các thuật toán về ma trận và hệ phương trình

PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
4
Chng 2: B TÚC CÁC THUT TOÁN V MA TRN &
H PHNG TRÌNH.
Trong k thut ít khi ta tìm đc nghim chính xác ca các bài toàn di dng mt biu thc gii
tích.  gii quyt khó khn này, phng pháp tính (PP tính, hay toán hc tính toán) cho ta các
PP gn đúng, tìm nghim ca phng trình, h phng trình đi s, ca phng trình, h phng
trình vi phân; cách tính gn đúng các đo hàm, vi phân, xp x các hàm phc tp hay hàm cho
di dng bng s bng các hàm đn gin
1. Khái nim v các dng ma trn:
1.1. Khái nim:
Trong vòng na th k nay, lý thuyt ma trn đã đc ng dng vào các ngành khoa hc nh
toán, lý, c hc v.v Dng ma trn có u đim là giúp cho vic trình bày thut toán đc ngn
gn, đn gin. ng thi, do mi quan h cht ch gia các đi lng liên quan, cung cp đc
nhng thông tin đy đ v nhng điu cn bit trong lp lun tính toán và thc hành thit k.
Mt khác, lý thuyt ma trn rt thun tin cho vic lp trình đ thc hin quá trình t đng tính
toán, thit k trên máy tính đin t.
Ma trn đc s dng rng rãi trong PP s vì:
1.Kí hiu ma trn là 1 trong nhng kí hiu cô đng và rõ ràng trong din toán.
2.Cho phép t chc 1 cách có h thng các s liu, rt phù hp vi tính toán trên MTT.
3.Có th nhn dng, vn dng, điu khin và phân tích nhng mng s liu bng nhng h thc
toán hc cht ch và chính xác.
Trong thc t ta thng gp 1 h n phng trinh đi s tuyn tính vi n n s, ví d:
20
32
24
12
123
23
xx

xxx
xx
−=
−+ − =
−+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
;
Nu gp các h s, các n s và các s hng t do vào các mng, ta có th vit li di dng ma
trn sau:
210
13 1
012
−
−−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥

x
x
x
1
2
3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
0
2
4
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪

;
Hoc cô đng hn: [A] {x} = {b} hay A
x
⎯→⎯
=
b
⎯→⎯
;

Tng quát:
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
nn
nn
mm mnnm
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
+++=
+++=
+++=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

⇒ [A] {x} = {b};
Trong c hc kt cu, ta đã bit rng gia các thành phn ni lc và các thành phn chuyn v
ca mt phn t thanh trong h phng có mi quan h nh sau:
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
5

;.
.
i
i
ii
i
u
L
AE
N =
;.
.
.
.
.
.12
2
2
1
23
i
i
ii

i
i
ii
i
i
ii
i
L
IE
L
IE
v
L
IE
Q
θθ
−−=


;.
.2
.
.4
.
.6
21
2
1 i
i
ii

i
i
ii
i
i
ii
i
L
IE
L
IE
v
L
IE
M
θθ
++−=
;.
.4
.
.2
.
.6
21
2
2 i
i
ii
i
i

ii
i
i
ii
i
L
IE
L
IE
v
L
IE
M
θθ
++−=
Trong đó: N
i
- lc dc trong phn t i; Q
i
- lc ct trong phn t i;
M
1i
- mô men un ti đu 1 ca phn t; M
2i
- mô men un ti đu 2;
u
i
- bin dng dc trc ca phn t i; v
i
- chuyn v thng tng đi (theo phng

vuông góc vi trc thanh) gia 2 đu ca phn t;
θ
1i
- góc xoay ti đu 1 ca phn t; θ
2i
- góc xoay ti đu 2;
t
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
i
i
i
i
i
M
M
Q

N
S
2
1
gi là vec t ni lc ca phn t;

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
i
i
i
i
i
v
u
U
2

1
θ
θ
gi là vec t chuyn v ca phn t;

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−

=
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
L
IE
L
IE
L
IE
L
IE

L
IE
L
IE
L
IE
L
IE
L
IE
L
AE
k
.4.2.6
.2.4.6
0
.6.6.12
0
000
.
2
2
223

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
iii
iii
iii
i
efd
fed
ddb
a
0
0
000
gi là ma trn đ cng
ca phn t;
Các h thc trên có th vit li di dng ma trn: S
i
= k
i
.U
i
;
Mt s bài toán có th đa v đi s ma trn:
-Phân tích trng thái ng sut-bin dng trong kt cu, vt th;
-Phân b dòng chy trong h thng thy lc phc tp;

-Xác đnh biên đ dao đng trong các h c hc;
-Phân b dòng đin trong mng phc tp;
-Các bài toán trng (nhit, thm );
-Các bài toán v sóng và chuyn đng sóng;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
6
-Các bài toán không dng khác;
-Các bài toán v ti u hóa;
-Các bài toán phân tích thng kê v kinh t, xã hi
1.2. nh ngha:
Ma trn là mt mng các s hoc ký hiu đc sp xp th t theo m hàng và n ct. Ta có
các kí hiu khác nhau:
A ≡ [A] ≡ [a
ij
] ≡
aa a a
aa a a
aa a a
aa a a
jn
jn
i i ij in
mm mj mn
11 12 1 1
21 22 2 1
12
12

⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
;
Phn t a
ij
nm trên hàng th i và ct th j.
Tng quát, MT có m hàng và n ct (mng ch nht).
Kích thc (c) ca MT là mxn.
1.3. Các loi Ma trn c bn:
1.3.1. Ma trn hàng:
Ma trn ch có 1 hàng, c 1xn (m=1)
Kí hiu: B ≡ [B] ≡ [b
1j

] ≡ [b
1
b
2
b
n
].
Còn gi là vect hàng.
1.3.2. Ma trn ct:
Ma trn ch có 1 ct, c mx1 (n=1)
Kí hiu:
c
⎯→⎯
≡ [c] ≡ [c
i1
]
T
≡ [c
1
c
2
c
m
]
T
≡
c
c
c
m

1
2

⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
;
Còn gi là vect ct hay vect.
1.3.3. Ma trn vuông:
Ma trn có s hàng và s ct bng nhau (m=n).
Cp ca ma trn vuông là s hàng (ct)
Tính toán đnh thc và nghch đo ch tin hành đc trên ma trn vuông.
1.3.4. Ma trn đng chéo:
Ma trn vuông có các s hng bng 0 tr các s hng trên đng chéo chính.
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
7
Kí hiu: ⎡D⎦ ≡ ⎡d
11

d
22
d
nn
⎦ ≡ ⎡d
ii
⎦
 tit kim ô nh, khi lu tr trong MTT ta dùng mng 1 chiu D(I) = d
ii

