : 6x + 2y  1= 0 . Tìm vectơ u  0 để  = Tu () .
Giả i : VTCP củ a  là a = (2;  6) . Để :  = Tu ()  u cù ng phương a . Khi đó : a = (2;  6)  2(1; 3)

 chọ n u = (1;  3) .
16 Trong hệ trụ c toạ độ Oxy , cho 2 điể m A(  5;2) , C(  1;0) . Biế t : B = Tu (A) , C = Tv (B) . Tìm u và v
để có thể thự c hiệ n phé p biế n đổ i A thà nh C ?
Giả i
Tu
Tv
A(  5;2) I
 B I

 C(1;0) . Ta có : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (4; 2)

Tu + v
17 Trong hệ trụ c toạ độ Oxy , cho 3 điể m K(1;2) , M(3;  1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = (  1;2) .
Tìm ả nh củ a K,M,N qua phé p tònh tiế n Tu rồ i Tv .
Tu
Tv
HD : Gỉa sử : A(x;y) I
 B I
 C(x; y) . Ta có : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (1;5)
 x  1  1
 x  2
Do đó : K=Tu  v (K)  KK  (1;5)  

 K(2;7) .
 y  2  5  y   7
Tương tự : M(4;4) , N(3;2) .

18 Trong hệ trụ c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B(  2;4) , C(  4;5) . G là trọ ng tâ m ABC và phé p
tònh tiế n theo vectơ u  0 biế n A thà nh G . Tìm G = Tu (G) .

-8-


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Giả i
Tu
Tu
A(3;0) I
 G(1;3) I
 G(x; y)

x  1  4
x  5
Vì AG  (4;3)  u . Theo đề : GG  u  

 G(5;6).
 y  3  3
 y  6
19 Trong mặ t phẳ ng Oxy , cho 2 đườ ng trò n (C) : (x  1)2  (y  3)2  2,(C) : x2  y2  10x  4y  25  0.
Có hay khô ng phé p tònh tiế n vectơ u biế n (C) thà nh (C) .
HD : (C) có tâ m I(1;  3), bá n kính R = 2 ; (C) có tâ m I(5;  2), bá n kính R= 2 .
Ta thấ y : R = R= 2 nê n có phé p tònh tiế n theo vectơ u = (4;1) biế n (C) thà nh (C) .
20 Trong hệ trụ c toạ độ Oxy , cho hình bình hà nh OABC vớ i A(  2;1) và B   :2x  y  5 = 0 . Tìm tậ p
hợ p đỉnh C ?
Giả i
Vì OABC là hình bình hà nh nê n : BC  AO  (2; 1)  C  Tu (B) vớ i u = (2; 1)
Tu
 x  x  2

 x  x  2
B(x;y) I
 C(x; y) . Do : BC  u  

y  y  1 y  y  1
B(x;y)    2x  y  5 = 0  2x  y  10 = 0  C(x; y)   : 2x  y  10 = 0
21 Cho ABC . Gọ i A1,B1,C1 lầ n lượ t là trung điể m cá c cạ nh BC,CA,AB. Gọ i O1,O2 ,O3 và I1,I2 ,I3
tương ứ ng là cá c tâ m đườ ng trò n ngoạ i tiế p và cá c tâ m đườ ng trò n nộ i tiế p củ a ba tam giá c AB1C1,
BC1A1, và CA1B1 . Chứ ng minh rằ ng : O1O2O3  I1I2 I3 .
HD :
Xé t phé p tònh tiế n : T1
T1

2
AB

AB

biế n A I
 C,C1 I
 B, B1 I
 A1 .
T1

T1

AB

AB

2
2
2
 AB1C1 I
 C1BA1;O1 I
 O2 ; I1 I
 I2 .

 O1O2  I1I2  O1O2  I1I2 .
Lý luậ n tương tự : Xé t cá c phé p tònh tiế n T1

,T1
suy ra :
CA
2
2
O2O3  I2 I3 và O3O1  I3I1  O2O3  I2 I3 ,O3O1  I3I1  O1O2O3  I1I2 I3 (c.c.c).
BC

22 Trong tứ giá c ABCD có AB = 6 3cm ,CD  12cm , A  60 ,B  150 và D  90 .
Tính độ dà i cá c cạ nh BC và DA .
HD :
T
BC  M  AM  BC.Ta có : ABCM là hình bình hà nh và BCM  30 (vì B  150 )
Xé t : A I

Lạ i có : BCD  360o  (90  60  150 )  60  MCD  30 .
Đònh lý hà m cos trong MCD :
3
MD2  MC2  DC2  2MC.DC.cos30  (6 3)2  (12)2  2.6 3.12.

 36
2
 MD = 6cm .
1
Ta có : MD = CD và MC = MD 3  MDC là tam giá c đề u
2
 MCD là nử a tam giá c đề u  DMC  90 và MDA  30 .
Vậ y : MDA  MAD  MAB  30  AMD là tam giá c câ n tạ i M .

-9-


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Dự ng MK  AD  K là trung điể m củ a AD  KD=MDcos30 
Tó m lạ i : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm

6 3
cm  AD  6 3cm
2

Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A . KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ ĐN1:Điểm M  gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM 
Phé p đố i xứ ng qua đườ ng thẳ ng cò n gọ i là phé p đố i xứ ng trụ c . Đườ ng thẳ ng a gọ i là trụ c đố i xứ ng.
ĐN2 : Phé p đố i xứ ng qua đườ ng thẳ ng a là phé p biế n hình biế n mỗ i điể m M thà nh điể m M đố i xứ ng
vớ i M qua đườ ng thẳ ng a .
Kí hiệ u : Đa (M)  M  MoM  MoM , vớ i Mo là hình chiế u củ a M trê n đườ ng thẳ ng a .
Khi đó :

Nế u M  a thì Đa (M)  M : xem M là đố i xứ ng vớ i chính nó qua a . ( M cò n gọ i là điể m bấ t độ ng )

M  a thì Đa (M)  M  a là đườ ng trung trự c củ a MM
Đa (M)  M thì Đa (M)  M
Đa (H)  H thì Đa (H)  H , H là ả nh củ a hình H .

ĐN : d là trụ c đố i xứ ng củ a hình H  Đd (H)  H .
Phé p đố i xứ ng trụ c hoà n toà n xá c đònh khi biế t trụ c đố i xứ ng củ a nó .
Chú ý : Mộ t hình có thể khô ng có trụ c đố i xứ ng ,có thể có mộ t hay nhiề u trụ c đố i xứ ng .

