TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 457 THÁNG 7 NĂM 2015

xuflr eiil rU rgo+

2015
s6 457

rap cxi

Rn HAruc rxAruc - NAM r-nU 52
oAruH cHo rRUNG xoc pxd rHOruc vA rnuruc

uoc co s6

Tru s6: 1B7B Gi6ng Vo, Ha NOi
DT Bi6n tap: (04) 35121607; DT - Fax Ph5t hdnh, Tri su: (04) 35121606
Email: Website: />
I

]]:

i dt

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


#r_,

N H A lt U AT-

ffig,qr,

,n

t

+G

''.fi* ,*e ,€f+ '*

7

gA N sGJ hti "D U"B*:V-I ET*I(I A IVi

w& e-dsv& KeB, tur*?ei-€#UYffireff,
qO?siich "Tii

Toin Trung hgc co so"
2lilcatdt c& 8 cudn. cho cdc lfu 6.7 ,8,9. m6i lcp
liQu chuyOn

2 tap: tdp mOt la &ai sdi& ldp 6, iap mQi ti Sd
hqc), t6p hai th Ffinh fuoc. N$i dung trong moi cudr:
ddu b6rT"l sit cl"r*arg irir:h To6n & c6c ldp THCS.

gb*

M5i c**n ddu c6 tiai ph5n: phSn Cdc chuyArt dd
c* b&r' {vidt theo trlrig chuang cia SCK} vi phAn
Ff6t sd chz*y€.re dd n&*g cco. Ilh*n dAu trong m6i
chu'y€n dd Ia tom t6t cdc kidn thirc !i thuy€1 c*a
chxy6n dd m& HS c*n ndm vkg. ti6'p thec gidi
thiCu mot sd vt dir n:inh haq v& sau di la cac bdi iap

dd nghi dd HS luyQn tqp. itherg chuy€n dd ndng
ca* r:h&r:t gi*p HS hidu shu vi r$ng hcr:: *hr?:g r:6i
dl:ng c6 1i6n quan d6n ci:xsng irinh. llhr*"lg d dv
vi cac h&i t6p trinh b&y trung sSch dr:o, c c*c i6c gii
ch*n ioc kh* k? iu&:g, trong d'6 c& nhi6u vi du, bli
tip li r':hr*g ir*i thi !"r*c slnh gi*i Toin Qr:dc gia,
thi Olya:pic ?cdn. ... Bang vi€c doc, gili nhi*-rg vi
dq v* bdi tQp nly, HS sE drtgc m& rOng, d-ro siu
nhl*'rg kidn thrit d6 h*c. qua d* d'rr. c rdn iuy€r: khi
n&r:g l*di:y To*n hoc. CuOi sach sd la phAn H*o*g
d#n g;{i; cho cac bii t?p duoc dm ra & cudi mdi
ant.:uen de.

Nh6nr tiic gi6 ciia bO sdch id nhtlrg thAy co gi6o dE
hc*c dang Ei&ns d+y & c6c iop chi.ry€n To6n ctia c5c
t*l*:-rg ilai hoc vd cdc tr*ifi-rE Trung hgc phd th0ng
c6 *y tfn, l* nhulrg chuy€n gia To6n &Tap chi Tadn
hac & TuS; tr* r,'d Nhd xudt b&n CiSo dyc ViO Nam.
ching han nhu, NGND. Va H** Binh {ch* bian},
NGLt" lYgu5,6r": ?cnt Srvn, nh& giSo Dam Hidu
Chid*. PCS.TS" V#n lVhir Cr*dng, PCS.TS ildm
Vdn ffhi, TS. Ph*rn Thi Bccf, Ngqc, PCS.TS. Ld
Q*dc ffc{n, TS. Trdn H#* lV*rn. .."

6*t'nii

'$i!.'1i3#"r*ix*'.r-.:x..
r}::lt iri-'iir iriil lFll:l
(
----

il-'N |fr

I

T(JANr". }(
ra"

H?ru:'i

Fr**

.ft

S- .E

*
ro4}
liil';rl **C
.-a,,.'

,,

, ,

rSXKT==
*Fj$*

:

li

Hi vcng rhng bE sdch sd mdt tdi liqu thi6't thltc
va bd ich girlp c*c em l":qc sinh iiidu s*u s5c nhtlrg
kidn ihrlc Tcdn dE hoc, vi: g6p phAn v&o vi€c n&ng
cao chdt tirqng d*o tao vi bdi dr-rong hpc sinh gi6i
ToSn d cdp Trung hoc cd s&.

tsqn dgc c6 thd d$t nrua s&*tr Qi c6c C&:rg ty Sich - Thi*l bi Tnrdng hgc & e&c dla phrrong
ho{c c&e C*a h*ng s6ch cria N!r& xu6? b*n &i6o dgc ViQt Narn"

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


0iltltllfllln
{1:-..,. .*
"'a. (dv

,l/6n toan o chwong trinh giao dac ph6
,//A th6ng hidn hanh cila nadc ta chi di cQp
d€n cidu hiAt cac s6 chia hijt cho 2; 3; 5 vd 9.

ll/godi ra, trong qua trinh tim tdi, hgc h6i,
chung ta cdn dffqc biil d€n cdc diiu hiQu chia
h€t khac nhu ddu hiQu chia h1t cho 4; 6; 8; 1 1; ...
TrAn

m\t tii di6n ddn todn hpc cfing c6 ddng

m\t vdi k€t qud khi xet diiu hi€u chia hiit cho'1.

.,1
Vcti niem dam m€ toan hgc, t6i dd tim tdi va xin
rrinh bdy m|t diiu hiQu chia hiit cho 7 nhd cac
bQ s6 duqc sd:p theo tha try md t\i sd dqt tAn
rrong phin trinh bdy dwdi ddy.

Xet cdc s6 co d4ng 10r vdi k:1,2,3 ... vit
m6l sti niy khi chia cho 7 co cdc k6t qui sau:
10 :7.1 + 3

l0::7.14 + 2
103 :7 .142 + 6
10r:7. t428+ 4
105:7. 14285 + 5

n6:i.142857+I

II.

Nhfln x6t tdng qu6t

Khi chia cac s6 cd dqng lOk vit l0k*6 lvbi k:
2;3; 4; ... ) cho 7 thi chting c6 cilng tij do.

l;

Chang minh:

o6 thay

10r kh6ng chia hi5t cho 7

(l0r :2k.5\.

Gi6 sir chia lOt cho 7 dugc thuong

sO

ld 4 vd

sO

duldr: 10k:7q +r(1) (q,reN.vd0 Ta cAn chimg minh khi chia 10r*6 cho 7 cflng

ttit

trqp voi

nhpn xdt md rlAu ta c6: 10r*6 : 10r.106
: (7q + r)(7.142857 + 1) : 7X+ r (X e N.).

III. Quy ur6rc c6ch ggi t6n
1) C6c bQ s6 sAp thu t.u: (1;3;2; _l; _3; -2),
(l;3;2; -1; -3; -2; l), (l; 3;2; -1; -3; -2; I;3),
(1; 3; 2; -1; -3:' -2; l; 3; 2)... dusc goi li c6c
"bQ s6 tuAn hodn" tucrng img v6i c6c sd
, abcdefgh, abcdefghi, ...
2) Kh6ng -At tioh t6ng qu6t, xdt sO tu nhi6n

142857t428 + 4

101r

14285714285 + 5

3.b

abcdefg

-2.a

1.

f

+ 3.e + 2.d * l.c

chia h6t cho 7 thi ta n6i "c6c

-

cht s6

cira s6 abcdef thoa mdn bQ s6 tudn hodn tvong

Nhu vfly, voi citc s6 tri 10' cl6n 106 khi chia cho
7 thi s6 du l6n luot theo thu t.u ld: 3;2; 6; 4; 5;

vi ld c6c sd ti6p theo tu 107d6n

,

abcdef , khi d6 n€u t6ng

6

loro:7.

1. Di0u thri

NGUYEN VAN HIEU

Di6u ndy d6n l[p lai thir vi ndo tl6 ,rC sO duZ C6c b0 s6 ndy
li€n quan gi d6n "d6u hi6u chia h6t cho 7"?

abcdef

101

:7.

I

fiUCS Wnh Htrng. Phu Lic, Th*a Thiln Hud)

dugc s5 du ld r. ThQt vfly, tu (1)

I. Nh$n x6t m& tlflu

:'7 . 1428571 + 3
108 : 7. 142857t4 + 2
t}e:1. t42857t42+

:

iltT (lt0

1012

khi chia cho 7 cflng l[p lAi c5c sO du theo b0
(3;2;6;4; 5; l).

sd

ring".

IV. D6u hiQu chia tr6t ctro Z

l)

Tradc hdt

u fim diiu ki€n cdn vd dti dA s6 c6

6 chir s6 dqng abcdef chia h1t cho 7.

t, nrr,r-roru, T?3I#?E I
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !

A:

Edt

abcdef

:

a(7.14285 + 5) + b(7.1428 +

4) + c(7.142 + 6) + d (7.t4 + 2) + e(7.1+ 3)

+

f

:

-2 * x, s6 70x026

chia hi5t cho

7

e r:

chia h6t cho 7

e-2 - x

5.

:7(14285a + 1428b + l42c + l4d + e) + 5a +
4b + 6c + 2d + 3e + f : 7(14285a + 1428b +

2) Bdy gid ta xdt

l42c + l4d + e) + 7(a + b + c)

*c+

x6t m& t16u ta th6y c6 sU l6p lai vO sd du khi

cho 7 khi vd chi

chia c6c sii c6 dpng 10r cho 7, do do khdng ldm

2d + 3e

+l

khit6ng
h5t cho

Nhu

vQy

A chiah6t

-

2a

-

3b

R: 2a-3b-c+2d+3e+f

7

chia

vil

thri qu: hQ sd 1 img v6i chfr sd hdng rlcm
i^,

I

'

t5m d,hQ

-1 img vdi chir sti
hdng nghin c, hQ si5 -3 ung v6i cht sO hdng
chpc nghin b, h0 st5 I tmg v6i cht sii neng

trdm nghin a. Tn Q) suy ra "Sd fi6 nhiAn c6 6
chir si|

s5 heng

A:

,brdrf

sO

chia hdt cho 7 khi vd chi khi

f + 3e + 2d - c - 3b -2a chia hdt cho 7". (3)
V6i quy u6c cSch goi t6n nhu trOn, hic ndy (3)
di6n dat nhu sau:

,brff

"Sii tq nhiAn cd 6 chti sd

chia h1t cho 7

khi vd chi khi cdc chfr s6 ctia n6 thda mdn b6 sd

;,

tudn hodn tu(mg il,ng 0 : 3: 2:

-l;

-3; -2)" .

Chri ]i ring, trong chimg minh tr6n c6c

a, b, c, d,

e,

cin vd dil d€ cdc

cht

cd nhidu hcrn 6 chtt s6 chia h€t cho 7. Tri nhf,n

m5t tintr t6ng qu6t ta xdt s5 c6

c6ch phdn

vd k6t

tich

106

7 chir

+

si5

c6 dpng

, a6 i
xdt md diu

bcdefg

nhu 0 mqc NhQn

qui chimg minh tr€n cho sd

Ucae@ ta c6

abcdefg chia hi5t cho 7 khi vd chi khi sd

7

sd

-

+ 3f + 2e

1.g

ld

-

3c

- 2b + l.a chia h6t cho

. Ta thdy xu6t hiQn bA sd ru6n hodn:

(l;

3;

2;

hodn t6ng qu6t sau:

(l;3;2; -l;

_3; --2;

1;3 ;2;

-l; -3; -2; ...).
3)

D6u hiQu chia h6t cho

SO

tg nhiAn

Z

"r%%r""r-q

chia h& cho 7 khi

vd chi khi cdc chtr sd cfia n6 thda mdn "bQ
tuiin hodn" cd n sd tuong ftngz

1;

khdng? Ta c6:
1.4 + 3.2 + 2.8 - t.7 - 3.9 - 2.1 + 1.0 + 3.1
: 4 + 6+ l6- 7 -27 -2 + 0 + 3 : -7.

Thi

vfly s6 t0t97824 chia h6t cho 7.

s5

3780 c6 chia hiit cho 7 hay kh6ng?

Ta c6: 1.0 + 3.8 + 2.7

- 1.3 :

24

+

14

-3 :

V. Ap dgng
35

chia ht5t cho 7, suy ra 3780 chia hi5t cho Z.

Thi d1t 2. 36 120476 c6 tinh chit: 1.6 + 3.7 +
2.4

- 1.0 - 3.2 * 2.1 :27 kh6ng chia h6t cho 7

n6n s6 12}476kh6ng chiah6t cho7.

Th{ dtt 3. Tim gi6

ta

70x026 chia h6t cho 7.
X6t t6ng: 1.6 + 3.2 + 2.0

V6i d6u hiQu nhfln bi6t

mQt st5 chia hiit cho 7

n6i tr6n, ta c6 th6 ki6m chimg dugc c5c k6t qui
sau:

1) Cric si5 c6 6

cht s6, 12 cht

si5, 18

gi6ng nhau thi chia h6t cho 7.

cira chft sd

si5

*2; 1; ...).
1; 3 ; 2; -1;
4. SO 10197824 co chia hi5t cho 7 hay

(l; 3; 2;-1; -3; -2;

kh6ng rl6ng thoi bing 0 thi khi d6 (3) van clirng.

ding phdp chia, xdt xem

-l;

-3; -2; l).
Chimg minh tuong tU nhu tr€n ta c6 bO sd tuin

Thi dlt

.f c6 th6 d6ng thoi bing 0 ho[c

d1r 1. Kh6ng

sd

hC

img v6i cht sd hdng chgc e, hQ s6 2 img

cht

vcri

kiQn

abcdefg. Do abcdefg: a.106

(2).

