Đáp Án Và Lởi Giải Chi Tiết Toán B1

TOÁN B1

CHƯƠNG I
GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN

Câu 1: ( 2điểm )
1

1

1  x 3  1  lim 1  2x  4  1
1  x 2  1  1  4 1  2x
Ta có: lim

lim
x 0
x 0
x 0
x  x2
x  x2
x  x2
2

3

Khi x  0 thì 1  x

2



1
3

1
1
1
x
 1  x 2 , 1  2x  4  1  (2x)  
3
4
2

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

Nên

1 2
x
1 2
x
x

x

1  x 2  1  1  4 1  2x
2  lim 3  lim 2  lim 1 x  1  1
lim
 lim 3 2  lim

2
x 0
x 0 x  x
x 0 x  x 2
x 0
x 0 x
x 0 3
xx
x
2 2
3

(1,0 điểm)
Câu 2: ( 2điểm )
1

1

1

Ta có: lim  cosx  x 1+ tanx  x  lim 1  cosx - 1 cosx-1
x 0

x 0

cosx -1
x

1

1+ tanx  t anx

.

t anx
x

e

lim
x 0

cosx -1
x

e

lim
x 0

(1,0 điểm)

1
Khi x  0 thì cosx - 1   x 2 , t anx  x
2
nên

1
x

lim  cosx +sinx   e
x 0

x2
lim 2
x 0 x


e

lim

(0,5điểm)

x

x 0 x

e

(0,5 điểm)

Câu 3: ( 2điểm )
1

t anx
x


1  cosx + cosx  cosx 1  2sin 2 x 

1  cosx cos2x 
Ta có: lim 


  lim
x 0
x 0
x2
x2







2
 cosx  1  2sin x
1  cosx 

= lim 
 lim 
2


x 0 
x

0
x

x2






Khi x  0 thì 1  cosx 

x2
, 1  2sin 2 x
2



 x2

1  cosx cos2x 
Vậy lim 
=
lim
 22

2
x

0
x 0
x
 x









1
2

1
2

(0,5 điểm)


 1 





(0,5 điểm)

 1   sin 2 x

(0,5 điểm)




 cosx sin 2 x  1
3
  lim 
  1 
2
x 0
2
x


 2


(0,5 điểm)

Câu 4: ( 2điểm )
1

1  xsinx  cos2x
 lim
x 0
2 x
tan
2

Ta có: lim
x 0

1





1  xsinx  2  1  1  2sin 2 x  2  1


tan 2

x
2

 (0,5 điểm)

Khi x  0 :
1

1  xsinx  2  1 
Do đó lim
x 0

Vậy lim
x 0

1
1
xsinx  x 2 , 1  2sin 2 x
2
2





1
2

 1   sin 2 x   x 2 , tan 2

1 2
x
1  x sin x  1
1  cos 2 x
 x2
 lim 21 2  2 và lim
  lim 1 2  4
x 0
x 0
x 0
x
x
4 x
4 x
tan 2
tan 2
2
2

1  xsinx  cos2x

1  xsinx  1
1  cos2x
 lim
 lim
6
x

0
x

0
x
x
x
tan 2
tan 2
tan 2
2
2
2

2

x x2

2 4
(1,0 điểm)

(5,0 điểm)

Câu 5: ( 2điểm )

s inx
- sinx
t anx - sinx
s inx(1-cosx)
cosx
Ta có: lim

lim
 lim
3
x 0 arctanx 3
x 0
x

0
arctanx
cosx. arctanx 3
x2
Khi x  0 thì sinx  x,1-cosx 
,arctanx 3  x 3
2

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

x3

t anx - sinx
1
2
lim
 lim

3
3
x 0 arctanx
x 0 cosx. x
2

(1,0 điểm)

Câu 6: ( 2điểm )
Khi x  0 : sin 2012 x  x 2012 , t an 2 x  x 2 ,ln(1 + x 6 )  x 6
Do đó

sin 2012 x  tan 2 x  x  x , ln(1  x 6 )  2 x  2 x

(0,5 điểm)

s in 2012 x + t an 2 x + x
x
1
(1,5 điểm)
 lim

6
x 0

x  0 2x
ln(1 + x )  2x
2

Nên lim

Câu 7: ( 2điểm )
1

 3x  4
3x
3x
4 1
1
1    1
4
16  3x  2
9
16
16

Ta có: lim 3
 lim
 lim 
 lim 64  (2,0 điểm)
1
x 0
x 0
x 0
x 0 x

16
8+2x  2
x
3 1+
 x 3
1
12
1+   1
4
 4
Câu 8: ( 2điểm )

Đặt t 



 x . Khi x  thì t  0
2
2

(0,5 điểm)

cos t


 
Vậy lim   x  t anx = lim t t an   t   lim t.co t t = lim t.
1

t 0

t 0
2  t 0
sin t


x  2
2
Câu 9: ( 2điểm )
3

(1,5 điểm)


