Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng chuỗi hàm phức

Tốn kỹ thuật
Giải tích Fourier
II. Phép biến đổi Laplace
III.Hàm phức và ứng dụng
I.


Hàm phức và ứng dụng
1. Hàm giải tích
2. Tích phân phức
3. Chuỗi hàm phức
4. Lý thuyết thặng dư
5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
6. Phép biến đổi bảo giác


3. Chuỗi hàm phức








a. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi hàm phức hội tụ đều
c. Chuỗi lũy thừa
d. Chuỗi Taylor
e. Chuỗi Laurent

3. Chuỗi hàm phức
a. Chuỗi hàm phức
Định nghĩa:


f
n 1

n

( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f n ( z )  ...

Tổng riêng:
n

Sn ( z )   f k ( z )
k 1

Hội tụ về S(z)
   0, N ( , z ) : S ( z )  S n ( z )   , n  N

Miền hội tụ: tập hợp cái điểm z tại đó chuỗi hội tụ.


3. Chuỗi hàm phức
a. Chuỗi hàm phức
- Chuỗi S(z) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi:



n 1

f n ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f n ( z )  ...

hội tụ.
- Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là các chuỗi phần thực
và phần ảo: 

 Re  f n ( z );  Im  f n ( z)

hội tụ.

n 1

n 1


3. Chuỗi hàm phức
a. Chuỗi hàm phức
Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn:
f n 1 ( z )
lim
 r ( z)
n  f ( z )
n
0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối

|r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ
|r(z)| = 1: khơng có kết luận

Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi:
1
 1  z  z 2  ...  z n  ...
1 z


3. Chuỗi hàm phức
a. Chuỗi hàm phức
Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều về
hàm f(z) trong miền D nếu:
  0; N ( ) : f ( z )  S n ( z )   ; n  N , z  D

Phép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương
{Mn} sao cho |fn(z)| ≤ Mn (∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi 𝑀𝑛 hội
tụ thì chuỗi 𝑓𝑛 hội tụ đều trong D.

Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu.


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa có dạng:


n
a
(
z

a

)
 n
n 1

Miền hội tụ: |z – a| < R = 1/L
an 1
Với
L  lim
n  a
n
Ví dụ: tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:


1
n
a.   z  2 j 
n 1 n !


c.  e
n 1

 nz



z 2n
b. 
n
n 1 ( n  1)2



1
d.
n
(
n

j
)
z
n 1


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi lũy thừa

Giải:
a. Hội tụ với mọi z
b. Đặt w = z2, hội tụ với |w| < 2 => |z| < 2
c. Đặt w = e-z, hội tụ với |w| < 1 => x > 0.
d. Đặt w = z-1, hội tụ với |w| < 1 => |z| > 1.


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi lũy thừa
Ví dụ: Cho chuỗi sau:
1
 1  z  z 2  ...  z n  ...
1 z

Chuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1
Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm 1
z 3
thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau:
i.
|z| < 3
ii. |z| > 3
iii. |z – 2| < 1


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi lũy thừa
Giải:
1
1 1
1 1




i.
|z| < 3  |w| < 1
z
z 3
3 1
3 1 w
3
2
n



1
1
1
z
z
z
2
n

  1  w  w  ...  w  ...   1    ...  n  ... 
z 3
3
3 3 9
3

ii.

1
1 1
1 1


3
z  3 z 1
z 1 w
z

|z| > 3  |w| < 1

n


1
1
1
3
9
3
2
n

 1  w  w  ...  w  ...  1   2  ...  n  ... 
z 3 z
z z z
z







3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi lũy thừa
Giải:
1
1
1
iii.

|z - 2| < 1  |w| < 1


z 3
1  ( z  2)
1 w
1

  1  w  w2  ...  wn  ... 
z 3
  1  ( z  2)  ( z  2) 2  ...  ( z  2) n  ...
Kết luận: Tại mỗi miền khác nhau
trên mặt phẳng phức, tương ứng ta
có các chuỗi khác nhau cùng hội
tụ về hàm
1
z 3


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Định lý Taylor: Nếu f(z) giải tích trong miền D giới hạn bởi
đường cong kín C, a ∈ D, thì:
f '(a )
f ''(a )
f ( n 1) (a )
2
f ( z )  f (a ) 
( z  a) 
( z  a )  ... 

( z  a ) n 1
1!
2!
(n  1)!
( z  a)n

2 j


C

f (t )dt
(t  a ) n (t  z )
Rn ( z )

Nếu C là đường trịn tâm z = a, ta có chuỗi Taylor


f ( z)  
n 0

f ( n ) (a)
( z  a)n
n!


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
 Khi a = 0 ta có chuỗi Mac Laurin
 Bán kính hội tụ R, với R có thể tính như ở chuỗi lũy thừa

hoặc:
R = Min{|z – zi|}, với zi là các điểm bất thường của f(z).
Ví dụ: Khai triển chuỗi Taylor đến số hạng n = 4 của hàm:
1
f ( z) 
z( z  2 j)

quanh điểm z = j.


