nghiên cứu một số kiến thức trong đó có phần “ĐỘNG lực học vật rắn

.MỞ ĐẦU
Cơ học là một phần của Vật lý học nghiên cứu các định luật về sự chuyển động và đứng yên
của các vật. Trong chương trình Vật lý phổ thông trước đây cơ học được chia thành các phần:
Động học, Động lực học, Tĩnh học, Các định luật bảo toàn và Dao động cơ và Sóng cơ. Như vậy
phần cơ học trước đây chỉ đề cập đến chuyển động của chất điểm và cân bằng của vật rắn mà
chưa nghiên cứu chuyển động của vật rắn. Phần cơ học trong chương trình mới hiện nay đã bổ
sung thêm một số kiến thức trong đó có phần “ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN”. Chuyển động của vật
rắn nói chung là phức tạp. Tiểu luận này không những trình bày hiểu biết của chúng tôi chỉ về kiến
thức phần “ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN” mà còn nghiên cứu, tìm hiểu một cách sâu sắc về “
CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN” với mục đích là phân tích, đào sâu để làm rõ và củng cố kiến thức
của hai phần động lực học vật rắn và dao động cơ trong chương trình vật lý phổ thông lớp 12.


B. NỘI DUNG

Phần 1: ĐỘNG LỰC HỌCVẬT RẮN
Chương 1:
KHẢO SÁT VẬT RẮN VỀ MẶT ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC
HỌC
1.1. Một số khái niệm
1. 1.1. Vật rắn
Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì của vật không thay
đổi và hầu như không bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực theo thời gian.
Vật rắn có kích thước đáng kể nên các lực tác dụng vào vật có thể đặt vào vật tại những điểm khác
nhau, điều này khác với chất điểm là các lực tác dụng vào chất điểm đều có cùng điểm đặt.

1.1.2. Chuyển động của vật rắn
Chuyển động của vật rắn nói chung là phức tạp, nhưng người ta có thể chứng minh được rằng
mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về tích của hai chuyển động cơ bản đó là

[ 1]

chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Như vậy ta có thể hiểu rằng không có vật rắn hoàn


toàn chuyển động tịnh tiến tuần túy và cũng không có vật rắn chuyển động quay thuần túy mà bao
giờ cũng có sự đan xen lẫn lộn của hai loại chuyển động này trong cùng một vật rắn. Nhưng người
ta có thể phân ra làm hai loại tách biệt như vậy để thuận tiện cho việc khảo sát chuyển động của
nó.
1.1.2.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
1.1.2.1.1.Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mọi đoạn thẳng
thuộc vật luôn luôn song song với chính nó. Nói cách khác, khi vật chuyển động tịnh tiến, mọi
điểm của vật có quỹ đạo giống hệt nhau,có thể chồng khít lên nhau được.
Quỹ đạo của chuyển động tịnh tiến có thể là đường thẳng hoặc đường cong
1.1.2.1.2 Một vài ví dụ về chuyển động tịnh tiến
Ví dụ 1: Chuyển động của ngăn kéo bàn là
chuyển động tịnh tiến có quỹ đạo là đường
thẳng

Hình
ảnh 1.1
Ví dụ 2: - Chuyển động của một điểm ở ghế ngồi trên chiếc đu quay là chuyển động tịnh tiến có
quỹ đạo là đường tròn.
( Chuyển động nhiều bộ phận còn lại là chuyển động quay xung quanh trục)


[ 4]
Hình ảnh 1.2
Ví dụ 3: Chuyển động của một diễn viên múa khi lướt trên một đường thẳng . Chuyển động của
cô ta là chuyển động tịnh tiến thuần túy( hình ảnh 1.3).