1.3.5. Ma trn vô hng:
Ma trn chéo nhng các s hng khác 0 đu bng nhau
Kí hiu: ⎡ a ⎦ ≡ ⎡ a a a ⎦ vi a
ij
=
akhii j
khi i j
=
⎧
⎨
⎩
0#

S vô hng là mt ma trn cp 1 (ch có 1 phn t).
1.3.6. Ma trn đn v:
Ma trn chéo có mi s hng trên đng chéo chính bng 1.
Kí hiu: [ I ]
n
≡ ⎡ 1 1 1 ⎦ vi i
ij

=
1
0
khi i j
khi i j
=
⎧
⎨
⎩
#

C ca ma trn đn v thng không cn bit.
1.3.7. Ma trn rng:
Ma trn có mi s hng đu bng 0.
Kí hiu: [ 0 ]
n

Tng t ta có vect không {0}.
1.3.8. Ma trn đi xng:
Ma trn mà các s hng đi xng nhau qua đng chéo chính có giá tr bng nhau.
a
ij
= a
ji

Ma trn đi xng rt hay gp trong các bài toán k thut.  tit kim ô nh thng ch
cn lu tr mt na ma trn theo đng chéo chính.
1.3.9. Ma trn phn xng:
Ma trn mà các s hng đi xng nhau qua đng chéo chính có giá tr đi nhau. a
ij

= -
a
ji

Tt nhiên, các s hng trên đng chéo chính đu bng 0.
1.3.10. Ma trn tam giác:
Có 2 loi:
Ma trn tam giác trên (phi): Các s hng bên di (trái) đng chéo chính đu bng 0,
Kí hiu: U (upper)
Ma trn tam giác di (trái): Các s hng bên trên (phi) đng chéo chính đu bng 0,
Kí hiu: L (lower)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
8
i xng
=0
Na dãi
n
0
phn t
1.3.11. Ma trn vt (bng, dãi):
Vi k đng chéo, các phn t không nm trên đng chéo chính và mt s đng chéo
đu bng 0, tr các phn t khác nm trên bng (có trc là đng chéo chính) có b rng
là k.
Trong các bài toán c hc ta thng gp các loi ma trn bng đi xng. Khi đó ta có
điu kin: a
ij
= 0 vi j > i + n
0
.

Trong đó chiu rng ca bng s là k=2n
0
+1 (n
0
là s đng chéo có phn t ≠ 0  mt
bên đng chéo chính. Khi n
0
= 0 ⇒ ma trn chéo)

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx







⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
xx
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx


tit kim b nh trên máy tính, các phn t ca ma trn đc lu tr trong mt ma trn ch
nht: s hàng bng s hàng ca ma trn gc, s ct là n
0
+1. Cùng mt phn t nm trong 2 ma
trn s có chung ch s hàng, còn ch s ct có quan h nh sau: j’ = j - i + 1;
Trong đó: j’ là ch s ct trong ma trn ch nht, j là ch s ct trong ma trn vuông.
2. Các phép tính vi ma trn:
2.1. Phép chuyn trí: [A]T
[A]
T
là ma trn chuyn trí ca [A] nu hàng ca [A]
T
là ct ca [A] và ngc li.
Ta có a
T
ij
= a
ji

Ví d: Cho [A] =
abc
def
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

s có [A]
T
=
ad
be
cf
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
;
Nu [A] có c mxn thì [A]
T
có c là nxm;
MT chuyn trí ca MT đi xng là chính nó: A
T
= A;
o li nu có A
T
= A thì A là MT đi xng.
Chuyn trí ca MT phn xng là MT đi: A
T
= -A;
Chuyn trí ca MT chia khi là MT chuyn trí ca các MT con đã chuyn trí:

[A] =
AAA
AAA
11 12 13
21 22 23
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⇒ [A]
T
=
AA
AA
AA
TT
TT
TT
11 21
12 22
13 23
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦

⎥
⎥
⎥
;
0
n
0
phn t
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
9
[A
T
]
T
= A;
2.2. Phép cng, tr: [A] ±
[B]
iu kin: Các ma trn phi có cùng kích thc (m x n)
Tng (hiu) ca ma trn [A] và [B] là ma trn [C] có các s hng: c
ij
= a
ij
+ b
ij

Ví d:
231
012−
⎡

⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
±
112
240
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
++
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
−−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦

⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
34 3
232
12 1
252
()
()
tong
hieu

Phép cng và tr có tính cht giao hoán và kt hp:
[A] ± [B] = ± [B] + [A].
[A] + [B] ± [C] = ([A] + [B]) ± [C].
([A] ± [B])
T
= [A]
T
± [B]
T
.
Cng (tr) hai ma trn c (m x n) nói chung phi thc hin m x n phép tính. Nu là ma trn
đc bit (đi xng, bng) s phép tính có th gim.
2.3. Phép phân tích ma trn tha s:

Mi [A] đu có th phân tích đc thành tng ca, hoc:
+Hai ma trn: mt ma trn đi xng, mt ma trn phn xng.
Cho ma trn [A], nu ký hiu: B
1
=
1
2
(A + A
T
) (ma trn đi xng)
B
2
=
1
2
(A - A
T
) (ma trn phn xng)
S có A = B
1
+ B
2
;
Ví d:
15
27
⎡
⎣
⎢
⎤

⎦
⎥
=
135
35 7
.
.
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+
015
15 0
.
.
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;
+Ba ma trn: mt ma trn đng chéo, hai ma trn tam giác (trên và di).
A = D + L + U
Nu A đi xng thì L
T

= U, ta có A = D + L + L
T

2.4. Phép nhân ma trn vi 1 vô hng λ
:
Tích ca [A] vi vô hng λ là 1 ma trn [C] vi các phn t đã đc nhân vi λ:
c
ij
= λa
ij
. Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ
Khi nhân vi (-1) ta đc ma trn đi du so vi ma trn xut phát: (-1)[A] = [-A].
Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân phi và tính kt hp:
λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); (α + β)A = αA + βA;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
10
2.5. Phép nhân hai ma trn: [A].[B]
iu kin: Hai ma trn phi tng thích, ngha là s ct ca ma trn đng tróc phi bng s
hàng ca ma trn đng sau.
Kí hiu:[C]
mxp
= [A]
mxn
.[B]
nxp

Qui tc: mun có s hng tng quát c
ij
phi nhân ln lt các s hng ca hàng th i ca [A]

vi các s hng thuc ct th j ca [B] ri cng li:
c
ij
= ab
ir rj
r
n
.
=
∑
1
(i= 1÷ m; j= 1÷ p)
Ví d:
123
456
789
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥

ax
by
cz

⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
abcx yz
abc x y z
abcxy z
++ ++
++ ++
++ ++
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
23 23
456456
789789

