TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 454 THÁNG 4 NĂM 2015

xuflr siru rUrgoa

2015
s6 454

r4n cni nn xArue rnArue - NAM ra052

oArus cHo rRUNG Hoc pxd rnOruc vA rnuruc

xoc co s6

Tru s6: 187B Gi6ng V6, Ha Ndi.
DT Bi6n tdp: (04) 35121607; DT - Fax Ph6t hdnh, Tri su: (04) 35121606
Email: Website: />
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


?

fts6ff

€'E
E E€
EEg
€

-E-i A_a

E_F

HFgAI#'ruGLE

YAN TTITEM ruA&€ E#E€
HA HUY KHOAI (Vi6n Todn hqc Viat Nam)
Tu khi ra dai, Giei thuhng Le Van Thi€m dd nhAn dugc su 0ng h0 to lon vd
tinh thdn vdr vAt chdt c0a cQng ddng toAn hoc vd xA hQi. Dac biQt, sau dip kjt
ni6m 40 ndm Vi6t Nam tham gia Olympic To6n hoc Qu6c t5, mot cuu hQc sinh

chuyen toAn
1 tyi ddng.

(di dd nghi

khOng n6u t6n) da 0ng ho Quy gi6i thuo'ng s5 ti6n

II. GIAITHU'ONG LE VANITI{IEIVI 2014
Hoi Todn hqc Vi6t Nam quydi dinh trao Gidi thudng L€ Van Thi6m ndm
2014 cho c6c nhd gi6o vd hoc sinh sau dAy:
'1. Co

gido Nguyen Ngoc Xu&n, THFT chuyen Hodng Vdm T'hu,

hloa tsinh

* Sinh nam 1981.
* Tham gia

dEy ToAn ho'n

1

1 ndm, trong d6 dqy chuy6n Todn 10 ndm.

* C6ng tdc trong mot truo'ng gip

nhi6u kho khdn,

a Trong 3 ldn phu tr6ch chinh Doi tuydn dA c6 11 hoc sinh doat gidi Qudc
gia, 2 hoc sinh doat Huy chuong Bac Olympic To6n Singapore mo r6ng.

o Nhidu bdi vi6t, chuyen d6 cho ciic

hOi

thiio.

o 9 ndm ld gido vi6n dqy gi6i, chi6n si thi dua cdp Tinh nam hoc2013-2014,

Gi6o su Ld Vdn Thi6m
(1918 - 1991)

::

;iti:ir:r..

4?'F:'i,
-jl:ii..,.
t:-r,

a.,- 1

..

LUo.

c vE ctnt rHU'oNG

LE VAN THIEM
',

Gido su LO Vdn Thiemld Ch0 tich ddu ti0n
.i.

.

na.

t,

a Khi ld hoc sinh dd tung doat gidi trong ky thi hgc sinh gi6i Qu6c gia,
2, Vu'ong Nguy0n Thuy Duong, hoc sinh THPT chuydn LO

.l

i'i.',so

giAo vi6n ti6u bidu kh6i THPT chuy6n tinh Hoa Binh.

. c0a Hoi Toan hoc Vi0t Nam. Ong ld nhd todn
'hqc..n6i ti5ng, co nhung dong gop lon trong
nghiOn cuu vd ung dung Todn hoc. Ong c0ng

ld mot trong nh0ng nguoi ddt ndn mong cho
gido dqc dai hoc 0 nuoc ta, nguoi thAy c0a

'r

* Huy chucrng Vdng Olympic 30/4 todn midn Nam.
* GiAi Ba hQc sinh gi6iToan Qudc gia nam 2013.
* Gitii Nhdt hQc sinh gi6iTo6n Qudc gia nim2014.
a Huy chuong Bac Olympic Todn Qu6c td ndm 2014.
3. NguyOn The Hodn, hoc sinh THPT chuy6n KHTN-DHQG Ha NOi
a Gidi Nhl hQc sinh gi6iTodn Qudc gia nam 2014.

nhi6u thd he cdc nhd to6n hoc Vi6t Nam. GidLo
su LO Vdn Thiemluon ddnh sU quan tAm ddc

* Huy chuong Viing

bi6t ddn viec gidng dqy todn hoc d cdc truong

o Guong mit tr6 tieu bidu th0 do Ha N6i ndm 2014.

pnd tnOng. Ong la mot trong nhting nguoi

Olympic Todn Qu6c td ndm 2014.

o Guong mat tr6 tieu bidu DHQG Ha NOi.

sdng lAp h6 th6ng phd thOng chuy6n todn vd
Tap chi Toan hoc va Tudi tr6.

4. Trdn H0ng Qudn, hoc sinh THPT chuy€n Thdi Binh

Gidi thudng L€ Vdn Thi6m do Hdi Toan hoc
Viet Nam ddt ra nhdm g6p phdLn ghi nhAn

o GiAi Nhl hQc sinh gi6iToiin Qudc gia ndm 2014.

nh0ng thdnh tich xudt sdc c0a nhung thdy c0
gido vd hoc sinh phd thOng da khdc phuc kho
khan dd dqy vd hoc to6n gr6i, dong vien hoc

*

GiAi Ba hoc sinh gi6i To6n Qu6c gia ndm 2013.

* Huy chuong Vdrng Olympic

Toan Qu6c t6 ndm 20'14.

5. Vo Quang Hung, hoc sinh THPT chuyOn ltlguy6n Binh Khi0m,
Quang Nam

sinh di sAu vdo mon hoc co vai tro dac bi6t
quan trong trong su phdt tridn lAu ddi c0a n6n

o Gidi Nhi Olympic Todn Hd Noi mo rong (2013).

khoa hoc nuoc nhd. Gidi thuilng LO Van Thi€m

r

cring ld su ghi nhfn cong lao crla Gido su ld
Vdn Thi6m, mOt nhd todn hoc l6n, m6t nguoi
thdy da h6t long vi su nghiOp giAo duc.

Qu!'00n,

Dd Nang

o Huy chuong Bac Otympic Todn Duy6n hdi dOng bing Bdc BQ.
Giai Nhdt ky thi hoc sinh gioi Qu6c Gia ndm hgc 2013

L6 trao gi6i da ctugc td chuc tai cu6c Gdp

-

2014.

m{t ddu xudn cta-H6i Todn

hoc Vi6t Nam tai He N0i. ngiy 71312015.

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


rEHn rinH r6ns ELrEn
ruu0E vH URE rrunE

BHr

PHAN DINH ANH
(GV THCS Thqch Kim, L6c Hd, Hd TTnh)
chirng t6i xin minh hoa mQt sii bai
to6n tinh tdng quen thu6c vi img dung cta
chfng.

B = 1.2.3 + 2.3.4 +

$^"ddy

OBii todn l.
A=

+ n(n + l)(n + 2)

...

_ n(n+l)(n+2)(n+3)
4

e

(2

-r)2(2+

1) + (3

Tfnh cac tdng sau:

1.2 + 2.3 + ... + n.(n + 1)

B = 1.2.3 + 2.3.4 +

... +

OBii torin 2. Tinh

n(n + l)(n + 2)

(n e N.)
(n e N-).

cdc t6ng sau:

1)3(3 + 1) +...

-

+(n+l-l)(n+l)(n+ 1+1)
* n(n+l)(n+2)(n+3)
4

e2(22 -l)+3(32 -1)+...+(n +1)[(n +1)'-1]
_ n(n+l)(n+2)(n+3)
4

n2 (n e N-).
D =13 +23 +33 I ...+ n3 (n e N.).
C =12 +22 +32 +...+

a(23

ViQc tinh c6c tdng quen thuQc tr6n khdng kh6
AOi vOi c6c bpn hoc to6n. Ta c6 ngay ki5t qu6:

A=

1.2 + 2.3 + ... + n.(n +

_ n(n+t)(n+z)

+33 +...+

n3)*(2+3+...+n+l)
_ n(n+l)(n+2)(n+3)
4

e

(13

+23 +33 + ...+

n3

(1

+2 +3 +...+
4

N_)

(1)

B :1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n+1)(n+2)
_ n(n + l)(n +2)(n +3) / n c N* \

e13 +23 +33 +...+nt

4

c6 mOi li€n h0 v6i nhau, cU thi5 nhu sau:

Bitil.

3

_ n(n+l)(n+2)
3

^

v

,

_n(n+l)(n+2) n(n+l)
-

3--

13

+23 +33 +...+

2

6

N.)

chc

\t
que

+T

Ldi gidi. Theo kt5t

(2), ta c6:

1

qurb

= n(n

td s6

+l)(n +2Xn

(n e N-).

n nhi€n.

+ 3) +

1

=(nz +3n)(n2 +3n+2)+t
=(nz +3n+l)2

n2

(n e

(4)

+2)

Ch{rng minh rdng J4S

6

* n(n+I)(2n+t)

+ 1)l'

1)
lnn(n+1)
rl'
2
Ll

=

Cho

45 +

_ n(n+l)(2n+l)
VAy C =12 +22 +...+

n3

S = 1.2.3 +2.3.4 +... + n(n +1)(n

+22 + ...+ n2) + (l +2 +...+ n)

12
, .2 T...Tr', .^,
r TL

-

tr6n:

n.(n+l)

n(n+l)(n+2)
_

(12

YA,y: D

=(1+2+...+n)z (ne 1\I.))
Sau clAy li mdt vdi img dung cta
ta

n(n+1)(n+2)

<+ 1(1+l)+2(2+ 1)+...+

e

'

2

Q)

bii to6n 1 vd bdi tobn 2

A =1.2+23+ ...+ n.(n+1) =

n(n+l)
t-=L
ln@

!)l'
9n+
T
2

(n+l)(n + 2)

\"e1\ I

4

+l)

(n+2)(r
)(r'n+ 3)
:n(n + lXtr

-1

NhQn xdt: CLc t6ng o

n

_ n(n+l)(n+2)(n+3)

l)

(n e

)-

(3)

3Ja5a1 =n2+3n+1eN*
Vav J+S+t lds6qrnhi6nv6i n eN*.

Sd asa

TOAN HOC

ta-zorsl o q,rdita I

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Bili 2. Tim sd ttr nhi€n n bi€t rdng:

Ldi gi,fii

ld

1.2

bitgT lir

2.3

hinh vudng c6 c4nh bing 8

I

2013

SO

Jlr+2'

2015

56 hinh ru6ng c6 cpnh
SO

hinh vu6ng c6 canh bing 6 ld: 3.4

SO

hinh vu6ng c6 canh bing2ld: 7.8

SO

trintr vudng c6 cpnh

Lbi gidi. Theo k€t quA (4), ta c6:

11
JF

"

+F Jilri+3t

1

JF-+-FIT*.-*d

-:-l

20t3
20t5

11

20t3
2C;|5

l0

= 240

Ldi gi,fii (h.2)

hinh vudng?

Ldi gidi (h.1)
S5 ninn vu6ng c6 cpnh

SO

trintr lQp phucrng c6 c4nh

bing8lA: 1:13.

SO hinh lfp phucrng c6 c4nh
bingT ld:8:23.
ninn l6p phuong c6 cqnh
bing 6 lit:27 :33.
SO

bing8ld:1:12.
cpnh

56 hinh lflp phuong c6 cpnh

canh

hinh lpp phucrng c6 cpnh
Vfy khOi lip phuong <16 c6:
SO

Hink

bing}lir 49 :72.
SO trintr vudng c6 cpnh bing I ld: 64 : 82.
trintr vu6ng c6 cpnh

bing2ld:343 :73 .
bing i ld: 512 : 83.

theo(4) l-

1

13

SO

8'9:

Bni 5. MAt kh6i ldp phtrtmg c:rj th€ tich 8 x 8 x
8 : 512 hinh liip phrumg do'n vi bdng nhau xdp
khit nhau. Hoi kh6i lap phucmg dt) c6 bao nhiAu
hinh lqp phu'crng?

Bni 3. M\t ban cr| vua Qu6c t€ co 8 x 8: 64 6
vudng dctn vi. Hoi bdn cd'vua tt6 crj tdt ca mi1,

bingT l*4:22.
,
^.( ,.
hinh vu6ng c6
So
bing 6 ld:9:32.

1.2+2.3+...+7.8+ 8.g'n":t"
-3
(hinh ru6ng).

3'3 4'"'' n n+l-2015
n-l
2013
,^n+12Ol5
n=2014.

e

c6

.

VQy 1u6i 6 vu6ng d6 co tdt cit

2 2013
22
a u+
3g+"'+ r,r1t; = zol5
2 2 2013
A ,222
Ir
r--vr
--l

SO hinh vu6ng

bing 1 td: 8.9

+23 +33 +...+83

+93 =

q 612

|
12

= )

I

=1296

(hinh lfp phuong).
D0 luyQn tQp, citc em c6 th6 Dm c6c bdi tf,p sau:

.!

Vav co tat ca:

BAI TAP

lz +22 +32 + ...+72+

82

'h"g3)

8(8 + 1X2'8 + 1)

6

= 204 (hinh vu6ng).

Bni 4. Mil n)n nhd hinh chir nhdt c6 kich thacrc

8 x 9 6 vu6ng

vi (g6m cdc, vi\n gach lat
hinh vu6ng bing nhau). Hoi nin nhd d6 cd bao
do.n

nhiAtr hinh vu6ng'l

1. Mot minh lu6i hinh cht nhat c6 kich thu6c
ld 8 x 10 80 6 vuOng clon vi bing nhau. H6i
minh 1u6i <16 c6 bao nhi6u hinh vudng?

:

2. MOt ttrOi frop cht nhat c6 the tich ld 8 x 9 x
10:720 hinh lap phuong tlon vi bing nhau xi5p
khit nhau. H6i kh6i hQp cht nhat d6 c6 bao
nhi6u hinh l{p phuong?

HQC
^Z TOnN
t cfrOifta
ss
"t.,.-roro

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Hudng dAn giei

TP.

Bdi

ET

1" Ta co
oa7),0,),

111

6

sf T[rr rrturu Hfir srfrrlr Grdt tlnsru T$fiH Lffp s
CEilfi W[TI$E:[ NArra
2At4 - 2015

fi)t'0,
b:

,> 0,
-c)
),br+c
=0,,al+(

abc

)

L--!+2,1=o

=y x

0.

:= '-[(t-+ t) <0r=c<0. Tt
u)'
[;7 'u)
11
t
ta c6: :+i ;*-1 -(0=
)=l,bc'-l ac + ab =0
ab ),
Do d6

1

1

(

gid

\

Ddp s6: (*; y) e {(2; 5); (-2; -5)}

)52-621 bc++Ct:a++ah
ab<€r cr=(a+c)(U+c)

qW

b+,

+a+b=a+c+z@ffill+u+,
+ u + b :(,[ai *.[ni )' >,[a +b = {Ai *,luiV.
2. a)

r

thi6t =l\yL-O,4ll {+Z,S l=0.
/\y )

C

Bli

\/

:o
*2, I
=[l)'
\y, [t']\y/

Bii

Tim duoc nghiOm cia phucrng trinh dd cho ld
x = Jlo -4; x = _Jlo -4.

