Chuyên đề lượng giác luyện thi đại học 2016

GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

Chuyên Đề Lượng Giác Luyện Thi Đại Học
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
b) tan x 

a) sin 2 x  cos 2 x  1

sin x
cos x

c) cot x 

cos x
sin x

1
1
e) 1  cot 2 x 
f) tan x. cot x  1
2
cos x
sin 2 x
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau
b) Hai cung bù nhau
c) Hai cung khác nhau 2 

cos( x)  cos x
sin(  x)  sin x
sin( x  2 )  sin x
sin( x)   sin x
cos(  x)   cos x
cos( x  2 )  cos x
tan( x)   tan x
tan(  x)   tan x
tan( x  2 )  tan x
cot( x)   cot x
cot(  x)   cot x
cot( x  2 )  cot x
d) Hai cung khác nhau 
e) Hai cung phụ nhau
sin(  x)   sin x




sin   x   cos x ; cos  x   sin x
cos(  x)   cos x
2

2

tan(  x)  tan x





tan  x   cot x ; cot   x   tan x
cot(  x)  cot x
2

2

B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
1
1
A
; B
1  sin 
1  cos 
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin 123o  sin 132 o
b) cot 304 o  cot 316 o
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 tan 540 o  2 cos 1170 o  4 sin 990 o  3 cos 540 o
25
13
19
b) 3 sin
 3 tan
 2 cos
6
4
3
2
o

2
o
2
o
c) sin 15  sin 35  sin 55  sin 2 75o
d) cos 2 15o  cos 2 35o  cos 2 55o  cos 2 75o

3
5
7
9
11
 sin 2
 sin 2
 sin 2
 sin 2
 sin 2
e) sin 2
12
12
12
12
12
12

3
5
7
9
11

 cos 2
 cos 2
 cos 2
 cos 2
 cos 2
f) cos 2
12
12
12
12
12
12


 3

g) sin(  a)  cos  a   cot(2  a)  tan
 a
2

 2

4
2
2
2
h) A  sin a  cos a  sin a. cos a
2
a
a


 sin  cos   1
2
2
i) B  
a
a
a
tan  sin . cos
2
2
2
2
o
cos 696  tan(260 o ). tan 530 o  cos 2 156
j) C 
tan 2 252 o  cot 2 342 o
d) 1  tan 2 x 

2

 17
 7

 13

 tan
 b   cot
 cot 7  b 
k)  tan

4
4
 2




-1-

2


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

 1  sin x
1  sin x  1  cos x
1  cos x 


l) 




1  sin x  1  cos x
1  cos x 
 1  sin x
m) sin 3 a(1  cot a)  cos 3 a(1  tan a)

tan b
n)
tan b  cot b
1  cos 4 a  sin 4 a
o)
cos 4 a
sin( x   ). cos( x  2 ). sin(2  x)
p)


 3

sin   x . cot(  x). cot 
 x
2

 2

2

2

 

  3



q) sin  x   sin(  x)  cos
 x   cos(2  x)



 2

  2



 2

 5

 3

r) sin  a . tan
 a . cos
 a   tan(  a). tan
 a
3

 3

 3

 2

cot(5,5  a)  tan(b  4 )
s)
cot(a  6 )  tan(b  3,5 )
t) tan 50 o. tan190 o. tan 250 o. tan 260 o. tan 400 o. tan 700 o

4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin( A  B)  sin C; cos(B  C)  -cosA
c) tan( A  C)   tan B; cot(A  B)  -cotC
AB
C
BC
A
AC
B
AB
C
b) sin
d) tan
 cos ; cos
 sin
 cot ; cot
 tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2  cos x
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y 
sin x  cos x  2
cos x  2 sin x  3
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng    x   : y 

.
2 cos x  sin x  4
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho sin 2 B  sin 2 C  2 sin 2 A . Chứng minh A  60o .
b) 2(a cos A  b cos B  c cos C )  a  b  c  ABC đều.
c) Chứng minh: 0  sin A  sin B  sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA  1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
tan a  tan b
3) tan(a  b) 
2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
1  tan a tan b
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:




a) cos a  sin a  2 cos  a   2 sin  a 
4

4





b) cos a  sin a  2 cos  a   2 sin  a 

4

4

2. Rút gọn các biểu thức:


2 cos a  2 cos  a 
4

a)