;
S phép tính là m x n x p, tuy nhiên có th rút bt nu không thc hin vi các s hng rng,
ví d vi ma trn bng đi xng:

2100
210
21
1
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥

4
1
2
3
⎧
⎨

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
()() ( )()
( )() ()() ( )()
( )() ()() ( )()
()()()()
24 11
14 21 12
11 2 2 13
12 13
+−
−+ +−
−+ +−
−+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
7
4
0
1
−
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
;

 đây ch thc hin 10 phép tính thay cho 4x4x1 phép tính.
Tính cht ca phép nhân:
2.5.1. Phép nhân không có tính giao hoán:
Nói chung A B # B A
Vì: -A có th tng thích vi B, nhng B có th không tng thích vi A.
-Nu c A và B ln B và A đu tng thích nhng kích thc 2 tích có th khác nhau, ví
d:
1
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

[]
34 =
34
68
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
#
[
]
34

1
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= 11;
-Nu c 2 tích cùng kích thc cng có th khác nhau, ví d:
01
10
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
A

11
01
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
B
=

01
11
1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
C
#
11
01
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
B

01
10
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
A

=
11
10
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
C
;
Vy bn cn phân bit th t các ma trn trong phép nhân.
Trng hp hoán v đc khi:
+Nhân MT vô hng vi MT vuông cùng cp:
⎡ λ ⎦ [A] = [A] ⎡ λ ⎦ = [λA] ≡
λλ λ
λλ λ
aa a
aa a
n
nn nn
nxn
11 12 1
12



⎡
⎣

⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
11
+c bit vi MT đn v và MT rng:
[ I ] [ A ] = [ A ] [ I ] = [ A ] ; [ 0 ] [ A ] = [ A ] [ 0 ] = [ 0 ]
+Nhân 2 MT chéo cùng cp:
⎡ a
ii
⎦ ⎡ b
ii
⎦ = ⎡ a
ii
b
ii
⎦ =
ab
ab
ab
nn nn
11 11
22 22

⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
= ⎡ b
ii
⎦ ⎡ a
ii
⎦ ;
2.5.2. Tính kt hp và tính phân phi:
Có th áp dng cho phép nhân nhng phi chú ý th t MT.
-Kt hp: A B C = (A B) C = (A) (B C).
-Phân phi: A (B + C) = A B + A C
(A + B) C = A C + B C. (tn b nh hn v 1)
α(A B) = α(A) B = A (αB).
2.5.3. Tính cht ca MT tích chuyn trí:
(A B)
T
= B
T
A

T
; (A B C)
T
= C
T
B
T
A
T
; (A B C P Q)
T
= Q
T
P
T
C
T
B
T
A
T
;
(A A
T
)
T
= (A
T
)
T

(A
T
) = A A
T
. (Vy A A
T
luôn đi xng)
Nu A đi xng: (B
T
A B)
T
= B
T
A
T
B = B
T
A B. (Vy B
T
A B cng đi xng)
Chú ý:
Trong phép nhân MT tích có th bng 0, nhng cha chc 2 MT thành phn là MT rng
[0].
Nhng ngc li, nu 1 trong 2 MT thành phn (A hoc B) là rng thì chc chn MT tích
(AB hoc BA) là rng.
Nói chung, không th gim c MT mt cách đn gin nh các s thng vì không có
phép chia MT (AB = CB nhng cha chc A = C, ngc li thì đúng!).
2.6. Phép nghch đo ma trn: [A]-1
iu kin: 1. Ma trn vuông;
2. Không suy bin (det A # 0)

nh ngha: Nghch đo ca MT vuông [A] là MT [A]
-1
cùng kích thc vi [A] và tha mãn
đng thc: [A] [A]
-1
= [A]
-1
[A] = [ I ].
Tính cht:
1. Nu A kh nghch thì A
-1
tn ti duy nht;
Thc vy, nu X là mt ma trn mà: X.A = I ⇒ X.A.A
-1
= I.A
-1
= A
-1
⇒ X.I = A
-1

Tc là X = A
-1
.
2. (A B)
-1
= B
-1
A
-1

; (A B M N)
-1
= N
-1
M
-1
B
-1
A
-1
;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
12
Gi s X = A B ⇒ X
-1
X = X
-1
A B ⇒ I = X
-1
A B ⇒ I B
-1
= X
-1
A B B
-1

⇒ B
-1
= X

-1
A.
⇒ B
-1
A
-1
= X
-1
A A
-1
⇒ B
-1
A
-1
= X
-1
.
Vy B
-1
A
-1
= (A B)
-1
.
Vi k là 1 vô hng thì: (kA)
-1
=
A
k
−

1
;
3. (A
-1
)
-1
= A;
D thy: A
-1
(A
-1
)
-1
= I ⇒ A A
-1
(A
-1
)
-1
= A I ⇒ I (A
-1
)
-1
= A ⇒ (A
-1
)
-1
= A.
4. (A
T

)
-1
= (A
-1
)
T
;
Ta có: (A
-1
)
T
A
T
= (A A
-1
)
T
= I
T
= I;
Vy (A
-1
)
T
là nghch đo ca A
T
hay (A
T
)
-1

= (A
-1
)
T
;
5. Nu A đi xng, A
-1
cng đi xng.
Ta có: (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
.
Nu A là ma trn đi xng thì A
-1
= (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
. Vy A
-1
là ma trn đi xng.

6. Vi MT chéo gi: ⎡A
11
A
22
. . .A
nn
⎦
-1
= ⎡A
-1
11
A
-1
22
. . . A
-1
nn
⎦ .
Các phng pháp nghch đo 1 MT vuông:
1. Gii h n phng trình n n s: [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A]
-1

2. Gii bng MT liên hp
A
~
vi phn ph S A
ij
.
3. Phng pháp Gauss (PP kh dn h s)
4. Phng pháp Jordan (Joocđng)

5. Phng pháp Cholesky (Khaletxki) (phân tích thành MT tam giác)
6. Phng pháp vin quanh (đo MT tam giác)
7. Phng pháp lp khác
Thut toán và chng trình xác đnh MT đo theo PP kh Gauss:
Bc 1: Cho MT A, lp MT đn v E (ta có A A
-1
= E)
Bc 2: Tin hành quá trình kh Gauss đi vi MT A, đng thi thc hin các thao tác
tng t vi MT E. Kt qu nhn đc MT đo A
-1
t MT E. (Thut toán kh Gauss xem
phn gii h phng trình đi s tuyn tính)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
13
2.7. Ma trn bin đi to đ:
Trong các bài toán c hc, ta thng
có nhu cu xác đnh các đc trng c
hc ca các phn t hoc ca h kt
cu (ni lc, ti trng, chuyn v )
trong các h to đ khác nhau cng
nh bin đi to đ ca chúng t h
to đ này sang mt h to đ khác.
Gi s có vect A và 2 h to đ
3
chiu: h to đ chun (chung, toàn
cc) X
G
,Y
G

