Bức xạ tự phát trong các hệ có cấu trúc khác nhau

Lời cảm ơn

Luận án, con dành tặng gia đình!
Tôi biết ơn thầy Hồ Trung Dũng đã tận tình hướng dẫn và luôn tạo cho
tôi những điều kiện thuận lợi nhất trong suốt khoảng thời gian qua. Được làm
việc với sự dẫn dắt của thầy là may mắn lớn nhất của tôi trong quá trình học
tập từ bậc cao học cho đến lúc bảo vệ luận án này.
Tôi biết ơn thầy Nguyễn Quốc Khánh đã luôn động viên và tạo điều kiện
thuận lợi để tôi hoàn thành luận án này.
Tôi biết ơn thầy Cao Huy Thiện đã hỗ trợ những điều kiện làm việc tốt
nhất để tôi có thể hoàn thành luận án.
Tôi biết ơn các thầy cô công tác tại bộ môn Vật Lý Lý Thuyết Trường
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. HCM đã truyền đạt cho tôi những kiến thức
cơ bản trong những năm tôi được học ở trường.
Tôi biết ơn anh Huỳnh Thanh Đức và bạn Đoàn Trí Dũng về những thảo
luận quí báu trong công việc và những tình cảm chân thành.
Tôi xin chân thành cám ơn tất cả các bạn bè đã luôn động viên chia sẻ
và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập.
Một lần nữa tôi xin được chân thành nói lời tri ân!
Tp. Hồ Chí Minh, Tháng 5 năm 2015


Lời cam đoan

Luận án này là kết quả nghiên cứu của chính tôi thực hiện khi làm nghiên
cứu sinh tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên–ĐHQG.HCM, cùng với hai
thầy hướng dẫn.
Tôi cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi. Kết quả của
luận án là mới, trung thực, không trùng lắp với các nghiên cứu khác và chỉ
được công bố trong những công trình có tôi tham gia.
Trần Minh Hiến

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Các chữ viết tắt và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Bảng và hình vẽ trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Mô hình phát xạ

4

1.1. Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất . . . . . . .

4

1.2. Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật chất

6

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích . . . . . . . .

9

1.3.1. Sự phụ thuộc vào thời gian của hệ trường-nguyên tử .

10

1.3.2. Cường độ bức xạ tự phát . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Cường độ phát xạ tự phát của nguyên tử gần tấm
phẳng LHM
18
2.1. Hệ số điện môi, hệ số từ thẩm và chiết suất của vật liệu nghịch

20

2.2. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Kết quả và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1. Trường hợp không có hấp thụ . . . . . . . . . . . . . .

25


iv

Mục lục

2.3.2. Hệ số truyền qua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.3. Hiệu ứng siêu thấu kính . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.4. Định luật Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. Ảnh hưởng của trường định xứ trong cơ chế tương
tác mạnh
37
3.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2. Buồng cộng hưởng phản xạ hoàn toàn . . . . . . . . . . . . .

43

3.3. Buồng cộng hưởng dạng khe dải Lorentz . . . . . . . . . . . .

53

3.4. Buồng cộng hưởng dạng gương cầu Bragg . . . . . . . . . . .

57

3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Chương 4. Tốc độ rã tự phát của nguyên tử đặt gần khối trụ
điện môi hữu hạn
63
4.1. Rã tự phát của nguyên tử khi đặt trong môi trường . . . . . .

64

4.1.1. Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn . . . . .

64

4.1.2. Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi dài vô hạn . . . .

67

4.2. Các mode cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.3. Tính số cho ten xơ Green của khối trụ vô hạn . . . . . . . . .

72

4.4. Kết quả và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Phần kết luận, và hướng phát triển . . . . . . . . . . . . . . .

80

Danh mục các công trình của tác giả . . . . . . . . . . . . . .

83

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84


v

Mục lục

Phụ lục A: Dẫn ra biểu thức cường độ bức xạ

94

Phụ lục B: Rút ra biểu thức của ten xơ Green cho tấm phẳng 101
Phụ lục C: Dẫn ra biểu thức (3.9)

108

Phụ lục D: Dạng Lorentzian của các vạch cộng hưởng

111

D.0.1. Gương phản xạ hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . 111
D.0.2. Gương dạng khe dải Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 113

Các chữ viết tắt và ký hiệu

Các chữ viết tắt
LHM
H.c.

Vật liệu thuận tay trái hay vật liệu nghịch (Left-handed Material).
Liên hợp Hermit (Hermit conjugate).

Các ký hiệu

ρˆA (r)

Thành phần kz của véc tơ sóng trong lớp thứ (l) của tấm phẳng.
Hàm delta Dyadic.
Hàm delta Dirac.
Hàm delta Kronecker.
Hệ số điện môi trong chân không.
Hệ số điện môi của môi trường.
Phần thực của hệ số điện môi.
Phần ảo của hệ số điện môi.
Ten xơ Levi-Civita.
Tốc độ rã tự phát trong chân không.
Hằng số Planck rút gọn.
Hệ số từ thẩm trong chân không.
Hệ số từ thẩm của môi trường.
Phần thực của hệ số từ thẩm.
Phần ảo của hệ số từ thẩm.
Toán tử gradient.
Tần số chuyển mức của nguyên tử.

Thế vô hướng.
Thế vô hướng khi có sự hiện diện của vật chất vĩ mô
và không có điện tích.
Toán tử mật độ điện tích của các hạt.

ρˆN (r, ω )

Ảnh Fourier của toán tử mật độ điện tích nhiễu.

βl
δ (r)
δ (r)
δλλ′
ǫ0 (r, ω )
ǫ(r, ω )
ǫR (r, ω )
ǫI (r, ω )
ǫijk
Γ0

µ0 (r, ω )
µ(r, ω )
µR (r, ω )
µI (r, ω )
∇
ωA
ϕˆ
ϕˆ M

Các chữ viết tắt và ký hiệu

ˆ σ
ˆ †, σ
ˆz
σ,
ˆ
A(r)
ˆ
B(r)
ˆ , ω)
B(r

c
d
ˆA
d
ˆ
D(r)
ˆ M (r)
D
ˆ , ω)
D(r
(l)

Ej

Ehj
ˆ
E(r)

ˆ || (r)
E
ˆ ⊥ (r)
E
ˆ M (r)
E
ˆ || (r)
E
M

ˆ ⊥ (r)
E
M

iv

Các toán tử Pauli của nguyên tử hai mức.
Thế véc tơ tại vị trí r.
Toán tử từ trường cảm ứng.
Ảnh Fourier của toán tử từ trường cảm ứng.
Tốc độ ánh sáng trong chân không.
Độ dày của tấm vật liệu LHM.
Toán tử mô men phân cực nguyên tử.
Toán tử trường dịch.
Toán tử trường dịch liên kết với môi trường.
Ảnh Fourier của toán tử trường dịch.
Điện trường tại lớp thứ (j ) gây bởi mô men phân cực nguyên tử
đặt tại lớp (l).
Điện trường tán xạ tại bề mặt của lớp thứ (j ).
Toán tử điện trường.