0

j. o" d6 1 - 2x> 0,3x > 0.

Ap dgng BDT Cauchy cho hai

sd duong, ta c6

n_ 2-x ,1+2x _ 4-2x , l+2x
nr-zxa-- 2p:$t u

(t-zx)+:,t+2x

I

3

r.2

ZU-[- 3* =r- 211-u1+ u+r _,\,r/r_r\-ro
_L/
-r\t-2x-

Pr (;r+t)(-r+z)(x+3)(.r+6)=3x,

e [(, + r)(x + o)][(r + z)( x +z)]=zp
o (*' +7 x +6)(x, +5-r+ A) :Zx,
o (r' +6x+6)2 - xz =3xz
o (r'+ 6-r + 6)' = 4*, *l:::2::2=?r,

4. Ta c6

.

'/-3\;-'l- 3
3x , l-2x -T'-ll-2*'
, l0-" f Zx t-Zx . lO 16
- t-2**
3x -T:T
Dlng thric xdy rakhi vd chi khi

,3{
^2* <>3 r- l-2.r<+5,r=l e.r=l.
t-zx =l 5x
)
Vdy gi6 tri nho nh6t cua bi€u thric A

Bii

h

+.

s.

=1a!
x+l
12Q- ya2y- yz= *1 I =ZpiW-*)I\ /\
x
' x

b) Tu PT ZQ+y-xz

=

a(x +t)

=(x+

1)

(z_4

(,,r+1

1+)' =(,. t) [#-

+

e- *))=o

*8f, +4xz) =O
q3

= (x+1) (ax -)az -$yz x -2x +l)=O
> (x +t)(zx -t)(zx, *zx-l)=o (*)
z

ciai PT (*)

vd thri l4i tathSy

x=-l;x=

1 , = 3 +Jt7
,, t

PT dd cho.

Bii 3.DK:
Ta c6:

ld ciic

+0, y *0.

\/\
{
ll=2.1
(,- v/l-[\"," _ x)

nghiQm cua

ryla ftt,u

c6 LEBH c6,ntqi E
=>HBE=BHE.Xdt AEBC vd LEAB c6
BEC (chung), EBC = EAB. Do cl6
LEBC a'AEAB (g.g=6dE=[EE. Suy ra

u)

BCE=BHE (=ABE). Vpy tt? gi6c HCEB ndi
ti6p.

b),EAEB
ra co :+ = * (do LEBC a AEAB ). \ait
EB : EM (do E lI-trungdii5m cria MB), do d,o
EM EC
(?=

EA_EM

us

nrn,n-ror'

T?8ilrHE[
S

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Thdi gian ldm bdi: 150 Phrtt
2) Cho o, b, c la. d0 d}ri ba canh cria mQt tam
ei6c thoa mdn di0u kiqn 2c+b=abc. Tim gi5

C0u 1 (2 dihd. Cho bi6u thirc

P=(rv-,)(#.r)[*)',

iri nho nh6t cria bi6u thuc

" b+c-a c+a-b a+b-c

v6i x>0,x*1.
2) Tim sii chinh phuong x sao cho

')

f h s0

nguy6n.

Ceu 2 Q dih@ 1). Cho c6c s6 thgc x, Y, z, a, b,

*

th6a mdn c6c di6u ki€n
'obc +!

c
o

*b *'
xyz

= o . Chimg minh

+' =l vi

ring

-2
x2 "2 +:r=1:;+1.
('.'

D'
Tim c5c s6 nguy6n

2)

a

d6 phux2 -(3+2a)x+40-a=0 c6 nghiQm nguy6n.

H6y tim c6c nghiQm nguYdn

<16.

Cflu 3 (1,5 di€m).1) Cho

phucrng trinh

(

)x+mY

l*-Y

hQ

=m2

m aC tQ

(x;y)

1.. Chung minh rdng tli6m O ndm trong
ho{c ndm trdn c4nh cira tam gi6c ABC.

tfll lon

iAil=6a,

ne"

+AD

LEMA (c.g.c) +EMC=EAM. Mit

ifri=6i

tim s6

k .nhd nh6t sao.cho trong m5i
tu c;ua A dAut6n tai hai.s6

gOm E phin

phdn biQt

a,b md a2 +bz li mdt

sd nguy6n t6.

NGUYEN VAN XA

Gqi N=BJ\AD thl BJL AD tai N = N h
y61 6fgy
trung di6m cin AD
=AN=DN=S-.
2
c)

c6 NKttBM _BM
-N{=4. Ta c6 ffu=B=+ffy.
2

JB.

fifi=frds.

X6t AA,IN vd

A LMOB (g.g)
./N AN .,TN AN -.JN- AN
.= oB= MB- 2oB= zMB' JB- 2MB
AAJN

KD

:

3KA,

#=+.

6. Gie sir n=ab (a, b ldc6c cht s6, a

I

0)

Ddt b=ma(meN.,mcl0).

Tt d6 ;=10 a+b=l}a+ma
1O

at ma

o Nliu rr

=10

:

1

i

m>

thi

m

b:

e{t;

Z;

chia h6t

cho zaz. N€n

5\.

a.Ta c6:llat

az*lli a*a=7.

Dodoa:b:1,tac6 ab=17.
o N6u z : 2 rhl b : 2a.Ta c6 c6c s6 tZ zq; 36. Cdc

a:

1.

:

5, suY ra

56 oU=tS (th6a mdn Ad Ua1l.

Vay c6 nlm s6 thoa mdn d6u bdi, d6 ld:

laco

AN (-l{\=rvr=4{ +ex=NK=A!
)
2
MB- 2MB\ JBl

: DN
=

s6 n;zq;36 th6a man dA bdi.
o Ntiu z : 5 ta c6 b: 5a +bi.5. NCn b

LMBO c6 AJN=MOB, suy ra

NK

NKvd AN

Theo diu bdi, ta c6: U+O.aUiaU+(lOa+b)ia+bt a.

Vpy tam gi6c ABD c6n tPi.B.

ncn

Ti AK:
rnd6

Bii

llBM=5h=614=fiA.

2^
^e frN=!frE

HaY

(GV THPT Yan Phong s6 2, Bdc Ninh) Sru tdm

EM.
EA=E-.

a

ddi doan

bAng

-2x-y>0.

Do d6 A,ECM

<10

3) Chrmg minh ring ile , ounelP Ciu 5 (1,5 di€m).1) Cho cluong trdn t6m O Q6n
kinh 1, tam gi6c ABC c6 c6c trong ducrng trdn vd c6.diQn tich lon hon ho{c

thoa

chuns, EM
xe, LECM vir a,EMA c(: Ciil
"",, ";:

.

cho ai6t

nguydn ducrng

-2

phucrng trinh c6 nghiQm duy nh6t

7

tintr
fir+ftr=fi,
BC.
2) chung minh ring
# =#
1)

2) Cho tfp 6={t;2;3;...;t6\.

=3Y11

v\i x,y lir dn, m lir tham s6. tim
mdn x2

Cho tam gigc AB-C c6 !a g6c
nhen, n6i ti6p cluong trdn (O) .(AB < AO. Cic
ti6p tuy6n vO (O) t4i B vi C cdt nhau t4i N. Vc
aaj, dU song song vbi BC. Dudng thdng MN
cdt dudng trdn (O) tqi Mvd P.

Ciu 4 (3 diim).

1) Rtit gen P.

ll;

.

12; 15;24;36.

NGUYEN OTIC TAN
gP. HA chi Minh)

TONN HOC

4';.ruoi@

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Chui'n
cho

tr

[i

lrilhi

tdt ns[i0p illPT

vi thi uio
Oai hoc

hu.ng ta thdy rang trong di thi Dai hpc cdc ndm
Q
v gdn ddy, cac bdi phuong trinh (P7), bdt

Cdch 2. Ta c6:

li(r:fl=tz-x,lrfi

phtrong trinh (BPT), h€ phuong trinh (HPT) duoc
gidi bdng cdch nhdn luctng hAn ,hW, .ddt,nhdn ta
chung dua ,i pr, BPT tich ld riit phii bi€n. Nhiiu
bqn dqc thudng ddt cdu hdi: Co sd dO c6 cdch gidi
nhu vQy ld gi? De giilp cdc em hoc sinh c6 co sd dii

tim duqc ldi gidi bdi todn bdng cach nhdn luqng
li€n hqp, c[ing nhu d6n dau cdu,v€ PT, BPT,,HPT
trong d€ thi THPT Qu6c gia sdp tbi bdi viAt. ndy
trinh bdy cct sd dd c6 ldi giai cho cac cdu vi PT,
BPT, HPT trong.di thi Dai hoc cdc ndm trudc ddy
th6ng quc mQt s6 thi dq sau

(1)e

Thi dy 1. (EH kh6i A - 2014) Gidi

Thay y =12- x2 vio PT (2) ta iluoc

he phaong

e

llxz - zax "lnj

<+

l2(x

*')=Aa-2ax.tD1 + x'?(tz-y)
o lTy -144 +24x$2J -12x2 = 0

o<'

Cach t.sr,
vuLtt

t'-tt'

t x <2Ji -laco:
[-2$
l,

Do d6

+r5(u:*t)
. x2

D(12 - y) = o

-JO))'z =o <+ *=,12-t

|.Y

= 12- x2'

-8x -l=2JT6-x'z
-8x -z =z(Jto-V

-t)
<+(.r-3)(,r2+3x+1=p\
' Jlo- xz +l

.[*=*?,a,p@:fl=':+ty

+

[x>o

<> x3

gi,rti

x,!tz-

y(12-

x3

trinlr
Lrri

)

* (,,-3)[(
' 'L'x2 +3x +l y*Sf.l
' Jto-xz +tl = o
<)

x=3>

J =3 .
Thu lai ta dugc nghigm cira HPT U
Cach 3. DAt

+12- y *y +12- x2 _ r,

22--'
o
vdv
PT (1) e
i'J--\
" l'=

;

= (x;

Jn:F),i, = (,ln t ; Ji).

Jo

ra c6

l;l =lil=
Pr (1) ez(x.{rz-y

ly=12_x2'

(:;:).

+$@-q)=z.tz

Thay y =12- x2 vdo PT (2) ta clugc:

-,

-,
e2.a.b=a
+b'
e\a-b)-r2 =0e a-

-8x t=2,[19-*z
<=) x3 -8.r- z+z(t-JiO-r,
)=

*x-JO).rl'>o

_

x3

<+

(

(-r-:)l
\ /(x2 +3x +; a-

o

z(x+3)
-1] )

l= 0

1+J1o-x2 )

rhay y =12-

xz"uY#bjf, u-n"

xj_gx_l=2,1T0_x,

(3).

Do x > o suy ra xz +3x +11-2('I1)- , g.
1+ J10- x2
NCn PT (3) <+ x:3 .YOi x =3 ta dugc y = 3.
Vfly h0 phuong trinh c6 m6t nghiCm ta (:; :).

b

<)

x3

-8x-l = z(Jio-7-t)

<+(x-3)(x:*:r*l;=ffi
. t(x:+3x+ l)+$!
2(x$\
e(x-s)l'L'
' Jl0-xz+l-ll=6
'
1

ta nrn,n-roru,

T?EI#8E

5

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


<>J=3-y=3.
Thir lai ta dugc nghiQm cira HPT U

t

(:;3)

o

.

Binh luQn: Qua ba"c6ch gi6i tr6n ta th6y ring,

phuong trinh (l)

c6 th6 tlugc su

lf

bang nhi6u crich

kh6c nhau, nhung sau khi thay y=12-xz viro
phucrng trinh (2) ta dugc PT

p _gy_1=2[g_yz

(3).

V6i

Xin dugc trinh bdy c[n cf d6 nhu sau:
- Ddu ti6n ta dirng M6y tinh b6 flii (MTBT) dC tht
nghiQm, ta th6y PT (3) c6 hai nghiQm ld x=-1 vd
x=3. Tuy nhi6n ta chi quan tdm t6i nghiQm x:3
md kh6ng quan t6m t6i nghiQm x=-1 vi di6u kiQn
c6 nghi6m li x>0 . Nhu vfy ta phii ldm xudt hiQn
d4i lucrng x-3 <16 dat nh6n tu chung, nghia ld ta

phii dua PT (3) .r,4 dang (x-a)7(x)=o. Mu6n vfly
ta phAi tim s6 a sao cho bi6u thtc ZJTO - x'z - a
sau khi nhdn lugng li6n hqp xu6t hiQn dai luqng

x=3.
- Do PT (3) chi c6 rnQt nghiQm x=3 n6n cdch dcrn
gi6n nh6t dC tim a ld ta thay x=3 vdo PT

2[g-x2 -a=0 ta tim dugc a=2. (Luu y ld do PT
(3) c6 duy nh6t m6t nghiQm nguy6n n6n ta mdi ding
c6ch tr6n, nt5u PT (3) c6 hai nghiQm nguy6n ho{c
kh6ng nguy6n ta sE ding c6ch kh5c sE dugc trinh
bdy 6 phdn sau).

- Do tl6 ta c6 PT x3 -8x-1 =2JT6:P

<+x3-8x-3=zJtO-x'-2.
Thi

dqt

2. (DH kh6i 8-2014) Gidi

h€

phactng trinh

+x:z+(x-y-t).F
fzy, -:r+6)+ t =ZJi2 - J4x -srt
f(t-.v,1/,.-,

(1)

Q)

r

1_ )^
t=n
x-l +,12-x )
I tJ5
<> -r2 --r-1 - 0 :--,
'-)^"= 2 '

o(.r2
. _x_l)l,\ 2*-.

Tt

d6 ta tim dugc nghiOm ctra

td: (3rr;,I

[v=o
lx -2y >0
lax -5y -3

(*).

Ta c6

>0

pr (1) o(1-y)(,*E-y-r)+("r-y-t)(t-fr)=o

(

<+(

:

t-v)(x-v-t)t51;I ,---L)=o
t+ly)

*[ l=l
!:x-I'

1a;

phuong trinh

2 )

\-

l

hQ

l*-6,-tI6)

Binh lufln:

o Khi dgc ldi gi6i HPT h6n, chlc chin nhi6u ban sE
d[t c6u h6i: "Co sd ndo AC Uii5n d6i PT (1) thenh PT
(3)?". Sau il6y ld mQt cSch tt6 tri ldi c6u h6i tr6n.