,Z
G
và h to đ cc b
(riêng) x
L
,y
L
,z
L
. To đ ca vect A
trên h X
G
,Y
G
,Z
G
là A
xG
, A
yG
, A
zG
,
và trên h x
L
,y
L
,z
L
là A

xL
, A
yL
, A
zL
.



nh ngha côsin đnh hng gia 2 h to nh sau:
() ()
(
)
() () ()
() () ()
)1.23(
;,cos;,cos;,cos
;,cos;,cos;,cos
;,cos;,cos;,cos
333231
232221
131211
−
===
===
=
==
GLGLGL
GLGLGL
GLGLGL

ZZYZXZ
ZYYYXY
ZXYXXX
λλλ
λλλ
λ
λ
λ

Ta có công thc chuyn trc to đ nh sau:
)2.23(
;
;
;
333231
232221
131211
−
++=
++=
++=
zGyGxGzL
zGyGxGyL
zGyGxGxL
AAAA
AAAA
AAAA
λλλ
λλλ
λ

λ
λ

Hay h thc ma trn gia A
xL
, A
yL
, A
zL
và A
xG
, A
yG
, A
zG
nh sau:

)3.23(;.
333231
232221
131211
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
zG
yG
xG
zL
yL
xL
A

A
A
A
A
A
λλλ
λλλ
λλλ
hay A
L
= T.A
G
; (3-2.3a)
Tng t ta có h thc ma trn gia A
xG
, A
yG
, A
zG
và A
xL
, A
yL
, A
zL
:

)4.23(;.
332313
322212

312111
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
zL
yL
xL
zG
yG
xG
A
A
A
A
A
A
λλλ
λλλ
λλλ
hay A
G
= T
T
.A
L
; (3-2.4a)
Ma trn T gi là ma trn bin đi to đ gia 2 h to đ x
L
,y
L
,z

L
và X
G
,Y
G
,Z
G
.
Th (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: A
G
= T
T
. T.A
G
; ⇒ T
T
. T = I ;
Ngha là T
T
là nghch đo ca T. Hay T
T
= T
-1
; Ta gi T là ma trn trc giao.
A
X
G

Y
G

Z
G

A
xG

A
yG

A
zG

x
L

y
L

z
L

A
yL

A
zL

A
xL

PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
14
3. Gii h phng trình đi s tuyn tính:

ax ax ax b
ax ax a x b
ax a x ax b
nn
nn
nn nnnn
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
+++=
+++=
+++=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⇒ [A] {x} = {b};
Trong thc t ma trn h s A có th là:
+Ma trn đy đ, không đi xng.
+Ma trn bng.
+Ma trn đi xng.
3.1. Phng pháp kh Gauss (kh n liên tip):
Thc cht ca phng pháp Gauss là kh dn các phn t ca ma trn h s đ cui cùng có
đc mt ma trn tam giác trên. Quá trình thc hin đc chia làm nhiu vòng,  mi vòng đc
bt đu vi hàng th 2 ca ma trn, ly hàng đó tr đi hàng th nht nhân vi phn t đu tiên
ca hàng đó và chia cho phn t đu tiên ca hàng th nht. Và sau mi vòng bc ca ma trn
cn bin đi gim đi 1.
 đn gin ta trình bày PP gii cho h 4 phng trình sau (và vic m rng cho n tùy ý là hoàn
toàn tng t):
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
41 1 42 2 43 3 44 4 4
+++=
+++=
+++=
+++=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
; (3-3.1)
Sau vòng th nht (gi s a
11
# 0, nu a
11
=0 thì có th đi v trí n s và th t phng trình đ
có a
11
#0), ma trn h s có ct th nht ch còn phn t a
11
:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)1(
44
)1(
43

)1(
42
)1(
34
)1(
33
)1(
32
)1(
24
)1(
23
)1(
22
14131211
0
0
0
aaa
aaa
aaa
aaaa

Sau vòng th hai (bin đi ma trn vi các phn t a
(1)
ij
vi i=3 n, j=3 n), có đc ma trn h
s:

⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)2(
44
)2(
43
)2(
34
)2(
33
)1(
24
)1(
23
)1(
22
14131211
00
00
0
aa

aa
aaa
aaaa
Và sau vòng th ba:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)3(
44
)2(
34
)2(
33
)1(
24
)1(
23
)1(
22
14131211
000

00
0
a
aa
aaa
aaaa

H phng trình (3-3.1) tr thành h phng trình đi s tuyn tính có ma trn h s là ma trn
tam giác.
Tng quát: nh vy sau khi thc hin n-1 vòng tính nh trên đi vi ma trn h s A và ma trn
các s hng t do B, ta có đc h phng trình:
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
15
)2.33(;

.
00
00
0

)1(
)2(
1
)1(
2
1
1
2
1

)1(
)2(
1
)2(
11
)1(
2
)1(
12
)1(
22
1111211
−
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨

⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
−
−
−
−−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
nn
nn

b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa

Các phn t ca các ma trn A và B trong mi vòng tính (gi k là ch s th t ca vòng lp
đang thc hin) đc bin đi theo các công thc sau:
;.
)1(
)1(
)1()1()(
−
−
−−
−=
k
ss
k
is
k
sj
k

ij
k
ij
a
a
aaa
;.
)1(
)1(
)1()1()(
−
−
−−
−=
k
ss
k
is
k
s
k
i
k
i
a
a
bbb
;,,2,1,;1,,2,1 nkkjink KK
+
+

=−=
T đó ta đc giá tr các n:

;
)1(
)1(
−
−
=
n
nn
n
n
n
a
b
x

()
;
.
)2(
11
)2(
1
)2(
1
1
−
−−

−
−
−
−
−
−
=
n
nn
n
n
nn
n
n
n
a
xab
x
;1,,3,2;
.
)1(
1
)1()1(
K−−=
−
=
−
+=
−−
∑

nnj
a
xab
x
j
jj
n
jr
r
j
rj
j
j
j

3.1.1. Trng hp ma trn h s đi xng:
Trng hp ma trn h s đi xng cách tính toán thc hin tng t, ngoài ra do tính cht đi
xng a
ij
= a
ji
nên  vòng th k theo (3-3.3) ta có:
;.
)1(
)1(
)1()1()(
−
−
−−
−=

k
ss
k
is
k
sj
k
ij
k
ij
a
a
aaa
;.
)1(
)1(
)1()1()(
−
−
−−
−=
k
ss
k
js
k
si
k
ji
k

ji
a
a
aaa
Trc phép bin đi Gauss có a
ij
= a
ji
, và sau bin đi theo các công thc trên cng có a
(k)
ij
=
a
(k)
ji
, vy trc và sau phép bin đi Gauss các phn t đi xng vn gi nguyên tính đi xng.
Do đó, thut toán kh ch phi tin hành đi các phn t t ma trn tam giác trên. Aïp dng công
thc (3-3.3) vi các phn t t ma trn tam giác trên (có j≥i) và a
ij
= a
ji
:
(3-3.3)

