50 đề thi học sinh giỏi toán 6 có đáp án

50 đề thi học sinh giịi tốn 6

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 1


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

LỜI NĨI ĐẦU
Quyển sách “50 đề thi học sinh giỏi toán 6” mà bạn đang
cầm trên tay, là một trong những quyển sách được soạn thảo kỹ lưỡng
của chúng tơi. Nó được trích lọc thông qua kinh nghiệm nhiều năm
giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi của tác giả. Do đó, nó có chưa
những loại toán và những phương pháp giải đặc trưng. Những phương
pháp giải khơng những mang tính chất tư duy cao độ đối với chương
trình tốn 6. Mà nó cịn chưa những kỹ năng lý luận của lớp 6 để được
những kiến thức toán mang tầm cao hơn.
Hiểu rõ những vấn đề này, chúng tôi giới thiệu đến bạn đọc
quyển sách này để bổ sung và cũng là bước chuẩn bị cho các em học
sinh khá giỏi đi đến con đường từ duy và sáng tạo tốn học. Cũng
chính vì điều này, học sinh có thể tự mình học hỏi những bài toán cũng
như dạng toán một cách tự động lĩnh hội được.
Cũng do quyển sách này được chúng tôi thiết kế trên tinh thần
kích thích tính tự học của học sinh. Nên mỗi đề thi chúng tôi đã bố trí
ngay phần hướng dẫn giải ngay ở bên cạnh. Hơn thế nữa, những bài
tập có phần khó khăn khi giải của học sinh chúng tơi đều bố trí những
phần ghi chú hoặc bổ sung kiến thức.
Dù cố gắng nhiều, quyển sách chắc chắn không thể tránh khỏi
một vài sai lầm. Mong quý bạn đọc gần xa chân thành góp ý. Liên hệ
tác giả để được giải đáp và sở hữu quyển sách. Điện thoại:

0905671232 - Email :
Trân trọng!
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 2


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

ĐỀ SỐ 1

Câu 1:
a) Rút gọn

A=

b) Tính

7.9  14.27  21.36
21.27  42.81  63.108

B =

c) So sánh

10 10
10
10



 ......... 
56 140 260
1400

2009 2010  2009 2009 với

Câu 2: Cho phân số

A=

10n
5n  3

2010 2010

( n Z )

a) Tìm n để A có giá trị ngun
b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
a) Tìm x  Z biết
2
10  131313 131313 131313 131313 
.x  70 : 



  5
3
11  151515 353535 636363 999999 

b) Chứng minh rằng nếu a, b  N và a + 5b  7 thì 10a + b cũng
chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4: Cho


AMC  600 . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia


phân giác của CMx, MT là tia phân giác của xMy

a) Tính 
AMy
  900
b) Chứng minh rằng: CMT

Câu 5:
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 3


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

a) Cho S =

3 8 15 24
2499
  

 .............. 
4 9 16 25
2500

Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
b) Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và
loại 7 chỗ ngồi . Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi
mỗi loại có mấy xe?
----------------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:
a) Ta có biến đổi:
A=

7.9  14.27  21.36
7.9(1  2.3  3.4)
7.9
1



21.27  42.81  63.108 21.27(1  2.3  3.4) 21.27 9

b) Ta có biến đổi:
B =

10 10
10

10


 ......... 

56 140 260
1400

B=

5
5
5
5


 ......... 
28 70 130
700
5
5
5
5


 ......... 
4.7 7.10 10.13
25.28

B=

B=

5 3
3
3
3
.(


 ......... 
)
3 4.7 7.10 10.13
25.28

5
3

B= .(

1 1 1 1
1 1
1
1
5 1 1
5 6
5
      ............ 
 )  .(  )  . 
4 7 7 10 10 13
25 28

3 4 28
3 28 14

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 4


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

c) Ta có biến đổi:
2009 2010  2009 2009

= 2009 2009 (2009  1)  2009 2009.2010
= 2010 2010  2010 2009.2010
Vì: 2009 2009  2010 2009  2009 2010  2009 2009  2010 2010
Câu 2 Ta có biến đổi:
a)