Sip x6p lai c6c hQ s6 -2; -3; -l;2;3; I c6 m[t
trong t6ng tr6n theo b0 (1; 3;2; -l; -3; -2) v1i
sO 3

diiu

x d€ s0

cht

Nhu

s5, ...

111111;

222222222222; 999999999999999999 ; ...

2) CLc s6 d4ng abcabc; abcabcabcabc;

.

-

lx

-

3.0

-

2.7

2,s31#E:,*
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


giii oE'rul ruvft*t srNH vAo rdp 10 cHuyErrr roAru

Hrldng ddn

Bni l.

a) PT c6 hai nghi6m ph6n biQt

Do MCN =90" n6n MN liL tluong kinh cira
(Q, kdo theo O' ld trung didmci.r. MN.
a)

,:

-,lzJz -2 vd t + tlzJz -2.
b) Theo dinh li Vidte, ta c6 t

xt + x2 = 2, xrx, = (m -1)2

K6 ti€p tuyi5n tpi C

-\)' =(q + *r)' -4*rh = 4 - 4(m -l)' < 4,
suy ra lx. - xrl.

+ N6u D +

=Yl]
x'+l
(1)

*=+.

+ 16 > 0

D:

e

ra dfifu =1efu;

CNM =CBA

MN l/ AB.

=

cit (O) taidiOm thf

: 4 khi * =;,

minD

.

hai E. Suy ra E

1n O"g chta C),

E

c6

cO einfr.

F,,tlD=AA (ch6n hai cung AE = BE).

MCD,

frD

chhn

AD, tia AE nLm ngodi MCD, suy ra AE ti€p

-) - -2.

xirc v6i
MCD tqiA.

D

Bei 4. Gqi d =UCLN(,a' +4, n+5).

D2

1

D

Xdt ducrng trdn ngoai ti€p

(2D -3)2 <25

Khi D : 4, (1) c6 nghidm kdp x = 1= +.

Bni 3.

K6o ddi CD

c) Ta c6

-1, (l) c6 nghidm kdp x -

Vay maxD

suy

dinh. Vfly CD lu6n ili qua di6mE

<>-5<2D-3 <5<> -lKhi

*

ICM = CBA

ld trung diiSm cria

0 thi (1) phai c6 nghigmx, vi th6

4D2 +l2D

(Q,

MD = ND hay CD liL tia phdn giSc ctn ACB

A=16-4D(D-3)>0

e

tuy6n @i C cir'

b) Ta c6 O'D LAB n€n O'D LMN. Do d6

eDx2 -4x+D-3:0

+NtiuD:0thi

(O), cit ,4A k6o ddi tpi L

Vi (O), (C) ti6p xtrc nhau n€n IC ctng ld ti6p

,

n6n (4

Blri 2. Ta co D

clilra

: -l

khi

Do

x:

-2.

n2 +

4=(r+

S)(n -5)+29

ndn d = UCLN (n + 5,29). Ta

c6 p ld phdn sii

chua tdi gi6n

e

d >l

e

n+5 i 29 (vi 29 ld sd nguy€n t6)

en:29k-5(keZ).
Theo gi6 thi6t 1 <

n<2015

el< zgk-5<2ot5o 6 29
29
Md fr e Z n€n k : 1, 2, 3, ..., 69.
YQy n = 29k - 5 voi k : 1, 2, 3, ...,.69.
CAo TRAN

rtlnAr

.

(Ninh ThuQn)
Gi.it thiQu

*nrr,r-roru,

t?EilrH8[

I

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


',. xr rryr6ru srrur rrA.o r-0e ro
ilpr cnuytn g0A HQc r{ uNtru . DHqG nA nfi ulu nsc zou-zors
VONG
C0u

I

(3 diAm).

l)

t (120 phrit)

Gid su a, b ld hai s6 thpc ph6n

biQt th6a mdn a2 +3a = b2 +3b

=2.

Cdu IV Q die@.1) Cho b6ng 6 vu6ng 2015 x 2015.
Ki hiQu 6 (r,j) 6 0 hdng tht i, cQt th? j.Tavi6t

b: -3
b) Chung minh rdng a3 +b3 =45.
[?, -r- ?., : 5 -,
2) Giei hQ phuong trinhJ -^ ' "' ""r
a) Chrmg minh ring a +

li

,i.

l4x2 +y2 =5ry2

Ciu II Q diAfi.1) Tim ciic sii nguyCn x, y kh6ng
nh6 hcrn 2 sao cho xy

chiah6t cho (-r-1)(y-1).

-l

2) Voi x, y ld nhirng s6 thUc th6a mdn ding thric
x2y2 +2y+1=0, tim gi6 td lon nh6t vd nhO nh6t
cua bi6u thuc P

=

3) Chung minh ring ba di6m A, J ,P thing hdng.

c6c sd nguy6n duong hr 1 d6n 2015 vdo c6c 6 cua
bing theo quy tic sau:
i) 56 1 duqc vi6t veo 6 (1,1),
ii)Ni5usokduscvi6tvdoO (r,j), v6i i >1, this6

k+ 1 dugc vi6t vdo 6 (,-1,j+1),
iii)N6us6kdugcvi6tvdoo (1,j) thisii
vi6t vdo 6 (.i + 1,1). (Xem hinh 1)

,4

3v+l

Cffu III

(3 di€m), Cho tam gi6c nhgn ABC thdng
cdn c6 t6m dudng trdn nQi ti6p h di6m1. Dudng
thingU cit aC t4i D. Ggi E,F ldnluqt ld c6c di6m
ttOi xung cria D qua IC ,lB.

l)

Chrmg minh

ringEF song song v6iBC.

2) GqiM,N,"r hn luqt

li

trung tliiSm cria c6c doqn

thingDE,DF,EF.Ducrng trdn ngo4i ti6p tam gi6c
AEM cit dudng trdn ngopi ti6p tam gi6c AFN tqi P
LJndc A. Chrmg minh rlng b6n di6mM,P,N,"r cirng
thuQc mQt dudng tron.

I

J

6

2

5

9

4

8

ft+l

dugc

t0

7

Hinh 1
Khi d6, sii zOts dugc vi6t viro 6 (m,n) . Hdy x6c
dithmvdn.
D Gie s'iJ a, b, c ld cic sO ttrqrc ducrng th6a mdn
ab + bc + ca + abc < 4. Chimg minh ring
a2 +b2 +c2 +a+b+c>2(ab+bc+ca).

VONG 2 (150 phitt)

diim).1)Yoi a, b, c ldcSc s6 thUc th6a thilngBC.Gqi,F/ldhinhchi6uvu6ngg6ccua B tr6n
Cnu
tloqn thing AM. Trdn tia d6i cua tia AM 16y di6m
mdn (3d+3b+3c)3

I

(3

=24+(3a+b-c)3 +(3b + c Chrmg minh

D

a)3 + (3c + a

- b)3 .
ring (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = l.

Giei hQ phuong trinh

{2x +2y +.ry = 5
f271x+y)+y3 +7 =26x3 +27x2 +9x.
CAu II Q diA@.1) Tim s6 t.u nhi6n n d6 n+5 vit
n+

30 tt6u ld s6 chinh phuong (s6 chinh phucmg ld

sli bing binh phuong cria mQt s2) Tim x, y nguydn th6a mdn tting thric

3) Gi6 si x, y,

D:

z

ld nhtng

sO

tfrgc l6n hon 2. Tlm gi6

cria bi6u thuc

x

-

)

r

z

,/y;;- Jz+ x4 ,txirz

III Q diA@.

Cho tam gi6c nhgnABCkh6ng
c6n v6i AB < AC. Gpi M ld trung ditim cira tlo4n
CAu

.
4

TORN HOC

t

cfuAfta

sao cho AN =2ll4H.

1) Chung minh

2) Gqi

0

ring BN

= AC.

ld di6m ttOi xrmg

v6i A qua N. Duong

cltBQ taiD. Chimg minh ring b6n ili6ni
B, D, N, C cirng thuQc mQt tludng trdn, ggi tludng

thingAC

trdn ndy le (O).
3) Duong trdn ngopi tii5p tam gi6c AQD clt (O) tqi C
kh6c D. Chrmg minh ring NG song song

vli

BC.

Ciu IV Q die@.
hiQu S ld tip hqp g6m 2015 di6m ph6n biQt tr6n
mat phing. Gi6 sri tit cd cilc tli6m cta S kh6ng cing
nim tr6n m6t duong thing. Chimg minh ring c6 it
nhfit 2Ol5
Kf

t+rtx+y+3 =./7*Jy.
tri nh6 nh6t

N

thing di qua it nh6t hai di6m cira S.

NGUYfN Vfr LUCING-PHAM VaX nr)NC
(GV THPT chuyan KHTN - EHOG Hd N|i)
Gidi thiAu

sS nur,r-rorut

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


,..X?\e"ri

itu ONIG DANI GIAI .DE SO 9
Cffu 1. a) Bpn

gi6i.

c19c t.u

b) Ta c6 J' =3mx2

nghiQm, suy ra PT (1) v6 nghi6m.

-6mx,),'=0e['=

2

Nm*ol.

lx=2'

Do y'AOi Oau khi qua x =}vdx =2n€n AO tni
hdm s5 c6 2 di€mcgc tri.
. V6i x =0 th\ y=tm-l):, vfi x=2 thi y=-y-3.
Do vai trd ctra A vd B nhu nhau, kh6ng m5t
t6ng qu6t gi6 sirA(0; 3m-3),8(2; -m-3).
Tac6 2AB2 -(OAz +OB2)=98
e 9(m - l)z + 4 + (m + 3)z - 2(4 + I6mz ) = -99
ellm2 +6m-56=0 <> m=2hodc *=-4.
11'
Cirl2. a) T :4030.

b) DAt z = a+bi (x,y elR)
= 7 = a-bi.Ta c6
I

i, - :l = V - z -

= a-

e

2 + (b

l-u - z + all =la y = (_2b _t) + bi.

_l )

_2b

Ta co lzl=

rl

-

lll

,Fil.+=+

)

. Vcri x a -;,

,t

(l ) tucrng duong v6i

|4 .
2s-919Dat
'

2 t8
-:-+;;

(3)

(0., +l,Pr (3) ffd thdnh
+
= 4/
x2=, \

o(t-'O -+r)= zr+-!!l- lo

-2) 2(t -2)(r + 4)
L+r
l+J9-4t
(4)
ett-D(
--l>-*4.)=o
' (,1+J9-4r
l+t )

v6i o .t<2 co --Lr4
,a
4 l+J9-4r 4
18 "
18 t+4
'-lr "3
''t+4
1+r l+r<4<-:4 nen:-->0.
1+J9-+t [+r
Dod6 (4)e t=2.Suyra x=-;.0. Tird6
36(t

Ding thric xiy ra kJli b = -?.

)

-l55
-1t.

Tu d6 s6 phric cAn tim ld z =

Ciu

3. PT da cho <>

sin2x-J3cos2x=Zcosx

.(
n) (n )
<>srnl 2y-- l=srnl;-J

3'

[

tL

2

2

0

. Tinh

l.

)

Ttr d6 suy ra nghiQm cira PT rl5 cho

5n k2n =4+k2n
r=18+
3 'r 6
c

li

(k

tr= [{x-zYax.

1

Dat

ilu=x-2=ldv=ddx

lv=e"

2

ezt'

thf hai cria hQ tucrng duong voi
(2x-l)3 =(r- y)3
=!=l-x.
Tlruy y =l- x vdo PT thir nh6t cira hQ clugc

CAu 4. PT

25* *gJg*,

Giai (1). DK:
. Vcri x

)

>:,

)

-+

='x * x'2 +7,
"8!

lxl>:.

PT

(

l)

(1)

tucrng
D{t r=,ffi. ud6

3

,r*'$'11
=l*-!x
x' xt+I
I > 251rdo *>ir\
IVT(2)

Tac6]

lvrtzi

\

J)

,|*ff.2s

,,=-.j:J*=)ttt-ltt.

(z)

vay

1

=-..i(oL.rr-rr)

I

nenPT(2)vo

Ciu 6. .K6

SF/

LAC (H eAC).

Do (SAC) -L (A-BC)n6n SH L(ABC).

$ .457(7-2015)

TOAN HQC
&

sTudiEa

5-

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


CAu 8. . Mpt ciu(S)c6 t0m1(1;

-3 -Z)vi

b6n

kinhR = 6. Vi d(I, (a)) = 4 < R suy ra clpcm.
. Ggi FI vd r lin luqt ld tdm vd b6n kinh cira
tlunng trdn giao tuy5n, ta thhy H ld hinh chi6u
vu6ng g6c cria I tr€n (a). Ta c6

B
Ta c6 SH = SA.sin.ilZ

YAy

Vs.ABc

t
=

=zoJl.)= ali.

rH

JS*..,

=!es.ec.sH
6
=2a, JT.

Khid6 HK=d.(H;(SBC). Yi AH =SA.cos.ilD

=

ndnAC

=4HC

ffi= UE=ro=+.

