Đề và đáp án KS k10(2015 2016) lần 1

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG

ĐỀ KHẢO SÁT KHỐI 10

TRƯỜNG THPT AN DƯƠNG

MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 90 phút)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = x 2 + 2x − 3 (P)

1.

Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y = 3x + 3.

2.

Tìm m để đường thẳng (dm): y = - x + m cắt (P) tại hai điểm A, B
phân biệt sao cho tam giác AOB vuông tại O.

Câu II (3,0 điểm) Giải phương trình
1.

x2 − 4 x + 3 = x + 3

2.

x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x + 1) x 2 + 3

Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
 2 x 3 − y 3 − x 2 y + 2 xy 2 + 2 x − y = 0

2
2
1 + y + 20 = x + 4 x + 9

Câu IV (1,0 điểm) .
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn: 2ab+bc+2ac=2abc
CMR:

1
1
1
1
+
+
≤
2a + 2b b + 2c c + 4a 3

Câu V (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho tam giác ABC có A(-2;1), B(2;-1), C(3;2)
1. Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
2. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho đường trung trực của AM đi qua B.
Câu VI (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, BC = 8. Trên cạnh BC lấy M sao cho
BM = 3. Tính độ dài AM.
................................Hết..........................

Biểu điểm khảo sát khối 10

Bài Ý
Nội dung làm được
2
I
1 Pthđgđ x + 2 x − 3 = 3x + 3

Điểm

⇔ x2 − x − 6 = 0
x = 3
⇔
 x = −2

0,5

Với x = 3 ⇒ y = 12
Với x = -2 ⇒ y = −3
Vậy (P) giao với (d) tại 2 điểm M(3;12), N(-2;-3)
2

0,5

Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt
⇔ Pthđgđ x 2 + 2 x − 3 = − x + m có hai nghiệm phân biệt
⇔ x 2 + 3x − 3 − m = 0

(*)

có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ = 21 + 4m > 0 ⇔ m > −

21
4

Khi đó (dm) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(xA;- xA +m), B(xB;- xB +m)
(*)

Với xA, xB là nghiệm của pt , nên xA+ xB = -3 và xA xB = -m-3

0,5

Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O thì
uuu
r uuu
r
OA.OB = 0 ⇔ x A .xB + ( − x A + m ) ( − xB + m ) = 0
⇔ 2 x A .xB − m ( x A + xB ) + m 2 = 0
⇔ 2 ( −m − 3) + 3m + m 2 = 0
⇔ m2 + m − 6 = 0
 m = −3
⇔
(tmdk )
m = 2

II

1

Vậy gt m cần tìm: m = -3, m = 2.

0,5

 x + 3 ≥ 0
x2 − 4 x + 3 = x + 3 ⇔  2
2
2
( x − 4 x + 3) = ( x + 3)
 x ≥ −3
 x ≥ −3
 2

⇔  x − 4 x + 3 = x + 3 ⇔  x 2 − 5x = 0
 2
 2
  x − 4 x + 3 = − x − 3   x − 3x + 6 = 0(vn)

0,5

 x ≥ −3
x = 0

⇔  x = 0 ⇔ 
x = 5
 x = 5


0,5

0,5


KL…
2

x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x + 1) x 2 + 3

Đặt t = x 2 + 3 , đk t > 0
2
Pt trở thành t − ( 2 x + 1) t + 4 x − 2 = 0 , (2)

∆ = ( 2 x − 3)

2

t = 2

0,75

(2) ⇔ 
t = 2 x − 1
Với t = 2 ⇔ x 2 + 3 = 2 ⇔ x = ±1
Với t = 2 ⇔ x 2 + 3 = 2 x − 1
1

x ≥ 2

2 x − 1 ≥ 0
2 + 10


2 + 10
⇔ 2
⇔  x =
⇔x=
3
3
3x − 4 x − 2 = 0


2 − 10
 x =
3


0,75

KL….
III

 2 x 3 − y 3 − x 2 y + 2 xy 2 + 2 x − y = 0, (1)