 2 sin a  2 sin   a 
4

-2-


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

b) cos10o  cos11o.cos 21o  cos 69o.cos 79o
c) (tan a  tan b).cot(a  b)  tan a. tan b
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

A
B
B

C
C
A
b) tan . tan  tan . tan  tan . tan  1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
c) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  1
d) cot  cot  cot  cot . cot . cot
2
2
2
2
2
2

1  tan b
1  tan a
4. a) Cho a  b  , chứng minh:
 tan a và
  tan b .

1  tan a
4
1  tan b
a) tan A  tanB  tanC  tanA.tanB.tanC

b) Cho a  b 



, chứng minh: (1  tan a)(1  tan b)  2 và (1  cot a)(1  cot b)  2
4
tan( x  a)  m
a b
c) Cho
. Chứngminh: tan( x  y ) 
.
tan(a  y )  n
1  ab
2
3
d) Cho tan a  , tan b  (0  a, b  1v) . Tìm a + b.
7
5
1 

e) Cho tan a   (  a   ) và tan b  3 (0  b  ) . Tìm a + b.
2 2
2
2
1

f) Cho tan a  1 , tan b  (0  a, b  1v) . Tìm a - b.
3
4
1
2
1
g) Cho tan a  , tan b  , tan b  . Chứng minh a + b + c = 45o.
5
3
12

5
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15o hoặc
và 75o hoặc
.
12
12
6. Cho  ,  ,  thoả mãn điều kiện:      



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
A  1  tan . tan   1  tan  . tan   1  tan  . tan
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam
giác ABC cân:
cos 2 A  cos 2 B 1
sin B
 (cot 2 A  cot 2 B)
 2 cos A

a)
b)
2
2
sin C
sin A  sin B 2
A
c) a  b  tan (a tan A  b tan B)
d) tan A  2 tan B  tan A. tan 2 B
2
II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
sin 2a  2 sin a cos a
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  1  2 sin 2 a  2 cos 2 a  1
2 tan a
tan 2a 
1  tan 2 a
sin 3a  3 sin a  4 sin 3 a
cos 3a  4 cos 3 a  3 cos a
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:

 

sin   a .sin   a 
4
 4

a)
sin 3a cos a  cos 3a sin a

o

o

c) cos 20 .cos 40 .cos 80

o

tan 2
b)


8

1

tan  8

d) 2 sin a cos a(cos 2 a  sin 2 a)
-3-


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

a
a
cos 2
2

2
o
o
h) 8 cos10 cos 20 cos 40o
j) 4 sin 4 4a  sin 2 2a
f) cos 2 a  4 sin 2

e) cos 4 a  6 sin 2 a cos 2 a  sin 4 a

g) 1 8 sin 2 a cos 2 a
i) 4 sin 3 a cos 3a  4 cos 3 a sin 3a

2
k) cos cos
l) cos 20o cos 40o cos 60o cos 80o
5
5
m) tan a  2 tan 2a  4 tan 4a  8 tan 8a  16 tan16a  32 tan 32a
sin 3 a  sin 3a
cos a  cos 3a
n)
o)
3
sin a  sin 3a
cos a  cos 3a
2. Chứng minh:


 
 1

a) sin a sin   a  sin   a   sin 3a . Áp dụng với a  .
9
3
 3
 4
3
2
b) 8sin 18  8sin 18  1
c) 8  4 tan



 2 tan



 tan



 cot



8
16
32
32
d) tan 2 36o tan 2 72o  5


5
7

 
 1
e) cos a cos  a  cos  a   cos 3a . Tính: cos cos cos
18
18
18
3
 3
 4
3
3 tan a  tan a
f) tan 3a 
1  3 tan 2 a
5 1