Tt d6 d(A;(SBC))

aali. 3a-

=-=

5

JSH,TMT

S*. -

e

IA x'
-:-

*

1

8 <+

1AB.AC.sin2a
AB.ACsind.cosa = 8. Suy ra

=8

(x'-5)./5(x'-5) _,
=8=5(x:-5)3
-,

o
a

z" *?\ = Z( r *,
y) Js[ x Y)

x) Js\"
Js[z* *?\*L(
(Theo BDT Bunyakovsky)
r -)
4(- +-*r )= 4(4,,!x1
> *l
+----3Jry
+l
"/.t";l
J5[" ,l-y) Js['" ,l*y " )

*1 *1')

5a"* 9a2
_

AB= JV= (vor
, ,. -x > V5/;.).

Ta c6

Ta c6

Jxz*!"lor'*!y'

6aJ1

=

= IA

cdu lo. .Dat
' la =.Ear'
y

I

Ciu 7. Dulng trdn(C) c6 6m I(2; 2)vd bilrr
kinhR =Ji, Ae(A)= A(a:-a-l).
IB J5
Eit IA=x (x>O),fu=2.athi sina
cosa

3)'

|

= 4HK

4SH.HD

_1._Z)

=r=-;J =Hl-*:
\ : 3'

u >L(

d(A;(SBC)) = 4d(H;(SBC)) = 4Hx.

mctt

(.

t

clr{-t)424 :7920.

.Kd HD L BC (D e BC), HK L SD (I( e SD).

=zoJ|.$=3a,

l2*-2y-z+2=0

Cflu 9. 56 hAng khdng chria x ld

1

=l3a.4a.ali

IH =d(1,(a))=4, r=JF:|frT =2J5.
Tqa d0 di6m H ld nghiQm cua HPT
[x = I + 2t; y = -3-2t; z = -2-t
1-

=64xa

-l39xa +375x2 -625 =0
(xz -25)(5xa -14x2 +25) =0
= x = *5.

OOi ctri6u vdi DK , , J5 ta chon x :5.
Tt d6 IA-5 o (a-Z)z +(-a-3)2 =25
o az +a-6 = 0 <) a=Zhodca=-3.
Yoi a=2 thi A(2: -3); vbi a=1 thl A(1;2).
5x6

'
Ar-

x2

+l

y'+1

x

Y

'"-7-:-l) 3-r ^ l\ 3
l*'* o)*4 l'"* o)*4

-xv4x4v
- -., 3 ' . ,3 4x+3' 4y+3
**
Y*4
"

'

-!

Hcm

=-LL

+

4x * 4Y
nta:4x+3'
l(-f-.--l--)
=z- "[4x+3
' ay+3)
4y+3-'

a44
Do tl6
=
+r *+y *O<2-3.m 5
4
^ ^E 4
-rt-;(2). Tu(l) vd(2) suy ra P>16,I
-4
p=2J5-S

,2-3

Khi

"r

=y=;

thi

VaV

2Ji
minP =
- L\J
(GV rH P r chuy an Ngay 6n

-!'5

ffi#:;'Hl',i#

TONN HOC

6'clumfi@
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


rlrftro

{r},,*"hl

n1r s6 pyorontq

P?(AP

cnh lifu ToTN CUC TBI TBoNG
o

ffi

A

HINHH$CI{IIONO0IAN

lt eu6c UAN

(GV Khoa Todn -

/Whi gidi cdc bdi to6n cr,rc tri trong hinh hgc
'Ja/khdnggian, ta thucrng g6p bdi to6n tim gi6
trt lon nh6t hay nh6 nhAt cria s6 do mQt g6c, clQ
ddi mQt dopn th6ng, 9ien tich cira mQt hinh
phdng, th6 tich c5c kh6i tla diQn hay kh6i trdn
xoay. Tpp chi TH&TT dA gi6i thiQu mQt sti
phuong ph6p gini l6p to6n ndy dga vin c6ng cq
t7a dQ; Trong bdi b5o niy, chirng t6i trinh bdy
mQt sd phuong ph6p cht,y6u sri dlmg c6ng cq
hinh hqc thudn tily, c6 th6 kdt hqp vm c6ng cqt
dai s6hay c6ng cq vecto.
1. Phuung phdp sri'dung thuin tiry cril: rlinh
li hinh hqrt:
C6c tlinh lf quen thuQc. thuong dugc str dpng
lh: ducrng vu6ng g6c ngln hcrn moi dudng xi6n,
m6i cpnh tam gi6c nho hcrn t6ng hai c4nh cdn
lai vd lon hon hi6u cria chfng, dunng vu6ng

g6c chung cta hai ducrng thdng ch6o nhau li
cloan.thing ngin nh6t trong c5c tto4n thing c6
hai ddu mrit ndm tr6n hai OThi dU l; Cho hinh lQp phmng ArcD.A:B'CD
vd mQt di€m M chuy€n dQng ffAn cqnh AA'

Mqtphdng (nttO') cdt CC' teti N. Timvitri
di€m M ai aien tich thi& diQn BMD'N dqt gia
tri nhd nhdt.
Ldi sidi. (h.t)

A'

D'

I{inh I
Vi (ABB'A')\|(DCC'D') n€n BMIID'N. Tucrng
tv, MD'llBN. Vay th gi6c BMD'N ld hinh
binhhdnh. Ke MH IBD' thi
sr*o,* =2.Srro, =2.!.ao'.rua = BD'.MH
2

EH

Wnh, NghQ.An)

Ydy Sr*o,* dat gi6 tri nh6 nh6t khi vd chi khi
MH dqt gi6trinh6 nh6t, nghia 1d khi vd chi khi
MH ld tluong lu6ng g6c chung cia AA' vit
BD' (hay M ld trung ditim cira AA'vd H lir

trung diiim cua BD').
Chfi

M'

O ddy, di6m M phii nim tr€n doqn thiing
vit N phii nim tr6n doqn thdng CC'.Liti giii

!.

tr6n th6a mdn ci hai didu kiQn 6y. Tuy nhi6n kh6ng
ph6i bao gio ta ctng gdp may mdn dy. Trong mQt s6
bdi to6n, cbc chdn duong vu6ng g6c chung ctra hai
ito4n thing lpi nim tr6n c6c tlopn tbing 6y kdo ddi.
Trong mQt s6 bdi to6n l&6c, cdc di6m chuy6n dQng
lai phdi th6a m6n th6m.mQt sO aiiu kiQn b6 sung,
n6n do4n thing ng6n nh6t chua hEn ld ttudng vu6ng
g6c chung. Khi d6 ta phdi sri dpng k! thuft kh5c.
Thi dp sau ddy minh hga cho nhpn x6t d6.
OThi dq 2. Cho hinh lQp phuong ABCD.A'B'C'D'

vd hai di€m M,N ldn luqt chuydn dQng ffAn

cdc dudng chdo A'B vd AC sao cho
A'M = AN . Tim vi tr{ ctia M,N dA d0 ddi doqn
thdng MN dqt gid tr! nhd nhiit.
Loi gi,rti. (h.2)
B

Hinh 2

CuOi tOi gihi, ta sE th6y ring khi ilQ ddi doan
thFng MN dqt gi6 tri nh6 nha\ MN kh6ng
phdi ld tlucrng ludng g6c chung c:0;a A'B vir

AC

(tr ttAy, cli6u kiQn rdng buQc ld A'M = AN ).

Tr€n

AB lAydi€m H

Kf

hiQu canh hinh lf,p phucrng dd cho ld a,
A, M = AN = x thi O
AH= --:A,M= AN
----- MB
HB
- NC

saocho

MH ll AA' rti

n6n theo tlinh

lli Thales tl6o

HN IIBC.

so

TOnN HOC -aszrz-zorsr a q.rdiLa 7

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


d6 tam gilc MHN rudng lai H. Vi cac
tam gi6c AHN vd BHM vu6ng c0n t4i FI n6n

Tt

vay
J2
Jz=+,
Jz.HM =ry=o'12--*.
'lz,)

HN =Ay-

tr +lalz-x)-

MIP =MIP+NLP =

=f -al2x+d.

MN dqt gi6 tri nh6 nh6t e x - ft e M,N
\IL

tucrng img ld trung di6m cia A'B,AC. Khi d6
n6n BMN liL tam gi6c d6u,
MN=BM=BN={
l.l
\L
do cl6 g6c gifta MN vd A'B b54g 60". Tucrng
tr, g6c giita MN vd AC cflng bdng 60"
2. Phuong phip thi6t Bp hQ thric xic tllnh
Trong nhi6u bni to6n, d6 tim clrc tri ctia d0 ddi
.

mQt doan thing, diQn tich cira mQt hinh phing
hav th6 tich ciri mot kh6i tla diQn, tru6c hi5t ta
pnai tnet lqp mQt sO t C thric li€n quan d6n c6c
ti6n chria trong c5c bi6u thric bi€u di6n cdc dqi

lugng n6i tr6n. Sau cl6 dtng c6c.BDT quen
thuQc (Cauchy, Bunyakovsky ...) dC tim cuc tri
gin cdc bii5u thric trOn.
OThi dq 3. Cho hai dudng thiing Lx,By cheo
nhau vd vu6ng gdc vdi nhau cd AB : a ld
dadng vu6ng gdc chung. Hai di6m M, N lin
luqt chuydn d6ng tAn Ax, By sao cho MN = b
(voi b ld d0 ddi cho truoc). Tim gid tri ldn
nhdt cua thd tich ttr didn ABMN .
Ldi gidi.

(nghia

ld

VA^MN lcrn

nhdt)

theo BDT Cauchy. Vpy max

t;t:F
eu-r=l';
a(u -a')
Vor*r: )
,

lZ

E -^2
dattlugc eAM=BN=

l;

OThf dq 4. Cho ta di€n ABCD vd mQt di€m M
chuydn d6ng trong /r diQn. Cac dadng thdng
AM, BM,CM, DM cdt cac mdt (BCD), (ADC),
(ABD), (ABC) tqi A"B"C"D' taong rhng.
a)

Xdc dinh vi tr{ di€m

M

dA bidu thftc

nBM nCM,*DM, dat
sia tri nho nhtit.
-':--o'-'
'p=M
MA, ' W, MC, MD,
b) Xdc dinh vi tr{ di€m

M

dA bi6u thac

fAM* fBM* reM* DM aqr
- sta
tl
ua
rg
*o'
lw
l
' I
,

=

tr! nhd nhiit.
Ldi sirti. b.a)

A

C

Hinh 4
ot-tj, MA _vr.rro. MB' _vu.aco.
" t ' " Au|t - vA
BCD' BB' vu.orr'

MC' _vM.ABp .MD' _v*.ou, u;

cc'

vc.ABp'

DD' Vr.*,

*V*.*o *V*.*, =V*r*
MA'_MB'_MC'_MD'
_l
,

V*.uro *Vr.oro

AA,, BB, CC,

v

Hinh

3

DAt AM = u, BN = v. Vi BN LAB,
BN L AM theo gi6 thi6t, nen BN L(ABM),
Do tl6 BN

LBM, n€nV* =Vn.o*=l.S*rm,'

= !.!.tu.en.BN = !.auv

32

Theo ilinh

6

lli Pythagore

MA, MB,

c6

9L. ?4

-[aa' ' BB' cc' ' DD')

|

-r-r-i-r-

( AA' BB' cc'

DD') -

lw.ffit+fu+ffi)'-'u

th.3\.

BM2 = AB2 + AM2 = MNz -BNz suy ra
AM2 + BN2 = MN2 - AB2 = b2 - a2. Tri d6
ttz +v2 - b2 -az (kh6ng e5l1 ncn uv ltrnnhdt

DD,

BB'

*, , *,
MA. MB, MC, ' MD,
MC, MD,\

Theo BDT Cauchv.,

(

!'.

suy ra

CM DM
l'udo NtI BM uc,* ul
MA,+ MB,*

_ AA' + BB' +CC' + DD'. _4>

MA, MB, MC'

Do d6

minP:

12, dqt

12.

MD'
clugc khi vd chi khi

B -tuagw
TO6N HOC

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


MA, MB, MC, MD, I hay M ld trOng
--,
AA,BB,CC,DD,4,-._J
-=-=-=-==;
tdm
cira tu diQn ABCD.

xu6t ph6t tu c4nh

b) Eat Vupco = a2,Vutco =

att

.

l/...^
=d2. Th6 thi
'MABC
"--

b2

,Vr*o

= c2,

V*, d+&+C+*
"^{ --=XIA Vr*o
d

MD,=

b2 + c2 +

a2

d2

.

Mdt khric do

a)' ncn nhfln clusc
l_.b+c+d vd ba BDT
,-J1'
W =Jb'*r'*d'
a
a 'uuu'

Z(Uz + c2

+ d2)>(b

+c+

\MA'-

tucrng tu.
, ]:t

Tt

d6

I ( b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c)
b
c
d )

J3( a

|

,4.n=4Ji
-a-f,-rJ3Yx
1

Vdy

(vi {+1>2,Yx,y>0)

oV,tt

\

=)'*
+

q""phdp d6i xtmg mflt

h

(a) . rcri

dugc goi ld mqt diii trung xu6t ph6t tu

AB cta tu diQn.

Dinhl!,. Chotu di€n ABCD vd M ldm6tdi€m

nim trong tu diqn. Gqi H,I,J,K tucrng tmg li
hinh chii5u ci:r. M *u6ng c5c m{t phing (BCD),
(CDA), (DAB),(ABC). Khi d6 c6c didu kiQn sau
tucrng duong:

i)

M

lddiem dOi trgng tdm cua tu didn ABCD;

j.:\
Lt' Vrrro
sj -Vroro
s; -Vr*o
s3 -V**,
s;

.