(3-3.4)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
16
Min I
(i=1, ,n-n

0
)
Min II
(i=n-n
0
+1, ,n)
n
0
hàng

)5.33(
,,1,
,,2,1
.
.
)1(
)1(
)1()1()(
)1(
)1(
)1()1()(
−
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬

⎫
+=
++=
−=
−=
−
−
−−
−
−
−−
niij
nssi
a
a
bbb
a
a
aaa
k
ss
k
si
k
s
k
i
k
i
k

ss
k
si
k
sj
k
ij
k
ij
K
K

3.1.2. Trng hp ma trn h s là ma trn dãi đi xng:
Tng t nh trng hp ma trn đi xng, thut toán kh ch phi tin hành đi các phn t t
ma trn tam giác trên, ngoài ra trong mi vòng phép kh ch làm thay đi các phn t trong
phm vi chiu rng ca bng (vì sau các phép bin đi các phn t còn li bng 0 hoc không
thay đi). Vì vy  vòng th k min tính toán đc xác đnh nh hình v:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
x
xx
xx
xxx
xxxx
xxxa
xxxx
xxxx
k
ss

)1(

Aïp dng công thc (3-3.5) vi các phn t có ch s hàng t i=s+1 đn s+n
0
và ch s ct j=i
đn s+n
0
:

)6.33(
;,,1,
;,,2,1
;1,,2,1
;.
;.
0
0
)1(
)1(
)1()1()(
)1(
)1(
)1()1()(
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
++=
+++=
−=
−=
−=
−
−
−−
−
−
−−
nsiij
nsssi
nk
a
a
bbb
a
a
aaa
k
ss
k

si
k
s
k
i
k
i
k
ss
k
si
k
sj
k
ij
k
ij
K
K
K

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
xx
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx

Cách tính các n s đc tin hành theo 2 min nh sau:
Min I:

;
)1(
)1(
−
−
=
n
nn
n
n
n
a
b
x

;
.
1
ii
n
ij
jiji
i
a
xab

x
∑
+=
−
=

(3-3.7)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
17
;1,,2,1
0
+−−−= nnnni K
Min II:

;
.
0
1
ii
ni
ij
jiji
i
a
xab
x
∑
+
+=

−
=
;1,,1,
00
K−−−= nnnni
3.2. Phng pháp kh Gauss vi phép chia cho phn t chính:
T tng ca phng pháp này là chn trong các h s a
ij
h s có tr tuyt đi ln nht đc
gi là phn t chính, dòng cha phn t chính gi là dòng chính. Tip theo thc hin vic kh n
vi dòng chính sao cho ct cha phn t chính sau khi kh tr phn t chính còn các phn t
khác đu bng 0. B ct và dòng cha phn t chính (kh đi 1 n) và tip tc tng t vi h
ph
ng trình còn li.
Vic chia cho phn t chính làm cho giá tr tuyt đi ca phép chia là bé nht vì vy gim
đc sai s tính toán.
3.3. Phng pháp ci tin Jordan Gauss:
Nu trong phng pháp chia cho phn t chính  mi bc ta không b đi dòng cha phn t
chính và nhng dòng đã cha phn t chính  các bc trc không tham gia vào vic chn
phn t chính trong các bc tip theo thì ta s đa h phng trình đã cho v h tng đng
vi MT h s dng đng chéo.
Kt qu là ta có th xác đnh giá tr ca các n s t
 tng phng trình ca h tng đng.

xb
xb
xb
xb
n
n

n
nnn
111
221
331
1
0
0
()

()
()
()
()
()
==
=
=
==
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
+
+

+
+
;
Ta có th cùng mt lúc thc hin các phép tính bin đi trên ma trn A và ma trn đn v I. Khi
ma trn A tr thành ma trn đn v thì ma trn đn v I ban đu tr thành nghch đo ca ma trn
A. ây là thut toán đ tìm nghch đo ca ma trn A.
3.4. Phng pháp cn bc hai: (khi MT h s là MT đi xng)
Ni dung ca PP gm 2 giai đon:
-Giai đon thun:
Biu din MT A di dng tích hai MT chuyn trí ca nhau: A = T
T
.T, trong đó:
T=
tt t
tt
t
n
n
nn
11 12 1
22 2
0
00



⎡
⎣
⎢
⎢

⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
, T
T
=
t
tt
tt t
nn nn
11
12 22
12
00
0



⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤

⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
;
(3-3.8)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
18
Nhân T
T
vi T ri đng nht vi các phn t ca A ta đc:
t
11
=
a
11
; t
1j
=
a
t
j1
11
; (j > 1) t
ii
= at
ii ki
k

i
−
=
−
∑
2
1
1
; (1< i ≤ n),
t
ij
=
att
t
ij
ki
kj
k
i
ii
−
=
−
∑
1
1
; (i < j) t
ij
= 0 ; (i > j)
Nh vy h PT Ax = b đc chuyn thành vic gii 2 h tam giác:

T
T
y = b, Tx = y.
-Giai đon nghch:
Vit li các h tam giác di dng tng minh:
ty b
ty ty b
ty t y ty b
nn nnnn
11 1 1
12 1 22 2 2
11 22
=
+=
++=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪


⇒

⎪
⎪
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−
=
=
∑
−
=
)1(;
;
1
1
11
1
1
i
t
ytb
y
t
b
y
ii
i

k
kkii
i

tx tx tx y
tx tx y
tx y
nn
nn
nn n n
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
0
++=
+=
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪



⇒

⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
−
=
=
∑
+=
)(;
;
1
ni
t
xty
x
t
y
x
ii
n
ik
kiki
i

nn
n
n

PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
19
Chng trình gii h phng trình đi s tuyn tính theo PP ci tin Jordan Gauss:

Gii HPT STT bng PP kh Gauss

START
Nhp n, A(a
ij
), B(b
i
)
(i, j = 1, 2, , n).
a
ii

≠0
(Nu a
ii
=0 phi đi v trí n s
và th t phng trình)

In x
i

(i= 1, 2, n)