A

2(5n  3)  6
6
 2
5n  3
5n  3

Biểu thức A  Z
Khi và chỉ khi

6
 Z  5n  3  Ư(6) =
5n  3

1, -1; 2;-2;3;-3;6; -6

Ta có bảng thống kê sau:
5n - 3

1

-1

2

-2

3

-3

6

-6

5n

4

2

5

1

6

0

9

-3

N
b) Ta có biến đổi: A 

1

0

2(5n  3)  6
6
 2
5n  3
5n  3

A có giá trị lớn nhất Khi và chỉ khi

6
có giá trị lớn nhất

5n  3

Do đó: 5n – 3 là số nguyên dương nhỏ nhất
Nên: 5n – 3 = 2  5n = 5  n = 1
Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3:
a) Ta có biến đổi:

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 5


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

2
780 13 13 13 13
2
780 13 2
2
2
2 
x
:( 

 )  5  x 
: (




)  5
3
11 15 35 63 99
3
11  2 3.5 5.7 7.9 9.11 
2 780 13 1 1 
2 780 13 8
2
2
 x
:  (  )  5  x 
: ( . )  5  x  45  5  x  40  x  60
3
11  2 3 11 
3
11 2 33
3
3

b) Ta có biến đổi:
Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a  7
Mà a + 5b  7 nên 5(10a + b)  7
Do (5;7) = 1 suy ra 10a + b  7 (đpcm)
c) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d
Khi đó: 6n +5  d và 2n + 1  d
Suy ra:6n + 5 – 3(2n + 1)  d do đó 2  d
Mặt khác: Do d là ước của số lẻ
Suy ra: d = 1 nên (2n + 1; 6n +5) = 1

Câu 4:

 và góc CMA
 là hai góc kề bù
a) Vì góc xMC

xMC = 180  60  120
Nên: 

Vì My là tia phân giác của góc xMC

Do đó:

 = 60 mà góc xMy
 kề bù với
xMy


AMy

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 6


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

Nên: 
AMy = 180  60  120
b) Do MC là ti phân giác của góc AMy.
MT là tia phân giác của yMx
Mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù

Suy ra: My năm giữa 2 tia MC và MT
  CMY
  
+ CMT
yMT

=

1 
1 
1
1
. AMy +
yMx = .120 + .60 = 90
2
2
2
2

Câu 5:
a) Ta có biến đổi :
S 1

1
1
1
1
1
1 1 1
 ...................  1 

4
9
16
25
2500
 1  1  1  .............  1  (

1
1
1
1
1
 2  2  2  ........  2 )
2
2
3
4
5
50

49 s/h

B

= 49 – B
B=

1
1
1

1
1
1
1
1
1
 2  2  .............. 2 


 ........... 
 1
1
2
1.2 2.3 3.4
49.50
50
2
3
4
50

Ta lại có:
B=

1 1 1
1
1 1 1
1 1 1 49 49 1
 2  2 ..........
.... 2    ..........

.
  


2
50.51 2 51 102 147 3
2 3 4
50 2.3 3.4 4.5

Suy ra:

1
 B  1  48 < S < 49 (đpcm)
3

b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y  N * )
Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 7


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

Ta thấy 12x  4 , 64  4 => 7y  4 mà (4;7) =1

=> y  4.(2)

Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; 8

Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Khơng thoả mãn
Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ

-------------------------------------- Hết ---------------------------------

ĐỀ SỐ 2
Bài 1:
Tìm phân số lớn hơn

4
6
, nhỏ hơn
và có mẫu số bằng 20.
17
17

Bài 2
Tìm các cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng của chúng bằng 240 và
ước chung lớn nhất của chúng bằng 12.
Bài 3: Một người đã cắt từ một sợi dây dài

2
mét lấy một đoạn
3

dây dài 25 cm mà khơng phải dùng thước để đo. Hỏi người đó đã
làm như thế nào.
Bài 4 : Cho dãy số m+1, m+2, ... , m+10, với m là số tự nhiên.
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều

số nguyên tố nhất.
Bài 5: Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận
động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn
thể thao.
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 8


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số người
quen như nhau. (Người A quen người B thì người B cũng quen
người A).