M

.

tco)I

tu diQn ABC D.
(Bpn tlqc h6y chtmg minh k6t qui ndy).
Bdy gid ta trd lqi Thi dw 5. Gqi G ld trgng tdm
cria tu diQn WZT (h.5).

ii1)

(rco),(coe),(oen),(eac)

(r\

BCD =Vu.oco =Vru.oao =Vu.oacl

(f)

tu diQn. Col (7)

ld trqng tAm cira tu diQn HIJK .
O day ,SA ,,SB ,,Sc ,,SD ld ki hiQu dien tich cbc mf;t

minT: 4Ji , dqt tlugc khi vd chi khi
a2=b2=c2=d2

(y)

cqnh

do

DM,

cira

ci.r-

MOt trr di6n c6 s6u mdt dOi trung. Ngudi ta d5
chimg minh clugc ring s6u mpt d6i trung cia tu
diQn tl6ng quy tpi m6t clii5m. Di6m ndy tlugc ggi
ld di€m diii trgng tdm crtaff diQn.

.. AM b2 +c2 +d2 I ucrng t.u
=-----------;-.
MA'
a)
BM a2+c2+dz
CM a2+b2+d2
MB,
b2 , MC'
C2

Do

6nh

AB

cira

A

MA, MB, MC, MD, I
e77=ffi=fu=ffi=:-,hay
M lit
,

trgng t6m cria tu diQn ABCD (Bpn <19c hdy
chimg minh chi ti6t nhan x6t ndy).
Chrt i). M6t s6 bdi to6n cgc tri hinh hqc g6p trong

c6c k!,thi hoc sinh gi6i hay V6 dich to6n, nhi6u khi
phai t.u xdy drmg MOt li thuyAt mdt (so v6i hiriu bit5t
th6ng thudng) m6i gi6i tlugc chirng.

OThf dq 5. Cho t* di€n ABCD . Tim cdc di€m
X,Y,Z,T thuQc cdc mfi phdng (BCD), (CDA),
(DAB),(ABC) sao cho tdng sau ddy dqt gia tri
nhd nhdt W2 +Y,2 +fl2 +YZ2 +Wz +2T2.
Ldi gidi. D€ gi6i bii to6n ndy, cAn dua vdo c6c
kh6i niem vd k6t qui sau
Dinh nghTa. Cho tu diQn ABCD, M ld trung
di6m canh CD .Mra/-phdng (MAB) tluqc ggi ld
m\t trung diQn xuiltphdt tu cqnh AB cria tu diQn.
Mgt tu di6n c6 s6u m{t trung di6n. D6 th6y s6u
m{t trung diQn cua tu diQn tl6ng quy tpi trgng
tAm cira tu diQn.

Dinh nghia. Cho tu di€n ABCD . Gqi (a),(0)
tucrng tmg ld m{t phdn gi6c vd m6t trung di6n

C

Hinh

5

Khi d6 GX.S o + GY.S u + GZ.S, + GI.5, >- 3Vo*o.
Theo BDT Bunyakovsky, c6
(w +cv, +Gz +a2)(fi *sB +s/ +s]) >evlo,.

Chf

i

WZI

ring,

vi G ld trgng t6m ctra tu diQn

+Yz +Yz +YZz +W2 +ZI2
=4(GX2 +GYz +GZz *GTr). Tt d6
ndn Wz

W +Y +W

ru >'si +q36VfuD
+s: +sB

+YZ +YP +7r2

'

Dlng thric xtty ra e G nim trong tu di€nABCD
sao cho 6,ffi,U,,Gf tucrng img vudng g6c

v6i c6c mflt phing (nco), (cot), (odn),(eac)

sd nsr(?-rors)

T?8I#E:9

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


.(x @ GZGT
'u so=E =f =; o G n5m trong tu
J

tdm G cila t* di€n, cdt SA,SB,SC tuong ung
tqi D,E,F- Tim gid tri l6n nhdt cfia bi6u ththc

'D=

diQn ABCD sao cho GX,GY,GZ,GI tuong
img w6ng g6c v6i c6c mat phing (nCO), (Con),

111
'
t-r'

'

sD.sE sE.sF sF.sD'

Ldi gidi. (h.6)

.s

(oen),(ABc)

e

'dW=W=W=ry

GX,GY,GZ,GT tuong img vudng g6c vdi

phrng (nco),(coe),(oea),(eac)
vir G ld di6m tl5i trqng tdm cta tu diQn
ABCD >X,Y,Z,T tucvng img ld hinh chitiu
cbc mdt

vudng g6c cria di6m d6i trgng t6m cria tu diQn

ABCD l6n c5c mpt phing (nCo), (Coe),

(oea), (enc) (*). vfy t6ng
Wz +Y} +XI2 +YZ2 +YT? +ZT2 nh6 nh6,t
khi vd chi khi X,Y,Z,T th6a mdn (*) vd gi|trl
nh6 nh6t d6 bing

36VkcD

sj +sf +s]

phip vecto
MQt s6 bdi todn cgc tri hinh hqc

hcrn ni5u ta bi6t sir dung c6ng cg vecto thich
hqp. Ngodi nhfrng ki6n thirc quen thuQc tl6 hqc
o bOc THPT, bpn dsc cin bi6t th6m kh6i niQm
vit circ tinh ch6t cira trgng t6m mQt h0 di6m,
c6ng.thric Lagrange - Jacobi, titmfi,c1r cria mQt
hQ tli0m, Dinh li "Con nhim" cho kh6i tu diQn...

Dlnh ngh1a. Gi6 sit A1,A2,...,A* ld mQt h0 m
!
i.
-,:.
cli6m
sap x€p tuy j trong khOng gian khdng
phdn biQt thir t.u. Di6m G dugc ggi ld trqng
c'bahQ

di6m tr6n n6u

iO+

=O

.

OC ttr5y trong tdm cria mQt he di6m lu6n t6n tpi

vi

duy nhat. Hon nta n6u

G

ld trgng tdm cta

h9 diCm A1,4,...,A^ thi v6i mgi dii5m M
trong khong gian, c6 MG

1 m-

=:)',tWA,.
mf,

tml

ull' --r=
t
=i-\
m?
m2.-?,
r=

t:t
I

AA2
t r

OThi dg 6. Cho tn diAn SABC vdi SA-SB=,ff:l.
MQt mfit phdng (a) thay d6i tuAn di qua trong

ro

T?[l#B!

'.*

,"=1tr =1(*+sa+sc).

*

4fr=s.o.# rt.#
|

l_

1_

-<+4SG=-S,+,,SE+*SF.
Lpi vi b6n di6m D,E,F,G d6ng phing n6n

lll
4SF
lll
. srJ" * srsp
Tt d6 su, ra
-:,
=

4SD 4SE

I

-I-l-

.1(,,
""
' sE *l)'=19.
' sF, 3' Dorr6minp
-3[sD *,

dqt dugc khi vd chi

khi

SD = SE =SF

16.

3'

=1,

"4
nghTa ld khi vd chi khi m[t phing (DEF) di
qua G vA song song vdi m{t phdng (ABC).
OThi dq 7 . Cho ttb di€n SABC vdi SA = a,
SB=b,SC=c. M1t m1t phdng (a) thay d6i
lu6n di qua trqng tdm G cfia ta di€n, cdt
SA,SB,SC tuong ung tqi D,E,F.Tim gid tr!

nh6 nhrit cila bi€u thtrc

t

Dinh lit (Cdng thtc Lagrange - Jacobi ). Gi6 su
G ld trgng t0m cria hQ di6m Ar,,4r,...,A* vd
M ldmQtdi€m tuy f trong khdng gian. Tht5 thi
MG2

Hinh 6
Vi G ld trgng t0m cira tu diQn SABC n6n
ducmg thing SG di qua trgng t6m S' cira tam
gi6c ABC vd c6 hg thric

rrd6

+Sfr

3. Phu'ong

tdm

B

p

=#.#.#
thi du 6 nhfn

Ldi gi,rti. &.6) LQp lufln tuong

t.u

tluschetr*c

hay

$+S*#=o

9a!a9=4

trong tl6 x = SD,y = SE,z=,SF, 0 1 x I a,
0
r.! + 0.1*r.1)' <( a2 +u*., t[1*1*1)
'\r y' r)
\ x y z)

rc=(

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


ru do

t --]1 - . Dine thftc
1*1*l
x' y' z' at+bt+c'

xayrakhivdchikhi a:b:t'= I

xy,l

. AllI t AD

,l t6 #

,1rra
z

Cho.rg minh

abc
-' +- +"
=4, nghia la khi vd chi khi

x\)z
i+W+e az +b2 +c2,=-a2 +b2 +c2
X=#,y=::---:-+a44c
th6a mdn di6u kiQn (1).VdV

(2)

giflfrnh6 nh6t cria

=DN.
thingMN ludn

song

song v6i mQt m{t phing cO Ointr.

b) X6c dinh vi tri ctra M,N dC cloan thing
MN co dO ddi nh6 nhAt.
2. Cho tu diQn ABCD vd m6t tli6m M
chuy6n dQng trong +? diQn. C6c.tlucrng thdng
AM,BM,CM,DM cdt circ mdt d6i di€n cria tu
diQn Dn lugt tai A',B',C',D'. Tim gi5 tri nh6
nhAt cria biiSu

(

thfc

( ue.t' ( ruc\' ( uo\'
ue\'.[r".,1
.[.".J .[rr.J

lm )

3. Cho tu diQn ABCD vd mdt di6m M chuy6n
d6ng trong mdt (BCD) . X6c dinh vi tri M dC
t6ng c6c binh phucrng kho6ng cilchti M d6n

lai dat gi6tanh6 nh6t.
4. Cho hai ducrng thing ,Lr,By ch6o nhau c6
AB = a ld ducrng r.udng g6c chung. Hai di€m
M,N chuy6n ilQng tr€n Ax,By tucrng img sao

ba mdt cdn

cho AM + BN = MN.

a) Chrmg minh th6 tich ctra tu diQn ABMN
kh6ng ddi.
b) X6c dlnh vi tri M,N d,5 doan thing MN c6
d0 dei nh6 nh6t.
c) X6c dinh vi tri M,N AC Aign tich todn phdn
cria tu di€n ABMN dqt gi|tri nh6 nh6t.
5. Trong khdng gian cho ducrng th[ng

x+l y-l
=t2-2

a, '-

z-3 Va mat pnang
,j

ring

t6n tai mOt vi tri M sao cho
16n nhdt vd tim gi6 tri l6n

nh6t 6y.

nAr 14e
1. Cho hinh lap phucrng ABCD.A'B'C'D'. Hai
di€m M,N chuytin il6ng trOn AB vit DD' sao
a) Chrmg minh c6c tlucrng

voi M chuy6n d6ng tr6n (a).

fj, s6.d6 dqt gi6 tri

,..r
1 I
16
^ I
breuthuc r=
*+ g,gz+* la ar+br+cr'
dpt dugc e x,y,z x6c tlinh b6i (2).

cho AM

(a) :2x -2y + z *3 = O c1t nhau t4i A . Tr€n d
6y mQt di0m B cO einn sao cho AB = a . Xet

6*. Cho tu diQn d€u ABCD. Tim c5c cli6m
X,Y,Z,T thuQc c5c m[t phdng (nCO),(COe),
(OeA),(enC) sao cho t6ng dO ddi cdc cpnh
cira tu diQn WZI dqt gi|tri nh6 nh6t.
7*. Cho tu diQn ABCD sao cho c6c cpnh
AB,BC,CA tl€u nh6 hon c6c canh DA,DB,
DC . Tlm gi6 talcyn nh6t vd nhd nhdt cua PD,
trong tl6 di6m P th6a mdn di6u kien
PDz =PAz +PB2 +PC2.
8*. Cho tu dien ABCD vudng a,f,/ tucrng img ld g6c gifta DH voi c6c cpnh DA,DB,DC. Tim gi6 tri nh6

nh6t cta bi6u thric

p=x|! *Y!z +z+x
z2 x2
Y2

x = cosd,y = cosp,z = cosy .
9*. Xdt cilc ttt diQn ArArA.,4, cirng ngoai titip
mQt m{t cAu cho tru6c. M6i ti6p diQn oiua mgt
trong

<16

cdu, song song v6i mOt

mlt

cria tu diQn ndy,

ra kh6i tu diqn d6 mOt tu diqn nh6.

cit
Goi

v,(i=1,2,34) ta tn6 tfch cira kh6i tu diQn nh6
c6 clinh A, vd V ld the tich cta tu dien
Ar44Ao.Tim gi6 tq nh6 nh6t cira
yt+v1 +y1+vt
vA x6c dinh nhirng tu diQn

---tr
Ar,4rArA, nhu

thi5.