- Thay x=3 vdo PT

(l) tadugc:

(t-y)J:-y +3=2+(2-y)Jy
- Thay

x=4

(a). Dirng MrBr

y=t vit y=/

tim dugc nghiQm ctra PT (a) ld

.

vito PT (1) ta dugc:

(b). Dune MrBr
tim dugc nghiQm cta PT (b) ld y=I vd y=3 .
- Nhu v4y h rhdy ring v6i x=3 hoic x=4 thi PT
(1) 1u6n 1u6n c6 nghiQm y=l . Ta dq do6n PT (1) c6

(r-r)!4_) +4=2+(z-y)J,

(y-1)/(r;r)=o .
- Mat kh6c ta thiy ring khi x=3 thi PT (1) c6
nghiQm y=2 .Y-hi x=4 thl PT (1) c6 nghiOm y=3.
Nhu vfy m6i quan hQ gita x vit y ld y=l"-1. 7u
dqr do6n PT (1) c6 ttr6 dua dugc vd dang
(x-y-t)s(x;r)=o .
th6 dua dusc v6 apng

- Tri c6c nhfln x6t tr€n, ta dU do6n rlng PT (1) c6 th6
dua dusc vc aang

Ldi gidi. DK:

(2) trd

thdnh:2x2-x-3=Jre 2(x2 - x - 1) + (x -r- J2 - x) = o

PT

xr-8x4:2([6A-t)t

:

9-3x=0<>x=3.
o V6i y = x-1, DK (*)e 1 < x a2.PT

Thi PT (3) ttuqc gi6i bing c6ch nhdn luqng li6n hqp,
d4t nhAn tu chung dua v6 tich ld tlon gian nhat.

Tuy nhi6n cin cir niro d6 ta bii5n d6i
p _gy-1=2$$*yz (3) thdnhPT

y = L, thay vdo PT (2) ta tlugc

(r - t)(x

Tri d6 cho ta dinh hu6ng

Pr

-,

-r)n(x;r)

eC Uirin

=o.

d6i PT (1) thanh

(3).

- Tuy nhi6n, ntiu bdi niro cflng phii lQp lufln nhu h6n
thi sE r6t m6t thdi gian, c6 16 t5t hcrn h6t le c6c ban
phii chiu kh6 gi6i nhiAu bdi tQp, d6 bi6n k! ndng
thdnh ky x6o, sao cho "nhin vdo bdi todn ta thiy"
ngay c6ch gi6i.
r Ngodi ra, trong khi gi6i HPT tr6n thi d6n d6n PT:

2*z-*4=$-i

19.

Ta c6: PT (4) tuong duong v6i

,. TONN H9C
O 'cfuoiff@
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


z(x2

-x-t)+(x:-Jf-)=o

(5)

C6c ban sE d6t c6u h6i tl6u ld co sd AC UlCn d6i PT
(4) thenh PT (5). Xin dusc hinh bdy co sd d6 nhu
sau:

- DAu ti6n ta dirng MTBT dC thir nghiQm, ta th6y PT
(4) c6 nghiQm (gAn dung) ld x=1,618033989...Ni5u
nhAm nhanh ta th6y

ring x=1,6180:agSg...=l+J5

2"

PT -xz+x+1=0. Nhu

fl-x-l=0

ho[c ld

-*+x+l

ngin ggn nhu sau: Trong PT

2*z-v-3=$4

hiQn bi6u

thirc

chung n6n ta bir5n AOi pnan

xu6t hiQn
2az

2(xz-x-l),

-y-3=Q-a

thinh

x2

-x-l

OC

2P-x-3

nghia

ta

e6t nlan tu

trudc vd

lim

ld ta bi6n d6i

PT

2(*-x-t)+(x-t-,0-x)=o

.

Nhmg ntiu PT chria nhi6u hon mQt cin thric thi ta
kh6ng thd ldm nhu tr6n dugc. Xin trinh bdy phuong
ph6p t6ng qu6t nhu sau:

- Trong PT (4) chfta
mQt i14i luqng

.84,

khi d6 ta phdi th6m bort

a , nghia ld ta biiln

1D-x tnanfr
Q-x-a sao cho sau khi nhdn lugng 1i6n hqp thi
xu6t hi6n bi6u thric xz -x-l ho(c -fl +x+1 . Luu f
ld biilu thric cAn ,,rr6t hi6n ld bQc hai n6n a khdng
ph6i ld mQt si5 md a phbic6 dpng d=ax+b .
OOi

- Khi d6

Jz-r -a=Jz-, -(o,r+b)=
-'-'"/

"lr-x+(ax+b)
=9+\
-axz ndnta

Sau khi nh6n 1i6n hqp xong xudt hiQn
sE

cho

2) + (x +

6)(,En - 3)
-(x'z+2x-B)>0

/Jx+1+3
/Jx+2+2+ \.r + o\-E\ l\-E-

<> ( -r +

(

-(x-z)(x+4)

-2x +1 > ax+b= x *l .
- Nhu vfy ta phii th6m vot m6t dai luqng ld x+l

_

(^
suuru
[x+6>0 "
x+6 r,-I4r=_
x+l
/ ,\ x+2
_r
\^
Jx+2+2' Jx+1 +3 ' '/ Jx+2+2

Do

x) -2

n€n

pT 2xz_y_3=E_x .
- Voi phuonC ph6p ti5ng qu6t tr6n, c5c ban c6 th€
gi6i ttuqc c6c PT, BPT chila cln thric bdng c6ch

)x+2-0.

I

x+2 x+6 x+6
' Jx+1

^

+3 2 Jx+2+2
Do cl6 BPT (2) a x-2 < 0 <> x<2.
2

--r-----/ll

So s6nh v6i tli6u kiQn ta dugc nghiQm cira BPT

ld

-2
t Binh luQn: Ta th6y ring bu6c bitin d6i BPT (1)
thdnh BPT

e)(8 +f 4) - (xz + 2 x -8 ) > 0 (3 )

(x + r)(,{i +Z - z) + (x +

h m6u ch6t cria bdi gi6i. Vfly co s& 6 tl6u d6 c6 dugc
bu6c biiSn dOi trenZ Xin trinh bdy nhu sau: Diu ti6n
ta thay d5u " ) " bdi d6u ":". Nghia ld ta thay BPT
bing PT. Dung MTBT d6 tim nghiQm ta th6y PT

(x+t).{i+T+(x+6)Jii=xz
nghiQm duy nh6t

x-2

can tim hai sri

a

A6 Aat nnan

vd

B

c6 nghiQm x=2 . Thay

1"^=:

+7

x+12

c6 mQt

x=2. Nhu vfly ta ph6i ldm xu6t

hiQn dai lugng

= xz

vdo

>o

+4 --(..++)l
<+(*-zt[#
' '-l >oe)
' 'l,lx+2+2 ,lx+1 +3

2-x-(ax+bf =-vra*a1

e(ax+b)z

-

vQy chring ta ph6i

fl-x-l

hm xu6t

(x + r)(J x.+ z

.

ho[c
d6
ldm xu6t hiQn dai lugng
d[t nhan tu chung.
- Do PT (4) chi chria mQt cdn thirc n6n ta lQp lufln
cAn

Ldi gidi. EK: x > -2.

V6i di6u kiQn tr6n, BPT (1) tuong duong v6i

2

Me x=1+6 ld nshidm cria PT
nghiQm

Thl dyt 3. (DH kh6i D - 2014) Giai bdt phutrng
trinh ; (.r + t)'[i +2 +(x +6),[i +7 > rz +7 -r + t 2 (l).

sao cho

x=2

trl chung. Khi tl6 ta

HPT

{E-"=o
-B=0
llx+l

viro hg trCn ta tim dugc

Ddy chinh ld co so o,i ui6n aoi

ser

lF=3

1t;

thenh BPT (3).

nhAn luqng li6n hgrp mQt c5ch dE ddng.

- D6n d6y c6 16 c5c b4n sE th6y ring d6 giei mQt PT
chria cdn thirc bing cdch nhdn luqng li6n hqp don
giin nhu th6 ndo.

khii B - 2013) Giai hQ phao'ng trinh
(1)
l2rt + yt -3ry +3x -2y +l=0
1
Q)'
\+r' -r' +x+4=,{Tx+y

Thi

d1r 4. (DH

+,tx;$

sdnsn("-rors)

T?A|#B:7

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !

r=0 vd r=1. Thay x=0 vli x=l viro PT (7) ta
tluqc hQ theo a vd b. Gi6i h0 HPT theo a , b ta

>o

Liri sidlr".
"'-' {2x+r

l.x+4y > 0'

dugc a=1 vir b=2

Ta c6: PT (1) tucrng
(x+r-y)(zx+ I -y)
Vdi Y =2x*

o

1,

=o

thaY

vio PT (2)

.[4x + | + Jrx + 4 =
Ta c6

[--.-o-., r
l' - "^ :' .
LY='+1

<)

o Cdch2.Tac6

ta clugc

3-3x

$r ar -(a

:

(ax+

x=0=)=1.

V6i y = x+1,

[#;;f

.c

'

ph6i cho

thay vdo PT (2) ta
(4)
=3x2 -x+3
-(.r + r)] * [Js, +a -(x + z)]
=3(x-1)x (s)

J-*..:l--

*:) = o
'IJ3r*l +(x+l) ^l5x+4+(x+2) )

-."\(

lx2-x=0

el
" l

II
-

e

x2

Tt

d6 ta tim cluqc nghiQm cira

'[x=l'
-x=o<+l
hQ phucmg

trinh

di5

tim nghiQm, ta th6y

ld r=0 vi x=1 . Md x=0 vd
nghiQm ctra PT fl-x:O ho{c PT

PT (4) c6 hai nghiQm

-x2+x:0. Tt

d6 ta c6 co

sO
d6i PT (4)

thAnh PT (5) bing mQt trong hai c6ch nhu sau

o Cdch 1. Ta cAn tim hai sii

.$x+t-(ax+f)=O 61

a

vd

B

sao cho PT

c6 hai nghiQm ld

x=0 vd

x=l . Thay x=0 vd .r=1 vlro PT (6) ta dugc hQ PT
theo a vd B.Gi6i HPTtheo a, B ta dugc a=1
vd p=1. Tuong t.u ta cdn tim hai s5 a vd b sao
cho PT

B

=x+1

=-*'**

.

chir kh6ng

5 * +4 -(,x

+

(?'.bl,

d=Y!,
't .7sx+++(ax+b)'

Cho 5x+4-( ax+b)' =-vz
(ax+b)2

'"x

ta

du-o.

c

=7' a4x+4>ax+b=x*2

.

Chirng tdi hy vgng ring qua nhirng thi du vd
nhimg binh lufln tr6n phAn nio sE girip c6c em
hgc sinh t.u tin khi g{p c5c bdi to6n v€,PT, BPT,
HPT trong ki thi THPT Qu6c Gia sdp t6i. DC
thdnh thao phucrng ph6p nh6n lugng li6n hqp,
c6c em hdy thir ldm c6c bdi tflp sau

Gi6i c6c PT, BPT, HPT sau

u (o;t),(t;z).

x=l h

+2x+l+qx+

BAI TAP

*=o

0 Binh lu$n: Dring MTCT

=x2

3x+l-(ax+Pf =x'-*1.

I
' ..6Lx+4 +(x+2\ rI-A
+tr+l)
LJ3*+t
T

-

Tucrng t.u ta c6

-xz+x _ -al-:_,\
^ -x2+x -' ,[ix+++(x+2)
-\"
-.l3rTT+(x+l)
o(

B)'

(Luu y ld cho 3x+7-(ax+Bf

$i+l+J5x+4
<=

P):,
A=-:(?!:
' $x+t+(a**9)

Cho 3;+1-( ax+ p)2 =-1s2 +.r ta dugc

NOn PT (3) ntiu c6 nghiQm thi ld nghiQm duy
nrr6t. Ua /(o)=s(O)=3 nen PT (3) c6 nghiQm
o

x+

(3).

/(x) = J4x +r + Jgx + 4 tl6ng bir5n.
s(r)=3-3x nghfchbi6n'

duynh6t

.

$*aa-(ax+b)=g 0)

c6 hai nghiQm ld

JV +8 -z = Jx\r5.
2. J, a2', J5* a +zJBx +9 = 4x2.
n-1 -2

t.

31,1V +

:.

Vzx-S *

4.

6x3

s.

z.lr'**ll
1l x+4

6.

JTx+4-zJ2-x

rl-f

=

-5xz -l}x-tO+JZx-z+Jlx+z <0.
+_r2

_4<-L.
,l*r+l

rH.
J9x2 +16

(_
,

.

-

),tiltn + t= 4(x

(fi +a +,tS +5

.i.<_|

*.

+

=

t)' + Ji ^[* +,

J2 x,

+ J-2 xz +

4JIy

4A

.

Jix, +txylry +,{T*TIxyTff =3(x+y)

[J2x+y+ I +21fi x + lZy +8 =2xy

+y

+5.

HOC
N TO6N
icruaEA
s"tttt-"'o
I

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


}.

A

.. ,..

\a
\er
.i
It
'a

?

}IUONIG DANI GIAI OE S
Ciu 1. a) B4n
t.u gi6i.
qb) Toa d0 diem udn ctra dO thi (Ct (O:m)
1n2.i----E

<19c

3t

)n

n6n cludng theng

,

o

(d)

c6 d4ng

PT hodnh dQ giao di6m cria

!

j sin 2x.ln(2

= l
1n2

fr
1e

o[tn(ztanx)]
h(2tanr)
n

= rr'l
tan x)

n

(C^)ve (a) n

-3x+m =kx+m o # -(k+3)x=0 (1)
oc (a) t4o v6i do thi (C. ) mQt hinh phing thi

PT (l) phdi co 3 nghidm
-3, hic d6 3
x3

=k>
x=0,x--Jk+3,y=Jk+3.

nghiOm cua PT (1) ld

Vi 1ld t6m d6i ximg cta (C. )nen diQn tich ctra
hinh phdng (Il) ld:

^

uro

./t+l

s=

2 J lt x + m- x3 +3x -mT* =)U, *21'

vay

0

+

1

1,

e ;(k +3)' =2=

ln

rinh 'J#=]rnr,*rilf =)nJ1

=y?

h(yf').+,"*

-! (vi t > -3).
Cflu 4. a) Khai tri6 n bii.lu thfc tr6n c6 sii h4ng
Lric ndy PT (d) vitit lai y=-x+m, (a) cet
thf (fr+l) ld Clxzk , (tr.r).
hai truc tea ilQ tai hai di6m A(0;m),a(m;O).
-8
Vi (7) ld tam gi6c r,udng cdn, n6n di6n tich cira ru gii thi&c6
{A =210
(n li S =i.*'.
+ k = 4.Ca =210+ ;;lnl ;.,;=z1o
Tir gi6 thi6t S -2=, m=2, hodc m=-2
atln-a)l
S=2

k=

L

1

.