 

g) tan a tan  a  tan  a   tan 3a . Chứng minh: tan 6 o tan 54 o tan 66 o 
.
3
 3

10  2 5

2 ab
(a, b  0) . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
ab

2a
b) Cho cos  
. Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
1 a2
5
c) Cho sin   cos   . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
4
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
  

a) y  sin x   sin x  
b) y  cos 4 x  sin 4 x
4 
4

3. a) Cho sin  

c) y  1 8 sin 2 x cos 2 x

III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t  tan
A. Lý thuyết cần nhớ
1  cos 2a  2 cos 2 a

sin a 

1  cos 2a  2 sin a
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
2 sin a  sin 2a
a

 tan 2
a)
2 sin a  sin 2a
2
2

2t
1 t 2

c) (sin a  sin b) 2  (cos a  cos b) 2  4 cos 2
e)

1  sin a
 a 
 cot 2   
1  sin a
 4 2

cos a 

a
.
2

1 t2
1 t2

2t
1 t 2

tan a 

1  sin 2a  cos 2a


 tan  a 
1  sin 2a  cos 2a
4

a
a
d) tan  cot  2 cot a
2
2

b)

ab
2

f) tan 7 o 30' 

a b
2
-4-

g) sin a(sin a  sin b)  cos a(cos a  cos b)  2 cos 2



3 2





2 1


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

a b
h) (sin a  sin b) 2  (cos a  cos b) 2  4 sin 2
2
 a 
 a 
sin    sin   
 4 2    4 2  (0  a   )
i)
1  sin a
1  sin a
2. Rút gọn các biểu thức sau:

1 1 1 1

 cos  (0     )
2 2 2 2
a

2 cot
2
c)
a
1  cot 2
2
a
a
tan
tan
2 
2
e)
a
a
1  tan
1  tan
2
2
1  cos   cos 2
g)
sin 2  sin 
3. Tìm giá trị biểu thức
sin a
a
a)
biết tan  2
3  2 cos a
2
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y  2 cos 2 x  sin 2 x
a)



c) y  sin 2   x   (sin x  cos x) 2
4

IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a cos b  sin( a  b)  sin( a  b)
2
1
cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
sin a  sin b  2 sin
. cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2 cos

.sin
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2 cos
. cos
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2 sin
.sin
2
2

1 1 1 1

 cos  (0     )
2 2 2 2
a
a
cot  tan
2
2
d)
a
a
cot  tan
4

4
b)

f)

1
1  tan

a
2



1
1  tan

a
2

h)

sin 2
cos 
.
1  cos 2 1  cos 

b)

tan a  sin a
a 2

Biết tan 
tan a  sin a
2 15

b) y  2 sin 2 x  cos 2 x

sin( a  b)
cos a cos b
sin( a  b)
tan a  tan b 
cos a cos b
sin( a  b)
cot a  cot b 
sin a sin b
sin( a  b)
cot a  cot b  
sin a sin b
tan a  tan b 

B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
-5-


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

a) cos a  cos(a  b)  cos(a  2b)  ...  cos(a  nb) (n  N)
cos a  cos 3a  cos 5a  cos 7a

cos a  2 cos 2a  cos 3a
b)
c)
sin a  sin 3a  sin 5a  sin 7a
sin a  sin 2a  sin 3a








cos a    cos a  
cos 2a    cos 2a  
3
3
6
6




d) cos a 
e)
a
2 cos a
cot a  cot
2
1

1
f) cos 2a cos 2 a  cos 4a  cos 2a
g) cos 2 3  cos 2 1  cos 4 cos 2
4
2
o
o
o
h) sin1  sin 91  2 sin 203 (sin112o  sin158o )
i) cos 35o  cos125o  2 sin185o (sin130o  sin140o )
j) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o
k) tan 20o tan 40o tan 60o tan 80o
2. Chứng minh:
3
a) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o 
16
sin a  sin 3a  sin 5a  ...  sin(2n  1)a
b)
 tan na
cos a  cos 3a  cos 5a  ...  cos(2n  1)a
na
(n  1)a
sin sin
2
2
c) sin a  sin 2a  sin 3a  ...  sin na 
a
sin
2
na