Hình ảnh 1.3
1.1.2.1.3.Đặc điểm của chuyển động tịnh tiến
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc các điểm của vật như nhau. Phương
trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến có dạng giống như phương trình chuyển động của một
chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng
tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn . Dễ dàng thấy rằng đó cũng là phương trình chuyển động của
khối tâm vật rắn . Như vậy muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến ta chỉ cần khảo sát một điểm bất
kì của vật rắn. Thông thường ta khảo sát chuyển động của khối tâm.
1.1.2.2. Chuyển động quay của vật rắn
Chuyển động quay là chuyển động của của các bánh xe, bánh răng, động cơ, kim đồng hồ, rôto
của động cơ phản lực và cánh quạt máy bay lên thẳng. Đó cũng là chuyển động của electron quay,
của cơn bão, của các hành tinh quay , của các sao, các thiên hà, chuyển động của các diễn viên
nhào lộn, vận động viên nhảy cầu, chuyển động của quả bóng tròn... chuyển động quay có mọi nơi
và xung quanh ta


1.1.2.2.1.Một vài hình ảnh ví dụ chuyển động quay:

[ 10]

Hình ảnh 1.4

Hình ảnh 1.5

Quả bóng chuyển động lăn trên sân

Chuyển động của cơn bão

Hình ảnh 1.6: Chuyển động của đĩa CD

Hình ảnh 1.7:Chuyển động của cái thước quay xung quanh bản lề


Hình ảnh 1.8: Chuyển động của bánh xe xung quanh trục của nó

[ 9]
Hình ảnh 1.9 Chuyển động của con quay( con vụ )
1.1.2.2.2. Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục
Trong chuyển động quay thì chuyển động của vật rắn quanh một trục là chuyển động thường
thấy trong đời sống và trong kỹ thuật.
Khi vật rắn quay quanh một trục ( trục nằm trong hay nằm ngoài vật rắn đó) thì mọi chất điểm
mi trên vật rắn đều quay quanh trục với cùng một vận tốc góc như nhau đồng thời có quỹ đạo là
những đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay. Tâm O của các vòng tròn đó
nằm ngay trên trục quay. Bán kính r i tính từ mi đến trục quay O thường là khác nhau vì vị trí của
các chất điểm là khác nhau.
Muốn vật rắn quay được, ta phải tác dụng lực lên vật rắn đó. Muốn lực đó có khả năng làm
quay vật thì lực đó có giá không song song với trục quay hoặc có giá không đi qua trục quay.
Trong các ví dụ trên thì chuyển động của cái thước xung quanh bản lề, chuyển động của bánh
xe, chuyển động của đĩa CD là chuyển động quay xung quanh một trục cố định.
Hình ảnh dưới đây của một diễn viên trượt băng nghệ thuật.


[ 9]
Hình1.10

Hình 1.11

Hình 1.10: Chuyển động tịnh tiến thuần túy
Hình 1.11: Khi cô ta quay với một tốc độ không đổi quanh một trục thảng đứng đó là chuyển

động quay thuần túy

1.1.3. Khối tâm
1.1.3.1. Định nghĩa khối tâm
Ta coi vật rắn bao gồm một hệ chất điểm cấu tạo thành
Định nghĩa: Khối tâm của một hệ chất điểm lần lượt có khối lượng là
m1, m2, .....mn là một điểm G xác định bằng biểu thức:
n

∑m M G
i =1

i

i

= 0

Trong đó mi là khối lượng chất điểm thứ i
1.1.3.2. Toạ độ của khối tâm
Ta có thể chứng minh rằng toạ độ của khối tâm G của vật rắn đối với một góc toạ độ 0 nào đó
được xác định bằng biểu thức
n

OG =

∑ m .OM
i

i =1

n

∑m
i =1

i

i


Trong đó

uuu
r
0G

uuuu
r
0 Mi

là khoảng cách từ khối tâm 0 đến góc tọa độ 0

là khoảng cách từ chất điểm thứ i đến góc tọa độ 0

Nhận xét: vị trí khối tâm của vật rắn phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng của chất điểm tạo
nên vật và không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài.
1.1.3.3. Vận tốc khối tâm
Khi khảo các tính chất của khối tâm về mặt động lực học. Kết quả cho thấy vận tốc của khối tâm là:
n


