QUÁ TRÌNH HỦY CẶP AXION – PHOTON SINH CÁC FERMION

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đào Thị Lệ Thủy,
người đã luôn luôn hết lòng dẫn dắt, khích lệ và giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập cũng như hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội, các thầy
cô giáo trong Khoa Vật lý, tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong quá trình học tập và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi để
tôi vượt qua khó khăn, tập trung vào việc học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2013
Người cảm ơn

Ngô Thanh Dũng

1

1


CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

Kỹ hiệu

Tên tiếng Anh

Tên tiếng Việt

QCD

Quantum Chromodynamics

Sắc động lực học lượng tử

DM

Dark Matter

Vật chất tối

CP

Charge – Parity

Tích – Chẵn lẻ

ADMX

Axion Dark Matter

Vật chất tối Axion

SUSY

Supersymmetry

Siêu đối xứng

PQ

Peccei-Quinn

PQWW

Peccei-Quinn-Weinberg-Wilozek

VEV

Vacuum Expectation Values

KSVZ

Kim – Shifman – Vainstein –
Zakharov

DFSZ

Dine – Fischler – Srednicki –
Zhitnitkii

2

2

Giá trị trung bình chân không


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, trong mô hình chuẩn (SM – Standard Model) của vật

lí hạt còn tồn tại nhiều vấn đề bí ẩn chưa được giải quyết, trong đó có những vấn
đề hấp dẫn và khó khăn nhất của (SM) đó là vấn đề “bậc”, vấn đề vi phạm (CP)
mạnh (strong CP) và vấn đề vật chất tối [1], [2], [3]. Cho đến nay đã có rất nhiều
các giải pháp để giải thích cho các vấn đền trên, tuy nhiên thành công hơn cả là
các giải pháp siêu đối xứng (Supersymmetry – SUSY) và cơ chế Peccei-Quinn
(PQ), cả hai giả thuyết này đều liên quan đến việc các đối xứng bị phá vỡ [2], [3].
Lí thuyết SUSY là sự mở rộng (SM) và được đề xuất vào những năm 70 của thế
kỉ XX, trong (SUSY) có sự đối xứng của các hạt có spin khác nhau, lí thuyết này
đã giải thích thuyết phục cho vấn đề “bậc”. Vấn đề vi phạm (CP) được giải quyết
thông qua cơ chế Peccei – Quinn (PQ), theo cơ chế này, người ta đưa vào một
trường giả vô hướng, gọi là axion. Axion có thể xuất hiện trong nhiều mô hình
khác nhau mà đáng kể nhất là xuất hiện như pha mới của trường Higgs trong lý
thuyết điện – yếu, hoặc xuất hiện như một thành phần của siêu trường chiral trong
lý thuyết siêu đối xứng năng lượng thấp. Theo sự ràng buộc về điều kiện vũ trụ
học và thiên văn học, thì hằng số phân rã axion – fa có giá trị trong khoảng

109 GeV ≤ f a ≤ 1012 GeV

và gọi là cửa sổ axion. Axion là một ứng cử viên rất hấp

dẫn cho vật chất tối và axion cũng được xem là một mảnh ghép phù hợp một cách
tự nhiên cho hai vấn đề bí ẩn và rắc rối của vật lí đó là vi phạm (CP) và vật chất
tối, góp phần cho sự tìm hiểu những điều thú vị về vũ trụ của chúng ta.
Việc nghiên cứu về axion trở nên khá sôi nổi và axion là một cử viên hấp
dẫn cho vật chất tối và một trong những đặc tính thú vị nhất của vật chất tối đó
là đặc tính hủy của chúng thành những hạt vật chất thông thường, vì lí do đó

3

chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “QUÁ TRÌNH HỦY CẶP AXION – PHOTON
SINH CÁC FERMION”

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình hủy cặp axion –photon tạo thành các hạt vật chất
thông thường (các fermion). Kết quả thu được sẽ là cơ sở cho sự khẳng định sự
đóng góp của axion như là thành viên của vật chất tối cũng như đặc tính hủy của
các hạt vật chất tối trong vũ trụ của chúng ta.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc
Feynman để tính biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ của các quá trình hủy cặp
axion-photon.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự hủy cặp axion-photon sinh các
fermion theo các kênh s, u và t.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lí thuyết trường lượng tử, chúng
tôi tính toán giải tích và đánh số tiết diện tán xạ của quá trình huỷ cặp axionphoton sinh các fermion theo các kênh s, u và t. Từ đó, đưa ra các hướng có lợi
cho việc thu tín hiệu fermion.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực nghiệm trong việc quan sát
axion và giải quyết bài toán vi phạm đối xứng CP- mạnh trong sắc động học
lượng tử. Và quan trọng hơn nó là bằng chứng quan trọng về sự tồn tại của
chúng trong vũ trụ cũng như đóng góp của nó vào vật chất tối.
4