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Gọi phân số phải tìm là

a
, a là số tự nhiên
20

4
a
6
< <
17 20 17

80 < 17a < 120

5 < a < 7 => a = 6
Bài 2:
Gọi số phải tìm là a, b. Giả sử a ≤ b
ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a1 và b = 12b1
Trong đó ƯCLN (a1,b1) = 1
Ta có: a + b = 240 = 12 (a1 + b1)
a1 + b1 = 20
Kết hợp với ƯCLN (a1,b1) = 1 ta có:
a1

1

3

7

9

b1

19

17

13

11

Thay vào ta tính được:

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 9


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

A

12

36

84

108

B

228

204

156

132

Kết luận:
Bài 3:
-

Nhận xét được:
Mà

-

2 1 1
 
3 2 6

1 1 2
 
6 4 3

Nhận xét được:

- Nhận xét được

1 1 1
 
4 2 2
1
chính là phép chia dơi sợi dây.
2

- Nhận xét được 25 cm chính là 0,25 m =

1
sợi dây.
4

- Kết luận.
Bài 4:
+ m = 0 ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ... ; 10. Trong dãy này có
4 số nguyên tố.
+ m = 1 ta có dãy số: 2; 3; 4; ... ; 11. Trong dãy này có 5
số nguyên tố.
+ m = 2 ta có dãy số: 3; 4; 5; ... ; 12. Trong dãy này có 4
số nguyên tố.
+ m ≥ 3 trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này
đều lớn hơn 3 nên phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó khơng là
số ngun tố. Vậy m ≥ 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố.
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 10


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

Do đó m = 1là số phải tìm. Khi đó ta có 5 số ngun tố.

Bài 5:
Giả sử có 1 người khơng quen ai trong số 495 vận động
viên.
Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất là 493 người quen.
Ta chia thành nhóm số người quen:
Nhóm 0 người quen gồm những người có số người quen bằng 0
Nhóm 1 người quen gồm những người có số người quen bằng 1
..................
..................

Nhóm 493 người quen gồm những người có số người quen bằng
493
Như vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) . Mà có 495 người.
Vậy theo ngun tắc Dirichlet ít nhất có 1 nhóm người quen gồm
2 hay ít nhất có 2 người có số người quen giống nhau.
Giả sử có 1 người quen tất cả những người còn lại. Như vậy 494
người cịn lại có nhiều nhất là 494 người quen.
Chia nhóm người quen: Có 494 nhóm người quen (từ 1 đến 494).
Kết luận.

-------------------------------------- Hết ---------------------------------

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 11


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

ĐỀ SỐ 3
Bài 1:

Câu 1: Tính:
a)  2008.57  1004.(86) : 32.74  16.(48)
b) 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – … + 2006 –
2007 – 2008 + 2009

Câu 2: Cho: A = 1  1  1  1  .......... .......  1  1
2

B=
Tính

3

4

5

308

309

308 307 306
3
2
1


 .......... ......... 


1
2
3
306 307 308
A
?
B

Bài 2:

Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó
cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15.
2

Câu 2: Tìm x biết:

1
1 2
    0
 x 3  16

Bài 3: Cho a ; b là hai số chính phương lẻ liên tiếp.
Chứng minh rằng: (a – 1).( b – 1)  192
Bài 4:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số abcd biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện
sau:
1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 52 + 53 + … + 5101
2) abcd  25
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 12


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

3) ab  a  b

2

Bài 5:

Câu 1: Có hay khơng một số nguyên tố mà khi chia cho 12
thì dư 9? Giải thích?

Câu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3,
luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết
cho 12.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:

Câu 1:
251
= - 1 25,5
2

a) Kết quả :
b) Kết quả: 1

Câu 2:
B=

308 307 306
3
2
1



 .......... ......... 


