4 đề THI THỬ đại học môn TOÁN có đáp án của TRƯỜNG LƯƠNG THẾ VINH HN

đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Môn thi: Toán - Lần thứ 1

Năm học 2014 - 2015

Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s y = x 4 + ( m 3) x 2 + 2 m

m

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
-------------- Ngày 8.2.2015 --------------

(1), vi m l tham s thc.

a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s (1) khi m = 1 .

N.
co

b) Tỡm m ủ ủ th hm s (1) ct trc honh ti bn ủim phõn bit cú honh ủ nh hn 2.
Cõu 2 (1,0 ủim).

a) Gii phng trỡnh 3cos 2 x + sin x 1 = cos x + sin 2 x sin 2 x .

1
b) Gii phng trỡnh log 27 x 3 + log 3 ( x + 2) = 1 + log 3 ( 4 3 x ) .
2

e

Cõu 3 (1,0 ủim). Tớnh tớch phõn

I =

HV

1

Cõu 4 (1,0 ủim).

x +1
ln xdx.
x2

1 i
= 5 i . Tỡm mụủun ca s phc w = 1 + z + z 2 .
1+ i
b) Cú hai thựng ủng tỏo. Thựng th nht cú cú 10 qu (6 qu tt v 4 qu hng). Thựng th hai cú 8
a) Cho s phc z tha món ủiu kin

(2 + i) z +

qu (5 qu tt v 3 qu hng). Ly ngu nhiờn mi thựng mt qu. Tớnh xỏc sut ủ hai qu ly ủc cú

AT

ớt nht mt qu tt.

Cõu 5 (1,0 ủim). Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho hai ủim A(1; 1;2), B(3;0; 4) v mt

phng ( P ) : x 2 y + 2 z 5 = 0 . Tỡm ta ủ giao ủim ca ủng thng AB v mt phng ( P ) . Lp
phng trỡnh mt phng (Q) cha ủng thng AB v vuụng gúc vi mt phng ( P ).

M

Cõu 6 (1,0 ủim). Cho hỡnh chúp S . ABCD cú ủỏy l hỡnh ch nht, AB = a, AD = 2a . Tam giỏc SAB

cõn ti S v nm trong mt phng vuụng gúc vi ủỏy. Gúc gia ủng thng SC v mt phng
( ABCD ) bng 450 . Gi M l trung ủim ca SD . Tớnh theo a th tớch ca khi chúp S . ABCD v

w.

khong cỏch t ủim M ủn mt phng ( SAC ) .
Cõu 7 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ Oxy , cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 15. ng

ww

16 13
thng AB cú phng trỡnh x 2 y = 0 . Trng tõm ca tam giỏc BCD l ủim G ; . Tỡm ta ủ
3 3
bn ủnh ca hỡnh ch nht bit ủim B cú tung ủ ln hn 3.

2 x3 3 + 2 y 2 + 3 y = 2 x y + y
Cõu 8 (1,0 ủim). Gii h phng trỡnh
2
x y + 3 + y = 0

( x, y ).

(

)

Cõu 9 (1,0 ủim). Cho cỏc s thc a, b khụng õm v tha món: 3 ( a + b ) + 2 ( ab + 1) 5 a 2 + b 2 .

Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc

(

)

T = 3 a + b 3 a 2 + b 2 + 2( a + b) ab .

---------------- Ht ---------------www.MATHVN.com
- www.DeThiThuDaiHoc.com
Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi
thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: ..; S bỏo danh:


Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

m

Môn thi: Toán Lần thứ 1
--------------- ỏp ỏn cú 04 trang --------------

Nm hc 2014 2015

x

N.
co

Cõu
ỏp ỏn
1
a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s y = x 4 2 x 2 + 1
(2,0ủ)
Tp xỏc ủnh: D = R . lim y = +; lim y = +
x +

o hm: y ' = 4 x 4 x ; y ' = 0 x = 0 hoc x = 1 .
3

Cỏc khong ủng bin: ( 1;0 ) ; (1; + ) . Khong nghch bin: ( ; 1) ; ( 0;1)

HV

Cc tr: Hm s ủt cc tiu ti x = 1 , yCT = 0 ; ủt cc ủi ti x = 0 , yC = 1.
Bng bin thiờn:
x

-1

0
1
+
y'
0
+
0
0
+
y
+
1
+

0
0
th: (Hs cú th ly thờm ủim (2;9); (2;9) )
b) (1,0 ủim) Tỡm m ủ ủ th (1) ct trc honh ti bn ủim phõn bit cú honh ủ nh hn 2.
Phng trỡnh honh ủ giao ủim x 4 + ( m 3) x 2 + 2 m = 0 (1)
(2)

AT

t t = x 2 0 t 2 + ( m 3) t + 2 m = 0

(1) cú 4 nghim phõn bit thỡ (2) cú 2 nghim dng phõn bit > 0, S > 0, P > 0
m < 2; m 1 .
iu kin: Phng trỡnh (2) phi cú nghim tha món ủiu kin 0 < t1 , t2 < 4
Phng trỡnh (2) cú t1 = 1 (tha món), t2 = 2 m
iu kin: 2 m < 4 m > 2

ỏp s: 2 < m < 2, m 1 .

M

2cos x 1 = 0 cos x =

ww



w.

( 2cos x 1)( cos x sin x ) = 0

cos x sin x = 0 tan x = 1 x =


4


4

+ k , x =

b) (0,5 ủim) Gii phng trỡnh log 27 x 3 +

0,25

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

+ k , ( k )

1

x = + k 2 , k
2
3

Vy phng trỡnh ủó cho cú nghim: x =

0,25

0,25

2
a) (0,5 ủim) Gii phng trỡnh 3cos 2 x + sin x 1 = cos x + sin 2 x sin 2 x .
(1,0ủ)
Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi 2cos 2 x cos x + sin x 2sin x cos x = 0



im

3

0,25

+ k 2 , k .

1
log 3 ( x + 2) = 1 + log 3 ( 4 3 x )
2

4
. Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi
3
log 3 x + log 3 ( x + 2 ) = log 3 3 + log 3 ( 4 3x ) log 3 x ( x + 2 ) = log 3 3 ( 4 3 x )

iu kin: 0 < x <

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

1/4


 x = 1(tm)
⇔ x ( x + 2 ) = 3 ( 4 − 3 x ) ⇔ x 2 + 11x − 12 = 0 ⇔ 
 x = −12( L)
ðáp số: x = 1 .

e

I =∫
1

e

x +1
ln xdx.
x2

m

3
(1,0ñ) Tính tích phân
e

N.
co

1
1
I = ∫ ln xdx + ∫ 2 ln xdx = A + B
x
x
1
1
e

0,25

e

1
A = ∫ ln xdx = ∫ ln xd (ln x)
x
1
1
e 1
1
A = ln 2 x = .
1 2
2
e

1
1
1
1
ln xdx; ðặt u = ln x ⇒ u ' = ; v ' = 2 ⇒ v = −
2
x
x
x
x
1
e e 1
e 1e
1
1

B = − ln x + ∫ 2 dx = − ln x −
1 1x
1 x1
x
x

HV

B=∫

AT

e−2
1 1 
2
B = − −  − 1 = − + 1 =
e e 
e
e
1 e − 2 3e − 4
x +1
=
I = A+ B = +
. ( I ∼ 0, 764) (Hs cũng có thể tính ngay u = ln x; v ' = 2 )
2
e
2e
x
4
1− i

= 5 − i . Tìm môñun của số phức w = 1 + z + z 2 .
(1,0ñ) a) (0,5 ñiểm) Cho ( 2 + i ) z +
1+ i
5
Phương trình ñã cho tương ñương với ( 2 + i ) z = 5 ⇔ z =
= 2−i
2+i
Từ ñó w = 1 + z + z 2 = 6 − 5i . Suy ra | w |= 36 + 25 = 61 .

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25
0,25

M

b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có ít nhất 1 quả tốt

Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 quả tốt”, suy ra A là biến cố: “Cả 2 quả ñều hỏng”
Số biến cố ñồng khả năng: 10.8 = 80
Số cách chọn 2 quả hỏng: C41 .C31 = 4.3 = 12

w.

( )

Xác suất của biến cố A là: p A =

( )

3 17
=
.
Suy ra, xác suất của biến cố A là: p ( A ) = 1 − p A = 1 −
20 20
Cho A(1; −1; 2), B (3;0; −4) , ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0

ww

5
(1,0ñ)

12 3
=
80 20

0,25

0,25

ðường thẳng AB ñi qua ñiểm A và có vtcp AB = ( 2;1; −6 )

 x = 1 + 2t


Phương trình tham số của AB là  y = −1 + t
 z = 2 − 6t


(t ∈ R ) .