V =



∑m v
i =1

i i

n

∑m
i =1

i

Trong đó:
v: vận tốc khối tâm
mi: khối lượng của chất điểm thứ i


vi
: vị trí của chất điểm thứ i

Ví dụ 2: Vận động viên nhảy cao ( vượt sào) từ khi bắt đầu bật nhảy đến khi kết thúc, người đó có
thể thay đổi tư thế của mình bằng cách co người hoặc duỗi người thì trong quá trình rơi khối tâm
cũng có quỹ đaọ là một parabol
Hình ảnh minh hoạ:

[ 9]
Hình ảnh 1.12


1.1.4. Trọng tâm
1.1.4.1. Định nghĩa trọng tâm
Khi khảo sát vật rắn nằm gần mặt đất, ta chia vật rắn thành nhiều phần tử nhỏ, mỗi phần tử


Pi
chịu tác dụng của lực hút trái đất mỗi trọng lực

hướng về phía tâm trái đất. Trọng tâm được




P = ∑ Pi = mg
i

hiểu là điểm đặt G của hợp lực

(trọng lực được xem như là hệ lực song song

cùng chiều của các trọng lực thành phần tác dụng lên các phần tử ). Khái niệm này có ý nghĩa khi
vật có kích thước nhỏ, ở gần mặt đất, trọng trường tồn tại và trọng trường là đều.

Trong tình


Pi
trạng mất trọng lượng hoặc vật lớn đến mức


Pi
ở đầu này của vật không song song với

ở đầu

kia ( hình vẽ 1.1 ) thì khi đó khái niệm trọng tâm không còn ý nghĩa nữa

Hình vẽ 1.1

r r
P1 P2

1.1.4.2. Đặc điểm của trọng tâm
“ Trọng tâm là một điểm đặc biệt ở trên vật”
Trọng tâm có tính chất đặc biệt vì:
- Nếu vật rắn chuyển động tự do trên một mặt phẳng, thì ta có thể xác định được quỹ đạo của
trọng tâm. Vì vậy trọng tâm được gọi là tâm quán tính của vật rắn.
- Nếu tác dụng vào vật rắn một lực có giá đi qua trọng tâm thì vật rắn sẽ chuyển động tịnh tiến
giống như chất điểm có khối lượng tập trung ở trọng tâm.


- Nếu tác dụng vào vật rắn một lực có giá không đi qua trọng tâm thì vật rắn sẽ đồng thời tham
gia hai chuyển động: vừa chuyển động tịnh tiến vừa chuyển động quay.
Ngược lại khối tâm có ý nghĩa sâu sắc hơn, vì nó thể hiện sự phân bố khối lượng của các vật,
không phụ thuộc vào việc vật nằm trong trọng trường nào. Dù vật ở gần mặt đất hay ở một điểm

nào trong vũ trụ thì chuyển động của khối tâm cũng tuân theo cùng một quy luật nhất định.Trong
tình trạng mất trọng lượng, khối tâm vẫn tồn tại.
1.1.4.3.Phân biệt trọng tâm và khối tâm
Trong thực tế ta chỉ gặp những vật rất nhỏ so với Trái Đất nên bao giờ cũng xác định được trọng
tâm, lúc này trọng tâm trùng với khối tâm nên trong thực tế hai thuật ngữ này có thể dùng lẫn lộn.
- Khi nghiên cứu vật rắn ở trạng thái cân bằng người ta thường dùng khái niệm trọng tâm.
- Khi nghiên cứu vật rắn chuyển động người ta thường dùng khái niệm khốitâm
1.1.5. Tọa độ góc
1.1.5.1. Khái niệm tọa độ góc

Đường mốc

α
O

Hình vẽ 1.2a

Hình vẽ 1.2b

s
A

x


Chú thích: ( Điểm M chuyển động quay trên đường tròn tâm 0, bán kính r trong mặt phẳng nằm

ngang, s : tọa độ cong ;

