Tiểu luận tìm điểm rơi trong bất đẳng thức CAUCHY

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ HỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.

Học viên : Hoàng Đại Việt
Lớp : Cao Học Toán 2014 – 2016
Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Hà Nội - 2015


LỜI MỞ ĐẦU
Trong sự hình thành vận động và phát triển của vũ trụ, những quy luật về so đo và
tính toán là điều tất yếu phải có. Sự to nhỏ, lớn bé, cao thấp hay giàu nghèo...là những
so sánh kinh điển mà Lão Tử đã chiêm nghiệm được và cho ra đời trong "Đạo Đức
Kinh" nổi tiếng suốt 2500 năm qua. Trong guồng quay của khoa học từ thời sơ khai
cho đến thời hiện đại, Toán học cũng không thể đặt mình ra ngoài những quy luật đó.
Sự ra đời các phép so sánh : số lớn số bé, Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, các giá trị bằng
nhau là điều tất yếu phải đến trong lịch sử Toán học.
Từ thời cổ đại, con người đã phát hiện ra những so sánh tương đối giữa các con số,
biểu thức trong số học hay đoạn thẳng, góc, diện tích, chu vi trong hình học. Với quá
trình phát triển suốt sau đó, các phép so sánh trên đã dần định hình chặt chẽ và trở
thành 1 phần cực kỳ quan trọng của Số học, Toán học hiện đại bây giờ. Đó là "Bất
Đẳng Thức", nó đã bước ra khỏi vỏ bọc của Số học để trở thành những điểm nhấn
quan trọng trong tất cả các lĩnh vực như : Đại Số, Giải tích, Tổ Hợp, Xác suất, Hình
học...

Trong quá trình hình thành này, nhiều định lý, phương pháp quan trọng đã ra đời và
trở thành kinh điển trong "Toán học". Với khuôn khổ của 1 tiểu luận, em xin trình
bày 1 phần nhỏ nhưng là cốt lõi và cực kỳ hữu ích để giải quyết khá nhiều bài toán ở
cấp độ Phổ Thông. Đó là Bất Đẳng Thức AM-GM ( hay còn gọi là Cauchy) và các
phương pháp vận dụng cơ bản.
Tiểu luận gồm có 4 phần chính :
1.

Chương 1 : Kĩ thuật chọn điểm rơi trong cô si 2 số

2.

Chương 2 : Kĩ thuật chọn điểm rơi trong cô si 3 số

3.

Chương 3 : Bất đẳng thức phụ

Dù vẫn còn nhiều hạn chế nhất định vì nhiều lý do nhưng em hi vọng Tiểu luận này sẽ
mang đến những kết quả khả quan hơn để có thể phát triển thành luận án thạc sĩ trong
tương lai.


Chương 1. Kĩ thuật chọn điểm rơi trong côsi hai số.
a+b
≥ ab
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Cho hai số a, b > 0 ta có:

Bài 1.

Chứng minh rằng nếu a ≥ 2 thì a +

1 5
≥
a 2

Phân tích:
Dự đoán dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi và chỉ khi a = 2
Bài giải
1 1 a 3a
1 a 3a
= + + ≥2 . +
a a 4 4
a 4 4
1
2.3 5
⇒ a + ≥1+
=
a
4 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 2 .
Ta có : a +

Bài 2.

Cho a > 0, b > 0 và a + b ≤ 1 . Chứng minh rằng a + b +

Dự đoán dấu “ = “ xảy ra khi a = b =

1
2

1 1
+ ≥5
a b

Ta có :
1 1
1
1
1
1
+ + a + b = + 4a + + 4b − 3 ( a + b ) ≥ 2 .4a + 2 .4a − 3.1
a b
a
b
a
b
1 1
⇒ + +a + b≥ 4+ 4−3=5
a b
1
Dấu '' = ' ’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = .
2
∈
Bài 3. Cho x > 0, y >0 ; x, y Z thỏa mãn x + y ≥ 6
Chứng minh rằng : A = x(x – 1) + y(y – 1) ≥ 12

Dự đoán dấu '' = '' xảy ra : x = y = 3
Bài giải :
Đặt A = x ( x − 1) + y(y − 1)
2
2
A= x −x+y −y


A = x 2 + 9 + y 2 + 9 − ( x + y ) − 18 ≥ 6x + 6y − ( x + y ) − 18
⇒ A ≥ 5 ( x + y ) − 18
A ≥ 12
Dấu '' = '' xảy ra khi và ⇔ x = y = 3.
Bài 4.