Thành phần dọc của toán tử điện trường.
Thành phần ngang của toán tử điện trường.
Toán tử điện trường liên kết với môi trường.
Thành phần dọc của toán tử điện trường liên kết với môi trường.
Thành phần ngang của toán tử điện trường liên kết với môi trường.

Ảnh Fourier của toán tử điện trường.
Thành phần dọc của ảnh Fourier của toán tử điện trường.
⊥
ˆ (r, ω )
Thành phần ngang của ảnh Fourier của toán tử điện trường.
E
ˆfλ (r, ω )
Các toán tử trường boson véc tơ.
′
G(r, r , ω ) Ten xơ Green đặc trưng cho sự truyền từ vị trí r′ đến r ứng với
tần số chuyển mức ω.
∗
′
G (r, r , ω ) Liên hợp phức của ten xơ Green đặc trưng cho sự truyền từ vị trí r′
đến r ứng với tần số chuyển mức ω.
′
G(r, r , ω ) Ten xơ Green biểu diễn qua các đại lượng không thứ nguyên.
ImG(r, r′, ω ) Phần ảo của ten xơ Green.
ˆ
H
Toán tử Hamilton.
ˆ , ω)
E(r
ˆ || (r, ω )

E

ˆ , ω)
H(r

I (r, t)
I
ˆj (r, ω )
N
k||

|l , |u

Ảnh Fourier của toán tử từ trường.
Cường độ bức xạ của nguyên tử tại tọa độ không thời gian (r, t).
Dyadic đơn vị.
Ảnh Fourier của toán tử mật độ dòng điện tích nhiễu.
Véc tơ sóng trong mặt phẳng xy.
Các trạng thái dưới và trên của nguyên tử.


Các chữ viết tắt và ký hiệu

ˆ , ω)
M(r

Ảnh Fourier của toán tử từ hóa.

ˆ (r, ω )
M

N

ˆ || (r)
P
A
ˆ ⊥ (r)
P

Ảnh Fourier của toán tử nhiễu từ hóa liên kết với hấp thụ.
Chiết suất của môi trường.
Toán tử xung lượng chính tắc của hạt điện tích thứ α.
Toán tử phân cực hóa của nguyên tử.
Thành phần dọc của toán tử phân cực hóa của nguyên tử.
Thành phần ngang của toán tử phân cực hóa của nguyên tử.

ˆ (r, ω )
P
A

Ảnh Fourier của toán tử phân cực hóa của nguyên tử.

n(r, ω )
p
ˆα
ˆ A (r)
P

A

v

Ảnh Fourier của toán tử nhiễu phân cực hóa liên kết với hấp thụ.
Toán tử phân cực hóa liên kết với môi trường.
||
ˆ (r)
Thành phần dọc của toán tử nhiễu phân cực liên kết với môi trường.
P
M
⊥
ˆ (r)
Thành phần ngang của toán tử nhiễu phân cực liên kết với môi trường.
P
M
qα
Điện tích của hạt thứ α.
q
rij
Hệ số phản xạ giữa các lớp (i) và (j ) của sóng phân cực q.
ˆ
rα
Toán tử vị trí của hạt điện tích thứ α có khối lượng mα .
ˆr˙ α , ¨
ˆ
rα
Đạo hàm cấp một và cấp hai theo thời gian của toán tử vị trí.
q
tij
Hệ số truyền qua giữa các lớp (i) và (j ) của sóng phân cực q.
ˆ, y
ˆ , ˆz

Các véc tơ đơn vị theo các hướng x, y, z.
x
|zA |
Khoảng cách từ nguyên tử đến bề mặt tấm vật liệu LHM.
|{1λ (r, ω )} Trạng thái kích thích đơn lượng tử Fock.
ˆ (r, ω )
P
N
ˆ
PM (r)


Bảng và hình vẽ

Bảng 2.1: Vị trí và nửa độ rộng tại nửa cực đại của ảnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Chương 2
Hình 2.1: Nguyên tử đặt gần tấm phẳng LHM rộng vô hạn. . . . . . . . . . . . . 22
Hình 2.2: Các phần thực và ảo của hệ số truyền qua tq2/0 vẽ theo k /kA . 28
Hình 2.3: Cường độ phát xạ |F(r, rA , ωA )|2 (4πǫ0 /kA3 dA )2 dọc theo trục z như
một hàm của khoảng cách từ bề mặt-(1/2) tới điểm trường. Các tham số
zA = 5λA , d = 10λA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Hình 2.4: Cường độ phát xạ |F(r, rA , ωA )|2 (4πǫ0 /kA3 dA )2 dọc theo trục-z như
một hàm của khoảng cách từ bề mặt phân cách-(1/2) tới điểm trường. Các
tham số là zA = 0.5λA , d = λA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Hình 2.5: Sự dịch đi và nhòe ra của ảnh do hấp thụ của tấm được giải thích
từ góc độ định luật Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Chương 3
Hình 3.1: Mô hình các buồng cộng hưởng với (a) gương phản xạ hoàn toàn,

(b) gương dạng khe dãi Lorentz, và (c) dạng gương cầu Bragg. . . . . . . . . . . 41
¯ ω ) = Γ/Γ0 cho mô hình của buồng
Hình 3.2: Mật độ trạng thái của trường Γ(
cộng hưởng phản xạ hoàn toàn có bán kính Rw (= R1 ) và hốc được lấp đầy bởi
chất điện môi dạng Drude–Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Hình 3.3: (a) Nửa độ rộng tại nửa cực đại, (b) tần số Rabi, và (c) tỉ số giữa
chúng Ω/δωm như một hàm của bán kính hốc RC /λT với các giá trị khác nhau
của hấp thụ vật chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Hình 3.4: Tỉ số Ω/δωm cho (a) cố định độ dày của tường buồng cộng hưởng
(R1 − R2 )/λT = 5 và thay đổi độ hấp thụ của tường; (b) cố định độ hấp thụ