 M  Đd (M)  (x;y )
2/ Biểu thức tọa độ: M(x;y) I
x= x
x=  x
ª d  Ox : 
ª d  Oy : 
y =  y
y = y
3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

HQ :

1.Phé p đố i xứ ng trụ c biế n ba điể m thẳ ng hà ng thà nh ba điể m thẳ ng hà ng và bả o toà n thứ tự củ a cá c
điể m tương ứ ng .
2. Đườ ng thẳ ng thà nh đườ ng thẳ ng .
3. Tia thà nh tia .
4. Đoạ n thẳ ng thà nh đoạ n thẳ ng bằ ng nó .
5. Tam giá c thà nh tam giá c bằ ng nó . (Trự c tâ m I
 trự c tâ m , trọ ng tâ m I
 trọ ng tâ m )

6. Đườ ng trò n thà nh đườ ng trò n bằ ng nó . (Tâ m biế n thà nh tâ m : I I
 I , R = R )
7. Gó c thà nh gó c bằ ng nó .
 PP : Tìm ả nh M = Đa (M)
1. (d)  M , d  a
2. H = d  a
3. H là trung điể m củ a MM  M ?
ª PP : Tìm ả nh củ a đườ ng thẳ ng : = Đa ()
TH1: () // (a)
1. Lấ y A,B  () : A  B
2. Tìm ả nh A= Đa (A)
3.   A,// (a)  

- 10 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

TH2 :  // a
1. Tìm K =   a
2. Lấ y P   : P  K .Tìm Q = Đa (P)
3.   (KQ)
ª PP : Tìm M  () : (MA + MB)min .

Tìm M  () : (MA+ MB)min
Loạ i 1 : A, B nằ m cù ng phía đố i vớ i () :
1) gọ i A là đố i xứ ng củ a A qua ()
2) M  (), thì MA + MB  MA+ MB  AB
Do đó : (MA+MB)min = AB  M = (AB)  ()

Loạ i 2 : A, B nằ m khá c phía đố i vớ i () :
M  (), thì MA + MB  AB
Ta có : (MA+MB)min = AB  M = (AB)  ()
B . BÀI TẬP

1 Trong mpOxy . Tìm ả nh củ a M(2;1) đố i xứ ng qua Ox , rồ i đố i xứ ng qua Oy .
Đ

Đ

Oy
Ox  M(2;  1) I
HD : M(2;1) I
 M(2; 1)

2 Trong mpOxy . Tìm ả nh củ a M(a;b) đố i xứ ng qua Oy , rồ i đố i xứ ng qua Ox .
Đ

Đ

Oy
Ox  M(a;  b)
HD : M(a;b) I
 M(  a;b) I

Đ

Đ

b  M.

3 Cho 2 đườ ng thẳ ng (a) : x  2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điể m M(  1;2) . Tìm : M Ia
 M I
Đ

Đ

b  M(5; 4) [ vẽ hình ] .
HD : M(  1;2) Ia
 M(5;2) I

4 Cho 2 đườ ng thẳ ng (a) : x  m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Đ

Đ

b  M(x; y).
Tìm M: M(x;y) a
 M(x; y) 
Đa
Đb
x  2m  x
x  2m  x
HD : M(x;y) I
 M 
I
 M 
tđ(m;y)
tđ(
2m


x;

n)

y  y
y  2n  y

5 Cho điể m M(  1;2) và đườ ng thẳ ng (a) : x + 2y + 2 = 0 .
HD : (d) : 2x  y + 4 = 0 , H = d  a  H(  2;0) , H là trung điể m củ a MM  M(  3;  2)
6 Cho điể m M(  4;1) và đườ ng thẳ ng (a) : x + y = 0 .
 M= Đa (M)  (1; 4)
7 Cho 2 đườ ng thẳ ng () : 4x  y + 9 = 0 , (a) : x  y + 3 = 0 . Tìm ả nh = Đa () .
HD :
4 1
Vì 
  cắ t a  K    a  K(2;1)
1 1
M(  1;5)    d  M,  a  d : x  y  4  0  H(1/ 2; 7 / 2) : tđiể m củ a MM  M  Đa (M)  (2;2)
  KM: x  4y + 6 = 0
8 Tìm b = Đa (Ox) vớ i đườ ng thẳ ng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a  Ox = K(  3;0) .
3 9
M  O(0;0)  Ox : M= Đa (M) = (  ;  ) .
5 5

b  KM : 3x + 4y  9 = 0 .
9 Tìm b = Đa (Ox) vớ i đườ ng thẳ ng (a) : x + 3y  3 = 0 .

- 11 -

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

HD : a  Ox = K(3;0) .
P  O(0;0)  Ox .
+ Qua O(0;0)

  : 3x  y  0
+  a
3 9
3 9
E = a    E( ; ) là trung điể m OQ  Q( ; ) .
10 10
5 5
b  KQ : 3x + 4y  9 = 0 .
10 Tìm b = ĐOx (a) vớ i đườ ng thẳ ng (a) : x + 3y  3 = 0 .
Giả i :
Cá ch 1: Dù ng biể u thứ c toạ độ (rấ t hay)
Cá ch 2 : K= a  Ox  K(3;0)
P(0;1)  a  Q = ĐOx (P) = (0;  1)
b  KQ : x  3y  3 = 0 .
11 Cho 2 đườ ng thẳ ng () : x  2y + 2 = 0 , (a) : x  2y  3 = 0 . Tìm ả nh = Đa () .
PP :  / /a
Cá ch 1 : Tìm A,B    A,B      AB
Cá ch 2 : Tìm A    A     / / ,   A

Giả i :

A(0;1)    A  Đa (A)  (2; 3)

  A, / /    : x  2y  8  0

12 Cho đườ ng trò n (C) : (x+3)2  (y  2)2  1 , đườ ng thẳ ng (a) : 3x  y + 1= 0 . Tìm (C) = Đa [(C)]
HD : (C) : (x  3)2  y 2  1 .

13 Trong mpOxy cho ABC : A(  1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳ ng đònh nà o sau đâ y sai ?
A. ABC câ n ở B
B. ABC có 1 trụ c đố i xứ ng
C. ABC  ĐOx (ABC)
D. Trọ ng tâ m : G = ĐOy (G)
HD : Chọ n D

14 Trong mpOxy cho điể m M(  3;2), đườ ng thẳ ng () : x + 3y  8 = 0, đườ ng trò n (C) : (x+3)2 (y  2)2 4.
Tìm ả nh củ a M, () và (C) qua phé p đố i xứ ng trụ c (a) : x  2y + 2 = 0 .
Giả i : Gọ i M, () và (C) là ả nh củ a M, () và (C) qua phé p đố i xứ ng trụ c a .
 Qua M(  3;2)
a) Tìm ả nh M : Gọ i đườ ng thẳ ng (d) : 
 a
+ (d)  (a)  (d) : 2x  y + m = 0 . Vì (d)  M(  3;2)  m = 4  (d) : 2x  y  4 = 0

1
 x H  2 (x M  x M )
+ H = (d)  (a)  H(  2;0)  H là trung điể m củ a M,M  H 
 y  1 (y  y  )
M
 H 2 M

1
 2  2 (3  x M )
x

 1

  M
 M( 1; 2)
 y M  2
 0  1 (2  y  )
M

2
b) Tìm ả nh () :
1
3
Vì 
 ( ) cắ t (a)  K= ( )  (a)
1 2
 x + 3y  8 = 0
 Toạ độ củ a K là nghiệ m củ a hệ : 
 K(2; 2)
 x  2y + 2 = 0