Ta có:
3
cosx  3 cosx
cosx  1
cosx  1
lim

lim

lim
2
2
x 0
x 0
x 0
sin x
sin x

sin 2 x

cosx-1

 lim
x 0

2

sin x





cosx  1

cosx-1

 lim
x 0

sin 2 x



3

Khi x  0 thì sin 2 x  x 2 , cosx-1  

lim
x 0

cosx  3 cosx
 lim
x 0 2
sin 2 x
x

(0,5 điểm)





cos 2 x  3 cosx  1
x2
2

(0,5 điểm)

x2

2
 lim
cosx  1 x 0 x 2





x2

1 1 1
2

 
3
2
3
4
6 12
cos x  cosx  1



(1,0 điểm)
Câu 10: ( 2điểm )
Ta có: lim

x 0

x4
4x 3
12x 2

lim

lim
0

x 2  2cos x  2 x  0 2x  2s inx x  0 2  2cosx

(2,0 điểm)

Câu 11: ( 2điểm )
Ta có: lim  cot x 
x 0

1
ln x

1

 lim e

ln  cot x  ln x

lim

e

x 0 

1
ln cot x 
ln x

1
1
 2


2
ln  cot x 
lim
 lim s in x  lim s in x  1
1 x  0 cos x 1
x 0
x 0
ln x
cot x.
.
x
s inx x
1

Vậy lim  cot x  ln x  e1 
x 0

(0,5điểm)

x 0

1
e

(1,0 điểm)

(0,5 điểm)

Câu 12: ( 2điểm )

2 
cosx-2
1
 s inx-2x 


Ta có: lim  
 lim 
 lim 


  
x 0  x
sinx  x  0  x sinx  x  0  s inx + x.cosx 
Câu 13: ( 2điểm )
4

(2,0 điểm)


s inx

x

 s inx  x - sinx
 s inx  s inx-x
Ta có: lim 
 lim  1 
 1


x 0 
x 0 
x 
x


.

s inx-x s inx
.
x x - sinx

 e 1 

1
e

(2,0 điểm)

Câu 14: ( 2điểm )

x2
Khi x  0 thì arcsin x  x,1  cosx 
,sin 3 x  x 3 , tan 3 x  x 3 ,sin 2 x  x 2
2
3
2
Nên
1  2arcsin x  cos x  sin x  x  2 x , tan 3 x  6sin 2 x  x  10 x 4  x
(1,0 điểm)

1  2arcsin x  cos x  sin 3 x  x 2
2x
 lim
2
3
2
4
x 0
x 0 x
tan x  6sin x  x  10x

Vậy lim

(1,0 điểm)

Câu 15: ( 2điểm )
1

Ta có: A  lim 1  sin 2x  sin 2 x
x 0

sin 2x
2 x2

e

lim

1

x 0 x

(0,5 điểm)

Khi x  0 thì lim

1
  nên A = 
x

(0,5 điểm)

Khi x  0 thì lim

1
  nên A = 0
x

(0,5 điểm)

x 0

x 0

1

Vậy không tồn tại lim 1  sin 2x  2x

(0,5 điểm)

2

x 0

Câu 16: ( 2điểm )

2

ln  arctanx 

2


Ta có: lim x.ln  arctanx   lim 
x 
x

1


x
2 1
-x 2
.
.
2
1
2
 1+x 2

= lim
 lim 1+x 

x 
x  arctanx
1 2


 2 . arctanx
x 
2
5

(0,5 điểm)

(1,5 điểm)


Câu 17: ( 2điểm )

1 
1 
Do arctan     xarctan    x
x 2
x 2

(1,0 điểm)


1

x  0 nên lim x.arctan    0
x 0
x 0 2
x

(1,0 điểm)

Mà lim

Câu 18: ( 2điểm )

Ta có: lim 1  x 

1
arctan  
x

x 0

1

 lim 1  x  x

1
x arctan  
x

x 0

e

1
lim x.arctan  
x

x 0

 e0  1

(2,0 điểm)

Câu 19: ( 2điểm )
1


x
1

x

e



1 
1 x  e


  lim  1  x x 
Theo quy tắc L’ Hospital ta có: lim

 lim



x 0
x0
x 0 
x
x


Đặt
1
x

y  1  x 

1
x

x

 ln(1  x)
1
1
y   ln 1  x   x  x  ln(1  x)
x . x 1

 ln y  ln 1  x   


y

1

x


x
y
x2
x2
(1,0 điểm)

 x

x

ln(1

x)

ln(1

x)
1
 x 1

Nên A  lim 1  x  x .lim x  1 2
 e.lim 
x 0

x 0
x 0
x
 x 2 

(0,5 điểm)

 1
1  (x  1) 
1 
 (x  1) 2  x  1 

2 
  e.lim  (x  1)   e.lim   x . 1   e.lim  1 . 1    1 e
 e.lim 
x 0
x 0
x 0  (x  1) 2 2x 
x 0  (x  1) 2 2 
2x
2x
2




( 0,5 điểm)

CHƯƠNG II
6

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Câu 20: ( 2điểm )

Ta có: y  x s inx  ln y  sinx.lnx 

y
sinx
sinx 

 cosx.lnx +
 y=x s inx  cosx.lnx +

y
x
x 

(2,0 điểm)

Câu 21: ( 2điểm )

