Các đường Conic Đường elip

tài liệu học tập

CÁC ĐƯỜNG CONIC (ELIP – HYPEBOL – PARABOL)
Phần I. Đường Elip: (E)
1. Kiến thức cơ bản:
x2 y 2
- Phương trình chính tắc của Elip: ( E ) : 2 + 2 = 1
a
b

Trong đó 0 < b < a ; b 2 = a 2 − c 2
- Tiêu cự: F1F2 = 2c ; ( c < a ) ;
tọa độ tiêu điểm F1 = (−c;0);F2 = (c;0)
- Độ dài trục lớn A1 A2 = 2a
- Độ dài trục nhỏ B1B2 = 2b
- Tọa độ các đỉnh:

A1 = (− a;0); A2 = ( a;0);
B1 = (0; − b);B2 = (0; b)

hình Elip

c
a

- Tâm sai: e = < 1
c
a

c
a

- Bán kính qua tiêu điểm: MF1 = a + x ; MF2 = a − x
⇒ MF1 + MF2 = 2a

- Hình chữ nhật PQRS được gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip.
Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ± a ; y = ± b
- Phép co về trục hoành, với hệ số co k, 0 < k < 1 , biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’)
x ' = x
 y ' = ky

sao cho 
- Đường chuẩn của Elip:
∆1 : x = −
∆2 : x =

a
ứng với tiêu điểm F1 (−c;0)
e

a
ứng với tiêu điểm F2 (c;0)
e

Hãy siêng năng hơn!!!


tài liệu học tập
2. Bài tập:
2.1 Bài tập 1: Xác định các đại lượng thành phần của Elip
Câu 1: Xác định tiêu cự, tọa độ tiêu điểm, độ dài hai trục, tọa độ các đỉnh, tâm sai của Elip

sau:
(E) :

Giải: Phương trình (E) có dạng

x2 y 2
+
=1
100 36

x2 y 2
+ 2 = 1 . Do đó a 2 = 100; b 2 = 36 ⇒ a = 10; b = 6
2
a
b
c 2 = a 2 − b 2 = 64 ⇒ c = 8

- Tiêu cự: F1F2 = 2c = 16
- Tọa độ tiêu điểm: F1 = (− c;0) = (−8;0);F2 = (c;0) = (8;0)
- Độ dài trục lớn A1 A2 = 2a = 20 ; độ dài trục nhỏ B1B2 = 2b = 12
- Tọa độ các đỉnh: A1 (−10;0); A2 (10;0); B1 (0; −6); B2 (0;6)
- Tâm sai: e =

c 4
=
a 5

Câu 2: Xác định tiêu cự, tọa độ tiêu điểm, độ dài hai trục, tọa độ các đỉnh, tâm sai của Elip
sau:
(E) : x 2 + 4 y2 = 4

Giải: ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 4 ⇔

x2 y 2
+
= 1 (chia 2 vế cho 4 để đưa vế phải về hệ số 1)
4 1

Cách làm tương tự như câu 1, học sinh tự giải
Câu 3: Xác định tiêu cự, tọa độ tiêu điểm, độ dài hai trục, tọa độ các đỉnh, tâm sai của Elip
sau:
a) ( E ) :

x2 y 2
+
=1
36 9

b) ( E ) : 4 x 2 + 9 y 2 = 36
c) ( E ) : 9 x 2 + 30 y 2 = 270

Hãy siêng năng hơn!!!


tài liệu học tập
2.2 Bài tập 2: Viết phương trình chính tắc của Elip
Câu 1: Viết phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng
Giải: Phương trình chính tắc của (E):

3

2

x2 y 2
+
=1 ; 0 < b < a
a 2 b2

Độ dài trục lớn 2a = 8 ⇒ a = 4
Ta có e =

c
⇒ c = ae = 2 3 ; b 2 = a 2 − c 2 = 16 − 12 = 4
a

Vậy phương trình chính tắc của (E):

x2 y2
+
=1
16 4

Câu 2: Viết phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và tiêu cự bằng 4
(học sinh tự làm)
Câu 3: Viết phương trình chính tắc của (E) có tiêu điểm
Giải: Phương trình chính tắc của (E):


3
3;0 và đi qua M  1;
÷

÷
 2 

(

)

x2 y 2
+
=1 ; 0 < b < a
a 2 b2

Theo đề: tiêu điểm

(

)

(E) đi qua M nên:

1
3
+ 2 = 1 ⇔ 4b 2 + 3a 2 = 4a 2b 2
2
a
4b

3;0 ⇒ c = 3 ; b 2 = a 2 − c 2 = a 2 − 3

(1)

(2)

 a 2 = 4(choïn)
2
2
2
2
4
2
Từ (1) và (2) ⇒ 4(a − 3) + 3a = 4a (a − 3) ⇔ 4a − 19a + 12 = 0 ⇔  2 3
a = (loaïi)

4

( a2 =
Với a2 = 4 ⇒ b2 = 1 . Vậy phương trình chính tắc của (E):

3
loại vì a2 > c2 )
4

x 2 y2
+ =1
4 1

Câu 4: Viết phương trình chính tắc của (E) có các cạnh hình chữ nhật cơ sở có pt:
x = ±7; y = ±2
x 2 y2
+ =1
Giải: theo giả thiết thì a = 7; b = 2 nên ptct của (E):

49

Hãy siêng năng hơn!!!

4


tài liệu học tập
Câu 5: Viết phương trình chính tắc của (E) trong mỗi trường hợp sau:
9
5

a) (E) đi qua hai điểm M (4; ) và N (3;
 3

12
).
5

4 
÷ và nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
 5 5

b) (E) đi qua M 

;

Giải:
a) Vì (E) đi qua M và N nên thay tọa độ hai điểm vào ptct (E) ta được 2 pt, lập hpt, bấm
máy tính suy ra a2 và b2 .

 3

4 
9
16
+ 2 =1
÷∈ ( E ) nên
2
5a 5b
 5 5

b) Vì M 

;

(1)

· MF = 90o ⇒ OM = F1F2 = c (trung tuyến của tam giác vuông)
ta có: F
1
2

M

2

⇒ c 2 = OM 2 =

(1) và (2) ⇒
4

9 16
+
= 5 ⇒ a 2 = b2 + c2 = b 2 + 5
5 5

(2)

9
16
+ 2 = 1 ⇒ 9b2 + 16(b2 + 5) = 5b2 (b 2 + 5)
5(b + 5) 5b
2

2

F1

2

⇔ b = 16 ⇔ b = 4 ⇒ a = 9

Vậy phương trình chính tắc của (E):

x 2 y2
+ =1
9 4

Bài tập tương tự: (các bài tập khác liên quan thầy dạy riêng)
Viết phương trình (E) trong các trường hợp sau:

1) Có tiêu điểm (−6;0) và đi qua điểm I (0; −4) .
2) Có độ dài trục nhỏ bằng 14, tâm sai e =
3) Có tiêu điểm (−3;0) và đi qua điểm P(1;

4 2
9

4 2
)
3

 5 7 −9 
M
; ÷ và M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
4) Đi qua 
4
4 ÷



Hãy siêng năng hơn!!!

O

2c

F2