1
2
3
306 307 308

307
306
305
3
2
1
B = 1   1   1   ......... 1   1   1  1


B=

2  

3  

4 



306 

307 

308

309 309 309
309 309 309


 .......... 


2
3
4
307 308 309

1 1 1 1
1
1 
B = 309.      .......... ....... 


2

3

4

5

308

309 

B = 309.A

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 13


50 đề thi học sinh giịi tốn 6



A
A
1


B 309. A 309

Bài 2:
a) Gọi số tự nhiên phải tìm là x.
- Từ giả thiết suy ra (x  20)  25 và (x  20)  28 và (x  20)35  x+
20 là bội chung của 25; 28 và 35.
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700
Suy ra (x + 20) = k.700  k  N  .
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra
x  999  x  20  1019 suy ra k = 1 suy ra

x + 20 = 700 suy ra x = 680.
b) Ta có biến đổi:
2

1 2
1
- Từ giả thiết ta có:    
 x 3  16

(1)

2

- Vì

1  1
    nên (1) xảy ra
16  4 

Khi và chỉ khi

1 2 1
1 2
1
  hoặc   
x 3 4
x 3
4

- Từ đó tìm ra kết quả x =

12
12
hoặc x =
11
5

Bài 3:
- Chỉ ra dạng của a,b là: a = 2k  12 và b =  2k  12 (Với k N * )
- Suy ra a – 1 = (2k – 1)(2k – 1) – 1
= ....... = 4k2– 4k + 1 – 1 = 4k.(k – 1)
+ b – 1 = (2k + 1)(2k + 1) – 1
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 14


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

= ....... = 4k2+ 4k + 1 – 1 = 4k(k + 1)
(a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1)
Từ đó lập luận k(k – 1)k(k + 1)  4 và k(k – 1)(k + 1)  3
Mà (4; 3 ) = 1  k (k – 1)k(k + 1)  4.3
Suy ra (a – 1)(b – 1)  16.4.3
 (a – 1)(b – 1)  192 (đpcm)

Bài 4:
- Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d  N; 1  a  9;
0  b;c;d  9
- Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5  c = 5

- Từ điều kiện: abcd  25, lý luận dẫn đến (10c + d)  25, từ đó
tìm được d = 0
- Từ điều kiện: ab = a + b2
 10a + b = a + b2
 9a

= b2 – b

9a = b(b – 1)
Lý luận dấn đến b(b – 1)  0 và b(b – 1)  9
Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b – 1< 9  b(b
– 1)  9 chỉ khi b  9
 a=8

Kết luận: Số cần tìm 8950
Bài 5:

Câu 1:
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 15


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

- Khơng thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì dư 9. Vì:
nếu có số tự nhiên a mà khi chia cho 12 dư 9 thì a = 12.k + 9 ;

 k  N   a 3 và

a  3  a là hợp số, không thể là số nguyên tố.

Câu 2:
- Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số dư là một trong
12 số sau: 0; 1; 2; ...; 11
- Chứng minh tương tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3
(bất kỳ) khi chia cho 12 không thể có số dư là 2; 3; 4; 6; 8; 10.
- Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì
được số dư là một trong 4 giá trị : 1; 5; 7; 11.
- Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm :
+ Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì
dư 1 hoặc 11 .
+ Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì
dư 5 hoặc 7.
- Giả sử p1; p2; p3 là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số
nguyên tố, chỉ nằm ở hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong
ba số ngun tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên tố cùng thuộc
một nhóm , chẳng hạn p1 và p2 cùng thuộc một nhóm:
+ Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số dư khác nhau (tức là dư 1
và 11; hoặc 5 và 7) thì
p1 + p2 = 12 k1 + 1 + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12
;  k1 ; k2  N  suy ra p1 + p2 12 .
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 16


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

hoặc p1 + p2 = 12 n1 + 5 + 12 n2 + 7 = 12(n1+ n2) + 12 ;

 n1; n2  N  suy ra p1 + p2

12 .

+ Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số dư bằng nhau thì hiệu p1 –
p 2 12 .
-------------------------------------- Hết ---------------------------------

ĐỀ SỐ 4
Câu1. Tính giá trị các biểu thức
a) M = 1 +2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11– 12 + .......- 299 – 300 + 301 + 302
b) N =

32
32
32
32


 .............. 
8.11 11.14 14.17
197.200

Câu2.
a) Cho A  1  2  2 2  2 3  ..................  2 2008 ;
Chứng tỏ rằng :

B  2 2009

B–A=1

b) Cho C = 111………1

Hỏi C là hợp số hay số nguyên tố?

2008 chữ số 1
Câu3.
a) Tìm x  N biết:

x

20
20
20
20
3


 ........... 

11.13 13.15 15.17
53.55 11

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 17


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

b) Một quầy hàng trong ba giờ bán được 44 quả dưa hấu .
1
1
1
số dưa đó và quả. Giờ thứ hai bán số
3
3
3

Giờ đầu bán được
dưa còn lại và

1
quả. Hỏi giờ thứ ba bán bao nhiêu quả.
3

Câu4.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số sau là phân số tối giản

5
;
n8

6
;
n9

7
; ………

n  10

;

17
n  20

Câu5. Cho góc AOB. Gọi Oz là tia phân giác của góc AOB. Ot là
tia phân giác của góc AOz. Tìm giá trị lớn nhất của góc AOt

--------------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Ta có biến đổi:
a) M = 1 + (2 – 3 – 4 + 5) + (6 – 7 – 8 + 9) + (10 – 11 – 12
+ 13) +…..(298 – 299 – 300 + 301) + 302
= 1 + 302 = 303
b) N = 3.(

3
3
3
3


 ............... 
)
8.11 11.14 14.17
197.200
1 1 1 1

1 1
1
1
     .......... 

)
8 11 11 14 14 17
197 200

= 3.( 

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 18


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

1
8

= 3.( 

1
9
)
200
25

Bài 2:

a) Ta có biến đổi:
A  1  2  2 2  2 3  ..................  2 2008

2A = 2  2 2  2 3  ..................  2 2008  2 2009
A = 2A – A = 22009- 1 => B – A = 22009 – ( 22009 – 1) = 1
b)Ta có biến đổi:
C = 111…….1 (có 2008 chữ số 1 )
= 102007+ 102006+ 102005+ 102004+……+ 103+ 102+ 10 + 1
= 102006(10 + 1) + 102004(10 + 1)
+…..+ 102(10 + 1) + ( 10 + 1)
= 11.( 102006+ 102004+ …..+ 102+ 1)  11
Do đó: C là hợp số
Bài 3
a) Ta có biến đổi:
2
2
2
2
3
x  10(


 ........... 
)
11.13 13.15 15.17
53.55 11
1 1 1 1 1 1
1
1
3

      ......... 
 )
11 13 13 15 15 17
53 55 11

Suy ra: x – 10 (

Do đó: x – 10(
Suy ra: x Vậy: x =

1 1
3
 )
11 55 11

8
3

11 11

3 8

=> x = 1
11 11

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 19

50 đề thi học sinh giịi tốn 6

1
1
.44 + = 15 ( quả)
3
3

b) Giờ đầu bán được :
Còn lại 44 – 15 = 29 (quả)
Giờ thứ hai bán được :

1
1
.29 + = 10 (quả)
3
3

Giờ thứ ba bán được 44 – (10 +15) = 19 (quả)
Bài 4:
Các phân số đã cho có dạng
5
;
5  (n  3)

Hay

6
7
17

;
;……;
6  (n  3)
7  (n  3)
17  (n  3)

a
Để các phân số đó tối giản thì a và n + 3 phải là
a  (n  3)

hai số nguyên tố cùng nhau (vì nếu chúng cùng chia hết cho d ≠
1 thì phân số rút gọn được cho d).
Do vậy cần tìm n  N sao cho n + 3 nhỏ nhất nguyên tố cùng
nhau với các số 5;6;…;17 suy ra n + 3 = 19 => n = 16