- 12 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Lấ y P  K  Q = Đa [P(  1;3)] = (1; 1) . ( Là m tương tự như câ u a) )
 Qua P(  1;3)
Gọ i đườ ng thẳ ng (b) : 
 a

+ (b)  (a)  (b) : 2x  y + m = 0 . Vì (b)  P(  1;3)  m =  1  (b) : 2x  y  1 = 0
+ E = (b)  (a)  E(0;1)  E là trung điể m củ a P,Q 


1
1
x E  2 (x P  xQ ) 0  2 (1  xQ ) xQ  1
 E


 Q(1; 1)
yQ  1
y  1 (y  y ) 1  1 (3  y )
Q
Q
 E 2 P
 2
 Qua K(2;2)
x2 y2
+ ()  (KQ) : 
 () :

 3x  y  4  0
1
3
 VTCP : KQ  (1; 3)  (1;3)
c) + Tìm ả nh củ a tâ m I(  3;2) như câ u a) .
Đa
Đa


+ Vì phé p đố i xứ ng trụ c là phé p dờ i hình nê n (C): Tâ m I I
(C) : Tâ m I
.Tìm I I
 I
R2
R  R  2

2 2
Đa


Vậ y : (C) + Tâ m I(  3;2) I
 (C) + Tâ m I = Đa [ I(  3; 2)]  ( 5 ; 5 )
 BK : R = 2
 BK : R= R = 2
2 2
2 2
 (C) : (x  )  (y  )  4
5
5







15 Trong mpOxy cho điể m M(3;  5), đườ ng thẳ ng () : 3x + 2y  6 = 0, đườ ng trò n (C) : (x+1)2  (y  2)2 9.
Tìm ả nh củ a M, () và (C) qua phé p đố i xứ ng trụ c (a) : 2x  y + 1 = 0 .
HD :

Đa
33 1
9 13
a) M(3;  5) I
 M( ;  ),(d) : x  2y  7  0,tđiể m H(  ;  )
5 5
5 5
4 15
b) + K=  (a)  K( ; )
7 7
+ P  () : P(2;0)  K , Q = Đa [P(2;0)] = (  2;2)
 ()  (KQ) : x  18y  38  0
Đa
9 8
9
8
c) + I(1;  2) I
 I(  ; ) , R= R = 3
 (C) : (x + )2  (y  )2  9
5 5
5
5
16 Cho điể m M(2;  3), đườ ng thẳ ng () : 2x + y  4 = 0, đườ ng trò n (C) : x2  y 2  2x  4y  2  0.
Tìm ả nh củ a M, () và (C) qua phé p đố i xứ ng qua Ox .
ĐOx
x  x
 x  x
HD : Ta có : M(x;y) 
 M 
(1)  

(2)
 y   y
 y   y
Đ

Ox  M(2;3)
Thay và o (2) : M(2;  3) 
M(x;y)  ()  2x  y  4 = 0  M(x;y)  () : 2x  y  4 = 0 .

M(x;y)  (C) : x2  y2  2x  4y  2  0  x2 y2  2x  4y  2  0
 (x  1)2  (y  2)2  3  M(x;y)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  3
17 Trong mpOxy cho đườ ng thẳ ng (a) : 2x  y+3 = 0 . Tìm ả nh củ a a qua ĐOx .
ĐOx
x  x
 x  x
Giả i : Ta có : M(x;y) I
 M 

y  y y  y
Vì M(x;y)  (a) : 2x  y+3 = 0  2(x)  (y)+3 = 0  2x  y+3 = 0  M(x; y)  (a) : 2x  y + 3 = 0
Đ

Oy
Vậ y : (a) I (a) : 2x  y + 3 = 0

- 13 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

18 Trong mpOxy cho đườ ng trò n (C) : x 2  y2  4y  5 = 0 . Tìm ả nh củ a a qua ĐOy .

ĐOy
 x   x  x   x 
Giả i : Ta có : M(x;y) I M 

 y  y
 y  y
Vì M(x;y)  (C) : x 2  y2  4y  5 = 0  (  x)2  y2  4(y)  5 = 0  x2  y2  4y  5 = 0

 M(x; y)  (C) : x 2  y 2  4y  5 = 0

Đ

Oy
Vậ y : (C) I (C) : x 2  y 2  4y  5 = 0

19 Trong mpOxy cho đthẳ ng (a) : 2x  y  3 = 0 , () : x  3y  11 = 0 , (C) : x2  y 2  10x  4y  27 = 0 .
a) Viế t biể u thứ c giả i tích củ a phé p đố i xứ ng trụ c Đa .
b) Tìm ả nh củ a điể m M(4;  1) qua Đa .
c) Tìm ả nh : () = Đa (),(C)  Đa (C) .
Giả i
a) Tổ ng quá t (a) : Ax + By + C=0 , A 2  B2  0
Đ

a  M(x; y) , ta có : MM  (x  x; y  y) cù ng phương VTPT n = (A;B)  MM  tn
Gọ i M(x;y) I
x  x y  y
x  x  At x  x  At



(t  ) . Gọ i I là trung điể m củ a MM nê n I(
;
)  (a)
2
2
y  y  Bt y  y  Bt
x  x
y  y
x  x  At
y  y  Bt
 A(
)  B(
)  C  0  A(
)  B(
)C  0
2
2
2
2
2(Ax + By + C)
 (A 2  B2 )t  2(Ax + By + C)  t 
A 2  B2

2A(Ax + By + C)
2B(Ax + By + C)
  x  x 
; y  y 


A 2  B2
A 2  B2


4(2x  y  3)
3
4
12
x   x  y 
x  x 


5
5
5
5
Á p dụ ng kế t quả trê n ta có : 

2(2x

y

3)
4
3
6
 y  y 
 y  y  y 
5
5

5
5


Đa
4 7
b) M(4;  1) I
 M( ; )
5 5
Đ

a   : 3x  y  17  0
c)  I
Đ

a  (C) : (x  1)2  (y  4)2  2
d) (C) I

20 Trong mpOxy cho đườ ng thẳ ng () : x  5y  7 = 0 và () : 5x  y  13 = 0 . Tìm phé p đố i xứ ng qua
trụ c biế n () thà nh () .
Giả i
1 5
Vì 
 () và () cắ t nhau . Do đó trụ c đố i xứ ng (a) củ a phé p đố i xứ ng biế n () thà nh () chính
5 1
là đườ ng phâ n giá c củ a gó c tạ o bở i () và () .

 x  y  5  0 (a1)

1  25

25 + 1
 x  y  1  0 (a2 )
Vậ y có 2 phé p đố i xứ ng qua cá c trụ c (1) : x  y  5  0 , ( 2 ) : x  y  1  0
Từ đó suy ra (a) :

| x  5y  7 |



| 5x  y  13|

21 Qua phé p đố i xứ ng trụ c Đa :
1. Nhữ ng tam giá c nà o biế n thà nh chính nó ?
2. Nhữ ng đườ ng trò n nà o biế n thà nh chính nó ?