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

2/4


Gọi I = AB ∩ ( P ) ⇒ I ∈ AB ⇒ I (1 + 2t ; −1 + t ; 2 − 6t )

1
6
4 5 
Suy ra tọa ñộ giao ñiểm của AB và ( P ) là ñiểm I  ; − ;1 .
3 6 
I ∈ ( P) ⇒ (1 + 2t ) − 2(−1 + 6t ) + 2(2 − 6t ) − 5 = 0 ⇒ t =

Mặt phẳng (Q) qua A và có vtpt nQ =  AB, nP  , trong ñó nP là vtpt của ( P )



Ta có nP = (1; −2; 2 )
Suy ra  AB, nP  = (10;10;5 ) . Chọn nQ = ( 2; 2;1)



6
(1,0ñ)



N.
co



m

0,25

0,25

Phương trình mặt phẳng (Q) : 2( x − 1) + 2( y + 1) + 1( z − 2) = 0 ⇔ 2 x + 2 y + z − 2 = 0 .
Cho hình chóp S . ABCD có ñáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a ...
Gọi H là trung ñiểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ,

S

suy ra HC là hình chiếu của SC lên ( ABCD ) ⇒ SCH = 450 .

a 2 a 17
SH = HC = 4a +
=
4
2

2

HV

S ABCD = 2a 2

0,25

K

0,25

D

A

C

0,25

AT

I
a 3 17
1
1 a 17
2
E
H
VS . ABCD = .SH .S ABCD = .

.
.2a =
B
3
3
3 2
1
1
d ( M ,( SAC ) ) = d ( D,( SAC ) ) = d ( B,( SAC ) ) = d ( H ,( SAC ) )
2
2
Kẻ HI ⊥ AC , HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ AC ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( H ,( SAC ) ) = HK .

Kẻ BE ⊥ AC ⇒ HI =

0,25

1
1
1
1
1
1
5
2a
a
BE .
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ BE =

⇒ HI =
2
2
2
2
BE
BA
BC
a
4a
4a
5
5

ww

w.

M

1
1
1
5
4
89
a 17 a 1513
Từ ñó suy ra
=
+

= 2+
=
⇒ d ( M ,( SAC ) ) =
=
.
2
2
2
2
2
89
17 a
HK
HI
HS
a 17 a
89
7
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15…
(1,0ñ)
A
N
10
3 10
⇒ BC = .
= 5 ⇒ AB = 3 5
Ta có d (G, AB) =
2 3 5
3 5
I

ðường thẳng d qua G và vuông góc với AB ⇒ d : 2 x + y − 15 = 0
G
1
Gọi N = d ∩ AB ⇒ N ( 6;3) . Suy ra NB = AB = 5
K
D
3
b = 2( L)
Gọi B ( 2b; b ) ∈ AB ⇒ NB 2 = 5 ⇔ b 2 − 6b + 8 = 0 ⇒ 
⇒ B ( 8; 4 )
=
b
4


0,25

B

0,25

0,25
C

0,25

Ta có BA = 3BN ⇒ A ( 2;1)

3
AG ⇒ C ( 7;6 ) . CD = BA ⇒ D (1;3)

2
ðáp số: A ( 2;1) , B ( 8; 4 ) , C ( 7;6 ) , D (1;3) .
AC =

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

3/4


8
 2 x3 − 3 + 2 y 2 + 3 y = 2 x y + y (1)
(1,0ñ) Giải hệ phương trình 

 x − y + 3 + y = 0
2

( x, y ∈ ℝ ).

(2)

⇒ x − 2x + 2x y − y = 0 ⇔ ( x
•

3

) −( y)

2 2

2

(

)

− 2x x − y = 0 ⇔ x − 2x + y
2

2

)( x

y = x 2 : (2) ⇔ x 2 + 3 = 2 x 2

⇔ 4 x 4 − x 2 − 3 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇒ ( x; y ) = (1; 1),(−1; 1) .
•

(

y+3− y

)

2

= x4

2

)

0,25

(2) ⇔ 3 + ( 2 x − x 2 ) = 2 x
2

y = 2 x − x 2 : (3)

(

HV

x ≥ 0
x = 1
⇔ 4
⇒ ( x − 1)( x 3 − 3 x 2 − 3 x − 3) = 0 ⇔  3
3
2
x − 4x + 3 = 0
 x − 3x − 3x − 3 = 0
x = 1 ⇒ y = 1.
x3 − 3 x 2 − 3 x − 3 = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) − 3x − 3 = 0 (4)
Từ (3) suy ra 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 ⇒ (4) vô nghiệm.
ðáp số: ( x; y ) = (1; 1), (−1; 1).
9
(1,0ñ)

0,25

− y =0

N.
co

4

(

m

ðiều kiện: y ≥ 0, (1) ⇒ 2 x3 − 2 x y + y = y + 3 − 2 y ( y + 3) + y =

)

(

0,25

0,25

)

a, b ≥ 0 : 3 ( a + b ) + 2 ( ab + 1) ≥ 5 a 2 + b 2 . Tìm max: T = 3 a + b − 3 a 2 + b 2 + 2 ( a + b ) − ab
Ta có 3( a + b) + 2(ab + 1) ≥ 5(a 2 + b 2 ) ⇔ 2 ( a + b ) + 3 ( a − b ) ≤ 3 ( a + b ) + 2
2

2

Vì 3 ( a − b ) ≥ 0 ∀a, b ⇒ 2 ( a + b ) ≤ 3 ( a + b ) + 2
2

2

1
≤ t ≤ 2 . Vì t ≥ 0 ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 .
2

AT

ðặt t = a + b ≥ 0 ⇒ 2t 2 − 3t − 2 ≤ 0 ⇒ −

2

2
a+b
Ta có T = ab + 3 a + b − 2 ( a + b ) + 1 − ( a + b − 1) ≤ 
 + 3 a + b − (a + b) +1
 2 
3
⇒ T ≤ − t 2 + 3 t + 1 = f (t ), t ∈ [ 0; 2]
4
3
3
3 t t −1
Ta có f '(t ) = − t +
=− .
2 2 t
2

t
f '(t ) = 0 ⇔ t = 1
13
f (0) = 1; f (1) = ; f (2) = 3 2 − 2
4
13
1
⇔ t =1⇔ a = b = .
Từ ñó: MaxT =
t∈[ 0;2]
4
2
2

2

ww

w.

M

2

Lưu ý:

0,25

0,25

0,25

0,25

-------------------- Hết --------------------

- Học sinh làm theo cách khác, nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña.
- Học sinh trình bày khác, song vẫn ñủ ý, không có dấu hiệu làm tắt thì không trừ ñiểm.

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

4/4


đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Môn thi: Toán - Lần thứ 2

Năm học 2014 - 2015

Cõu 1 (2,0 ủim). Cho cỏc hm s y = x 3 3mx 2 + 2 ( Cm ),

m

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
-------------- Ngày 29.3.2015 -------------y = x + 2 (d ) , vi m l tham s thc.

a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s ( Cm ) khi m = 1.

thng (d ) bng

co

b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ủ ( Cm ) cú hai ủim cc tr v khong cỏch t ủim cc tiu ca ( Cm ) ủn ủng
2.

(

)

a) Gii phng trỡnh sin x ( 2sin x + 1) = cos x 2cos x + 3 .
b) Gii phng trỡnh log 3 ( 3x 6 ) = 3 x .


I=

sin 2 x

dx.

HV

2

Cõu 3 (1,0 ủim). Tớnh tớch phõn

N.

Cõu 2 (1,0 ủim).

0 ( sin x + 2 )

2

Cõu 4 (1,0 ủim).
a) Gi z1 , z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z 2 4 z + 9 = 0 ; M , N ln lt l cỏc ủim biu din
z1 , z2 trờn mt phng phc. Tớnh ủ di ủon thng MN .
b) Mt t cú 7 hc sinh (trong ủú cú 3 hc sinh n v 4 hc sinh nam). Xp ngu nhiờn 7 hc sinh ủú

Cõu 5 (1,0 ủim).

AT

thnh mt hng ngang. Tỡm xỏc sut ủ 3 hc sinh n ủng cnh nhau.

Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho ủim I (3;6;7) v mt phng

( P) : x + 2 y + 2 z 11 = 0 . Lp phng trỡnh mt cu ( S ) tõm I v tip xỳc vi ( P ). Tỡm ta ủ tip

Cõu 6 (1,0 ủim).

Cho hỡnh lng tr ABC. A ' B ' C ' cú ủỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B ;

M

ủim ca ( P ) v ( S ) .