Bảng và hình vẽ

vii

của tường γw /ωT = 10−5 và thay đổi độ dày. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Hình 3.5: (a) Tỉ số Ω/δωm cho cấu hình 23 lớp. Gương chứa 20 lớp xen kẽ nhau
có hệ số điện môi thấp εL , và cao εH . (b) Tỉ số Ω/δωm khi cố định γH /ωT = 10−3
và thay đổi số lớp toàn phần L của hệ. Số lớp gương là (L − 3).................. 58
¯ ω ) = Γ/Γ0 tại một cộng hưởng cụ
Hình 3.6: Mật độ trạng thái của trường Γ(
thể của buồng cộng hưởng được lấp đầy bởi chất điện môi không hấp thụ có
hệ số điện môi dạng Drude–Lorentz ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chương 4
Hình 4.1: Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi kích thước hữu hạn. . . . . 65
Hình 4.2: Hàm dưới dấu tích phân trong phương trình (4.21b) được vẽ như
một hàm của kz theo đơn vị của kA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Hình 4.3: Đường lấy tích phân trong mặt phẳng kz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Hình 4.4: Phần ảo của hàm Green biểu diễn bởi phương trình (4.21b), tính
theo đơn vị của kA được vẽ như một hàm của tọa độ nguyên tử rA /λA , tương
ứng với các hệ số R = 2λA , ǫ = 1.1 + i10−8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hình 4.5: Phần ảo của hàm Green được biểu diễn bởi phương trình (4.21b),
tính theo đơn vị của kA được vẽ như một hàm của tọa độ nguyên tử rA /λA
tương ứng với các hệ số R = 0.1λA , ǫ = 1.01 + i10−8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Hình 4.6: Tốc độ rã tự phát của nguyên tử bị kích thích đặt tại vị trí zA = 0
được vẽ như một hàm của khoảng cách từ nguyên tử đến tâm của khối trụ
rA /λA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Hình 4.7: Tốc độ rã của nguyên tử được vẽ như một hàm của rA /λA với các
chiều cao khác nhau của khối trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Hình 4.8: Tốc độ rã tự phát ở gần biên theo phương của trục đối xứng được
vẽ như một hàm của zA /λA với χǫ = 0.1 + i10−8, H/λA = 10, R/λA = 0.1. . . 78
Hình 4.9: Tốc độ rã tự phát ở gần biên khi nguyên tử di chuyển gần phía
trên mặt đáy của khối trụ được vẽ như một hàm của xA /λA . . . . . . . . . . . . . 78


Phần mở đầu

Phát xạ tự phát là quá trình một nguồn như nguyên tử, phân tử, tinh
thể nano hoặc ion ở trạng thái kích thích chuyển về mức năng lượng thấp hơn
và phát ra một photon. Nếu mức kích thích có năng lượng E2 và mức thấp
hơn có năng lượng E1, photon phát ra sẽ có tần số ω và năng lượng tương ứng
ω = E2 − E1
Phát xạ tự phát là một quá trình cơ bản trong nhiều ứng dụng công nghệ
như: ống huỳnh quang, màn hình TV (ống tia cathode), màn hình plasma,
diode phát quang, kính hiển vi quét trường gần hay các khóa lượng tử ....
Einstein là người đầu tiên đưa ra hệ số rã tự phát của nguyên tử trong
chân không. Từ khi Purcell chỉ ra tốc độ rã tự phát của nguyên tử không chỉ

phụ thuộc vào các đặc trưng của chính nguyên tử mà còn phụ thuộc cấu trúc
hình học và vật chất của môi trường bao quanh [72]; bài toán đã trở thành
một trong những hướng nghiên cứu chính của điện động lực hốc lượng tử.
Bằng cách thay đổi hình học và tính chất của môi trường vật chất bao
quanh người ta có thể điều khiển tốc độ phát, thời điểm phát và hướng phát
photon như mong muốn [25]. Đặt nguồn vào những môi trường thích hợp khác
nhau cho ta những ứng dụng quan trọng trong quang học và quang điện tử.
Ví dụ như các nguồn phát đơn photon, là loại nguồn sử dụng trong mã hóa
lượng tử. Chỉ nguồn phát đơn photon mới cho phép độ bảo mật cao nhất vì
trong quá trình phát xạ, mỗi lần chỉ một photon xuất hiện. Ngoài ra ta cũng
có thể điều khiển khoảng cách thời gian giữa hai lần phát liên tiếp cũng như
chọn tần số của photon.
Với những mối quan tâm cụ thể về quá trình rã tự phát trong các cấu
trúc môi trường khác nhau, chúng tôi chọn tên đề tài của luận án là "Bức
xạ tự phát trong các hệ có cấu trúc khác nhau". Cấu trúc của luận án
gồm bốn chương. Chương thứ nhất chúng tôi giới thiệu cơ sở lý thuyết cho


Phần mở đầu

2

mô hình sẽ sử dụng để nghiên cứu những vấn đề được đặt ra trong luận án.
Trong chương hai chúng tôi xem xét hiệu ứng siêu thấu kính thông qua
khảo sát bức xạ tự phát. Bài toán về sự truyền của sóng điện từ trong môi
trường vật chất, ở một vùng tần số xác định, lần đầu tiên được Veselago
nghiên cứu cho loại vật liệu có đồng thời cả hệ số điện môi và hệ số từ thẩm
âm [96]; điều này dẫn tới chiết suất của môi trường là âm. Trong môi trường
như vậy, điện trường, từ trường và véc tơ sóng tạo thành một hệ thuận tay
trái hay còn gọi là hệ tam diện nghịch (left-handed system), cũng vì lý do này