Cdu2.DK:x

*9.ruro
2

o
o

tan x.cot2x =

(t + sin x)(4 cos2 x + 4sin x -5)
<> tanr.cotZx =3sinx -4sin3 x-1
<> 1 +ran x. cot 2x = sin 3x

[----L:-l
x.sin2x

<+
sin :.r
' '""'""-\cos

-

* a*1k=
\=

Eat

sin3x

EK,

ta

tt
2x
x=5*t?tlLx=
+mfi.
3

.

sin2x.cosx = 1, phucrng trinh ndy v6 nghi6m.
Vfly nghiQm cira PT dd cho ld
it
2n

Ciu

gi6i PT ndy ta dugc n

-(o*l)z
(C) : (,r

+bz =34

>M

th.uOc

r.]------

a'--

*

j sin2x.ln(2tanx)

44

tJ

*

sin2x

.

-l)' +y'= 34 . Vi lz+l+mil=lz+m+2il

,=ir"?l!(2,*4*
j sin2x.ln(2tanx)
=,rr

.

tludng trdn

Do d6 Mnimtrdn rtudng thing (d):

rfr

10

b) cie srt M(a;b)ld di6m bi6u diSn s6 phric
z : a+ bi,(a.b e R), vi
lz-11 = JtA

*

3. Ta c6:

:

Do il6 tdng c6c hO s6:
Cfo +Clo +Cfo +....+Cl3 =(1+1)'o =2,0.

r=j*mrqx= 3+mfi. \meL).

4

Tinh

vi

5040.

(1+ xz;10 = clo + -x2cl o + xaClo+.... + x2'10C1fl

)

sin 3x = Q 41 * = * , AOi chieu vcri
th6y PT ndy co nghirQm ld

An phu

5040

Ta c6

o.

.

- z)(n - z) (n - t) n=
(n' 4n)(n'z -3n+2)=
(n

+t)' + (u + m)'
= 2(r - m) a + z(m'
(a

= (a +

m)'

+ (u

+z)'

z) u - z = o.

z(t-m)x +z(m-z)t -3 :0.
D€ c6 hai s6 phuc z' z, d}ngthcri th6a mdn hai
-c6.hai
DK da cho nghia ld
di€m bi6u diSn
Mt,Mzcira hai s6 phric l6n luot nim tr6n hai
giao di6m cria (C) va (a) , lrr-rrl l
ts nrn,r-ror'

T?8I#EE

q

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


e

MtM2ld ducrng kinh cira (C) hay (a) Wa
tdm /(1;0) cita (C)

=

1

-z)l -3= 0 = m = -i.

2(r - m).t+z(m

x-y-0,

Lric ndy dulng thing (d) c6 PT 3.r-5y-3=0.
Tqa d0 cita M, MrldnghiQm cria hQ

*"

{!'-t]'

^34

l3"r-5y-3=0.

Vfy

kinh

rR

Gsi r

=

R: IK=J5.

Vfy clucrng trdn ndy h ("r-s)'z+(t-4)'=5.
Tri d6 tim tlugc B(3;5),C(6;2) hodc 8(6;2),

ld zr=$4Ji,zz=-4-3i.

c6u 5. Mit cau (E c6 tdm I(-2;-1;1) vd

C(3;5)vd A(6;6). Vay

b6n

=../5i.
ld b5n kinh duong trdn thi6t diQn, tri gi6

i= r =l

€

12 fi=
thi6t c6 S =7r
Gqi d ld khoing c5ch tu

.

/ d6n mflt phing (a)
taco d2 =R2-12=4=d=2.
M[t phing (") qua lr(o;-t;o) c6 dans
ex + B(l +1)+Cz =O

a Ax + By + Cz + B =O (A' + Bz + C'z + O).

u (a) qra M(r;-r:l) non
A+ C =0

l-:al

phing (a)

C6 hai mpt

cAn

A2

=!,fil

=iry 3E

CAu 8. DK: -r > 0, ta c6:

:ln x) Ex' +2=.r+

(x

Xdt him sO

f

'

tl=

1

<+

1

-1=
x

8'(x)=0<> x=

Ta chimg minh dugc LAMG l'u6ng tqi

M,

n6n.duong tron d6y cta

(II) c6 t6,m I7 td truirg di€m AG, c6 ban kinh
R =+. ra c6 oo=t#=f o
=n=f o
.

so=oH =*cc;

ld giao di€m

cua

n€n

AC,

cc=ff=fro>ou ={o

Vg1=!rn'.oH =
*Eoo'

- -- TORN HOC
t 0 ; cn oifta

qd

,

cling

*1,1' .15

\x/

T-

Z

x
.

Khi al6 P= o'= + b'=

*.r*11.
c
a+b a*b

r a c6

az + bz > ab (a

+b)=

(via>0,b>0).V{y
p >!+ c, *E = r, **
Ta c6 .f '(c)

=Zr-4*
c'

h.h.
=

ou

f @),vc

=l

e (1;+.o).

f '(c)-O e c -2.

f (c)>- f (2) = 12. Tt
s: {)y =)y

Lpp bing bi6n thi6n ta c6
<16

vay thc tich hinh n6n ld

1.

(*)' (r)'

c>l
Ddt
' a=L,6-l,s=Z=,a.b.c=1,
y' z x

D

L(a)>OH llSC=O

I'

9. Ta c6

YZYZ

oH

.

khi d6

uffi6=/'(x)=o<>x=

*\r)
,_\v)
x,! x,l

Vi OH le dudng cao (1,

ffi

:

Ciu

{

i=

tn

L4p bing bi6n thi6n c6 g(x) ) 1, Vx > 0
thrlc x6y ra khi x 1.
VQy PT c6 dring mQt nghiQm x : t.

.

,s

AANG vu6ng t4i

(x-

11x1=;$'.
lZxz+2

g'(x)=

Cf;u 6

A--

=6(dvdt).

:

:

-22+l=0i 2x-y -22-l=0

2x+y

nc\. BC

cling thric xiry rakhi x 1.
X6t hdm s6 s(r) = x-lnx, khi d6

.

;'L^ = *)-

tim v6i PT ld

s*" =la(e,

Lap bing bitin thi6n ta c6 f(x)<l,Vx>O,

= Pr(a) : Ax + By - Az + B =0

vi a{l,a)=fiftf=Ze

II(

gi6cABCld

= M,(o;:), ur,(-+;-z).

hai s6 phirc cdn tim

CAu 1. Gi6 sir AH l6'n lugt cit BC vit tluong
trdn ngoai tii5p tam gi6c ABC t4ihai di6m E vd
K,ta chtmg minh tlugc E ld trung di6m 1/K.
Vl AH IBC n€n AH:
E = BC r-.AH
= E@;4 vd E ld trung cli6m
K(3;3). B5n kinh tluong trdn ngoai ti€p tam

minP

=!2 e

.

NGUYEN LAI
(GV THPT chuyAn Luong Vdn Chdnh, Tuy Hda, Phil YAn)

ls, te-rt,t,

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


'sx{q-r ses#'E-ffi

&f##

K$ Trf,H

oEs6z
(Thdi gian ldm bdi: lB0 philt)
ddy ,4BC ld tam giSc cdn dinh C; tlucng thing BC'

tl*u l(2 di6m).Chohdms6 ,=i;
a) Kh6o s6t vd vE aO

tfri(A

cria hdm sri.

t?o vcri mit phing (ABB'A') mdr g6c
600 , AB = AA' = q. G}i M, { P ldn luot ld trung

b) ViCt phucrng trinh tii5p tuy6n cria (ff bi6t ring titip
tuydn song song v6i duong thbng A :3x + y = g.

diiSm cira c6c cpnh

t-iiu 2 (1 did@. Ginic6c phuong trinh

thdngAM, NP theo a.

BB',CC',8C. Tinh th6 tich kh6i
hng tr.u ABC.A'B'C'vit khoing cdch gita hai du
1

log* x2 *]tog, (r-1)'=tog, (tog,, s).

c6 phucrng trinh canh AB la
x-3y+5=Q, phuong tdnl duong chdo BD

nhat ABCD

tf iiri J (1 di€m).Tinhtich ph6n

r='f, ln'-1,
e3

"i

-y -1 = 0; bit5t ring ducmg ch6o AC di qua tlir5m
U(-O;Z). Tim tsa d6 c6c dinh cria hinh cht nh6t

ld x

a..

{r_(rnx),
r
rl lx
\

{ ;iir -l Q di\@. M6t chi6c hQp c.o 6 qud cdu mdu

ABCD.

trdng, 4 qua cdu mdu d6 vit 2 qub cdu mdu den. Chgn
ngAu nhi6n 6 qu6 cAu. Tinh x6c su6t O6 6 qu6 cAu
dugc chgn c6 3 qud cAu mriu trhng, 2 qud ciu mdu
d6 vd 1 qu6 c6u mdu den.

(lriru ti (1

ir:

(1 didm). Trongkhdng gian v6i h6 truc toa d6
g6c
vu6ng
Oryz, cho cdc di6m A(; 2; O),8(3; 0; -3),

C(5;2; 6), D(0; -3; l). Chimg minh ring clc di6m A,
B, C, D li bdn dinh ctra mOt tu di6n vi tinh th6 tich
kh6i tu di6nABCD.
<

(

5

rru 6(1 di€m).Cho lSngt4r

didfi . GiiihQ phuong trinh
x(x+y)+
= lE (lrf .t\
l
'
fx2y-5x2 +7(x+ y)-4 =6i/rf-x+ I
{'iiu s(l di6m). Cho a,b,c ldciic s6 duong th6a min
r

lii

abc + ct+ c =

-D_a2 2+l

b. Tim gi6 tri lon nh6t cta bi6u thirc

2

h2

+

I

4c
Jat+ I

3c

(., * t).[r+

t

NGUYEN VAN THONG

dtmgABC.A'B'C'c6

(GV THPT chuyAn LA Quy D6n,Ed Ndng)

PR{,}BLEh{S' ...(Tiip litt'o t;.iti! li't
Elro!.-lr*r

-l'l3l'*54.

Given three positive numbers

a, b,and c. Prove that

( o \' ( t \' /

.'
l;.6).[rh) .[#J
-/
:'2

unique solution, say xn . Find lim x,.

o b ' \
>?[
- 2\r+b* b+c'* c+a
)'

TOlt .t R L!5 Fr{A'f' Flf, R{AT
(}t_Yhf $,tAfi
Froblem T'9i45,i" Let d be
coordinate plane with the

[C

A[,

a line in

the

equationy=*r**.
2.7

Let q and a2 be two distinct lines which are
parallel to d. Suppose furthermore that the
distances from a1 and a2 to d both are equal to
I

t'2
-.

Frohlemr TI0/45.1. Prove that, for each positive
integer n, the equation2}lf * nx :2013 has a

Is there any integral point, i.e. point with

both coordinates are integers, between or on
two lines at ald az?

Pr*h{ama T'11id54.
functions

/:

(x + y) 7 (x

+

IR.

-+

IR.

Find all

continuous

which satisfy

t) = xf (x)+ y7 (t)*z*r, vx, y e tR.

{lrolrl*m T:U/4$4. Given a triangle ABC. A
point Mvaries on the side BC. Let (I) and (12)
be the inscribed circles of the tnangles ABM
and ACM respectively. A common tangent line
XY of (1r) and (12), which is different from BC,
intersects AM at N (Xe(I); Ye(12)). Let Z and
7 respectively be the tangent points between
AM and (I), (Ir). XT clts YZ at K. Prove that
NK always goes through a fixed point.
Translated by NGUYEN PHU HOANG LAN
(C o I I e ge of

S c ienc

e-Vietnam Nat ion a I (Jniv ers ity,

Sti asa @-zotsl

H an o i)

TOfiN HQC * *

-:qTtffib6

{[

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


8AN DOC

riM
ror
uyEN NGQC GIANG
gP. aa Chi Minh)
kho tdng cdc bdi todn todn hpc c6 m)t
ainn H v6 citng noi ti€ng vd rdt quan trpng db
ld dinh li con buom. Sd di Etan trpng ld b&i, dinh li

$frong

il

con btrdm ld diii.twgrtg nghiAn ctu cd trong 9ltuong
trinh todn so cdp cilng nhu cao cdp. Cho dOn nay,
ngucri ta dd tim ra 2l chilmg minh dinh li con budm.
Ca, mi tudn md rQng thi frt nhiiu, di€n hinh cd th|
ke din md rQng dlnh li diji vA dudng tdn thdnh
dinh li aai vai c6nic, dinh li con buom don thdnh
dinh li con babm kep,...Dinh li con brom da. c phdt
bidu nhu sau

Elnh li 1(Dinh ll con bucrm)
Cho PQ, AB vit CD ld ba ddy cung dadng trdn
ding qu,y tqi diem M, vtti A, D niim vi citng mQt
phla doi vo'i drdng thdng PQ vd B, C ndm v€
phla cdn lai. NAu PM : QM th.i XM: YM, d
d$t X vd Y ld cac giao di€m ldn laot ctia PQ
voi

AC

vd BD.

Nhu v4y, dinh li con buorn cho th5y, thri nh6t,
ba ddy cung PQ, AB vit CD ddng quy tai M
vi ba ddy cung nhy nim trong duong tron; thir
hai, PM -- 8M vd thri ba, k6t htQn W =YM .
Chring ta thay dt kiQn ducrng. trdn bing tam
gi6c, ba d6y cung {6ng quy n[m trong ilutron bdi ba cevian tl6ng quy ndm trong tam gi6c
(Cevian li ito4n thing c6 mQt dAu ld dinh vd
dAu kia nim tr6n canh tl6i diQn dinh ndy cria
tam gi6c cho tru6c. Cevian ld t6n xudt ph6t tu
nhd to6n hgc Italia nOi ti,ing md ai trong chirng
ta dA:u bi6t - Ceva), tinh cUdt pu : QM dugc
thay bOi hai g6c bing nhau thi ta dugc bdi to6n
rdthay ggi ld dinh li 6u trung con budm. Dinh li
au trirng con buom cfing c6 r6t nhieu tinh ch6t
tuong t.u nhu dinh li con bu6m.
Dlnh

li

6u

a) tiu trirng con baom tha nhdt:
N€U ADB = ADC Ihi ADF = ADE.
0 Au ffilng con babm tha hai:
N€u DAB = DAC thi DAX = DAY, 6 ddy X:

FDr-tBE;Y= EDaCF.
Dinh li ,iu trilng con baom th* nhdt (phin a)
chinh ld bdi to6n thir 5 trong ki thi Olympic
Canada ndm 1994.
th6"y

6E =6i

o phAn a cho

AD lir
Trong khi d6, DAB = DAC d phdn b) cho thdy

AD lilphdn gi6c cir

fii.