AB = a, ACB = 300 ; M l trung ủim cnh AC . Gúc gia cnh bờn v mt ủỏy ca lng tr bng 600 .

Hỡnh chiu vuụng gúc ca ủnh A ' lờn mt phng ( ABC ) l trung ủim H ca BM . Tớnh theo a th tớch

w.

khi lng tr ABC. A ' B ' C ' v khong cỏch t ủim C ' ủn mt phng ( BMB ').
Cõu 7 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D ; din tớch
hỡnh thang bng 6; CD = 2 AB , B(0; 4) . Bit ủim I (3; 1), K (2; 2) ln lt nm trờn ủng thng AD v

ww

DC . Vit phng trỡnh ủng thng AD bit AD khụng song song vi cỏc trc ta ủ.

x + x( x 2 3 x + 3) = 3 y + 2 + y + 3 + 1
Cõu 8 (1,0 ủim). Gii h phng trỡnh
3 x 1 x 2 6 x + 6 = 3 y + 2 + 1
Cõu 9 (1,0 ủim). Cho cỏc s thc x, y dng v tha món x y + 1 0 .
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc

T=

x + 3y2
2

4



2x + y2

5x + 5 y 2

.

( x, y ).

x +y
---------------- HT ---------------www.MATHVN.com
- www.DeThiThuDaiHoc.com
Thớ sinh khụng ủc s dng
ti liu. Cỏn b coi
thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: ..; S bỏo danh:


đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

m

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Môn thi: Toán Lần thứ 2

--------------- ỏp ỏn cú 04 trang --------------

Nm hc 2014 2015

x

x +

o hm: y ' = 3 x 6 x ; y ' = 0 x = 0 hoc x = 2 .
2

HV

Cc tr: Hm s ủt cc tiu ti x = 2 , yCT = 2 ;
ủt cc ủi ti x = 0 , yC = 2.
Bng bin thiờn:
x
0
2

+
y'
+
0
0
+
y
2
+

im

0,25

N.

Khong ủng bin: ( ;0 ) ; ( 2; + ) . Khong nghch bin: ( 0; 2 )

co

Cõu
ỏp ỏn
1
a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s y = x 3 3 x 2 + 2
(2,0ủ)
Tp xỏc ủnh: D = R . lim y = ; lim y = +

0,25

0,25

-2

th: (Hs cú th ly thờm ủim (1; 2); (1; 0); (3; 2) ).

0,25

b) (1,0 ủim) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ủ ( Cm ) cú k/c ủim cc tiu ca ( Cm ) ủn (d ) bng

2.
0,25

Ta ủ hai ủim cc tr: A(0; 2) v B(2m; 2 4m3 ) .

0,25

m < 0 : A l ủim cc tiu. Khi ủú d ( A, d ) = 0 2 (loi).
m > 0 : B l ủim cc tiu. Khi ủú:
2m3 m = 1
m = 1(tm)
d ( B, d ) = 2 | 2m3 m |= 1 3

2m m = 1 m = 1(ktm)
ỏp s: m = 1 .

0,25

M

AT

y ' = 3 x 2 6mx = 3 x( x 2m) . y ' = 0 x = 0; x = 2m
iu kin ủ hm s cú hai cc tr l m 0 .

(

0,25

)

w.

2
a) (0,5 ủim) Gii phng trỡnh sin x ( 2sin x + 1) = cos x 2 cos x + 3 .
(1,0ủ)

Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi

sin x 3 cos x = 2 ( cos 2 x sin 2 x ) sin x 3 cos x = 2cos 2 x

1
3
sin x
cos x = cos 2 x
2
2

0,25

ww





sin x = sin 2 x .
3

2


5
2
+k
,(k ) .
3 2

18
3

5
x = + 2 x + k 2 x =
+ k 2 , ( k ) .
3 2
6
5
2
5
+k
,x =
+ k 2 , k .
Vy phng trỡnh ủó cho cú nghim: x =
18
3
6


x



=



2 x + k 2 x =

0,25

1/4

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


(

)

b) (0,5 ñiểm) Giải phương trình log 3 3x − 6 = 3 − x
ðiều kiện: x > log 3 6 . Phương trình ñã cho tương ñương với

t = 9
⇔
t = −3(l )
ðáp số: x = 2 .

co

Với t = 9 ⇒ 3x = 9 ⇔ x = 2 (tmñk).

π
2

I =∫

Tính tích phân

0

π

( sin x + 2 )

2

dx.

π

2

I=∫
0

sin 2 x

2

sin 2 x

( sin x + 2 )

2

dx = ∫
0

2sin x cos x

( sin x + 2 )

2

dx.

1

I = 2∫
0

1

tdt

(t + 2)

2

= 2∫
0

t +2−2

(t + 2)

2

1

x=

π
2

⇒ t = 1.

HV

ðặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . x = 0 ⇒ t = 0;

N.

3
(1,0ñ)

27
27
. ðặt t = 3x > 0 ⇒ t − 6 =
⇔ t 2 − 6t − 27 = 0
x
t
3

m

3x − 6 = 33− x ⇔ 3x − 6 =

1
1 1
I = 2 ln(t + 2) + 4
0
t+2 0

0,25

( I ≈ 0.144) .

0,25

4
a) (0,5 ñiểm) Cho z 2 − 4 z + 9 = 0 . M, N biểu diễn z1 , z2 . Tính ñộ dài ñoạn MN.
(1,0ñ)
Phương trình ñã cho có ∆ ' = 4 − 9 = −5 = 5i 2 nên có hai nghiệm z1,2 = 2 ± i 5 .

Từ ñó M (2; 5), N (2; − 5) ⇒ MN = 2 5 .

M

ðáp số: MN = 2 5 .
b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau.
Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
+ Số biến cố ñồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7!
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau:
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! cách sắp xếp.
Với mỗi cách sắp xếp ñó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp.

w.

0,25

0,25

AT

3 2
1 1
I = 2(ln 3 − ln 2) + 4  −  = 2 ln − .
2 3
3 2

5!.3! 1
= .
7
7!

0,25
0,25

0,25

( p ( A) ≈ 0.14) .

(Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567). Mỗi cách xếp lại có 3! cách
hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! = 1/7)
Cho ( P ) : x + 2 y + 2 z − 11 = 0 , I (3;6;7)

ww

5
(1,0ñ)

0,25

1

dt
dt
.
− 4∫
2
t+2
0
0 (t + 2)

dt = 2∫

+ Xác suất của biến cố A là: p ( A ) =

0,25

| 3 + 12 + 14 − 11|
=6.
3
Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3)2 + ( y − 6) 2 + ( z − 7) 2 = 36 .
Mặt cầu ( S ) tâm I có bán kính R = d ( I , ( P )) =

x = 3 + t


ðường thẳng (d ) qua I và vuông góc với ( P) có phương trình  y = 6 + 2t
 z = 7 + 2t


0,25

0,25
0,25
(t ∈ R) .

0,25

2/4

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


Giả sử M = (d ) ∩ ( P) ⇒ (3 + t ) + (12 + 4t ) + (14 + 4t ) − 11 = 0 ⇔ 9t + 18 = 0 ⇔ t = −2

⇒ M (1; 2;3) .

AH là hình chiếu vuông góc của AA ' lên ( ABC ) ⇒ A ' AH = 60
VABC . A ' BC ' = A ' H .S ABC

0

B'

1

1
a2 3
.
S ABC = .BA.BC = .a.a 3 =
2
2
2
3a a 2 3 3a 3 3
.
⇒ VABC . A ' BC ' = .
=
4
2
2

co

a 3
3a
.
⇒ A' H =
2
2

N.

AC = 2a, MA = MB = AB = a ⇒ AH =

A

d ( C ',( BMB ') ) = d ( C ,( BMB ') ) = d ( A,( BMB ') ) =

3VA. BMB '
.
S BMB '

3

0,25

H

Q

A'

B

HV

Suy ra

1
1
a2 3
.
BB '.BM = .a 3.a =
2
2
2

0,25

C

M

1
a 3
.
VA.BMB ' = VB '. ABM = VABC . A ' BC ' =
6
8
Do BM ⊥ ( AHA ') nên BM ⊥ AA ' ⇒ BM ⊥ BB ' ⇒ ∆BMB ' vuông tại B
⇒ S BMB ' =

C'

m

6
Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ñáy ABC là tam giác vuông tại B ; AB = a, ACB = 300 ;
(1,0ñ)
A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' H là ñường cao của hình lăng trụ.
A'

0,25

3a 3 3 a 2 3 3a
d ( C ',( BMB ') ) =

:
=
.
4
8
2

C'

0,25

P

B'

0,25

C

A
M
H

AT

B
a 3
3a
0
(Cách 2: d ( A, ( BMB ')) = AE = AH .sin AHE =

.sin 60 =
).
2
4
7
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích hình
(1,0ñ) thang bằng 6; CD = 2 AB , B(0; 4) . I (3; −1), K (2; 2) . Viết phương trình ñường thẳng AD.
E

0,25

0,25
K

C


b = 1

| − 3 + 5b| |b + 1|
5
2
.
=6⇔3
.
= 6 ⇔| 5b − 3 | . | b + 1|= 2(b + 1) ⇔ b = −
3
b 2 + 1 b2 + 1

−1 ± 2 2


b =
7

ww

S ABCD

B

w.

