bài giảng kinh tế lượng căn bản

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

PHỤ LỤC
A
XEM LẠI MỘT SỐ
KHÁI NIỆM THỐNG KÊ

Phần phụ lục này giới thiệu sơ lược một số khái niệm thống kê gặp phải trong các
chương. Các phân tích và thảo luận không mang tính chặt chẽ và không được chứng
minh bởi vì một vài cuốn sách tuyệt vời về thống kê thực hiện công việc này rất tốt.
Một số cuốn sách này được liệt kê trong phần cuối của phụ lục.

A.1 TOÁN TỬ TỔNG VÀ TÍCH
Ký tự hoa Hy Lạp ∑ (sigma) được sử dụng để biểu thò tổng. Vậy,
n

∑x
i =1

i

= x1 + x 2 + ... + x n

Một số tính chất quan trọng của toán tử tổng ∑ gồm có:
1.
2.
3.

∑
∑
∑

n
i =1
n
i =1
n

i =1

k = nk , với k là hằng số. Vậy,

∑

4
i =1

3 = 4 ⋅ 3 = 12 .

kx i = k ∑ i =1 x i , với k là hằng số.
n

(a + bx i ) = na + b∑i =1 x i , với a và b là các hằng số và được suy từ tính chất 1
n

và 2 ở trên.
4.

∑

n
i =1

(x i + y i ) = ∑ i =1 x i + ∑ i =1 y i .
n

n

Toán tử tổng cũng có thể được mở rộng cho tổng bội. Vậy, ∑ ∑, toán tử tổng kép, được
đònh nghóa như sau:

Damodar N. Gujarati

1

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

n

m

∑∑x
i =1 j =1

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

n

= ∑ (x í1 + x i 2 + ...+ x im )

ij

i =1

= (x11 + x21 + ... + xn1) + (x12 + x22 + ... + xn2)
+ ... + ((x1m + x2m + ... + xnm)

Một số tính chất của ∑ ∑ gồm có:
1.

∑ ∑
n

m

i =1

j =1

x ij = ∑ j =1 ∑i =1 x ij ; tức là, thứ tự mà trong đó tổng kép được thực hiện có
m

n

thể hoán đổi lẫn nhau.
2.

∑ ∑

3.

∑ ∑

4.

[∑ x ]

x y j = ∑i =1 xi ∑ j =1 y j .
n

n

m

i =1

j =1 i

n

m

i =1

j =1

n

i =1

i

m

( x ij + yij ) = ∑ j =1 ∑i =1 x ij + ∑ j =1 ∑i =1 yij .
m

2

n

m

n

= ∑i =1 x i2 + 2∑i =1 ∑ j = i +1 x i x j = ∑i =1 x i2 + 2∑i < j x i x j .
n

n −1

n

n

Toán tử tích ∏ được đònh nghóa như sau:
n

∏x
i =1

= x1 ⋅ x 2 ⋅ ⋅ ⋅ x n

i

Vậy,
3

∏x
i =1

i

= x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3

A.2 KHÔNG GIAN MẪU, ĐIỂM MẪU VÀ BIẾN CỐ
Tập hợp tất cả các kết quả có khả năng xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên hay tình
cờ được gọi là tổng thể hay không gian mẫu, và từng phần tử của không gian mẫu này
được gọi là điểm mẫu. Vậy, trong phép thử tung hai đồng xu, không gian mẫu bao
gồm 4 kết quả có khả năng xảy ra như sau: HH, HT, TH và TT, với HH là hai lần tung
đều sấp, HT có nghóa là lần thứ nhất sấp và lần thứ hai ngửa, và v.v... Mỗi trường hợp ở
trên là một điểm mẫu.
Một biến cố là tập con của không gian mẫu. Vậy, nếu gọi A là trường hợp 1

đồng sấp và 1 đồng ngửa thì trong số các kết quả có thể xảy ra ở trên, chỉ có hai kết
quả thuộc A, cụ thể là HT và TH. Trong trường hợp này, A tạo thành một tập con.
Tương tự, việc xảy ra hai lần sấp khi tung hai đồng xu là một biến cố. Các biến cố
được gọi là xung khắc nếu việc xảy ra biến cố này loại trừ khả năng xảy ra biến cố

Damodar N. Gujarati

2

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

kia. Nếu trong ví dụ trên, HH xảy ra thì biến cố HT không thể cùng đồng thời xảy ra.
Các biến cố được gọi là các biến cố đầy đủ nếu chúng đại diện cho toàn bộ các kết
quả có thể xảy ra của một phép thử. Vậy, trong ví dụ trên, các biến cố (a) hai sấp, (b)
hai ngửa và (c) một sấp, một ngửa đại diện cho toàn bộ các kết quả; có nghóa là chúng
là các biến cố đầy đủ.

A.3 XÁC SUẤT VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Xác suất
Gọi A là một biến cố trong một không gian mẫu. P(A), xác suất của biến cố A,
là tỷ lệ số lần biến cố A sẽ xảy ra trong các lần lặp lại của một phép thử. Nói một cách
khác, trong tổng số n kết quả đồng khả năng của một phép thử, nếu m trong số đó
thuận lợi cho việc xảy ra biến cố A, ta đònh nghóa tỷ lệ m/n là tần suất tương đối của

A. Với các giá trò lớn của n, tần suất tương đối này sẽ cho ta một con số gần đúng tốt
cho xác suất của A.
Các tính chất của xác suất. P(A) là hàm giá trò thực1 và có các tính chất sau:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi A.
2. Nếu A, B, C,... tạo thành một tập hợp đầy đủ của các biến cố thì P(A + B + C + ...) =
1, với A + B + C nghóa là A hoặc B hoặc C, và v.v...
3. Nếu A, B, C,... là các biến cố xung khắc, thì
P(A + B + C + ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...
Ví dụ 1. Xem xét phép thử tung một con súc sắc với các mặt đánh số từ 1 đến 6. Không
gian mẫu gồm các kết quả 1, 2, 3, 4, 5 và 6. Do vậy, sáu biến cố này chiếm toàn bộ không
gian mẫu. Xác suất của bất cứ một trong các số này xuất hiện là 1/6 do có sáu kết quả
đồng khả năng và bất cứ một trong số chúng có cơ hội xuất hiện bằng nhau. Do 1, 2, 3, 4, 5
và 6 tạo thành một tập hợp đầy đủ các biến cố, P(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 với 1, 2, 3, ...
có nghóa là xác suất xuất hiện số 1 hay số 2 hay số 3, v.v... Và do 1, 2, ..., 6 là các biến cố
xung khắc, tức là hai số không thể cùng xảy ra, , P(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = P(1) + P(2) + ...
+ P(6) = 1