STOP
i = 1, 2, , n
j = i+1, , n
p
j
= a
ji
/a
ii


k = i+1, , n
a
jk
= a
jk
- p
j
.a

ik


b
j
= b
j
- p
j
.b
i


Gi CT con gii HPT có
h s là MT tam giác

START
Nhp n, A(a
ij
), B(b
i
)
(i = 1, 2, , n), i ≤ j ≤ n.
RETURN
Chng trình con gii HPT có ma
trn h s là MT tam giác
S = b
i

j = i+1, , n

S = S - a
ij
.x
j

i = n-1, n-2, , 1
a
nn
≠0
x
n
= b
n
/a
nn

a
ii
≠0
x
i
= S/a
ii

Ptrình
Vô nghim

đúng
sai
đúng

sai
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
20
Chng 3: CÁC PHNG PHÁP TÍNH GN ÚNG.
1. Thut toán ni suy:
1.1. Gii thiu
Trong thc t ta thng gp bài toán: bng đo đc hoc thc nghim ta có đc giá tr
ca hàm s y=f(x) ti các đim x
0
, x
1
, x
2
x
n
trên đon [a, b] là y
0
, y
1
, y
2
y
n
trong khi
cha bit đc biu thc gii tích ca hàm s đó. Yêu cu xác đnh giá tr ca hàm ti
mt s đim trung gian khác.
 gi bài toán trên, ta xây dng hàm F(x) có biu thc đn gin sao cho: có giá tr trùng
vi giá tr ca hàm f(x) ti các đim x

0
, x
1
, x
2
x
n
, còn ti các đim khác trên đon [a. b]
thì F(x) khá gn f(x). Bài toán xây dng hàm F(x) nh vy gi là bài toán ni suy. Hàm
F(x) gi là hàm ni suy ca hàm f(x) trên đon [a, b].
Có th có nhiu hàm F(x) tho mãn các điu kin ca bài toán ni suy, nhng ngi ta
thng chn đa thc làm hàm ni suy. Vì đa thc là loi hàm đn gin, luôn có đo hàm
và nguyên hàm, vic xác đnh giá tr ca chúng cng đn gin. Mt khác, nu ta chn
hàm ni suy F(x) là đa thc bc không quá n thì đa thc đó là duy nht.
1.2. Thut toán ni suy bc nht đ tra bng 1 chiu:
1.2.1. Bài toán:
Gi s quan h gia 2 đi lng x và y đc cho trc bi n đim di dng bng nh sau:
Khi bit mt giá tr x
0
bt k nào đó và x
0
∈ [x
i-1
, x
i
], ta cn xác đnh
x y
giá tr y
0
∈ [y

i-1
, y
i
] tng ng.
x
1
y
1

Thut toán:  xác đnh y
0
, gi thuyt rng trên đon đã cho quan
x
2
y
2

h gia x và y là bc nht. Khi đó ta có phép ni suy bc nht nh sau:
-Gi s giá tr tìm đc ca x
0
trong bng tra tha mãn điu kin x
i
y
i

x
i-1
< x
0
< x

i
.
-Cho rng y bin đi bc nht theo x trên đon [x
i-1
, x
i
], đ th biu x
n
y
n

din quan h x-y là đon thng AB vi A(x
i-1
, y
i-1
) và B(x
i
, y
i
),
đim cn tìm C(x
0
, y
0
) đc xác đnh d dàng theo quan h đng
dng ca các tam giác ABE và ACD:
y
0
= y
i-1

+CD
Mà
CD
BE
AD
AE
= ⇒ CD =
()
yy
xx
xx
ii
ii
i
−
−
−
−
−
−
1
1
01
;
⇒ y
0
= y
i-1
+
()

yy
xx
xx
ii
ii
i
−
−
−
−
−
−
1
1
01
; (3-5.1)
y
B
C
E D A
x
i-1
x
i
x
0

y
i

y
i-1

x O
y
0

PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
21
1.2.2. Chng trình:
-c s liu bng tra vào các vect X(n), Y(n). Cho giá tr x
0
;
-Tìm v trí ca x
0
trong bng tra tha: x
i-1
≤ x
0
≤ x
i
nh sau:
i:=1;
REPEAT
i:=i+1;
UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);
-Xác đnh y
0

theo công thc trên (3-5.1).
Ghi chú: Nu x
0
<x
1
có th ngoi suy theo khong đu tiên (x
1
, x
2
).
Nu x
0
>x
n
có th ngoi suy theo khong cui cùng (x
n-1
, x
n
).
1.3. Thut toán ni suy bc nht đ tra bng 2 chiu:
1.3.1. Bài toán:
Gi s quan h hàm 2 bin z=f(x,y) đc cho di dng bng 2 chiu z(x,y):


y
x
y
1
y
2

y
j-1
y
0
y
j
y
n

x
1

x
2


x
i-1
z
i-1,j-1
z
i-1,j

x
0
z
1
z
0
z

2

x
i
z
i,j-1
z
i,j


x
m

Bit x
0
và y
0
, ta phi xác đnh giá tr z
0
= f(x
0
,y
0
) tng ng theo phép ni suy bc nht.
-Gi s tìm đc v trí ca x
0
và y
0
trong bng tra, tha điu kin:
x

i-1
< x
0
< x
i

y
j-1
< y
0
< y
j
.
-Trên ct (j-1) ni suy theo x
0
đ tìm đc z
1
(tc là z
1
=f(x
0
,y
j-1
):
z
1
= z
i-1,j-1
+
()

zz
xx
xx
ij i j
ii
i
,,−−−
−
−
−
−
−
111
1
01
; (3-5.2)
-Trên ct j ni suy theo x
0
đ tìm đc z
2
(tc là z
2
=f(x
0
,y
j
):
z
2
= z

i-1,j
+
()
zz
xx
xx
ij i j
ii
i
,,
−
−
−
−
−
−
1
1
01
; (3-5.3)
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
22
-Ni suy z
0
t z
1
và z
2

theo y
0
:
z
0
= z
1
+
(
)
zz
yy
yy
jj
j
21
1
01
−
−
−
−
−
; (3-5.4)
1.3.2. Chng trình:
-c s liu bng tra vào các vect X(m), Y(n) và Z(m,n). Cho giá tr x
0
và y
0
;

-Tìm v trí ca x
0
và y
0
trong bng tra tha điu kin:
xxx
yyy
ii
jj
−
−
≤≤
≤≤
⎧
⎨
⎩
10
10
;
i:=1;
REPEAT
i:=i+1;
UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);
j:=1;
REPEAT
j:=j+1;
UNTIL (y0<=Y[j]) AND ((y0>=Y[j-1]);
-Xác đnh z
0
theo trình t vi các công thc trên.

