Bài giảng đại số c chương 1 ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính

Đại số C

Số tiết: 30 tiết

1


Nội dung

• Chương 1: Ma trận và hệ phương
trình ñại số tuyến tính.
• Chương 2: Định thức và hệ phương
trình ñại số tuyến tính.
• Chương 3: Không gian vector.
• Chương 4: Trị riêng. Vector riêng.
Chéo hóa ma trận
2


Hình thức tính ñiểm

• Thi giữa học kỳ chiếm 30%.
• Thi cuối học kỳ chiếm 70%.
• Điểm thưởng tích cực trong giờ bài
tập: +5%.
• Chú ý: Điểm giữa kì và cuối kỳ chỉ
ñạt tối ña khi làm tốt nhóm bài tập.

3

Chia nhóm giải bài tập

• Mỗi nhóm từ 10-15 sinh viên.
• Các nhóm giải tất cả các bài tập từ
C1 – C4 trong giáo trình: Ngô Thành
Phong, Đại số tuyến tính và quy
hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM,
2003.
• Thời gian nộp: hai tuần sau khi kết
thúc một chương.
4


Chia nhóm giải bài tập

• Hình thức viết báo cáo và nộp bài:

– Nhóm trưởng chia bài tập của từng
chương cho từng thành viên.
– Yêu cầu tất cả tv phải tham gia.
– Viết báo cáo:
• Viết tay, không ñánh máy.
• Thành viên nào làm phần nào phải tự viết
tay phần mình làm.
• Báo cáo viết trên giấy A4, không viết bằng
bút chì.

5

Chia nhóm giải bài tập

• Công việc của nhóm trưởng:

– Lập danh sách tv nhóm.
– Phổ biến hình thức viết báo cáo, hạn
nộp, cách trình bày và cách tính ñiểm.
– Phân công công việc.
– Tập hợp các báo cáo của thành viên.
– Trình bày trang bìa báo cáo.
– Theo dõi và ñánh giá công việc của từng
thành viên.
6


Chia nhóm giải bài tập

• Công việc của thành viên nhóm:

– Hoàn thành công việc nhóm trưởng
giao.
– Viết báo cáo (viết bằng tay, không ñánh
máy) rõ ràng, sạch sẽ, không gạch xóa
lung tung.
– Dòng ñầu tiên trên trang ñầu, viết rõ họ
và tên, MSSV, và danh sách các bài tập
ñược giao.
7

Chia nhóm giải bài tập

• Tính ñiểm:

– Điểm cho nhóm hoàn thành tốt công
việc: mỗi tv ñược +10%/tổng ñiểm
ñược chia như sau:
• +10%/tổng ñiểm thi giữa kì.
• +10%/tổng ñiểm thi cuối kì.

– Thành viên không hoàn thành công việc
sẽ bị trừ ñiểm, tối ña 10% như cách tính
ở trên.
– Nhóm có trên 30% tv không hoàn thành
tốt công việc, cả nhóm sẽ bị trừ ñiểm. 8


Chia nhóm giải bài tập

• Hình thức áp dụng cho K2010:

– Bắt buộc.
– Sv không tham gia chỉ ñạt tối ña 90%
tổng ñiểm của môn học.

• Hình thức áp dụng cho K2009 trở về
trước:
– Tự nguyện.

9

Tài liệu tham khảo

• Ngô Thành Phong, Đại số tuyến tính và quy
hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2003
• Bùi Xuân Hải, Đại số tuyến tính, ĐHQG TP HCM,
2001
• Gilbert
Strang,
Linear
Algebra
and
Its
Applications, 4th Indian edition, Brooks/Cole
INDIA, 2005.
• Trang web môn học:
– />• Địa chỉ email:
–
10
–


CHƯƠNG 1
MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
-----

11

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

§1. MA TRẬN (Matrix)

1.1. Định nghĩa
a) Ma trận A cấp m × n trên ℝ là 1 hệ thống gồm m × n
số aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và được sắp thành bảng:
 a11
a
21

A=
 ...

 am1

(

)

a12
a22
...
am 2

... a1n 

... a2 n
 (gồm m dòng và n cột).

... ... 

... amn 

• aij là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j.
• Cặp số (m, n) là kích thước của A.

12


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

• Khi m = 1: A = (a11 a12 … a1n) là ma trận dòng;
 a11 


n = 1: A = ... là ma trận cột;
 
a 
 m1 
m = n = 1: A = (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử.

• Tập hợp các ma trận A là M m ,n (ℝ ) , để cho gọn ta viết
là A = (aij ) m×n .

b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và
chỉ khi chúng cùng kích thước và aij = bij , ∀i, j .
13

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

VD 1.

 1 x y   1 0 −1
 z 2 t  = 2 u 3 

 

⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 .

c) Ma trận O = (0ij ) m×n có tất cả các phần tử đều bằng 0
là ma trận không.
 a11 a12 a13 a14 
a

a22 a23 a24
d) Khi m = n :
21


A là ma trận vuông cấp n.
 a31 a32 a33 a34 
Ký hiệu A = (aij ) n .
a

 41 a42 a43 a44 
Đường chéo chứa a11, a22, …, ann
là đường chéo chính của A, đường chéo còn lại
là đường chéo phụ.