- 14 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

HD :
1. Tam giá c có 1 đỉnh  trụ c a , hai đỉnh cò n lạ i đố i xứ ng qua trụ c a .
2. Đườ ng trò n có tâ m  a .
22 Tìm ả nh củ a đườ ng trò n (C) : (x  1)2  (y  2)2  4 qua phé p đố i xứ ng trụ c Oy.
PP : Dù ng biể u thứ c toạ độ  ĐS : (C) : (x  1)2  (y  2)2  4
23 Hai ABC và ABC cù ng nằ m trong mặ t phẳ ng toạ độ và đố i xứ ng nhau qua trụ c Oy .
Biế t A(  1;5),B(4;6),C(3;1) . Hã y tìm toạ độ cá c đỉnh A, B và C .
ĐS : A (1;5), B(4;6) và C(  3;1)

24 Xé t cá c hình vuô ng , ngũ giá c đề u và lụ c giá c đề u . Cho biế t số trụ c đố i xứ ng tương ứ ng củ a mỗ i
loạ i đa giá c đề u đó và chỉ ra cá ch vẽ cá c trụ c đố i xứ ng đó .
ĐS :
Hình vuô ng có 4 trụ c đố i xứ ng , đó là cá c đườ ng thẳ ng đi qua 2 đỉnh đố i diệ n và cá c đườ ng thẳ ng
đi qua trung điể m củ a cá c cặ p cạ nh đố i diệ n .
Ngũ giá c đề u có 5 trụ c đố i xứ ng ,đó là cá c đườ ng thẳ ng đi qua đỉnh đố i diệ n và tâ m củ a ngũ giá c đề u .
Lụ c giá c đề u có 6 trụ c đố i xứ ng , đó là cá c đườ ng thẳ ng đi qua 2 đỉnh đố i diệ n và cá c đườ ng thẳ ng đi
qua trung điể m củ a cá c cặ p cạ nh đố i diệ n .
25 Gọ i d là phâ n giá c trong tạ i A củ a ABC , B là ả nh củ a B qua phé p đố i xứ ng trụ c Đd . Khẳ ng đònh
nà o sau đâ y sai ?
A. Nế u AB < AC thì B ở trê n cạ nh AC .
B. B là trung điể m cạ nh AC .
C. Nế u AB = AC thì B  C .
D. Nế u B là trung điể m cạ nh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nế u B= Đd (B) thì B  AC .
A đú ng . Vì AB < AC mà AB= AB nê n AB< AC  B ở trê n cạ nh AC .
1
B sai . Vì giả thiế t bà i toá n khô ng đủ khẳ ng đònh AB = AC.
2



C đú ng . Vì AB = AB mà AB = AC nê n AB = AC  B  C .
D đú ng . Vì Nế u B là trung điể m cạ nh AC thì AC=2AB mà AB=AB nê n AC=2AB .
26 Cho 2 đườ ng thẳ ng a và b cắ t nhau tạ i O . Xé t 2 phé p đố i xứ ng trụ c Đa và Đb :
Đ

Đ

a  B I

b  C . Khẳ ng đònh nà o sau đâ y khô ng sai ?
A I
A. A,B,C  đườ ng trò n (O, R = OC) .
B. Tứ giá c OABC nộ i tiế p .
C. ABC câ n ở B
D. ABC vuô ng ở B
HD : A. Khô ng sai . Vì d1 là trung trự c củ a AB  OA = OB , d 2 là trung trự c
củ a BC  OB = OC  OA = OB = OC  A,B,C  đườ ng trò n (O, R = OC) .
Cá c câ u B,C,D có thể sai .

27 Cho ABC có hai trụ c đố i xứ ng . Khẳ ng đònh nà o sau đâ y đú ng ?
A. ABC là  vuô ng
B. ABC là  vuô ng câ n
C. ABC là  đề u
HD : Gỉa sử ABC có 2trụ c đố i xứ ng là AC và BC
AB = AC

 AB  AB  BC  ABC đề u .
BC = BA

- 15 -

D. ABC là  câ n .


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

28 Cho ABC có A  110o. Tính B và C để ABC
có trụ c đố i xứ ng .

A. B = 50o và C  20o
B. B = 45o và C  25o
C. B = 40o và C  30o
HD : Chọ n D . Vì : ABC có trụ c đố i xứ ng khi ABC câ n hoặ c đề u

D. B = C  35o

Vì A  110o  90o  ABC câ n tạ i A , khi đó :

180o  A 180o  110o
BC

 35o
2
2
29 Trong cá c hình sau , hình nà o có nhiề u trụ c đố i xứ ng nhấ t ?
A. Hình chữ nhậ t
B. Hình vuô ng
C. Hình thoi
ĐS : Chọ n B. Vì : Hình vuô ng có 4 trụ c đố i xứ ng .
30 Trong cá c hình sau , hình nà o có ít trụ c đố i xứ ng nhấ t ?
A. Hình chữ nhậ t
B. Hình vuô ng
C. Hình thoi
ĐS : Chọ n D. Vì : Hình thang câ n có 1 trụ c đố i xứ ng .

31 Trong cá c hình sau , hình nà o có 3 trụ c đố i xứ ng ?
A. Hình thoi
B. Hình vuô ng

ĐS : Chọ n C. Vì :  đề u có 3 trụ c đố i xứ ng .

C.  đề u

32 Trong cá c hình sau , hình nà o có nhiề u hơn 4 trụ c đố i xứ ng ?
A. Hình vuô ng
B. Hình thoi
C. Hình trò n
ĐS : Chọ n C. Vì : Hình trò n có vô số trụ c đố i xứ ng .

D. Hình thang câ n .

D. Hình thang câ n .

D.  vuô ng câ n .

D. Hình thang câ n .

33 Trong cá c hình sau , hình nà o khô ng có trụ c đố i xứ ng ?
A. Hình bình hà nh
B.  đề u
C.  câ n
D. Hình thoi .
ĐS : Chọ n A. Vì : Hình bình hà nh khô ng có trụ c đố i xứ ng .
34 Cho hai hình vuô ng ABCD và ABCD có cạ nh đề u bằ ng a và có đỉnh A chung .
Chứ ng minh : Có thể thự c hiệ n mộ t phé p đố i xứ ng trụ c biế n hình vuô n g ABCD thà nhø ABCD .
HD : Gỉa sử : BC  BC = E .
Ta có : AB = AB , B  B  90 ,AE chung .
ĐAE
EB = EB

 ABE = ABF  
 B I
B
 biế t AB = AB
ĐAE
EC = EC
Mặ t khá c : 
 C I
C

AC
=
AC
=
a
2

BAB
Ngoà i ra : AD = AD và DAE  DAE  90 
2
ĐA
ĐAE
 D I
 D  ABCD I ABCD

35 Gọ i H là trự c tâ m ABC . CMR : Bố n tam giá c ABC , HBC , HAC , HAC có
đườ ng trò n ngoạ i tiế p bằ ng nhau .
HD :

Ta có : A1 = C2 (cù ng chắ n cung BK )