10*. Cho tu diQn ABCD. L6y mQt di6m Q
nim trong tu dien. Ggi Q' ld di6m cl6i ximg v6i
qua m{t phing (nco). eua e' dr,rng m6t
phing song song v6i m{t phdng (nCO), m4t
phing niry clt c6c cludng thing AB,AC,AD
tucrng img tqi At,Bl,Ct t4o thdnh hinh ch6p
cytt BCDBTCTD,. Bing cilchlly diOm dOi ximg
v6i qua mpt mat cdn lpi cria tu diQn r6i dlmg
cic mf;t ph[ng song song tuong t.u nhu tr6n, ta
dugc ba hinh ch6p cpt nta.
Hdy xilc dinh vi tri cli6m dC t6ng c6c th6 tich
cria b6n ch6p cut tao thdnh dqt gi|tri nh6 nh6t.

ts nur,r-roru,

T?EilrH?[

II

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


tr{J,

ffifiG

lffi BIT D0llG lllUG", i.,.

ll

il

grgiynirMt,lnilPrlfililrrl,l,tinrn

"
OQei

UO

toan chimg minh b6t dlng thric (BDT)

ilGuYfr{viililuo
(GV THPT Nguydn Duy Trinh, Nghi LQc, Ngh€ An)

Tim GTLI'| ctia bi€u thirc:

co su d6nh gi|thay O6i so mfl cira c6c lf,y

thria thudng

lim cho hgc sinh lung tung. Bdi

vir5t giOi thiQu cho bpn
dung BDT Cauchy

AC

<19c

phucrng ph6p su

AiC" chinh

sO

mfl ctra c6c

lfry thira trong chimg minh BET ho{c tim
lcrn nhat

gi|tri

(GTLN) vit gi|tri nh6 nfr6t (CfXtN).

P=t6 +yu +2" +to +s".
Phdn tich. Dd su dpng dugc gii thi5t, ta phii
thi6t l4p d6nh gi5 fii x7 sang x6, nghia ld gi6m si5
mff, ta chgn ph0n tu phu ld hing s5, dlra viro
,
t
-.;
chon phAn
roi x = ! = z =t =s =1, n6n ta
cli6m

ffi d6

thtc c6 dqng xt ), dua vdo BDT Cauchy chfng
sau:

mq+nf

tu x"

sang xB ta

nguy6nduong mvdnsaocho

rr. MQr so

m+n

T?[l#E!

7m
c6 x6 ta chgn
=6<) m=6n,
m+n
chgn m=6, n=1.

ti

d6

Ldi gidi. Theo BET Cauchy, ta c6:

Tucrng t.u, ta

c6:

+l>1{x*

=7x6.

6y7

+lr-7 yu , 627 +l>

7

z6

6{ +l>7t6,6s1+1>7s6.

=9.

Thi dU l. Gia sL x. 1,, z, t. s ld cac s6 thq'c

rz

.

DO

CQng c6c BDT

cing chidu o tr6n, ta dugc:

6(x7 +

x'+y'+21 +t'+s'<5.

= (m + n)x'*n

dC

rHi Dv

du'o'ng lha.v dot lhoa man:

sd h4ng

+l)1*u,ding thric xiry ra khi vd
chi khi y1 =l e v -1.

cin chon c6c s5

*o*nY

r

Suy ra 6xi

(*)

,A
(voi m, n la cdc s6 nguy6n duong). Tu (*)

c6 tl6nh gi5

x"

x' + x' + x' + x' + x' + x'

mx" + nxt > (m + n).^*{l x^" .x'1

-(m+n)x'*'

hmg

7n

> (m + n1'*{l

Dua vdo tliiSm rcri, dua vdo phAn tu php fuhAn
tu phu thuong ld hing s5 ho[c tdng qu6t h bi6u

hp d6nh gi6

nguy€n

+...+x7.+!-111..!

m s6

roi cria BDT;

.

ta thi6t

khi d6 vdi m, n ld c6c sii

ntxi +n={1 +x7

Oe Aanf, gi6 tu lffy thria xo sang lfry thua xp
(v6i x ld sd thlrc ducrng), ta thudng ldm nhu sau:

1,

ducrng thi theo BDT Cauchy ta c6:

r. PHUoNG psAp

. X5c dinh

h

y' + r' +t7 + s7)+5
>7(xu + yu + zu +tu +

su1.

MAt kh6c, theo gi6 thi6t thi

x'+y'+z'+t7

+s7 <5.

,,*

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Tir hai BDT trdn ta suy ra P <5. DA th6y khi

x=!=z=t=s=l
vi P=5.

*'+y'+21

thi

+t7 +s7 =5

(*)

suy

ra P <9.

Khi a=b=c=1 thi ab+bc+ca=3abc virP:9.
Vpy maxP = 9.

Vay maxP=5.

Thi du 2. Cho ba s6 thu'c dttong thay dl)i a, b, c'
thoa mdn ab+bc+ca:3abc. Tim GTLN cl)ct
bi€u thirc:

Thi dU 3. Cho cdc s6 thac daong a, b, c.
Chu'ng minh ring;
333

( o \2 ( t ): ( c ):

P = 5(a + b + c)

Phfrn

KCt hqp v6i hQ thfc

-2(a^

tich.Tri gi6 thi6t ta

"o

+ b1

+

\t*")' lo*r) [r-b )

c1).

1*1+l=3.
abc

3

D€

c{n tr6n oiua P, ta cdn ddnh gi6 ti aa
-, ),
sang 4, dlra vdo di6m
roi a=b=c=|, ta cdn

phdn tich. ra

cin

gi6*

d6nh

cl5nh gi6

1. *f,i

dua vdo phAn tu phg ld

tl6 v6i m,

a

sd nguy6n duong thi theo

n lit

m* na* > (m + n).tm+n\\-.a'"
lt:

Dti c6 a

l-- -*

m+n

a

t,

cdn chon m, n sao cho:

n=2.

a

a

a

bc

5b,

zJz'

( a\,
ml
| +n-)(m+
2J2
\b+c)
=(m+n).

t

llm

l( t \'/ a \z
*\l;E)l.,*)
3m

l( t\'(o
m+nll
| l-

\21.*,1
|

\\z,D)'\t+c)
-

;..3m

+ao

>rr[;
'lat

=ro.

n =1, m

=2.

Ldi gi,rti. Theo BET Cauchy, ta c6

(

a

( a \l .#"ilrol,.")
\l .l'*f
r fJ,t

l'*l

Tucrng tu, ta c6:
>

khi tl6

Ta cdn chon
' 2(m+n). -1<+ m=2n, n€n chgn

a

1a
1-1

fb+c )

1+l*1=3 (*).

Dingthric xdyrae 1= aa <:.a-1.

:-+2b*

b=c

1

"o abc

Theo BDT Cauchy, ta c6:

1+2oo=l*1 +!+ro
q

a=

( a ), '=

I -:- l- = , tu d6 ta chon phAn tu phu h

1

tuCI6 chon m=3,

Ldi gidi.Tri gi6 thi6t ta

roi

thi theo BDT Cauchy tathdy:

* n)a,*,

=l e3n=2m,

-.7.
dua viro
'**

1..._.
, khi do voi m, n ld cic sd nguy6n duong
2t2-

4n-m

= (m

a

b+c'

(#)'

cftc

BDT Cauchy ta c6:

-o

3

- zJl'

:+2c"

3

> 5c.

C$ng ba BET cirng chi€u 0 tr0n, ta ducrc:

.(!*+.1)
(a b c) +2(oa +b4 +co1>s1a+b+c).

Suvra:
"

z( ' \' *-L. :3'

\b+c) 2J2 J21b+c1

Ding thric xity rakhi vd chi khi
3

( a \,

t
a
-rEb*"-,
lb." )
ll

ta nur,r-roru,

1

T?!ilrHEE

IB

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Tuong fi;,ta c6:

Ta cAn dbnh gi6 hi
cdn d6nh gi6
i-

3"

dua vdo phdn tu phg ld 1, khi d6 v6i m, n ld c6c
sd nguyOn duong thi theo

tfin

CQng c5c BDT crlng chiOu o trOn, ta dugc:

:

:

,l(
-:-)'
'llu*")

**i

rl

' )' l.-:-!-)' *l,
'lo+r)
'lo+b)
I zJi

+(

L]

3( a

b

>-l
-Jrl.b+c'q+c

c \

I

a+b)'

-f,-r-

o * b * ' =!l,o*b\+tb+c\
b+c a+c a+b 2L'

I
|
I
+tr+oi(
' 'r[b+c* a+c* a+b )-322-:=1.
2 2
)

Tri hai BDT 0 tr6n suy ra:

I

'l

I

rl-l\.-

xj

= lm + n)x2t**')

.

,lmlm=2n,ti
c6 x3 ta chgn
'2(m+n) =le
3

DC

m=2, n=7.

d6 chgn

Ji * Ji+

1

>

3Vi

> 2J;+

1

>

3Vi.

Ding thric xiry rakhi vd chi khi

Ji=l<>x=1.
Tuong tu, ta c6:

zJi

3

lo+r) 'lo+") 'lo+b) -2J,
I

+ n.1> (m+ n)'*il

BDT Cauchy, ta c6:

Ldi gidi. Theo'BDT Cauchy, ta c6:

Mdt kh6c, theo BDT Cauchy ta c6:

( a \j ( rt \j (c );

tu x2 sang x3, tttc ld tlSnh gi5

gidm so mfl, dua viro di6m roi x = y = z =1, ta

,1. " )]*'
,
-\a+b)
2Jr- Ji@+b)'

[

nghia ld ta

ll

3

I
3b
.,( b
'lo*")\'- '2J,-,Jlg*r1

I

J; .rrg Vi,

*t>3ili;

CQng c6c BDT

zJ,

+t*l;.

cing chidu o tr€n, ta dugc:

BDT da cho dugc chimg minh.

Ding thric xiry rakhi vd chi khi

al
b+c 2
-=bt
a+c 2
-=-OA=b=C.
, _l
a+b 2
Thi dII 4. Cho x, y, z ld cdc sd thac daong.
Chu'ng minh ring;

2,tG;),+, *.,6>",6tJi *1ly *l,lrl.
Phfrn tich. Tru6c ti6n ta cAn chimg minh BDT:

\Ji +"{y +$t+3>3(Vi *7ly *l,Et.

2(Ji + 1,

+ J 4+3 >

3(Vi * 1l y

+

:G)

.

M{t kh5c, cflng theo BDT Cauchy ta c6:

(Ji+ Ji * J 4' : x * ! + z + 2rfxy
*2rlyr+zJi<3(x+ y+z).
Suy ra

Ji * Ji *Ji

<

JT@.

y.4

K6t hqp hai BDT 6 tr6n, ta duoc:

2J;

+y+

r*.,6 >.6tJi

+ 1l y +

il

ry,

BDT dA cho dugc chimg minh. D[ng thirc trong
BDT de cho x6y ra khi vd chi khi x

- y - z -1.

HQC
t4 TORN
'clirdiU@

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Thi du 5. Cho n ,;6 thtt'c

rrr,

t:

l:

-r.,...

-r

BAI TAP

thcr.v d6i.

l.

|,

) n.

thoa miin. 2) +2 2 +...+22

v6'i

n ld

s6

!, z ld c6c s6 thgc kh6ng 6m thoa mdn
+y'o +z'o <3072. Tim GTLN cta bi6u thric:

Cho x,

x'o

nguy1n du'o'ng cho trtrhc, va lu6n thda mdn diitr

kiin n>2.

Tittt Cf.ry,ry t'trct hi<;tr tltirt':

P=xB

a, b, c ld cdc

thgc duong th6a mdn
at + b5 + ct =729. TIrGTNN cta bi6u thric:

2. Gie

P=8'' +8" +...+8.r'.

s'iu

8'' + 5 = 8'' + 1+ 1+ 1+ 1+ 1> 6.V8''

ra

si5

^aub6cur-.
U--+bc ca ab

Ldi gidi. Theo BDT Cauchy ta c6:

Suy

+y'+zt.

3. Cho a, b ld c6c sd thgc ducrng th6a m6n

8'' + 5 > 6.2' . Ding thirc xiry ra khi vd

l1
+ b1 > 2 . Chimg minh

7',7

ring

ai

aE +

bi > 2.

chikhi 8', =1 hay { =0.

4. Cho c6c s6 thlrc ducrng a, b, c th6a mdn

Tucrng t.u, ta c6:

al

l1l

bi

+

+

"1

= 3. Tim GTLN ctra bii5u thirc:

???

x2

E=a7 +b7 +c7.

8" +5>6.2',
x3

8"

5. Cho c6c sti thr,rc ducrng a, b, c.

+5)6.2',

Chrmg minh ring:

+a'+b'+c')*__l_=r.
(a+b+c)2
a'+b3 +c3

2(at +bt +ct

84+5>6.22.

CQng n

BDT ctng chi6u 0 tr6n, ta c6:

6. Cho c6c s6 thuc duong x,
,l

8",

x2

xn

+8', +...+8'. +5n26(22 +22 +...+22)

thi

P>n.

x,

x2

22 +22

DE th6y
x4

+...+22

khi xt=x2-...-r, -0

=n vd P=n. Vay

min P -- n.

chirng ta

nghiCm cho viQc hoc to6n

tim c6ch

ra mot kinh

bi6n d6i c6c tinh

hu6ng oia cdc bdi to6n. Tir d6
chring

rit

tl6 ld thucmg xuy6n

eC Ui6n AOi v6n dA,

A=

sE g6p phAn cho

ta giiti quy6t duoc nhi6u bdi to6n kh6 tu

cilcbiti toSn co b6n. EC thdnh thao v6i phucrng
ph6p tr6n c6c em th? bht tay vdo gi6i c6c bdi

y2ots

*

>3.

Z thay

y2ots + z2ots

.

7. Cho c5c s6 thgc duong a, b, c.

Chimg minh ring:
555

(a)+(o);(c\;3
l-l
rl-l

\rl-l
lzo+t") 'lzc+ta) 'lza+3b) -s6'

8.

x6t tuan. Tu bdi virit

r'ooo + y'ooo + z'ooo

bitiu thr?c:

> 6n.