14


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Các ma trận vuông đặc biệt:
• Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận đường chéo
(diagonal matrix). Ký hiệu: dig(a11, a22, …, ann).
• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên
đường chéo chính đều bằng 1 là ma trận đơn vị cấp n
(Identity matrix). Ký hiệu In.
 3 0 0
 −1 0 0 
VD 2. A =  0 −4 0  , B =  0 5 0  là MT chéo.




 0 0 6
 0 0 0




1 0 0
1 0


I2 = 

, I 3 = 0 1 0 là MT đơn vị.



15
0 1
0 0 1




Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

• Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các
phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng 0.
1

VD 3. A = 0

0

3
B= 4

 −1


0
−1

0
0

1
5

−2 

1 là ma trận tam giác trên;

0 
0
0  là ma trận tam giác dưới.

2 
16


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

• Ma trận đối xứng cấp n là ma trận có các phần tử đối
xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij = aji).
• Ma trận phản đối xứng cấp n là ma trận có các phần
tử đối xứng qua đường chéo chính đối nhau và tất cả
các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0.

3

VD 4. A = 4


 −1

0
B= 4

 −1


4 −1

1 0 là ma trận đối xứng;

0 2 
−4 1 
0 0  là ma trận phản đối xứng.

0 0 
17


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ
Cho A = (aij ) m×n , B = (bij ) m×n ta có:
A ± B = (aij ± bij ) m×n .
 −1
VD 5. 
2
 −1

2


0 2  2 0
+

3 −4   5 −3
0 2  2 0
−

3 −4   5 −3

2 1
=

1 7
2   −3
=

1   −3

0 4
;

0 −3 
0 0
.

6 −5 

Nhận xét
• Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.

18


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

b) Nhân vô hướng
Cho A = (aij ) m×n , λ ∈ ℝ ta có: λ A = (λ aij ) m×n .

 −1
VD 6. −3 
 −2
 2
 −4

Nhận xét

0   3 −3 0 
;
=


0 −4   6 0 12 
6 4
 1 3 2
= 2
.



0 8
 −2 0 4 

1

• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.

• Ma trận –A là ma trận đối của A.

19


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

c) Nhân hai ma trận
Cho A = ( aij ) m×n , B = (b jk ) n× p ta có:

AB = (cik ) m× p , cik = ∑ aij b jk i = 1, m; k = 1, p .
n

j =1

(

)

 −1 
 1 0  0 0 



VD 7. Tính a) (1 2 3) 2 ; b) 
;


 
 4 0  −3 2 
 −5 
 
2 0 1
 1 1 −1 

c) 
1 −1 2 .



−
2
0
3

  −1 3 −2 


20


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

• 3) Nhân hai ma trận:

A m×n B n×l = Cm×l
n

cij = ∑ aik bkj
k=1

Ví dụ:  1

3

  1 −2
 2 4 


 −2 3 

 5 7 


21


1

C3×2 =  2

5


1

C3×2 =  2

5


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT
−5 7 
 1 3



  1 −2
 = −6 8 
C3×2 =  2 4 



 −2 3 

−9 11
 5 7 




3
  1 −2


4 
c11 = 1.1 + 3.(−2) = −5
 −2 3 


7
3
  1 −2 

c
=
2.1
+
4.(
−
2)
=
−
6
4 
21
 −2 3 

7 

 1 3

  1 −2 


C3×2 =  2 4 

 −2 3 

 5 7 



c31 = 5.1 + 7.(−2) = −9
22


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT
• Tính chất của tích các ma trận:

• Định lý 4:

A m×n , B n×p ,C p×q , Dn

1. ( AB) C = A (BC)
2. C ( A + B) = CA + CB
2 '. ( A + B) C = AC + BC
3. λ ( AB) = (λ A ) B = A (λB) λ vô hướng

4. Dn I = IDn = Dn

23


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chứng minh (1)
Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB)C=DmxpCpxq
Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq
Ta cần cm: E=G
Tính : Dmxp?
n

Phần tử d11?

d11 = ∑ a1k bk1
k =1

n

Các phần tử hàng 1 của D:

d1 j = ∑ a1k bkj ,

j = 1... p

k =1
24


Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT
Các phần tử hàng 1 của D:
 n
 ∑ a1k bk1

 k =1


⋮


n

∑ a1k bk 2
k =1

Tính Emxq?:
Tính e11:


⋯ ∑ a1k bkp 
k =1


⋯
⋮

n

⋯

 n

e11 = ∑ d1l cl1 = ∑ ∑ a1k bkl cl1


l =1

l =1  k =1

 n
 ∑ a1k bk1
E =  k =1

⋮


p

p

n

∑ a1k bk 2
k =1

⋯

 c11 ⋯
n


⋯ ∑ a1k bkp   c21 ⋮ 
k =1

 ⋮
⋮



⋯
⋮
 c

⋯
 p1


25