M

Vì AD không song song các trục tọa ñộ nên gọi véc tơ pháp tuyến của AD là
A
n = (1; b), b ≠ 0; suy ra: Phương trình AD :1( x − 3) + b( y + 1) = 0 .
Phương trình AB : bx − ( y − 4) = 0 .
I
AB + CD
3 AB
3
S ABCD =
. AD =
. AD = .d ( B, AD).d ( K , AB )
2
2
2
3 | − 3 + 5b| |2b + 2|
.

= .
.
2 b2 + 1 b2 + 1
D

ðáp số: x + y − 2 = 0;3 x − 5 y − 14 = 0;7 x − (1 + 2 2) y − 2 2 − 22 = 0; 7 x − (1 − 2 2) y + 2 2 − 22 = 0 .

8
x +
(1,0ñ) Giải hệ phương trình 


x( x 2 − 3x + 3) =

3

y + 2 + y + 3 +1

3 x − 1 − x − 6 x + 6 = y + 2 + 1
2

3

(1)

0,25

0,25

( x, y ∈ ℝ).

(2)
3/4

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


ðiều kiện: 1 ≤ x ≤ 3 − 3; x ≥ 3 + 3; y ≥ −3

(

y+2 +

3

3

y+2

)

3

0,25

+1

Xét hàm f (t ) = t + t + 1, t ≥ −1 . Ta có f '(t ) = 1 +

3t 2

3

2 t3 +1

m

(1) ⇔ x − 1 + ( x − 1)3 + 1 =

> 0 ∀t > −1 , suy ra f (t ) ñồng biến

co

∀t ≥ −1 , suy ra x − 1 = 3 y + 2 .

0,25

Thay vào (2) ta có 3 x − 1 − x 2 − 6 x + 6 = ( x − 1) + 1 ⇔ ( x − 1) + 1 + ( x − 1)2 − 4( x − 1) + 1 = 3 x − 1
x − 1 > 0 ta ñược:

Do x = 1 không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho
1
1
+ x −1 − 4 +
= 3.
x −1
x −1

ðặt t = x − 1 +

0,25

t ≤ 3
1
5
> 2 ⇒ t + t2 − 6 = 3 ⇒ t2 − 6 = 3 − t ⇔  2
⇔t= .
2
2
x −1
t − 6 = (3 − t )

N.

x −1 +

HV

 x −1 = 2
 x = 5 ⇒ y = 62
5
1
5

Với t = ⇒ x − 1 +
= ⇒
⇔
.
 x −1 = 1
 x = 5 ⇒ y = − 127

2
x −1 2
4
64


2
5 127
).
ðáp số ( x; y ) = (5; 62), ( ; −
4
64

0,25

9
x + 3 y2
2x + y2
.
−
(1,0ñ) Cho x, y > 0 : x − y + 1 ≤ 0 . Tìm max: T =
2

x2 + y4

5x + 5 y

2

x 1 1 1 1 1 1

x
1
Ta có x ≤ y − 1 ⇒ 0 < 2 ≤ − 2 = −  −  ≤ . ðặt t = 2 ⇒ 0 < t ≤
y
y y
4  y 2
4
y
4

AT

x
+3
y2

0,25

x
+1
1 y2
t +3
1 2t + 1
1
Ta có T =
với 0 < t ≤ .
− .
⇒ T = f (t ) =
− .
2

2
4
5 x +1
t +1 5 t +1
 x 
2
+
1
y
 y2 
 
1 − 3t

1
1
− .
2
3
( t 2 + 1) 5 ( t + 1)

1
1
⇒ 1 − 3t ≥ ;
4
4

w.

Nhận xét: 0 < t ≤

M

f '(t ) =

2

(t

2

0,25
3

3
 17  17 17
+ 1) ≤   =
⇒
 16  16 16

1 − 3t

(t

2

+ 1)

3

≥

4
17
17
16

1
1
1
Và − .
> − . Do ñó f '(t ) >
2
5 (t + 1)
5

ww

4
1
− > 0.
17 5
17
16
1
6
 1  13
Từ ñó f (t ) ñồng biến ∀t ∈ (0; ] ⇒ f (t ) ≤ f   =
− .
4
17 25

4

=
ðáp số: MaxT
1
t∈(0; ]
4

13
6
1
−
⇔ t = ⇔ x = 1; y = 2 .
4
17 25

0,25

0,25

-------------------- Hết --------------------

4/4

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán - Lần thứ 3
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
-------------- Ngày 16.5.2015 --------------

Năm học 2014 - 2015

m

3x 2
.
x 1
a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ( C ) ca hm s ủó cho.
Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s y =

co

b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ủ ủng thng d : y = x + m ct ủ th ( C ) ti hai ủim phõn bit.
Cõu 2 (1,0 ủim).

3


5

v tan = 2 . Tớnh M = sin 2 + sin + + sin
2 .
2
2

2

2+i
b) Cho s phc z tha món h thc: (i + 3) z +
= (2 i ) z . Tỡm mụủun ca s phc w = z i .
i

N.

a) Cho gúc tha món: < <

Cõu 3 (0,5 ủim). Gii bt phng trỡnh: log 2 ( x 2) + log 0,5 x < 1 .


2

HV

Cõu 4 (1,0 ủim). Gii bt phng trỡnh: x x 2 > x3 4 x 2 + 5 x x3 3 x 2 + 4 .
Cõu 5 (1,0 ủim). Tớnh tớch phõn: I = x ( x + cos 2 x ) dx.
0

AT

Cõu 6 (1,0 ủim). Cho hỡnh chúp S . ABCD cú ủỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B ; AB = BC = a;
AD = 2a ; SA ( ABCD ) . Gúc gia mt phng ( SCD) v mt phng ( ABCD) bng 450 . Gi M l trung
ủim AD . Tớnh theo a th tớch khi chúp S .MCD v khong cỏch gia hai ủng thng SM v BD .
Cõu 7 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phng trỡnh ủng phõn giỏc
trong gúc A l d : x + y 3 = 0 . Hỡnh chiu vuụng gúc ca tõm ủng trũn ni tip tam giỏc ABC lờn
ủng thng AC l ủim E (1;4) . ng thng BC cú h s gúc õm v to vi ủng thng AC gúc

450 . ng thng AB tip xỳc vi ủng trũn (C ) : ( x + 2 ) + y 2 = 5 . Tỡm phng trỡnh cỏc cnh ca tam
giỏc ABC .

M

Cõu 8 (1,0 ủim).

2

Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho ủim A (1; 1;0 ) v ủng thng

x +1 y 1 z
=
=
. Lp phng trỡnh mt phng ( P ) cha A v d . Tỡm ta ủ ủim B thuc trc Ox
2
1
3
sao cho khong cỏch t ủim B ủn mt phng ( P ) bng 3 .

w.

d:

Cõu 9 (0,5 ủim). Trong ủt xột tuyn vo lp 6A ca mt trng THCS nm 2015 cú 300 hc sinh ủng
ký. Bit rng trong 300 hc sinh ủú cú 50 hc sinh ủt yờu cu vo lp 6A. Tuy nhiờn, ủ ủm bo quyn

ww

li mi hc sinh l nh nhau, nh trng quyt ủnh bc thm ngu nhiờn 30 hc sinh t 300 hc sinh núi
trờn. Tỡm xỏc sut ủ trong s 30 hc sinh chn trờn cú ủỳng 90% s hc sinh ủt yờu cu vo lp 6A.

Cõu 10 (1,0 ủim). Cho cỏc s thc a, b dng v tha món ab 1 .
1
1
32
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
T=
+

.
1+ a 1+ b
2a(1 + a) + 2b(1 + b) + 8
---------------- HT ---------------Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: ..;
S bỏo danh:
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

m

đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán Lần thứ 3

--------------- ỏp ỏn cú 06 trang --------------

Nm hc 2014 2015

co

Cõu
ỏp ỏn
1
3x 2
.
(2,0ủ) a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s y =

im

x 1

Tp xỏc ủnh: D = R \ {1} . lim y = 3; lim y = 3 suy ra tim cn ngang y = 3 .
x

x +

x 1

o hm: y ' =

1

( x 1)

2

< 0 x 1 .