Suy ra

man

tl6i th6a
Tim GTNN cira

!,

Vdi a, b, c, d, eld c6c si5 thqrc
tim GTNN cria biiSu thfc sau:

ducrng thay

aOi.

,J-l-

( +o \+(
I

+tt

rl-l

)T

(b+c+d+e) \c+d+e+a)

( +c )f(

rl-l

rl-l

\d+e+a+b)

(

rl-l

qa

)?

[e+a+b+c)

4e \f

(a+b +c+d )

to5n sau.

ts nur,r-roro

T?EilrHEEI5

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Kf hiQu Se, V theo thr? t.u ld diQn
tich todn phin vd thti tich cira tu diQn ABCD.
BitiT7l457.

at
pt

Chrmg minh

tl

LUC BiNH
(GV Truong Tnmg Vuong, D6ng Hd, Qudng Tri)

t/,4{

Bii

Blni Tll457 (Lop 6). Tim si5 t.u nhi6n

n th6a

=f34.
vtt u0u cttiN

mdn cli6u kiAn 2.22 +3.23 +4.24 +...+n.2n

1Cf fUCS UAng Bdng, TP. Hdi Phdng)

BitiT2t457 (L{rp 7). Tim c6c s6 nguy6n a, b, c
dc c6 * ul+lo - cl+lc - al= 20t4" + 2015' .
la

Biti

T31457. Cho JU)

gr

ua Chi Minh)

ld ita thric c6 hC s6

nguy6n vn fil) : 2. Chtmg minh ring ft7)
khdng the

h

T8/457. Cho da gi6c 16i

sd chinh phu

n

canh (n>4)

+ sin A, + sin A, + ...+ sin A,

A,

4

\

"oro,

- o, *... *.o, 4 - 4 ).

4

(GV THPT Trdn Cao Vdn, Tam K), Qudng Nam)

T41457. Cho tam gi6c nhgn ABC

vbi

cdc

4)

Ding thilc xhy rakhi nio?

NGITYEN VIET HLING
(GV THPT chuyAn KHTN, DHQG Hd NAi)

TI6N TOI oLYMPIC ToAN
BitiT9l457. Tim t6t ci cbc b0 ba (x; y; p) g}m
hai s6 nguy6n ducrng x,y vdsd nguydn t6 p th6a
mdn

p'-lP

=1.
NGU^1EN TUAN NGSC

NGUYENDINH SON

Bili

r

44.4.Chimgminhrang

cAc lop rHCS

NGUYEN EUc rAN

. (r \3 >Jir2.
I ls,,
\o - /I

ring

(GV THPT chuyAn Tiin Giang, TP.

Mj

Tho, Tiin Giang)

Bni T10/457. Cho ft ld sd thuc l6n hon 1. Xdt

cao AH,BK. Ggi M ld trwg di€m ctn AB.
Dudng thing CM clt UX tai D. Kd AL vudng
g6c v6i BD tai L. Chimg minh ring dudng trdn
tli qua ba di6m C, K, L ti6p xric v6i rlucrng thing

tlucrng

BC,
I-P VIPT AN

Bii

gt *o Thi€n - Hu€)

T5/457. Giei he phucrng trinh:

Chimg minh{x,} ld day hQi tq vd tim

COng

CAC

Bili

T61457.

Bni T11/457.Ybi m6i

rOp THPT
bOc ba

v6i

hQ

T

itlh

f

(2014)

(20t6) -

=20t5, f

f

(2013)

(2015)

=20t6.

sO

n nguy6n ducrng,
dd=z&.
dl,

1) Chrmg minh

s6 cao nh6t ta 2 vd th6a mdn:

f

.

PHAM HUNG (Hd NAi)

LIJONG CAO VINH
Hiin, Wnh Bdo, Hdi Phdng)

Chofir) ld tta thfc

limx,
n-)@

lg*' *2x+(y-1).fi-1=o

for'+ y2 +J5-6y =6
(G[/ THPT

n dAu canbdchai

nghia

li:

ring y\;n) ld him nhdn tinh,

rftab)=tfta)ly($

nil

(a,b)=1.

2) Cho / ld sd nguy6n ducrng 16. Chimg minh
ring: rln)=yt(n+t) chi xiy ra t4i hiru hpn si5
nguy6n duong n.

.

rArra

quoc roAN

(GV THPT chuy€n Nguydn Thi Minh Khai, S6c Trdng)

NGTTYEN DIJ THAI

(Lop Todn K25, DHKH Hue)

rCT?!T#M
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Birl T"!2/45?. Cho tam gi6c ABC nQi ti6p trdn (O) vd ngoai ti6p clucrng trdn (1). C5c ti6p
tuytin v6i (O) tqi B vd C c6t nha., tai T. Goi M
ld trung ditim ctra BC; D ld di€m chinh gita
cung BC khdng cht?a di6m A; AM cdt lpi (O) tsi
E; AT c6t cpnh BC tai F: J ld trung diem cia
do1n IF.Chtmg minh rbng

fdi = ffr

.

HO QUANG VrNH (11dNdi

B&i I 1i45?" OC Ao dien trd R vd d6 t.u c6m Z
ctra cuQn ddy, ta dung cAu xoay chidu n5i vdo

:

-.^ xoay chi6u c6 t6n s6 g6c co (Hinh
nguon dien
vE). C ld mdt tp diQn c6 cliQn dung d5 bi6t, R3 ld
di€n tro c6 giri tri dd bi6t 6 hinh du6i, R2 vd r ld
hai bi6n trd, r l6p nOi tiep voi C. gi6n dOi Rz va

r cl6 cAu c6n bing (kh6ng c6 dong rli6n qua f,
ta dgc dugc Rz vd r. Goi c6c t6ng trd cira doan
AB, BD, AE, ED lAn luqt ld 21,22, Zz, Zq.
a) VE gi6n <16 Fr6-nen. Suy ra m6i lien hQ giua
R, L vit C, r, a).
b) Tinh t6ng tro Zr vd t\m li6n h0 gifta chfng.
,.)

Suy ra mOi ti6n hC gita R,

L

vir C,

c) Tinh R vit L theo c6c gi6 tri d5 bi6t

r,

flr,

Ap d\rng sd : R2:R: : 1000 O ; r: 5000 O ; C
: 0,2 1t"F ; ro : 1000 radls, tinh R vir L.
DrNH THAr QUl1VH (Hd Nr.i)
Eii [.2/,*57" TrCn m6t doan s6ng thing vd bing
,i
t
^ t6c
phdng, vfln
ch6y cta nudc 6n ilinh v,. MQt
ph6t

ca-n6 xu6t
tu A voi t6c dQ khdng cl6i v.

(v"> v,) vd 1u6n hu6ng ,rC f O phia bo COi alQn
nhu hinh v6. Tim quy 1u6t chuy6n clQng cira
ca-nO khi e0 - 120"? Bo qua mgi ma s6t vd xem
kich thudc ca-n6 kh6ng cl6ng k6.
A

R3, R2.
R2,

B

C, r, a.

NGo AN HoA KV eP. H6 chi Minh)

P*o3lffi$ I}{?HIS TsfI'E
FOR SECONDARY SCHOOL
Froblem Tll457 (For
numbers

6ih Grade). Find all natural

r satisffing

2.22 +3.23 +4.2a

+...+n.2n -2n+34

la

-

-

cl+lc

-

al= 2ot4o + 2ots'

Ilr'+ 2x+(y-l)J[Jr=o
[er'+ y2 +J5-611=6

.

Problem TZl457 (For ?'h Crade). Find integers
a. b,and c such that
bl+lo

Froblern 'T51457" Solve the following system
of equations

.

Problem T31457. Suppose that ./(x) is a
polynomial with integral coefficients andfl1) :
2. Show that fl7) is not a perfect square.

Problem T41457, Given an acute tiangle ABC
with altitudes AH, BK. Let Mbe the midppoint
of AB. The line through CMintersect HK at D.
Draw AL perpendicular to BD at Z, Prove that
the circle containing C, K, andZ is tangent to

F'OR HIGHSCHOOL

Problem 751457. Suppose that flx) is a
polynomial of degree 3 and its leading
coefficient is equal to 2. Also assume that

Find

f Qalq=2015, f {2015)=20t6.
/(201 6)- f (20t3).

Problern T7l457.Let S* and Zrespectivelybe

the surface area and the volume of

the

tetrahedron ABCD. Prove that

/t

'tl

lls,.

I >Jtrz
\o')

the line going through BC.

.

(Xem fiAp ftung 261

.e

.gr,r-rrrr, 58+,rHEE 1 7

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Ldi gidi.
?

GXRX

tsKX
rnuoc

xY

Tt
Bni T1/453. Tim cac s6 ttr nhi)n x, y, z thoct
mdn xt. + y! * ,l: i, v,ii ru- la s6 rtnthi€n
cti bo chrt's6.

nl:1.2.3...n

vd 0l

:

L

Ldi gi,fii. Ta c6 4l :24; 5r. : 120;6! : 720. Ndu
,A
mot trong c6c sd x, y, z bbng 6 ho{c l6n hon 6
th\

xyz:xt.*yl*zl > 720,sttyra x>'7,md.

7! > 1000, suy ra m6i
hon 6. Lric d6 ryz
n6n

r

< 3.

Do

sO

x, y, z cl6u

phii

nho

= Layr.'rz!< 5!+51+5!= 360

x1z< 3!+yl+

zl<

6

+5!+51=246

nln x<2.
. Xdt x : 2. Tt 2l + yl + zt : 2y tuy ru
yt. * zl > 197 >4! + 5! n€ny : 7 : 5.
Thir lai tathdy khdng th6a m6n.

. Xet x :

1.

Tt l! +y! * 71.: ly

,uy

ru

4l + 4l <98 < yt * zl <200 < 5! + 5! n6n trong

t
, ".
hai s6 y, z phhi
c6 mQt sO bSng 5 vd mQt s6
bing 4. Thir v6i y: 5, z : 4 tath6y kh6ng th6a
m6n; v6i y =\ z =5 th6a mdn (1! +4! +5! = 14O.

x:1,y:4, z:5. tr

ddi ddng. C6c b4n sau c6 ldi gi6i t6t: Phr[ Thg: Nguy€n
Chi C6ng,6A3, THCS Ldm Thao; Vinh Phric: Zd
Minh Vi€t Anh,6A,THCS Vinh Ydn, TP. VTnh Y6n,

Tq Kim Thanh Hiin,6A4, THCS YAn L4c, Trdn
Minh Huy,6,4., THCS Lf TU Trong, Binh Xuy6n;
Hii Phdng: Biti Thi Thiry Linh, 6A, THCS Dai

Ldng'

vrET HAI
FiiliT21453. Cho tam giac ABC 16

fu=fi".

TrAn canh AB vd BC

di€m D vd E sao

"ho

trdD

Tinh sd do gdc CDE.

Bii:50u,

lin

= fii , fdE = 4oo , suy ra

fu=G,q*furffi',

trLi gib thi6t. Tucrng qu,
kh6ng xhy ra KB > KA, do vf,y ta co KA: KB :

KC (1). Ta c6 LKAB cAn tqi K

nOn

BKE=ZBAK=40"; LKBC cAn t4i 1(

n6n

fEE =idE =40"

=

LBEK can t4i

EK (2). Ta lai c6

E

vit EB

:

5FE=2fr8=80":

KDB=DAC+DCA=80o
= LBDK c6n t4i ,B vd
BD: BK (3). X6t hai tam gi6c EBD vd EKC, c6
EB

: EK (theo (2)), ffi=fu=fi', BD=KC

(theo (1) vd (3)), do cl6 ABD=AEKC=ED=K

> LEDC cdn tai E.VAy diE =6dE =40". D
YNhQn xdt.

l) Bdi to6n ndy c6 dpng quen thuQc.
dirng

phucrng ph6p vE th6m tam gi6c d6u.

xlr. Nhi6u ban lflp lu4n.kh6ng tlAy du hopc

Thdng' Ti6n

KB < KA.Khi d6 KBA> KAB =20" ; KB < KC

Ngoii c6ch gi6i tr€n ddy, mQt s6 b4n cdn

Vfly bdi to6n c6 nghiQm duy nh6t ld:
YNhQn

ND=Al*.
Gqi K ld giao diilm cta AE vitcD. N6i K voi B.
Theo gid thi6t ta c6 KA : KC. Ta sO chimg
minh: KA: KB: KC.Thil vAy, gid su
gi6 thi6t ta tinh clugc BAE=20*,

tagt ldy cac

=diE:30".

\

Tdt ch cbc bqn tham gia grii bdi d6u cho k6t qu6

tltng. C6c bpn sau tl6y c6 loi gidi t6t: Phri Thg: L€
Na,7A, THCS Thi tr6n II, Y6n Lpp;Vinh Phric: la
Kim Thanh Hiin, 6A4, Duong Tidn Dgt, 7A2,
THCS YOn Lpc; Hi NQiz Dinh Hodng NhQt Minh,
7A5, THCS Cdu Gi6y; NghQ An: Nguydn Dinh
Tuiin, Dqtng Nit Qu)nh Anh, 7C, THCS Ly Nhat
Quang, D6 Luong; Quing Ngii: Mai Thi Thu Thdo,
7C, THCS Thi tr6n S6ng V6, VO Thi H6ng Kiiu,7A,
THCS Nghia M|, Tu nglfia, Nguydn Thi Kiiu Mdn,

78, THCS Kim Vang, Trtcong Thi Mai Trdm, Dd
fhi Mt Lan, Nguydn L€ Hodng DuyAn,7A, THCS
Phpm VIn D6ng, NghTa Hdnh.