6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, khóa luận gồm 3 chương:
Chương I: “Các mô hình axion”, trình bày lí thuyết mô hình axion Peccei –

Quinn – Weinberg – Wilozek, mô hình axion Kim – Shifman – Vainstein –
Zakharov , mô hình axion Dine – Fischler – Srednicki – Zhitnitkii, mô hình
axion siêu đối xứng, đánh giá về khối lượng của axion và một số quá trình tương
tác cơ bản để tạo axion.
Chương II: “Bình phương biên độ tán xạ của quá trình hủy cặp axionphoton sinh các fermion”. Trong chương này, chúng tôi khảo sát quá trình hủy
cặp axion-photon tạo thành các cặp fermion theo các kênh s, u và t và tính toán
để đưa ra biểu thức của bình phương biên độ tán xạ của quá trình này trong
trường hợp chùm f+, f- không phân cực và phân cực.
Chương III: “ Tiết diện tán xạ của quá trình hủy cặp axion-photon sinh các
fermion ”. Sử dụng kết quả từ chương II, chúng tôi đưa ra biểu thức tiết diện tán
xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn phần. Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica
để tính số và vẽ đồ thị.

5


CHƯƠNG I
CÁC MÔ HÌNH AXION
1.1. Mô hình PQWW (Peccei – Quinn – Weinberg- Wilozek)
Trong mô hình này, axion xuất hiện như một pha mới của trường Higgs. Để
xuất hiện axion người ta đưa vào hai lưỡng tuyến Higgs là

φ 1 và φ 2 . Thế Higgs

tái chuẩn hóa được có dạng:
+

V (φ1 ,φ 2 ) = − µ 12φ1+φ1 − µ 22φ 2+φ 2 + ∑ aijφ i+φ iφ j+φ j + ∑ bijφ i+ φ%j φ%jφ i
ij

+ ∑ (cijφ i+ φ%jφ i+ φ%j + hc)
i≠ j

Trong đó siêu tích của

các hằng số thực, còn

cij

ij

.

(1.1)

φ 1 là Y (φ 1 ) = 1/ 2 và của φ 2 là Y (φ 2 ) = − 1/ 2 , aij và bij là

là hằng số phức (i, j = 1,2),

(1.1) có một đối xứng U(1):

φ%= iσ 2φ * . Hàm thế năng

φ 1 → eiβ φ 1 , φ 2 → e− iβ φ 2 . Đối xứng này giống như đối

xứng chuẩn U(1)Y của mô hình chuẩn, do đó nó không có ích đối với một đối
xứng toàn cục độc lập. Chính vì vậy Peccei và Quinn (1977) đã áp đặt điều kiện

cij = 0

, trong trường hợp này lí thuyết tồn tại thêm một đối xứng toàn cục gọi là

đối xứng Peccei- Quinn U(1)PQ .
6


U (1) PQ : φ 1 → eiα Γ 1φ 1 , φ 2 → eiα Γ 2 φ 2
Trong đó

.

(1.2)

Γ 1 và Γ 2 lần lượt là tích- chẵn lẻ (PQ) của φ 1 và φ 2 , α là pha có giá

trị đối với axion. Khi đó tương tác Yukawa phải được viết sao cho đối xứng toàn
cục (1.2) không bị phá vỡ, điều này được thỏa mãn khi
uR), và

φ 1 tương tác với d (hoặc
R

φ 2 tương tác với u (hoặc d ). Có nghĩa là để bảo toàn đối xứng tích chẵnR
R

lẻ, thì các quark có điện tích - 1/3 sẽ nhận được khối lượng từ trung bình chân
không (VEV) của
VEV của

φ 1 và các quark có điện tích 2/3 sẽ nhận được khối lượng từ

φ 2 . Do đó các quá trình thay đổi vị không xảy ra bởi vì có sự trao đổi

của các Higgs trung hòa (Glashow và Weiberg [1977], Paschos [1977]. Vì vậy
tương tác Yukawa của các quark là :
*

*

LY (quark ) = − fij(u ) q Ljφ 2uRi − fij(u )φ 2+ u Ri qLj − fij( d ) q Ljφ 1d Ri − fij( d )φ 1+ d Ri qLj ,

(1.3)

trong đó i, j được lấy theo tất cả các vị của quark. Các tương tác (1.1) và
(1.3) có đối xứng PQ cho các fecmion như sau:

U (1) PQ : u L → e

dL → e

i
αΓ 2
2

i
α Γ1
2

u L , uR → e

dL , dR → e

i
− αΓ2
2

i
− α Γ1
2

uR

(1.4.1)

dR.