Các biến ngẫu nhiên
Một biến mà giá trò của nó được xác đònh bởi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên
được gọi là biến ngẫu nhiên (random varibale - rv). Các biến ngẫu nhiên thường được

1

Một hàm số có miền và khoảng giá trò la øcác tập con của các số thực thường được gọi là hàm giá trò
thực. Về chi tiết, xem Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics (Các phương
pháp toán kinh tế căn bản), Xuất bản lần bậc 3, Mc Graw-Hill, 1984, Chương 2.

Damodar N. Gujarati

3

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

biểu thò bởi các ký tự hoa X, Y, Z, v.v..., và các giá trò mà chúng nhận được biểu thò bởi
các ký tự thường x, y, z, v.v...
Một biến ngẫu nhiên có thể rời rạc hay liên tục. Một biến ngẫu nhiên rời rạc
chỉ nhận một số các giá trò có giới hạn (hay vô hạn đếm được).2 Ví dụ, trong việc tung
hai con súc sắc, mỗi con đánh số từ 1 đến 6, nếu ta đònh nghóa biến ngẫu nhiên X là
tổng các số xuất hiện trên mặt của con súc sắc, thì X sẽ nhận một trong các giá trò: 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 hay 12. Như vậy, nó là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Mặt khác,
một biến ngẫu nhiên liên tục là biến có thể nhận mọi giá trò trong một khoảng các giá
trò. Vậy, chiều cao của một người là một biến liên tục − trong khoảng, ví dụ, 60 đến 65
in, nó có thể nhận bất cứ giá trò nào, phụ thuộc vào độ chính xác của phép đo.

A.4 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT (PDF)
Hàm mật độ xác suất của một biến rời rạc
Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trò riêng rẽ x1, x2, ..., xn, ... Vậy, hàm số
f(x) = P(X = xi)
= 0

với i = 1, 2, ..., n,...
với x ≠ xi

được gọi là hàm mật độ xác suất rời rạc (PDF) của X, với P(X = xi) là xác suất mà
biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trò xi.
Ví dụ 2. Trong việc tung hai con súc sắc, biến ngẫu nhiên X, tổng của các số xuất hiện
trên mặt hai con súc sắc, có thể nhận một trong 11 giá trò. PDF của biến này có thể được
biểu diễn như sau (xem cả Hình A.1):
x

=

f(x) =

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 1  2  3  4  5  6  5  4  3  2  1
                     
 36   36   36   36   36   36   36   36   36   36   36 

Các xác suất này có thể được dễ dàng chứng minh. Trong tất cả 36 kết quả có thể xảy ra,
trong đó một thuận lợi cho số 2, hai thuận lợi cho số 3 (do tổng 3 có thể xảy ra hoặc 1 ở
con súc sắc đầu tiên và 2 ở con súc sắc thứ hai hay 2 ở con súc sắc đầu tiên và 1 ở con súc
sắc thứ hai) và v.v...

2

Đối với thảo luận đơn giản về khái niệm tập hợp vô hạn đếm được, xem R. G. D. Allen, Basic
Mathematics (Toán học cơ bản), Macmillan, London, 1964, trang 104.

Damodar N. Gujarati

4

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

f(x)
6
36
5
36
4
36

3
36
2
36
1
36

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

HÌNH A.1
Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc trong Ví dụ 2.

Hàm xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
Gọi X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Vậy, f(x) được gọi là PDF của X nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
f(x) ≥ 0

∫

∞

−∞

f ( x )dx = 1

∫ f (x )dx = P (a ≤ x ≤ b)
b

a

với f(x)dx được gọi là phần tử xác suất (xác suất gắn với một khoảng nhỏ của một biến
liên tục) và với P(a ≤ x ≤ b) là xác suất X nằm trong khoảng a đến b. Về hình học, ta có
Hình A.2.
Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, trái với biến ngẫu nhiên rời rạc, xác suất
X nhận một giá trò cụ thể bằng 0;3 xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục chỉ tính
được trong một khoảng, như (a, b) trong Hình A.2.

Ví dụ 3. Xem xét hàm mật độ sau:
f(x) =

3

Lưu ý:

1 2
x;
9

0≤x≤3

a

∫ f (x)dx = 0
a

Damodar N. Gujarati

5

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Ta có thể chứng minh ngay rằng f(x) ≥ 0 với mọi x trong khoảng 0 tới 3 và

∫

3

0

1 2
x dx = 1 .
9

1 33
(Lưu ý: tích phân là (
x |0 ) = 1). Nếu muốn đánh giá PDF ở trên trong khoảng, ví dụ, 0
27
11
1
1
và 1, ta có
x 2 dx = ( x 3 |10 ) =
; tức là, xác suất x nằm giữa 0 và 1 là 1/27.
0 9
27
27

∫

0

a

b

HÌNH A.2
Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Hàm đồng mật độ xác suất
Đồng PDF rời rạc. Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm số
f(x, y) = P(X = x và Y = y)
= 0 khi X ≠ x và Y ≠ y
được gọi là hàm đồng mật độ xác suất và cho ta (đồng) xác suất X nhận giá trò x và Y
nhận giá trò y.
Ví dụ 4. Bảng sau cho ta đồng PDF của các biến rời rạc X và Y

Y

3
6

−2
0,27
0

X
0
0,08
0,04

2
0,16
0,10

3
0
0,35

Bảng này cho ta biết xác suất X nhận giá trò −2 trong khi Y đồng thời nhận giá trò 3 là 0,27
và xác suất X nhận giá trò 3 trong khi Y nhận giá trò 6 là 0,35.

Hàm mật độ xác suất biên tế
Trong quan hệ với f(x, y), f(x) và f(y) được gọi là các hàm mật độ xác suất riêng rẽ hay
biên tế. Các PDF biên tế này được thiết lập như sau:

Damodar N. Gujarati

6

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

f(x) =

∑ f (x , y )

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng

căn bản – Phụ lục A

PDF biên tế của X

y

f(y) =

∑ f (x , y )

PDF biên tế của Y

x

với, ví dụ, ∑y là tổng tính theo tất cả các giá trò của Y và ∑x là tổng tính theo tất cả các
giá trò của X.
Ví dụ 5. Xem xét số liệu trong Ví dụ 4. PDF biên tế của X được tính như sau:
f(x = −2) =

∑ f (x , y ) = 0,27 + 0 = 0,27
y

f(x = 0)

=

∑ f (x , y ) = 0,08 + 0,04 = 0,12
y

f(x = 2)

=

∑ f (x , y ) = 0,16 + 0,10 = 0,26
y

f(x = 3)

=

∑ f (x , y ) = 0 + 0,35 = 0,35
y

Cũng như thế, PDF biên tế của Y được tính như sau:
f(y = 3)

=

f(y = 6)

=

∑ f (x , y ) = 0,27 + 0,08 + 0,16 + 0 = 0,51
x

∑ f (x , y ) = 0 + 0,04 + 0,10 + 0,35 = 0,49
x

Như ví dụ này cho thấy, để tính PDF biên tế của X ta cộng các số theo cột dọc và để tính
PDF biên tế của Y ta công các số theo hàng ngang. Lưu ý rằng ∑xf(x) của tất cả các giá trò

X là 1 và ∑yf(y) của tất cả các giá trò Y cũng vậy. (Tại sao?)

PDF có điều kiện. Như đã lưu ý ở Chương 2, trong phân tính hồi quy ta thường quan
tâm tới việc nghiên cứu hành vi của một biến theo các giá trò của (các) biến khác. Điều
này có thể thực hiện bằng cách xem xét PDF có điều kiện.
Hàm số
f(x | y) = P(X = x | Y = y)
được gọi là PDF có điều kiện của X; nó cho ta xác suất X nhận giá trò x với điều kiện
là Y có giá trò y. Tương tự,
f(y | x) = P(Y = y |X = x)
cho ta PDF có điều kiện của Y.
PDF có điều kiện có thể tính như sau:

Damodar N. Gujarati

7

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

f ( x, y )
f ( y)
f ( x, y )
f ( y x) =

f ( x)

PDF có điều kiện của X

f ( x y) =

PDF có điều kiện của Y.

Như biểu thức trên cho thấy, PDF có điều kiện của một biến có thể được biểu diễn
bằng tỷ số giữa đồng PDF và PDF biên tế của một biến khác.
Ví dụ 6. Tiếp tục với Ví dụ 4 và 5, hãy tính các xác suất có điều kiện sau:

f ( X = − 2 Y = 3) =

f ( X = −2, Y = 3)
= 0,27 / 51 = 0.53
f (Y = 3)

Lưu ý rằng xác suất không có điều kiện f(X = −2) là 0,27, nhưng nếu Y đã nhận giá trò 3,
xác suất X nhận giá trò −2 là 0,53.

f ( X = 2 Y = 6) =

f ( X = 2, Y = 6 )
= 0,10 / 0,49 = 0.20
f (Y = 6)

Cũng lưu ý rằng xác suất không có điều kiện X nhận giá trò 2 là 0,26, khác với 0,20 là xác
suất X nhận giá trò 2 khi Y đã nhận giá trò 6.

Độc lập về thống kê

Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập về mặt thống kê khi và chỉ khi
f(x, y) = f(x)f(y)

tức là, nếu đồng PDF có thể được biểu diễn bằng tích của các PDF biên tế.
Ví dụ 7. Một túi chứa 3 quả cầu đánh số 1, 2 và 3. Hai quả cầu được lấy ra từ túi một cách
ngẫu nhiên, có thay thế. (nghóa là quả cầu thứ nhất lấy ra được đưa trở lại vào túi trước
khi lấy lần thứ hai). Gọi X là chữ số quả cầu thứ nhất được lấy ra và Y là chữ số quả cầu
thứ hai được lấy ra. Bảng sau cho ta đồng PDF của X và Y.

1
Y

2
3

Damodar N. Gujarati

1

X
2

3

1
9
1
9

1
9

1
9
1
9
1
9

1
9
1
9
1
9

8

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

Bây giờ, f(X = 1, Y = 1) =

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

1
1
, f(X = 1) =
(tính bằng cách cộng cột thứ nhất) và f(Y = 1) =
9
3

1
(tính bằng cách cộng hàng thứ nhất). Do f(X, Y) = f(X)f(Y) trong ví dụ này, ta có thể nói
3
rằng hai biến độc lập về mặt thống kê. Ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng đối với mọi tổ
hợp khác của các giá trò X và Y trong bảng trên, đồng PDF có thể được tính bằng tích của
các PDF riêng rẽ.

Ta có thấy rằng các biến X và Y được cho trong ví dụ 4 là không độc lập về thống kê bởi
vì tích của hai PDF riêng rẽ không bằng với đồng PDF (lưu ý: f(X,Y)=f(X)f(Y) phải đúng
với tất cả các tổ hợp của X và Y nếu hai biến này độc lập về thống kê.

Đồng PDF liên tục. PDF f(x, y) của hai biến liên tục X và Y:
f(x, y) ≥ 0
∞

∞

∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)dxdy = 1
d b

∫c ∫a f ( x, y)dxdy = P(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d )
Ví dụ 8. Xem xét PDF sau:
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1

f(x, y) = 2 − x − y
Rõ ràng rằng f(x, y) ≥ 0. Hơn nữa4

∫0 ∫0 (2 − x − y )dxdy = 1
1 1

PDF biên tế của X và Y có thể được tính như sau:
∞

f ( x) =

∫−∞ f ( x, y)dy

f ( y) =

∫−∞ f ( x, y)dx

∞

PDF biên tế của X
PDF biên tế của Y

Ví dụ 9. Hai PDF biên tế của đồng PDF trong Ví dụ 8 được tính như sau:

4

1
1


2
2
 
3
1 
1 3
x
y







 (2 − x − y )dx  dy = 0  2 x − 2 − xy   dy = 0  2 − y dy =  2 y − 2  = 1
0 0






0
0 

1 1

∫ ∫

∫

∫

3
Lưu ý: Biểu thức ( y − y 2 / 2) |10 có nghóa là biểu thức trong ngoặc được tính tại giá trò giới hạn trên
2
(bằng 1) và giá trò giới hạn dưới (bằng 0); giá trò trước trừ đi giá trò sau cho ta giá trò tích phân. Vậy,
3 1
trong ví dụ trên, các giới hạn là  −  tại y = 1 và tại y = 0, từ đó cho ta giá trò của tích phân là 1.
2 2

Damodar N. Gujarati

9

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

f(x)

=

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

1

1

∫0 f ( x, y)dy = ∫0 (2 − x − y)dy
1



 2 y − xy − y  = 3 − x

2 
2

0
f(y)

=

1

0≤x≤1

1

∫0 f ( x, y)dx = ∫0 (2 − x − y)dx
1

2

 2 y − xy − x  = 3 − y


2 
2

0

0≤y≤1

Để xem xét xem hai biến trong Ví dụ 8 có độc lập về thống kê hay không, ta cần phải tìm
3
 3

xem f(x, y) có bằng f(x)f(y) không. Do (2 − x − y) ≠  − x  − y  , ta có thể nói rằng hai
2
 2

biến không độc lập về thống kê.

A.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Một phân phối xác suất thường có thể được tóm tắt bằng một vài đặc điểm của nó, gọi
là các mômen của phân phối. Hai trong số các mômen được sử dụng rộng rãi nhất là
giá trò trung bình hay giá trò kỳ vọng và phương sai.
Giá trò kỳ vọng

Giá trò kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu bởi E(X), được đònh nghóa
như sau:
E ( X ) = ∑ xf ( x)
x

với ∑x là tổng tính theo tất cả các giá trò của X và với f(x) là PDF (rời rạc) của X.

Ví dụ 10. Xem xét phân phối xác suất của tổng hai số trong phép thử tung hai con súc sắc
ở Ví dụ 2. (Xem Hình A.1). Nhân các giá trò khác nhau của X thu được với các xác suất
của chúng và cộng theo tất cả các quan sát, ta có:

E ( X ) = 2(
=7

2
3
1
1
) + 3( ) + 4( ) + ... + 12( )
36
36
36
36

Kết quả trên là giá trò trung bình của tổng các số quan sát khi tung hai con súc sắc.

Ví dụ 11. Ước lượng E(X) và E(Y) từ số liệu trong Ví dụ 4. Ta đã thấy rằng
x
f(x)

Damodar N. Gujarati

−2
0.27

0
0,12

2
0,26

10

3
0,35

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Do vậy,
E(X) =

∑ xf ( x)
x

= (−2)(0,27) + (0)(0,12) + (2)(0,26) + (3)(0,35)
= 1,03
Tương tự,
y
f(y)
E(Y) =

3
0,51

6
0,49

∑ yf ( y)
y

= (3)(0,51) + (6)(0,49)
= 4,47
Giá trò kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục được đònh nghóa là:

E( X ) =

∞

∫−∞ xf ( x)dx

Sự khác biệt duy nhất giữa trường hợp này và giá trò kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời
rạc là ta thay thế ký hiệu tổng bằng ký hiệu tích phân.

Ví dụ 12. Hãy tìm giá trò kỳ vọng của PDF liên tục trong Ví dụ 3.
E(X) =

 x2 
x dx
0  9 
 

∫

3

1  x 4 
=


9  4 

3

0

9
4
= 2,25

=

Các tính chất của giá trò kỳ vọng
1. Giá trò kỳ vọng của một hằng số là chính hằng số đó. Vậy, nếu b là một hằng số thì
E(b) = b.
2. Nếu a và b là hằng số,
E(aX + b) = aE(X) + b

Biểu thức này có thể được tổng quát hóa. Nếu X1, X2, ..., XN là N biến ngẫu nhiên và
a1, a2, ..., aN và b là hằng số, thì

Damodar N. Gujarati

11

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

E(a1X1 + a2X2 + ... + aNXN + b) = a1E(X1) + a2E(X2) + ... + aNE(XN) + b
3. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì
E(XY) = E(X)E(Y)

Tức là, kỳ vọng của tích XY bằng tích của các kỳ vọng (riêng rẽ) của X và Y.
4. Nếu X là một biến ngẫu nhiên với PDF f(x) và nếu g(X) là một hàm bất kỳ của X, thì
E[g(X)] =

=

∑ g ( X ) f ( x)

nếu X rời rạc

x
∞

∫−∞ g ( X ) f ( x)dx

nếu X liên tục

Vậy, nếu g(X) = X2,
E (X 2) =

∑ x2 f ( X )

nếu X rời rạc

x

=

∞

∫−∞ x

2

nếu X liên tục

f ( X )dx

Ví dụ 13. Xem xét PDF sau:
x

−2

1

2

f(x)

5
8

1
8

2
8

Ta có:
5
8

1
8

2
8

E(X) = −2( ) + 1( ) + 2( )
= −

5
8

và
E(X2) = 4( ) + 1( ) + 4( )
5
8

=

1
8

2
8

29
8

Phương sai

Gọi X là một biến ngẫu nhiên và đặt E(X) = µ. Phân phối, hay sự phân tán, của các giá
trò X xung quanh giá trò kỳ vọng có thể được tính bằng phương sai với đònh nghóa như
sau:
var(X) = σ X2 = E(X − µ)2

Damodar N. Gujarati

12

Hào Thi/X. Thành

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Căn bậc hai dương của σ X2 , σX, được đònh nghóa là độ lệch chuẩn của X. Phương sai
hay độ lệch chuẩn cho biết các giá trò của biến X phân phối gần hay xa giá trò trung
bình của nó.
Phương sai đònh nghóa ở trên được tính như sau
var(X) =
=

∑ (X − µ)
x
∞

∫

−∞

2

nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc

f (x )

( X − µ ) 2 f (x )dx nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

Để thuận tiện cho tính toán, công thức phương sai ở trên cũng có thể được biểu diễn
như sau:
var(X) = σ X2 = E(X − µ)2
= E(X2) − µ2
= E(X2) − [E(X)]2
Áp dụng công thức này, ta có thể thấy rằng phương sai của biến ngẫu nhiên trong Ví
dụ 13 là

29 
− −
8 

2

5
207
= 3,23 .
 =
8
64

Ví dụ 14. Hãy tìm phương sai của biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 3.
var(X) = E(X2) − [E(X)]

2

Bây giờ
E(X2) =
=

∫

3

0

 x2 
x 2   dx
 9

x4 
  dx
0  9 

∫

3

3

1 x5 
=
 
9  5 0
= 243/45
= 27/5
do E(X) =

9
(xem Ví dụ 12), sau cùng ta có

4
9
4

var(X) = 243/45 − ( )2
= 243/720 = 0,34

Damodar N. Gujarati

13

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Các tính chất của phương sai
1. E(X − µ)2 = E(X2) − µ2, như đã trình bày ở trên.
2. Phương sai của một hằng số bằng 0.
3. Nếu a và b là hằng số thì

var(aX + b) = a2var(X)
4. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

var(X + Y) = var(X) + var(Y)
var(X − Y) = var(X) + var(Y)

Các biểu thức trên có thể được tổng quát hóa cho nhiều hơn hai biến.
5. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, a và b là hằng số, thì

var(aX + bY) = a2var(X) + b2var(Y)
Hiệp phương sai

Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên với giá trò trung bình tương ứng là µx và µy. Hiệp
phương sai giữa hai biến được đònh nghóa là
cov(X, Y) = E{(X − µx)(Y − µy)} = E(XY) − µxµy
Ta có thể thấy ngay rằng phương sai của một biến là hiệp phương sai của biến đó với
chính nó.
Hiệp phương sai được tính như sau:
cov(X, Y) =

∑ ∑ (X − µ
y

=

x

)(Y − µ y ) f (x , y )

x

∑ ∑ XYf ( x, y) − µ
y

x

µy

x

nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, và
cov(X, Y) =
=

∞

∫ ∫
∫ ∫

∞

−∞ −∞
∞
∞

−∞ −∞

( X − µ x )(Y − µ y ) f ( x , y ) dxdy
XYf ( x , y ) dxdy − µ x µ y

nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục.

Damodar N. Gujarati

14

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Các tính chất của hiệp phương sai
1. Nếu X và Y độc lập, hiệp phương sai của chúng bằng 0, bởi vì

cov(X, Y) = E(XY) − µxµy
= µxµy − µxµy
= 0
2.

do E(XY) = E(Y)E(Y) = µxµy khi X và Y độc lập

cov(a + bX, c + dY) = bdcov(X, Y)
với a, b, c và d là các hằng số.
Ví dụ 15. Hãy tìm hiệp phương sai giữa các biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y với đồng PDF
được trình bày trong Ví dụ 4. Từ Ví dụ 11, ta đã biết rằng µx = E(X) = 1,03 và µy = E(Y)

= 4,47.

E(XY) =

∑ ∑ XYf (x, y )
y

x

= (−2)(3)(0,27) + (0)(3)(0,08) + (2)(3)(0,16) + (3)(3)(0)
+ (−2)(6)(0) + (0)(6)(0,04) + (2)(6)(0,10) + (3)(6)(0,35)
= 6,84
Do vậy,
cov(X, Y) = E(XY) − µxµy

= 6,84 − (1,03)(4,47)
= 2,24

Hệ số tương quan

Hệ số tương quan (tổng thể) ρ (rô) được đònh nghóa là:

ρ=

cov( X , Y )
{var( X ) var(Y )

=

cov( X , Y )

σ xσ y

Với đònh nghóa này, ρ là đại lượng đo lường mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến và
nằm giữa −1 và +1, − biểu thò quan hệ nghòch biến hoàn hảo và +1 biểu thò quan hệ
đồng biến hoàn hảo.

Từ công thức ở trên, ta có thể thấy rằng
cov(X, Y) = ρσxσy

Damodar N. Gujarati

15

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Ví dụ 16. Ước lượng hệ số tương quan cho số liệu trong Ví dụ 4.
Từ các PDF trong Ví dụ 11, ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng σx = 2,05 và σy = 1,50. Ta đã
tính được rằng cov(X, Y) = = 2,24. Do vậy, áp dụng công thức ở trên, ta ước lượng ρ

bằng 2,24/[(2,05)(1,50)] = 0,73.
Phương sai của các biến tương quan. Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Ta có

var(X + Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X, Y)
= var(X) + var(Y) + 2ρσxσy
var(X − Y) = var(X) + var(Y) − 2cov(X, Y)
= var(X) + var(Y) − 2ρσxσy
Tuy nhiên, nếu X và Y độc lập, cov(X, Y) bằng 0. Trong trường hợp này, var(X + Y) và
var(X − Y) cùng bằng var(X) + var(Y) như đã trình bày ở phần trên.

∑

Các kết quả ở trên có thể được tổng quát hóa như sau. Gọi
n
i =1

X i = X 1 + X 2 + ...+ X n , thì phương sai của tổ hợp tuyến tính ∑Xi là
 n 
var ∑ x i  =
 i =i 

=

n

∑ var X
i=i

i

n

∑ var X
i=i

i

+ 2∑∑cov(Xi, Xj)
i

+ 2∑∑ρijσiσj
i
với ρij là hệ số tương quan giữa Xi và Xj, và với σi và σj là các độ lệch chuẩn của Xi và
Xj.
Vậy,
var(X1 + X2 + X3) = var X1 + var X2 + var X3 + 2cov(X1, X2)
+ 2cov(X1, X3) + 2cov(X2, X3)
= var X1 + var X2 + var X3 + 2ρ12σ1σ2
+ 2ρ13σ1σ3 +2ρ23σ2σ3
với σ1, σ2 và σ3 tương ứng là các độ lệch chuẩn của X1, X2 và X3, và với ρ12 là hệ số
tương quan giữa X1 và X2, ρ13 là hệ số tương quan giữa X1 và X3 và ρ23 là hệ số tương
quan giữa X2 và X3.
Kỳ vọng có điều kiện và phương sai có điều kiện

Gọi f(x, y) là đồng PDF của các biến ngẫu nhiên X và Y. Kỳ vọng có điều kiện của X,
với điều kiện Y = y, được đònh nghóa như sau:

Damodar N. Gujarati

16

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

E(X  Y = y) =

=

∑ xf (x
x
∞

∫

−∞

nếu X rời rạc

Y = y)

nếu X liên tục

xf (x Y = y )dx

với E(X Y = y) có nghóa là kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = y và f(x Y =
y) là PDF có điều kiện của X. Kỳ vọng có điều kiện của Y, E(Y X = x), được đònh
nghóa tương tự.
Kỳ vọng có điều kiện. Lưu ý rằng E(X Y) là biến ngẫu nhiên bởi vì nó là hàm số của
biến điều kiện Y. Tuy nhiên, E(X Y = y), với y là giá trò cụ thể của Y, là một hằng số.
Phương sai có điều kiện. Phương sai có điều kiện của X với điều kiện Y = y được đònh
nghóa là

var(X Y = y) = E{[X − E(X Y = y)]2 Y = y}

=
=

∑[ X − E(X

Y = y )] f (x Y = y )

nếu X rời rạc

Y = y )] f (x Y=y )dx

nếu X liên tục

x
∞

∫ [ X − E(X
−∞

2

2

Ví dụ 17. Tính E(X Y = 2) và var(X Y = 2) cho số liệu trong Ví dụ 4.
E(X Y = 2) =

∑ yf (Y = y | X=2 )
y

= 3f(Y = 3 X = 2) + 6f(Y = 6 X = 2)

= 3(0,16/0,26) + 6(0,10/0,26)
= 4,15
Lưu ý: f(Y = 3 X = 2) = f(Y = 3, X = 2)/f(X = 2) = 0,16/0,26, và f(Y = 6 X = 2) = 6f(Y =
6, X = 2)/ f(X = 2) = 0,10/0,26. Vậy,
var(Y X = 2) =

∑ [Y − E (Y | X = 2)]

2

f (Y | X = 2 )

y

= (3 − 4,15)2(0,16/0,26) + (6 − 4,15)2(0,10/0,26)
= 2,23

Các mômen bậc cao hơn của phân phối xác suất

Mặc dù giá trò trung bình, phương sai và hiệp phương sai là những thước đo tổng hợp
cho PDF đơn và đa biến được sử dụng nhiều nhất, đôi khi ta cần phải xem xét các
mômen bậc cao hơn của PDF, như mômen bậc ba và bậc bốn. Các mômen bậc ba và
bậc bốn của PDF đơn biến f(x) xung quanh giá trò trung bình (µ) được đònh nghóa như
sau:

Damodar N. Gujarati

17

Hào Thi/X. Thành

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Mômen bậc ba: E(X − µ)3
Mômen bậc bốn: E(X − µ)4
Tổng quát, mômen bậc r xung quanh giá trò trung bình được đònh nghóa như sau:
Mômen bậc r: E(X − µ)r
Các mômen bậc ba và bậc bốn của một phân phối thường được sử dụng để
nghiên cứu “hình dạng” của một phân phối xác suất, đặc biệt là skewness, S ( nghóa là
bất cân xứng) và kurtosis (nghóa là nhọn hay phẳng), như mô tả trong Hình A.3.

Lệch về bên phải

Cân xứng
Lệch về bên trái

HÌNH A.3
(a) Skewness; (b) kurtosis.

Một đại lượng skewness được đònh nghóa như sau:

Damodar N. Gujarati

18

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

[E ( X − µ ) ]
S=
[E ( X − µ ) ]

3 2
2 3

=

Bình phương của mômen bậc ba xung quanh giá trò trung bình
Lập phương của mômen bậc hai xung quanh giá trò trung bình

Lưu ý: Mômen bậc hai xung quanh giá trò trung bình đơn giản là phương sai.

Một đại lượng kurtosis thường được sử dụng là:

K=

=

E ( X − µ )4

[ E ( X − µ ) 2 ]2

Mômen bậc bốn xung quanh giá trò trung bình
Bình phương của mômen bậc hai

Các PDF với giá trò của K nhỏ hơn 3 được gọi là platykurtic (mập hay đuôi ngắn) và
các PDF với giá trò K lớn hơn được gọi là leptokurtic (ốm hay đuôi dài). Xem Hình
A.3. Một PDF với giá trò kurtosis bằng 3 được gọi là mesokurtic. Phân phối chuẩn là
một ví dụ điển hình. (Xem thảo luận về phân phối chuẩn trong Mục A.6).
Chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn làm thế nào các đại lượng skewness và
kurtosis có thể được kết hợp để xác đònh xem một biến ngẫu nhiên có tuân theo phân
phối chuẩn hay không. Nhớ lại rằng thủ tục kiểm đònh giả thiết của chúng ta, như kiểm
đònh t và F, được dựa vào giả thiết (ít nhất là đối với các mẫu nhỏ hay có giới hạn) là
phân phối của biến đang xem xét (hay thống kê mẫu) tuân theo quy luật chuẩn. Do
vậy, trong các ứng dụng cụ thể, việc tìm xem giả thiết này có được thỏa mãn không là
điều rất quan trọng.

A.6 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG
Trong các chương, những phân phối sau đây được sử dụng một cách rộng rãi.
Phân phối chuẩn

Nổi tiếng nhất trong số tất cả các phân phối xác suất là phân phối chuẩn. Dạng hình
chuông của phân phối này khá quen thuộc với những ai có chút ít kiến thức về thống
kê.
Một biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn nếu PDF của nó
có dạng sau:

Damodar N. Gujarati

19

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

f(x) =

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

 1 (x − µ ) 2 

exp −
 2 σ2 
σ 2π
1

−∞ < x < ∞

với µ và σ2, gọi là các thông số của phân phối, tương ứng là giá trò trung bình và
phương sai của phân phối. Sau đây là các tính chất của phân phối chuẩn:
1. Phân phối chuẩn đối xứng qua giá trò trung bình của nó.
2. Khoảng 68% diện tích phía dưới đường cong chuẩn nằm giữa giá trò µ ± σ, khoảng
95% diện tích phía dưới đường cong chuẩn nằm giữa giá trò µ ± 2σ, và khoảng
99,7% diện tích phía dưới đường cong chuẩn nằm giữa giá trò µ ± 3σ, như minh họa
trong Hình A.4.

68% (gần đúng)

95% (gần đúng)
99,7% (gần đúng)

HÌNH A.4
Các diện tích dưới đường cong chuẩn.

3. Phân phối chuẩn phụ thuộc vào hai thông số µ và σ2. Vậy, khi các thông số này
được xác đònh, ta có thể tìm xác suất X nằm trong khoảng nhất đònh bằng cách sử
dụng PDF của phân phối chuẩn. Nhưng nhiệm vụ này có thể được giảm bớt đáng
kể bằng cách tham chiếu Bảng D.1 của Phụ lục D. Để sử dụng bảng này, ta chuyển
biến có phân phối chuẩn X với giá trò trung bình µ và phương sai σ2 thành biến
chuẩn hóa Z bằng phép biến đổi sau:
Z=

x−µ

σ

Một tính chất quan trọng của mọi biến chuẩn hóa là giá trò trung bình của nó
bằng 0 và phương sai bằng 1 đơn vò. Vậy, Z có giá trò trung bình bằng không và phương
sai đơn vò. Thay thế z vào PDF chuẩn ở trên, ta có:

Damodar N. Gujarati

20

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

f(Z) =

 1 
exp − Z 2 
 2 
2π

1

f(Z) là PDF của biến chuẩn hóa. Các xác suất trong Phụ lục D, Bảng D.1 được
dựa vào biến chuẩn hóa này.

Theo quy ước, ta ký hiệu biến có phân phối chuẩn là
X ~ N(µ, σ2)

với ~ có nghóa là “có phân phối”, N đại diện cho phân phối chuẩn và các con số
trong ngoặc là hai thông số của phân phối chuẩn, cụ thể là giá trò trung bình và phương
sai. Theo quy ước này,
X ~ N(0, 1)

nghóa là X là biến có phân phối chuẩn với giá trò trung bình bằng không và phương sai
đơn vò. Nói một cách khác, nó là biến chuẩn hóa Z.
Ví dụ 18. Giả sử X ~ N(8, 4). Xác suất X nhận giá trò nằm giữa X1 = 4 và X2 = 12 bằng bao
nhiêu? Để tính xác suất yêu cầu, ta tính các giá trò Z sau:

X1 − µ

4−8
= −2
2
X − µ 12 − 8
Z2 = 2
=
= +2
σ
2
Z1 =

σ

=

Bây giờ từ Bảng D.1, ta quan sát thấy Pr(0 ≤ Z ≤ 2) = 0,4772. Vậy, bằng cách tính đối xứng, ta
có Pr(−2 ≤ Z ≤ 0) = 0,4772. Do đó, xác suất cần tính là 0,4772 + 0,4772 = 0,9544. (Xem
Hình A.4).

Ví dụ 19. Xác suất X lớn hơn 12 trong ví dụ trên bằng bao nhiêu?
Xác suất X lớn hơn 12 giống như trường hợp lớn hơn 2. Từ Bảng D.1, rõ ràng là xác suất
này bằng (0,5 − 0,4772) hay 0,0228.

4. Đặt X1 ~ N(µ1, σ 12 ) và X2 ~ N(µ2, σ 22 ) và giả thiết rằng chúng độc lập. Bây giờ, ta
xem xét kết hợp tuyến tính
Y = aX1 + bX2

với a và b là hằng số. Ta có thể chỉ ra rằng

Y ~ N[(aµ1 + bµ2), (a2 σ 12 + b2 σ 22 )]

Damodar N. Gujarati

21

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Kết quả này, trong đó phát biểu rằng bản thân kết hợp tuyến tính của các biến có phân
phối chuẩn cũng có phân phối chuẩn, có thể được dễ dàng tổng quát hóa cho kết
hợp tuyến tính của nhiều hơn hai biến có phân phối chuẩn.
5. Đònh lý giới hạn trung tâm. Đặt X1, X2, ..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, tất cả
có cùng PDF với giá trò trung bình = µ và phương sai = σ2. Đặt X = ∑Xi/n (nghóa là
trung bình mẫu). Vậy, khi n tăng lên vô hạn (nghóa là n → ∞),

 σ2
X ~ N µ, 
n→∞
n 

Tức là, X tiến dần tới phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai σ2/n. Lưu ý
rằng kết quả này đúng với mọi dạng của PDF. Từ kết quả này, ta có

z=

X −µ

σ/ n

=

n(X − µ)

σ

~ N (0, 1)

Tức là, Z là biến chuẩn hóa.
6. Sau đây là các mômen bậc ba và bậc bốn của phân phối chuẩn xung quanh giá trò
trung bình:

Mômen bậc ba: E(X − µ)3 = 0
Mômen bậc bốn: E(X − µ)4 = 3σ4
Lưu ý: Tất cả các mômen lũy thừa lẻ xung quanh giá trò trung bình của một biến có
phân phối chuẩn đều bằng 0.
7. Với kết quả ở trên và theo công thức tính skewness và kurtosis thảo luận trước đây,
đối với một PDF chuẩn, skewness = 0 và kurtosis = 3; tức là, một phân phối chuẩn
đối với xứng và mesokurtic. Do vậy, một kiểm đònh đơn giản về quy luật chuẩn là
tìm xem các giá trò tính được của skewness và kurtosis có khác các con số theo quy
tắc là 0 và 3 hay không. Đó chính là lôgíc đằng sau kiểm đònh quy luật chuẩn
Jarque-Bera (JB) thảo luận trong phần các chương:
 S 2 (K − 3) 2 
JB = n

+

24 
 6

(5.13.2)

với S là skewness và K là kurtosis. Theo giả thiết không của quy luật chuẩn, JB có
phân phối như một thống kê Chi-bình phương với 2 bậc tự do.

Damodar N. Gujarati

22

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

Phân phối χ2 (Chi bình phương)

Gọi Z1, Z2, ..., Zk là các biến chuẩn hóa độc lập (nghóa là các biến chuẩn với trung bình
bằng 0 và phương sai đơn vò). Thì biến
k

Z = ∑ Z i2

i =1

được coi là có phân phối χ2 với k bậc tự do (df), với số hạng df có nghóa là số các biến
độc lập trong tổng trên. Một biến có phân phối Chi-bình phương được ký hiệu là χ k2 ,
với ký tự con k biểu thò số bậc tự do. Về hình học, phân phối Chi-bình phương có dạng
như trong Hình A.5.
Sau đây là các tính chất của phân phối χ2:
1. Như Hình A.5 biểu thò, phân phối χ2 là phân phối lệch, mức độ lệch (skewness) phụ
thuộc vào số bậc tự do. Với số bậc tự do tương đối ít, phân phối bò lệch khá mạnh
về bên phải; nhưng khi số số bậc tự do tăng lên, phân phối ngày càng trở nên cân
xứng. Trên thực tế, khi số bậc tự do lớn hơn 100, biến

2 χ 2 − (2k − 1)
có thể được coi là biến chuẩn hóa, với k là số bậc tự do.
2. Giá trò trung bình của phân phối Chi-bình phương là k và phương sai của nó bằng
2k, với k là số bậc tự do.
3. Nếu Z1 và Z2 là hai biến Chi-bình phương độc lập với k1 và k2 bậc tự do, thì tổng Z1
+ Z2 cũng là biến Chi-bình phương với số bậc tự do = k1 + k2.
Ví dụ 20. Xác suất nhận một giá trò χ2 bằng 40 hay lớn hơn với số bậc tự do bằng 20 là
bao nhiêu?
Như Bảng D.4 cho thấy, xác suất nhận một giá trò χ2 bằng 39,9968 (20 bậc tự do) là
0,005. Do vậy, xác suất nhận một giá trò χ2 bằng 40 nhỏ hơn 0,005, một xác suất khá nhỏ .

Damodar N. Gujarati

23

Hào Thi/X. Thành

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

f(χ2)

χ2

0

HÌNH A.5
Hàm mật độ của biến χ2.

Phân phối Student t

Nếu Z1 là một biến chuẩn hóa [tức là, Z1 ~ N(0, 1)] và một biến nữa Z2 tuân theo phân
phối Chi-bình phương với k bậc tự do và được phân phối độc lập với Z1, thì biến đó
được đònh nghóa là:
t =

=

Z1
(Z 2 / k )
Z1 k
Z2

sẽ tuân theo phân phối Student t với k bậc tự do. Một biến có phân phối t thường được

ký hiệu là tk, với ký tự con k biểu thò số bậc tự do. Về mặt hình học, phân phối t được
biểu diễn trong Hình A.6.
Sau đây là các tính chất của phân phối Student t:
1. Như hình A.6 cho thấy, phân phối t, giống như phân phối chuẩn, đối xứng, nhưng
thấp hơn phân phối chuẩn. Nhưng khi số bậc tự do tăng lên, phân phối t gần đúng
với phân phối chuẩn.

Damodar N. Gujarati

24

Hào Thi/X. Thành


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Kinh tế lượng
căn bản – Phụ lục A

2. Giá trò trung bình của phân phối chuẩn bằng 0 và phương sai của nó bằng
2).

k/(k −

Phân phối t được lập bảng trong Bảng D.2.
Ví dụ 21. Với số bậc tự do = 13, xác suất nhận một giá trò t (a) khoảng bằng 3 hay lớn hơn,
(b) bằng khoảng −3 hay nhỏ hơn và (c) nhận giá trò |t| khoảng bằng 3 hay lớn hơn, với |t|
nghóa là giá trò tuyệt đối (nghóa là bỏ qua dấu) của t bằng bao nhiêu?
Từ Bảng D.2, các câu trả lời là (a) khoảng 0,005, (b) khoảng 0,005 bởi vì tính đối xứng

của phân phối t, và (c) khoảng 0,01 = 2(0,005).
(chuẩn)

HÌNH A.6
Phân phối t của Student đối với các bậc tự do lựa chọn.

Phân phối F

Nếu Z1 và Z2 là các biến có phân phối Chi-bình phương độc lập với k1 và k2 bậc tự do
tương ứng, thì biến
F=

Z1 / k1
Z2 / k2

tuân theo phân phối F (của Fisher) với k1 và k2 bậc tự do. Một biến có phân phối F
được ký hiệu là Fk1 ,k 2 , với các ký tự con biểu thò bậc tự do gắn với hai biến Z, k1 gọi là
số bậc tự do tử và k2 gọi là số bậc tự do mẫu. Về mặt hình học, phân phối F dược trình
bày trong Hình A.7.

f(F)

Damodar N. Gujarati

25

Hào Thi/X. Thành