(n  1)a
sin cos
2
2
d) cos a  cos 2a  cos 3a  ...  cos na 
a
sin
2
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
C
a) sin A  sin B  sin C  4 cos cos cos
2
2
2
A
B
C
b) cos A  cos B  cos C  1  4 sin sin sin
2
2
2
2
2
2
c) sin A  sin B  sin C  2(1  cos A cos B cos C )
d) cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A cos B cos C
A
B

C
e) sin A  sin B  sin C  4 sin sin cos
2
2
2
A
B
C
f) cos A  cos B  cos C  4 cos cos sin  1
2
2
2
g) sin 2 A  sin 2B  sin 2C  4 sin Asin B sin C
h) cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  4 cos A cos B cos C
i) sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2 sin Asin B cos C
x y 1
 (sin x  sin y ) với 0  x, y   .
4. Chứng minh bất đẳng thức: sin
2
2
5. Tính giá trị các biểu thức sau:

3
5
7
 sin 4
 sin 4
a) sin 4  sin 4
16
16

16
16
o
o
o
b) tan 67 5' cot 67 5' cot 7 5' tan 7 o 5'
c) cos 5o cos 55o cos 65o
-6-


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

3
5
7
9

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

 cos
 cos
 cos
 cos
11
11
11
11
11
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
3

 x 
a) 4 sin 4 x  sin 2 2 x  4 cos 2    với   x 
2
 4 2
4
2
2
b) 4 cos x  cos 2 x  4 cos x cos 2 x




c) cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x 
3

3

 2

 2

d) sin 2 x  sin 2 
 x   sin 2 
 x
 3

 3

d) cos

sin B  sin C
cos A  cos B
3
8. Chứng minh nếu các góc của ABC thoả mãn: cos A  cos B  cos C  thì nó là tam giác đều.
2
bc
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC thoả mãn hệ thức: cos A  cos B 
thì
a
tam giác đó là tam giác vuông.
A
B
10. Cho tam giác ABC và 5 tan tan  1 . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
2
2
Phần 3: Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
x    k 2
1. Phương trình: sin x  sin  
2. Phương trình: cos x  cos   x    k 2
x      k 2
2. Phương trình: tan x  tan    k
4. Phương trình: cot x  cot     k
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:

3




a) sin  3x   
b) sin(3x - 2) = -1
c) 2 cos 2 x    1
6 2
5


7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A 



d) cos(3x - 15o) = cos150o

e) tan(2x + 3) = tan

g) sin3x - cos2x = 0

2 

h) sin x 
  cos 3x
3 


j) cos

x
  cos(2 x  30 o )
2

 

m) sin x    1
 12 
p) cos(  5x)  1

3

k) cos2x = cosx

 1

n) sin12 x   
6 2

q) tan(3  6 x)  1


 1
 5

s) tan  2 x  
t) cot 
 12 x   3
3
4

 6


2
v) sin 12  3x  
w) cos2 x  a   sin 3x
2


 5

 x
y) tan  x   cot 
4

 6

II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
-7-

f) cot(45o - x) =

3
3

5 



i) sin 3x 
  cos 3x    0
6 

4






l) sin  x   sin 2 x  
4
4



3

o) cos 6 x   
2 2


r) tanx  6   3

3
 12

 5x  
u) cot 
 7
 3
x) sin(3x  b)  cos 5x

 7

 7x 
z) cot 3  x   tan
 12



GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a) 3 sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0
b) 6 cos 2 x  5 sin x  7  0 c) cos 2 x  5 sin x  3  0
d) cos 2 x  cos x  1  0
e) 6 sin 2 3x  cos 12 x  14
f) 4 sin 4 x  12 cos 2 x  7
g) 8 sin 2 x  cos x  5
2. Giải các phương trình lượng giác:




a) 3 cot 2  x    1
b) tan 2  2 x    3
5

4


2
c) 7 tan x  4 cot x  12
d) cot x  ( 3  1) cot x  3  0
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2  b 2  c 2 .
a
b
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho a 2  b 2 rồi đặt: cos  
; sin  
.
a2  b2
a2  b2
Đưa phương trình về dạng: cos  sin x  sin  cos x  sin   sin( x   )  sin  . Giải ra tìm được x.
B. Bài tập
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) y  (2  3 ) sin 2 x  cos 2 x
b) y  (sin x  cos x) 2  2 cos 2 x  3 sin x cos x
cos x  2 sin x  3
c) y  (sin x  2 cos x)(2 sin x  cos x)  1
d) y 
2 cos x  sin x  4
2. Giải các phương trình sau:
9
a) 4 sin x  3 cos x  5
b) 3 cos x  2 3 sin x 

2
c) 3 sin 2 x  2 cos 2 x  3
d) 2 sin 2 x  3 cos 2 x  13 sin 14 x
e) 4 sin x  3 cos x  2
f) sin x  3 cos x  1
 3 
3. Tìm các giá trị của x   
;   thoả mãn phương trình sau với mọi m:
 4

2
2
2
m sin x  m sin x  m cos x  m cos 2 x  cos x  sin x
4. Tìm các giá trị của  để phương trình:
a) (cos   3 sin   3) x 2  ( 3 cos   3 sin   2) x  sin   cos   3  0 có nghiệm x = 1.
b) (2 sin   cos 2   1) x 2  ( 3 sin  ) x  2 cos 2   (3  3) sin   0 có nghiệm x = 3 .
5. Giải phương trình:
5
8  0.
a) 12 cos x  5 sin x 
12 cos x  5 sin x  14
b) (4 sin x  5 cos x) 2  13(4 sin x  5 cos x)  42  0
6
6
c) 3 cos x  4 sin x 
3 cos x  4 sin x  1
IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d

- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu cos x  0 . Chia cả 2 vế của phương trình cho cos 2 x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối
với tanx: (a  d ) tan 2 x  b tan x  c  d  0 .
B. Bài tập
-8-


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

1. Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x  2 sin x cos x  3 cos 2 x  0
b) 6 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  2
c) sin 2 x  2 sin 2 x  2 cos 2 x
d) 2 sin 2 2 x  2 sin 2 x cos 2 x  cos 2 2 x  2


 3

e) 4 sin x cos x    4 sin(  x) cos x  2 sin
 x  cos(  x)  1
2

 2

1
f) 3 sin 2 x  4 sin x cos x  2 cos 2 x 
2
2. Giải các phương trình sau:

a) 2 sin 3 x  4 cos 3 x  3 sin x
x
x
x
x
x
 3 x 
x 
b) 3 sin 2 cos
   3 sin 2 cos  sin cos 2  sin 2   
2
2
2
2
2
 2 2
2 2
3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
sin 3 x  sin x sin 2 x  3 cos 3 x  0 . Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c .
Cách giải: Đặt t  sin x  cos x , ta có: | t | 2 .  t 2  1  2 sin x cos x  1  sin 2 x . Thay vào phương
trình rồi giải ra t.
B. Bài tập
1. Giải phương trình sau:
a) cot x  tan x  sin x  cos x
b) 2 sin x  cot x  2 sin 2x  1
3
3

c) cos x  sin x  1
d) | sin x  cos x | 4 sin 2 x  1
3
e) 1  sin 3 2 x  cos 3 2 x  sin 4 x
f) (1  cos x)(1  sin x)  2
2
VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
sin 4 x  cos 4 x 1
3x
 (tan x  cot x)
a) cos 2 x  cos  2  0
b)
sin 2 x
2
4
2
2
c) 4 cos x  3 tan x  4 3 cos x  2 3 tan x  4  0 d) 1  sin x  1  sin x  2 cos x
1
2
5
 x  7
e) sin x cos 4 x  sin 2 2 x  4 sin 2    
f) tan x 
 0
2
cos x 2
 4 2 2
3