A1 = C1 (gó c có cạ nh tương ứ ng  )  C1 = C2
 CHK câ n  K đố i xứ ng vớ i H qua BC .
Xé t phé p đố i xứ ng trụ c BC .
Đ

Đ

Đ

BC H ; B I
BC B ; C I
BC C
Ta có : K I
Đ

BC Đườ ng trò n ngoạ i tiế p HBC
Vậ y : Đườ ng trò n ngoạ i tiế p KBC I

- 16 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

36 Cho ABC và đườ ng thẳ ng a đi qua đỉnh A nhưng khô ng đi qua B,C .
a) Tìm ả nh ABC qua phé p đố i xứ ng Đa .
b) Gọ i G là trọ ng tâ m ABC , Xá c đònh G là ả nh củ a G qua phé p đố i xứ ng Đa .
Giả i
a) Vì a là trụ c củ a phé p đố i xứ ng Đa nê n :
A  a  A  Đa (A) .

B,C  a nê n Đa : B I
 B,C I
 C sao cho a là trung trự c củ a BB,CC
b) Vì G  a nê n Đa : G I
 G sao cho a là trung trự c củ a GG .

37 Cho đườ ng thẳ ng a và hai điể m A,B nằ m cù ng phía đố i vớ i a . Tìm trê n đườ ng
thẳ ng a điể m M sao cho MA+MB ngắ n nhấ t .
Giả i : Xé t phé p đố i xứ ng Đa : A I
 A .
M  a thì MA = MA . Ta có : MA + MB = MA+ MB  AB
Để MA + MB ngắ n nhấ t thì chọ n M,A,B thẳ ng hà ng
Vậ y : M là giao điể m củ a a và A B .
38 (SGK-P13)) Cho gó c nhọ n xOy và M là mộ t điể m bê n trong gó c đó . Hã y
tìm điể m A trê n Ox và điể m B trê n Oy sao cho MBA có chu vi nhỏ nhấ t .
Giả i
Gọ i N = ĐOx (M) và P = ĐOx (M) . Khi đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP  NP
( đườ ng gấ p khú c  đườ ng thẳ ng )
MinCVi = NP Khi A,B lầ n lượ t là giao điể m củ a NP vớ i Ox,Oy .

39 Cho ABC câ n tạ i A vớ i đườ ng cao AH . Biế t A và H cố đònh . Tìm tậ p hợ p
điể m C trong mỗ i trườ ng hợ p sau :
a) B di độ ng trê n đườ ng thẳ ng  .
b) B di độ ng trê n đườ ng trò n tâ m I, bá n kính R .
Giả i
a) Vì : C = ĐAH (B) , mà B   nê n C   vớ i  = ĐAH ()
Vậ y : Tậ p hợ p cá c điể m C là đườ ng thẳ ng 
b) Tương tự : Tậ p hợ p cá c điể m C là đườ ng trò n tâ m J , bá n kính R là ả nh củ a
đườ ng trò n (I) qua ĐAH .

Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phé p đố i xứ ng tâ m I là mộ t phé p dờ i hình biế n mỗ i điể m M thà nh điể m M đố i xứ ng vớ i M qua I.
Phé p đố i xứ ng qua mộ t điể m cò n gọ i là phé p đố i tâ m .
Điể m I gọ i là tâ m củ a củ a phé p đố i xứ ng hay đơn giả n là tâ m đố i xứ ng .

Kí hiệ u : ĐI (M)  M  IM  IM .
Nế u M  I thì M  I
Nế u M  I thì M  ĐI (M)  I là trung trự c củ a MM.
ĐN :Điể m I là tâ m đố i xứ ng củ a hình H  ĐI (H)  H.
Chú ý : Mộ t hình có thể khô ng có tâ m đố i xứ ng .

- 17 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:
ĐI
2 Biể u thứ c tọ a độ : Cho I(x o ; y o ) và phé p đố i xứ ng tâ m I : M(x;y) I
 M  ĐI (M)  (x; y ) thì
x= 2xo  x
 
y  2yo  y
3 Tính chấ t :
1. Phé p đố i xứ ng tâ m bả o toà n khoả ng cá ch giữ a hai điể m bấ t kì .
2. Biế n mộ t tia thà nh tia .
3. Bả o toà n tính thẳ ng hà ng và thứ tự củ a cá c điể m tương ứ ng .
4. Biế n mộ t đoạ n thẳ ng thà nh đoạ n thẳ ng bằ ng nó .
5. Biế n mộ t đườ ng thẳ ng thà nh mộ t đườ ng thẳ ng song song hoặ c trù ng vớ i đườ ng thẳ ng đã cho .

6. Biế n mộ t gó c thà nh gó c có số đo bằ ng nó .
7. Biế n tam giá c thà nh tam giá c bằ ng nó . ( Trự c tâ m  trự c tâ m , trọ ng tâ m  trọ ng tâ m )

8. Đườ ng trò n thà nh đườ ng trò n bằ ng nó . ( Tâ m biế n thà nh tâ m : I I
 I , R = R )
B . BÀI TẬP
1 Tìm ả nh củ a cá c điể m sau qua phé p đố i xứ ng tâ m I :
1) A(  2;3) , I(1;2)
2) B(3;1) , I(  1;2)
3) C(2;4) , I(3;1)
Giả i :

a) Gỉa sử : A  ĐI (A)  IA  IA  (x  1; y  2)  (3;1) 
Cá ch  : Dù ng biể u thứ c toạ độ

 A(4;1)
 B(5;3)
 C(4; 2)





x  1  3
x  4

 A(4;1)
y  2  1
y  1

2 Tìm ả nh củ a cá c đườ ng thẳ ng sau qua phé p đố i xứ ng tâ m I :
1) () : x  2y  5  0,I(2; 1)
 () : x  2y  5  0
2) () : x  2y  3  0,I(1; 0)
 () : x  2y  1  0
3) () : 3x  2y  1  0,I(2; 3)
 () : 3x  2y  1  0
Giả i
PP : Có 3 cá ch
Cá ch 1: Dù ng biể u thứ c toạ độ
Cá ch 2 : Xá c đònh dạ ng  //  , rồ i dù ng cô ng thứ c tính khoả ng cá ch d(;)  .
Cá ch 3 : Lấ y bấ t kỳ A,B   , rồ i tìm ả nh A,B      AB
ĐI
 x  4  x
 x  4  x
1) Cá ch 1: Ta có : M(x;y) I
 M 

y  2  y y  2  y
Vì M(x;y)    x  2y  5  0  (4  x)  2(2  y)  5  0  x  2y  5  0
 M(x;y)   : x  2y  5  0
ĐI
Vậ y : () I
 () : x  2y  5  0
Cá ch 2 : Gọ i  = ĐI ()   song song   : x + 2y + m = 0 (m  5) .
|5|
|m|
 m  5 (loạ i)
Theo đề : d(I;) = d(I;) 


 5  | m |  
 m  5
12  22
12  22
 () : x  2y  5  0
Cá ch 3 : Lấ y : A(  5;0),B(  1;  2)    A(9; 2),B(5; 0)    AB : x  2y  5  0

- 18 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:
3 Tìm ả nh củ a cá c đườ ng trò n sau qua phé p đố i xứ ng tâ m I :
1) (C) : x2  (y  2)2  1,E(2;1)
2) (C) : x2  y2  4x  2y  0,F(1; 0)
3) (P) : y = 2x2  x  3 , tâ m O(0;0) .