ϕ =s

r

)

Xét một vật rắn quay quanh một trục z đi qua điểm 0 ( hình vẽ 1.2a là mặt phẳng tiết diện của vật
rắn, trục z vuông góc với mặt phẳng tiết diện)
Chuyển động này có hai đặc điểm:
- Mọi điểm của vật đều vạch những đường tròn trong các mặt phẳng vuông góc với trục quay và
có tâm nằm trên trục.(hình b)
- Mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng thời gian.
Dựa vào hai đặc điểm trên ta có thể xác định vị trí của vật rắn trong chuyển động quay như sau:
Chọn một đường mốc OM cố định trên vật và vuông góc với trục quay nằm trong tiết diện thẳng
trùng với mặt phẳng x0y. Chọn một chiều quay làm chiều dương. Vị trí của vật được xác định bằng

góc

Ox,OM )

ϕ

ϕ
mà đường mốc làm với trục 0x. Góc

= (

gọi là tọa độ góc của vật.

ϕ
Khi vật rắn quay, sự biến thiên của góc

theo thời gian t mô tả quy luật chuyển động của mặt

phẳng x0y cũng chính là thể hiện quy luật chuyển động chung của toàn vật rắn.

ϕ
Toạ độ góc là một đại lượng tuần hoàn tức là các tọa độ

ϕ
rad và (

+ 2π) rad cùng biểu diễn

một vị trí góc.

0≤ ϕ ≤π

ϕ
Góc

chỉ mang các giá trị

1.1.5.2. Đơn vị tọa độ góc
Đơn vị tọa độ góc là radian( viết tắt là rad)
Ngoài ra có thể đo toạ độ góc bằng đơn vị góc( độ) hoặc bằng số vòng quay.
Một vòng quay tương đương với 360 0 cũng tương đương với 2π rad.

10 =

π
rad

180


Thông thường người ta dùng đơn vị góc là rad để tính toán các đại lượng vật lí có liên quan đến
góc đo bởi vì rad có thứ nguyên bằng 1 đơn vị.
Qui ước : Góc được đo ngược chiều quay kim đồng hồ là dương.
Góc được đo cùng chiều quay kim đồng hồ là âm.

1.1.6. Tốc độ góc
1.1.6.1. Tốc độ góc trung bình

t1

Giả sử tại một thời điểm
tại thời điểm

t2

vật có tọa độ góc là
vật có tọa độ góc là

ϕ1

,

ϕ2

tốc độ góc trung bình trong khoảng thời gian

ω tb =

t 2 t1
-

là:

ϕ 2 − ϕ1 ∆ϕ
=
t 2 − t1
∆t
∆ϕ

trong đó

là góc mà vật quay được trong khoảng thời gian

∆t

1.1.6.2.Tốc độ góc tức thời
Xét biểu thức trên, nếu

∆t

∆ϕ
nhỏ dần đến 0 thì

cũng nhỏ dần đến 0. Khi đó tốc độ góc trung

bình trở thành tốc độ góc tức thời.
Tốc độ góc tức thời của một vật rắn quay quanh một trục là đạo hàm bậc nhất theo thời gian

của tọa độ góc của vật

ω = lim

∆t → 0

∆ϕ
=ϕ ' ( t )
∆t

Định nghĩa tốc độ góc không những dùng cho vật rắn quay ( xét cả vật rắn) mà còn dùng được
cho mỗi chất điểm của vật rắn đó.
1.1.6.3. Tốc độ góc
Độ lớn của véc tơ vận tốc góc tức thời tại một thời điểm của vật rắn gọi là tốc độ góc của vật tại
thời điểm đó


Định nghĩa: Tốc độ góc tức thời ( gọi tắt là tốc độ góc) là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh
chậm của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ở thời điểm t và được xác định bằng đạo