mà người ta gọi nó là vật liệu thuận tay trái hay vật liệu nghịch (left-handed
material–LHM). Tuy nhiên, khi trường điện từ đi qua môi trường này, các véc
tơ điện trường, từ trường và véc tơ Poynting vẫn tạo thành một hệ thuận tay
phải hay còn gọi là hệ tam diện thuận (right-handed system) như trong các
loại vật liệu thông thường khác. LHM còn có các tính chất khác thường khác
như là: dịch chuyển Doppler nghịch, bức xạ Cherenkov nghịch, và áp suất ánh
sáng nghịch. Mới đây LHMs cũng đã được chế tạo thành công trong phòng
thí nghiệm [52, 85]. Một trong những tính chất bất thường khác được quan
tâm nhiều nhất hiện nay của LHM là sự khúc xạ nghịch. Một hệ quả thú vị
của tính chất này là hiệu ứng hội tụ kép, khi sóng điện từ đi ngang qua tấm
phẳng LHM. Trong công trình [69] Pendry đã gợi ý khả năng vượt qua giới
hạn nhiễu xạ nhờ hiệu ứng này. Dạng thấu kính làm bằng tấm phẳng LHM
này được gọi là siêu thấu kính. Thông qua xem xét phân bố trường bức xạ
của nguyên tử đặt gần tấm phẳng LHM, chúng tôi khảo sát khả năng tạo hiệu
ứng siêu thấu kính.
Chương ba chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của bổ chính trường định xứ
lên cơ chế tương tác mạnh giữa nguyên tử và trường điện từ. Khi một nguyên
tử khách được bao quanh bởi môi trường bất kỳ (chất điện môi, bán dẫn hoặc
kim loại), trường điện từ tác động lên nó khác với trường vĩ mô thu được từ
việc lấy trung bình trên một ô nguyên tố được chọn thích hợp [55, 66]. Từ
đó ta thấy cần thiết phải tính đến bổ chính trường định xứ. Trong quang học
lượng tử, bài toán về bổ chính trường định xứ được nghiên cứu liên hệ trực
tiếp với bài toán rã tự phát của nguyên tử ở trạng thái kích thích. Ngoài ra,
với sự phát triển của kỹ thuật gần đây, các buồng cộng hưởng chất lượng cao
cũng đã được sản xuất và ứng dụng trong các thiết bị quang học, các vi mạch
cũng như trong xử lý thông tin lượng tử. Các buồng cộng hưởng dạng cầu có
khả năng giam nhốt rất tốt dẫn đến có thể diễn ra cơ chế tương tác mạnh


Phần mở đầu

3

(strong–coupling regime) giữa trường và nguyên tử [33, 89, 101]. Như chúng
ta đã biết ở kích thước cỡ nano mét, hiệu ứng trường định xứ gây ảnh hưởng
đáng kể lên tương tác trường-vật chất. Hiện nay vấn đề giảm kích thước thiết
bị có nhu cầu rất lớn, vì thế việc tính toán bổ chính trường định xứ trong cơ
chế tương tác mạnh trở nên thật sự cần thiết cả trong nghiên cứu lý thuyết
lẫn ứng dụng thực tế. Các nghiên cứu trước chỉ tập trung vào cơ chế tương
tác yếu, trong đó nguyên tử rã tự phát theo qui luật hàm e mũ. Chúng tôi sẽ
tập trung xem xét cơ chế tương tác mạnh, là cơ chế trong đó nguyên tử có khả
năng hấp thụ lại photon đã phát ra. Bằng cách sử dụng mô hình hốc thực,
chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của bổ chính trường định xứ lên cơ chế tương tác
mạnh của trường–nguyên tử. Ở đây chúng tôi xem xét ba loại gương: gương
phản xạ hoàn toàn, gương dạng khe dải lorentz, và dạng gương cầu Bragg, với
sự nhấn mạnh đặc biệt trên khả năng thực hiện bằng thực nghiệm. Cụ thể,
ảnh hưởng của trường định xứ lên phổ các vạch cộng hưởng, tần số dao động
Rabi, tốc độ rã tự phát, và điều kiện cho thấy sự xuất hiện của cơ chế tương
tác mạnh được nghiên cứu chi tiết.
Trong chương bốn chúng tôi khảo sát bài toán bức xạ tự phát của nguyên
tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn, sử dụng gần đúng khai triển Born ở
số hạng bậc nhất. Vấn đề bức xạ tự phát gần một khối trụ cũng đã được
nghiên cứu trước đây, nhưng các tác giả đều giả định khối trụ có chiều dài vô
hạn [11, 41, 45, 58, 77, 78]. Với xu hướng giảm kích thước của các thiết bị,
việc tính toán cho các điều kiện biên hữu hạn hay nói cách khác việc xem xét
các cấu trúc hình học hữu hạn trở nên thật sự cần thiết. Các phương pháp
dựa chủ yếu vào việc tính số như thuật toán miền thời gian sai phân hữu hạn
[100] có thể sử dụng cho một dạng hình học bất kỳ, nhưng thường đòi hỏi
nguồn tài nguyên tính toán rất lớn. Hiển nhiên là chúng ta mong muốn có
một phương pháp trực tiếp và đơn giản cho các cấu trúc phức tạp, ngay cả

khi đó là phương pháp gần đúng. Một phương pháp như vậy, tối thiểu có thể
cho chúng ta đánh giá định tính tác dụng của các biên. Ở đây chúng tôi quan
tâm đến hiệu ứng kích thước lên tốc độ rã của nguyên tử. Sử dụng khai triển
Born cho ten xơ Green, chúng tôi xem xét tốc độ rã tự phát của một nguyên
tử hai mức bị kích thích khi đặt gần khối trụ điện môi chiều cao hữu hạn. Tốc
độ rã tự phát của nguyên tử ở gần vùng biên cũng được chúng tôi thảo luận.
Phần cuối cùng là kết luận, hướng phát triển và các phụ lục.


Chương 1
Mô hình phát xạ
Mục lục
1.1. Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất .
1.2. Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên
1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích . .
1.3.1. Sự phụ thuộc vào thời gian của hệ trường-nguyên tử
1.3.2. Cường độ bức xạ tự phát . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .
4
kết vật chất
6
. . . . . . . .
9
. . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . 15

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan mô hình sẽ được sử dụng
để giải quyết những vấn đề được đặt ra trong luận án. Trước tiên chúng tôi
trình bày sơ đồ lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất có hấp thụ.

Kế tiếp là tương tác giữa điện tích và trường điện từ liên kết với vật chất.
Cuối cùng là quá trình rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích.
1.1.

Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất

Chúng ta xem xét một trường điện từ khi có sự hiện diện của chất điện
môi tán sắc và hấp thụ và không có nguồn nguyên tử phát xạ. Toán tử điện
ˆ
trường E(r)
được biểu diễn dưới dạng [35]
ˆ
ˆ (+) (r) + E
ˆ (−) (r),
E(r)
=E

(1.1)

ˆ (−) (r) = [E
ˆ (+) (r)]† ,
E

(1.2)

∞

ˆ (+) (r) =
E

ˆ , ω ),
dω E(r

(1.3)

0

ˆ . Các toán tử E
ˆ và B
ˆ thỏa các phương
và tương tự cho toán tử từ trường B
trình Maxwell
ˆ , ω ) = 0,
∇ · B(r

(1.4)

ˆ , ω ),
ˆ , ω ) = iω B(r
∇ × E(r

(1.6)

ˆ , ω ) = 0,
∇ · D(r

ˆ , ω ) = −iω D(r
ˆ , ω ),
∇ × H(r

(1.5)
(1.7)


5

1.1. Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất

với
ˆ , ω ) = ǫ0 E(r
ˆ , ω ) + P(r
ˆ , ω) ,
D(r

(1.8)