 (C) : (x  4)2  y2  1
 (C) : x2  y2  8x  2y  12  0
đ / nghiã hay biể u thứ c toạ độ
(P) : y =  2x2  x  3

HD :1) Có 2 cá ch giả i :
Cá ch 1: Dù ng biể u thứ c toạ độ .
ĐE
Cá ch 2 : Tìm tâ m I I
 I,R  R  (đã cho) .
2) Tương tự .
4 Cho hai điể m A và B .Cho biế t phé p biế n đổ i M thà nh M sao cho AMBM là mộ t hình bình hà nh .
HD :

MA  BM
Nế u AMBM là hình bình hà nh  
MB  AM

Vì : MM  MA  AM  MA  MB (1)
Gọ i I là trung điể m củ a AB . Ta có : IA  IB
Từ (1)  MM  MI  IA  MI  IB  MM  2MI
 MI  IM  M  ĐI (M) .

5 Cho ba đườ ng trò n bằ ng nhau (I1; R),(I2 ; R),(I3; R) từ ng đô i tiế p
xú c nhau tạ i A,B,C . Gỉa sử M là mộ t điể m trê n (I1; R) , ngoà i ra :
ĐI
ĐC
ĐA
ĐB
1 Q .
M I
 N ; N I
 P ; P I
 Q . CMR : M I
HD :
 Do (I1; R) tiế p xú c vớ i (I2 ; R) tạ i A , nê n :
ĐA
ĐA
ĐA
M I
 N ; I1 I
 I2  MI1 I
 NI2  MI1  NI2 (1)
 Do (I2 ; R) tiế p xú c vớ i (I3; R) tạ i B , nê n :

ĐB
ĐB
ĐB
N I
 P ; I2 I
 I3  NI2 I
 PI3  NI2  PI3 (2)
 Do (I3; R) tiế p xú c vớ i (I1; R) tạ i C , nê n :
ĐC
ĐC
ĐC
P I
 Q ; I3 I
 I1  PI3 I
 QI1  PI3  QI1 (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI1  QI1  M  ĐI (Q) .
1

5 Cho ABC là tam giá c vuô ng tạ i A . Kẻ đườ ng cao AH . Vẽ phía
ngoà i tam giá c hai hình vuô ng ABDE và ACFG .
a) Chứ ng minh tậ p hợ p 6 điể m B,C,F,G,E,D có mộ t trụ c đố i xứ ng .

b) Gọ i K là trung điể m củ a EG . Chứ ng minh K ở trê n đườ ng thẳ ng AH .
c) Gọ i P = DE  FG . Chứ ng minh P ở trê n đườ ng thẳ ng AH .
d) Chứ ng minh : CD  BP, BF  CP .
e) Chứ ng minh : AH,CD,BF đồ ng qui .

- 19 -

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

HD :
a) Do : BAD  45 và CAF  45 nê n ba điể m D,A,F thẳ ng hà ng .
ĐDF
ĐDF
ĐDF
ĐDF
 Ta có : A l
A ; D l
D ; F l
F ; C l
G;
ĐDF
B l
E (Tính chấ t hình vuô ng ).
Vậ y : Tậ p hợ p 6 điể m B,C,F,G,E,D có trụ c đố i xứ ng chính là đườ ng thẳ ng DAF .
b) Qua phé p đố i xứ ng trụ c DAF ta có : ABC = AEG nê n BAC  AEG.
Nhưng : BCA  AGE ( 2  đố i xứ ng = )
AGE  A2 (do KAG câ n tạ i K) . Suy ra : A1  A2  K,A,H thẳ ng hà ng  K ở trê n AH .
c) Tứ giá c AFPG là mộ t hình chữ nhậ t nê n : A,K,P thẳ ng hà ng . (Hơn nữ a K là trung điể m củ a AP )
Vậ y : P ở trê n PH .
d)  Do EDC = DBP nê n DC = BP .
DC = BP

 Ta có : DB = AB  BDC  ABP  CD  BP  BCD  APB nhưng hai gó c nà y có cặ p
BC = AP


cạ nh : BC  AP  cặ p cạ nh cò n lạ i : DC  BP.
Lý luậ n tương tự , ta có : BF  CP.
e) Ta có : BCP . Cá c đườ ng thẳ ng AH, CD và BF chính là ba đườ ng cao củ a BCP nê n đồ ng qui .
6 Cho hai điể m A và B và gọ i ĐA và ĐB lầ n lượ t là hai phé p đố i xứ ng tâ m A và B .
a) CMR : ĐB ĐA  T
.
2AB

b) Xá c đònh ĐA ĐB.
HD : a) Gọ i M là mộ t điể m bấ t kỳ , ta có :
ĐA
M I
 M : MA  AM
ĐB
MI
 M : MB  BM. Nghóa là : M = ĐB ĐA (M), M (1)
ĐB ĐA
Ta chứ ng minh : M I
 M :
Biế t : MM  MM  MM

Mà : MM  2MA và MM  2MB
Vậ y : MM  2MA  2MB  2MA  2MA  2AB
Vì : MA  AM nê n MA  MA  0 . Suy ra : MM  2AB  M  T

2AB

Từ (1) và (2) , suy ra : ĐB ĐA  T

.

b) Chứ ng minh tương tự : ĐA ĐB  T

.

2AB
2 BA

(M), M (2)

7 Chứ ng minh rằ ng nế u hình (H) có hai trụ c đố i xứ ng vuô ng gó c vớ i nhau thì
(H) có tâ m đố i xứ ng .
HD : Dù ng hình thoi
Gỉa sử hình (H) có hai trụ c đố i xứ ng vuô ng gó c vớ i nhau .
Lấ y điể m M bấ t kỳ thuộ c (H) và M1  Đa (M) , M2  Đb (M1) . Khi đó , theo
đònh nghóa M1,M2  (H) .

- 20 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Gọ i O = a  b , ta có : OM = OM1 và MOM1  2AOM1
OM1 = OM2 và M1OM2  2M1OB
Suy ra : OM = OM2 và MOM1  M1OM2  2(AOM1 +M1OB)
hay MOM1  2  90  180
Vậ y : O là trung điể m củ a M và M2 .
Do đó : M2  ĐO (M), M  (H),M 2  (H)  O là tâ m đố i xứ ng củ a (H) .