1.4. Xp x n+1 đim mc (nút) cho trc bng đa thc bc n:
1.4.1. Bài toán:
Quan h gia hai đi lng x và y đc cho bi n+1 đim ri rc (đim mc) bt k.
Gi thuyt dng ca hàm y=f(x) là mt đa thc bc n:
y = f(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
;
Cn xác đnh đa thc này, tc cn xác đnh các h s ca đa thc (a
0
, a
1
, a
2
, , a
n
) sao cho đ
th ca hàm đi qua n+1 đim đã cho.
-S liu đã cho: x x
1
x

2
x
i
x
n
x
n+1

y y
1
y
2
y
i
y
n
y
n+1

Theo điu kin đt ra đ đ th ca hàm đi qua n+1 đim mc đã cho ta phi có:
f(x
1
) = a
0
+ a
1
x
1
+ a
2

x
1
2
+ + a
n
x
1
n
= y
1
;
f(x
2
) = a
0
+ a
1
x
2
+ a
2
x
2
2
+ + a
n
x
2
n
= y

2
;

f(x
n
) = a
0
+ a
1
x
n
+ a
2
x
n
2
+ + a
n
x
n
n
= y
n
;
f(x
n+1
) = a
0
+ a
1

x
n+1
+ a
2
x
n+1
2
+ + a
n
x
n+1
n
= y
n+1
;
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
23
⇒
1
1
1
11
2
1
22
2
2
11

2
1
xx x
xx x
xx x
n
n
nn n
n




++ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
a
a

a
n
0
1

⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
y
y
y
n
1
2
1

+
⎧

⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
; (3-5.5)
Hay A
n+1,n+1
X = B;
Nh vy vect h s ca đa thc cn tìm chính là nghim ca h PT đi s tuyn tính (3-5.5).
1.4.2. Chng trình:
-c s liu ta đ ca n+1 đim mc vào các vect x(n+1), y(n+1);
-Xây dng h PT(3-5.5):
FOR i:=1 TO n+1 DO
BEGIN
A[i,1]:=1;
FOR j:=2 TO n+1 DO A[i,j]:= A[i,j-1]*x[i];
B[i]:=Y[i];
END;
-Gii h PT A
n+1,n+1
X = B theo các PP đã bit.

1.5. a thc ni suy Lagrng (LAGRANGE) vi nút không cách đu:
1.5.1. Bài toán:
Gi s trên đon a ≤ x ≤ b cho mt li các đim nút a ≤ x
0
< x
1
< x
2
< <x
n
≤ b và giá tr ca
hàm y=f(x) ti các đim nút đó là y
i
=f(x
i
), i=0, 1, , n. Yêu cu xây dng mt đa thc bc n:
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + a
n

.
Sao cho P
n
(x) trùng vi f(x) ti các nút x
i
, ngha là: P
n
(x
i
) =y
i
; i= 0, 1, , n.
Lagrng đã xây dng đa thc ni suy di dng:

)6.53();(.)(
0
−=
∑
=
n
j
jjn
xLyxP
Trong đó:
)7.53(;
)( )).(( )).((
)( )).(( )).((
)(
1110
1110

−
−−−−−
−
−
−−−
=
+−
+−
njjjjjjj
njj
j
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL Nh vây đa thc ni suy
Lagrng tho mãn các điu kin ca bài toán trên.
Tht vy, vì L
j
(x) là đa thc bc n nên (3-5.6) là đa thc bc n.
Ngoài ra:
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
jikhi
jikhi
xL
ij
0

1
)( nên P
n
(x
i
) = y
i
; i =0, 1, , n.
u đim ca đa thc ni suy Lagrng là đn gin, nhng nu thêm nút ni suy thì phi tính li
toàn b.
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
24
1.5.2. S đ khi ca thut toán:

STOP
In kt qu f(x)
(f(x) = P)

START
Nhp x, n, x
0
, x
1
,
x
n
; y
0
, y
1
, y
n
.
P = 0

j = 0, 1, 2, , n
G = 1
k ≠ j
sai
G = G.(x - x
k
)/(x
j
- x
k
)
P = P + y
j
.G
k = 0, 1, 2, , n
đúng
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
25
1.6. a thc ni suy vi nút cách đu:
1.6.1. Sai phân hu hn:
Gi s hàm y=f(x) có giá tr y
i
= f(x
i
) ti các nút cách đu nhau vi:
x
i+1
- x

i
= h = const; i = 0, 1, 2, , n.
Ta đnh ngha sai phân hu hn ca hàm y = f(x) nh sau:
- Sai phân cp 1: ∆y
i
= y
i+1
- y
i
;
- Sai phân cp 2: ∆
2
y
i
= ∆y
i+1
- ∆y
i
= y
i+2
- 2y
i+1
+ y
i
;
- Sai phân cp 3: ∆
3
y
i
= ∆

2
y
i+1
- ∆
2
y
i
= y
i+3
- 3y
i+2
+ 3y
i+1
- y
i
;

- Sai phân cp n: ∆
n
y
i
= ∆
n-1
(∆y
i
) = ∆
n-1
y
i+1
- ∆

n-1
y
i
;
Sai phân hu hn ca hám s có các tính cht tng t nh các tính cht ca vi phân. Gi s cho
hai hàm f(x), g(x) và hng c, ta có:
∆(f+g) = ∆f + ∆g;
∆(c.f) = c.∆f;
∆
n
(x
n
) = n!h
n
; và ∆
m
(x
n
) = 0 khi m > n;
Cho đa thc bc n:
y = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1

x + a
n
; khi đó: ∆
n
(y) = a
0
n!h
n
;
1.6.2. Bng sai phân hu hn:
 xây dng đa thc ni suy ta phi lp bng sai phân nh sau vi các sai phân ∆y, ∆
2
y, ∆
2
y
đc tính theo (3-5.8):
x y
∆
y ∆
2
y ∆
3
y
x
0

x
1

x

2
x
3

y
0

y
1

y
2
y
3

∆
y
0

∆y
1

∆y
2
∆y
3

∆
2
y

0

∆
2
y
1

∆
2
y
2
∆
2
y
3

∆
3
y
0

∆
3
y
1

∆
3
y
2

∆
3
y
3

1.6.3. a thc ni suy Niutn (Newton) tin:
Khi cho các nút cách đu x
i
= x
0
+ i.h; i = 0, 1, 2, , n; Niu tn đã lp đa thc ni suy bc n:
P
n
(x) = a
0
+ a
1
(x - x
0
) + a
2
(x - x
0
).(x - x
1
) + + a
n
(x - x
0
) (x - x

n-1
);
Các h s a
i
đc xác đnh sao cho P
n
(x
i
) = y
i
: (i=0, 1, , n)
Cho x = x
0
ta đc a
0
= P
n
(x
0
) = y
0
;
Cho x = x
1
ta đc
;
)(
001
01
01

1
h
y
h
yy
xx
axP
a
n
∆
=
−
=
−
−
=
(3-5.9)

PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
26
Tng t, cho x = x
i
đc:
)10.53(;
!
0
−
∆

=
i
i
i
hi
y
a

Vy đa thc ni suy có dng:
);() (
!
)).((
!2
)(
!1
)(
10
0
10
2
0
2
0
0
0 −
−−
∆
++−−
∆
+−

∆
+=
n
n
n
n
xxxx
hn
y
xxxx
h
y
xx
h
y
yxP (3-5.11)

Nu đt
h
xx
t
0
−
= , suy ra x=x
0
+ t.h thì: x - x
i
= x - x
0
- i.h = (t - i).h

Thay vào (3-5.11) đc:
)12.53(;
!
)1() 1(

!2
)1(
.)(
00
2
00
−∆
+
−
−
++∆
−
+∆+= y
n
nttt
y
tt
ytyxP
n
n

Các đa thc theo (3-5.11) và (3-5.12) gi là đa thc ni suy Niutn tin xut phát t x
0
vi các
nút cách đu, thng dùng khi tính giá tr hàm ti x gn x

0
đu bng sai phân.



