BAy gid, chirng ta
sE kh6ng chimg minh clinh li 6u trung con bu6m

md tli chimg minh dlnh li t6ng quqt cria dinh li
ndy. Dfnh li tdng qu6t dugc ph6t bi6u nhu sau
Efnh li 3 (Dinh li au tilng con brctm.t6ng qudt l)
Cho AD', BE, CF ld ba cevian d6ng quy trong
tam giac ABC. TrAn dadng thiing AD' tiiy di\m
D biit ki.
a) ,iu trirng con baom thtr nhdt:
Neu ADB = ADC. thi ADF = ADE.
b) ,[u ftilng con Utudm tttl, nai;
N€u DAB = DAC, thi DAX = DAY, o ddy X =

FDnBE;Y=EDaCF.
A

trtng con budm tlugc ph6t bi6u nhu

sau

Dlnh li 2 (Dlnh li iiu trilng con bwom)
Cho AD, BE vd CF ld ba cevian ding quy
trong tam gidc ABC.

Hinh

1

rZT?Eil,HB!.,*
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !

YD CE KA
-,
YE CA KD

(s)

Tti (4) vd (5), ta c6

WYDKDBA CE KA -,
)D YE KA BF CA KD
)G YD CA BF
\av:.:=:.:.
."
XD YE CE BA'
WYDAE CA BF AE
,nav:.:.:=:
XD YE AF CE BA AF
CA
D'C
lJo
BA D'B
-=-

(-

D

Theo dinh

Hinh2

Chfing minh. a) (h.1) Lhy

xirng vcri

-^

C,

C',E' lin

luqt d6i

E qua AD. Ta

D'C EA

2 =9;
YE Y'E'
Tt

Chrmg minh ADF = ADE tucrng chung minh ba dir5mD, F, E' thing hdng.
Ap dung dinh li Ceva, ta c6

(l)

FB

ry A .4 = -t
D'B FA EC

(8)

Theo tinh cirat OOi ximg, ta c6

c6

C'DA- RDA(= ANy
Yqy C', B, D thing hdng.

AB EC FA
:.i.:.=_l

li Ceva

(o)

(6), (7),

(8),(9),tu:6

EA =

E,A

(9)

_

XF Y'D AE'-,

){D Y'E' AF
li Menelaus dho,tac6badi€mA,X,
thing hdng.
Phan b) cira dinh li 3 dugc ph6t bi6u t6ng qu6t
hon nhu sau:
Theo
I'

fie nln
D'B DB DB
/,)\
\-]
D'C DC DC'
Theo tinh ctr6t OOi ximg, ta
+ = E!- p1
"6 EA E'A

Dinh li 4 {Einh li iiu trirng con buom t6ng qudt 2)
Cho AD', BE, CF ld ba cevian d6ng quy trong
tam giac ABC. TrAn dudng thiing AD' ldy diAm
D biit ki. Goi M td diAm thu\c AD (M khdc
A, D, D'). GOi H = DF a BM: I = DE iCM.

Tti (1), (2), (3), ta c6

Khi do neu

Yi DD'

ld phAn gi6c cira

DB EC
DC' E'A
Theo dinh

E' thing

FA

5h = 6tri, thi 6tr8 = 6rt.
A

I

FB

--

li Menelaus dito,tac6

ba di6m D, F,

hdng.

b) (h,2) Ggi K ld giao tli6m cira ba cevian rl6ng
qtty AD', BE,CF .Liy C', E',Y' lAn luqt d6i

ximg v6i C,

E,Y

qua AD. Di6u cAn chimg
minh tucrng ctuong vbi A, X, I' thing hdng.
Ap dUng dinh li Menelaus cho tam gi6c AFD

vdcdttty6n BXK,tac6

)F KD BA 1
:.:.I
DKABF =
Ap dqng dinh li Menelaus cho tam gi6c ADE
vd c5t tuydn CYK ta c6

(4)

Hinh

nun,n-roru,

3

TgEilrHBll3

"e
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Chilng minh. (h.3) Ggi C',1',E' lAn luqt ld
, -.^

-4. ximg
c6c di6m
ttdi
voi C, I, E qua AD. Khi d6
ta c6 ba dii5mD, I',

E' thing hdng ; ba
M, I', C' thing hirng.

Ap durrg dinh li Menelaus cho tam gi6c AFD
vd c6t fiy6n BHM ,tac6

HF MD BA -,
HD MA BF

(1

0)

Ap dung dinh li Menelaus cho tam gi6c AED
vd c6t fityln CIM ,ta c6

ID CE MA
:.:.4=1
IE CA MD
Tn (10) vd

(11)

(1 1), ta c6

HF ID MD BA CE MA
-1
HD IE MA BF CA MD
- DI' ; IE = I' E', n6n tu (12) ta c6
HF I'D CA BF
=::
HD I'E' CE BA
AE AT CA BF
HF :I'D .]=:
:=l
HD I'E' AF AF CE BA

(12)

1'

li

di6m tr)n

d

sao cho

S ld trung di6m cta

11'.

Th€thi DAH=DAI e A,H,I'th[nghdng.
Tri ddy, dinh li 4 cdn dugc ph6t bi6u nhu sau
Cho tam giac ABC nQi ti€p dudng trdn tdm O. Gpi
A' ld trung didm cila BC . Dudng thdng OA' ciit
dadng trdn (O) tqi didm D' sao cho A,D' niim
khdc phia dAi vcri BC. TrAn dudng thdng AD' kiy
di€m D biit ki. Biiit riing AD,BE,CF ddng quy tqi
K vbi BE,CF ld cdc cevian cfia tam gidc ABC.
Goi

M

ld didm thuQc

didm cua

AD (M

khdc

A,D

vd giao

AD vdi BC ).

N ldtrung
didmctia AD'. Qua I dtmgdadngthdng d// ON
cfu AD' tqi S. Gpi I' ld di€m tan d sao cho S ld
trung diilm da II'. Khi d6 A,H,I' thiing hdng

Goi

H=DFnBM; I=DEoCM.

Gqi

(h.4).

}dit DI

Ta tpi c6 AE' =

li

Ap dpng dinh

eP

g?:
;?
BA= D'B

/rl?\
(14)

Ceva,tac6

EA D'C FB
'Z = -l
EC D'B FA

(15)

Tir (13), (14), (15), suy ra

HF TD
HD I'E'

AE

-,

D

AF
Theo tlfnh li Menelaus dho, ta c6ba di}m A, H,

1'

thdng hdng, hay IAM = HAM.

Do tinh ch6t doi xrmg
HAM. =

IAM

I'm

=

6fu

n€n

(dpcm).

xit. Khi M = K thi dinh l{ 4 trd thdnh dinh li
3 @hAn b). Ggi (O) ld ttuong trdn rtgo4i titlp tam
gi6c ABC. Gpi A' ld kung di6m cta BC. Ducrng
thing AO cbt BC tpi D' sao cho A vit D' nim
kh6c phia eOi vOi BC. ThA th\ AD' chinh ld phdn
gi6c cria g6c A Gqi N ld trung tlii.lm cria AD'. Qua
1, dtmg dudng thing dllON cit eo' t4i S. Ggi

NhQn

IIinh 4
Eem chi6u song song mat phing chira hinh vE
xui5ng m4t phing kh6ng song song vdi n6 sao
cho qua ph6p chii5u song song, cludng tron bii5n
thdnh elip. Tri ph6t biiSu tucrng tluong cira tlinh
li 4 ta dd chimg minh
li 4 sau
D!nh li 5 tDinh li uu tri.tng t'on btri'tn i6ng uuot3)
{'ho tttrr gitir'.18C' niti tit:p clilt t,itrr O. Goi ..4'
!i-i trurrg diOlm tila B('. Dtn.,rt,q thing ()A' cal
eliy; tui di1m D'tcro c'ho A, D'nint kkic phicr

1 ' TORN HQC

L4'c[udi[@
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


dii

yr'ti BC. 7'r0n

Einh li 6 (Dinh li iu rritng

btit

ki. BiOt .,1D, BE, C'l- ,long

elilt ttirtt O. Goi
ccir: fiAp di6m cua AC, AB to'i elit (O) h lJ', C'.
TrAn tlu'd'ng tha.ng AO lav diim D bh ki. BiAt
t\D, BE, CF cl6ng {ltt.v- tqi K v[ti EE, CF li c,tit,
ccviort cua tom gitic ABC. CLti M ltr Jie)tn thttic'

dtbng thting AD' ltiv cli€nt D
qtn'rui K vii BE,
Cl" li ttit' cet itrtt t't)ct tctm giac ABC. Ggi M lit
cliA:m thtroc .lD (\t lihirc:,1,D va giar., tt)o AD
v6'i BC). Goi H : DF r: tsM, I : DE aCM.
G9i N lit tt'tutg tliOm criu AD'. Ouct I dmtg
dtrrnig tlttitrg tl 'ON ch AD'tai S. Goi I'td
clie'm tran il .,,t171 1'f1n S ltr frtrng tlie)rn r'tra tt' . Ktli
titi l.tt ,iii'ttt \. lt. t' thung hirttz th.51.

Hinh

giac1BC

tiing qucir 4)

D

dinh li t6ng qu6t OOi vOi elip ndi ti6p tam giSc
dugc kh6ng? Trudc ti6n, chring ta ph6t bi6u
dinh li tucrng tluong vdi dinh li 4 duoi d4ng
Cho tam gidc ABC ngoqi fiAp dudng trdn tdm
O. GOi cdc tiAp di6m cila AC, AB vdi dudng

trdn (O) lA B', C' . TrAn dudng thdng AO liiy
di€m D biit ki. Bi€t AD, BE, CF ding quy tqi
K vai BE,CF ld cac cevian cfia tam gidc
ABC. Goi M td diiim thu\c AD (M khdc

D vd giao cfia AD voi BC ). GOi
H : DF o BM; I = DE
Qua I dung
^CM.
dudng thiing d song song vdi B'C' cdt AO
tqi S. Ggi I' ld'diiim ffAn d sao cho S ld
trung di€m cila II'. Khi d6 ba di€m A, Hr I'
A,

thdng hdng.

Cflng ldm tuong tu nhu dinh

c:on ba6'nt

ngoqti tir;7,

AD (M khac' ,1, D vd giao c'ila AD vti'i Bd.). Goi
H : DF r-t BM; I = DE o (tM. Quo I dung
cfurdng thdng d i/ B'C' t'ut AO rdi S. Goi t'lu
di€m trOn d sqo cho S li tnmg dir)ltn t'urt II'.
Khi J,) ht1 ;1i,|'n, A. t t. t' thartg hung llt.(t).

5

MQt c6u h6i cluoc tlflt ra ld c6 th6 m0 rdng dinh
li 4 d6i voi dudng trdn ndi ti6p tam giSc thdnh

dinh li t6ng qu6t sau

Cho tum

li

5 tr6n, ta dugc

Hinh 6

xdt a) Khi elip bi6n thdnh ducmg trdn thi c6c
dinh li 5, vd dinh li 6 chinh ld tlinh lf 4.
b) Chung ta bi6t ring, m6i.tam gi6c ddu n6i ti6p

NhQn

duong tron vd tl6u ngoai ti6p iludng trdn cho n6n
y6u t6 duolg trdn lu6n song hdnh v6i bdi to6n d5i
vdi tam gi6c. Trong nhi6u trucrng hqp n6 ld.y6u t5
"6n tdng". Vi vdy, chring ta lu6n phdi nghi ring b6t
cir tam gi6c ndo tt6u c6 duong tron gin liAn v6i n6,
ho{c ld dr{*g trdn ngo.pi tii5p, hoflc ld duong trdn
n6i tii5p d6 tt d6 c6 th6 md r6ng bdi to6n d5i v6i
ducrng trdn thdnh bdi to6n AOi vOi elip. Khi ta mu6n
Td ."Sng "bdi torin theo.hu6ng ndy thi ta sE ph6i
chuy€n rl6i nhirng y6u t6 Euclid nhu c6c g6c bing
nhau, phdn gi6c, vu6ng g6c, ... thnnh cfc yiiu tO la
bdt brgn qua phep chi6u song song. Ch5ng h4n nhu
cilc ytiiu t6 h dudng thing song song, trung di6m cria

nhau,...

Hy vgng bdi vi6t c16 mang di5n cho c6c bpn
ntrirng ktSt qui m6i m6 vd b6 ich. Bdi vit5t niy
c6n trao AOi gi th6m ? Mong ducr. c sg chia s6
cua c6c ban.

r,i nun,n-roru,

T?3ilr535

f

S

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


al

,{;-5 = Ji -r
Jv-C =Ji'r.

&1

,tz-J-x- = Jt

tl
cAc lop rHCS

Bni T1/454 (Lop 9. Ybi n 2 2, xdt chc sd a1,
a2, ..., a, vd cilc s0 nguyOn td phdn biQt pt pz,
..., p,th6a mdn tli6u ki6n
rtllll
p,la, - azl= Pzla, - arl= ... = P nla - a,l.
^

at: az: ...:

an

.

NGTTYEN TI6N LAM
(GV THPT chuyAn KHTN, DHQG Hd N|i)

BdiTZl454 (Lop 7). Chgn 100 sl5 t.u nhi6n kh6c
nhau b6t ki, m6i s5 khong l6n hcrn 2015 vd m6i
sO AC, chia cho 17 du 10. Chimg minh ring
trong 100 sti d6 luO, chen ilugc 3 s5 c6 t6ng
kh6ng lon hcrn 999.
NGUYfN XTTANTT NGUYtN

Bii

T3/454. Chtmg minh ring

(Hdi Phdng)
vdi mgi n

nguy6n duong thi gi6 tri cria bii5u thirc
(t4 +4)(24 +41...{n+

2

+4

ludn ld mQt sd v6 ti.