8 Cho ABC có AM và CN là cá c trung tuyế n . CMR : Nế u BAM  BCN = 30 thì ABC đề u .
HD :
Tứ giá c ACMN có NAM  NCM  30 nê n nộ i tiế p đtrò n tâ m O, bkính R=AC và MON  2NAM  60 .
ĐN
ĐN
Xé t : A I
 B  (O) I
 (O1) thì B  (O1) vì A  (O) .
ĐM
ĐM
C I
 B  (O) I
 (O2 ) thì B  (O2 ) vì C  (O) .
OO  OO2  2R
Khi đó , ta có :  1
 OO1O2 là tam giá c đề u .
MON  60
Vì O1B  O2 B  R  R  2R  O1O2 nê n B là trung điể m O1O2 .
Suy ra :ABC OO1O2 (Vì cù ng đồ ng dạ ng vớ i BMN) .
Vì OO1O2 là tam giá c đề u nê n ABC là tam giá c đề u .
Vấn đề 5 : PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ĐN : Trong mặ t phẳ ng cho một điểm O cố đònh và gó c lượ ng giá c . Phé p biến hình biến mỗi điểm
M thà nh điểm M sao cho OM = OM và (OM;OM) =  được gọ i là phép quay tâ m O vớ i gó c quay .
Phé p quay hoà n toà n xá c đònh khi biế t tâ m và gó c quay
Kí hiệ u : Q
O .

Chú ý : Chiề u dương củ a phé p quay  chiề u dương củ a đườ ng trò n lự ơng giá c .

Q2k  phé p đồ ng nhấ t ,k 
Q(2k+1)  phé p đố i xứ ng tâ m I ,k 
2 Tính chấ t :
ĐL : Phé p quay là mộ t phé p dờ i hình .
HQ :
1.Phé p quay biế n ba điể m thẳ ng hà ng thà nh ba điể m thẳ ng hà ng và bả o toà n thứ tự củ a cá c điể m tương
ứ ng .
2. Đườ ng thẳ ng thà nh đườ ng thẳ ng .
3. Tia thà nh tia .
4. Đoạ n thẳ ng thà nh đoạ n thẳ ng bằ ng nó .
Q
Q
5. Tam giá c thà nh tam giá c bằ ng nó . (Trự c tâ m I
 trự c tâ m , trọ ng tâ m I
 trọ ng tâ m )
Q(O ;  )
6. Đườ ng trò n thà nh đường trò n bằ ng nó . ( Tâ m biế n thà nh tâ m : I I
 I  , R = R )
7. Gó c thà nh gó c bằ ng nó .
B. BÀI TẬP

- 21 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

1 Trong mặ t phẳ ng Oxy cho điể m M(x;y) . Tìm M / = Q(O ; ) (M) .
HD :
x = rcos

Gọ i M(x;y) . Đặ t : OM = r , gó c lượ ng giá c (Ox;OM) =  thì M 
y = rsin
Q(O ; )
Vì : M I
 M / . Gọ i M / (x;y) thì độ dà i OM / = r và (Ox;OM / ) =  +  .
Ta có :
x = rcos( + ) = acos .cos  asin .sin   x cos   y sin  .
y = rsin( + ) = asin.cos  a cos .sin   x sin   y cos  .
x= x cos   y sin 
Vậ y : M / 
y= x sin   y cos 
Đặ c biệ t :
Q(O ; )
x = x cos   y sin 
M I M / / 
y =  x sin   y cos 
Q(I ; )
x  xo = (x  xo ) cos   (y  yo )sin 
M I
 M/ 
I(xo ;yo )
y  yo = (x  xo )sin   (y  yo ) cos 

Q(I ; )
x  xo = (x  xo ) cos   (y  yo )sin 
M I 
 M/ / 
I(xo ;yo )
y  yo =  (x  xo )sin   (y  yo ) cos 

2 Trong mpOxy cho phé p quay Q
a) Điể m M(2;2)

(O;45 )

. Tìm ả nh củ a :

b) Đườ ng trò n (C) : (x  1)2 + y2 = 4

Q
(O ; 45 )
Giả i . Gọ i : M(x;y) I M / (x / ;y / ) . Ta có : OM = 2 2, (Ox; OM) = 
x = rcos(+45 )  r cos .cos 45  r sin .sin 45  x.cos 45  y.sin 45
Thì M/ 
y = rsin(+45 )  r sin .cos 45  r cos .sin 45  y.cos 45  x.sin 45

2
2
x
y
x=
2
2
 M/ 
y= 2 x  2 y

2
2
Q
(O ; 45 )

a) A(2;2) I A / (0 ;2 2)
Q

/
 Tâ m I(1;0)
(O ; 45 )
b) Vì (C) : 
 (C) :  Tâ m I ?
 Bk : R = 2
 Bk : R = R = 2
Q
2
2
2 2
2 2
(O ; 45 )
I(1;0) I I / (
;
) . Vậ y : (C) : (x 
) + (y 
) =4
2
2
2
2

1
3
y
x= x 

2
2 . Hỏ i f là phé p gì ?
3 Trong mpOxy cho phé p biế n hình f : 
y= 3 x  1 y

2
2

- 22 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

Giả i



x= x cos 3  y sin 3
Ta có f : M (x; y) I
 M(x;y) vớ i 
 f là phé p quay Q 
(O; )
y= x sin   y cos 
3

3
3

4 Trong mpOxy cho đườ ng thẳ ng ( ) : 2x  y+1= 0 . Tìm ả nh củ a đườ ng thẳ ng qua :

a) Phé p đố i xứ ng tâ m I(1;  2).
b) Phé p quay Q
.
(O;90 )
Giả i
 x  2  x
 x  2  x
a) Ta có : M(x;y) = ĐI (M) thì biể u thứ c tọ a độ M 

y  4  y
y  4  y


Vì M(x;y)  () : 2x  y+1= 0  2(2  x )  ( 4  y )  1  0  2x  y  9  0
 M(x;y)  ( ) : 2x  y  9  0
ĐI
Vậ y : () I
 () : 2x  y  9  0
Q
(O;90 )
b) Cá ch 1 : Gọ i M(x;y) I
 M(x;y) . Đặ t (Ox ; OM) =  , OM = r ,
Ta có (Ox ; OM ) =  + 90 ,OM  r .
Q
x  r cos(  90 )   r sin   y x  y
x = rcos
(O;90 )
Khi đó : M 
I
 M 


y = rsin
 y   x
y  r sin(  90 )  rcos   x
Vì M(x;y)  () : 2(y)  (  x) + 1 = 0  x   2y + 1 = 0  M(x;y)  () : x  2y  1  0
Q
(O;90 )
Vậ y : () I
 () : x  2y  1  0

Q
(O;90 )
Cá ch 2 : Lấ y :  M(0;1)  () I
 M(1; 0)  ()
Q
1
1
(O;90 )
 N(  ;0)  () I
 N (0; )  ()
2
2
Q
(O;90 )
 () I
 ( )  MN  : x  2y  1  0
Q
1
(O;90 )
Cá ch 3 :  Vì () I

()  ()  () mà hệ số gó c : k   2  k   
2
Q
(O;90 )
 M(0;1)  () I
 M(1; 0)  ()
 Qua M(1; 0)

 () : 
1  () : x  2y  1  0
 hsg ; k =  2

5 Trong mặ t phẳ ng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hã y tìm toạ độ điể m A là ả nh
củ a A qua phé p quay tâ m O gó c 90o .
HD :
Gọ i B(3;0),C(0;4) lầ n lượ t là hình chiế u củ a A lê n cá c trụ c Ox,Oy . Phé p
quay tâ m O gó c 90o biế n hình chữ nhậ t OABC thà nh hình chữ nhậ t OCAB.
Khi đó : C(0;3),B(  4;0). Suy ra : A(  4;3).

