RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG CHO HỌC SINH LỚP 10 TRưỜNG THPT THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
------

NGUYỄN THỊ THÚY

RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG
CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƢỜNG THPT THÔNG QUA
HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Chuyên ngành:
Mã số:

Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Phƣơng Chi

HÀ NỘI, NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phƣơng pháp dạy học bộ
môn Toán, các thầy cô giáo Khoa Toán Tin trƣờng ĐHSP Hà Nội, Phòng sau đại học,
Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội đã giảng dạy
, tạo điều kiện và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học Thạc sỹ
K23, chuyên ngành Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán tại trƣờng ĐHSP
Hà Nội.

Đặc biệt tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn
Phƣơng Chi, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi hết sức tận tình , chu đáo, cô đã chỉ
bảo, giúp đỡ, động viên và đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá
trình nghiên cƣ́u và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội , các thầy cô giáo
trong tổ Toán và các em HS của trƣờng THPT Yên Lãng – Mê Linh – Hà Nội đã
tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong thời gian thƣ̣c nghiệm sƣ phạm.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đì nh , bạn bè đã luôn là chỗ
dựa tinh thần vững chắc , động viên , giúp đỡ tôi vƣợt qua mọi khó khăn để hoàn
thành đề tài nghiên cứu của mình.
Hà Nội, tháng 9 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy


CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

CHỮ VIẾT TẮT

CHỮ VIẾT ĐẦY ĐỦ

THPT

Trung học phổ thông

NXB

Nhà xuất bản

ĐTTS

Đề thi tuyển sinh

SGK

Sách giáo khoa

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

BĐT

Bất đẳng thức

CMR

Chứng minh rằng

VT

Vế trái

VP

Vế phải

ĐPCM

Điều phải chứng minh

GTLN

Gía trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

PHT

Phiếu học tập


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1
1.

Lí do chọn đề tài ........................................................................................................ 1

2.

Lịch sử nghiên cứu .................................................................................................... 1

3.

Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................................ 2

4.

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 2

5.

Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 3
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận .................................................................................... 3
Phƣơng pháp điều tra - quan sát ..................................................................................... 3
Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ............................................................................... 3

6.

Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 3

7.

Cấu trúc luận văn ....................................................................................................... 4

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................................................. 5
1.

Tổng quan về hoạt động trí tuệ ................................................................................ 5
1.1. Tƣ duy và những vấn đề liên quan....................................................................... 5
1.2. Các hoạt động trí tuệ chung cuả học sinh trong học tập nói chung và trong môn
Toán nói riêng. .......................................................................................................... 8
1.3. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung giữ một vai tròquan trọng trong việc phát

triển trí tuệ nói chung và phát triển tƣ duymôn Toán nói riêng cho học sinh THPT, đặc
biệt là nội dung BĐT. .............................................................................................. 15

2. Tầm quan trọng của BĐT nói chung và BĐT Côsi nóiriêng trong chƣơng trình
THPT .......................................................................................................................... 16
2.1. BĐT có mặt ở hầu hết các chủ đề của toán sơ cấp ............................................. 17
2.2. Bài tập về BĐT chứa đựng tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ cho HS ........... 18
2.3. BĐT là một nội dung quan trọng trong các kì thi HS giỏi, đại học và
cao đẳng. ............................................................................................................... 22
3. Nội dung BĐT trong chƣơng trình lớp 10 THPT ...................................................... 23
CHƢƠNG II.................................................................................................................... 28
HỆ THỐNGBÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ TIỀM NĂNG ........................ 28
PHÁT TRIỂN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG CHO HỌC SINH THÔNG QUA
CÁC BÀI TẬP NÀY ....................................................................................................... 28
1. Dạng tổng quát và dạng đặc biệt của BĐT Côsi ....................................................... 28
1.1. Dạng tổng quát.................................................................................................. 28
1.2. Dạng đặc biệt .................................................................................................... 28
2. Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng cho BĐT Côsi ........................................................ 29
2.1. Kĩ thuật sử dụng BĐT Côsi cơ bản .................................................................... 29


2.2. Kĩ thuật thêm bớt hằng số ................................................................................. 37
2.3. Kĩ thuật đổi biến số ( hay kĩ thuật đặt ẩn phụ ) .................................................. 40
2.4. Kĩ thuật kiểm tra dấu bằng ................................................................................ 44
CHƢƠNG III .................................................................................................................. 52
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH .................................................. 52
CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG THÔNG QUA HỆ THỐNG .............................. 52
BÀI TẬP ĐÃ ĐƢỢC XÂY DỰNG ................................................................................. 52
1. Cách đặt câu hỏi của giáo viên để giúp học sinh rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung
trong quá trình tìm lời giải ........................................................................................... 52

2. Rèn luyện tƣơng tự hóa cho HS thông qua việc cho HS giải nhiều bài toán tƣơng tự 56
3. Rèn luyện hoạt động trừu tƣợng hóa, khái quát hóa cho HS thông qua việc yêu cầu HS
khai thác lời giải bài toán và tìm ra đặc điểm chung (bản chất) của các bài toán cụ thể. 59
4. Giáo viên tăng cƣờng sử dụng phiếu học tập và hoạt động nhóm giúp học sinh rèn
luyện các hoạt động trí tuệ chung ................................................................................. 63
CHƢƠNG IV .................................................................................................................. 67
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM........................................................................................... 67
1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 67
1.1.Mục đích thực nghiệm ....................................................................................... 67
1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ...................................................................................... 67
2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ................................................................................. 67
3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 69
3.1. Nội dung .......................................................................................................... 69
3.2. Giáo án thực nghiệm ......................................................................................... 70
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm.................................................................... 82
4.1. Đánh giá định tính............................................................................................. 82
4.2. Đánh giá định lƣợng ......................................................................................... 83
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN ..................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 87

PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán về BĐT trải dài ở hầu hết các cấp học.
Ngay từ lớp 1, HS đã đƣợc làm quen với BĐT thông qua các bài toán nhƣ : so sánh 2
số, điền dấu >,< vào ô trống. Đến lớp 9 , HS đã đƣợc tiếp cận với các bài toán về BĐT
nhƣng ở cấp độ cao hơn. Và bƣớc vào lớp 10, việc dạy học BĐT đã đƣợc đƣa vào SGK
(chƣơng III- Đại số 10). Tuy nhiên theo phân phối chƣơng trình của lớp 10, nội dung

BĐT chỉ đƣợc dạy trong 2 tiết với hệ thống bài tập tƣơng đối ít, chƣa đa dạng và chƣa
thực sự chú trọng tới việc rèn luyện các năng lực trí tuệ cho HS.
BĐT nói chung, BĐT Côsinói riêng là một nội dung quan trọng trong các kì thi: đại
học, cao đẳng, HS giỏi quốc gia và quốc tế nên đƣợc rất nhiều ngƣời quan tâm. Có
thể nói đây là nội dung gây cho HS không ít khó khăn ngay cả những HS khá giỏi.
Các bài toán BĐT thƣờng rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức,
kỹ năng, vận dụng hợp lí, biến đổi linh hoạt, đôi khi đòi hỏi cả sự sáng tạo. BĐT
xuất hiện trong nhiều bộ phận khác nhau của toán phổ thông nhƣ trong việc giải
quyết các bài toán về phƣơng trình, bất phƣơng trình, tìm GTLN, GTNN của biểu
thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lƣợng giác…Có thể nói BĐT là một
trong những mảng kiến thức hay và khó nhƣng lại chứa nhiều tiềm năng rèn luyện
các hoạt động trí tuệ cho HS. Do đó BĐT nói chung, BĐT Côsinói riêng sẽ là công
cụ hữu hiệu trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung nhƣ : phân tích, tổng
hơp, so sánh, tƣơng tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa…
Xuất phát từ những lí do trên, để góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả
dạy học nội dung BĐT Côsi cho HS lớp 10 trƣờng THPT, tôi quyết định chọn đề tài
“ Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh lớp 10 trường THPT thông
qua hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi ”
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có rất nhiều tác giả, luận án tiến sĩ, luận văn thạc sĩ nghiên cứu về BĐT, hệ
thống bài tập về BĐT, các kĩ thuật chứng minh BĐT, ứng dụng của BĐT trong các

1


chủ đề của toán sơ cấp… và việc sử dụng BĐT hỗ trợ trong quá trình dạy toán ở
THPT, nhằm phát triển tƣ duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho HS nhƣ :
 Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam, BĐT và ứng dụng, NXB Giáo dục Việt
Nam 2009
 Trần Phƣơng, Các phương pháp và kĩ thuật chứng minh BĐT, NXB TP Hồ

Chí Minh 1997
 Đỗ Văn Tuyên, Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông
qua dạy học các bài toán về BĐT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Sƣ
phạm Hà Nội
 Trần Thị Huế (2013 ), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT trong
dạy học BĐT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Sƣ phạm Hà Nội
 Nguyễn Chí Hiếu ( 2012 ), Vận dụng BĐT Côsi và phương pháp chứng
minh BĐT Côsi rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi ở trường THPT,
Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Giáo dục
 Ngô Thị Chung (2012 ), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT
thông qua dạy học giải bài toán về BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki, Luận văn thạc
sĩ khoa học giáo dục, Đại học Giáo dục
…
Tuy nhiên, tôi muốn nhấn mạnh hơn nữa về vấn đề rèn luyện tƣ duy cho HS
thông qua hệ thống bài tập về BĐT, đặc biệt là về BĐT Côsi.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Quá trình dạy và học nội dung BĐT Côsi ở lớp 10 trƣờng THPT.
4. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
 Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống các bài tập về BĐT Côsi đồng thời đề xuất một số biện
pháp nhằm rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho HS lớp 10 trƣờng THPT.

2


 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận và xác định một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ
của HS trong giảng dạy môn toán ở trƣờng THPT.
- Xây dựng hệ thống các bài tập về BĐT Côsi.
- Trên cơ sở lí luận và một số biện pháp đã đƣợc xác định, đề xuất phƣơng án

rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán về BĐT Côsi.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của những
biện pháp đề ra.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán có liên
quan đến tƣ duy, các hoạt động trí tuệ chung…
- Nghiên cứu các tài liệu sách, báo, tạp chí, văn kiện nhằm xác định phƣơng
hƣớng đổi mới giáo dục phổ thông.
- Nghiên cứu các công trình khoa học đã công bố, các luận án, luận văn,… về
tƣ duy sáng tạo.
- Nghiên cứu nội dung BĐT trong chƣơng trình Toán THPT
Phƣơng pháp điều tra - quan sát
+Tìm hiểu việc dạy và học nội dung BĐT Côsi ở lớp 10 trƣờng THPT
thực nghiệm.
+Điều tra, thu thập ý kiến của các GV và HS về tính hiệu quả của các biện
pháp đã đƣợc xây dựng.
Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Tiến hành dự giờ và dạy học một số tiết ở trƣờng THPT thực nghiệm để kiểm
tra, đánh giá giờ học qua bài soạn.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc hệ thống bài tập về BĐT Côsi kết hợp với vận dụng hợp lí
các biện pháp nhằm phát triển các hoạt động trí tuệ chung cho HS lớp 10 trƣờng THPT

3


sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng, hiệu quả dạy học, HS sẽ hứng thú hơn với việc học
và thích thú tìm hiểu, sáng tạo các bài toán về BĐT nói chung, BĐT Côsi nói riêng.
7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Hệ thống bài tập về BĐT Côsi và tiềm năng phát triển các hoạt
động trí tuệ chung cho học sinh thông qua các bài tập này
Chƣơng 3: Một số biện pháp rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ
chung thông qua hệ thống bài tập đã đƣợc xây dựng
Chƣơng 4: Thực nghiệm sƣ phạm

4


CHƢƠNG I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ
1.1. Tư duy và những vấn đề liên quan
1.1.1. Khái niệm về tƣ duy
Theo từ điển Bách khoa toàn thƣ Việt Nam, tập 4: “Tƣ duy là sản phẩm cao
nhất của vật chất đƣợc tổ chức một cách đặc biệt – Bộ não ngƣời. Tƣ duy phản ánh
tích cực hiện thực khách quan dƣới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý
luận,.v.v..”
Theo quan điểm tâm lý học, tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tƣợng
khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết. [14]
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy
Theo [14], [16], tƣ duy có các đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính có vấn đề:
Không phải hoàn cảnh nào cũng gây đƣợc tƣ duy của con ngƣời. Muốn kích
thích đƣợc tƣ duy phải đồng thời có hai điều kiện sau đây:
 Trƣớc hết phải gặp (hoàn cảnh) tình huống có vấn đề, tức hoàn cảnh (tình
huống) có chứa đựng một mục đích mới, một vấn đề mới, một cách thức giải quyết

mới mà những phƣơng tiện, phƣơng pháp hoạt động cũ, mặc dầu vẫn còn cần thiết,
nhƣng không còn đủ sức để giải quyết vấn đề mới đó, để đạt đƣợc mục đích mới đó.
Muốn giải quyết vấn đề mới đó, đạt đƣợc mục đích mới đó phải tìm ra cách giải
quyết mới, tức là phải tƣ duy.
 Thứ hai, hoàn cảnh có vấn đề đó phải đƣợc cá nhân nhận thức đầy đủ, đƣợc
chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân phải xác định đƣợc cái gì (dữ
kiện) đã biết, đã cho và cái gì còn chƣa biết, phải tìm đồng thời phải có nhu cầu
(động cơ) tìm kiếm nó. Những dữ kiện quen thuộc hoặc nằm ngoài tầm hiểu biết

5


của cá nhân thì tƣ duy cũng không xuất hiện.
- Tính trừu tượng và khái quát
Tƣ duy phản ánh cái bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hợp thành một
nhóm, một loại, một phạm trù (khái quát), đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó
những cái cụ thể, cá biệt. Nói cách khác, tƣ duy đồng thời mang tính chất trừu
tƣợng và khái quát. Thí dụ, khi tƣ duy phân biệt “cái bảng”với những cái khác là
muốn nói tới cái bảng nói chung, bao gồm mọi cái bảng chứ không chỉ một cái bảng
riêng biệt nào.
Nhờ có tính trừu tƣợng và khái quát, tƣ duy không chỉ giải quyết những nhiệm
vụ hiện tại, mà còn cả những nhiệm vụ mai sau của con ngƣời. Nhờ có tính khái
quát, tƣ duy trong khi giải quyết một nhiệm vụ cụ thể vẫn đƣợc xếp vào một phạm
trù, một nhóm, vẫn nêu thành quy tắc, phƣơng pháp cần sử dụng trong những
trƣờng hợp tƣơng tự.
- Tính gián tiếp
Tƣ duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tƣợng và quy luật giữa chúng
nhờ sử dụng công cụ, phƣơng tiện (nhƣ đồng hồ, nhiệt kế, máy móc…) và các kết
quả nhận thức (nhƣ quy tắc, công thức, quy luật, các phát minh…) của loài ngƣời và
kinh nghiệm của mỗi cá nhân. Tính gián tiếp của tƣ duy còn thể hiện ở chỗ nó đƣợc

biểu hiện trong ngôn ngữ. Con ngƣời luôn dùng ngôn ngữ để tƣ duy. Nhờ đặc điểm
gián tiếp này mà tƣ duy đã mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của
con ngƣời.
- Tư duy của con người có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Tƣ duy trừu tƣợng, gián tiếp, khái quát không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ,
nó phải dùng ngôn ngữ làm phƣơng tiện cho mình. Nếu không có ngôn ngữ thì bản
than quá trình tƣ duy không diễn ra đƣợc, đồng thời các sản phẩm của tƣ duy cũng
không đƣợc chủ thể và ngƣời khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của
tƣ duy và nhờ đó làm khách quan hóa chúng cho ngƣời khác và cho cả bản thân chủ
thể tƣ duy. Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là tƣ duy mà ngôn ngữ chỉ là phƣơng

6


tiện của tƣ duy.
- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính
Nhƣ V.I Lenin đã từng khẳng định: Không có cảm giác thì không có nhận thức
nào cả. Rõ ràng nhận thức cảm tính là cơ sở, là nơi cung cấp nguyên liệu cho tƣ
duy. Tƣ duy dựa vào nhận thức cảm tính, không tách rời nhận thức cảm tính và
thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính. Dù tƣ duy có khái quát đến đâu, có trừu
tƣợng đến đâu thì trong nội dung của nó cũng chứa đựng thành phẩm của nhận thức
cảm tính.
Ngƣợc lại, tƣ duy và sản phẩm của nó cũng có ảnh hƣởng mạnh mẽ, chi phối
khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho nhận thức cảm tính tinh vi,
nhạy bén hơn, chính xác hơn, có sự lựa chọn và có ý nghĩa hơn.
Cả nhận thức cảm tính và tƣ duy đều nảy sinh từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm
tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
1.1.3. Các loại tƣ duy
Cũng theo [14], dựa trên các tiêu chí khác nhau, chúng ta có thể phân tƣ duy
thành các loại khác nhau.

Nếu xét trên phƣơng diện lịch sử hình thành và mức độ phát triển của tƣ duy
thì có các loại tƣ duy sau:
- Tƣ duy trực quan hành động là loại tƣ duy mà việc giải quyết các nhiệm
vụ đƣợc thực hiện nhờ sự cải tổ thực tế các tình huống và nhờ các hành động vận
động có thể quan sát đƣợc.
- Tƣ duy trực quan hình ảnh, loại tƣ duy này ra đời muộn hơn tƣ duy trực
quan hành động và phát triển ở mức độ cao hơn. Loại tƣ duy này chỉ có ở con
ngƣời, đặc biệt là ở trẻ nhỏ. Đây là loại tƣ duy mà việc giải quyết nhiệm vụ đƣợc
thực hiện bằng sự cải tổ tình huống chỉ dựa trên bình diện hình ảnh.
- Tƣ duy trừu tƣợng (còn gọi là tƣ duy từ ngữ hay tƣ duy logic) là loại tƣ
duy ra đời muộn nhất và chỉ có ở con ngƣời. Đây là loại tƣ duy mà việc giải quyết
nhiệm vụ đƣợc dựa trên việc sử dụng các khái niệm, các kết cấu logic, đƣợc tồn tại
và vận hành nhờ ngôn ngữ.
7


Nếu căn cứ vào hình thức biểu hiện của nhiệm vụ và phƣơng thức giải quyết
nhiệm vụ thì quá trình tƣ duy cũng có ba loại:
- Tƣ duy thực hành là loại tƣ duy mà nhiệm vụ đƣợc đề ra một cách trực
quan, dƣới hình thức cụ thể. Phƣơng thức giải quyết là các hành động thực hành.
- Tƣ duy hình ảnh cụ thể là loại tƣ duy mà nhiệm vụ đƣợc đề ra dƣới hình
thức hình ảnh cụ thể và việc giải quyết nhiệm vụ cũng đƣợc dựa trên những hình
ảnh trực quan đó.
- Tƣ duy lí luận là loại tƣ duy mà nhiệm vụ đƣợc đề ra và giải quyết nhiệm
vụ đó đòi hỏi phải sử dụng những khái niệm trừu tƣợng, những tri thức lí luận.
Xét theo mức độ sáng tạo của tƣ duy thì có các loại sau:
- Tƣ duy algôrit là loại tƣ duy diễn ra theo một chƣơng trình, một cấu trúc
logic có sẵn, theo một khuôn mẫu nhất định. Loại tƣ duy này có cả ở ngƣời và robot
(ngƣời máy).
- Tƣ duy ơrixtic là loại tƣ duy sáng tạo, có tính chất cơ động linh hoạt,

không tuân theo một khuôn mẫu cứng nhắc nào. Loại tƣ duy này liên quan đến trực
giác và khả năng sáng tạo của con ngƣời.
1.2. Các hoạt động trí tuệ chung cuả học sinh trong học tập nói chung và trong
môn Toán nói riêng.
Các hoạt động trí tuệ chung của HS trong học tập nói chung và trong môn toán
nói riêng bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa, cụ thể hóa, trừu tƣợng hóa….
1.2.1. Phân tích và tổng hợp
Theo Nguyễn Bá Kim [7] :
Phân tíchlà tách (trong tƣ tƣởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật
thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp là liên kết (trong tƣ tƣởng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống.

8


Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngƣợc nhau nhƣng lại là hai
mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá
trình tƣ duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảngphân tích và
tổng hợp.
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] :
Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tƣợng nhận thức thành các
bộ phận, các thành phần tƣơng đối độc lập để nhận thức đối tƣợng sâu sắc hơn ( nói
nhƣ vậy để khẳng định phân tích không phải là quá trình băm nhỏ hay đập nát đối
tƣợng). Đó là quá trình diễn ra trong đầu chủ thể nhằm tách đối tƣợng tƣ duy thành
những thuộc tính, những bộ phận, những mối liên hệ, quan hệ giữa chúng để nhận
thức đối tƣợng sâu sắc hơn.
Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã đƣợc tách rời
trong quá trình phân tích thành một chỉnh thể thống nhất, hoàn chỉnh. Đây là thao

tác trí tuệ, trong đó chủ thể tƣ duy dùng trí óc đƣa những thuộc tính, những thành
phần đã đƣợc phân tích vào thành một chỉnh thể, giúp ta nhận thức đƣợc bao quát
hơn
Phân tích và tổng hợp là hai quá trình có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung
cho nhau trong một quá trình tƣ duy thống nhất. Phân tích là cơ sở để tổng hợp,
đƣợc tiến hành theo phƣơng hƣớng của sự tổng hợp. Tổng hợp diễn ra trên cơ sở
phân tích, đƣợc thực hiện trên kết quả của sự phân tích. Không có quá trình phân
tích thì không thể tiến hành tổng hợp đƣợc. Ngƣợc lại, phân tích không có tổng hợp
thì quá trình đó trở nên vô nghĩa trong quá trình nhận thức.
Ta xét hoạt động phân tích và tổng hợp thể hiện trong ví dụ sau đây:
3

3

3

a b  c a b c
Ví dụ 1:Cho a, b, c  0 . CMR:           
b c a b c a
Phân tích :
Xem xét từng bộ phận riêng lẻ của VT, cụ thể mỗi số hạng ở VT là lũy thừa bậc
3 của 1 số hạng ở VP(điều này làm ta liên tƣởng đến sử dụng BĐT Côsi để hạ bậc)

9


3

3

a
a
a
Xét   trong VT, từ   muốn đƣa về phải đƣa về Côsi cho 3 số, 2 hằng số còn
b
b
b
3

a
lại cộng vào   phải thỏa mãn điều kiện xảy ra dấu " = " ở BĐT ban đầu. Mà ta dễ
b
3

a
nhẩm ra dấu "  " ở BĐT ban đầu là a  b  c     1  hai hằng số cộng vào là
b
1.
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
3

3

3

a a
a
a
a
3


1

1

3.
.1.1

3.


2

3.
(1)
 
 
 
b b
b
b
b
Tƣơng tự, đánh giá với 2 số hạng còn lại ta cũng có:
3

b
b
   2  3. (2)
c
c

3

c
c
   2  3. (3)
a
a
Tổng hợp: Liên kết các BĐT (1), (2), (3) với nhau ta có
3

3

3

a b  c
a b c
         6  3.   
b c a
b c a
3

3

3

a b  c a b c
a b c
              2.     6 *
b c a b c a
b c a

Mặt khác theo BĐT Côsi ta lại có:

a b c
a b c
a b c
   3. 3 . .  3  2.     6 **
b c a
b c a
b c a
3

3

3

a b c
a b  c  a b c 
Từ (1) và (2)                6  6   
b c a
b c a b c a
3

3

3

a b  c a b c
            ( ĐPCM )
b c a b c a

10


1.2.2. So sánh
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] :
So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống và khác nhau, sự đồng
nhất hay không đồng nhất , sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối
tƣợng nhận thức.
Thao tác này liên quan chặt chẽ với thao tác phân tích và tổng hợp và rất quan
trọng trong việc nhận thức thế giới. K.D.Usinxki từng nói: “ So sánh là cơ sở của
mọi sự hiểu biết và tƣ duy ”, hay nhƣ Sêchênốpcũng nói: “ So sánh là kho tàng trí
tuệ quý báu nhất của con ngƣời ”. Nhờ so sánh mà con ngƣời có thể hình dung ra
những cái chƣa biết trên cơ sở những cái đã biết.
Ta xét hoạt động so sánh thể hiện trong ví dụ sau đây:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với 𝑎, 𝑏, 𝑐 lần lƣợt là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:

a
b
c


3
bc a c  a b a bc
Lời giải
Đặt x  b  c  a , y  c  a  b , z  a  b  c


 x, y , z  0

 x  y  z  a  b  c


yz
zx
x y
a 
;b
;c

2
2
2
Khi đó BĐT đã cho tƣơng đƣơng với:

yz zx x y


3
2x
2y
2z


y z z x x y
      6 *
x x y y z z

So sánhtử số và mẫu số của các số hạng ở VT (*) ta thấy tử số cúa số hạng
thứ nhất và thứ 6 bằng mẫu số của số hạng thứ 3 và thứ 4, tử số của số hạng thứ 2
và thứ 3 bằng mẫu số của số hạng thứ 5 và thứ 6, tử số của số hạng thứ 3 và thứ 4

11


bằng mẫu số của số hạng thứ nhất và thứ 2, điều này làm ta nghĩ đến việc làm xuất
hiện tích của các số hạng để triệt tiêu đƣợc x, y,z từ đó chỉ còn hằng số, việc này
gợi ý cho ta dùng BĐT Côsi cho 6 số.

y z z x x y
y z z x x y
      66 . . . . .  6
x x y y z z
x x y y z z
Từ đó ⇒(*) luôn đúng ⇒ BĐT đƣợc chứng minh
Dấu "=" xảy ra  x  y  z  a  b  c.
1.2.3. Tƣơng tự
Theo Trần Thúc Trình [15] : Tương tự là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về
tính chất và quan hệ của những đối tƣợng toán học khác nhau. Kết luận dựa theo sự
tƣơng tự có thể mô tả nhƣ sau:
 Đối tƣợng A có các tính chất a, b, c.
 Đối tƣợng B có các tính chất a, b. Thế thì B có thể có tính chất c
Ta xét sự tƣơng tự hóa thể hiện trong ví dụ sau đây:
4
4
4
Ví dụ 3:Cho a, b, c  0 và a  b  c  3. CMR: a  b  c  3

Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi ta có: a  1  1  1  4 4 a .1.1.1  4a  a  4a  3
4

4

4

Dựa vào nhận xét vai trò của a, b, c nhƣ nhau ( giống nhau ) ta có thể nghĩ
đến việc áp dụng BĐT Côsi một cách tƣơng tự cho b, c nhƣ sau

b4  4b  3 , c 4  4c  3
( Hoạt động nói ở trên chính là hoạt động tƣơng tự hóa )
Cộng vế với vế ta đƣợc : a  b  c  4  a  b  c   9  3 ( ĐPCM)
4

4

4

Dấu "  " của xảy ra khi a  b  c  1.
1.2.4. Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] : “ Khái quát hóa là quá trình dùng
trí óc để hợp nhất nhiều đối tƣợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những
thuộc tính, những liên hệ, quan hệ chung nhất định”
12


Theo Nguyễn Bá Kim [7] : " Khái quát hóa là quá trình suy nghĩ để chuyển từ
một tập hợp các đối tƣợng nào đó sang một tập hợp rộng hơn bằng cách nêu lên tính
chất chung của các phần tử của tập hợp ban đầu ".
Chẳng hạn ta khái quát hóa khi chuyển từ việc tính tổng của 2 số tự nhiên liên
tiếp, 3 số tự nhiên liên tiếp, 4 số tự nhiên liên tiếp,…cho đến tính tổng của n số tự

nhiên liên tiếp, hay tínhsố đƣờng chéo trong một tứ giác, một ngũ giác hay một lục
giác…sang việc tính số đƣờng chéo trong một đa giác. Hay ta khái quát hóa việc
nhiên cứu hàm số logarit với cơ số tự nhiên sang việc nghiên cứu hàm số logarit với
cơ số bất kì.
Ta cùng xét hoạt động khái quát hóa thể hiện trong ví dụ sau đây
Ví dụ 4:Xuất phát từ các bài toán cụ thể, riêng lẻ sau :
Bài 1: Cho a, b, c  0 . CMR:

a 3 b3 c 3
 
abc
b2 c 2 a 2

Bài 2: Cho a, b, c  0 . CMR:

a 4 b4 c 4


abc
b3 c 3 a 3

Bài 3:Cho a, b, c  0 . CMR:

a 3 b3 c 3
   a 2  b2  c 2
b
c
a

Bài 4: Cho a, b, c  0 . CMR:

a 5 b5 c 5
 2  2  a 3  b3  c 3
2
b
c
a

Khái quát hóa dựa theo những thuộc tính, tính chất chung của các bài toán cụ
thể, riêng lẻ ở trên ( VT của các BĐT là tổng của các số hạng, trong đó hiệu số bậc
giữa tử số và mẫu số của mỗi số hạng bằng số bậc của các số hạng ở VP ) mà ta có
các bài toán tổng quát sau:
Bài 5:Cho a, b, c  0 , n là số nguyên dƣơng. CMR:

a nm bnm c nm
 n  n  a m  bm  c m
n
b
c
a
Ngƣợc lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa. Theo G.Polya [3] : " Đặc biệt hóa là
chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho sang việc nghiên cứu một
tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho ".

13


Chẳng hạn nhƣ chuyển từ việc nghiên cứu đƣờng conic sang nghiên cứu đƣờng
tròn hay đƣờng elip…Hay chuyển từ việc nghiên cứu lăng trụ đứng sang việc
nghiên cứu lăng trụ đều.

Ta xét sự đặc biệt hóa thể hiện trong ví dụ sau:
Ví dụ 5: Cho a, b, c  0 , n là số nguyên dƣơng. CMR:

a nm bnm c nm
 n  n  a m  bm  c m
n
b
c
a
Đặc biệt hóa bài toán này ( chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã
cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó) ta có bài
toán sau :

a 5 b5 c 5
Cho a, b, c  0 . CMR: 2  2  2  a3  b3  c3
b
c
a
1.2.5. Trừu tƣợng hóa và cụ thể hóa
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] : “ Trừu tượng hóa là quá trình
dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu,
không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tƣ duy”
Theo Nguyễn Bá Kim [7] : " Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất
khỏi những đặc điểm không bản chất. Đƣơng nhiên, sự phân biệt bản chất với
không bản chất ở đây mang ý nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục đích hành động".
Quá trình ngƣợc lại nhƣng có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa là cụ
thể hóa. Đó là ý nghĩ về một cái riêng mà cái riêng này tƣơng ứng với một cái
chung nhất định. Cũng có thể nói: cụ thể hóa là quá trình minh họa, giải thích
những khái niệm, quy luật khái quát, trừu tƣợng bằng ví dụ.
Ta xét sự trừu tƣợng hóa thể hiện trong ví dụ sau đây

Ví dụ 6: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3. CMR:
i)

a 4  b 4  c 4  a 3  b3  c 3

ii)

a 5  b5  c 5  a 4  b 4  c 4

14


Nhờ hoạt động trừu tƣợng hóa thể hiện ở chỗ là tìm ra đặc điểm bản chất của các
BĐT trên, đó là số mũ của các số hạng ở VT hơn số mũ của các số hạng ở VP của
các BĐT 1 đơn vị mà ta đi đến đƣợc bài toán tổng quát:

an1  bn1  cn1  an  bn  cn , n  N
Ví dụ 7:Cho x, y  0 và x  y  5. Tìm GTLN của P  x  2 y
2

2

Lời giải
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : P 2   x  2 y   12  22  x 2  y 2   5.5
2

 P  5  GTLN của P  5 , khi đó x  1, y  2
Ở đây, ta đã cụ thể thể hóa :  x  2 y   12  22  x 2  y 2  từ BĐT
2

Bunhiacopxki cho 4 số  a 2  b 2  m2  n 2    am  bn  bằng cách cho
2

a  1, b  2
1.3. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung giữ một vai tròquan trọng trong việc
phát triển trí tuệ nói chung và phát triển tư duymôn Toán nói riêng cho học sinh
THPT, đặc biệt là nội dung BĐT.
Việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ có ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc
hình thành và phát triển trí tuệ, tƣ duy cho học sinh THPT và nó đƣợc thực hiện ở
tất cả các môn học trong nhà trƣờng.
Trong học tập nói chung, học tập môn toán nói riêng, để hình thành một khái
niệm, HS phải biết phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm, phân chia khái
niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cách sâu sắc
hơn. Hay để tiếp thu một định lý, HS phải biết phân tích đƣợc giả thiết và kết luận
của định lý, các cách chứng minh định lý và vận dụng định lý vào giải các bài tập
cụ thể,…Khi giải một bài tập, HS phải biết phân tích xem cái nào là cái đã cho và
cái nào là cái cần tìm, từ đó tổng hợp lại để tìm cách giải bài tập, so sánh các cách
giải để tìm lời giải tối ƣu, từ trƣờng hợp đặc biệt có thể khái quát hóa để tìm bài
toán tổng quát,…

15


Nhƣ vậy có thể nói quá trình học toán đòi hỏi HS cần phải thƣờng xuyên thực
hiện các hoạt động trí tuệ nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự, khái quát hóa,
đặc biệt hóa,…Tƣ duy đƣợc phát triển trong quá trình học thông qua việc đƣợc
thƣờng xuyên rèn luyện, mà trƣớc hết là rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung.
Với những đặc trƣng của môn Toán nói chung , những đặc trƣng về BĐT và các
bài toán cực trị nói riêng mà muốn nhận thức đƣợc thì HS cần phải thƣờng xuyên
thực hiện các hoạt động trí tuệ chung nhƣ : phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng

tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa…Thông qua việc vận dụng các hoạt động trí tuệ
chungđể tìm lời giải và khai thác bài toán có thể nói rằng các hoạt động trí tuệ
giúp HS mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức từ một bài toán đã tìm đƣợc
lời giải.
Ngoài ra các hoạt động trí tuệ chung còn có vai trò trong việc xây dựng các khái
niệm, định lý, các tri thức lý thuyết và hình thành các phẩm chất trí tuệ.
Chủ đề toán học nào cũng đòi hỏi phải rèn luyện cho HS các hoạt động trí tuệ
chung, tuy nhiên trong luận văn này tôi lại lựa chọn mảng BĐT. Chủ đề về BĐT phong
phú, đa dạng, chứa nhiềm tiềm năng phát triển tƣ duy và các hoạt động trí tuệ cho HS.
Quá trình giải các bài BĐT vận dụng nhiều kiến thức, kĩ năng, phƣơng pháp giải,…nên
sẽ có nhiều cơ hội để rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung và phát triển tƣ duy cho HS.
Quá trình dạy học toán đặt ra yêu cầu và chứa đựng nhiều tiềm năng lớn để phát
triển năng lực tƣ duy cho HS tuy nhiên do vấn đề rộng lớn của tƣ duy nên trong
phạm vi nghiên cứu của đề tài chúng tôi chỉ khai thác, tìm hiểu và rèn luyện cho HS
nhƣng hoạt động trí tuệ cơ bản.
2. Tầm quan trọng của BĐT nói chung và BĐT Côsi nóiriêng trong chƣơng
trình THPT
BĐT trong chƣơng trình THPT có vai trò đặc biệt quan trọng. Nó có mặt trong
hầu hếtcác chủ đề của toán sơ cấp:đại số, hình học, lƣợng giác, giải tích . Bài toán
về BĐT chứa đựng tiềm năng phát triển trí tuệ cho HS từ đó phát triển tƣ duy sáng
tạo cho HS. Hơn nữa, BĐT thƣờng xuyên có mặt trong các kì thi đặc biệt nhƣ kì thi
đại học, cao đẳng, quốc gia, quốc tế.

16


2.1. BĐT có mặt ở hầu hết các chủ đề của toán sơ cấp
Không chỉ trong các bài toán chứng minh BĐT, cực trị mà hầu hết các chủ đề của
toán sơ cấp phải sử dụng đến công cụ BĐT. Chẳng hạn nhƣ:

x  y  2
4
4
x  y  2

Ví dụ 8( trong đại số) Giải hệ phƣơng trình: 
Lời giải

Áp dụng BĐT Côsi ta có: x 4  1  1  1  4 4 x 4 .1.1.1  4 x  4 x

 x4  4 x  3 1
Tƣơng tự ta cũng có y 4  4 y  3  2
Từ (1) và (2)  x4  y 4  4  x  y   6  2

 x4  y 4  2
Để dấu "  " xảy ra thì x  y  1
Vậy nghiệm của (*) là x  y  1.
Ví dụ 9( trong hình học )Cho đƣờng tròn(𝐶): x2  y 2  1 .
Một đƣờng thẳng (d) tiếp xúc với (𝐶) tại M, và cắt Ox, Oy lần lƣợt tại A, B. Tìm
tọa độ điểm M để 𝑆𝐴𝐵𝑂 đạt min
Lời giải
Giả sử M  x0 , y0  ⇒ Phƣơng trình tiếp tuyến  d  cắt  C  tại M là:

xx0  yy0  1
Do (d) cắt cả Ox, Oy nên x0 , y0  0

1 
 1
,0  ; B   0, 
 x0 

 y0 

Ta có : A   d   Ox , B   d   Oy  A  

1
1 1 1
1
 S ABO  OA.OB  . .

1
2
2 x0 y0 2 x0 y0
Mặt khác do M   C   x0 2  y0 2  1  x0 y0 
17

x0 2  y0 2 1
  2
2
2


Từ (1) và (2)  S ABO  1  Min S ABO  1, đạt tại:

1

x


0


1

2
x0 2  y0 2   
2
y   1
0

2

Vậy có 4 điểm M thỏa mãn bài toán là:  3,2 ;  3, 2;  3,2 ;(3, 2 )
2.2. Bài tập về BĐT chứa đựng tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ cho HS
Bài tập về BĐT rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi nhiều kĩ năng, phƣơng pháp giải ở
ngƣời làm toán, nhiều bài toán cụ thể của BĐT có thể nâng lên thành bài toán tổng
quát, sau đó lại đặc biệt để cho ra các bài mới hấp dẫn hơn bài toán ban đầu.Điều đó
chứng tỏ BĐT chứa đựng tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ cho HS. Để minh họa
cho điều này, sau đây tôi xin đƣa ra một số ví dụ:
Xuất phát từ bài toán ban đầu
Ví dụ 10: Cho a, b, c  0. CMR :

a
b
c
3



bc ca ab 2
Lời giải

Ta có BĐT cần chứng minh tƣơng đƣơng với

9
 a
  b
  c
 3
 1  
 1  
 1   3 

2
bc  c  a  a b  2
abc abc abc 9




bc
ca
ab
2
1
1  9
 1
 a  b  c



b


c
c

a
a

b

 2
1
1 
 1
  b  c    c  a    a  b   


  9 *
bc c  a a b
(*) đúng vì theo BĐT Bunhiacopxki
Tƣơng tự hóa, bằng cách tăng số biến, số mũ ta có các bài toán sau:
Bài 10.1: Cho a, b, c, d  0 CMR :
18


a
b
c
d
4





bcd cd a abd abc 3
Bài 10.2: Cho a, b, c  0 và abc  1 . CMR :

a3
b3
c3
3



bc ca a b 2
1
x

Từ bài toán 10.2, đặc biệt hóa với a  ; b 

1
1
; c  ta thu đƣợc bài toán mới
y
z

Bài 10.3: Cho x, y, z  0 và xyz  1. CMR :

1
1
1

3
 3
 3

x  y  z y  z  x z  x  y 2
3

Từ ví dụ 10 ta có thể khái quát hóa lên thành bài toán tổng quát
Bài 10.4: Cho a, b, c  0. CMR :

a
b
c
3



; m, n  0
mb  nc mc  na ma  nb m  n
Từ bài toán 10.1 ta có thể khái quát hóa lên thành bài toán tổng quát
Bài 10.5: Cho a, b, c, d  0; m, n, p  0 CMR :

a
b
c
d
4





mb  nc  pd mc  nd  pa na  pb  md ma  nb  pc m  n  p
Từ đặc điểm bản chất của ví dụ 10 và bài 1 đó là VT gồm các số hạng, mà mỗi
số hạng có tử số là 1 biến, mẫu số là tổng của các biến còn lại( trừu tƣợng hóa) mà
ta có thể khái quát hóa để đi đến bài toán tổng quát:
Bài 10.6: Cho a1 , a2 ,..., an  0 CMR :

an
a1
a2
n

 ... 

a2  a3  ...  an a1  a3  ...  an
a1  a2  ...  an1 n  1
Xuất phát từ 2 bài toán ban đầu
Ví dụ 11:Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . CMR:
a) a 3  b3  c3  3
b) a5  b5  c5  a3  b3  c3

19


Ví dụ 12: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . CMR:
4
4
4
a) a  b  c  3
5

5
5
4
4
4
b) a  b  c  a  b  c

 Dựa vào việc tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán trên ( trừu tƣợng hóa ),
đó là ở 2 phần a) có chung đặc điểm là VT là tổng của các số hạng đồng bậc, còn
VT là hằng số 3, còn 2 phần b) có chung đặc điểm là cả VP và VT đồng bậc nhƣng
bậc của VT cao hơn bậc của VP, mà ta có thể khái quát hóa với trƣờng hợp số mũ

n, m có thể nâng lên thành bài toán tổng quát:
Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 , 2  n  m  N . CMR:
a) a n  bn  c n  3
b) a m  b m  c m  a n  b n  c n
 Đặc biệt hóata có bài toán sau:
Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . CMR:
a) a1999  b1999  c1999  3
b) a 2005  b2005  c 2005  a1997  b1997  c1997
 Sử dụng phép tƣơng tự , ta có thể tạo ra các bài toán mới nhƣ:
Cho a, b, c  0 . CMR:
3

3

3

a b  c a b c
        

b c a b c a
a3
1 a
1
 b3  3   b 
3
b
a b
a
Xuất phát từ bài toán ban đầu
Ví dụ 13: Cho a, b, c  0. CMR :

a2
b2
c2
abc



bc ca ab
2
Lời giải
 Hoạt động phân tích, so sánh :

a2
bc
a2 b  c
a2
bc


2
.
a

a
bc
4
bc 4
bc
4
20