Bài 5:
Do Oz là tia phân giác của góc 
AOB
1 
AOz =
AOB
Nên 
2

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 20


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

1 
Do Ot là tia phân giác của 
AOz nên: 
AOt =
AOz
2

1 
1 
=> 
AOt =
AOz =
AOB . Mà 
AOB ≤ 180 
2

4

1 
1
=> 
AOt ≤
AOB = .180 = 45 
4

4

-------------------------------------- Hết ---------------------------------

ĐỀ SỐ 5

Bài 1:
a. Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab

là bội

của 3.
b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S
chia hết cho 126 và chia hết cho 65.

Bài 2 :
Tìm số tự nhiên x biết :
a.
b.

x  (x  1)  (x  2)    (x  2010)  2029099

2  4  6  8    2x  210

Bài 3:
Thực hiện so sánh:
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 21


50 đề thi học sinh giịi tốn 6
2008

2009
1
2009
2009
1

a.

A=

với

B=

b.

C = 1. 3. 5. 7 … 99 với D =

2009 2009  1
2009 2010  1
51 52 53 100
. . ...
2 2 2
2

Bài 4:
Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng

3
số cịn lại. Cuối năm

7

có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng

2
số
3

còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A.

Bài 5:
Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì
CM 

CA  CB
2

b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì
CM 

CA  CB
.
2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:
- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab .
- Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay

ababab là bội của 3.
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 22


50 đề thi học sinh giịi tốn 6
2

3

4

Có: 5 + 5 + 5 + 5 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1
+ 53)
= 5. 126 + 52.126 + 53.126
 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126.
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56)
+ … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56).
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó
chia hết cho 126.
Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130.
 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 .
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) +
… + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó
chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.

Bài 2 :
-

 2011x  1  2    2010  2029099

-

 2011x 

-

 2011x  2029099 -

-

 x   2029099 -

-

 2(1  2  3    x)  210



2010.2011
 2029099
2
2010.2011
2

2010.2011 

 : 2011  4
2


Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 23


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

x ( x  1)
 210
2

-

2

-

 x( x  1)  210

- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)

Bài 3:
- Thực hiện qui đồng mẫu số:
C=
D=

(2009 2008  1)(2009 2010  1) 2009 4018  2009 2010  2009 2008  1

(2009 2009  1)(2009 2010  1)
(2009 2009  1)(2009 2010  1)
(2009 2009  1)(2009 2009  1) 2009 4018  2009 2009  2009 2009  1

(2009 2010  1)(2009 2009  1)
(2009 2010  1)(2009 2009  1)

2009 2010  2009 2008  2009 2008 (2009 2  1)

2009 2009  2009 2009  2009 2008 (2009  2009)

Do (2009 2  1) > (2009  2009) nên C > D
(Có thể chứng tỏ C - D > 0 để kết luận C > D).
Cách khác: Có thể so sánh 2009 C với 2009 D trước.
A  1. 3. 5. 7  99 



1. 3. 5. 7  99 .2.4.6...100
(1.2).(2.2).(3.2)..(50.2)




1. 3. 5. 7  99 .2.4.6...100
2.4.6...100

1.2.3...50.51.52.53...100

1.2.3...50.2.2.2...2

51 52 53 100
. . ...
2 2 2
2

Bài 4:
- Số học sinh giỏi kỳ I bằng

3
số học sinh cả lớp.
10

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 24


50 đề thi học sinh giịi tốn 6

- Số học sinh giỏi cuối bằng
- 4 học sinh là
-

2
số học sinh cả lớp.
5

2 3

số học sinh cả lớp.
5 10

1
1
số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4 : = 40.
10
10

Bài 5:
A

M

C

B

CA = MA + CM
CB = MB - CM
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB)
 CM 

CA  CB
2

A

M

B

C

CA = CM + MA
CB = CM – MB
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB)
 CM 

CA  CB
2

-------------------------------------- Hết ---------------------------------

ĐỀ SỐ 6
Bài 1: Tìm x biết:

Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com

Trang 25