- 23 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:

6 Trong mặ t phẳ ng toạ độ Oxy . Tìm phé p quay Q biế n điể m A(  1;5)
thà nh điể m B(5;1) .
OA  OB  26
HD : Ta có : OA  (1;5) và OB  (5;1)  
OA.OB  0  OA  OB

B=Q
(A) .
(O ; 90 )
7 Trong mặ t phẳ ng toạ độ Oxy , cho điể m M(4;1) . Tìm N = Q
HD :
Vì N = Q

(O ; 90 )

(O ; 90 )

(M) .

(M)  (OM;ON)  90  OM.ON = 0  4x+y = 0  y=  4x (1)

Do : OM  ON  x2  y2  16  1  17 (2) .
Giả i (1) và (2) , ta có : N(1;  4) hay N(  1; 4) .
Thử lạ i : Điề u kiệ n (OM;ON)  90 ta thấ y N(  1; 4) thoả mã n .

8 a)Trong mặ t phẳ ng toạ độ Oxy , cho điể m A(0;3) . Tìm B = Q
HD : Phé p quay Q

(O ; 45 )

(A) .
(O ; 45 )
biế n điể m A  Oy thà nh điể m B  đt : y  x,ta có :

x B  y B  0
. Mà OB =


OA  OB  3

3
3 3
x 2B  y 2B  3  x B 
 B( ;
).
2
2 2
43 3 3 4 3
b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q
(A) 
B (
;
)
o
(O;60 )
2
2
9 Cho đườ ng trò n (C) : (x  3)2  (y  2)2  4 . Tìm (C) = Q
(C) .
(O ; 90 )
HD : Tìm ả nh củ a tâ m I : Q
(I)  I( 2;3)  (C) : (x  2)2  (y  3)2  4 .
(O ; 90 )
10 Cho đườ ng trò n (C) : (x  2)2  (y  2 3)2  5 . Tìm (C) = Q
(C) .
(O ; 60 )
HD : Tìm ả nh củ a tâ m I : Q

(I)  I( 2;2 3)  (C) : (x  2)2  (y  2 3)2  5 .
(O ; 60 )

11 Cho đườ ng trò n (C) : (x  2)2  (y  2)2  3 . Tìm (C) = Q
(C) .
(O ; 45 )

HD : Tìm ả nh củ a tâ m I : Q
(I)  I(1  2;1  2)  (C) : (x  1  2)2  (y  1  2)2  3 .
(O ; 45 )

12 [CB-P19] Trong mặ t phẳ ng toạ độ Oxy , cho điể m A(2;0) và đườ ng thẳ ng (d) : x + y  2 = 0.
Tìm ả nh củ a A và (d) qua phé p quay Q
.
(O ; 90 )
HD :
Ta có : A(2;0)  Ox . Gọ i B = Q
( A) thì B  Oy và OA = OB .
(O ; 90 )
Vì toạ độ A,B thoả mã n pt (d) : x + y  2 = 0 nê n A,B  (d) .
Do B = Q
(A) và tương tự Q
(A) = C(  2;0)
(O ; 90 )
(O ; 90 )
x
y
x y
nê n Q
(d) = BC  (BC) :


1
 1 xy2  0
(O ; 90 )
xC yC
2 2

- 24 -


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC THÁI NGUN
GV: Lê Nam – 0981 929 363–Email:
13 Cho (d) : x  3y  1 = 0 . Tìm  = Q

(d) .
 () : 3x  y  1  0
(O ; 90 )
14 Cho (d) : 2x  y  2 = 0 . Tìm  = Q
(d) .
(O ; 60 )
1 3
ả nh
HD : d  Ox = A(1;0) , d  Oy = B(0;2) 
 A( ; ),B( 3;1)
2 2
 () : ( 3  2)x  (2 3  1)y  4  0

15 Cho tam giá c đề u ABC có tâ m O và phé p quay Q
.
(O; 120 )

a) Xá c đònh ả nh củ a cá c đỉnh A,B,C .
b) Tìm ả nh củ a ABC qua phé p quay Q
(O;120 )
Giả i

a) Vì OA = OB = OC và AOC  BOC  COA  120 nê n Q
: A I
 B,B I
 C,C I
A
(O;120 )
b) Q
: ABC 
 ABC
(O; 120 )
16 [CB-P19] Cho hình vuô ng ABCD tâ m O .
a) Tìm ả nh củ a điể m C qua phé p quay Q
.
(A ; 90 )
b) Tìm ả nh củ a đườ ng thẳ ng BC qua phé p quay Q
(O ; 90 )
HD : a) Gọ i E = Q

(C) thì AE=AC và CAE  90 nê n AEC
(A ; 90 )
vuô ng câ n đỉnh A , có đườ ng cao AD . Do đó : D là trung điể m củ a EC .
b) Ta có : Q
(B)  C và Q
(B)  C  Q
(BC)  CD.

(O ; 90 )
(O ; 90 )
(A ; 90 )

17 Cho hình vuô ng ABCD tâ m O . M là trung điể m củ a AB , N là trung điể m
củ a OA . Tìm ả nh củ a AMN qua phé p quay Q
.
(O;90 )
HD : Q
(A)  D , Q
(M)  M là trung điể m củ a AD .
(O;90 )
(O;90 )
Q
(N)  N là trung điể m củ a OD . Do đó : Q
(AMN)  DMN
(O;90 )
(O;90 )
18 [ CB-1.15 ] Cho hình lụ c giá c đề u ABCDEF , O là tâ m đườ ng trò n ngoạ i tiế p củ a nó . Tìm ả nh củ a
OAB qua phé p dờ i hình có đượ c bằ ng cá ch thự c hiệ n liê n tiế p phé p quay tâ m O , gó c 60 và phé p
tònh tiế n TOE .

HD :
Gọ i F = TOE Q
Q

(O;60 )

(O;60 )

(O)  O,Q

. Xé t :

(O;60 )

(A)  B,Q

(O;60 )

(B)  C .

TOE (O)  E,TOE (B)  O,TOE (C)  D

Vậ y : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D  F(OAB) = EOD

- 25 -