T41454. Cho tam gi6c ABC vd

D ld mQt

tli6m b6t ki trOn cU$ BC (D kh6c B, Dldthc Q.
C6c dudng trung tluc cila chc doqn thdng BD,
CD theo th{r t.u cdt AB, AC tai M vd N. Gqi H H
hinh chii5u vu6ng g6c cria D tr€n dulng thing
MN; E, F theo thu t.u ld trung
CD. Chtmgminh ring ffiF =6tra.
HO QUANGVINH (HdNAi)
Bii T5/454. Cho phuong trinh axz + bx * c:0
(c6c hQ sd a, b, c nguy0n, a > O).Bii5t ring
phuong trinh c6 hai nghiQm ducrng phdn biQt b6
hon 1. Tim gi6 tri nh6 nh6t cira fQ s0 a.
DAO CHI THANH
(GV THPT chuyAn Wnh Philc)

CAC LOP THPT
8d1T61454. Giai he phuong trinh

H9C
--TOnN
-I 6
quoifta se

YAn

Phong

sr5

2, Bdc Ninh)

BdiT71454. Cho P ld mQt phing chria tam gi6c ABC. Goi
Ar: BC nAP , Br = AC o'BP , Ct = AB nCP,
4 = BC r-t BtCt, 82 = AC ^ ArCp C, = AB a ArBr;
A, : BrC, ,rAP , Bz = BP a4C1, C3 = \8, nCP.
Chimg minh ring hq di quia A2; A3C3 di qua
BzvdAzBz di qta C2.
PHAM vAN rcrANH(Hdi Dwong)
Bni T8/454. Cho c6c si5 thgc ducrng G, b, c.
Chrmg minh ring

( a \'(

c )' +i
u )'(+[.+,J

l,-u).Ir...,J

,1(h.*.*)
TRAN QUOC I.UAT
(GV THPT chuy€n Hd 77nh)

TIf,N T6I OLYMPIC TOAN
Bni T9/454. Trong m[t phing tqa d0 cho
trinh y =1* *I. Gsi a1 vd
Z)
azldhai tlucmg thing (ph6n biQt) song song vd

thbng

NGUYnN VrEr HirNG
(GV THPT chuydn K.IITN, DHQG Hd N|i)

Bili

NGUYfNVAN XA

(GV THPT

tfi{

Chimg minh ring

'

-r

dc6

phucrng

bing a.
t2'
H6i mi6n m[t phing chria clucrng thing d v6i
bi6n ld at yd az c6 chua,iliem nguydn nio
c6ch tl6u clucrng thdng dmQt kho6ng

kh6ng? (Di6m 4guy6n li tli6m c6 hodnh tlQ vd

tung ilQ dOu ld s6 nguy€n).
VU DINH HOA
(GV Trudng DHSP Hd N|i)

Bni Tl0/454. Cho phuong trinh
2014, +nx:2013.
Chimg t6 ring v6i mgi sd r nguy6n duong
phucrng trinh tr6n c6 dring mQt nghiQm x,, tim

limx''

NGUYEN LAr

(GV THPT chuy€n Lwcrng Vdn Chdnh, Phil YAn)

Bni T1l/454. Tim

/

: IR

+

tit

cit c6c hdm s5 fien tuc

IR. th6a mdn

(x)+v|(t)*zr,

vx, ve IR'
xrnu oiNn MINH
(GV THPT chuy€n Hilng Vaong, Phil ThP)

(x+v)1(r+ t)=xf

E

'untn-'oto
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


ffiiii 'g'12/45,4" Cho tam giilc ABC. Di6m M di
cl6ng tr6n doan BC. (Ir), (Iz) theo thir tu 1A
dogng trdn n6i ti€p tam gi6c ABM, ACM. TiAp
tuy€n chung XY 1$6c BC ctn (It), (Iz) cdt AM
tqi.l'{ (xe(I); yeQ)). 2,7 theo thu tu,ld ti6p
di6m cira AM vit Qr), Qz)..K ld giao di6m cira
XT vit.,YZ. Ching minh rdng 1/,( lu6n di qua
mot diem cd dinh'

NGUYEN MrNH HA

(GV THPT chuy€n DHSP Hd

r-:.,\il

I{|i)

*;fi 'v'AX'f,f

t]}li !-l/454. Dat diQn rlp xoay chidu

:

Uct cosco/,(U0,vd ro khdng cl6i) vdo hai dAu
doan mach n6i ti6p gdm diQn tro R, tg di0n c6
diQn dung C, cuQn cim thudn c6 d0 t.u cdm L

u

thay tl6i dugc. Khi L : Lr vit L : L2 di€n 6p
hi6u dung o hai ddu cuQn cdm. c6 cung gi6 tri;
dQ lQch pha cira diQn 6p o hai dAu doan mach so
v6i cudng d6 dong diQn lAn lucvt ld Khi Z : Ze di0n rlp gita hai dAu cudn cAm dat
cgc dpi; dQ lQch pha cira diQn 6p hai dAu doan

m4ch so v6i cuong dQ ddng djQn ld g. Tim rp
theo gr vd qz. Ap dung bdng s6: qr: 0,52 rad,

P2: l'05

p2, ..., pn @ > 2) satis$ring

Prla,

* arl = Prla, - arl = ... = P,lo, otl.
-

Prove that

at: at: ...:

an.

Froblem T21454 (For 7'h Crade). Choose 100
different natural numbers so that each of them
is less than or equal to 2015 and has remainder
10 when divided by 17. Prove that, among these
ones, we can always choose three numbers of

^:,toc v : 30n cm/s theo chiOu
m1 ven
ducrng, cdn dua vdt mz 16ch khoi vi tri can bing
mdt doan nh6 c6 toa dQ 1,5 cm rdi th6 nhe vi
kich thich con llc thu 3 dao d6ng. Trong qu6
trinh dao il6ng cri ba v4t ndng. ndm trdn m6t
ducrng thdng. Tfnh vfln t6c ban cl6u cua vdt n[ng
cho

vit

t7\.

vrPr cuoNc

ffitr ofgffis{m
BD and CD.

midpoints

that

F'OR HIGHSCHO(}I.

Frofrlem T61454. Solve the following system
of equations

t t

r:_ T: r
l./*-VY =t!Z-l

1'lY-J'=J;-r'

expression

LJ,-J,=.r-l

is an irrational number.

Froblern 741454. Given a triangle ABC and D
is any point on the side BC (D is different from
B and Q. The perpendicular bisectors of BD
and CD intersect AB and lC respectively at M
and //. Let H be the orthogonal projection of D
on the line MN andE, Frespectively the

Prove

ffiF=fu.

Problem 73 454. Prove that" for every positive

n, the value of the

(Hd N1i)

Froblem T5/454. Given the equation ax2 + bx +
c : 0 where the coefficients a, b, c are integers
and a > 0. Suppose that the equation has two
distinct positive roots which are less than 1.
Find the smallest possible value for the
coefficient a.

which the sum is less than or equal to 999.

integer

NGUYEN MrNH TUAN
(Gl/ THPT YAn Thdnlt 2, NghQ An)

ffiftfi 8"2/454. Ba con lic ld xo 1,2,3 dao d6ng
rti6u hod quanh vi tri cdn bing tr6n ba tryc nim
ngang song song v6i nhau nim trong ctng m6t
mdt ph[ng vd con 15c ld xo thf 2 cdch ddu hai
ld xo con lai, vi tri cdn bing cira vAt c6 cing to4
d6, truc toa d0 cirng chi6u ducrng. Biet kt:zkz

: 0,5fu: 100 N/m, khdi lugng c6c vQt ning
mic vdo ld xo c6 t: 0,5m3: 1009. O thdi cli6m ban dAu truydrn

pffi&ffi&ffiffiffi ffiffi
FCR StrCO}{I}AI{Y SC}{CIOL
Froblem Tll41l (t'or 6th Gradei. Given r
numbers or, a2, ..., an andn distinct primespr,

rad'

Frohlern 771454" Let P be a point on the plane
a triangle ABC. Suppose that
Ar = BC aAP , Bt = AC nBP ,Ct = AB aCP,
Az= BC nBrct, Bz-* AC n,\C, Cr: ABr-tArBr;
4 -- BtC, aAP, Bz = BP a 4Ct, C3 = ArBr r:CP.
Prove that Az, Bz and Cz respectively are on the
lines going through 83C3, A3C3 and AsBz.
(Xem ti€p trang 11)

containing

Sti asa @-zots)

TONN HQC

_Ltrnidiu6 "r -/

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !

c6 loi gi6i ctirng: Phrri Thg; TriQu Hing Ngpc,6A3,
THCS Ldm Thao; Quing Ngfli: Z€ Tudn Ki€t, Vdn
Quang Tu€, .Ed Trdn C6ng Phuong, 6,{, THCS
Ph4m Vdn D6og; Nguy€n Th! M! Huy€n, 6A, THCS
Hdnh Trung, Nghia Hdnh.

vIpT HAI
Bni T2l450. Cho lam gicic ABC vu6ng toi A, E
lu nt6t diAm tAn cgnh BO sao cho EC :2llB.
Chti'ng minh rdng AC) =3(IlC) - EA))
.

Loi gi,fii

Bdi T1/450. Tim t:ac sd nguv1n du'o'ng a, b thoa
ntdn c:ac: diiu ki€n: (u + 2)i b vd (h + 3) i rr.

Ldi gidi. Gi6 su c6c s6 nguy6n duong a, b th6a
mdncbc (a + 2)i b (1) vn (b + 3)i a (2).
(1) vit (2)suy ra a -r 2 bk vit b + 3 ah
vfi k, h ld c6c s6 nguy0n ducrng, cho n€n a * 2
> b vd b + 3 > a, do d6 co b < a -r 2 < b + 5.)tdt

:

:

Tt

c6c trulng hgrp sau cl6.y.
1) NCu a + 2: b thi (1) th6a mdn. Tri (2) c6

3:

a + 5 chia h6t cho a n€n 5 chia h6t cho
b+
a, do do a chi c6 thO bing t ho[c 5- Thn th6y
a 1 thi b 3 vd a 5 thl b 7 d€tth6a mdn.
2) N5u a + 2:b + 1 thi tu (1) c6 b + 1 chia h6t
I vit
cho b n6n 1 chia h6t cho b, do tl6
:0,
kh6ng th6a mdn.
a
3) N5u a * 2: b + 2hay ld o b thi tu (l) c6
b + 2 chia het cho b n€n2 chia het cho b, do d6
b chi c6 th6 bing t hoflc 2. Thrt thiy a b 2
th6a mdn.
kh6ng th6a mdn (2), cdn a:
a) Ncu a + 2: b + 3 th\ru (2) c6 a + 2 chiahlt

:

:

:

:

b:

:

YE , cilc trung
tuy€n AD vd BF
cira tam gi6g
ABC, ching cdt

nhau tai

Theo b6' cl6
c6

AD: DB :

cAn tpi

chia h6t cho a, do d6 a chi c6

thrS

bing t hodc 2. Thtr th6y a: 1 thi b :0, kh6ng
th6a mdn, cdn a : 2 th\ b : I th6a min.
5) N6u a + 2: b + 4 thitu (2) c6 b + 3 : a + I
chia h6t cho a n6n 1 chia h6t cho a, do d6 a chi
c6 the bing 1. Ybi a:1 thi b - - 1, khdng th6a
m6n.
6) NCu a + 2.: b + 5 thi (2) th6am5n. Tu (1) c6

b + 5 chia h€t cho b ri6n 5 chia het cho 6, do cl6
1 thi
b chi c6 th6 bing t ho{c 5.. Tht they
thi a 8 d6u th6a mdn.
V{y bdi to6n co 6 nghiQm (a ; b) ld ( I ; I ),

a:4vd b:5

:

b:

(1; 3), (2; l), (4; l), (5; 7),(8; 5). tr
YNhQnxlL Nhidu ban chua d6nh gi6 dugc

b
Sb + 5 n6n ph6i thtr nhi6u truong hqp. C6c bpn sau

18t?3il,58!,

'r.'..-,,,

D

ED

oc: ZlaC ffic ld tam gi6c ABD

D. Do G li trgng t6m cria tam gi6c ABC

I

:J AD. M[t kh5c, tu <16 bdi ta c6

BE BEBC I^ 2 t'y'u DE I
BD=1'
BD= BC' BD= 3''=5'
I

DE=;BD. Tu c6c k6t qui tr€n ta suy ra
-'t
DG : DE vit do d6 LDBG=LDAE (c.g.c)
hay

>AE=BG.
Bdy gid 6p dpng dinh li Pythagore vdo c6c tam
gi6c vuOng ABF vdABC ta dugc:
BFz = ABz 1lpz =BCz _ACz +AFz

[1rr)' =(1rr\'
='[2--)
\2--)

b:1

2

ta

n6n ta c6 DG =

: :

cho a n€n

G.

-

AC2

*(

!or\'

\2-)

-1lc'
=2ac'=2g6'
444

EA') (Vi BG : AD, ti|
dity ltasuy ra tli6u c6n phii chimg minh. tr
YNhQn xit ,l) Cbc ban $i bei d6u cho ldi gi6i

*

AC? =3(EC2 _

dung. MQt s6 ban sri dung dinh li Thales, kh6ng

thuQc chuong trinh 16p 7.
2) Cic b4n sau d6y c6 ldi gi6i t6t:
Phf Thg: Tq Phuong Chi,7A3, THCS Ldm Thap;
Hn. NQi: Einh Hodng_Nh4t Minh,7A5, THCS Cdu
Gi6y; Hii Phdng: E6 Ti6n Dqt,7M, THCS H6ng

Bnng; NghQ An: DSng Nfr Qu)nh Anh, Thdi Bd Bdo,
Hodng Thi Bdo Ngec, TC; THCS Li Nhflt Quang"
D6 Lucrng; QuingNgfliz Vb Quang Phil Thdi, Do
fhi.Mi Lan, Nguy€n L0 Hodng Duy€n, Truong Th!
Mai Trdgrt, TA, THCS Phpm V6n Ddng, Nguy€n Thi
Ki€u Mdu,7B, THCS Kim Vang, Vd Thdnh Hy,lA,
THCS Henh Trung. Nghia Thdnh. Hu)nh Dqt Di.€u
Huyin, 7C, Vd Thi H6ng Ki,Au, 7A, THCS Nghia

M!'