ˆ , ω ) − M(r
ˆ , ω ),
ˆ , ω ) = µ−1 B(r
H(r
0

(1.9)

ˆ , ω ) = ǫ0 [ǫ(r, ω ) − 1]E(r
ˆ , ω) + P
ˆ (r, ω ),
P(r
N
−1

−1
ˆ , ω) + M
ˆ (r, ω ),
ˆ , ω ) = µ [1 − µ (r, ω )]B(r
M(r

(1.10)

ˆ , ω ) và M(r
ˆ , ω ) là các toán tử phân cực và từ hóa
trong đó P(r

N

0

(1.11)

ˆ (r, ω ) là toán tử nhiễu phân cực hóa mô tả thất thoát của điện trường do
P
N
ˆ (r, ω ) là toán tử nhiễu từ hóa mô tả thất thoát của từ trường
hấp thụ và M
N

do hấp thụ. Thế các phương trình (1.6) và (1.8)–(1.11) vào (1.7) ta được
−1

∇×µ

ω2

ˆ , ω) −
ˆ , ω ) = iωµ0ˆj (r, ω ).
(r, ω )∇ × E(r
ǫ(r, ω )E(r
2
N
c

(1.12)

Hằng số điện môi ǫ(r, ω ) và hệ số từ thẩm µ(r, ω ) là các hàm của tần số và tọa
độ, phần thực ǫR , µR và phần ảo ǫI , µI thỏa các hệ thức Kramers-Kronig với
mọi r. Toán tử mật độ điện tích nhiễu ρˆN (r, ω ) và mật độ dòng nhiễu ˆjN (r, ω )
liên quan đến hấp thụ, liên hệ với nhau qua toán tử nhiễu phân cực như sau:
(1.13)

ˆ (r, ω ),
ρˆN (r, ω ) = −∇ · P
N

ˆj (r, ω ) = −i ω P
ˆ (r, ω ) + ∇ × M
ˆ (r, ω ).
N
N
N

(1.14)

ˆ (r, ω ) có thể biểu diễn qua các trường boson véc tơ ˆfe (r, ω )
Ở đây P
N
ˆ (r, ω ) = i
P
N

ǫ0
ǫI (r, ω ) ˆfe (r, ω ) ,
π

(1.15)

ˆ (r, ω ) qua trường boson véc tơ ˆfm (r, ω )
và tương tự M
N

µ−1
ˆ
− 0 µ−1
I (r, ω ) fm (r, ω ).
π
Các trường boson véc tơ này thỏa các hệ thức giao hoán
ˆ (r, ω ) =
M
N

fˆλi (r, ω ), fˆλ†′ j (r′ , ω ′) = δλλ′ δij δ (r − r′)δ (ω − ω ′ ),

fˆλi (r, ω ), fˆλ′ j (r′ , ω ′ ) = 0

(1.16)

(1.17)
(1.18)

với λ, λ′ = e, m. Từ các phương trình (1.14)–(1.16) ta có thể viết ˆjN theo các
trường boson như sau:
ˆj (r, ω ) = ω
N

ǫ0
ǫI (r, ω ) ˆfe (r, ω ) + ∇ ×
π

µ−1
ˆ
− 0 µ−1
I (r, ω ) fm (r, ω ) , (1.19)
π


1.2. Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật chất

6

và từ đó có thể viết nghiệm của phương trình (1.12) theo biểu thức
3 ′
′

′
d r G(r, r , ω ) ˆjN (r , ω ),

ˆ , ω ) = iωµ0
E(r

(1.20)

trong đó G(r, r′, ω ) là ten xơ Green cổ điển thỏa phương trình
ω2
∇ × µ (r, ω )∇ × − 2 ǫ(r, ω ) G(r, r′, ω ) = δ (r − r′ ) ,
c
−1

(1.21)

đồng thời thỏa các điều kiện biên ở vô hạn [δ (r ) là hàm delta dyadic].Ta cũng
ˆ theo biểu thức
ˆ qua E
có thể viết B
ˆ , ω ) = (iω )−1 ∇ × E(r
ˆ , ω ).
B(r

(1.22)

Theo cách này, cường độ điện trường và từ trường được biểu diễn qua các
trường boson ˆfλ và ˆfλ† . Các trường này đóng vai trò là các biến động lực cơ bản
của hệ (trường điện từ và môi trường bao gồm cả hệ tiêu tán). Hamiltonian
của hệ có dạng

ˆ =
H

∞

3

dr
0

λ=e,m

dω ω ˆfλ† (r, ω )ˆfλ (r, ω ).

(1.23)

Theo đó, trường điện từ liên kết với môi trường hoàn toàn có thể biểu diễn
qua các các toán tử ˆfλ (r, ω ) và ˆfλ† (r, ω ). Ví dụ như với toán tử điện trường
(trong bức tranh Schr¨odinger) ta có thể viết
∞

ˆ
E(r)
=

ˆ , ω ) + H.c.,
dω E(r

(1.24)

0

ˆ , ω ) cho bởi phương trình (1.20) và ˆj (r, ω ) cho bởi phương trình (1.19).
với E(r
N
Một cách tương tự, các trường khác cũng có thể biểu diễn theo ˆfλ (r, ω ) và
ˆf † (r, ω ) và chúng ta có thể chứng minh được rằng
λ

Eˆ i(r), Eˆ j (r′ ) = 0 = Bˆ i(r), Bˆ j (r′) ,

(1.25)

ǫ0 Eˆ i(r), Bˆ j (r′ ) = −i ǫijk ∂kr δ (r − r′),

(1.26)

với ǫjkl là ten xơ Levi-Civita.
1.2.

Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật
chất

Ở mục này, chúng ta xem xét tương tác của trường điện từ có mặt môi
trường với các điện tích điểm qα . Khi đó Hamiltonian (1.23) phải được bổ


1.2. Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật chất

7

sung thêm phần điện tích của các hạt và năng lượng tương tác của chúng với
trường điện từ. Trong chuẩn Coulomb, sử dụng phương trình (1.20) cùng với
các phương trình (1.1), (1.2) và (1.3), chúng ta cũng có thể biểu diễn thế vô
ˆ của trường điện từ theo các trường boson thông qua
hướng ϕˆ và thế véc tơ A
ˆ , ω ) như sau:
các thành phần dọc và ngang của E(r
(1.27)

ˆ (r, ω ) ,
− ∇ϕˆ (r, ω ) = E
∞

⊥

ˆ (r, ω ) + H.c. .
dω (iω )−1E

(1.28)

ˆ ⊥ (r, ω ) =
E

ˆ ′ , ω ),
d3 r′ δ ⊥ (r − r′ ) · E(r

(1.29)

ˆ (r, ω ) =

E

ˆ ′ , ω ).
d3 r′ δ (r − r′ ) · E(r

(1.30)

ˆ
A(r)
=
0

Ở đây

Sử dụng mô hình tương tác tối thiểu (minimal-coupling), chúng ta có thể viết
Hamiltonian toàn phần của hệ dưới dạng sau [47]:
ˆ =
H

∞

3

dr
0

λ=e,m

1

+
α

+

1
2

2mα

dω ω ˆfλ† (r, ω )ˆfλ (r, ω )

ˆ rα ) · p
ˆ rα )
ˆ α − qα A(ˆ
ˆ α − qα A(ˆ
p

d3 r ρˆA (r) ϕˆ A (r) +

d3r ρˆA (r) ϕˆ M (r),

(1.31)

với ˆrα là toán tử vị trí, và pˆ α là toán tử xung lượng chính tắc của hạt điện
tích thứ α có khối lượng mα . Trong phương trình (1.31) ϕˆ M là thế vô hướng
khi có sự hiện diện của vật chất vĩ mô và không có điện tích. Từ mục này
trở đi chúng tôi sẽ sử dụng chỉ số dưới M để chỉ các đại lượng của trường bao
gồm cả sự hiện diện của vật chất vĩ mô và không chứa điện tích. Hamiltonian
(1.31) chứa bốn số hạng; số hạng thứ nhất là năng lượng của trường điện từ

(bao gồm cả hệ tiêu tán) quan sát được khi không có mặt các hạt, số hạng
thứ hai là động năng của các hạt, và số hạng thứ ba là năng lượng tương tác
Coulomb của chúng. Ở đây thế ϕˆ A có thể được viết như sau
ρˆA (r′ )
,
(1.32)
ϕˆ A (r) =
dr′
4πǫ0 |r − r′ |


8

1.2. Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật chất

trong đó
ρˆA (r) =
α

(1.33)

qα δ (r − ˆrα )

là mật độ điện tích của các hạt. Số hạng cuối cùng là năng lượng Coulomb
của tương tác giữa các hạt với môi trường. Từ phương trình (1.31) chúng ta
suy ra được Hamiltonian tương tác như sau
ˆ
H
int = −

α

1
qα
ˆ rα ) A(ˆ
ˆ rα ) +
ˆ α − qα A(ˆ
p
mα
2

d3 rρˆA (r)ϕˆ M (r).

(1.34)

ˆ và thế vô
Lưu ý rằng trong các phương trình (1.31) và (1.34), thế véc tơ A
hướng ϕˆ M được biểu diễn qua các phương trình (1.20), (1.24) và (1.27)–(1.29).

Để kiểm tra tính đúng đắn của Hamiltonian (1.31), ta có thể chứng minh
rằng từ phương trình Heisenberg cùng với (1.31) ta có thể rút ra được các
phương trình Maxwell và Newton lượng tử [47]
ˆ
∇B(r)
= 0,

(1.35)

ˆ
∇D(r)

= ρˆA (r),

(1.36)

ˆ
ˆ˙
∇ × E(r)
+ B(r)
= 0,

(1.37)

ˆ
ˆ˙
∇ × H(r)
− D(r)
= ˆjA (r).

(1.38)

Ở đây
ˆjA (r) =

1
2

α

(1.39)

qα ˆr˙ α δ (r − ˆrα ) + δ (r − ˆrα ) ˆr˙ α ,

và
ˆr˙ α =

1

mα

(1.40)

ˆ rα ) ,
ˆ α − qα A(ˆ
p

ˆ rα ) +
mα ¨ˆrα = qα E(ˆ

1
2

ˆ rα − Bˆ
ˆ rα × ˆ
ˆ
r˙ α × Bˆ
rα

,

(1.41)

là các phương trình chuyển động Newton cho các hạt điện tích. Dấu "chấm"
biểu diễn đạo hàm theo thời gian.
Từ các phương trình (1.37) và (1.38), thành phần dọc của điện trường và
trường dịch (displacement field) lúc này bao gồm cả các thành phần dọc do


9

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

đóng góp của phân bố điện tích ρˆA (r), nghĩa là
ˆ
ˆ M (r) − ∇ϕ
ˆ A (r) =
E(r)
=E

∞

ˆ , ω ) + H.c. − ∇ϕ
ˆ A (r),
dω E(r

0

∞

ˆ
ˆ M (r) − ǫ0 ∇ϕ

ˆ A (r) =
D(r)
=D

0

ˆ , ω ) + H.c. − ǫ0 ∇ϕ
ˆ A (r),
dω D(r

(1.42)
(1.43)

ˆ , ω ) được xác định bởi phương trình (1.20) và
với E(r
ˆ , ω) + P
ˆ (r, ω )
ˆ , ω ) = ǫ0 ǫ(r, ω )E(r
D(r
N
2 −1

= (µ0 ω )

ˆ , ω ).
∇ × ∇ × E(r

(1.44)

Các phương trình Maxwell (1.35) và (1.36), được suy ra từ định nghĩa của

ˆ
ˆ
B(r)
và D(r)
theo các phương trình (1.43) và (1.44) trong đó
∞

ˆ , ω ) + H.c. ,
dω B(r

(1.45)

ˆ , ω ).
ˆ , ω ) = (iω )−1 ∇ × E(r
B(r

(1.46)

ˆ
B(r)
=
0

1.3.

Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

Phát xạ tự phát là một ví dụ thể hiện rõ tác động của trạng thái chân
không của trường điện từ lên các quá trình vật lý có thể đo được. Einstein
đã chỉ ra rằng, để thu được định luật bức xạ Planck, lý thuyết rã trạng thái

của nguyên tử nhất thiết phải bao gồm cả quá trình phát xạ tự phát [23]. Các
tính chất của hiện tượng bức xạ của một nguyên tử bị kích thích trong chân
không đã được nghiên cứu một cách rộng rãi và tốc độ rã tự phát của một
nguyên tử (hai mức) bị kích thích được cho bởi biểu thức
ωA′3 d2A
,
Γ0 =
3π ǫ0 c3

(1.47)

trong đó ωA′ = ωA − ∆ω là tần số chuyển mức đã bị dịch đi một lượng ∆ω, với
∆ω là dịch chuyển Lamb. dA là độ lớn của phần tử ma trận dA = l|dˆA |u = u|dˆA |l
của toán tử mô men lưỡng cực nguyên tử dˆ A giữa trạng thái trên |u và trạng
thái dưới |l và ωA là tần số chuyển mức nguyên tử tương ứng. Khi nguyên
tử được bao quanh bởi chất điện môi, mật độ trạng thái của trường điện từ
thay đổi và biểu thức của tốc độ rã phải được hiệu chỉnh [5, 7, 8, 27, 28, 29,
35, 43, 48, 60, 81, 91, 99, 104].