NGUYEN XUAN BiNH

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Bni T3/453. Cho ba s6 thwc dtong e, b,
gia tri lon nhh cua bi€u thac:

T-

c.

a+b+c

Ldi gi,rti. Ta chimg minh dugc FHldph6n giSc
trong cira g6c EFD.VI FA L FH nln FAlir
phdn giSc ngodi cria goc EFD, ta c6

NHIHIHD

(4a2 +2b2 +l)(4c2 +3)

d.

(4a2 +2bz +l)(4c2

l.

-=-

*r')
'')

*J-*no#.#r,.#")
.)

=1lo+b+c+t)'
>

416

j.4.(o+

suy -^
ra T
t=

b+

o.-_.

Ga,

BC

c).1=l(a+

b+ c).

a+!j:__<
+2b\r)\4c, +r>

DK

Qua tIk6 ducrng thlng song song v6i AS, cbt
SD vd SI t1i M, N tuong ong. Ap ftrng dinh li

3

16'

Thalds tu"n

Dlng thric xity rakhi vd chi khi

It
Itt== b.J3 =

J1.2, J:

l,
,2,

YAy T d,at gi6 tri l6n nhat lA

rt

o:!
l3
l1

<> )

lo*b*, =t
*.1
16

YNhQn

NGUYEN ANH QUAN

Bni

T4l453. Cho tam gidc ABC nhon co ba
dwdng cao AD, BF, CE cdt nhau tqi H. Lify K ft€n
VA

AS

L HK tqi S, EF

Chtimg minh rdng SH ld phdn giac

(1), (2), (3) suy ra

cfu

cia

AH mi I.

6il

(2)
(3)

fao

# ff
=

,

rur ru

YQy LSMN li tam gi6c cdn tai S, do d6
^tKld
phdn gi6c cria g6c DSI. J

Long, Ddng Thanh Titng, 9B., THCS Nguy6n
Thugng Hi6n, Ung Hda; Thanh lciba: Nguydn Thi
Hodng Cuc, 8D, THCS Nht 86 Sy, Hoing H6a,
Dfing Quang Anh,8A, THCS Nguy6n Chich, D6ng
Scrn; Vinh Phic: Nguydn Minh Hi€u,9D, Phitng
Vdn Nam,gE, THCS Vinh YCn, TP. Vinh YCn.

DC.

As=4'41, {do HN ll AS)
HM= HD HM tt AS)
HN: HM,

=,

YNhQn xdt. CAc b4n c6 loi gi6i t5t nt6t: Pht[ Thg:
Hodng Thi H6ng Ngat, Ddo Tudn Minh, Phan Ph?i
Dilng, Nguydn Hdi Ductng,8A3, THCS Ldm Thao,
Ldm Thao; Hi NQi: Vaong Tidn Dst, Nguydn Thdnh

doan

HN

ff fi

t6

(_
)za.Jz

-=-

A

+3)

t zu +!+?)[1*,
=(
-(-"or, +za,
' 3' 3J(3 ' 3 *0.,
'-'

.(r,

,ll

ADHDNAD

Ldi gidi. Da s5 c6c ban cl0u su dgng BDT Cauchy
vd BDT Bunyakovsky dC giai bdi toSn niy:

.

vd r5t cA

xit

Chi c6 s6u bqn tham gia gi6i bdi to6n ndy
ddu cho loi gi6i thrng. Xin n6u tdn c6 s6u bqn:

Hn NQi: Ddng Thanh Timg, Nguy€n Thdnh Long,
Vuong Ti€n Dgt, 98, THCS Nguy6n Thucmg Hidn,
Ung Hoi; NghQ An: Hodng Trin Duc,8D, THCS

Li

Nh4t Quang, E6 Luong; Thanh Hoiz Dfing @tong
Anh, 8A, THCS Nguy6n Chich, E6ng Son; \rmh
Phitc: Nguydn MinhHi*u,gD, THCS V"rnhY6n.

NGUYEN THANH HONG

Bni T5i453. Cho cac s6 a, b,c duong th6a mdn
aa +ba +ca <2(a2b2 +bzcz +c2a2). Chwng minh
': mdt trong cdc phwrng trinh sau v6
it, nhdt
nghiQm: axz

+2bx*2c =0,

bx2

+2cx+2a=0,

cx2 +2ax +2h = 0.

Ldi gi,fii. Cdch l. Gi6 sit ci ba phuong trinh
ax2 +2bx +2c = 0 (1), bx2 +2cx +2a = 0 (2),
cx2

+2ax+2b = 0 (3) tt6u c6 nghiQm. Khi d6

"a

nur,r-ror'

T?E$.,HS

Ig

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


Loi gi,rtL Cdch I (cira b4n D6 Hodi

Li:b' -Zac> 0; Ai : c2 -2ab> 0;
L', : a' -2bc > 0. Suy ra
lb'>2ac>o
Iba)4a2c2
tl

9C, THCS Tuy6t Nghia, Qu5c oai, Hn NOD.
,.. -i.
,
,.
-;.
he^ 0) cloi
ximg ddi
v6i xvity n6n ta c6 th6
gi6 thiOt x>y. Do (1) n6n x>0.
-,.,

Vi

{c2>Zab>0=lca)4a2b2
tt ,lo' 2bc > 0

lro > 4b2c2
- aa + ba + ca > 4a2b2 a 46zrz + 4c2a2

Theo gi6 thi6t

a4

TH1: y=$

)

a=

l= (r;y)=(l'0).

TH2: y> 0. Do (1) n€n x,y e (0 ; 1). Suy ra

+ba +ca <2(azb2 +b2c2 +cza2).

l=f +f >f +f:1,

mduthu6n.

TH3: y<0. Taco:tn

It ),
o]F-.,.-'

Suy ra azbz +b2c2 +c2a2 /-0. Di6u ndy v6 li vi
a, b, c ld cdc s6 ducrng.

V4y c6

it

nhlt m6t trong ba phuong trinh

d5

cho v6 nghiQm.
Cach 2.Theo gia thitit
aa +ba +ca 42(a2b2 +b?cz +c2az)

=(a2

+b2 +cz)z <4(a2bz +bzcz +cza2) (*)

11-4

tt'

a2b2 +bzcz +czaz

+Zabc(a+b+c)
> a2b2 + b2c2 + c2a2

e(ab+bc+ca)z

Tt (*) vd.(**)

> a2b2 +b2c2 +czaz1xx1

suy m

(a2 +b2 +cz)2


) az + b2 + c2 > Ll, + Li, + L:3 = a2 + bz + c2 -2ab -2bc -Zca < 0
= it nh6t mQt trong c6c s6 L't, L'2,A! phai h

s6 am. Do it6 it nhht m6t trong ba phucmg trinh
dd cho v6 nghiQm. tr
YNhQn xdt. Da s6 c6c b4n d6u gi6i theo mQt trong
hai c6ch tr6n. Tuy6n duorg c6c bpn sau c6 loi gi6i
t6t: Ua NQi: Za Bd S6ng,8C, THCS Thanh Thiy,
Thanh Oai; Pht[ Thgz Trdn Quiic Ldp, Trin Thi Thu

Huyin, Hodng Thi Hing Ngdt, 8A3, THCS Ldm
Thao; Bic Ninh: Nguydn Thi Bich Hdng,gA.THCS
Y6n Phong; Vinh Phrfic: Nguydn Minh Hi€u, 9D,
Phitng Vdn Nam,gE, THCS Vinh Y6n, TP. \'inh
Y6n; Thanh H6a: Ddng Quang Anh, 8A, THCS
Nguy6n Chich, D6ng Son; NghQ An: Hodng Trin
Dtbc, 8D, THCS Ll)i NhQt Quang, D6 Luong; Hi
Tinhz LA Tudn Anh,gA, THCS Phan Huy Chr!
Th4ch Hd; Vinh Long: Chdu Minh Khdnh, 9112,
THCS LC Qulf D6n, TP. Vinh Long.

PHAM THI BACH NGQC

Bni T61453. Giai

phwong trinh:
lxr + ri =l (l)
hQ

Il."+l=l (2)', rr).
'

-ri

l
=r

Do d6, n6u hC (I) c6 nghiQm ("h;yo) thi hp G)

(t A"\
_: h)l. fry nhi6n v6iy < 0
' \-rb

cfrng c6 nghigm I

Do a, b, c ld chc sti ducrng ndn 2nbc(a+b+c)>0

e

Phuong,

(t
thi theo TH2,

-',\

t-; --&\xo
h)|
I

Ktit luan: h€ (I) c6 hai nghiOm ld (1;0) vd (0;l).
Cdch 2 (cria b4n Vil Minh Thdnh, 11 To6n 1,
THPT chuy€n HrmgYCn, Hung YOn).
Tt h9 O suy ra (1- f)':(r-ys)3 (3). Khai
tri6n vd bien dOi (3) ta cluoc:

f?-rf(sf*tsf*u/*z)f*nf

)=0

B

€y=0 hoic y:1. Tt
ctra hQ G).

ddy ta tim clugc nghiQm

(Chf y ring bitiu

thr?c

/ 3\2*Tyly*
$ ^( 62\2
b:5)rV+,
ol
189\2 D5
* 740(
*l'*ffi)*se2='o'

vYe R)'

Cdch 3 (cira nhi€u b4n). Ta c6:
(I)

yP' -3xy(x+ yS=l

lk+ "
<+i'
[x2 +l

Xx3 +

f)- f f

lx+.y) = I

D$t: x+y=s, xy=b. Do (1) n6n a>0, khi d6
(d

h0

ra:

(4)

(I) tro thhnh: I -3ah=l ' '. Tu (4) suy
ld -2b-a* =l (s)

_ d-l
b:\;,

thay vdo (5) vd bi6n tl6i, ta dugc:

d -5d +9a-5=0 <> (a-lf (d +3d +6a+5)=0
e a-l=0 (do a> 0)e a=l = b:0.
Di5n d6y ta cflng tim dugc nghiQm cua (I). D

20'?EI#@
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


xA. f6t cic cilc bpn tham gia ddu gi6i tltng
bdi niy. Ngodi ba c6ch gi6i tr6n, mQt s6 bpn cdn
dung b6t ding thirc, d4o hdrm, ... cflng tim dugc
YNhQn

nghiQm cria hQ. Ngodi b4n Phuong vd b4n Thdnh,
cdcbqn sau c6 lcri gi6i ngin ggn: Hi NQi: Ninh D*c
Cudng, l0 To6n, THPT Chu Vdn An, Nguydn Xudn
Phuong Til,10 To6n, THPT Sor Tdy; Vinh Phric:

Od fan Quyiit, tlAl, Hd Hiru Linh,10Al, THPT
chuy6n Vinh Phirc; Thii Nguy6nz Ma Thi Khdnh
Huyin,ToinK25, THPT chuy6n Th5i Nguy6n; Phr[
Tho: Nguydn D*c Thudn, l0 To6n, THPT chuy6n
Hing Vucmg; Hung YOnz Dactng Hdng Son,l0A9,
THPT Duong Quing Hdm, VIn Giang; Nam D!nh:
Todn 1, THPT chuy6n L6 H6ng
Ng6 Tudn Anh,
Phong; Thanh H6az Nguydn Tidn Tdi,llT, THPT
chuyCn Lam Scrn; Vfi Hftu Tilng, Nguydn Haong
Giang, l0Al, THPT Hoing H6a IV, Hoing H6a;
NghQ An: Nguydn Phing Thdi Ctdng,10Al, THPT

ll

Xudn Hitng, llTl,
THPT DO Luong I, D6 Lucrng; Hi finh: Ng6 ViQt
Thdi Hoa, TX. Th6i Hita,

Hi

Hodng,l0Tl, THPT chuydn He finh, Phqm Hilng,
11B1, THPT CAm Xuy6n, C6m Xuy6n; Binh Dinh:
Trin Vdn Thi€n, lO To6n, THPT chuydn L6 Quf

l0 To6n,
L6 Quli D6n; Phri Ydn Nguydn

D6n; Ninh Thufn: Trin L€ Xudn Trilc,

THPT chuy6n
Hu)nh Huy Mdn,10 To6n 1, THPT chuydn Luong
Vdn Ch6nh, TP. Tuy Hda; Long Anz Dqng Thdnh
Trung,10T2, THPT chuy6n Long An; S6c tring:
Vacrng Hodi Thanh,llA2T, THPT chuy6n Nguy6n
Thi Minh Khai.

TRAN HUU NAM

BdiT71453. Cho hinh ch6p til'giac S.ABCD
c6 day ABCD la hinh binh hdnh. M6t di6m M
di d.ong tr€n cctnh ddy lB (M khdc A, B). Mdr
phdng (g) di qua M d6yS thdi song song vbi
SA, BD. Xdc dlnh thi€t di€n cita hinh chop
S.ABCD cat bcti (cr) va tim vi rri diem M de
thi€t di€n do c6 di€n tich l6n nhdt.
Ldi gi,rti. Ke MN ll BD (N eAD); NP ll SA
(P e SD) ; MQ ll SA (Q e SB). Gqi O ld giao
di6m hai dulng cheo AC vd BD; E = MN nAC;
F =PQISO; R=SCnEF. Khi d6 thi6t dien
cin tim h ngfl gi6c MNPRQ. Goi ro ld g6c gita

SAvitBD.Ddt
x =AM (o.AB

MN:

x.BD,

S *Npe

MQ: Q -x)SA,

= M N.MQsino = x(1

suy ra

-

x).SA.BD.sin

ro.