[ 2]
hàm bậc nhất của tọa độ góc theo thời gian.
Ở trên ta ngầm hiểu là tốc độ góc của vật rắn quay quanh một trục cố định nào đó. Giả sử vật
quay xung quanh trục z thì viết đầy đủ vận tốc góc của một vật rắn theo định nghĩa trên phải là:

ωz =

dϕ
dt

Thành phần vận tốc góc ωz là tốc độ biến thiên của toạ độ góc theo thời gian

ϕ
- Nếu

tăng theo thời gian thì ωz > 0 (hạt quay ngược chiều kim đồng hô)

ϕ
- Nếu

giảm theo thời gian thì ωz < 0 (hạt quay cùng chiều kim đồng hồ)

r
ωZ

- Nếu ω tốc độ góc của vật có giá trị bằng

r
ωZ
thì vận tốc góc

là vectơ mà độ lớn là tốc

độ góc, có phương song song song với trục quay Oz và có chiều được xác định bằng qui tắc nắm
bàn tay phải
Nếu vật quay đều thì tốc độ góc

ω

không đổi.

Nếu vật quay không đều thì tốc độ góc

ω

biến thiên.

Đơn vị: Đơn vị của tốc độ góc là rad/s
1.1.6.4. Véc tơ vận tốc góc

r
ω

Ta hãy xét một bánh xe đang quay trục của nó. Các véc tơ vận tốc của các điểm khác nhau trên
bánh xe thì có phương khác nhau. Tuy nhiên, có một phương duy nhất liên quan đến chuyển động
quay đó là phương dọc theo trục quay. Phương dọc theo trục quay là phương của véc tơ vận tốc
góc


ω

. Người ta dùng qui tắc nắm bàn tay phải để xác định chiều của


ω

.


[ 9]

Hình vẽ 1.3
Qui tắc nắm bàn tay phải đối với ω z như sau : “ nắm trục quay Oz bằng tay phải, sao cho
các ngón tay cong theo chiều quay, khi đó ngón tay cái duỗi thẳng ra chỉ phương và chiều của của

[ 5]
ωz”

ϕ
Qui tắc nắm bàn tay phải được dùng chung cho cả ω z và chiều dương của
Qui tắc nắm bàn tay phải được xem tương đương với qui tắc tam diện thuận
hoặc quy tắc cái đinh ốc.
Tốc độ góc có thể dương hoặc âm tùy theo vật quay theo chiều dương hay theo chiều ngược
lại
Nhận xét: Trong phần này có hai thuật ngữ mà ta có thể lẫn lộn đó là vận tốc góc và tốc độ góc
- Vận tốc góc là một đại lượng véc tơ trục. Nó có phương trùng với trục quay, có chiều xác định
theo quy tắc nắm bàn tay phải, có độ lớn là

ω = lim

∆t → 0

∆ϕ
=ϕ ' (t )
∆t

Tốc độ góc để chỉ độ lớn của vận tốc góc mà thôi.

1.1.7. Gia tốc góc
1.1.7.1. Gia tốc góc trung bình

Gia tốc góc trung bình của vật trong khoảng thời gian

γ tb =

∆t

là:

∆ω
∆t

1.1.7.2. Gia tốc góc tức thời
Gia tốc góc tức thời ở thời điểm t

γ = lim
∆t → 0

∆ω
=ω ' ( t )
∆t

Định nghĩa: Gia tốc góc tức thời ( gọi tắt là gia tốc góc) của một vật rắn quay quanh một trục ở
thời điểm t là đại lượng đặc trưng cho biến thiên của tốc độ góc ở thời điểm đó và được xác định

[ 6]
bằng đạo hàm của tốc độ theo thời gian
Xét vật rắn quay xung quanh trục z . Thành phần gia tốc góc γ z bằng tốc độ thay đổi của thành
phần ωz theo thời gian

dωz
γz =

d 2ϕ
= 2
dt
dt

γz > 0: khi ωz tăng
γz < 0 khi ωz giảm
γz = 0 khi ωz không đổi

γ
Độ lớn của gia tốc góc là γ =

Z

Đơn vị: Đơn vị của gia tốc góc là rad/s2.