TuNghia'

NGUYfN xuAN BiNH

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


I

I

Ldi gi,fii. o THl: ACld

,4,
-lr 2.r,+f t'I

.rrr,,,.-l I

3r

L

tron (O) thi

TH2: ACL},lng ld rlucrng kfnh.
: OC: BC: R n€n LOBC rl6u, do d6
6de =60., d6n fii
= 30.. Suy ra

o

Ta c6 OB

1 3.r
--r+x
' 2x2 +2
/---i---= 1 3x
(:)r./f--l=\4x 2x2 +2

6ii

(*)<+-r-J"r2-[

o

4J*z

o

u5":

-l -

1=

MP

'

x(x2 + 1)

Do d6 LAPC cdn t1i P,

)=6

v
-11 +x(x'+
\

l)

JV lex'+l)=4v1*z

)
(l)
\L )

*Y1

+ r12
=
e40xa+Bf+1=0
<+ x - -n!-J4l @tong
thoa mdn DK).
\^u
1)2

l6x21x2

80
Vfy PT(*) c6 hai nghiCm ld: x = -l; x = l. d
Y NhQn xit. Cic ban sau tl6y c6 loi gi6i dring

vd
ngiin gqn. NghQ An: NSuyA" Trong Bdng,8M, THCS
Thi Tr6n Qu6n Hdnh, Nghi LQc, Nguydn Vdn Manh,
8A, Ngrydn Thi Qajmh Trang,9C, NSuyA" Ihi Hting,

Li Nhat Quang, D6 Luong; Quing Binh:
Tiing Ngpc Chung, 9A, THCS Qu6ch Xudn Kj,,
Hodn L6o, 86 Trach; Hi NQi: Nguydn Vdn Cao,
98, THCS

Dat,98, THCS Nguy6n Thuqng HiAn,
tlng Hda; Vinh Phric: Biti Thi Lidu Ducrng,8A4,
Nguy1n Hing Anh,gAl, THCS YCn Lac.
Vuong Ti€n

(l)

khong c6 nhidu.ban tham gia gi6i. Xin n6u t6n mQt s6
b4n c6 loi gi6i t6t:

Vinh Phric: Phan Thi Nggt€t, Ns"yi" H6ng Anh,
941, Trdn D*c puy, Nguy€n

Vdn HiAu,SA4, THCS

YCn Lac; Nguy€n Minh Hi€u,9D, THCS VTnh YCn;
Phf Thg: Tq Aryh Dilng,9A3, THCS L6m Thao; Hi
NQiz Vuong Ti€n Dqt, Nguydn Vdn Cao,9B, THCS

Nguy6n Thugng Hi6n, Ung Hoir; D6 Hodi Phtong,

9C, THCS Tuy6t Nghia, Qu6c Oai; NghQ An:
Linh,98, THCS L), Nhat Quang, D6
Luong; Thanh Hoi: Drtng Quang Anh,SA,THCS
Nguy6n Chich, D6ng Scrn; Quing Ngfli: Z6 Quang
NguyAn Thu)

Phu Thoi, NguyAn L€ Hodng DuyAn, Vd Thdnh Hy,
9A, THCS Pham V6n D6ng, Hdnh Phu6c, Nghia

Hdnh'

NGUYEN THANH HoNG
Bli T5/,1.54. Bidr lthtatng rrinh
r/.r'' --rr +D.r - I = 0 (a + 0) (l) .tr't fu nghitnr
!ltlrt' dacrn,J. Tim giti tri nhd nhtit t,rrct hiarr thix:
ll'f

/.

=tl-

Ldi

),rlt)-"-.
Ll-

gi,rti. Goi ba nghiQm thuc ducrng cira (1) ld

x1,x2,x3. Theo dinh

lf

Vidte ta c6:

[r, **. +x. =1
I'z)a

ld

la

cldv c.ung r.tta dw)'ng
lrdn tlitn O llitn kinlt R t'd BC =, R. ,1 lr.i ru6t
tliim tr\n utng lti'n EC (A + B, A + C), M r;it N

!i

LAC

M6t kh6c, do N ld trung
cli6m ctra canh AC n6n ON L AC (2). Tri (1) vd
(2) suy raP, O,Nthing hdng. tr
Y- NhQn xdt Bdi to6n ndy kt6ng kh6 nhmg cflng

NGUYEN ANH QUAN

TiAi T4l450.C'ho BC

z

suy ra PN

c6 nghiQmx = *1 (th6a mdn DK).
N6u x < -1 thi d6 th6y PT(2) vO nghiQm.
N6u r > 1 thi PT(2) tucrng duong v6i

l)(4x2 +

1^

WC =: PMA =30" .

MCP =

PT(l)

(r'

.

nCn

lVxr-l=0
e | ______;___;_____
6i-1 (4x2 +t)_ T,
t
L x(,r' + l)

<>

= MC

-l)(4x2 +l)

f-

.
.
.

I

=-AM
Z

Tam gi6c CMP cdntai M

4ra
'" _3.r2 _l
x(x2 +l)
(x2

clucmg kinh cua dogog
O n€n hi€n nhi6n p, O, N thing

hang.

Loi gidi. DK: lx I > 1. Khi d6

e4J.r2

l/:

ix1x2+x2x3+x$r= a

(*).

l1
I

cliitn trOn citi,t' cung .4C .rc:tts t'hr,;
I
,c'-: l\'- .1.\{. [/i N{t} )_.48 {{' e ,18}.

Ap dgng BDT Cauchy ta c6:

t'lui;tg rninh rr)ng lxt diim P, O, N rhdnt: hitng.

a- = x1 + x2 * xz = xtxzx3 > 3llirxr\

r:itc'

2

,

L'''z*t=

o

1

a

Sd asa @-zotl)

SFH#E:,,

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !

l_

=l=
a

x,x"x,>3J3
,."

b

o

+x"x,+x,xl
-=J,.1"
0trLJJ

=Z{rrrr\Y >-g

(2).

a

-= xtx.

b

-(xr+xr+xr)2

1

+.1,"1?

+"lr"ll

3

Khix,

a=b=1<>x

(3).

Vay gi6 tri lon nh6t cua

> gJ1
-Zafi!.L
aa

=x2=xr=$ thia=L-,b=J1
J{J

M =9J1. vfly minM =9Ji .J
Y NhQn xit. l) D6 c6 (*) md kh6ng

.

khi

(l)

,

P:

l2Skhix=y=1
J2'

a:

b.Th0,tvQay

e 4(a3 + b3)> a3 + b3 +3ab(a+ b)
e 3(a + b)(az - ab + b2) > 3ab(a + b)
e3(a+b)(a-b)2

li

6p durrg dinh
lfp luQn nhu

sau: N6u (1) c6 ba nghiQm xt, x2, x3 thi
a(x - xr)(x - xr)(x - xr) - ax3 - x2 + bx -l .

Khai triiin v6 trai.dl Oorg nrr6t trQ s6 hai vi5, ta cfrng
duqc (*).
2) Cbc b4n thary gia d6u tim dring kdt qu6. Cic ban
sau c6 ltri gi6i t6t:
Ph{ Thg: Ta Anh Dfing,9A3, NguyAn Ti€n Long,
9Al, THCS Ldm Thao; Vinh Phrlc: Nguy€n H6ng
Anh, 9Al, THCS Y6n Lqc; Philng Vdn Nam, 9E,

Hi

=y=:.Z

Cdch 2. Nhdn xdt ring: V6i mqi s,5 duong a, b
ta co 4(a3 + b') > (a + b)3 (l), ding thric xiy ra

Vidte cho phuong trinh bflc 3, c6 th€

THCS VTnh YCn.

- (2+6\3
2

Ding thirc xity ratiri ra chi khi

(l), (2), (3) suy ra:
M = (r' -zaD4
'az = Q

+b+6)3

3(a-l)2 +3(b-l)z +2

3a2

tl
=ab<;=l-2ab2;
35

Tri

(a2

( 1).

>-0

(2)
(2)
lu6n ctring, suy
Yi a, b ld chc s6 duong n6n
r,a (1) duOc chimg minh.
Ap dung BDT (1) voi a:2x2 yir b : y, ta c6
l: 32x6 + 4y3:4(8x6+ y3) > (2x2+ y)3 , suy ra
2x2 * y <1. L4i c6
3(xz + yz) -3(x + y) +z

4(, - l)'

(z*'+t+z)'

Do d6 P=
31x2

+y21-31x+y)+2

.
* z(t +)'

+r-+

.,,f,'=rrr.
2

NQiz Nguy€n Vdn Cao, Vuo^ng

Tidn Dqt, 98, THCS Xg,rydn-Thuqng Hi6n, Ung
Hda. H6i Ducrng: E6ng Xudn Ludn,9B, THCS Hqp
Ti6n, Nam S6ch. Thanh H6a: DSng Quang Anh,
8A, THCS Nguydn Chich, D6ng Scrn.

P:128

TRAN HUU NAM

Bni T6/450. Cho hai sd thqc &.rong x, y, thda
mdn 32x6 + 4y3 :1. Tim gid tri lrt n'hlat cila
bi€u

th*c

P=

thi5t suy ra au+ b3 :2.

2x: a,2y:

b.

lufn

Tt

gi6

Ap dpng BDT Cauchy cho ba sti duong ta c6
6=(a6 +1+1)+(b3 +1+1)

>3{a\tt +31,1F tl
=

a2

=3(a2 +b)

+b <2.

Dodo2P=

8(2x2 +y +3)3
- 6(2x + 2y) + 8

3(4 xz + 4y2)

(a2

3(a2

+b+6)3

+b2)-6(a+b)+8

:

lz8khi x=y'2=+. tr

DlYhQn xit. 1) R6t nfri6u b4n tham gia. gi6i bdi vd
d6u theo hai c6ch tr6n. Tuy nhi6n, nhi6u bpn suy

(zx' +y +z)'
3(xz +yz)-:(, +y)+2

Ldi girti. Cdch 1. Ddt

Vqy max P

qu6 ddi ddng.

2) Tuy6n duong cicbqn sau c6lHn NQi: Hodng Le Nhil Ti.tng,llT2, THPT chuy6n
KHTN Hd NQi; Hung YGn: Chu Minh Huy, l0 Toip

l, THPT chuy6n Hrmg YCn; Phf Thg: Vd Tudn
Dfing, l0 Jo6n, THPT ch3ry6n Hirng VuVigt Tri; BIc Ninh: Nguy€n Thi Thanh Huoytg,l0
To6n, THPT chuyCn B[c Ninh; NghQ An: H6 Xudn
Hitng, llTl, THPT.D6 Luong l; Hd Tinh: Pfian
Anh Tudn, Bili HuyAn Trqng, Nguy€n,E*c Thdng,
l0Tl, Le Hodng Minh Hdng, Eodn YAn Chi, Trdc

Thi Thily, 10T2, THPT chuy6n Hd finh; Quing
Binh: Z€ Quang Trung, ll To64, THPT chuy6n Vd
Nguy6n Gi6p; Quing Tri: HA SJ Hodng, l2Bl^
THPT Dakr6ng; Phri YGn: Nguy€n Chi Laong, H6
Minh Hodng, Ng6 LA Phwong Trinh, l0Tl, THPT
chuy6n Luong Vdn Ch6nh; Kh6nh IJita: Hd Xudn
Khang, l0 To6n, THPT chuy6n LC Quf DOn, TP

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Nha Trang; Binh Dinh: Trin Vdn ThiAn, 10 Todn,
THPT chuy6n L6 Quy.D6n, TP Quy Nhon; S6c

Tring:

!9

Lgyg Qu6c, 10.AlT, THPT chuydn

Nguy6n Thi Minh Khai ; D6ng Th6p: Ng6 Hi6u
Nhdn, 12A5, THPT Cao LZnh; An Giang: Dfrng
PQil Trung Tin, ll T1, THPT chuy6n Thoai Nggi
HAu.

PHAM THI BACH NGqC

Bni T7l450. Cho tom giac nhgn ABC (AB > ,4C),
cac dadng cao BB'vd CC' cdt nhau tai H. Goi
M, N ldn laqt ld trung di€m cila cdc gqnh AB,

AC vd,O ld tam &rdng trdn ngoai ti€p tam giac.
AH cdt B'C' o E, AO cdt MN o F. Chimg minh
rdng EF /i OH.
A

Thdnh; Bic Giang: .Nghi€m Vdn Nghla, 10A1,
THPT Lang Giang 36 3 ; Th6i Nguy6n: Nguy€n
Ngpc Thanh Tdm, ll To5n, THPT chuydn Th6i
Nguy6n; NghQ An: Cao Hiru Dat, 10A1, THPT
chuyCn Phan B6i Chdu, Bili Thi Thanh Hdng, llAl,
THPT Quj,Hqp I, H6 Xudn Hilng,l1A1, THPT E6
Luong I; Hi finh: Phan Nhqr Duy, L0 Minh Tudn,
Nguy€n Quang Dilng, Biri Huyen Trang, Trdn Dinh
Hltng, Ng6 Vi€t Hodng, Phan Anh Tudn, 70 To6n.1,
Hd fhj Phuong Anh, 10 ToAn.2, Nguy€n Duy Tudn,
Nguydn Vdn Th€, Phqm Qu6c Cudng, 11 To6n 1,
THPT chuy6n Hd finh; Quing Binh: Zd Quang
Trung, 1l To6n, THPT chuydn VO Nguy6n Gi6p ;
Kon Tum: Nguydn Fodrl7 Lan, L€ Thi Thdo,llAl
THPT chuydn Nguyen Tat Thenh ; Binh D!nh: Trrin
Vdn Thi€n,10 To6n, THPT LC Quli D6n; Phri YGn:
Hu)nh Nguy€n Nha Phuong, Ng6 L€ Phaong Trinh,
Dfing Bdo Vinh, l0 To6n 1, THPT chuy6n Luong
V[n Ch6nh; S6c Tr[ng: Pham Tidn Diing,l0A2T,
THPT chuyCn Nguydn Thi Minh Khai; TP. HO Chi
Minh: Nguy€n Dinh Duy,9A6, THPT chuyCn Trdn

D.iNghia'

Ho e,ANGVINH

Bni T8/450. Cho cac s6 daong a, b, c. Tim hdng
tii tt ton nhdt sao cho bdt ddng thuc sau dring

u h c "-,(o'+b2+t'2
Ar--r

:T-T--.)t

b c a

Ldi gidl Tri gi6 thiiSt c6 MN lt BC vd tft gigc
BCB'C n6i ti6p, suy ra tu gi6c B'CMN ndi 1ii6p.

t!tq_} trry diqm cua oA vd AH. Ta c6

TM .TN =TC' .TB' , n€n TA ld truc cting
phucrng cua hai cluong trdn ngoai ti6p cdc th
gi6c AMaN vit AB'HC. Tt d6 TALIJ (1).
M[t kh6c, vi TFLAE,OALTE(do OALB'C'
k6t qui quen thudc) n6n F ld truc tdm MAE .
Sgy ra EF LTA (2). Tt (1) ve (2) ta thu rtusc
k6t qu6 IJ ll EF. Lai vi 1/ ld duong trung binh
cta tam gi6c AOH, ndn OH ll IJ. Do d6 EF ll
OH (6pcm).
YNhQn

J

xdl. NhiAu bpn gidi thing bdi ndy. Nhtng

b4n sau c6 loi gi6i gon hon c6: Hd Ndi: Nguyen Vdn
Cag, Vxctng Tien Dar,98, THCS Nguy6n Thugng

llng Hda, Vfi Duc Vdn, 10 To6n l, THPT
chuy6n DHSP He Ngi, Vrt Ba Sang, 11 To6n 1,
THPT chuyCn Nguy6n HuQ, TP. Hd Dong, Trin
ThiQn Nam,1lAl, THPT tlng Hda A, Pham Thi€n
Hi6n,

Long, 10 Tobn 2, THPT chpyen He NQi -

Amsterdam; Vinh Phttc: Nguydn Minh Hi6u,9D,
Philng Vdn Nam,9E, THCS Vinh YOn, NguyAn Hiru
4!y,!S"yA" Vdn Hirng, Le TU Thu Thily,_llAl,
THPT chuy€n Vinh Phuc; Phti Thg: Nguydn Ti€n
Long, 9Al, THCS Ldm Thao, Vd Tudn Diing, l0
Toan, THPT chuydn Hing Vucrng ; Ydn Bii: Vil
H6ng Qudn,11 To6n, THPT chuy6n Nguy6n Tdt

,)
r

\ab+bc+ca )

Ldi gi,rti. Ta xdt truong hgp rieng: a ld so duong
batki; b=l; c=a3.
n6t ding thric trong d6u bdi tr& thdnh :
a6 +a'z+1

o*!*a2 - 3> O(

- t)
a3
\aa+a3+a )
(a3 +3a2 +2a+t)
^-d (r-l)'
>k.