2
g) (4  6m) sin x  3(2m  1) sin x  2(m  2) sin x cos x  (4m  3) cos x  0 (Biện luận theo m).
h) 1  tan 2 x  2 tan x tan 2 x

i) sin 4 x  2 cos 2 x  1

j) 8 cos 4 x  cos 4 x  1

k) 1  cos 2 x  sin x  2 cos 2

3
2
n) tan x  3 cot x  4(sin x  3 cos x)
p) sin 4 x  tan x

m) tan x  tan 2 x  sin 3x cos x

r) 3(cot x  cos x)  5(tan x  sin x)  2

s) cos 7 x  3 sin 7 x   2

t) tan x  2 2 sin x  1

u) 2 cos 3 x  sin 3x

l) sin 2 2 x  sin 2 4 x 

v) tan 2 x 

1  cos x

1  sin x

x
2

o) sin 3 x  cos 3 x  cos 2 x
q) sin 4 x  4 sin x  (cos 4 x  4 cos x)  1

5
w) sin 6 x  cos 6 x  (sin 4 x  cos 4 x)
6

-9-


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363
sin 2 x  cos 2 x
x)
 cos 4 4 x

 

tan  x  tan  x 
4
 4

2
z) cos 2 x  sin x  2 cos x  1  0
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
1  tan x

a)
 1  sin 2 x
1  tan x
c) 9 sin x  6 cos x  3sin 2x  cos 2x  8
sin 5 x
e)
1
5 sin x
4

4

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

sin x  cos 6 x
1
y)

4

 

tan  x  tan  x 
4
 4

6

1
1



b) 2 2 sin  x  

4
 cos x sin x
d) (cos 2 x  cos 4 x) 2  6  2 sin 3x
x
3x
x
3x 1
f) cos x cos cos  sin x sin sin

2
2
2
2 2
 
g) sin 2 4 x  cos 2 6 x  sin(10,5  10 x) . Tìm các nghiệm thuộc khoảng  0; 
 2
5
h) sin 8 x  cos 8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos 2 x
i) 3 sin 2 x  2 cos 2 x  2 2  2 cos 2 x
4
3
1
j) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x 
k) 3 sin x  cos x 
2
cos x

x
x
x 1
l) cot 2  tan 2  2 tan 2
m) 2 cos x  2 sin10 x  3 2  2 cos 28x sin x
n) sin 2x  2 cos 2x  1  sin x  4 cos x
o) sin 2 x  2 tan x  3
1
2 (cos x  sin x)
1

p) ( 1  cos x  cos x ) cos 2 x  sin 4 x
q)
tan x  cot 2 x
cot x  1
2


r) sin 3   x   2 sin x
s) 8 2 cos 6 x  2 2 sin 3 x sin 3x  6 2 cos 4 x  1  0
4

3
t) cos x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x
u) 3  4 cos 2 x  sin x(2 sin x  1)
v) 4 3 sin x cos x cos 2 x  sin 8x
w) tan 2 x cot 2 2 x cot 3x  tan 2 x  cot 2 2 x  cot 3x
4x
cos
 cos 2 x





3
0
x)
y) sin 3x    sin 2 x sin  x 
2
4

4

1  tan x
z) sin x  cos x  cos 2 x
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 9cot x  3cot x  2  0
b) cos 2 x  sin x  1  0
c) sin 3x  2 cos 2x  2  0
d) sin 3x  sin x  sin 2x  0
e) cos 2 x  3 cos x  2  0
f) 3 cos 4 x  2 cos 2 3x  1
g) 1  3cos x  cos 2x  cos 3x  2 sin x sin 2x
h) tan x  tan 2x   sin 3x cos 2x
1

cos
x
3
i) tan 2 x 

j) 1  sin 3 2 x  cos 3 2 x  sin 4 x
cos x
2
k) tan x  cot x  2(sin 2 x  cos 2 x)
l) 2 2 (sin x  cos x) cos x  3  cos 2 x