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
1  1
1
f ( z) 
 

2j  z2j z 
f (1) ( z ) 

 f ( j)  1

1 
1
1 
(1)



f

( j)  0

2
2 
2 j  ( z  2 j)
z 

1 
2
2
(2)
f ( z) 


f
( j )  2

3
3 
2 j  ( z  2 j) z 
1 
6
6
(3)
(3)
f ( z) 



f

( j)  0

4
4 
2 j  ( z  2 j)
z 
(2)

f (4) ( z ) 

1  24
24 
(4)


f
( j )  24

5
5 
2 j  ( z  2 j)
z 


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor


1
2

24
 1  ( z  j ) 2  ( z  j ) 4  ...
z( z  2 j)
2!
4!
 1  ( z  j ) 2  ( z  j ) 4  ...

Bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ |z – j| < 1.


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Chuỗi Mac Laurin
của một số hàm:



zn
i. e  
n 0 n !
z



3n n  2
ii. z e   z
n 0 n !
2 z

2 n 1

z
iii.sin z   (1) n
(2n  1)!
n 0




z 2n
iv.cos z   (1)
(2n)!
n 0
n


1
v.
  zn; R  1
1  z n 0

1
vi.
  (1) n z n ; R  1
1  z n 0


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Ví dụ: 1. Tìm chuỗi Mac Laurin của các hàm sau:
1

z 3
z 1
iii. f 3 ( z ) 
z 1
i. f1 ( z ) 

z
z2  4
1
iv. f 4 ( z )  2
z  3z  2
ii. f 2 ( z ) 

2. Tìm chuỗi Taylor của
i.
Hàm f3(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 1
ii. Hàm f4(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 2
1
iii.
quanh điểm a = j
f ( z) 
z( z  2 j)


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin
 1 z z2
1
1 1

1  z z2
i. f1 ( z ) 

 1    ..    
 ...
z  3 3 1 z 3  3 9
 3 9 27
3
 z z3 z5
z
z 1
z  z2 z4
ii. f 2 ( z )  2

 1    ...      ...
2
z
z 4 4
4
4 16
4 16 64

1
4
z 1
 1 
2
iii. f 3 ( z ) 
 1 2


1

2
1

z

z
 ...

z 1
 1 z 
 1  2 z  2 z 2  ...






3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin
1
1
1
iv. f 4 ( z )  2


z  3z  2 z  1 z  2
1

 1  z  z 2  z 3  ...
z 1

1
1 1
1  z z 2 z3

 1     ... 
z  2 2 1 z 2  2 4 8

2
1 3
7 2 15 3
 f 4 ( z )   z  z  z  ...
2 4
8
16


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Giải: 2. Chuỗi Taylor
i. Đặt w = z – 1.

z 1
w
w 1
w  w w2
f3 ( z ) 



 1  
 ... 
z 1 2  w 2 1 w 2  2 4

2
w w2 w3
z  1 ( z  1) 2 ( z  1)3
 

 ... 


 ...
2 4
8
2
4
8
Để tìm khai triển Taylor quanh điểm a, ta đặt w = z – a rồi
tìm khai triển Mac Laurin theo w (sử dụng các khai triển đã
biết).


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Taylor
Giải: 2. Chuỗi Taylor
ii. Đặt w = z – 2.
1
1

1
1 1
1 1
f4 ( z)  2




w
z  3z  2 z  1 z  2 3 1 
4 1 w
3
4
iii.
f ( z) 

1
1
2
4


1

z

j

z


j

 
  ...
2
z( z  2 j) 1   z  j 


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Laurent
Khai triển Laurent: Nếu f(z) giải tích khắp nơi trong miền
kín D giới hạn bởi 2 đường trịn C1, C2 có tâm chung là a
thì:


f ( z) 



an ( z  a ) n



f (t )dt
(t  a ) n 1

n 

an 

1
2 j

C

Cách tìm chuỗi Laurent: Sử
dụng chuỗi Taylor với các biến
đổi phù hợp trên các miền phù
hợp.


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Laurent
Ví dụ:
Bài 1: Tìm chuỗi Laurent của các hàm sau:
1
z

i. e ;

a0

1
cos z;
a0
5
z
1
iii.
; a  1

( z  1)( z  3 j )
ii.

Bài 2. Khai triển hàm sau trên các miền đã cho:
1
( z  1)( z  3)

i. 1 | z | 3
iii.0 | z  1| 2

ii.| z | 3
iv.| z | 1


3. Chuỗi hàm phức
b. Chuỗi Laurent
Giải: Bài 1:


n

1 1
1 1 1
i. e      1  
 ...; 0 | z | 
2
z 2! z
n 0 n !  z 
1
z

1
1  (1) n 2 n  (1) n 2 n 5
ii. 5 cos z  5 
z 
z
z
z n 0 (2n)!
n  0 (2 n)!
1 1 1 1 1
1
1
3
 5


z

z
 ...; 0 | z | 
3
z 2 z 24 z 720
40320



1
1
 1   1  


iii.



( z  1)( z  3 j )  z  1   1  3 j   1  z  1 
 1 3 j 