10

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

1.3.1.

Sự phụ thuộc vào thời gian của hệ trường-nguyên tử

Khi có hấp thụ, môi trường bao quanh nguyên tử có hệ số điện môi là
một đại lượng phức. Sử dụng mô hình tương tác tối thiểu, chúng ta có thể

viết Hamiltonian (1.31) của hệ bao gồm một nguyên tử và trường điện từ có
sự hiện diện của môi trường như sau [47]:
ˆ = H
ˆ + H
ˆ
ˆ
H
A
M + Hint .

(1.48)

Ở đây
ˆ 2α
p

ˆ =
H
A

2mα

α

+

1

ˆ A (r)
d3 r ρˆA (r) ϕ

(1.49)

dω ω ˆfλ† (r, ω ) ˆfλ (r, ω )

(1.50)

2

là Hamiltonian của nguyên tử,
ˆ
H

M

∞

3

dr

=

0

λ=e,m

là Hamiltonian của trường điện từ và chất điện môi, và
ˆ
H

int = −

α

qα
ˆ α) +
ˆ α A(r
p
mα

ˆ M (r)
d3 r ρˆA (r) ϕ

(1.51)

ˆ 2 . Trong gần
là năng lượng tương tác, trong đó chúng ta đã bỏ qua số hạng A
đúng lưỡng cực điện (electric-dipole), số hạng đầu tiên ở vế phải của phương
trình (1.51) có thể viết như sau:

−

α

qα
1
ˆ
ˆ A, H
ˆ
ˆ α) = −

ˆ α A(r
d
p
A A(rA ),
mα
i

(1.52)

với
ˆA =
d

(1.53)

qαˆrα
α

là toán tử mô men phân cực nguyên tử. Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến hệ
hai mức, Hamiltonian nguyên tử lúc này là
ˆ = ω |u u| + ω |l l| =
H
A
u
l

1
2

ωA σˆ z + const ,

(1.54)


11

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

trong đó σˆ z = |u u| − |l l|. Nếu sử dụng phép gần đúng sóng quay và các
phương trình
∞

ˆ
A(r)
=

(1.55)

ˆ , ω ) + H.c.,
dω A(r

0

ˆ , ω ) = (iω )−1 E
ˆ ⊥ (r, ω ),
A(r

(1.56)

chúng ta có thể đơn giản hơn nữa phương trình (1.52) và thu được

−

α

qα
ˆ α ) = −σ
ˆ ⊥(+)(rA )dA + H.c.,
ˆ †E
ˆ α A(r
p
M
mα

(1.57)

với dA thực và σˆ = |l u|, σˆ † = |u l|. Ở đây |l là trạng thái dưới với mức năng
lượng bằng không và |u là trạng thái trên với mức năng lượng ωA . Đối với
nguyên tử (hai mức) trung hòa đặt tại vị trí rA , sự phân cực nguyên tử được
xác định bởi phương trình
1

ˆ A (r) =
P

qα (ˆrα − rA )

α

0

dλ δ [r − rA − λ(ˆrα − rA )].

(1.58)

Trong gần đúng lưỡng cực điện ta có thể viết:
(1.59)

ˆ A (r) = d
ˆ A δ (r − rA ).
P

Tương tự ta có thể viết biểu thức
ˆ M (r) =
d3 r ρˆA (r) ϕ

=

1

ǫ0
1

ǫ0

ˆ (r)
ˆ (r) P
d3 r P
M
A

3 ˆ
ˆ
d rP
A (r) PM (r) −

1

ǫ0

3 ˆ⊥
ˆ⊥
d rP
A (r) PM (r)

(1.60)

dưới dạng sau
3
ˆA · E
ˆ (rA ),
ˆ M (r) = −d
d r ρˆA (r) ϕ
M

(1.61)

ˆ /ǫ0 . Vậy, đối với nguyên tử hai mức trong phép gần đúng sóng
ˆ = −P
với E
M

M
quay ta có
3
ˆ (+)(rA ) · dA + H.c..
ˆ M (r) = −σ
ˆ† E
d r ρˆA (r) ϕ
M

(1.62)


12

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

Mặt khác, từ các phương trình (1.57) và (1.62) ta thu được
(+)

(1.63)

ˆ
ˆ (rA ) · dA + H.c..
ˆ† E
H
int = −σ
M

Cuối cùng thế các phương trình (1.50),(1.54) và (1.63) vào biểu thức (1.48) ta
có thể viết lại Hamiltonian của hệ như sau:

ˆ =
H

∞

3

dr
0

λ=e,m

+

1

ωA σˆ z −

2

dω ω ˆfλ† (r, ω ) ˆfλ (r, ω )

(1.64)

ˆ (+) (rA ) · dA + H.c. .
σˆ † E

ˆ σ
ˆ † và σ
ˆ z là các toán tử Pauli của nguyên tử hai mức.

Ở đây σ,

Nếu ban đầu nguyên tử ở trạng thái kích thích (có mức năng lượng là ωA)
và trạng thái của trường là chân không, sử dụng phương trình Schr¨odinger
ˆ cho bởi biểu thức (1.64)
với H
d
ˆ (t) ,
i
|ψ (t) = H|ψ
(1.65)
dt
ta có thể khai triển véc tơ trạng thái của hệ tại thời điểm t như sau:
′

|ψ (t) =Cu(t) e−i(ωA )t |u |{0}
∞

3

dr

+

0

λ=e,m

dω Cλl (r, ω, t) e−iω t |l |{1λ (r, ω )} ,

(1.66)

trong đó ωA′ = ωA − ∆ω, |u và |l là các trạng thái nguyên tử ở mức trên và
mức dưới, |{0} là trạng thái chân không của trường điện từ, và |{1λ (r, ω )}
là trạng thái Fock đơn lượng tử 1λ (r, ω ) ≡ fλ† (r, ω )|{0} . Ta có thể chứng minh
được các biên độ xác suất Cu(t) và Cλl (t) tìm thấy nguyên tử ở trạng thái trên
và trạng thái dưới thỏa các phương trình vi phân
∞
1
ω
′
˙
Cu(t) = − iδωCu(t) − √
dω e−i(ω−ωA )t
c
πǫ0 0
×