r
γ

1.1.7.3.Véc tơ gia tốc góc
Vì trục quay cố định nên véc tơ
thời được xác định bằng

r
ω

chỉ thay đổi về độ lớn và chiều. Như vậy, véc tơ gia tốc góc tức

r
∆ω
r
γ = lim
∆t → 0
∆t
Véc tơ này cũng là một véc tơ trục.
Ví dụ: Giả sử bánh xe đang quay theo một chiều nhất định.
Nếu độ lớn
Nếu độ lớn

ω
ω

tăng dần tức là bánh xe quay nhanh dần thì véc tơ

r
γ
r
γ

giảm dần tức là bánh xe quay chậm dần thì véc tơ

cùng chiều với

r
ω

ngược chiều với

r
ω

r
γZ
Véc tơ gia tốc góc

có hướng được xác định bằng qui tắc bàn tay phải

γ z = kγ
r
γZ
Véc tơ gia tốc góc

có phương nằm dọc theo trục Oz

r
ωZ

có chiều trùng với chiều của

r
ωZ

có chiều ngược chiều với

khi ωz tăng,

khi ωz giảm

Người ta quy ước chọn một chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương thì

chiều của véc tơ

r
ω

tương ứng được chọn làm chiều dương của trục quay. Khi ấy có thể sử dụng

những giá trị đại số của các véc tơ

r
ω

r
γ
và

để đặc trưng cho chuyển động quay

1.1.7.4.Gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến
1.1.7.4.1. Khi một vật rắn quay đều xung quanh một trục cố định thì mọi điểm của nó chuyển

động tròn đều. Véc tơ vận tốc

r
v

ở mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng chứ không thay đổi về độ lớn.

Khi ấy véc tơ gia tốc của mỗi điểm vuông góc với véc tơ vận tốc và hướng vào tâm của đường tròn
do đó tên gọi là gia tốc hướng tâm.


[ 2]
Hình vẽ 1.4
Độ lớn gia tốc hướng tâm tính bằng công thức

v2
an = a =
ht R
1.1.7.4.2. Khi một vật rắn quay không đều thì mọi điểm của nó chuyển động tròn không đều. Véc
tơ vận tốc của mỗi điểm thay đổi cả về phương lẫn độ lớn( hình vẽ). Khi ấy véc tơ gia tốc của mỗi
điểm không còn vuông góc với véctơ vận tốc mà hợp với véc tơ vận tốc một góc

α

r r
r
a = an + at

r
an
Trong đó vectơ
của vectơ


v

là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên( thay đổi ) nhanh hay chậm về hướng

, đó chính là gia tốc hướng tâm (còn gọi là gia tốc pháp tuyến)

an = aht =
Về độ lớn

v2
R

r
at

vectơ

là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm về độ lớn của vectơ

chính là gia tốc tiếp tuyến
Về độ lớn


v

, đó


at = Rγ
Độ lớn của gia tốc dài là gia tốc toàn phần

a = aht2 + at2

[ 3]

1.1.8. Momen lực
Momen lực còn gọi là momen quay
1.8.1. Định nghĩa momen lực
Xét một thanh nặng treo tại O và có thể quay quanh O như (hình vẽ 1.6.1)
Tác dụng những lực có độ lớn như nhau vào những điểm khác nhau trên thanh:

r
FB

r
FA

tại điểm B làm cho thanh quay dể dàng hơn lực

r
FC

Lực

tại điểm A,

tại điểm C không làm cho thanh quay.