9
sin 2 x
 2 cos x  0
m) sin 4 x  sin 4 ( x  )  sin 4 ( x  ) 
n)
4
4
8
1  sin x
o) cos 3 x  sin x  3sin 2 x cos x  0
p) 2 sin 3 x  cos 2 x  sin x
q) 3  cos x  1  cos x  2
r) sin x cos x  2 sin x  2 cos x  2
1
s) cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x 
t) sin 2 x  sin 2 3x  cos 2 2 x  cos 2 4 x
16
u) sin 3x(cos x  2 sin 3x)  cos 3x(1  sin x  2 cos 3x)  0
3(1  sin x)
 x 
 8 cos 2     0
v) 3 tan 3 x  tan x 
2

cos x
 4 2
- 10 -


GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363
w) 2 cos x  sin 3x
x)
2
y) cos 2 x  cos x 1  tan x
z)
4. Giải các phương trình sau:
1 

a) tan x  sin 2 x  cos 2 x  2 2 cos x 
b)
0
cos x 

c) 2 cos 2 x  sin 2 x cos x  sin x cos 2 x  2(sin x  cos x)
d) tan x sin 2 x  2 sin 2 x  3(cos 2 x  sin x cos x)
e)
1
2
f) 48 
g)
 2 (1  cot 2 x cot x)  0
4
cos x sin x
3

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

cos 2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  4  0
3 cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2 ) cos x
4(sin 3x  cos 2 x)  5(sin x  1)

sin 2 x(cot x  tan 2 x)  4 cos 2 x

sin 6 x  cos 6 x  cos 4 x
x
2

h) cos 3 x  cos 2 x  2 sin x  2  0

i) 2  cos x  2 tan

j) cos 3x  2  cos 2 3x  2(1  sin 2 2 x)
l) cot x  tan x  sin x  cos x
1
n) 2 cos 2 x  8 cos x  7 
cos x
p) 9 sin x  6 cos x  3sin 2x  cos 2x  8

k) sin x  sin 2x  sin 3x  0
m) sin 3x  cos 2x  1  2 sin x cos 2x
o) cos 3x cos 3 x  sin 3x sin 3 x  cos 3 4 x 
q) sin 3 x cos 3x  cos 3 x sin 3x  sin 3 4 x

r) sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x

sin 2 2 x  cos 4 2 x  1
s) 2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  1
t)
0
sin x cos x
u) 2 sin 3 x  cos 2 x  cos x  0
v) 1  cos 3 x  sin 3 x  sin 2 x
w) 1  cos x  cos 2x  cos 3x  0
x) cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  0
2
3
y) cos x  sin x  cos x  0
z) cos x sin x | cos x  sin x | 1
5. Giải các phương trình sau:
a) 2  cos 2 x  5 sin x
b) sin 3 x  cos 3 x  2(sin 5 x  cos 5 x)
c) sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x
e) | sin x  cos x |  | sin x  cos x | 2
13
g) cos 6 x  sin 6 x  cos 2 2 x
8
i) sin 3x  cos x cos 2 x(tan 2 x  tan 2 x)
k) 4 cos 3 x  3 2 sin 2 x  8 cos x



d) 8 cos 3  x    cos 3x
3

f) 2 sin x  cot x  2 sin 2x  1

h) 1  3 tan x  2 sin 2 x
j) 9sin x  9cos x  10
2

2

x2
 cos x
2
sin 3x sin 5 x

n)
3
5
l) 1 



m) sin 3  x    2 sin x
4

VII. Hệ phương trình lượng giác
1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
1
1
tan x tan y 
sin x cos y 
3
a)
b)

4

3
tan
x

tan
y
x y 
3
sin 2 x  cos x cos y
sin x  sin y  2
d)
e)
cos 2 x  sin x sin y
cos x  cos y  2

- 11 -

x y z 
c) tan x tan y  3
tan y tan z  6
f)

tan y  tan x  tan x tan y  1
cos 2 y  3 cos 2 x  1

1
4

GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363



CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

3
tan x  cot x  2 sin   y 
sin
x

cos
y

4

2
g)
h)