STOP
In kt qu f(x)
(f(x) = P)

START
Nhp x, n, x
0
, h;
y

0
, y
1
, y
n
.
t = (x - x
0
)/h

i = 0, 1, 2, , n - 1

D
i
= y
i+1
- y
i


i = 2, 3, , n
t = t.(t - i + 1)/i
P = P + t. D
0

j = 0, 1, , n - i
D
j
= D
j+1

- D
j

P = y
0
+ t.D
0

PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
27
1.6.4. a thc ni suy Niutn (Newton) lùi:
a thc ni suy bc n tìm đc có dng:
P
n
(x) = a
0
+ a
1
(x - x
n
) + a
2
(x - x
n
).(x - x
n-1
) + + a
n

(x - x
n
) (x - x
1
);
Các h s a
i
(i=0, 1, , n) đc xác đnh sao cho P
n
(x
i
) = y
i
:
Cho x = x
n
ta đc a
0
= P
n
(x
n
) = y
n
;
Cho x = x
n-1
, y
n-1
= a

0
+ a
1
.(-h) đc
;
1
1
h
y
a
n−
∆
=

Tng t, cho x = x
i
đc:
)13.53(;
!
−
∆
=
−
i
in
i
i
hi
y
a

Vi a
i
theo (3-5.13), đa thc ni suy có dng:
);() (
!
)).((
!2
)(
!1
)(
1
0
1
2
2
2
1
xxxx
hn
y
xxxx
h
y
xx
h
y
yxP
n
n
n

nn
n
n
n
nn
−−
∆
++−−
∆
+−
∆
+=
−
−−
(3-5.14)
t
h
xx
t
n
−
= , suy ra x=x
n
+ t.h thì: x - x
i
= x - x
n
+ x
n
- x

i
= t.h + (n - i).h = (t + n - i).h; thay
vào (3-5.14) đc:
;
!
)1() 1(

!2
)1(
!1
)(
02
2
1
y
n
nttt
y
tt
y
t
yxP
n
nnnn
∆
−
+
+
++∆
+

+∆+=
−−
(3-5.15)
Các đa thc theo (3-5.14) và (3-5.15) gi là đa thc ni suy Niutn lùi xut phát t x
n
vi các nút
cách đu, thng dùng khi tính giá tr hàm ti x gn x
n
cui bng sai phân.
u đim ca đa thc ni suy Niutn là không phi tính li t đu nu phi thêm nút ni suy mi.

Trong nhiu trng hp mc dù đã bit biu thc gii tích ca hàm f(x) nhng vì nó quá phc
tp nên vic tính toán giá tr hàm ti các đim mt nhiu công sc.  cho vic tính toán đn
gin hn, ta cng tính giá tr hàm  n+1 đim thuc đon [a,b] ri xây dng hàm ni suy có biu
thc đn gin hn. Vic thay th hàm f(x) bng hàm ni suy nh vy gi là xp x hàm.
1.7. Xp x hàm bng PP bình phng bé nht:
1.7.1. Gii thiu:
Phng pháp xp x hàm bng đa thc nh trên có mt s nhïc đim sau:
- Nu nhiu nút ni suy thì bc ca đa thc là rt ln gây khó khn cho tính toán cng nh
din gii.
- Các đim ni suy xác đnh bng thc nghim nên nói chung đ chính xác không cao, vì
vây đa thc ni suy cn đi qua các nút (y
i
= f(x
i
)) là cha tht hp lý.
- Nu hàm f(x) là các hàm tun hoàn thì ni suy bng đa thc nguyên là không phù hp.
Trong trng hp này nên chn hàm xp x là đa thc lng giác.
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
28
Ni dung ca PP bình phng bé nht là chn hàm xp x P(x) thuc mt lp hàm nào đó đn
gin hn f(x). Hàm P(x) s ph thuc mt s tham s, các tham s này đc xác đnh sao cho
sai s bình phng
[]
∑
=
−=
n
i
ii
xPxfS
1
2
)()( là bé nht.
1.7.2. Hàm xp x ph thuc các tham s mt cách tuyn tính:
1.7.2.1. Trng hp P(x) = ax + b:
Chn P(x) = ax + b;
Khi đó thay f(x
i
) = y
i
và P(x
i
) = ax
i
+ b vào công thc tính sai s bình phng S ta có:

[]

∑
=
−−=
n
i
ii
bxayS
1
2
. ; Trong đó x
i
, y
i
(i = 1, 2, , n) đã bit, S ph thuc a, b.
 S bé nht thì a, b phi tho h phng trình:
;
b
S
;
a
S
00 =
∂
∂
=
∂
∂

Hay:
⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
∑∑
∑∑∑
;.
;.
2
ii
iiii
ynbxa
yxxbxa

1.7.2.2. Trng hp P(x) = ax2 + bx + c:
Sai s bình phng S s là:
[
]
∑
=
−−−=
n
i
iii
cxbxayS
1
2
2

;
 S bé nht thì a, b, c phi tho h phng trình:
;
c
S
;
b
S
;
a
S
000 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂

Hay:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++

∑∑∑
∑∑∑∑
∑
∑∑∑
;.
;.
;.
2
23
2234
iii
iiiii
iiiii
yncxbxa
xyxcxbxa
xyxcxbxa

1.7.2.3. Trng hp P(x) = a + b.cosx + c.sinx:
Khi đó:
[]
∑
=
−−−=
n
i
iii
xcxbayS
1
2
sin.cos ;

Các tham s a, b, c đc xác đnh t h phng trình:
;
c
S
;
b
S
;
a
S
000 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂

Hay:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
∑∑∑∑

∑∑∑∑
∑
∑
∑
;sinsincossinsin
;cos.cossincoscos
;sincos.
2
2
iiiiii
iiiiii
iii
xyxcxxbxa
xyxxcxbxa
yxcxbna