(1.4.2)

Tương tác Yukawa ở (1.3) cho ta tương tác của axion với các quark, ở đây
có sự tồn tại tự do của tương tác Yukawa đối với các lepton khác nhau. Các
tương tác này phải thỏa mãn đối xứng PQ, mặt khác yêu cầu về bậc của
7

α

sẽ thu


được một thành phần thế năng và cũng hủy luôn tính phục hồi động lực của

θ

qua cơ chế PQ. Vì vậy ta có hai mô hình axion PQWW của tương tác Yukawa
cho các lepton: mô hình 1 được định nghĩa bằng tương tác của

φ 1 với các đơn

tuyến lepton phải, mô hình 2 được định nghĩa bằng tương tác của

φ 2 với các đơn

tuyến lepton phải. Đối với từng mô hình, ta có hàm Lagrangian mô tả sau đây:
*

Model 1:

Model 2:
Trong đó

LY (lepton) = − f ij(1) l Liφ 1eRj − f ij(1) φ1+ e RilRi
* +
LY (lepton) = − f ij(1) l Li φ%2eRj − f ij(1) φ%2 e RilLi ,

(1.5)

(1.6)

lLi là lưỡng tuyến lepton trái và eRi là thành phần lepton phải của

thế hệ thứ i. Dưới tác dụng của phép biến đổi U(1)PQ chúng biến đổi như sau:

U (1) PQ : lL → e

i
α Γ1
2

lL → e

lL , eR → e

i
− αΓ 2
2

i
− α Γ1
2

lL , eR → e

eR đối với mô hình 1

i
αΓ2
2

eR

đối với mô hình 2

(1.7)

(1.8)

Các trường Higgs được biểu diễn:
iP

iP

v1 + ρ 1 v11 0 v2 + ρ 2 v22
φ =
e , φ2 =
e ,
2
2
0
1

8

(1.9)


Với

φ10 =

v1
v

, φ 20 = 2
2
2 còn ρ1 , ρ2 là các trường Higgs thực.Tổ hợp tuyến

tính pha P1 và P2 của các trường sẽ cho boson Z, tổ hợp khác sẽ cho axion,
chúng có dạng sau:

h = − sin θ .P1 + cosθ .P2 , a = cosθ .P1 + sin θ .P2 .
Do đó

(1.10)

P1 = cosθ .a + sin θ .h, P2 = sin θ .a + cosθ .h.

(1.11)

Từ các phương trình (1.2), (1.9), (1.10), (1.11) và chú ý rằng axion là một
boson Goldstone xuất hiện khi đối xứng U(1)PQ bị phá vỡ tự phát. Sau khi biến

λ

đổi a → a + λ , với

Γ 1α =

là hằng số, ta thu được:

cosθ
sin θ
λ , Γ 2α =

λ.
v1
v2

Trong các biến đổi trên ta đã đưa vào định nghĩa:
cosθ =

v1Γ 1

, sin θ =

v12 Γ 12 + v22Γ 22

v2 Γ 2
v12 Γ 12 + v22Γ 22

.

(1.12)

Kết hợp (1.12) với (1.10) ta có thể chỉ ra hướng xuất hiện axion từ các pha
của trường Higgs:
a=∑
i

vi Γ i
v12 Γ 12 + v22Γ 22

.

(1.13)
2

Γ 1  v2 
= ÷
tan
θ
=
v
/
v
Γ
2
 v1  .Từ đó ta
1
2 , kết hợp với (1.12) ta có tỉ lệ
Ta định nghĩa:

có:

9


a=

P1 =

P2 =

v1 P2 + v2 P1

v +v
2
1

2
2

(1.14)

− v1h + v2 a
v +v
2
1

2
2

v2 a + v2 h
v12 + v22

,

,

(1.15)

.

(1.16)

Các trường Higgs có thể được khai triển

Φ 10 =

v1 + ρ 1 iv2
v +ρ
iv
+
a + ....; Φ 02 = 2 2 + 1 a + ...,
2
2v
2
2v

s

(1.17)

v = v12 + v22 = 247GeV .

với

Thay phương trình (1.17) vào các tương tác Yukawa, ta thu được các tương
tác của axion mà nó đóng vai trò như một trường giả vô hướng.
1.1.1. Axion tương tác với các quark
Thay phương trình (1.17) vào phương trình (1.3) ta được tương tác của
axion với các quark:

a −q
Y

L

(

x + x −1
a   1
= i  mu  − N g
v x
1+ Z
 

Trong đó

) ÷uγ u + m
÷


5

Z = mu / md ; N g = 3; x = v2 / v1.

1.1.2. Axion tương tác với các lepton

10

(

)



x + x −1 Z 

÷dγ 5 d + ... ,
d x − Ng

1+ Z ÷




(1.18)


Thay phương trình (1.25) vào các phương trình (1.13) và (1.14) ta có tương
tác axion và lepton:

(

)

a
xme eγ 5e + xmµ µγ 5 µ + xmτ τγ 5τ .
v

(1.19)

m


m
a m
LaY−1 = i  − e eγ 5e − µ µγ 5 µ − τ τγ 5τ ÷.
v x
x
x

Model 2:

(1.20)

Model 1:

LaY−1 = i

1.1.3. Axion tương tác với các photon
Tương tác axion – photon trong mô hình PQWW được mô tả:

Laγγ =

Trong đó

N g caγγ e2 a
16π 2v

µν

Fµνem F° em .

(1.21)

caγγ = c aγγ − 3 ∑ α i Qem2 ( qi ) .
i = L,R

Với c aγγ là hằng số tương tác axion được định nghĩa trên thang phá vỡ đối

xứng điện yếu và

Qem2 ( qi )

là điện tích của quark i. Trong mô hình axion PQWW

ta có:

Đối với model 1:

Đối với model 2:

c aγγ =

4
x + x−1 .
3

(1.22.1)

c aγγ =

1
x + x−1 .

3

(1.22.2)

(

(

)

)

1.2. Mô hình KSVZ (Kim - Shifman - Vainstein – Zakharov)

11


aFF° (photon – axion), Kim [1979] và nhóm Shifman -

Để hiểu rõ tương tác

Vainstein – Zakharov [1980] đưa vào một quark nặng Q. Để thực hiện đối xứng
PQ thì phải không có khối lượng trần, điều này cho phép ta giả sử Q là một tam
tuyến màu. Tính chất điện yếu của Q rất quan trọng để đưa ra tương tác axion –
photon – photon. Tương tác Yukawa và thế Higgs thích hợp với đối xứng PQ là:

LY = − f Q Lσ QR − f * Q Rσ *QL ,

(1.23)

( )

( )

V ( φ , σ ) = − µ φ2φ + φ − µ σ2σ *σ + λ φ φ + φ + λ σ σ *σ + λ φσ φ + φσ *σ .
2

2

Trong đó φ là lưỡng tuyến Higgs trong mô hình chuẩn,
hướng phức của SU(2)

σ

(1.24)

là đơn tuyến vô

U(1) có tích là Q σ và có thể được khai triển:

⊗

a
i
1 %
σ=
v+ ρ e v
2
.

(

)

Phép biến đổi đối xứng PQ tương ứng với nhóm U(1)PQ là:

σ → eiQσ α σ ,
QL = e

i
Qα α
2

(1.25.1)

QL ; QR → e

i
− Qα α
2

QR .

(1.25.2)

Đối với khoảng hữu hạn của các thông số trong thế năng, người ta có thể thu

được

σ ? φ 0 ≈ 200GeV

Dòng PQ với

12

và làm cho Q nặng.

Qσ = 1 là


1
J µPQ = v%
∂ µ a − Qγ µ γ 5Q,
2
σ =

(1.26)

v%
.
2

Dòng axion đối với nhiễu loạn chiral (Bardeen và Type [1978] là:

(

)

1
1

J µa = v%
∂ µ a − Qγ µ γ 5Q +
uγ µ γ 5u + dγ µ γ 5 d .
2
2( 1+ Z )

(1.27)
Thành phần Lagrangian mô tả tương tác axion- quark là:
L ( a − q) =

(

)

mu a
uiγ 5 d + diγ 5d + .... .
fa ( 1 + Z )

(1.28)

Từ phương trình trên ta thu được tương tác axion - nucleon như sau:

(

)

N ', a L ( a − q ) N = N '.iγ 5 . g ( 0) + g ( 3)τ 3 N a ,
g ( 0) =

trong đó

(1.29)

M ( 0 ) ( 3) M  1 − Z 
GA ; g =

÷GA ,
2 fa
2 fa  1 + Z 

Với M là khối lượng của nucleon và

Z = mu / md . Đối với mô hình này

Z = 0,56 (Weinberg [1977] và GA=1,26 được xác định từ phân rã β (Nagels
[1979]).
Tương tác axion – photon được xác định từ Lagrangian sau:

L=

13

∂ a

2
1
(2 ∂ µ a ) + Nµ  ∑ ψ fLγ µ ( X f + α qf ) ψ fL + hc ÷
DW  f


i
i
αq
αq

 e 2caγγ a
2
2
−  ∑ ψ qR e M q e ψ qL + hc ÷ −
Fem F° em ,
2
 q
 32π f a

( )

caγγ = c aγγ + 6∑ α i Qiem

trong đó

i

(1.30)

2

lấy tổng theo các quark nhẹ,

α i được xác

định từ phương trình:

−

a
− ∑ α i = 0.
fa i

(1.31)

Đối với 3 vị ta có:

αu =

md ms
,
mu md + md ms + ms mu

(1.31.1)

αd =

mu ms
,
mu md + md ms + ms mu

(1.31.2)

αs =

md mu
.
mu md + md ms + ms mu

(1.31.3)

1.3. Mô hình DFSZ (Dine – Fischler – Srednicki – Zhitnitkii)
Dine, Fischler và Srednicki [1981], Zhitnitkii [1980] đã đưa ra các tương tác

aFF° mong muốn từ các quark nhẹ. Bởi vì σ là một đơn tuyến của SU(2) ⊗
U(1), tương tác trực tiếp của nó với các quark nhẹ là không thể. Thay vào đó,
cho

σ

tương tác với các lưỡng tuyến Higgs rồi sau đó với cho tương tác với các

quark nhẹ. Tương tác Yukawa và thế Higgs phù hợp với đối xứng PQ (1.25.1)
[4] là:

LY (quark ) = − fij( u ) q Ljφ 2uRi − fij( u ) φ 2+ u Ri qLj − f ij( d ) * q Ljφ1d Ri − fij( d ) φ1+ d Ri qLj ,
*

14

(1.32)


2

2
2
 * v%2 
 +
 +
v12 
v22 
V = λ1  φ1 φ1 − ÷ + λ 2  φ 2 φ 2 − ÷ + λ  σ σ − ÷

2
2
2÷





+

( aφ φ + bφ φ ) σ σ + c ( φ φ ) σ + ( hc ) + d φ φ
+
1 1

+
2 2

*

T

1 2

2
T
1 2

2

*
+ e φ%1φ 2

2

(1.33)

Trong đó T là kí hiệu sự chuyển vị, i và j là chỉ số thế hệ. Phép biến đổi PQ
phù hợp với (1.25.1) là:

φ 1 → e− iβ Qσ φ 1 ,

(1.34.1)

φ 2 → e− iγ Qσ φ 2 ,

(1.34.2)

uRi → eiγ Qσ uRi ,

(1.34.3)

d Ri → eiβ Qσ d Ri .

(1.34.4)

với β + γ = 2α và β , γ là tích PQ của dR và uR.
Dòng PQ có dạng:

J

PQ
µ

2

2

−1
 2x  2  2x  2
%
= v +
v +
v ∂ a
−1 ÷ 1
−1 ÷ 2 µ
 x+ x 
 x+ x 
2

x −1
x

u
γ
γ
u
+
d γ γ d + dònglepton.
i
∑
µ
5
i
−1
−1 ∑ i µ 5 i
x
+
x
x
+
x
i
i
+

(1.35)
Từ phương trình (1.35) ta có các tương tác của axion với các quark nhẹ và
với lepton trong khoảng năng lượng 1 GeV
15

÷ 250 GeV là:

+ Lagrangian mô tả tương tác của axion với quark nhẹ có dạng:
L ( a − q) =

với

(


Ng 
Ng Z 

ia  
m
X
−
u
γ
u
+
m
X
−
d
γ
d
+
...
 u u
,

÷ 5
÷ 5
d  d
1+ Z 
1
+
Z
v% 




X u = 2x−1 / x + x− 1

)

và

(

)

X d = 2 x / x + x − 1 , x = v2 / v1

(1.36)

.

+ Lagrangian mô tả tương tác của axion với các lepton có dạng:

Model 1:

Model 2:

(

)

L( a − l) =

ia
X d me eγ 5e + X d mµ µγ 5 µ + X d mτ τγ 5τ .
v%

L( a − l) =

ia
X u me eγ 5e + X u mµ µγ 5 µ + X u mτ τγ 5τ .
v%

(

Các tương tác này sẽ bị triệt tiêu bởi một hệ số

)

(1.36.1)

(1.36.2)

v / v%và có thể so sánh với mô

hình axion PQWW.

1.4. Mô hình axion siêu đối xứng
1.4.1. Giới thiệu chung về siêu đối xứng
Lý thuyết thống nhất lớn ra đời dựa vào các nhóm Lie có biểu diễn được lấp
đầy bởi những hạt với spin cố định. Tuy nhiên, lý thuyết này chưa thiết lập được
quan hệ giữa các hạt có spin khác nhau. Ngoài ra nguyên lý chuẩn chỉ cố định
được các tương tác vector, còn các tương tác Yukawa và tương tác vô hướng thì
vẫn chưa chịu sự ràng buộc nào. Do đó, sự mở rộng mô hình này là rất cần thiết
và phải theo hướng xây dựng một đối xứng liên quan giữa các hạt có spin khác
nhau. Đối xứng này được gọi là “siêu đối xứng’’ (SUSY).
Mục tiêu của lí thuyết này là đi xây dựng một đối xứng mà có thể thống nhất
được đối xứng ngoài (không - thời gian) với đối xứng trong (spin đồng vị). Dựa
16


trên lý thuyết nhóm, người ta chỉ ra rằng các vi tử của hai nhóm nói trên giao
hoán với nhau. Do đó, để thực hiện được mục tiêu, người ta đưa vào một vi tử

mới

Qαi

[5], nó có các tính chất liên hệ với các vi tử của nhóm Poincare như sau:

{

}

[Qα , Pµ ] = [Qα. , Pµ ] = 0, { Qα , Qβ } = Qα. , Q β× = 0

(1.37)

{ Q , Q } = 2σ

(1.38)

α

.

β

µ
αβ µ

P,
.

β
β
1
1
[Qα , M µν ] = ( σ µν ) Qβ , [Qα. , M µν ] = ( σ µν ) . Q β. ,
α
α
2
2

trong đó

(1.39)

σ µ = ( σ 0 ,σ i ) ;σ − µ = ( σ 0 , − σ i ) ,

với σ là các ma trận Pauli và
i

σ µν

1
= [γ µ , γ ν ] ( α , β )
4
.
nhận giá trị (1,2),

. .
α ,β ÷



. .
 1, 2 ÷
nhận giá trị   là các chỉ số thành phần các chỉ số spinor Weyl; còn các chỉ số

( µ ,ν )

là chỉ số của các thành phần vector 4 chiều nhận giá trị

Từ (1.39) ta thấy các vi tử mới

Qαi

{ 0,1,2,3} .

không giáo hoán với phép quay, do đó nó

lập nên phép quay Lorentz không sơ đẳng và liên hệ với các hạt có spin khác
nhau, cụ thể là nó có thể biến đổi fermion thành boson và ngược lại:

Q fermion = boson ; Q boson = fermion .

17

(1.40)


Đại số Lie thông thường kết hợp với các giao hoán tử và phản giao hoán tử
(1.37), (1.38), (1.39) gọi là đại số Lie phân bậc hay còn được gọi là đại số siêu
đối xứng, đây cũng là cơ sở cho sự ra đời của SUSY – đối xứng giữa hai loại hạt
theo các thống kê khác nhau: boson – fermion.
1.4.2. Axion trong mô hình siêu đối xứng
Trong lý thuyết siêu đối xứng, ở vùng năng lượng thấp, axion xuất hiện cùng
với axino và saxion trong lý thuyết siêu trường chiral sau:

φ=

1

( s + ia ) + 2 a%θ + Fφθθ .
2

a% là

Trong đó a là trường axion,

(1.41)
trường axino, s là trường saxion,

Fφ

là

trường phụ. Đối với axino và saxion, do đặc tính tương tác yếu với vật chất
thông thường nên các tính chất của chúng (quá trình tạo hoặc rã) ngoài phụ
thuộc vào hằng số phân rã axion

f a , còn phụ thuộc rất mạnh vào khối lượng của

chúng. Với saxion, việc đánh giá khối lượng khá đơn giản, từ siêu thế:

W = λ p XQ p Q p .

Trong đó

λp

(1.42)

là hằng số liên kết, X là đa tuyến được xây dựng từ các PQ và

có giá trị trung bình chân không là

X = fa

còn

Qp

và

Qp

là các đa tuyến quark.

Từ sự phá vỡ siêu đối xứng đưa đến kết quả gần đúng sau:
fa :

18

f2
.
ms

(1.43)


4
f

≥
10
GeV f là thang khối lượng và ms là khối lượng của saxion. Nếu
Với

khối lượng saxion đủ nhỏ thì có thể đánh giá cùng bậc với khối lượng của

gravitino

ms = ξ mG°

với thông số ξ có bậc của đơn vị.

Từ các điều kiện vũ trụ học và thiên văn học, hằng số phân rã axion f a được
xác định trong khoảng:

109 GeV ≤ f a ≤ 1012 GeV .

(1.44)

Từ (1.43) và (1.44) ta thu được khoảng khối lượng của saxion với giá trị
thấp nhất của thang khối lượng f = 10 GeV là:
4

1keV ≤ ms ≈ mG° ≤ 100MeV .

(1.45)

Như vậy khối lượng của saxion là nhỏ và có thể so sánh được với khối lượng
của gravitino, do đó chúng có thời gian sống có thể là rất lâu (hạt bền).

Khác với saxion, khối lượng của axino phụ thuộc chặt chẽ vào các siêu thế,

có thể là rất nhỏ

( : eV )

hoặc khá lớn (~ vài chục GeV). Không giống như

trường hợp của gravition (hạt có spin 3/2) và các bạn đồng hành siêu đối xứng
thông thường, khối lượng của axino không theo bậc của thang phá vỡ SUSY.
Siêu thế tái chuẩn hóa được trong trường hợp đơn giản nhất được chọn như
sau [6], [3]:

(

)

W = gZ S1S2 − f a2 ,

(1.46)

Trong đó g là hằng số tương tác; Z, S 1, S2 là các siêu trường chiral với các
tích PQ lần lượt là 0, +1, -1. Trong trường hợp này khối lượng của axino có thể
19


là ở thang khối lượng phá vỡ SUSY mềm và nó xuất hiện từ việc chéo hóa ma

° ° °
trận khối lượng của các bạn đồng hành siêu đối xứng Z , S 1 , S 2 như sau:

 0 ma% gf a 

÷
M =  ma% 0 gf a ÷,
 gf gf
0 ÷
a
 a

trong đó

ma% = g Z

và

(1.47)

gf a : 1011 GeV

.

Các trị riêng của ma trận tương ứng là:

λ = − ma%

λ = ± 2 gf a + Θ ( ma%)

và

Trong giới hạn SUSY toàn cục

,

Z = 0,

do đó ở mức cây axino có khối lượng

bằng. Tuy nhiên S1 và S2 thu được các VEV và các số hạng mềm được gộp trong
thế sau:

V= g

2

(S

1

2

+ S2

2

) Z + ( A gS S Z − A gf Z + hc )
2

1

1 2

2

2
a

Một số hạng tuyến tính trong Z được sinh ra với

Z : ( A1 − A2 ) / g

(1.48)
với A1, A2

là các thông số khối lượng tam tuyến tính mềm. Vì vậy khối lượng axino xuất
hiện ở thang khối lượng phá vỡ SUSY mềm.
Nếu chọn siêu thế phức tạp hơn ta thu được axino ở mức cây. Siêu thế thỏa
mãn đối xứng PQ được chọn là:

i
3
W ' = gZ S1S2 − X 2 + λ ( X − M ) ,
3

(

20

)

(1.49)

Trong đó X mang tích

QPQ = 0

. Trong trường hợp cực tiểu hóa thế W’ ta

được kết quả phức tạp hơn, trị riêng nhỏ nhất của ma trận khối lượng fermion

V =0

với

và

(

ma% = Θ ( A − 2 B + C ) + Θ mG°2 / f a

) . Với A, B, C là các thông số phá vỡ

mềm lượt là tam tuyến tính, lưỡng tuyến tính và tuyến tính. Đối với các số hạng

phá vỡ mềm ta có thể chọn

B = A − 2mG° , C = A − 2mG°

thì

mG°2

do đó khối lượng axino ở mức cây có bậc của f a

axino bằng không hoặc có bậc của

mG°2 / f a

A − 2B + C = 0 A − 2B + C = 0 ,

: 1keV

. Nếu khối lượng của

thì sự đóng góp từ các giản đồ vòng có

thể trở nên quan trọng hơn. Trong mô hình axion KSVZ, khối lượng axino xuất

 fQ2 
ma% :  2 ÷ A
 8π ÷

 , với A là thành phần phá vỡ SUSY, f Q là
hiện ở mức một vòng

hằng số tương tác Yukawa của các quark nặng với trường đơn tuyến có chứa
axion, dẫn tới khối lượng axino khoảng vài chục GeV. Trong mô hình axion
DFSZ không có sự đóng góp của thành phần A thì khối lượng axino khoảng vài
keV.
Qua phân tích ở trên ta thấy việc chọn các siêu thế và cơ chế phá vỡ SUSY

là rất quan trọng để đánh giá khối lượng axino. Nhìn chung nó có thể có khối
lượng từ vài eV đến vài chục GeV. Trong việc nghiên cứu các tính chất của
axino trong vũ trụ thì khối lượng axino được coi là một thông số tự do.
1.5. Tương tác axion – photon

21


Axion xuất hiện trong phá vỡ đối xứng U(1) PQ ở năng lượng cao và nó là
một giả vô hướng. Axion xuất hiện trong nhiều mô hình khác nhau: xuất hiện
như một pha mới của trường Higgs trong lí thuyết điện - yếu, hoặc xuất hiện như
một thành phần của siêu trường chiral trong lý thuyết SUSY lượng thấp. Rõ ràng
axion có vai trò quan trọng trong việc khẳng định tính đúng đắn của các lý
thuyết trên, và do đó việc quan sát axion bằng thực nghiệm có ý nghĩa khoa học
to lớn và mang tính thời sự. Đã có nhiều phương pháp được đưa ra như: phương
pháp đại số dòng, phương pháp dùng ống dẫn sóng, phương pháp dùng buồng
cộng hưởng,…Nhìn chung là các phương pháp này đều nghiện cứu xoay quanh
sự tương tác của axion với photon.
Tương tác của axion và photon là tương tác thể hiện nhiều tính chất của
axion và hiện nay hầu hết các thực nghiệm đều dựa trên tương tác này để ghi
nhận axion.
Trong một số mô hình, Lagrangian mô tả tương tác axion – photon có dạng
như sau:
+Trong mô hình PQWW:

L( a − γ ) =

trong đó

N g caγγ e2 a

16π 2 v

µν

Fµνem F° em ,

caγγ = c aγγ − 3 ∑ α iQem2 ( qi )
i = L, R

,

Với c aγγ là hằng số tương tác axion được định nghĩa trên thang vỡ đối xứng

điện yếu và

Qem2 ( qi )

của quark i.

+ Trong mô hình KSVZ:

22


L( a − γ ) =

∂ a

2
1

(2 ∂ µ a ) + Nµ  ∑ ψ fLγ µ ( X f + α qf ) ψ fL + hc ÷
DW  f


i
i
αq
αq

 e 2caγγ a
2
2
−  ∑ ψ qR e M q e ψ qL + hc ÷ −
Fem F° em ,
2
 q
 32π f a

trong đó

caγγ = c aγγ + 6∑ α i Qem2 ( qi )
i

, lấy tổng theo các quark nhẹ.

+ Trong mô hình siêu đối xứng:

µν
 φ a2  
αφ a

1 ° µν
1
1 2 2
µ
°
L ( a − γ ) = − Fµν F + g aγ
Fµν F + ∂ µ φ a .∂ φ a − ma φ a 1 + Θ  2 ÷ ,
4
4π f a
2
2

 va  

trong đó α = e / 4π là hằng số tinh tế, ma là khối lượng của axion, fa là hằng
2

số phân rã axion,

g aγ

là hằng số tương tác photon – axion.

1.6. Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã trình bày về các mô hình axion khác nhau,
vai trò của axion và biểu thức Lagrangian mô tả tương tác của axion với các hạt
khác. Đó là:
+ Mô hình axion PQWW: trong mô hình này axion xuất hiện như một pha
mới của trường Higgs.
+ Mô hình axion KSVZ: ở đây, chúng tôi đưa ra tương tác axion

quark nặng .

23

aFF° từ các


+ Mô hình axion DFSZ: chúng tôi đưa ra tương tác axion

aFF° từ các quark

nhẹ.
+ Mô hình axion siêu đối xứng: chúng tôi trình bày sự xuất hiện của axion,
saxion, axino từ siêu trường chiral và đánh giá khối lượng của saxion, axino.
+ Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ ra được tương tác của axion.

24


CHƯƠNG II
BÌNH PHƯƠNG BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH
HỦY CẶP AXION-PHOTON SINH CÁC CẶP FERMION
Trong chương này, chúng tôi tính bình phương biên độ tán xạ của quá trình
hủy cặp axion-photon sinh cặp fermion theo các kênh s, u, t và sự giao thoa giữa
các kênh này trong hai trường hợp chùm fermion (f+, f-) phân cực và không phân
cực.
2.1. Các đỉnh tương tác
2.1.1. Tương tác fermion và photon
Biểu thức Lagrangian tương tác điện từ giữa fermion và photon:

Lint ( f γ ) = eψ f γ µψ f Aµ ( x ) .

Dùng phương pháp “bóc vỏ”, lấy đạo hàm

(2.1)

Lint ( eγ )

theo các toán tử trường, ta

được hàm đỉnh tương tác:

V ( f − γ ) = ieγ µ .
Giản đồ Feynman [1] được biểu diễn bởi hình vẽ 2.1:

25

(2.2)