Khi thanh quay thì độ lớn gia tốc tiếp tuyến là
at = r.γ

( theo công thức ở trên)

Khi tác dụng ngoại lực F vào thanh, chỉ có thành phần tiếp tuyến F t của lực F mới gây ra gia tốc at
.
Đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực lên vật và làm cho vật đó chuyển động quay so với
điểm quy chiếu gọi là momen của lực F đối với điểm qui chiếu đó ( ở đây điểm quy chiếu là điểm

O) ký hiệu là

r
M



r
FA

O

A

r
FB

B

(Δ)

C

r

r
FC

M

F
α
h

O

A

Mpx


r r r
M = r∧ F

Trong đó

r

Độ lớn của

Hình vẽ 1.5

: là bán kính vectơ của điểm đặt của lực

uu
r
M

r
F

đối với điểm qui chiếu O

: M = r.F sinα
M = F.d

với d = r.sinα : khoảng cách vuông góc từ điểm qui chiếu O đến giá của lực F và được gọi là cánh
tay đòn của lực

r r
α =( r, F)

Định nghĩa: Mômen lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo bằng
tích của lực và cánh tay đòn của nó.
Chú ý : Với cùng một lực

r
F

đặt tại cùng một điểm A, nếu vị trí điểm qui chiếu O đổi thì

r
M

cũng thay đổi.
1.1.8.2. Đơn vị của momen lực
Đơn vị của momen lực là N.m
Các trường hợp đặc biệt :
+ Giá của lực F song song với trục quay (Δ) : α = 0 => M = 0
+Giá của lực F cắt trục quay (Δ) : d = 0 => M = 0.

+Giá của lực F vuông góc với trục quay (Δ) : α =

±π
2

=> M = ± F.r

Nếu chọn chiều chuyển động quay của vật là chiều dương thì :
+ Lực có xu hướng làm cho vật rắn quay theo chiều dương thì momen lực có giá trị
dương ( M>0 )
+ Lực có xu hướng làm cho vật rắn quay theo chiều âm thì momen lực có giá trị âm
( M<0 )


Nếu vật chịu tác dụng của nhiều lực thì:

r r
F1 , F2

- Gọi M1, M2,… là momen của các lực

….tác dụng vào vật làm cho vật quay theo

chiều dương.
Tổng độ lớn các momen lực làm cho vật quay theo chiều dương là
M = M1 + M2 + M2 +……

r r
F1' , F2'

- Gọi M1’,M2’,… là momen của các lực

….. làm cho vật quay theo chiều âm

Tổng độ lớn các mômen lực làm cho vật quay theo chiều âm là
M’ = M1’+ M2’,…
Như vậy tổng đại số momen của các lực tác dụng vào vật M+M’
Nếu (M+M’) > 0 : vật quay theo chiều dương
Nếu (M+M’) < 0 : vật quay theo chiều âm
Nếu (M+M’) = 0 : vật đứng yên
Thí dụ :
Một bánh xe gồm hai hình trụ mỏng, đồng trục có
bán kính r1 = 30cm và r2 = 50cm gắn chặt với nhau
gắn vào trục đi qua tâm các hình trụ, các lực tác
dụng lên bánh xe được cho trong hình vẽ 1.5. Bánh
xe

sẽ quay theo chiều nào đối với trục quay.

uu
r
F1

uur
F2
⇒

có tác dụng làm cho bánh xe quay ngược chiều

kim đồng hồ

có tác dụng làm cho bánh xe quay theo chiều kim đồng hồ

M1>0, M2<0

M = M1 + M2
⇒∑

M = r1F1 − r2 F2 sin600 = −6,6 N.m


Như vậy, momen lực tổng hợp có tác dụng làm quay bánh xe theo chiều kim đồng hồ.

M
1.1.8.3. Hướng của momen lực
M

F
O

r

+

+

A
mpxOy

Hình vẽ 1.6
Hướng của

M

được xác định bằng qui tắc vặn đinh ốc (

hoặc dùng quy tắc nắm tay phải)
Đặt cái đinh ốc dọc theo trục quay (Δ) rồi xoay sao cho

cái đinh ốc quay theo chiều của lực

F

của mũi nhọn đinh ốc chính là chiều của

thì chiều tiến

M

(hình vẽ

1.6)