Bng bin thiờn:
x

y'
y
3

0,25

0,25

HV

Hm s luụn nghch bin trờn khong ( ;1) v (1; + ) .
Hm s khụng cú cc tr.

N.

lim y = +; lim
y = suy ra tim cn ủng ca ủ th hm s l ủng thng x = 1 .


x 1+

+

1

+

-



0,25

3

th: (Hs cú th ly ủim (2; 4); (0; 2) ).
b) (1,0 ủim) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ủ d : y = x + m ct ủ th ( C ) ti hai ủim phõn bit.

AT

0,25

3x 2
= x + m ( x 1)
x 1
f ( x ) = x 2 + (2 m) x + m 2 = 0 (1)
> 0
K: (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1
f (1) 0

0,25

0,25

M

Phng trỡnh tng giao:

m 2 4m 12 > 0
m > 6; m < 2 .

0,25
0,25

w.

2
3


5

. Tớnh M = sin 2 + sin + + sin
2 .
(1,0ủ) a) (0,5 ủim) Cho tan = 2 . < <

ww

2

2
1
1
1

3
Ta cú
= 1 + tan 2 = 1 + 4 = 5 cos 2 = cos =
< x <
.
2
cos
5
2
5
1 1
.
M = sin 2 + cos + cos 2 = sin 2 + cos + 2cos 2 1 = cos 2 + cos =
5
5
b) (0,5 ủim) Cho (i + 3) z +

2



0,25
0,25

2+i
= (2 i ) z . Tỡm mụủun ca s phc w = z i .
i

1/6

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


( a , b ∈ R, i

Gọi z = a + ib

2

= −1) . Từ giả thiết ta có:

a = −1
a + 1 = 0
4

⇔ (a + 1) + (2a + 5b − 2)i = 0 ⇔ 
⇔
4 ⇒ z = −1 + i.
5
2a + 5b − 2 = 0
b = 5
26
1
.
=
5
25
Giải bất phương trình: log 2 ( x − 2) + log 0,5 x < 1 .
1
5

ðiều kiện: x > 2 .
Bpt ⇔ log 2 ( x − 2 ) − log 2 x < 1 ⇔ log 2

⇔ x − 2 < 2 x ⇔ x > −2 .

x−2
x−2
<1⇔
<2
x
x

N.

3
(0,5ñ)

co

Từ ñó: | z − i |=| −1 − i |= 1 +

Kết hợp ñiều kiện ta ñược nghiệm của bpt là x > 2 .

Bpt ⇔ x − x − 2 >

2
x ( x − 2 ) + 1 −



( x − 2)

2

( x + 1)

)

AT

Xét hàm f (t ) = t + 1 + t , t > 0 ⇒ f '(t ) = 1 +

1
1
.
>
x x−2

t

1+ t2

w.

⇔ x − 2 > x ⇔ x 2 − 5 x + 4 > 0 ⇔ x > 4; x < 1 .
Kết hợp x > 2 ⇒ x > 4 .
• 0 < x < 2:
2
(1) ⇔ ( x − 2) 1 − x + 1 > x 1 + ( x − 2 ) + 1  .



1
1
1
1
.
Chia 2 vế cho x .( x − 2) < 0 ta ñược: (1) ⇔
− 1+ <
− 1+
2
x x−2
x
x
−
2
(
)

ww

(

0,25

)

Xét hàm f (t ) = t − 1 + t 2 , t ∈ R ⇒ f '(t ) = 1 −

Từ ñó (1) ⇔

0,25

> 0 ∀t > 0 ⇒ f (t ) ñồng biến ∀t > 0

M

(1) ⇔

0,25

(loại).

2
x > 2 : (1) ⇔ ( x − 2) 1 + x + 1 > x 1 + ( x − 2 ) + 1 


1
1
1
1
Chia 2 vế cho x .( x − 2) > 0 ta ñược: (1) ⇔
.
+ 1+ >
+ 1+
2
x x−2
x
( x − 2)

2

0,25

0,25

2

(

0,25

( x ≥ 0) .

⇔ ( x − 2)+ | x − 2 | x + 1 > x 1 + ( x − 2 ) + 1  . (1)


• x = 2 : (1) ⇔ 0 > 2 2 (loại). x = 0 : (1) ⇔ −2 > −2
•

0,25

x3 − 4 x 2 + 5 x − x 3 − 3 x 2 + 4 .

HV

4
(1,0ñ) Giải bất phương trình: x − x − 2 >

m

(i + 3)(a + bi ) + 1 − 2i = (2 − i )(a − bi )

t
1+ t2

=

1+ t2 − t
1+ t2

0,25

> 0 ∀t ⇒ f (t ) ñồng biến ∀t .

1
1
1
. Trường hợp này vô nghiệm vì
<
< 0.
x−2
x x−2

ðáp số: x > 4 .

2/6

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Cách 2: ðK x ≥ 0 (mỗi dấu + ứng với ¼ ñiểm)
x = 0 không là nghiệm. Xét x > 0 :

)(

)

x +1 >

x2 − 5x + 4
x 3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3 x 2 + 4

x −1
> 0.

x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 
x −1

 x +1
⇔ f ( x) = ( x − 4 ) 
+
x
+
2

x +1
+ Xét g ( x ) =
+
x +2

x3 − 4 x 2 + 5 x + x 3 − 3 x 2 + 4
Nếu x ≥ 1 thì g ( x ) > 0 .

x3 − 3x 2 + 4 =

x + 1 > 1 . Ta có:

( x + 1)( x − 2 )

2

x +1
x +1 1
>
=
x +2 2 x +2 2

(1)

N.

+ Nếu 0 < x < 1: x + 1 > 1 ⇒

m

(

x −2

co

+ (1) ⇔

= x − 2 x +1 > x − 2 = 2 − x

π
2

Tính tích phân: I = x ( x + cos 2 x ) dx.

∫

AT

5
(1,0ñ)

0

π

HV

⇒ x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 > 2 − x
1− x
1− x
1− x
1− x
1
⇒

<
=
<
=
x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 2 − x 2 − 2 x + x 2 − 2 x 2
x −1
1
⇒
>−
(2) . Từ (1) và (2) suy ra g ( x ) > 0 ∀x > 0 .
2
x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4
+ f ( x) > 0 ⇔ x − 4 > 0 ⇔ x > 4 . Kết hợp ðK suy ra ñáp số: x > 4 .

π

π

2
1 π π3
.
I = ∫ x 2 dx + ∫ x cos 2 xdx . Ta có A = ∫ x 2 dx = x3 2 =
0
3
24
0
0
0
2

2

π
2

M

1
B = ∫ x cos 2 xdx. ðặt u = x ⇒ u ' = 1. v ' = cos 2 x ⇒ v = sin 2 x .
2
0
π

0,25

π
1
12
x sin 2 x 02 − ∫ sin 2 xdx .
2
20

w.

B=

0,25

π

1 1
1
2 1
= 0 −  − cos 2 x  = ( −1 − 1) = −
2 2
2
0 4

π3

1
− . ( I ≈ 0,792) .
24 2

ww

I = A+ B =
6
(1,0ñ)

0,25

0,25

S . ABCD ñáy là hình thang vuông tại A và B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA ⊥ ( ABCD) . Góc giữa
( SCD) và ( ABCD) bằng 450 . M là trung ñiểm AD . Tính thể tích S .MCD , d ( SM , BD )

Ta có ( SCD) ∩ ( ABCD) = CD. CD ⊥ SA, AC ⇒ CD ⊥ ( SAC ) ⇒ SC ⊥ CD ⇒ SCA = 450.

0,25

3/6

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


1
1
VS .MCD = .SA.S MCD . SA = AC = a 2; S MCD = a 2 .
3
2
3
a 2
1
1
Suy ra VS .MCD = .a 2. a 2 =
.
6
3
2
Gọi N là trung ñiểm AB ⇒ BD //( SMN ) .

m

0,25

S

Suy ra:

.

H

A

M

0,25

D

N

P

HV

AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A,( SMN )) = AH
1
1
1
Tam giác vuông SAP có
=
+
2
2
AH
AS
AP 2

1
1
1
1
1
1
11
=
+
+
= 2+ 2 + 2 = 2
2
2
2
a
AS
AN
AM
2a
a
2a
4
a 22
a 22
Suy ra AH =
.
⇒ d ( SM , BD ) =
11
11

N.

Kẻ

0,25

co

d ( SM , BD) = d ( BD,( SMN )) = d ( D,( SMN )) = d ( A, ( SMN )) .
AP ⊥ MN ( P ∈ MN ) , AH ⊥ SP ( H ∈ SP )

B

C

7
Tam giác ABC có phân giác trong góc A là d : x + y − 3 = 0 . Hình chiếu của tâm ñường tròn nội
(1,0ñ)
tiếp tam giác ABC lên AC là E (1; 4) . BC có hệ số góc âm và tạo với ñường thẳng AC góc 450 .
ðường thẳng AB tiếp xúc với (C ) : ( x + 2 ) + y 2 = 5 . Tìm phương trình các cạnh.
2

AT

Gọi F là ñiểm ñối xứng với E qua d ⇒ F (−1;2) . Nhận xét: (C ) có tâm I (−2;0), bán kính R = 5
và F ∈ (C ) .
Từ ñó AB qua F và vuông góc với IF nên có phương trình AB : x + 2 y − 3 = 0 .
AB ∩ d = A(3;0) ⇒ AC : 2 x + y − 6 = 0 .
Gọi J là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC . ðường thẳng ∆ qua

M

 1 10 
E , ⊥ AC ⇒ ∆ : x − 2 y + 7 = 0 ⇒ ∆ ∩ d = J  − ;  .
 3 3
2
Gọi vtpt của ñường thẳng BC là n = ( a; b), a + b 2 ≠ 0 . Ta có:
| 2a + b |
cos 450 =
5. a 2 + b 2
⇒ 2 ( 2a + b ) = 5 ( a + b
2

2

) ⇒ 3a

w.

2

2

0,25

A

E
H

+ 8ab − 3b = 0
2

a = 0 : suy ra b = 0 (loại)
a ≠ 0 : chọn a = 1 ⇒ b = 3 (thỏa mãn hệ số góc âm),
1
b = − (loại).
3
Suy ra phương trình BC : x + 3 y + C = 0 .

I

0,25

F
J

B

C
D

ww

•
•

0,25

4/6

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


Do J là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC nên d ( J , AC ) = d ( J , BC )

x +1 y −1 z
=
=
. Lập ( P) chứa A và d . Tìm B ∈ Ox : d ( B, Ox ) = 3 .
2
1
−3
ðường thẳng d qua M ( −1;1;0 ) và có vtcp u = (2;1; −3) . Ta có MA = (2; −2;0) .

N.

A (1; −1;0 ) , d :

( P) qua A (1; −1;0 ) và có vtpt n =  MA, u  = ( 6;6;6 ) . Chọn n = (1;1;1) .

0,25

Phương trình tổng quát của ( P) là: 1( x − 1) + 1( y + 1) + 1( z − 0) = 0 ⇔ x + y + z = 0.

0,25

Gọi B(b;0;0) ∈ Ox; d ( B, ( P )) = 3 ⇔

|b|

= 3.
3

⇔| b |= 3 ⇔ b = ±3 ⇒ B(±3;0;0) .
ðáp số: ( P ) : x + y + z = 0 ; B(±3;0;0) .

HV

8
(1,0ñ)

0,25

co

m

2 10
1
| − + − 6 | | − + 10 + C |
−29 + 10 2
−29 − 10 2
3 3
Suy ra
(thỏa mãn); C =
(loại vì khi
= 3
⇒C =
3
3

5
10
29 + 10 2
ñó A, J nằm 2 phía BC ). Từ ñó: BC : x + 3 y −
= 0.
3
29 + 10 2
= 0.
ðáp số: AB : x + 2 y − 3 = 0 ; AC : 2 x + y − 6 = 0 ; BC : x + 3 y −
3

0,25
0,25

AT

Có 300 học sinh ñăng ký. Có 50 học sinh ñạt yêu cầu vào lớp 6A. Bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ
9
(0,5ñ) 300 học sinh nói trên. Tìm xác suất ñể có ñúng 90% số học sinh ñạt yêu cầu.
Gọi A là biến cố: “Chọn ñược 90% học sinh ñạt yêu cầu”.
30
Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có C300
cách chọn.
27
Chọn ñược 90% học sinh ñạt yêu cầu, tức là chọn ñược 27 em. Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có C50
cách.
3
Chọn nốt 3 em từ 250 em còn lại có C250
cách.

0,25

27
3
Số cách chọn học sinh ñạt yêu cầu là: C50
. C250
.

3
C5027 .C250
≈ 1,6.10−21 .
30
C300

M

Xác suất của biến cố A là P ( A) =

10
(1,0ñ) Cho a, b > 0 : ab ≥ 1 . Tìm GTNN của T =

1
1
2
+
≥
,
1 + a 1 + b 1 + ab

w.

Ta có:

1
1
32
.
+
−
1+ a 1+ b
2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + 8

( ab ≥ 1) .

Thật vậy: Quy ñồng, chuyển vế, bñt trên tương ñương với

2

1 + ab

=

ww

Lại có:

0,25

(

a− b

)(
2

)

ab − 1 ≥ 0 (ðúng).

0,25

1
1
4
2
2
4
. Suy ra:
.
+
≥
≥
=
1 + a 1 + b ab + 3
1 + ab.1 1 + ab + 1 ab + 3
2

5/6

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

(

)

Ta có: a (1 + a ) + b(1 + b) = a 2 + b 2 − 2 + ( a + b + 2 ) ≥ ( 2ab − 2 ) + 2 ab + 2 ≥ 2 ab + 2 .
Suy ra: 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + 8 ≥ 4 ab + 12 .

−16

m

1
1
−32
−32
≤
⇒
≥
=
2a(1 + a) + 2b(1 + b) + 8
2a(1 + a) + 2b(1 + b) + 8 2 ab + 3
4 ab + 12
4
16
⇒T ≥
−
.
ab + 3

ab + 3

(

N.

2

.
0,25

co

4
16
−
= f (t ).
t +3
t +3
−8t
8
(t 2 + 3) 2 − t (t + 3) t + 3
f '(t ) = 2
+
= 8. 2
.
(t + 3) 2 (t + 3) t + 3
(t + 3) 2 (t + 3) t + 3

ðặt t = ab ≥ 1 ⇒ T ≥

ab + 3

)

0,25

⇔ t 2 + 3 > t t + 3 ⇔ t 4 + 6t 2 + 9 > t 3 + 3t 2 ⇔ (t 4 − t 3 ) + 3t 2 + 9 > 0 (ðúng ∀t ≥ 1 ).
Suy ra f '(t ) > 0 ∀t ≥ 1 ⇒ f (t ) ñồng biến ∀t ≥ 1 .
Từ ñó: MinT = f (1) = −7 ⇔ t = 1 ⇔ a = b = 1.

0,25

t ≥1

HV

Xét M = (t 2 + 3) 2 − t (t + 3) t + 3 > (t + 3) t 2 + 3 − t t + 3 > 0

Cách 2: Có thể dồn biến về u = a + b ≥ 2 ab ≥ 2 như sau:
•

1
1
4
4
+
≥
=
1+ a 1+ b 1+ a +1+ b u + 2

a(1 + a) + b(1 + b) = a + b + a 2 + b 2 ≥ a + b + 2 a 2b 2 ≥ a + b + 2 = u + 2
1
1
Suy ra: 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + 8 ≥ 2u + 12 ⇒
≤
2a(1 + a) + 2b(1 + b) + 8
2u + 12
4
32
⇒T ≥
−
= f (u ), u ≥ 2. Chứng minh f '(u ) > 0 ∀u ≥ 2 tương tự cách 1.
u+2
2u + 12
Kết luận: MinT = f (2) = −7 ⇔ u = 2 ⇔ a = b = 1.

M

u≥2

AT

•

ww

w.

-------------------- Hết --------------------

6/6

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Môn thi: Toán - Lần thứ 4
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Năm học 2014 - 2015

m

-------------- Ngày 13.6.2015 --------------

Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s y = x 3 3x 2 + 4 .
a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th (C ) ca hm s ủó cho.

co

b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca ủ th (C ) ti giao ủim ca (C ) vi ủng thng (d ) : y = 5 x + 7 .

Cõu 3 (0,5 ủim). Gii phng trỡnh

2.9 x + 3.4 x = 5.6 x .

1

1

I = x e3 x +
dx.
3x + 1
0

HV

Cõu 4 (1,0 ủim). Tớnh tớch phõn

N.

Cõu 2 (1,0 ủim).
a) Gii phng trỡnh cos x + cos3 x = 2cos 2 x .
b) Tỡm s phc z sao cho | z 4 | = | z | v ( z + 4)( z + 2i ) l s thc.

Cõu 5 (0,5 ủim). Ti mt kỡ SEA Games, mụn búng ủỏ nam cú 10 ủi búng tham d (trong ủú cú ủi
Vit Nam v ủi Thỏi Lan). Ban t chc bc thm ngu nhiờn ủ chia 10 ủi búng núi trờn thnh 2 bng
A v B, mi bng 5 ủi. Tớnh xỏc sut ủ ủi Vit Nam v ủi Thỏi Lan cựng mt bng.

AT

Cõu 6 (1,0 ủim). Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho bn ủim A ( 3;2;3) , B (1;0;2), C ( 2;3;4),

D (4; 3;3) . Lp phng trỡnh mt phng ( BCD) . Tỡm phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ủng
thng AB lờn mt phng ( BCD) .

Cõu 7 (1,0 ủim). Cho hỡnh lng tr ABC. A ' B ' C ' cú ủỏy ABC l tam giỏc ủu cnh a , ủnh A ' cỏch

M

ủu A, B, C . Gúc gia cnh bờn v mt ủỏy ca lng tr bng 600 . Tớnh theo a th tớch khi lng tr
ABC. A ' B ' C ' . Xỏc ủnh tõm v tớnh theo a bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp A '. ABC .

w.

Cõu 8 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ Oxy, cho tam giỏc ABC ni tip ủng trũn tõm I (2;1) ,
bỏn kớnh R = 5 . Chõn ủng cao h t B, C , A ca tam giỏc ABC ln lt l D(4; 2), E (1; 2) v F .
Tỡm ta ủ tõm ủng trũn ni tip ca tam giỏc DEF , bit rng ủim A cú tung ủ dng.

ww

Cõu 9 (1,0 ủim). Gii phng trỡnh 8 x 2 + 10 x + 11 + 14 x + 18 = 11 .

(

)

Cõu 10 (1,0 ủim). Cho cỏc s thc x, y, z dng v tha món 4 x 2 x + 1 16 x 2 yz 3x ( y + z ) .

Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc

T=

y + 3x( x + 1)
x2 z

+

16

( y + 1)

3

10 3

2

y
x3 + 2

.

---------------- HT ---------------Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

H v tờn thớ sinh: ..; S bỏo danh:


đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

m

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Môn thi: Toán Lần thứ 4

--------------- ỏp ỏn cú 05 trang --------------

Nm hc 2014 2015

x

x +

o hm: y ' = 3 x 6 x ; y ' = 0 x = 0 hoc x = 2 .
2

HV

Cc tr: Hm s ủt cc tiu ti x = 2 , yCT = 0 ;
ủt cc ủi ti x = 0 , yC = 4.
Bng bin thiờn:
x
0
2

+
y'
+
0
0
+
y

4
+

N.

Khong ủng bin: ( ;0 ) ; ( 2; + ) . Khong nghch bin: ( 0; 2 )

co

Cõu
ỏp ỏn
1
a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s y = x 3 3 x 2 + 4
(2,0ủ)
Tp xỏc ủnh: D = R . lim y = ; lim y = +

0,25

0,25

0,25

0

th: (Hs cú th ly thờm ủim (1; 0); (1; 2); (3; 4) ).
b) (1,0 ủim) ) Vit phng trỡnh tip tuyn ti giao ủim ca (C ) vi (d ) : y = 5 x + 7 .
Phng trỡnh honh ủ giao ủim:

AT

x3 3 x 2 + 4 = 5 x + 7 x 3 3 x 2 + 5 x 3 = 0 ( x 1)( x 2 2 x + 3) = 0
x = 1 y = 2 giao ủim l M (1;2) .
Phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti ( x0 ; y0 ) : y = y '( x0 )( x x0 ) + y0
x0 = 1; y0 = 2

y ' = 3x 2 6 x y '( x0 ) = y '(1) = 3
Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm: y = 3( x 1) + 2 y = 3 x + 5

M

im

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

2
a) (0,5 ủim) Tỡm cỏc nghim ca phng trỡnh cos x + cos3 x = 2cos x .
(1,0ủ)
Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi: 2cos 2 x.cos x = 2cos 2 x 2cos x ( cos 2 x cos x ) = 0
2

ww

w.

cos x = 0

cos 2 x = cos x


x = 2 + k

( k ) .
x = k 2

3
b) (0,5 ủim) Tỡm s phc z sao cho | z 4 | = | z | v ( z + 4)( z + 2i ) l s thc.
Gi z = a + bi

( a, b R, i

2

= 1) . T gi thit ta cú:

| z 4 |=| z | ( a 4) 2 + b 2 = a 2 + b 2 a = 2

0,25

0,25

0,25

1/5

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


Từ ñó: z = 2 + bi; z = 2 − bi
0,25

x

m

3
(0,5ñ)

⇒ ( z + 4)( z + 2i ) = (6 + bi ) [ 2 + (2 − b)i ] = 12 − b(2 − b) + (12 − 4b)i
Suy ra: 12 − 4b = 0 ⇒ b = 3 .
ðáp số: z = 2 + 3i .
Giải phương trình 2.9 x + 3.4 x = 5.6 x .

x

9
3
TXð: D = R . Chia 2 vế của phương trình cho 4 > 0 ta ñược: 2.   − 5.   + 3 = 0 .
4
2
x
3
ðặt t =   > 0 ta có: 2t 2 − 5t + 3 = 0
2
3

⇔ t = 1; t = .
2
x
x
3 3
3
3
• t =1⇒   =1⇒ x = 0.
• t = ⇒   = ⇒ x = 1.
2 2
2
2
Tập nghiệm của phương trình ñã cho là S = {0; 1} .

4
1
(1,0ñ) Tính tích phân: I = x  e3 x +


∫
0

1

1

0

1

∫

• Tính A = xe dx : ðặt u = x ⇒ u ' = 1;
1

1

1

1
1
1
v ' = e ⇒ v = e3 x ⇒ A = x.e3 x − ∫ e3 x dx .
3
3
30
0

1 3 1 3x
1 3 1 3
2e3 + 1
= e − ( e − 1) =
.
A= e − e
3
9
3
9
9
0

∫
0

2

2
x = 0 ⇒ t = 1. Suy ra: B = ∫ ( t 2 − 1) dt
91

x = 1 ⇒ t = 2;
2

0,25

0,25

t2 −1
2
x
dx : ðặt t = 3x + 1 ⇒ t 2 = 3 x + 1 ⇒ x =
⇒ dx = t.dt
3
3
3x + 1

M

1

• Tính B =

0,25

3x

AT

3x

0

0,25

1 
 dx.
3x + 1 

x
dx .
3x + 1

I = ∫ xe3 x dx + ∫
0



HV

N.

co

x

w.

2
11
2e 3 + 1 8
21
8

.
B =  t 3 − t  = . Từ ñó: I = A + B =
+
⇒ I = e3 +
9
27
93
9
27
 1 27

0,25

0,25

5
Có 10 ñội bóng (trong ñó có Việt Nam và Thái Lan). Bốc thăm ngẫu nhiên ñể chia thành 2

(0,5ñ)

bảng A và B, mỗi bảng 5 ñội. Tìm xác suất ñể Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng.

ww

Gọi M là biến cố: “Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng”.
Số biến cố ñồng khả năng: Số cách chia 10 ñội bóng thành 2 bảng ñều nhau n(Ω) = C105 .C55 = 252 .
Xét số cách chia mà Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng:
• Chọn bảng (A hoặc B): có 2 cách
• Chọn nốt 3 ñội còn lại: có C83 cách. • Chọn 5 ñội của bảng kia: có C55 cách.

⇒ n( M ) = 2.C83 .C55 = 112. Suy ra: xác suất của biến cố M: p ( M ) =

0,25

0,25

4
n( M ) 112
=
= .
n(Ω) 252 9
2/5

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


6
(1,0ñ) Cho A ( 3;2;3) , B(1;0;2), C (−2;3; 4), D(4; −3;3) . Lập phương trình mặt phẳng ( BCD) . Tìm

m

phương trình hình chiếu vuông góc của ñường thẳng AB lên mặt phẳng ( BCD) .
Mp ( BCD) ñi qua B (1;0; 2) và có vtpt n =  BC , BD  = ( 9;9;0 ) . Chọn n = (1;1;0) .

0,25

Phương trình ( BCD) : 1( x − 1) + 1( y − 0) + 0( z − 2) = 0 ⇔ x + y − 1 = 0 .
ðường thẳng AB cắt ( BCD) tại B (1;0; 2) . Ta ñi tìm hình chiếu A ' của ñiểm A lên ( BCD) .

0,25

(t ∈ R).

0,25

BD = (3; −3;1) .

co

Ta có BC = (−3;3;2),

N.

x = 3 + t

ðường thẳng ∆ ñi qua A và vuông góc với ( BCD) có phương trình  y = 2 + t
z = 3


A ' = ∆ ∩ ( BCD) ⇒ (3 + t ) + (2 + t ) − 1 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ A '(1;0;3) .
x = 1

Phương trình BA ' :  y = 0
z = 2 + t

(Lưu ý: Học sinh viết

(t ∈ R).

HV

Hình chiếu vuông góc của AB ñi qua B, A ' nên có vtcp u = BA ' = (0;0;1) .

0,25

x −1 y − 0 z − 2
thì không cho 0,25 ñiểm phần cuối này).
=
=
0
0
1

7
Lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a , ñỉnh A ' cách ñều A, B, C .
(1,0ñ)

AT

Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy của lăng trụ bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' . Xác ñịnh tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A '. ABC .
Xác ñịnh góc 600 :

• Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABC) ⇒ HA = HB = HC =
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

AA '2 − A ' H 2 suy ra H là tâm ñường
C'

M

• AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra A ' AH = 600.
Tính thể tích lăng trụ: VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ABC

B'

w.

1 a 3 a2 3
• ∆ABC ñều cạnh a nên S ABC = .a.
=
.
2
2
4
2 a 3
• A ' H = AH .tan 600 =  .
 . 3 = a.
3 2 

Suy ra: VABC . A ' B ' C '

a3 3
a2 3
.
= a.
=
4
4

P
I

0,25
A

H
M

C
N

ww

B
Xác ñịnh tâm mặt cầu:
• Gọi P là trung ñiểm AA’. Kẻ ñường trung trực d của AA’ trong (A’AH). d cắt A’H tại I.
• I ∈ d ⇒ IA ' = IA. I ∈ A ' H ⇒ IA = IB = IC ⇒ I là tâm mặt cầu cần tìm.

Tính bán kính R: R = IA ' =

0,25

A'

2a
A' P
2 1
1
2 a 3
.
=
. AA ' =
.2. AH =
.
=
0
3
cos 30
3 2
3
3 3

0,25
0,25

3/5

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

8
Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm I (2;1) , bán kính R = 5 . Chân ñường cao hạ từ
(1,0ñ)

m

B, C , A của tam giác ABC lần lượt là D(4; 2), E (1; −2) và F . Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn
nội tiếp của tam giác DEF biết rằng ñiểm A có tung ñộ dương.
Chứng minh AI ⊥ DE :

A

co

• Tứ giác BCDE nội tiếp ñường tròn nên AED = BCD .
• Kẻ tiếp tuyến At của ( I ; R ) ta có: BCD = EAt

⇒ AED = EAt ⇒ At / / DE ⇒ AI ⊥ DE.

I

Tìm tọa ñộ ñiểm A:
• Phương trình AI qua I, vuông góc với DE : 3 x + 4 y − 10 = 0 .

0,25
D

E

H

N.

C
F
t = 6 ⇒ A(6; −2) (L)B
 10 − 3t 
2
2
∈
AI
⇒
AI
=
25
⇒
t
−
4
t
−
12
=
0
⇒

t = −2 ⇒ A(−2; 4) (TM)
4 



Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác DEF :
• DEC = DBC = HEF ⇒ EC là phân giác trong của DEF .
• Tương tự: DB là phân giác trong của EFD ⇒ H = BD ∩ CE là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ DEF .
Tìm tọa ñộ ñiểm H :
• Phương trình CE qua E và vuông góc với AE : x − 2 y − 5 = 0
• Phương trình BD qua D và vuông góc với AD : 3 x − y − 10 = 0
• Từ ñó H = BD ∩ CE ⇒ H ( 3; −1) .

HV

• A  t;

0,25

0,25

0,25

10
(1) ⇔ 4 ( 2 x 2 + x − 1) +
⇔ 4 ( 2 x + x − 1) −

(

AT

9
Giải phương trình 8 x 2 + 10 x + 11 + 14 x + 18 = 11 . (1)
(1,0ñ)

11
ðK: x ≥ − .

) (

10 x + 11 − 2 x − 3 +

2 ( 2 x 2 + x − 1)

)

14 x + 18 − 2 x − 4 = 0

2 ( 2 x 2 + x − 1)

−
=0
10 x + 11 + 2 x + 3
14 x + 18 + 2 x + 4
1
• 2 x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = −1; (tmñk).
2
1
1
• f ( x) = 2 −
−
=0
10 x + 11 + 2 x + 3
14 x + 18 + 2 x + 4
11

11
Ta có f '( x ) > 0 ∀x ≥ − ⇒ f ( x) ñồng biến trên [ − ; +∞) .
10
10
1

 11 
Từ ñó f ( x) ≥ f  −  > 0 nên trường hợp này vô nghiệm. ðáp số: S = −1;  .
2

 10 

0,25

0,25

w.

M

2

0,25

ww

Lưu ý: + Học sinh chỉ tìm ñược 1 nghiệm, cho ¼ ñiểm
+ Học sinh tìm ñược 2 nghiệm mà không CM ñược phần còn lại vô nghiệm, cho ½ ñiểm
• Có thể CM f ( x ) > 0 như sau:

11
4
9
 11 
 11 
x ≥ − ⇒ 10 x + 11 + 2 x + 3 ≥ 2  −  + 3 = ; 14 x + 18 + 2 x + 4 ≥ 2  −  + 4 =
10
5
5
 10 
 10 
5 5
⇒ f ( x) > 2 − − > 0 .
4 9
• Có thể nhẩm nghiệm và tách thành tích: (1) ⇔ ( x + 1)(2 x − 1)h( x) = 0 rồi CM h( x) vô nghiệm.

0,25

4/5

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com


10
2
(1,0ñ) Cho các số thực x, y , z dương và thỏa mãn 4 x 2 − x + 1 ≤ 16 x 2 yz − 3 x ( y + z ) .

T=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

)

y + 3 x( x + 1)
2

x z

+

16

( y + 1)

3

− 10 3

Từ giả thiết ta có:

(

)

y

m

(

3

x +2

.

Ta có: • yz ≤ 1 ⇒

x 2 yz

≥

y 2 + 3xy
x2
16

2

y
 y
=  +3
x
 x

3
16
16
+
≥ 3y +
= ( y + 1) + ( y + 1) + ( y + 1) +

− 3 ≥ 4.2 − 3 = 5
3
3
z ( y + 1)
( y + 1)
( y + 1)3

• −10 3.

y
x3 + 2

≥ −10 3.

HV

•

y 2 + 3xy

y

x3 + 1 + 1

2

≥ −10 3.

0,25

N.

co

1 
2

2
4 x 2 − x + 1 ≤ 16 x yz − 3 x ( y + z ) ⇒ 4  x + − 1 ≤ 16 yz − 3 ( y + z ) ≤ 16 yz − 3.4 yz
x 

1
1
⇒ 4 yz − 3 yz ≥ x + − 1 ≥ 1, t = yz > 0 ⇒ 3t 2 − 4t + 1 ≤ 0 ⇒ t ≤ 1 ⇒ yz ≤ 1 ⇒ ≥ y.
x
z
2
y + 3x( x + 1)
16
y
y + 3xy 3
16
y
T=
+
− 10 3 3
=
+ +
− 10 3 3
.

2
3
2
3
z ( y + 1)
x z
x +2
x yz
x +2
( y + 1)

0,25

y
y
= −10
3x
x

AT

y
y
 y
Từ ñó: T ≥   + 3 + 5 − 10 .
x
x
x
y
ðặt t =

> 0 ⇒ T ≥ f (t ) = t 4 + 3t 2 − 10t + 5 .
x
Ta có: f '(t ) = 4t 3 + 6t − 10 = 2(t − 1)(2t 2 + 2t + 5) .
f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 .
BBT:
0

1
0

-

M

t
f '(t )
f (t )

5

+∞

+

0,25

+∞

-1

w.

Suy ra T ≥ −1 ⇒ MinT = −1 ⇔ t = 1 ⇔ x = y = z = 1.
t >0

Cách 2:

y
=
x +2
3

ww

Ta có: •

y
y
1
≤
=
x +1+1
3x
3
3

y
+1
y
1 x

.
.1 ≤
.
x
3 2

y2
y2
y
y2
y
• 2 + 1 ≥ 2 2 = 2 ⇒ 2 ≥ 2 −1 .
x
x
x
x
x
y
+1
1 x
y
y
Suy ra: T ≥ 2 − 1 + 3 + 5 − 10 3.
.
⇒ T ≥ −1 ⇒ MinT = −1 ⇔ x = y = z = 1.
x
x
3 2

0,25

-------------------- Hết --------------------

5/5

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com