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của :

x2
y2
z2
+
+
Q=
y+z x+z x+y
Dự đoán dấu '' = '' xảy ra ⇔ x = y = z =

2
3

Ta có:
x2

y+z
x2 y + z
+
≥2
.
=x
y+z
4
y+z 4
y2 x + z
y2 y + z
≥2
.
=y
x+z 4
y+z 4
z2
x+y
z2 x + y
+
≥2
.
=z
x+y
4
x+y 4
Cộng vế với vế ta được:
x+y+z
≥x+y+z
2

x+y+z 2
⇒Q≥
= =1
2
2
⇒ Q ≥1
⇒Q+

Vậy GTNN của Q = 1 khi x = y = z =
Bài 5.

2
3

x2
y2
+
≥ 8.
Với x >1; y>1 . Chứng minh rằng:
y −1 x −1

Dự đoán dấu '' = '' xảy ra khi x = y =2
Bài giải
x2
x2
+
4(y
−
1)
≥

2
4(y − 1) = 2.2x
Ta có:
y −1
y −1
y2
+ 4 ( x − 1) ≥ 4y
Tương tự:
x −1
x2
y2
⇒
+ 4y − 4 +
+ 4x − 4 ≥ 4x + 4y
y −1
x −1


x2
y2
+
≥8
y −1 x −1
Dấu = xảy ra ⇔ x = y = 2
⇒

Bài 6.

2
Cho a ≥ 6 . Chứng minh rằng : a +

Dự đoán dấu '' = '' xảy ra ⇔ a = 6

18
≥ 36 + 3 6
a

Bài giải

Ta có :
a 2 + 36 ≥ 12a
18
+ 3 a ≥ 2.3. 6 = 6 6
a
18
⇒ a 2 + 36 +
+ 3 a ≥ 12.a + 6 6
a
18
⇒ a2 +
≥ 12.a − 36 + 6 6 − 3 a
a
18
⇒ a2 +
≥ 72 − 36 + 6 6 − 3 6 = 36 + 3 6
a
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 6 .
Bài 7.

3

2

Cho a, b, c >0 và a+b+c ≤ .

1 1 1 15
+ + ≥
a b c 2
1
Dự đoán dấu = xảy ra ⇔ a = b = c =
2
Ta có:
1
+ 4.a ≥ 4
a
1
+ 4.b ≥ 4
b
1
+ 4.c ≥ 4
c
⇒ A + 3 ( a + b + c ) ≥ 4.3
A ≥ 12 − 3 ( a + b + c )
3
3
Vì a + b + c ≤ ⇒ A ≥ 12 − 3.
2
2
Chứng minh rằng: A = a + b + c +

A≥

15
2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c =
Bài 8.

1
2

Cho a+b+c+d =2 .Chứng minh rằng : a2+ b2+ c2+d2 ≥ 1

Dự đoán dấu = xảy ra ⇔ a = b = c = d =
1
≥a
4
1
b2 + ≥ b
4

1
2

Ta có : a 2 +

1
≥c
4
1

d2 + ≥ d
4
Suy ra: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d
⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1 ( vì a + b + c + d = 1)
1
Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c = d = .
2
2
2
2
2
⇒ a + b + c + d ≥1
c2 +

Bài 9.

Cho x> 0;y >0 và x + y ≥ 4 .Chứng minh rằng : 2x + 3y +

Dự đoán dấu ‘= ‘ xảy ra ⇔ x = y = 2
6 3x x
6 3x x
x
Ta có: +
+ ≥ 2. . + = 6 +
x 2 2
x 2 2
2
10 5y y
10 5y y
y

+
+ ≥ 2.
. + = 10 +
y
2 2
y 2 2
2
6 10 3x 5y x y
x y
⇒ + +
+
+ + ≥ 16 + +
x y
2
2 2 2
2 2
6 10
⇒ + + 2x + 3y ≥ 18 ( vì x + y ≥ 4 )
x y
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2.

6 10
+ ≥ 18
x y


Chương II. ĐIỂM RƠI COSI 3 SỐ

a+b+c 3
≥ abc

3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Cho ba số a, b, c > 0 ta có:

Bài 10. Chứng minh rằng : Nếu a ≥ 2 thì A = a +

1 9
≥
a2 4

Dự đoán đấu “=”xảy ra ⇔ a = 2
Bài giải
Ta có:
1 a a 3a
1 a a 3a
A = 2 + + + ≥ 3. 3 2 . . +
a 8 8 4
a 8 8 4
3 3.2 9
A≥ +
=
4 4
4
Dấu’’=’’ xảy ra ⇔ a = 2 .
1
1
Bài 11. Với 0 < a ≤ : Chứng minh rằng: A = 2a + 2 ≥ 5
a
2

Dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =

1
2

Bài giải
Ta có:
1
1
A = 2 + 8a + 8a − 14a ≥ 3 3 2 .8a.8a − 14a
a
a
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =
2
Suy ra, A ≥ 3.4 − 14a ≥ 12 − 7 = 5
Vậy: A = 2a +

1
≥5
a2

Bài 12. Cho a, b > 0 ; a + b ≤ 1. Chứng minh rằng:

a+b+

1 1
+ ≥9
a 2 b2

Dự đoán dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b =
Bài giải

1
2

Ta có:
1
+ 8a + 8a − 15a ≥ 12 − 15a
a2
1
+ 8b + 8b − 15b ≥ 12 − 15b
b2
Suy ra: A ≥ 24 − 15 ( a + b ) ≥ 24 − 15.1
A≥9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =

1
2

3x 2 + 4 2 + y 3 9
+
≥
Bài 13. Cho x, y > 0 và x+y =4; Chứng mỉnh rằng: A =
4x
y2
2
Dự đoán dấu ‘ =’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2.
Bài giải:

3
1 2
Biết đổi A ta được: A = x + + 2 + y
4
x y
Ta có :
1 1 2x x 1
1 1 2x x 1
+ +
+ − ≥ 33 . .
+ −
x 2 8 2 2
x 2 8 2 2
1 1 2x x 1
x
+ +
+ − ≥1+
x 2 8 2 2
2
1 1 2x
Dấu “=” xảy ra khi = =
x 2 8
Hay

2 y y y
2 y y y
+ + + ≥ 33 2 . . +
2
y 4 4 2
y 4 4 2

2 y y y 3 y
Hay 2 + + + ≥ +
y 4 4 2 2 2
Tương tự ta có:


2 y y
= =
y2 4 4
Cộng vế với vế ta được:
3 x+y 5
9
⇒ A ≥1+ +
≥ +2=
2
2
2
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2.
Một số bài toán khác:
Dấu “=” xảy ra khi

CHƯƠNG III. BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
1 1
4
Áp dụng cho 2 số: Với x, y > 0 ta có : + ≥
x y x+y
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = y
Áp dụng cho 3 số:

Với x, y, z > 0 ta có:

1 1 1
9
+ + ≥
x y z x+y+z

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = y = z
Bài 14. Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 .Tìm GTNN của P =
Ta có

1
1
+
2
a + b 2ab
2

1
1
4
4
≥ 2
=
2 ≥ 4
2
2
a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b )
2

1
2
1
1
+ 2
Bài 15. Cho a, b > và a + b ≤ 1 .Tìm GTNN của Q =
ab a + b 2
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ a 2 + b 2 = 2ab và a + b = 1 ⇔ a = b =

Dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =

1
2

Bài giải
Vì: a + b ≤ 1 mà a + b ≥ 2 ab hay 1 ≥ 2 ab ⇒ ab ≤

Ta có : Q =

1
4

1
1
1
4
1
1
1
+ 2

+
≥
+
+ 2
2
=
2ab a + b 2 2ab ( a + b )
2ab
ab a + b 2


4
1
1
Q≥ 2 +
Vì ab ≤ nên
1 2. 1
4
4
Hay Q ≥ 6
1
GTNN Q = 6 khi a = b =
2
Các bài tập tương tự:
Bài 16. Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 .Tìm GTNN của : A =

1
1
+ + 4ab .
2

a + b ab
2

Bài 17. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng mỉnh rằng.
1
1
1
1
+ + + ≥ 30
2
2
a + b + c ab bc ca
2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1] Nguyễn văn Mậu, Bất đẳng thức Định lí và áp dụng
[ 2] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò, Tuyển tập các bài
dự tuyển Olimpic toán quốc tế, Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.

[ 3] Nguyễn Văn Nho, Olimpic toán Châu Á – Thái Bình Dương, Nhà xuất bản
Giáo dục, 2003.

LỜI CẢM ƠN
Vì khuôn khổ tiểu luận có hạn, thời gian thực hiện ngắn nên chưa thể đi sâu hết
được các dạng toán liên quan đến BĐT Cauchy. Dù đã cố gắng nhưng vẫn không
tránh khỏi một số sai sót nhất định. Em mong thầy và các bạn có nhứng đóng góp,
sửa đổi để Tiểu luận của em trở nên đúng đắn và chính xác hơn. Em xin chân thành
cảm ơn thầy Nguyễn Văn Mậu đã tận tình giảng dạy cho lớp chúng em và mang lại

cho em những kiến thức bổ ích và quý báu làm hành trang trên con đường làm giáo
dục của em hiện nay và sau này. Em xin chân thành cảm ơn.