1.1.8.4 Ví dụ: Hiện tượng sau có liên quan đến khái
niệm momen lực:
Khi chèo xuồng trong nước lũ (“nước bạc”), nếu
muốn xuồng lộn ngược để khỏi bị đắm chìm thì người chèo thuyền phải vươn người và giơ mái
chèo về phía dòng nước cuốn đồng thời nhấn mái chèo về phía đáy dòng nước. Khi đó, lực do
nước tác dụng vào mái chèo tạo ra một mômen quay lấy lại thăng bằng cho người chèo thuyền

[ 5]
1.1.9. Mô men quán tính
1.1.9.1. Định nghĩa momen quán tính


Momen quán tính còn gọi là quán tính quay
Xét một đĩa phẳng quay quanh trục của nó , đĩa gồm nhiều hạt khối lượng m i ở cách trục quay
những khoảng cách ri khác nhau . Mô men lực tác dụng lên mỗi hạt liên hệ với gia tốc góc bằng
phương trình sau:

M = mr 2 γ
Vì các hạt có cùng gia tốc góc nên tổng các mômen lực tác dụng lên tất cả các hạt liên hệ với gia
tốc góc bởi phương trình:

M = ( ∑ mi ri 2 ) γ
Trong số các lực tác dụng lên hạt chỉ có một số ít là ngoại lực còn lại là nội lực đó là lực liên kết
giữa các hạt. Vì các nội lực luôn xuất hiện từng cặp trực đối nhau nên tổng đại số momen của các
nội lực luôn bằng không. Do đó M ỏ phương trình chỉ là tổng đại số momen của các ngoại lực.
So sánh với phương trình định luật II Niu – tơn F = ma ta thấy gia tốc góc của chuyển động quay
liên hệ với mô men lực tương tự như gia tốc của chuyển động tịnh tiến liên hệ với lực tác dụng .
Nếu m là khối lượng dặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển động tịnh tiến thì

I = ∑ mi ri 2

là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển động quay và được

gọi là mômen quán tính của vật ( hay còn gọi là quán tính quay).
Định nghĩa: Mômen quán tính I của vật đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán

[ 6]
tính của vật trong chuyển động quay quanh trục ấy ( hay còn gọi là quán tính quay).
Từ biểu thức mômen quán tính cho thấy mômen quán tính I không liên hệ gì đến trạng thái quay
của vật. Thực tế, thì momen quán tính I của mỗi vật chỉ thể hiện khi có momen ngoại lực tác dụng
lên vật. Với cùng một momen lực tác dụng, vật quay càng nhanh nếu momen quán tính càng nhỏ
chứng tỏ rằng có sự tương tự giữa momen quán tính I và khối lượng m của vật. Vật có khối lượng
càng nhỏ thì thu được gia tốc càng lớn và ngựơc lại.
1.1.9.2. Tính chất:
Momen quán tính là một đại lượng luôn luôn dương
Momen quán tính là một đại lượng có tính chất cộng được.


Tính chất này cho phép tính được momen quán tính của vật có hình dạng bất kỳ.

dmi = ρ dv

ρ
Đối với các vật rắn đồng chất có mật độ khối lượng là

thì

thì công thức tính

mômen quán tính là:

I = ∫ ri 2 ρ dv
ri: khoảng cách từ phần tử dmi đến trục quay,
dvi là thể tích của phần tử đó.
Momen quán tính I phụ thuộc vào trục quay vì khi thay đổi trục quay thì độ lớn r i thay đổi.
(Trục quay có thể nằm ở ngoài vật).
Ví dụ: Tính momen quán tính của một đĩa tròn

r
ω

dx

Áp dụng công thức chung ở trên ta tính được momen quán tính của

đĩa tròn đồng chất bán

kính R là

I =

mR 2
2

Nhận xét: biểu thức trên không phụ thuộc vào bề dày của đĩa vì vậy nó cũng áp dụng cho vật đồng
chất hình trụ có chiều dài tùy ý.
Sau đây là momen quán tính của một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng:

Một vành tròn có khối lượng m, bán kính
R