(o-t)'(aa

Yoi a*l,biltcling

+2a3 +zaz

aa +a3

+a+l)

+a

thric tu&rg dudrig v6i
( a3 +a2 + I )(a3 +3a1 +2a + l\

k(t

"

a2laa +2a3 +2a2 +a+1)

'

Ya>0-a+1.

Do tl6

k'"xffi=l.

(a3 +a2 + l)(a3 +3a2

+2a+l)

_

Ta sE chimg minh b6t eing thuc trong diu bdi

ihingv6i

[=1.

Thdt vQy, voi k =

l,bdt dingthric

trd thdnh

;.1.:.##+2

(r)

Ap dgng bat eang thric Bunyakovsky cho hai
day si5

duoc

F, E, f

sti

asa

,u J,b. Jb,. ,[ca , ta

TOAN
HOC
re-zorsr i CiudiEa2l

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


(;. I.

:)(ab

+ bc

+ ca) > (,

+b+

O

c)'

y

a , b , c -a2+b2+c2+Z(ab+bc+ca)
b c a
ab+bc+ca

-

a h c

\

u2+h2+c2

r',

- A + (2y + d):3y cflng chia h6t cho 3 nen
- d vd 2y + d deu chia h6t cho 3. Tinh d6n

di€u kidn x,y.

z

rrguy6n duong, ta c6 bang

y-d

J

6

9

t2

15

18

30

2y+d

108

90
26

60

45

36

30

18

d

58
I4 7
2
-2
-14
- b' c' a- ab+bc+ca'''
32
23
19
t1
t6
t6
61
v
BDT (1) dux
119
58
26 t9
l4
2
-1 I
YNhQn xdt D6'y ld bdi to6n kh6 n6n c6 it b4n tham
z
J
12
l5
18
30

6
9
gia gui bdi gi6i. Loi gi6i c6 hai bu6c
l) Xdt a ld si5 duong U6t n ; b =l: c = a3 vd cho Vfy nghiQm nguy6n duong (x, y, r) cria phuong
trinh ld (119,61,3), (58, 32,6), (37,23,9), (26,
a ) +@ d6 suy ra k< 1 (di6u kiQn cAn AOi vOi f;.
2) Chtng minh BDT trong dAu bdi dfng v1i k=l 19, 12), (19, 17, 15), (14, 16, 1g), (2, 16,30) vd
c6c ho6n vi vi tri oia x, y trong c6c nghiQm cl6.
(tti6u kiQn dt d6 c6 maxft = 1 ).
Ldm tucrng t.u ta th6y: Trudng hW ,, x, y theo
C6c ban sau ddy c6 bdi gi6i t6t :
YGn B6i: Vil H6ng Qudn, ll To6n, THPT chuy6n thf t.u lflp thdnh c6p sO cQng thi (l) cfing c6
Nguy6n t6t trann; Hd finh :.Nguydn Duy Tudn, Vd nghiQm nim trong tap hqp ctra nghi€m tr6n.
Duy Khdnh, NguyAn Vdn Th€,11T1, THPT chuy6n Trudng hQp r, y, z theo thir tU lflp thdnh cap s6
Hdfinh'
cQng thi (l) vO nghiQm. D
NGUYENANHD'NG YNhQn xil Cbthti chimg minh VT(1) : (x + y + z)2.
B*i '1 9/450. (iicti phtrrng triult .;trt 11'111i,; r1i1t Ngodi b4n Hting c6c bqn sau tl6y c6 loi giii dring:
Phtfi Thg: Vd Tudn Dilng, 70T, THPT chuydn Hirng
!ii.r1: 111 t yitt.\'r't !, ltt, r, 1,'.'
Vucrng; Thii Nguy6n: Nguydn Triiu Minh, 1lT,
THPT chuy6n Th6i Nguy6n; YGn B6i: Vii Hing
li.--,JUi-I * :J-t :r(r'
( r -.t')(r
(1, -;X-t'- t")
- ;)
Qudn, llT, THPT chuyCn Nguy€n Tdt Thdnh; Hi
NQi:
Hodng NhQt Titng, 11T2, THPT chuy6n
._:, _ r

\.)(-"il] 2l(,{} l (.r-- r
't/fr D*c Vdn, l0Tl, THPT chuy6n
- :l-KHTN,
(l}
-:}
(- .\')(: r') DHSPHN, Vii Bd Sang, 11T1, THPT chuy6n
l,iii l,,r rri.r..l, : lrilt llrrtttlt ntt.tl t tiJt rri r riril.
Nguy6n Huq; Bic Giang:. Nghi€m Viin Ngh\a,
Ldi gidi. (Theo ban Biti Th! Thanh Hing, 10A1, THPT L4ng Giang 56 3; Nam Dinh: Pham
Ngpc Nam, 11 Li, THPT chuy6n L6 H6ng Phong;
11A1, THPT Quj, Hqp I, NghQ An vd da s6 c6c
Hir finh: Phan Nhqt Duy, Nguydn Anh Triiu, Ng6
:

I

{

L!

ban).
Nhdn x6t ring, + y, y + z, z * x vd vai trd binh
'.:
cua x, y, ta xet trudng hqp ,, y, z theo thft

t.u ney

hp thenh cdp sO cQng. Gia su

x=y+d, z=!-d, d +0. Tac6

x2(x+y)(x+ z) , y2(y+z)(y+x) , z2(z+x)(z+y)

(x-y)(x-zl'

ty-r11r_

_ (y + d)'z(2y + d)(2y)

y2

a',"

- d)

(y-d)'(2y)lzy-d)
zd,

-//'

V0V (1) c6 dpng 9yz =2160+(y +2d)2

OC

,

(Y

-

d)(zY + d) =

540.

ring 540 chia h0t cho 3 d6ng thoi

Vin

Ch5nh; Quiing Binh: TrAn Nam

Quang Trung, 11T, THPT chuy6n V6 Nguy6n Gi6p;
KhSnh Hitaz Hd Xudn Khang, 10T, THPT chuydn

LO Qulf D6n; Binh Dinh: Nguydn Treng KhiAm,
l0Al, THPT Quang Trung, Trdn Vdn ThiAn, l0T,
THPT chuyCn L6 Quy Ddn; Long An: Pham Quiic
Nguy€n LA Hodng Long,

Cin Tho:
llA1, THPT chuydn Lf TU

Trong.

NCUYEN VAN MAU

-(JlZ

e

chuy6n Luong

Thdng,10T1, THPT chuy6n Long An;

d2

-,
9v2d2
/

*, - (z-x)G-y)

(2y + d)(2y

2d2

-

Hodng, Nguydn D*c Thiing,10T1, Nguydn Vdn
fiTI THPT chuy6n Hd finh; NghQ An: Nguydn
H6ng Qu6c Khdnh, 10,{1, THPT Phan B6i Ch6u;
Phr[ YOn: Nguydn Hu)nh Huy Mdn, 10T1, THPT
ViQt

The

(2)

Bii 1'l{}/454. C'ho trtit httng 6 yuo:t;J k!tlt lllitt'
999 x 999, t'ut: 6 chrut' ti lyt'i nrt)t trong hir!

"[
mt)tr "{t'dn,J hoac'D6. Gitt yt
lit ,t',, h,) 1(',, f'1.
i .i .'.ic' ,) rnit lttti ;t (7itr lt'tru,.: , irtt,; rrt,.), ittutl-1 r.'r
ht.ti,o t'rttii /rong titng mt)l t'ot, t,i'i
'fitn
7 rtin.q, {'. tuiut Dd.
,qiti tri lri'n

(t

t.'ii {'1 ntirtt

uhit crttr 'l'.

TOAN
HQC
- e1rrcrigA
^
Sd4s4(4-2o1s)
ZZ
,*

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !


Ldi sidi
Ta chimg minh trong mdt
bdng 6

vt6ngnxn

c6 nhi6u

*i,t

ff

D

T

T

T

D

T

b0 nhu

T
T
rlOt'.?y 5t nigrl qr la L___L__L
sd 6, trlng o hdng thir i, bj

v2v,

'J

D

ld s6 6 tr6gg 0 cdt thri7, KlittQp hqp c6c 6 d6.
Do v6i m6i-o dd (i, j)"c6 a; . U, U6 (C,, Cz, Ct)
ch6p nhfn dugc, trong d,6 C2 : (i, j), vi v6y

T=

Z

qbi. Ap dqng BET 2ab
(i,;).r

tyt*t=k,ffi)l,t>1.
Ta c6: aobo = p' (*). Xdt hai trudng hqp:
Tradng hqp 1: Chi cho ao hoic bo chiah6t cho
p. Gih sri ao i p vd brlp. Ggi /r ld chi s5 bd

z

=

(a,*a,,1

ll')-\ ('- o) o'.*Z@-

u,)

4z

1r1

i=t

(vi trong hdng thri i co n * ai 6 d6, trong cdt

jcon-ri6d6).
V6i 0 I x
thf

Cauchy cho ba s6

thlrc kh6ng Am ta c6

(n- x).x2

=).t n*r*1.*,
-t (2n-Zx+2x\3

=r'[ 3 )=n'
ding thuc xiry ra

eZn-2x-

x

<+

r

4n3

=!.Oo
J

ta nhQn duoc

4n3 1 4n3 4na -1
-.1
t 1T'n'i*r'''i=i'Ddng

p,

qi p, qi p,..., ao-ri p, aol p.
Ta c6 k/(;r) . Do k < n-l n6n c* i p. Lai c6

- (i.j)€(

(l)

h(x) = xt + b,-.rxt-t + ...+ brx + bo,
v}iqeZ (i =Q 1,..., m*l), b,eZ (i=0,1,..., t-l),

nh6t md on/.

rr+

d6 tu

LN gi,fii. (Dpa theo loi gi6i cta b4n Vd Duy
Khdnh,11T1, THPT chuy6n Hn finh)
Gi6 su f (x) = e@)h(x) trong d6
g(x)= xm *a*-rx'-l +...+arx+an

thuc xdY

ta €at=a2=...=gn=h-h-,.,-ur=? Q)
Trudng hoo n:999,ta lap lai m6u sau
333 x 333 lin dC t6 mdu h6t c6c 6 cira b6ng 6
r.u6ng 999 x 999. Khi d6 (2) duoc th6a mdn.
B0i vay
4.9994
t - ------:= 148.9993
.27
K€t luQn: Gi6 fi lcrn nhdt cira Tbing l48.ggg3. A
YNhQn xil Dey ld bdi to6n hay v6 tinh s6 ph6n tu
.

cria t4p hqp k6t hqp vdi ki thudt b6t dang thtc
Cauchy. Chi c6 mQt bpn c6 loi giii ding: Vii Bd
Long, 11T1, THPT chuydn Nguydn Hu6, Hi NQi.
Erlng chf f H bp Long giai bdi to6n blng phucrng
phtip cua ljr thuy6t x6c sudt.

NGUYEN MINH DLIC

Bni Tl I/450. T'im tat cit c:tit: s6 ngul,On tluong
n ) I t'a si rtgrrvAtt lri p trttt ( h.t d(t thti'{'
./(-u) -= -r" -7r.r + pl phdn t{ch dtror thinh r[t'h
c'ila hrri rtro thtlrt' lthtic hing.ti t,ej'i hi .td ngu.t'in.

thc ld

co = anbo + an_rb, + ...+

anbo i

aobr. Suy ra

p e aoi p (mdu thuin). Vdy

ndy kh6ng xiry ra.
Tnrdng hqp 2: aoi

bd nh6t md a,l

p

trucrng hqp

p

vir boi p. Ggi r ld chi so
vir s ld chi sO Ue nnat ma

b,l p. Ttrclit

(
p.ari p....,a,_ri p,a,/. p lJooi
lboi p. b,i p,.... b,_ri p,b,l p 1 { s < r
DAt r*s=k. Ta c6 cr=a,b,+la,b, (l),
i+i=k

trongcl6 0Tt (1) tac6 cnl p (do c,i p voi 0) k = n e r+ S= n. SUy fA r = r\ S =t
(do r 4 m, s < / ). Thenh thit a* ar,..., a* ,i p

vd bo, b1,..., b,ii p. Gih sh m> 2, t > 2. Ta c6
-p=cr=aobr+boa, : p2(v6 ly). Vay m=l

ho{c t =1. Gie sir
x' - px + p2 = (x + bo)(x,-t

t

=1, khi

+ a,_rx,-2 +

d6

...+ ao).

ra aobo= p2.MiL ao,bri p ndn ta c6 ho{c
ao.= bo = p hoic as = b, = -p.

N6u ao =fu,=p thl
f (-p) = 0 <=> (-p)" +2p' = 0 <+ -2 = (-11' u"-z
Suy

lnle
- l2=p,, -

ln=3

lp=Z'

Thri lai x3 -2x+4=(x+2)(x, -2x+2).
NCu /(p) = 0 + p' *Zpz = 0, loAi.
Ddp s6: n=3; p=2.

J

YNhQn xdt. Bdi ndy chi c6 bhy bpn tham gia gi6i
trong d6 c6 s6u b4n c6 loi gi6i tlung nhmg chua th4t
chflt ch6. C6c bpn sau c6 ldi gi6i tucrng ddi t6t: YGn
Bili Vfi Hdng Qudn,71 To6n, THPT chuy6n Nguy6n

r.

nun,n-ro,u,

T?3fl,#t[23

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !