Phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động (TT)

1
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
---o0o---

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

GIỚIHÀ
THIỆU
NỘI, LUẬN
2016 ÁN


2
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. TS. Phạm Xuân Khang

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp học
viện họp tại ………………………………., Hà Nội.
Vào hồi

giờ

phút

ngày

tháng

năm 2016

Có thể tìm luận án tại thư viện Quốc Gia Việt Nam và thư viện Học
viện Khoa học và Công nghệ, thư viện Viện Cơ học.


1

1. Tính cấp thiết của đề tài
Việc nghiên cứu đáp ứng động lực học của kết cấu chịu tải
trọng di động đóng vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật, đặc
biệt là giao thông vận tải. Bài toán dao động dầm đơn giản
chịu tải trọng của lực di động đã được quan tâm giải quyết từ
rất sớm (đầu thế kỷ 19). Tuy nhiên, bài toán này đến nay vẫn
còn đang được nghiên cứu vì các lý do sau đây: (1) mô hình
tải trọng cần phải được phát triển để mô tả chính xác hơn các
tải trọng di động trong thực tế; (2) phương pháp giải bài toán
động lực học cũng cần phải cải thiện để cho lời giải sát với

thực tế hơn; (3) kết cấu công trình chịu tải trọng di động cũng
ngày càng phức tạp làm phát sinh nhiều bài toán mới về động
lực học.
Công cụ phổ cập nhất để giải bài toán dao động của dầm
chịu tải trọng di động chính là phương pháp Bubnov-Galerkin
dựa trên các hàm cơ sở là các dạng dao động riêng của dầm
(phương pháp chồng mode-mode superposition). Tuy nhiên,
phương pháp này khó áp dụng cho kết cấu phức tạp khi mà các
dạng dao động riêng chưa biết. Khi đó, người ta áp dụng
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), ở đó các hàm dạng có
thể sử dụng các đa thức Hermitt. Mặc dù phương pháp PTHH
đã mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của bài toán tải trọng di
động, đây cũng chỉ là một phương pháp gần đúng, chỉ có hiệu
quả trong miền tần số thấp. Hơn nữa, khi ứng dụng phương
pháp PTHH cho bài toán tải trọng di động, người ta phải xây
dựng một thuật toán dò tìm vị trí của tải trọng theo thời gian,
làm tăng đáng kể thời gian tính toán. Gần đây, phương pháp
ma trận độ cứng động lực hay còn gọi là phương pháp phần tử


2
phổ (spectral element method) được phát triển để cải thiện độ
chính xác của phương pháp PTHH. Nhưng nó vẫn gặp rắc rối
khi tính lực cắt, thường là không liên tục tại vị trí đặt lực.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của luận án này là phát triển ứng dụng phương
pháp phổ tần số để phân tích dao động trong miền tần số của
dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động. Thực chất, bài
toán phân tích dao động trong miền tần số hay còn gọi là phân
tích phổ dao động là nghiên cứu sự biến thiên của biên độ theo

tần số để phát hiện ra các dao động có biên độ nổi trội (thường
được biểu thị bằng các đỉnh cộng hưởng trong biểu đồ của
hàm đáp ứng tần số). Biên độ và tần số đỉnh cho hai thông tin
cơ bản về một dạng dao động cụ thể.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu trong luận án là kết cấu đơn giản
dạng dầm Euler-Bernoulli có vết nứt chịu tải trọng tập trung
điều hoà di động với vận tốc không đổi. Mô hình vết nứt trong
dầm đàn hồi được sử dụng trong luận án là mô hình lò xo
tương đương với độ cứng tính từ độ sâu vết nứt theo lý thuyết
cơ học phá hủy.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp giải tích,
các kết quả giải tích được phân tích minh hoạ bằng phương
pháp số sử dụng phần mềm MATLAB.
5. Bố cục luận án
Luận án bao gồm mở đầu và các chương sau:
Chương 1.Trình bày tổng quan và các phương pháp cổ
điển trong việc giải bài toán tải trọng di động; bài toán chẩn
đoán vết nứt trong dầm và một số kết quả đã đạt được.


3
Chương 2. Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đáp
ứng tần số áp dụng cho dầm đàn hồi chịu tải trọng di động.
Chương 3. Đưa ra lời giải chính xác trong miền tần số cho
bài toán dao động của dầm không vết nứt chịu tải trọng di
động và phân tích phổ dao động của dầm phụ thuộc vào vận
tốc của tải trọng di động.
Chương 4. Nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có nhiều

vết nứt sử dụng phương pháp phổ tần số và đề xuất một thuật
toán thử nghiệm chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi chịu tải
trọng di động.
Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã nhận
được trong luận án và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên
cứu.
Chƣơng 1. TỔNG QUAN
1.1. Nội dung bài toán tải trọng di động
Xét một dầm đàn hồi chịu tải trọng di động như trong
hình 1.1, trong đó mô tả một vật có khối lượng m đặt trên một
giảm chấn (k, c) di động trên một dầm đàn hồi có các đặc
trưng cơ học như trong hình vẽ. Bỏ qua khối lượng của con lăn
và giả thiết rằng con lăn luôn tiếp xúc với bề mặt của dầm,
phương trình chuyển động của hệ có thể thiết lập ở dạng:
EI

 4 w( x, t )
w( x, t )
 2 w( x, t )
 F
 F
 P(t ) [ x  x0 (t )] ; (1.1.1)
4
x
t
t 2

P(t )  mg  cz(t )  kz (t )  m[ g  y(t )] ;
0 (t ); z(t )  [ y(t )  w0 (t )]; w0 (t )  w[ x0 (t ), t ] .
mz(t )  cz(t )  kz (t )  mw

Trong phương trình trên w( x, t ) là độ võng của dầm, y (t ) là
dịch chuyển thẳng đứng tuyệt đối và z (t ) -dịch chuyển tương
đối của vật (so với dầm); x0 (t ) là vị trí của con lăn trên dầm;

 (t ) là hàm xung Đi-rắc.


4
x0 (t )  v

m

v
c

k

E, I, , F

x0
x

w0

w(x,t)


Hình 1.1. Mô hình bài toán tải trọng di động
Từ bài toán tổng hợp này ta có thể nhận được các bài toán cụ

thể như sau :
Bài toán lực di động : Trong số các vấn đề dao động của kết cấu
và vật rắn chịu tải trọng di động thì trường hợp đơn giản nhất là
ứng suất động học trong dầm gối tựa đơn chịu một lực không đổi
di chuyển trên nó với vận tốc không đổi.
Bài toán khối lượng di động: Nếu chuyển vị tương đối của vật so
0 (t )] . Khi đó
với dầm nhỏ có thể bỏ qua thì ta có P(t )  m[ g  w

phương trình (1.1.1) là mô hình của bài toán dao động của dầm
dưới tác dụng của khối lượng di động.
Bài toán vật thể di động: Trong trường hợp tổng quát, hệ phương
trình hỗn hợp (1.1.1) bao gồm cả phương trình vi phân thường và
phương trình vi phân đạo hàm riêng là mô hình của bài toán vật
thể di động. Lúc này, kết quả giải hệ phương trình này cho ta
đồng thời đáp ứng động lực học của cả dầm và vật.
1.2. Các phƣơng pháp giải bài toán tải trọng di động
a) Phương pháp Bubnov-Galerkin
Phương pháp Bubnov-Galerkin là một phương pháp gần đúng
hữu hiệu để giải phương trình vi phân, tích phân. Vì thế đối với
các đối tượng của Động lực học công trình mà phương trình
chuyển động của nó có thể thiết lập được ở giải tích thì ta có thể


5
sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin để tìm đáp ứng động. Bài
toán dao động của dầm chịu tải trọng di động ngay từ đầu và cho
đến nay vẫn đang được nghiên cứu bằng phương pháp chồng
mode.
b) Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp PTHH ra đời và phát triển đến nay trở thành một
phương tiện hiệu quả và thông dụng nhất trong việc nghiên cứu
các bài toán kỹ thuật. Các kết quả nhận được trong việc áp dụng
phương pháp PTHH cho bài toán tải trọng di động chủ yếu là tìm
giá trị cực đại của đáp ứng (chuyển vị, vận tốc, gia tốc) trong
miền thời gian phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng. Mặc dù
phương pháp PTHH là công cụ chủ đạo trong nghiên cứu động
lực học các kết cấu phức tạp như khung, dàn, v.v… Nhưng khi áp
dụng cho kết cấu dầm thì phương pháp PTHH cũng chỉ cho phép
nghiên cứu đáp ứng của dầm trong miền tần số thấp tương đương
với tần số cơ bản như trong phương pháp Bubnov-Galerkin.
Ngoài ra, khi áp dụng cho bài toán tải trọng di động phương pháp
PTHH có hai nhược điểm: một là phải có thuật toán theo dõi vị trí
của tải trọng để tính toán tải trọng nút, tốn thời gian tính toán; hai
là phương pháp PTHH chỉ cho ta đáp ứng trong khoảng thời gian
mà tải trọng còn ở trên dầm. Trong khi những nghiên cứu lý
thuyết cho thấy dầm vẫn tiếp tục dao động và có khi còn rất mạnh
ngay cả khi tải trọng đã ra khỏi dầm không còn tác dụng lên dầm
nữa. Vì những lý do nêu trên, tác giả luận án đã không lựa chọn
phương pháp PTHH cho nghiên cứu của mình về bài toán dao
động của dầm chịu tải trọng di động.
c) Phương pháp độ cứng động
Thực chất người ta đã quan tâm đến phương pháp độ cứng
động từ rất sớm, thậm chí trước cả phương pháp PTHH. Nó có
nguồn gốc từ phương pháp độ cứng cổ điển, nhưng do việc tính


6
toán quá phức tạp nên đã bị lãng quên một thời gian. Cuối thế kỷ
20, khi phương pháp PTHH gặp một số trở ngại trong việc mô

phỏng các quá trình động lực tần số cao, phương pháp độ cứng
động lực được quan tâm và phát triển. Đặc biệt là khi các công cụ
tính toán trên máy tính nhất là phương pháp tính toán bằng chữ
(symbolic) phát triển rất mạnh. Có một số người cho rằng,
phương pháp độ cứng động là sự phát triển tiếp theo của phương
pháp PTHH, trong đó các hàm dạng Hermitt (thực chất là lời giải
của bài toán tĩnh) đã được thay bằng các hàm dạng mới là lời giải
của bài toán động (phụ thuộc tần số). Dù sao thì phương pháp độ
cứng động và phương pháp PTHH cũng có sự khác nhau cơ bản
sau đây: phương pháp độ cứng động xét các bài toán trong miền
tần số, còn phương pháp PTHH xét các bài toán trong miền thời
gian. Gần đây, đã xuất bản một số sách chuyên khảo về một
phương pháp mới của động lực học, gọi là phương pháp phần tử
phổ (spectral element method - SEM). Thực chất, phương pháp
phần tử phổ chỉ là phương pháp độ cứng động được kết nối với
phép biến đổi Fourie nhanh, nên kết quả nhận được cũng chỉ lời
giải trong miền thời gian.
1.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi
Nội dung cơ bản của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm
đàn hồi là xác định vị trí và độ sâu của các vết nứt bằng cách đo
đạc các đặc trưng dao động (có thể là dao động riêng hay dao
động cưỡng bức) của dầm. Các phương pháp giải quyết bài toán
này có thể được phân loại theo các đặc trưng đo đạc được của
dầm như sau:
(1) Phương pháp tần số riêng nghĩa là xác định vị trí và độ sâu
của vết nứt từ số liệu đo đạc tần số dao động riêng;


7
(2) Phương pháp dạng dao động riêng giải quyết bài toán chẩn

đoán vết nứt sử dụng các dạng riêng hoặc độ cong (tỷ lệ với biến
dạng) của dạng riêng có thể đo đạc được;
(3) Phương pháp hàm đáp ứng tần số dựa trên các số liệu đo đạc
hàm đáp ứng phổ đo đạc được trong Thử nghiệm động (Dynamic
Testing).
(4) Phương pháp miền thời gian dự trên các số liệu đo đạc hàm
đấp ứng trong miền thời gian.
Trong các phương pháp nêu trên, ngoại trừ phương pháp hàm
đáp ứng tần số, đều gặp phải khó khăn là sai số đo đạc ảnh hưởng
nhiều đến kết quả chẩn đoán mà cho đến nay vẫn chưa có cách
giải quyết triệt để. Tuy nhiên, phương pháp hàm đáp ứng tần số,
mặc dù sai số đo đạc ảnh hưởng ít hơn, nhưng do hàm đáp ứng
tần số cho đến nay vẫn được xây dựng trên cơ sở phương pháp
chồng mode và sự tương tác giữa các mode dao động lại làm cho
hàm đáp ứng tần số ít nhạy cảm với hư hỏng. Vì vậy, việc xây
dựng hàm đáp ứng tần số mà không cần biết các dạng dao động
riêng sẽ là một triển vọng cho việc áp dụng để chẩn đoán vết nứt
bừng hàm đáp ứng tần số.
1.4. Xác định phƣơng hƣớng và nội dung nghiên cứu
Những phân tích và trình bày nêu trên cho phép ta rút ra một
số nhận xét sau đây:
Mặc dù bài toán tải trọng di dộng đã được quan tâm nghiên
cứu cách đây hàng trăm năm và đã có rất nhiều công trình nghiên
cứu cả lý thuyết, thực nghiệm và ứng dụng, nhưng bài toán này
đến nay vẫn còn là một vấn đề cấp thiết trong cả nghiên cứu và
ứng dụng. Lý do thứ nhất là do sự phát triển không ngừng của các
phương tiện giao thông, vận tải, mô hình tải trọng cũng đòi hỏi
phải được nghiên cứu phát triển cho phù hợp với thực tế. Hai là
các kết cấu chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp, đòi

8
hỏi những mô hình kết cấu mới, đặc biệt là các kết cấu có khuyết
tật và hư hỏng. Riêng bài toán kết cấu đơn giản với tải trọng phức
tạp hay kết cấu phức tạp chịu tải trọng đơn giản cũng là những
vấn đề cần phải giải quyết. Cho dù nhiều phương pháp đã được
phát triển để nghiên cứu bài toán tải trọng di động, những lời giải
chính xác của bài toán ngay cả về phương diện toán học vẫn còn
quá ít. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng cách
đo đạc đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động đã biết, như đã
phân tích ở trên là rất triển vọng. Bởi vì số lượng điểm đo tải
trọng lúc này thực chất là đã tăng lên vô cùng (do tải trọng di
động liên tục trên dầm). Đặc biệt là nếu có thể đo đạc đáp ứng
của dầm bằng một đầu đo di động cùng với tải trọng. Chắc chắn
số liệu đo đạc sẽ rất nhiều thông tin về trạng thái kỹ thuật của
dầm, ví dụ như các vết nứt.
Vì những lý do nêu trên, vấn đề đặt ra trong luận án này là
phát triển phương pháp phổ tần số để nghiên cứu dầm đàn hồi có
nhiều vết nứt chịu tải trọng di động.
Chƣơng 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN
2.1. Hàm đáp ứng tần số
Xét dao động uốn của dầm đàn hồi Euler-Bernoulli mô tả
bằng phương trình
  4 w( x, t )
  2 w( x, t )
 5 w( x, t ) 
w( x, t ) 
EI 
 1
 F 

 2
 p( x, t ) ,

4
4
2
x t 
t 
 x
 t

trong đó w( x, t ) là độ võng của dầm tại mặt cắt x và E, I, F, ρ, L
là các tham số vật liệu, hình học,

1 , 2 là các hệ số cản của

dầm. Biến đổi Fourie hai vế phương trình trên ta được
d 4W ( x,  )
dx 4

 4W ( x,  )  Q( x,  ) , 4  F 2 ( 1  i 2 ) / EI ; (2.1.1)


9


W ( x,  )   w( x, t )e it dt; Q( x,  ) 




P( x,  )
; P( x,  )   p( x, t )e it dt;
EI


 1  1  1 2 / (1  12 );  2  (1   2 / ) /(1  12 ) .
Trong trường hợp tổng quát hàm W ( x,  ) thoả mãn phương trình
(2.1.1) và điều kiện biên được gọi là đáp ứng tần số của dầm chịu
tải trọng tổng quát p( x, t ) . Đáp ứng tần số là một hàm phức, mô
tả biên độ dao động cưỡng bức của dầm ứng với tần số

,

W ( x, )  Rw ( x, )  iI w ( x, ) . Giá trị tuyệt đối hay modun của

đáp ứng tần số, ký hiệu là
S w ( x,  )  W ( x,  )  Rw2 ( x,  )  I w2 ( x,  )

(2.1.2)

chính là biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi chịu tải trọng tổng quát

p( x, t ) . Hàm số S w ( x,  ) của hai biến x,  , được gọi là phổ
biên độ đáp ứng (Response Spectrum) của dầm tại mặt cắt x xét
trong miền tần số. Nếu xét hàm (2.1.2) theo biến x với  0 cố
định ta được một đặc trưng gọi là biểu đồ biên độ dao động hay
dạng dao động của dầm tại tần số  0 . Nội dung của phương pháp
phổ tần số trong bài toán tải trọng di động được trình bày dưới
đây là việc xây dựng hàm phổ biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi
chịu tải trọng di dộng.

2.2. Phƣơng pháp phổ tần số trong bài toán tải trọng di động
Xét một dầm Euler-Bernoulli chịu tác dụng của lực bất kỳ P(t)
di động với vận tốc hằng số trên dầm. Khi đó


Q( x,  )   P(t ) ( x  vt )e it dt  P( x / v)e ix / v / EIv ;

(2.2.1)



Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1)
bằng
W ( x, )  0 ( x, )  1 ( x, )

(2.2.2)

d 40 ( x, ) / dx 4  40 ( x, )  0
x

1 ( x,  )   h( x  s)Q(s,  )ds ; h( x)  (sinh x  sin x) / 23 .
0


10
Như vậy, ta đã xác định được đáp ứng tần số của dầm chịu tải
trọng tập trung di động bất kỳ ở dạng
W ( x, )  CL1 (x)  DL2 (x)  1 ( x, ), r  1,2,3 .

(2.2.3)

với các hàm số L1 ( x), L2 ( x) được xác định từ điều kiên biên cụ
thể; hàm số

1 ( x) có dạng (2.2.3) và các hệ số C, D được tính

bằng các công thức
C

1( q1 ) (,  ) L(2p1 ) ()  1( p1 ) (,  ) L(2q1 ) ()

D

1( p1 ) (,  ) L1( q1 ) ()  1( q1 ) (,  ) L1( p1 ) ()

L1( p1 ) () L(2q1 ) ()  L1( q1 ) () L(2p1 ) ()

L1( p1 ) () L(2q1 ) ()  L1( q1 ) () L(2p1 ) ()

;
.

(2.2.4)

2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov
Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc giải phương trình
Ax  b,

(2.3.1)

trong đó ma trận A là bất kỳ (có thể không vuông hoặc suy biến)
và b là véc tơ chỉ được biết một cách gần đúng so với giá trị
chính xác b . Theo phương pháp điều chỉnh Tikhonov, phương
trình (2.3.1) được thay bằng phương trình
(AT A  LT L)x  AT b  αLT Lx 0 .

(2.3.2)

Khi đó nghiệm của phương trình (2.3.1) đã được điều chỉnh bằng
r  x
n
  k u Tk b 
xˆ    0k
v k   x 0k  v k  .
2
 k
k 1
k  r 1



(2.3.3)

Kết luận chƣơng 2
Trong chương này đã đưa ra khái niệm hàm đáp ứng phổ của
dầm chịu tải trọng bất kỳ, là một hàm của hai biến số: tần số (  )
và toạ độ của dầm (x). Sau đó đã trình bày nội dung phương pháp
phổ tần số và áp dụng cho trường hợp tải trọng di động với vận
tốc không đổi. So sánh đáp ứng thời gian nhận được bằng phương

11
pháp phổ tần số (sau khi biến đổi Fourie ngược) và phương pháp
chồng mode cho phép ta khẳng định rằng : nếu xét trong miền
thời gian thì phương pháp phổ tần số tương đương với phương
pháp chồng mode. Sự khác biết có thể chỉ là ở cấu trúc phổ của
hai nghiệm, đặc biệt là ở tần số cao, khi mà phương pháp chồng
mode không thể ấp dụng. Ở đây cũng đã trình bày tóm lược cơ sở
phương pháp điều chỉnh Tikhonov sẽ áp dụng cho bài toán chẩn
đoán vét nứt ở chương 4.
Chƣơng 3. ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA DẦM CHỊU TẢI
TRỌNG ĐIỀU HÒA DI ĐỘNG
3.1. Dao động của dầm chịu tải trọng hằng số
Để tiện việc tính toán ta đưa vào các biến không thứ nguyên
như sau:   v / Vc  v / 1 (tham số vận tốc) và tần số tính toán
được chuẩn hóa bằng tần số cơ bản của dầm    / 1  [0,2] .
Trong đó Vc  1 /  là vận tốc tới hạn,
bản,

1 là tần số riêng cơ

v  v /  là tần số lái (driving frequency).

Hình 3.1. Phổ biên độ phụ
thuộc vào vận tốc tải trọng

Hình 3.2. Biên độ dao động
riêng phụ thuộc vào vận tốc

12

Hình 3.3. Phổ biên độ dao Hình 3.4. Phổ biên độ dao động
động tại vận tốc phản cộng (   0.4 ) tại các vận tốc
1
hưởng
khác nhau
Nhận xét:
Trong trường hợp tải trọng di động là hằng số, biểu đồ phổ
biên độ tần số cho thấy chỉ xuất hiện hai biên độ nổi trội tại tần số
bằng 0 và tần số riêng. Điều này chứng tỏ chỉ tồn tại dao động với
tần số riêng (gọi tắt là dao động riêng). Tuy nhiên, biên độ dao
động riêng chỉ nổi trội khi vận tốc di chuyển của tải trọng lớn hơn
1/3 vận tốc tới hạn. Khi tốc độ di chuyển của tải trọng thấp (nhỏ
hơn một phần mười vận tốc tới hạn) thì đáp ứng là chuyển vị tĩnh.
Biên độ dao động kéo theo nói chung rất nhỏ, nó chỉ đạt cực đại
khi tốc độ tải trọng bằng vận tốc tới hạn. Khi vận tốc di chuyển
của tải trọng nhỏ hơn 1/3 vận tốc tới hạn, sự tương tác giữa dao
động kéo theo với dao động riêng xảy ra tương đối mạnh làm cho
biên độ dao động riêng có thể bị triệt tiêu ở một số giá trị của vận
tốc tải trọng. Những vận tốc này được gọi là vận tốc phản cộng
hưởng và được xác định bằng một công thức giải tích. Hệ số cản
nói chung làm giảm biên độ dao động của đáp ứng, nhưng không
ảnh hưởng đến sự tương tác giữa dao động kéo theo và dao động
riêng.


13
3.2. Đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động
Khảo sát các đồ thị trên Hình 3.4 (   0.41 ) cho thấy khi vận

tốc di chuyển của lực thấp hơn 0.1vc, thì biên độ dao động cưỡng
bức là nổi trội. Tuy nhiên, biên độ dao động này giảm rất nhanh
khi vận tốc tăng đến 0.2vc và sau đó thì đỉnh tại tần số tải trọng
này hoàn toàn biến mất. Lúc này chỉ còn lại đỉnh của thành phần
dao động riêng. Như vậy, có thể khẳng định rằng, thành phần dao
động riêng sẽ là chủ đạo khi vận tốc vượt qua 0.2 vận tốc tới hạn.
Dao động kéo theo chỉ xuất hiện như những cánh hoa rất nhỏ hai
bên đỉnh dao động cưỡng bức và dao động riêng. Sự tắt của dao
động riêng được minh chứng bằng hàm phổ biên độ đáp ứng với
các vận tốc phản cộng hưởng được trình bày trong Hình 3.5. Như
vậy, ứng với mỗi tần số của lực di động ta có thể tìm được các
vận tốc phản cộng hưởng tương ứng. Biểu đồ cho phép ta xác
định các vận tốc phản cộng hưởng ứng với các tần số tải trọng
khác nhau được trình bày trong Hình 3.6.

Hình 3.5. Phổ biên
độ,   0.41 , tại vận tốc phản
cộng hưởng

Hình 3.6. Biểu đồ tốc độ
phản cộng hưởng và tần số
tải trọng


14
Kết luận chƣơng 3
Kết quả phân tích hàm đáp ứng tần số chịu tải trọng di động
nêu trên cho phép ta rút ra những kết luận sau đây: Hàm đáp ứng
tần số là một đặc trưng quan trọng trong phân tích dao động của
dầm chịu tải trọng di động. Nó cho phép ta nghiên cứu bức tranh

dao động đầy đủ của đáp ứng bao gồm cả các dao động cưỡng
bức (dao động bình ổn) và dao động riêng của dầm chịu tác dụng
của lực điều hoà di động; Sử dụng hàm đáp ứng tần số chúng ta
có thể nhận biết các dạng dao động theo vận tốc di chuyển của tải
trọng như sau: Khi vận tốc di chuyển của tải trọng thấp hơn 1/10
vận tốc tới hạn, thì chỉ tồn tại dao động cưỡng bức (với tần số của
tải trọng) bình ổn. Khi tải trọng di chuyển với vận tốc lớn hơn 1/3
vận tốc tới hạn, ta gọi đây là vận tốc cao, lúc này hầu như chỉ tồn
tại dao động với tần số riêng (gọi là dao động riêng). Trong
trường hợp tải trọng di chuyển với vận tốc trung bình (lớn hơn
1/10 và nhỏ hơn 1/3 vận tốc tới hạn) thì dao động cưỡng bức và
dao động riêng tương tác mạnh với nhau và tồn tại những vận tốc
làm cho dao động riêng bị triệt tiêu. Các vận tốc này gọi là phản
cộng hưởng và trong luận án này đã đưa ra công thức để tính vận
tốc phản cộng hưởng; Sự tương tác giữa các tải trọng điều hoà
cũng ảnh hưởng đến biên độ dao động cưỡng bức và dao động
riêng. Cụ thể là lực hằng số có ảnh hưởng lớn khi vận tốc của tải
trọng thấp. Khi vận tốc tải trọng cao, thì ảnh hưởng của tải trọng
với tần số gần tần số riêng trở nên nổi trội. Hai tần số đối xứng
nhau qua tần số riêng ảnh hưởng như nhau đến biên độ dao động
khi vận tốc thấp. Nhưng ở vận tốc cao thì ảnh hưởng của tải trọng
với tần số cao hơn sẽ lớn hơn.


15
Chƣơng 4
DAO ĐỘNG CỦA DẦM BỊ NỨT CHỊU TẢI TRỌNG
DI ĐỘNG
4.1. Dao động riêng của dầm có vết nứt
x

e1

a1 E, , F

aj

h

ej

b
L
b

y

h
K0j

Hình 4.1. Mô hình dầm có nhiều vết nứt.
Xét một dầm đàn hồi đồng chất thiết diện không đổi có mô
đun đàn hồi E, mật độ khối ρ, chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang
F và mô men quán tính hình học mặt cắt ngang I, có n vết nứt tại
vị trí e j , j  1,..., n. Giả thiết, vết nứt ngang và mở hoàn toàn
được mô hình bằng lò xo xoắn có độ cứng K0 j ( j  1,..., n)
dưới dạng hàm của độ sâu vết nứt a j ( j  1,..., n). (Hình 4.1).
Phương trình dao động tự do của dầm
 ( IV ) ( x)  4 ( x)  0, x  (0,1),   L4 F 2 / EI

(4.1.1)

điều kiện biên lý tưởng tổng quát là
 ( p0 ) (0)   ( q0 ) (0)  0,  ( p) (1)   (q) (1)  0

(4.1.2)

và điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt
(e j  0)  (e j  0); (e j  0)   (e j  0);  (e j  0)   (e j  0);
 (e j  0)  (e j  0)   j  (e j  0).

với  j  EI / LK 0 j và K0j được xác định trong mục trước.
Phương trình tần số
f (,  , e)  det(Γ(γ)B(, e)  L0 ( )I)  0,

(4.1.4)


16
Γ(γ)  diag 1 ,..., n , B(, e)  [b jk  b( , e j , ek ) j, k  1,...,n] .

Dạng dao động riêng
n

 k ( x)  ( x, k )    ( x, k , e j ) kj ,  ( x, k , e j )   ( x, k , e j ) / L0 (k )
j 1

Ví dụ minh họa: Kết quả tính toán tần số riêng của dầm đa nhịp
Bảng 4.1. Kết quả tính toán tần số của dầm liên tục có vết nứt
Các phương án
vết nứt

Không nứt
(4.1.61)
TL[36]
Nhịp 1
Nhịp 2
Không nứt 1.2 1.8
0.5
1.2 1.8
0.2
0.8 1.2 1.8
0.2
0.8
1.5
0.2
0.8 Không nứt

Tần số Tần số Tần số Tần số Tần số
1
2
3
4
5
3.1416 3.9266 6.2832 7.0686 9.4248
π
3.9266
2π
7.0685
3π
Nghiệm phương trình (4.1.59)
3.1056 3.9266 6.2395 7.0686 9.3911

3.1056 3.7753 6.2395 7.0190 9.3911
3.1056 3.7878 6.2395 6.6617 9.3911
3.1157 3.7878 6.2832 6.6617 9.4270
3.1416 3.7878 6.2832 6.6617 9.4248

Tần số
6
10.2102
10.2101
10.2101
9.7954
9.5124
9.5124
9.5124

4.2. Phƣơng pháp phổ tần số áp dụng cho dầm có vết nứt chịu
tải trọng di động
Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phổ trong phân
tích đáp ứng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di
động, được mô tả bằng phương trình
EI

 4 w( x, t )
w( x, t )
 2 w( x, t )
 F
 F
 P(t ) [ x  vt )]
4
x

t
t 2

(4.2.1)

Biến đổi Fourier hai vế phương trình (4.2.1), ta được
d 4 ( x,  )
dx 4

 4 ( x,  )  Q( x,  ) ;

(4.2.2)

Nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2) có dạng
x

 ( x,  )  0 ( x,  )   h( x  s)Q(s,  )ds ,

(4.2.3)

0

h( x)  (1 / 2 )[sinh x  sin x] ;
3

d 40 ( x,  )
dx

4

 40 ( x,  )  0 .

(4.2.4)

Khi đó nghiệm của phương trình (4.2.2) có thể biểu diễn ở dạng


17
n

0 ( x,  )  L0 ( x,  )    k K ( x  ek )

(4.2.5)

 j   j [ L0 (e j ,  )    k S (e j  ek ) ] .

(4.2.6)

jk11

k 1

Như vậy ta đã tìm được nghiệm khép kín của phương trình (4.2.2)
có thể biểu diễn ở dạng
n

 ( x,  )   0 ( x,  )    k  k ( x, e,  ,  ) ,
k 1

(4.2.7)

 0 ( x, )  C0 L1 ( x,  )  D0 L2 ( x,  )  1 ( x, ) ;

 k ( x, )  Ck L1 ( x,  )  Dk L2 ( x,  )  K ( x  ek ), k  1,...,n .
Trong trường hợp lực tuần hoàn, ta có P(t )  P0 e iet và do đó
Q( x, )  ( P0 / EIv)e ix / v  Q0 e ix / v , ˆ    e
ˆ

ˆ

1( x,)  10(x)  Q0eiˆx / v /[4  (ˆ / v)4 ] ;

10 (x)  P1 () cosh x  P2 () sinh x  P3 () cos x  P4 () sin x .
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng tần số của dầm chịu
tải trọng di động
Để minh hoạ cho lý thuyết nêu trên, chúng ta xét dầm đàn
hồi với các tham số:
  25m , F  b  h  0.5  0.25m2 ,

E  200MPa,   7850kg / m 3 với các kịch bản khác nhau về vết
nứt. Ở đây sẽ khảo sát số sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số gây
nên bởi các vết nứt đồng thời với tải trọng di động (tốc độ và tần
số). Vì đáp ứng tần số là một hàm phức, nên sự thay đổi của hàm
đáp ứng tần số có thể xem xét ở hai khía cạnh: một là sự thay đổi
của giá trị tuyệt đối và hai là giá trị tuyệt đối của sự thay đổi,
được ký hiệu như sau
Sa ( x,  )  c ( x,  )  0 ( x, ) , Sm ( x,  )  c ( x, )  0 ( x, ) ,

Trong đó chỉ số dưới là “c” mô tả hàm đáp ứng tần số của
dầm bị nứt và chỉ số “0” là hàm đáp ứng tần số của dầm không bị

nứt; Sa ( x, ) là sự thay đổi của phổ biên độ của đáp ứng (gọi tắt
là sự thay đổi biên độ dao động và Sm ( x,  ) gọi là sự thay đổi


18
hàm đáp ứng tần số. Tuỳ trường hợp sự thay đổi nào đáng kể hơn
sẽ được xem xét chi tiết hơn và ở đây chưa quan tâm đến đặc
trưng pha của hàm đáp ứng tần số. Ngoài ra chúng ta vẫn tính
toán

trên

các

đại

lượng

   / 1 , f e   / 1 ,   v / Vc , trong đó

không

thứ

nguyên

1 là tần số riêng cơ bản,

 là tần số của tải trọng và Vc  1L /  là vận tốc tới hạn của tải
trọng. Việc khảo sát được thực hiện trong miền tần số từ 0 đến

21 , tức   (0,2), f e  [0,2] có tâm là tần số cơ bản. Sự thay đổi
được xem xét cả theo biến không gian x dọc theo chiều dài dầm.

Hình 4.2. Sự thay đổi biên độ với Hình 4.3. Sự thay đổi biên độ với
các vận tốc tải trọng khác nhau
các tần số tải trọng khác nhau

Hình 4.4. Sự thay đổi biên độ
đáp ứng theo tần số tải trọng

Hình 4.5. Sự thay đổi hàm đáp
ứng tần số theo vị trí vết nứt


19

Hình 4.6. Sự thay đổi của hàm
đáp ứng tần số dọc theo chiều
dài dầm và vị trí vết nứt

Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm
đáp ứng tần số ứng theo số
lượng vết nứt (từ 1 đến 9)

Hình 4.7. Sự thay đổi của
hàm đáp ứng tần số với các
vận tốc tải trọng khác nhau

Hình 4.9. Sự thay đổi của hàm

đáp ứng tần số dọc theo chiều
dài dầm theo số lượng vết nứt
(từ 1 đến 9);

Trong các Hình 4.2-4.9 trình bày sự thay đổi của phổ biên
độ đáp ứng của dầm tương ứng với các giá trị của vận tốc và
tần số tải trọng; vị trí và số lượng vết nứt khác nhau.
4.4. Nhận dạng vết nứt trong dầm bằng hàm đáp ứng tần
số
Trong mục này sẽ xây dựng một thuật toán để nhận dạng
vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di
động. Nội dung của phương pháp gồm các bước sau:


20
(1) Giả thiết vết nứt với độ sâu chưa biết xuất hiện tại các vị trí

e1 ,..., en , xây dựng một mô hình dầm có các vết nứt đã giả
thiết này và thiết lập biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng tần
số chịu tải trọng di động cho trước;
(2) Sử dụng mô hình đã xây dựng ở trên và số liệu đo đạc về
hàm đáp ứng tần số xác định độ sâu chưa biết của các vết nứt;
(3) Vẽ biểu đồ của độ sâu vết nứt theo các vị trí vết nứt đã giả
thiết và trên biểu đồ đó các đỉnh nổi trội sẽ cho ta vị trí và độ
sâu vết nứt thực của dầm.
Như vậy, vấn đề bây giờ là xác định độ sâu các vết nứt đã
giả thiết sử dụng mô hình đã được xây dựng cùng với số liệu
đo đạc. Dưới đây trình bày các phương trình cơ bản để tính
toán độ sâu vết nứt từ số liệu đo. Thay cho độ sâu vết nứt, ở
đây sử dụng đại lượng gọi là độ lớn vết nứt γ  ( 1 ,...,  n ) đã

được đưa vào ở trên khi xây dựng mô hình. Các đại lượng
lượng này tỷ lệ với độ sâu vết nứt.
Giả sử hàm đáp ứng tần số  ( x ,  ) của dầm chịu tải trọng
di động P(t ) đo được tại các vị trí ( xˆ1 ,..., xˆ m ) , nghĩa là ta có
các số liệu f j ( )   ( xˆ j ,  ), j  1,..., m cùng với hàm theo
thời gian P(t ) . Sử dụng phương trình (4.2.15) ta có thể nhận
được phương trình
A()μ  b() ,

(4.4.1)

trong đó
A( )  [ jk ( ), j  1,...,m; k  1,...,n];
b( )  {b j ( )  f j ( )   0 j ( ), j  1,...,m}

(4.4.2)

{ 0 j ()   0 ( x j , );  jk ()   k ( x j , e, ), j  1,...,m; k  1,...,n} .


21
Áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov ta có thể xác định
được độ lớn của các vết nứt như trong Hình 4.10-4.12 và Bảng
4.2.

Hình 4.10. Kết quả chẩn đoán vết nứt sử dụng đáp ứng
tại các tần số 0.9ω1

Hình 4.11. Kết quả chẩn đoán vết nứt khi vận tốc tải
trọng bằng 0.5Vc

Hình 4.12. Kết quả chẩn đoán vết nứt khi tần số tải
trọng bằng tần số riêng


22
Bảng 4.2. Kết quả chẩn đoán độ sâu vết nứt phụ thuộc vào
mức nhiễu đo đạc.
Độ sâu vết
nứt thực
5%
10%
0%
15%
20%
30%
5%
10%
5%
15%
20%
30%
5%
10%
10%
15%
20%
30%
5%
10%

15%
15%
20%
30%
Vị trí vết nứt thực

Mức
nhiễu

1st crack
4.96 (0.80)
9.92 (0.80)
14.90 (0.66)
19.87 (0.65)
29.88 (0.40)
4.96 (0.80)
9.94 (0.60)
14.90 (0.66)
19.89 (0.55)
29.69 (1.03)
4.99 (0.02)
9.99 (0.01)
15.16 (1.06)
20.08 (0.40)
30.45 (1.50)
5.09 (1.80)
10.15 (1.50)
15.12 (0.80)
20.16 (0.80)
30.54 (1.80)

5m

Độ sâu vết nứt chẩn đoán được, % (sai số, %)
2nd crack
3rd crack
4th crack
5th crack
4.97 (0.60)
4.99 (0.20) 5.00 (0.00) 4.98 (0.40)
9.94 (0.60)
9.98 (0.20) 10.00 (0.00) 9.96 (0.40)
14.90 (0.66)
14.98 (0.13) 15.01(0.06) 14.94(0.40)
19.92 (0.40)
19.97 (0.15) 20.00(0.00) 19.92(0.40)
29.94 (0.50)
30.02 (0.15) 30.03(0.10) 29.91(0.30)
5.00 (0.00)
5.11 (2.50) 5.04 (0.80) 4.27 (14.60)
10.01 (0.10)
10.26 (2.60) 10.05 (0.50) 8.49 (15.10)
15.05 (0.33)
15.40 (2.60) 14.98(0.13) 12.83 (14.50)
20.08 (0.40)
20.44 (2.20) 20.10 (0.50) 17.10 (14.50)
30.31 (1.03)
30.64 (3.13) 30.11 (3.30) 26.03 (13.20)
5.09 (1.80)
5.19 (3.80) 4.89 (2.20)
n/a

10.15 (1.50)
10.31 (3.10) 9.78 (2.20)
n/a
15.30 (2.00)
15.40 (2.60) 14.68(2.13)
n/a
20.49 (2.45)
20.55 (2.75) 19.52(2.40)
n/a
30.37 (1.23)
30.47 (3.07) 29.45(3.33)
n/a
5.09 (1.80)
5.19 (3.80) 4.78 (4.40)
n/a
10.21 (2.10)
10.31(3.10) 9.67 (3.30)
n/a
15.44 (2.93)
15.44 (2.93) 14.46 (3.60)
n/a
20.49 (2.45)
20.75 (3.75) 19.19(4.05)
n/a
30.91 (3.03)
30.82 (2.73) 28.93(3.56)
n/a
10m
15m
20m

22.5m

Kết luận chƣơng 4
Trong chương này tác giả đã trình bày lý thuyết về dao
động của dầm có nhiều vết nứt và đề xuất một phương pháp
tính tần số riêng của dầm liên tục có nhiều vết nứt. Đã trình
bày phương pháp phổ tần số áp dụng cho dầm có nhiều vết nứt
và áp dụng để nhận được công thức giải tích cho hàm đáp ứng
tần số chính xác của dầm có số lượng vết nứt bất kỳ chịu tải
trọng tập trung di động. Tiếp theo, sử dụng biểu thức chính
xác của hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt, tác giả
đã khảo sát ảnh hưởng của các tham số tải trọng như vận tốc,
tần số đến hàm đáp ứng tần số của dầm có 5 vết nứt. Sau đó,
ảnh hưởng của các tham số vết nứt như vị trí, độ sâu và số


23
lượng vết nứt đã được khảo sát và các kết quả cho thấy vị trí
vết nứt khác nhau gây nên sự thay đổi khác nhau của hàm đáp
ứng tần số. Số lượng vết nứt và độ sâu vết nứt đều gia tăng sự
thay đổi của hàm đáp ứng tần số. Chính đây là cơ sở để hy
vọng rằng hàm đáp ứng tần số là một dấu hiệu chẩn đoán vết
nứt có hiệu quả. Một kết quả quan trọng của chương này là
một thuật toán nhận dạng vết nứt trong dầm đàn hồi bằng cách
đo đạc hàm đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hoà di
động. Kết quả thử nghiệm số cho thấy: hàm đáp ứng tần số
cho phép chẩn đoán chính xác các vị trí vết nứt ở xa biên với
sai số đo đạc lên đến 15% và sai số trong việc chẩn đoán độ
sâu vết nứt không quá 5%.
KẾT LUẬN CHUNG

Luận án đã phát triển phương pháp phổ tần số trong việc
nghiên cứu dao động của dầm có và không có vết nứt chịu tác
dụng của lực tập trung điều hòa di động với vận tốc không đổi.
Đã áp dụng phương pháp phổ tần số để phân tích, nhận dạng
các dạng dao động của dầm tại các tần số khác nhau.
Những kết quả chính của luận án này bao gồm:
1. Sử dụng phương pháp phổ tần số đã nhận được lời giải giải
tích chính xác cho hàm đáp ứng tần số của dầm có vết nứt chịu
tải trọng di động với vận tốc không đổi;
2. Trong trường hợp dầm không có vết nứt, hàm đáp ứng tần
số cho phép nhận biết các dạng dao động theo vận tốc của tải
trọng di động. Cụ thể, (a) nếu vận tốc di chuyển của tải trọng
nhỏ hơn 1/10 vận tốc tới hạn, thì dạng dao động nổi trội của
dầm là dao động cưỡng bức với tần số của tải trọng (nếu tải
trọng là hằng số thì tác dụng của tải trọng di động trong trường
hợp này tương đương như một tải tĩnh đặt ở giữa dầm); (b) khi