5


tan y  cot y  2 sin  x  
cos 2 x  sin 2 y 
4
4

VIII. Các dạng bài tập khác

1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1  5 sin x  2 cos 2 x  0 thoả mãn cos x  0 .
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x .
3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  m . Nếu m = 2 thì
tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
A
B
C
4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A  sin B  sin C  2 sin sin  2 sin . Chứng minh
2
2
2
o
rằng số đo của góc C là 120 .
A
B
3
C
5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan  tan  1 . Chứng minh rằng:  tan  1 .
2
2
4
2
6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: 2  x 2 sin x  2  x 2 cos x | a  1 |  | a  1 | .
7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
1
1
1


 (cot A  cot B  cot C )  3

sin A sin B sin C
8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  0 thì tam
giác đó là tam giác vuông.
9. Chứng minh rằng trong tam giác có: (b 2  c 2 ) sin(C  B)  (c 2  b 2 ) sin(C  B) thì tam giác đó vuông
hoặc cân.
  
10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  5 cos x  cos 5x trên  ;  .
 4 4
m sin x  2 m cos x  2

11. Cho phương trình:
m  2 cos x m  2 sin x
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi m  0 và m   2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20 ,30 ] .
A
C
12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2b  a  c  cot cot  3 .
2
2
A
B
13. Cho tam giác ABC có: 5 tan tan  1 . Chứng minh rằng: 3c  2(a  b) .
2
2
14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f ( x)  2 sin 2 x  4 sin x cos x  5 .
15. Tìm các giá trị x  (0,2 ) sao cho cos x  sin x  cos 2x  0 .
2 sin x  1
t.
16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x  [0,  ] :
sin x  2

a2  b2  c2
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh: cot A  cot B  cot C 
.
4S
18. Chứng minh với 0  x 


2

3

thì: 2 2 sin x  2 tan x  2 2

x 1

.

a cos A  b cos B  c cos C 1
 . Chứng minh tam giác ABC đều.
abc
2
1
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  2(1  sin 2 x cos 4 x)  (cos 4 x  cos 8 x) .
2
cot x
cot x
21. Giải phương trình sau: 9  3  2  0 .
19. Cho tam giác ABC thoả mãn:

- 12 -

GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

b
c
a
22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
. Chứng minh tam giác ABC vuông.


cos B cos C sin B sin C
23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A  cos B  cos C  1.
24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B  b cos A  a sin A  b sin B .
C
25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A  tan B  2 cot thì tam giác ABC cân.
2
1
26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: y  sin x  cos 2 x  .
2
2
(n )
27. Cho y  sin 5x . Tính y .
3 sin x
28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  1 
.
2  cos x
2x

4x
29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: y  sin
 cos
 1.
2
1 x
1 x2
 
30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong  0;  : m cos 2 2 x  4 sin x cos x  m  2  0 .
 4
4
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  cot a  cot 4 b  2 tan 2 a tan 2 b  2 .
32. Với giá trị nào của a thì phương trình: 1  sin 2 na  cos x có nghiệm duy nhất.
 
33. Tìm m để bất phương trình: 2 sin 2 x  m cos x  3  0 nghiệm đúng x   0;  .
 2
5
34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: cos 2 A  3 (cos 2 B  cos 2C )   0 .
2
AB
35. Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A  btanB  (a  b)tan
. Chứng minh tam giác ABC cân.
2
36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 .
bc
37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B  cos C 
thì tam giác ABC vuông.
a
38. Cho phương trình: cos 3 x  sin 3 x  k sin x cos x .
a) Giải phương trình với k  2 .

b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
3
39. Giải và biện luận phương trình: 2m(cos x  sin x)  2m 2  cos x  sin x  .
2
2
40. Cho phương trình: cos 2 x  m(cos x) 1  tan x .
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.

1
1

6
41. Chứng minh rằng x  (0; ) ta có: cos x  sin x  tan x  cot x 
2
sin x cos x
42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  sin 20 x  cos 20 x .
A
B
C
A
C
43. Chứng minh rằng nếu cot , cot , cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì cot . cot  3 .
2
2
2
2
2
1
1

 

44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 
với x   0;  .
sin x cos x
 2
C
45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a  b  tan (a tan A  b tan B) thì nó cân.
2
46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f ( x)  sin 4 x  cos 4 x  2m sin x cos x .

- 13 -