2
2
1 + y + 20 = x + 4 x + 9, (2)
2
2
Pt (1) tương đương ( 2 x − y ) ( x + y + 1) = 0 ⇔ y = 2 x

0,25

Thay vào (2) ta được pt
1 + 4 x 2 + 20 = x + 4 x 2 + 9, (*)
⇔ 4 x 2 + 9 − 5 + 6 − 4 x 2 + 20 + x − 2 = 0
 4x + 8

4x + 8
⇔ ( x − 2) 
−
+ 1÷ = 0
2
4 x 2 + 20 + 6 
 4x + 9 + 5
x = 2
⇔  4x + 8
4x + 8

−
+1 = 0
2
4 x 2 + 20 + 6
 4 x + 9 + 5

Từ (*) suy ra x >1 do đó 4x + 8 > 0
⇒

4x + 8
4 x2 + 9 + 5

−



1
1
+ 1 = ( 4 x + 8) 
−
÷+ 1 > 0
2
4 x 2 + 20 + 6
4 x 2 + 20 + 6 
 4x + 9 + 5
4x + 8

Với x = 2 suy ra y = 4

0,5


0,25

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2 ; 4)
Trước tiên ta cm bổ đề sau:

IV

9

1

1

1

Nếu x,y,z là 3 số dương thì x + y + z ≤ x + y + z
Thật vậy:

1 1 1
1
+ + ≥ 33
; x + y + z ≥ 3 3 xyz
x y z
xyz

1 1 1
1 3
⇒  + + ÷( x + y + z ) ≥ 3 3
.3 xyz
xyz
x y z
1 1 1
1 3
⇒  + + ÷( x + y + z ) ≥ 3 3
.3 xyz
xyz
x y z
1 1 1
⇒  + + ÷( x + y + z ) ≥ 9
x y z

0,25

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z
Quay lại bài toán.
Từ gt 2ab+bc+2ac=2abc suy ra

1 1 1
+
+ =1
c 2a b

Áp dụng bổ đề trên ta có:
9
9
1 1 1
=
≤
+ +
2a + 2b 2a + b + b 2a b b
9
9
1 1 1
=
≤ + +
b + 2c b + c + c b c c
9
9
1 1
1
=

≤ +
+
c + 4a c + 2a + 2a c 2a 2a

0,5

Vậy
1
1
1
1 3 3 3
1
1
1
1
+
+
≤  + + ÷⇒
+
+
≤ .(dpcm)
2a + 2b b + 2c c + 4a 9  2a b c  2a + 2b b + 2c c + 4a 3
3
2

Dấu bằng xảy ra khi a = , b = c = 3
V

1

0,25

Gọi H(x;y).
uuur
uuur
BC = (1;3), BH = ( x − 2; y + 1)
uuur

uuur

H thuộc BC nên BH cùng phương với BC .
uuur uuur
x = 2 + t
Từ đó tồn tại số thực t sao cho BH = t BC ⇔ 
 y = −1 + 3t

0,5


uuur
AH = ( x + 2; y − 1)
uuur

uuur

uuur uuur

AH là đường cao nên AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ x + 2 + 3( y − 1) = 0
⇔ t + 4 + 3(3 y − 2) = 0 ⇔ t =

1
5

0,5

11 −2

2



Vậy H  ; ÷
5 5 
M thuộc trục hoành nên M(m;0)

1.0

Vì đường trung trực của AM đi qua B nên
AB = MB ⇔ 42 + 22 = ( m − 2 ) + 12 ⇔ m = 2 ± 19
2

VI

KL…
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, BC = 8. Trên cạnh BC lấy M
sao cho BM = 3. Tính độ dài AM.
Xét tam giác ABC có
cos B =

0.5

AB 2 + BC 2 − AC 2 42 + 82 − 62 11
=
=
2 AB.BC
2.4.8
16

Xét tam giác ABM có
AM 2 = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM .cos B = 42 + 32 − 2.4.3.

Vậy AM =

34
2

11 17
=
16 2

0.5