AMB
Mrtkh6c,

#=i#=r#=+,

=# = ocL=r-i-*=(, -i)*
=RF =RE-EF =RE-Me=t.tO.Luu
g6c gita
Spno =

kE

1i

ring

vit PQbAng or n6n

'

)PQ.RF.sina=

1.rvllv.Rr.=i.r,
2

=L.se.ao.sinro.
4
Ydy S*,uroa = Sunpe *
/t\

=

rl

[

Srno

t-44)].sa.ao.sinr,r (*).
"

Ap dung b6t Aing thirc Cauchy ,ta c6

+(,-+)
= ,(r

,i(+.'-+)'=i

+).1. ru (*) suy ra
I

Sr*r*evir chi khi

!" =t-L.,.tr= ?. Oo d6 di€n
443

tich thitit diQn MNPRQ lon nfrat

bing

I

*SA.BD.sinro, d4t tlugc khi vd chi khi MthuQc
3

doanABsao cho

#=r.

O

YNhQn xdt.}/rflt sti ban x6c bdi m{t phlng (cr) vd hinh ch6p S.ABCD,
d5n d6n viQc tim vi tri tli6m M.1&6ng chinh x6c.
Nhfi'ng bpn. sau c6 loi gi6i t6t: Thii Nguy6n:

Nguy€n Tri€u Minh, 11 To6n, THPT chuydn Th6i
Nguydn; YGn B6i:. Vil Hing Qudn, 11 To6n, THPT
chuy6n Nguy6n Tdt Thdnh; Thanh H6z: Trdn Tri
Tdn, l2Al, THPT Sdm Son, TX. Sdm Son; NghQ
diQn tpo

An: Dfing Hodng Msnh,l1Al, THPT Anh Sor 2,

tS nrr,r-rrro

T?E|#?S

2I

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


finh: Trdn Bdo Trung,llTl, THPT
finh; Vinh Long: LA Nguydn Minh
Long, l0Tl, THPT chuyel Nguy6n Binh Khi6m;
Anh Son; Hh
chuy6n Hd

Long An: Phqm Qu6c Thdng,10T1, THPT chuy6n
Long

An'

Ho euANG
Bni T8/453. Giai phaong trinh

'INH

r
2sinr + cos-r.
Ldi gidi.Nhfn th6y n6r,
= 0 thi sinx=tl,
+ 2cos3 -r =

3sin3

"o.,
kh6ng th6a mdn.

phuong trinh
V6i cosx + 0, chia cbhai v6 cira phucrng trinh

cho cos3x vdthav

' -f
cos2 x

3tan3

=l+tan2x. taduoc:

x+2=Ztanx. 1, *

1,

3tan3

(-2;2) .
Ddt tanx=Zcos! v6i ye (0;n), PT (1) trd

ba nghiQm ph6n biQt th:uQc

thdnh: 8cos3 y - 4cos2 y -4cosy + 1 = 0

e4cosy(2cos2y-1)=3-4sin2y
V6i

.1
cosrx vd thay
=1+tan2 x, ta dugc
--j"
cos" -r
phuong trinh bflc ba cira tanx

mQt

.

Cdi hay trong bdi to6n tr6n ld chimg minh
tanx e(-2;2) vd df;t twrx =2cosy v6i y e (0;r),
tl6 dugc phucmg trinh co bin sin4y = sin3y .
Cdcban sau ddy c6 bdi gi6i tdt: lti Tinhz Trin Bdo
Trung, 11T1, THPT chuy6n Hd finh; Long Anz LA
Ngpc Tri,l1T, THPT chuy6n Long An; Ci Mau:

Hodng C6ng Minh, 10 chuy6n To6n 1, THPT
chuy€n Phan Nggc Hi6n; Hung YGn: Nguydn Mqnh
Hi€p,10A9, THPT Duong Quing Him, Vdn Giang.
NGUYEN ANH DONG

COS'X COS'X

x*2=2tanx.(l+tan2 x)+l+ta* x
tan3 x-tanz x-Ztanx+I:0 (1).
Xdt hdm s6 791=7' -t2 -2t+l,li6n tuc tr6n IR.
Ta c6 f (-2) < 0; "f(0) > 0; /(1) <0; f (2) > 0
n6n t6n tqi cdc gi|tri t1, t2, fu th6a mdn:
1 Nhu v0y phucrng trinh bQc ba f (t) = 0 c6 dring
<)
<)

N6u cosx +O , chia chhaiv6 cta phuong trinh cho

(2).

ye(Qn), ta c6 siny*O. Nh0n hai vti cria

Bni T9l453. Tim tdt ca coc cap so nguyAn
+ 1 vd 4b - 1 nguyAn
6 cilng nhau vd a + b td uo'c cua l6ab + l.
Ldi gidi Gi6 su (a, b)ldcgp circ s6 nguy6n duong
du'ctng (a;b) thoa mdn 4a

thoi m6n bdi to5n, tuc ld (4a +1, 4b

l6ab+l i (a+ b) (1). Ta c6
(4a + L)(4b + 1) = (l6ab + t) + 4(a +

b) :

- 1) : I vd
(a +

b) (2)

Cht)i (4a+1,4b-1):1vd
(4a + 1) + (4b -l) = 4(a + b) :. (a + b).
+ l, a + b):1 (vi ni5u hai s6 4a + l,
+
a b cing chia h6t cho si5 nguy6n tdp thi tu
Suy ra (4a

(4a+l)+(4b-l) i (a+b)= 4b-l i p, mdu
thuhn v6i (4a + l, 4b - 1): l).
dugc: 4siny cosy cos2y = 3siny - 4sin3 y
(3)
Do d6 tu (2) suy ra 4b+l i (a+b).
<+ sin4Y = sin3)
Ngugc lai gii sir (a; b) ld clp c5c s,5 nguy€n
=2kn
f4v =3v +2kn
II
<>l '
el v=n+2k'T Gez) duong thoi mdn (3). Tri (2) ta c6
n-3y

+2kn
=
l4y
l6ab +l i (a+ b). Tathey @a + l,4b - 1) : I vi
PT(2)v6i siny vdthay 2cos2y-l=cos}y

L. I

vi

ye (o; n) n6n y

tan.x = ^lt
ZCOS;
I

^3n _ <+
tanx=Zcos
I

tan_r =

@e

^5n
ZCOS-

Z).4

I

ta

1

.{+,T, ?}

r*uu,

/_\
7)
\
(
3ru\
x=arctafll '2cos _ l+nfi
\/-\ t)
x=arctanl 2cos!l+nn

l-

x = arctanl

\

-)fi1
2cosl+ nfi

7)

DNhQn xit. Cdch gi6i phuorlg trinh dpng

asin3 x+bcos3 x+csinx +dcosx+e=0

+ l,4b - I ctng chia h6t cho sO
to p
= p ld s6 nguy6n tO 16. Ta lai c6
(4a+l)+(4b-l)=4(a+b)= (a+b) i p

n6u hai s6 4a
^Ll'
nguy€n

- 4b+l : (a+ b)
MAu thuin vot

'.

p.

(4b+l)-(4b-l):2

/.

p.

Nhu vfly c6c s0 nguy6n duong a, b thob mdn
(1), tuc ld (1) tuong tluong vdi (3).
Chf )i 4b + I ld vd 4b + I < 4(a + b), tasuy ra

(J)<+tl+n+l=a*b el fa=3b+1
l4b+l =3(a+b) lb =3a-l

22'?EI#E!,*
HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !


YQy titt ch chc
toSn ld (a,b)

sO

nguy6n duong th6a m6n bdi

e {(3c+l,c),(c,3c-

1),

c e N-}.

fl

YNhQn xdt. D€ bdi ndy d5 dugc ttdng 6 TH&TT s6
447, dbp 6n tlugc ddng tr€n TH&TT sO +St. Vay
Tda sopn xin kh6ng ch6m di6m c6c loi gi6i giri v6
lAn

niy. Thdnh that xin l5i b4n tlqc.

TH&TT
Bni T10/453. Cho da thu'c
P(x) = a,,.\'' + ...+ a1x + at) (a,, + 0: n22) co cdc

.! -;
:
Ire .to ddu
ld s6

^
nguyin.
Chilng minh rdng tdn
tai t,6 sd s6 nguy\n k sao cho P(x) + k kh6ng
phan tit'h duor' thdnh tich cua hai da thu'c h€ sd
rtgtn1n v6'i bqc l6tt hon 0.

Ldi gidi. (Theo bqn Nguydn Duc Thuqn, l0

YNhQn

xit.

-S,p,
mdn

p-ao vot p ld s5 nguy6n td th6a

Vi c6 vd sO sd nguy6n td n6n
LloJ.
i=\
'

,

c6 v0 s6 fr nhu vfy. Khi d6 ta sE chimg minh
QQ)=P(x)+k=anx'+...+a{+p ld b6t khi quy
trong Z [x]. Tru6c h6t nfr4n xdt ring: N6u o ld
mQt nghiQm phirc b6t kj, cria Q(x) th\ lolrt.
1 thi

Thpt vfly

"iiu lcrl<
p =la,a" +...+a,ol v6i c6ch chsnp. Gi6 su trdilqi Q@) ld khi quy
t&c ld Q@) : g(x).h(x) v6i g(x), h(x) e V,lxl vir
degg 2l, degh > 1. Ta co p : Q@ : 9(0).4(0).

vip

'

la s6 nguydn to nen suy ra

[Fll'l=

I
Llft(o)l= I

Gi6 sir lS(O) = L vit g(x):brxk +...+brx+l (ft>1).

Ggi 2,, 22,..., 21,ld c5c nghiQm cirag(x).

Vi

p(x)

: g(x).h(x)

n€n z, (i:1,..,k) cfrng ld

nghiCm cna Q@). Theo nh6n xetlal>l
thdnh thu

Q=\.-k)

lrr..rol> 1. MAt kh6c theo dinh l)i

vidte ta lai c6 V,,a1=*=1, mdu thuin. vQy
lbrl

Q@) phbih b6t kha quy trOn Z lxl.

d

(ding

vdi

phirc). Ngodi b4n
ThuQn, c6c lQuang Huy,llAl, THPT chuy6n Eai hoc Vinh; Hd
frnh: Nguydn Vdn Thi!,11 To6n l, THPT chuy6n
Hd finh; YGn B6i: Vfr H6ng Qudn,ll To6n, THPT

chuydn Nguy6n f6t Thdnh; Hn NQi: Vil Ba Sang,ll
Toiln 1, THPT chuy6n Nguy6n HuQ; Ddng Nai: Cao
Dinh Huy,11 To6n, THPT chuy6n Lucrng fh6 Vintr;
sr5

Nam Dinh: Trdn Thi Nhdn, L1 To6n 1, THPT
chuy6n L€ H6ng Phong.

Bdi Tlll453.
vd hdm
.f

g:N

DANG HUNG THANG
Cho hdm J':N + N lit todn anh

+ N /d dan anh thoa mtin

(n)> g(n),Yn e N. Cizlng minh rdng

f (n') = g(n),

To6n, THPT chuy€n Htng Vucrng, Phri Thg)

Ta chgn k=

CLc b4n tham gia gi6i deu gidi dung

phucrng ph6p nhu tr6n

Vri e N.

Ldi gidi. (theo cla s6 cac ban) Nhdn xdt ring
n6u tdn tqi meX AC /(rn) *S@) th\flm) >
g(m).L{}ri d6, do t6.p A':{neN:/(n) > S@)}

ld tap con khric rSng cta N nOn tap
3 = {g@): n e A\ cfrng ld tfp con kh6c r6ng
1

cria N. Do d6, t6n tai

mo = g(no)e

B

ld phAn

B.Y\f lil todn 5nh nOn tdn tpi
n, e N sao cho fln1) : *0. Tit flnt) : mo: g(no)

tu nh6 nh6t cira

< J(no) suy ra n1+ no (x). Theo gie thi6t thi
f (nr)2 g(nr).

Ntlu xity rafln): g(n) thi g(n 1) : m0: g(n;)
n€n n1: ns, mdtJ thuSn v6i (*).
- NOu xity ra flnt) > g(/r1) thi g(nr) eB n6n

g(n) < m0: g(no), tr6i v6i gi6 thi6t msli: phen

-

trr nhd nhAt cria A.

Ktitlufln:Vfytalu6nc6fln):g(n),

Vn e N. D

YNhQn xA. Cec b4n sau ddy c6 lcri gi6i dirng:
Bic Ninh: LA Huy Caong,11T, THPT chuydn Bfc
Ninh; Binh Dinh: Nguydn Trudng Giang, Trdn Vdn
Thidn, l0T, THPT chuy6n L6 Quli D6n; Gia Lai:
Nguydn Quang NhAL llC3A, THPT chuy6n Hirng
Vuong; Liro Cai: Nguydn Thu Huyin,10T, THPT
chuy6n Ldo Cai; Hn NQi: Vfi Bd Sang, 11T1, THPT

Hil finh: Nguy6n Vdn Th6,
10T1, THPT chuyCn Hd Tinh; Nam Dinh: l/ln&
Qu6c Cwdng, llT1, THPT chuy6n L6 H6ng Phong;

chuyOn Nguy6n HuQ,

s6

TOnN HOC _ _
aszrz-zorsr t ci*difua 28

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN GẦN NHẤT !