+

3

d r dA

ω
c

ǫI (r, ω ) G(rA , r, ω )Cel(r, ω, t)

←

−
−µ−1
I (r, ω ) G(rA , r, ω ) × ∇r Cml (r, ω, t)

,

(1.67)


13

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

˙ el (r, ω, t) = √
C

ω2
c2

1

πǫ0

′

ǫI (r, ω ) ei(ω−ωA)t
(1.68)

× dA · G∗ (rA , r, ω ) Cu(t),
˙ ml (r, ω, t) = √

C

1

πǫ0

ω
c

′

i(ω−ωA )t
−µ−1
I (r, ω ) e

←
−
× dA · G∗ (rA , r, ω ) × ∇r Cu (t),

(1.69)

trong đó
←
−
G(rA , r, ω ) × ∇r

ij

(1.70)

= ǫjkl ∂ks Gil (rA , r, ω )

và ǫjkl là ten xơ Levi-Civita.
Từ các điều kiện ban đầu [Cλl (r, ω, 0) = 0, Cu(0) = 1], thế các kết quả tích
phân của (1.68) và (1.69) vào (1.67) và sử dụng hệ thức
ω2
ǫI (s, ω ) G(r, s, ω )G∗(s, rA , ω )
2
c

d3 s

Im G(r, rA , ω ) =

←
−
∗
− µ−1
I (s, ω ) G(r, s, ω ) × ∇s ∇s × G (s, rA , ω )

,

(1.71)

ta thu được phương trình vi tích phân
C˙ u(t) = −i∆ωCu(t) +

t
0

′

′

′

dt K (t − t )Cu (t ) ,

(1.72)

với hàm nhân
′

K (t − t ) = −

∞

1

πǫ0

0

ω2

′
−i(ω−ωA
)(t−t′ )

dω 2 e

c

dA · Im G(rA , rA, ω ) · dA .

(1.73)

Lấy tích phân theo thời gian cả hai vế của (1.72), suy ra được
t

Cu(t) =
0

dt′ K (t − t′ )Cu(t′ ) + 1 ,

(1.74)


14

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

[Cu(0) = 1], với
′

K (t − t ) =

∞

1

πǫ0

0

ω 2 dA · ImG(rA , rA, ω ) · dA −i(ω−ωA′ )(t−t′ )
dω 2
e
−1 .
c
i(ω − ωA′ )
(1.75)

Phương trình (1.74) là phương trình tích phân Volterra loại hai. Nếu bỏ qua
hấp thụ và hệ số điện môi được xem là thực không phụ thuộc tần số (có thể
thay đổi theo tọa độ không gian), từ hình thức luận của chúng ta thu lại được
kết quả của lý thuyết phân tích mode chuẩn (standard mode decomposition).
Sau khi sử dụng gần đúng Markov, trong phương trình (1.75), chúng ta
có thể đặt số hạng liên quan đến thời gian như sau:
′

′

e−i(ω−ωA)(t−t ) − 1
−→ ζ (ωA′ − ω ),
′
i( ωA − ω )

(1.76)

ζ (x) = πδ (x) + iP/x ,

(1.77)

với P biểu thị trị chính và δ (x) là hàm delta Dirac, thế (1.77) vào (1.75) ta
được
1

K (t − t′ ) = − Γ + i∆ω.
2

(1.78)

Ở đây
Γ =

′2
2 ωA

ǫ0

c2

′
dA · Im G(rA .rA, ωA
) · dA ,

(1.79)

và
∆ω =

1

πǫ0

P

∞
0

ω 2 dA · Im G(rA , rA , ω ) · dA
dω 2
′ )
c
( ω − ωA

(1.80)

là đóng góp của dịch chuyển Lamb.
Thế biểu thức của hàm nhân (1.78) vào phương trình (1.74), ta được
Cu(t) = exp

1

− Γ + i∆ω t .
2

(1.81)

Có thể dễ dàng thu lại được biểu thức này nếu trong biểu thức tích phân

trong phương trình (1.72), theo gần đúng Markov ta thay Cu(t′ ) bởi Cu(t) và
tích phân được lấy gần đúng bằng ζ (ωA′ − ω ).


15

1.3. Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

Trong trường hợp tổng quát, không thể áp dụng gần đúng Markov cho
toàn bộ hàm Green. Khi đó ta giả sử rằng: nguyên tử được đặt trong một
vùng chân không nhỏ sao cho ten xơ Green tại vị trí của nguyên tử là
(1.82)

G(rA , rA , ω ) = GV (rA , rA , ω ) + GR (rA , rA , ω ).
Ở đây GV là ten xơ Green trong chân không, với
ω
Im GV (rA , rA , ω ) =
I,
6πc

(1.83)

và GR mô tả tác dụng phản xạ (tại bề mặt không liên tục) của môi trường bao
quanh. Ta có thể áp dụng gần đúng Markov cho phần đóng góp của GV vào
K. Sử dụng các phương trình từ (1.78) đến (1.80) chúng ta thu được tốc độ
rã trong chân không (1.47) và một đóng góp phân kỳ của dịch chuyển Lamb
chân không. Ta sẽ coi như đóng góp này đã được bao hàm trong tần số chuyển
mức của nguyên tử ωA′ . Khi đó, phương trình (1.75) có dạng
′

∞

1

1

2

πǫ0

K (t − t ) = − Γ0 +

×

0

ω2
dω 2
c

dA · ImGR (rA , rA , ω ) · dA

i(ω − ωA′ )

′

′

e−i(ω−ωA)(t−t ) − 1 . (1.84)

Phương trình tích phân (1.74) cùng với nhân (1.84) có thể xem là các phương
trình cơ bản để nghiên cứu sự phụ thuộc của rã tự phát của nguyên tử bị kích
thích trong cấu trúc bất kỳ của chất điện môi tán sắc và hấp thụ.
1.3.2.

Cường độ bức xạ tự phát

Cường độ trường được ghi nhận bởi một đầu dò photon đặt tại tọa độ
không thời gian (r, t) được cho bởi biểu thức [35]
ˆ (−) (r) · E
ˆ (+) (r)|ψ (t) .
I (r, t) ≡ ψ (t)|E

(1.85)

Để thu được mô hình phát xạ liên kết với sự rã tự phát của nguyên tử bị kích
thích khi có mặt của chất điện-từ môi tán sắc và hấp thụ, chúng ta liên hệ
các phương trình (1.1), (1.2), (1.3), (1.20) và |ψ (t) như trong phương trình
(1.66), sau một số phép biến đổi đại số [phụ lục A] và sử dụng tính chất (1.71)