3

Ta có: y 

x  1  2x  3
10

x (7x  3)

5
5

 ln y  ln 3 x  1  ln  2x  3  ln x  ln(7x  3)10

(0,5 điểm)

1
1
 ln y  ln(x  1)  5ln  2x  3  ln x  10 ln(7x  3)
3
2


y
1
10
1
70




y 3(x  1) 2x  3 2x 7x  3
3

 y 

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

5

x  1  2x  3   1
10
1
70 
 3(x  1)  2x  3  2x  7x  3 
10
x (7x  3) 


(0,5 điểm)

Câu 22: ( 2điểm )

Ta có: y  x x  ln y  x.lnx

(0,5 điểm)

y
 lnx +1
y

(0,5 điểm)

 y  = y  lnx +1

(0,5 điểm)



7


 y  = x x  lnx +1

(0,5 điểm)

Câu 23: ( 2điểm )

Ta có: y 

 y 

 y 

1
2 arctan2x

 arctan2x  

1
1  9x

2

 3x 

1

1
3
2x  
2 
2 arctan2x 1  4x
1  9x 2
1
1  4x

2

arctan2x



3

(1,0 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

1  9x 2

Câu 24: ( 2điểm )

Ta có: y  2lnx. ln x  

1
2 1  ln 3x

1  ln 3x 

(1,0 điểm)

 y 

2lnx
1
1

.  3x 
x
2 1  ln 3x 3x

(0,5 điểm)

 y 

2lnx
1

x
2x 1  ln 3x

(0,5 điểm)

Câu 25: ( 2điểm )
8


Ta có: y 

2

1
1
2
3 . sin 2 x  
sin
x
.1  arcsin2x 




3
2 1  arcsin2x

1

 y 

4

3

3 sin x
 y 

 y 

2sin x.  sin x  

1
3

3sinx sin x

2cosx
3

3 sin x

+

1
2 1  arcsin2x

.

1
1  4x

2

(1,0 điểm)

 2x  (0,5 điểm)

1

2sin x.cosx +
1  4x

2

1  arcsin2x

1
1  4x 2 1  arcsin2x

(0,5 điểm)

Câu 26: ( 2điểm )

 1 x2
Ta có: y 
4
2  1 x2
1

x

4

1 x2
1

 y 

 y 

 y 

2






3
4

1  1 x  1 x2
. .
2
4  1  x 2   1  x 2
1

x
4
1 x2
1

(0,5 điểm)





(0,5 điểm)

1
1
4x
. .
2
3
1  x 4  1  x 2  1  x 2 
4
4

2 
1 x2
1 x 
1

(0,5 điểm)

2

x
2

2
1 x
. 1 x2 
2 
1 x



x
1 x4

(0,5 điểm)

CHƯƠNG III
ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 27: ( 2 điểm )
9


Rõ ràng t  x 2  y 2  0  ( x, y )  (0, 0)

1/ ( 1 điểm )

sin( x 2  y 2 ) sin t

 1 khi ( x, y )  (0, 0)
x2  y 2
t

Do đó

Vì vậy

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y) 

2/ ( 1 điểm )

( 0,5 đ )

sin( x 2  y 2 )
1  11  0
( x , y )  (0,0)
x2  y 2

( 0,5 đ )

lim

f liên tục tại (0,0) 

lim

f ( x, y)  f (0, 0)

 m2016  2m1008  1  0  ( m1008  1) 2  0

( 0,5 đ )



m1008  1

( x , y )  (0,0)

( 0,5 đ )

 m  1  m  1

Câu 28: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )

Do đó

lim

( x , y )  (0,0)

Rõ ràng t  x 2  y 2  0  ( x, y )  (0, 0)
e

x2  y2
2

t

1

1  x2  y2 1

 lim
t 0

e2 1
1
2

(1  t )  1

t

 lim 2t  1
t 0

t
2

( 0,5 đ )

2

1
2

( vì khi ( x, y )  (0, 0) nên t  0: e  1  2t , (1  t )  1 
nên

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y ) 

e

lim

( x , y ) (0,0)

x2  y 2
2

2

1

1  x  y 2 1

1

t
2

)

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0) 

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y)  f (0, 0)

 m4  2m 3  1  1  m3 ( m  2)  0  m  0  m  2

( 0,5 đ )
( 0,5 đ )

Câu 29: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng t  x 2  y 2  0  ( x, y )  (0, 0)

10


x2  y 2
2

Do đó

t

t

2sin(e
 1)
sin(e 2  1)
2
 lim

lim
1
2
2
t
( x , y ) (0,0)
t 0
t 0 t
x y
2
2

( 0,5 đ )

lim

t
2

t
2

( vì khi ( x, y )  (0, 0) nên t  0: sin(e  1)  e  1  2t )
x2  y 2

nên

lim

( x , y )  (0,0)

2sin(e 2  1)
f ( x, y)  lim
1
( x , y )  (0,0)
x2  y 2

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )
x 2  y2

2sin(e 2  1)
Khi hàm f : f ( x, y) 
, f liên tục tại mọi ( x, y )   2 \ {(0, 0)} .
x2  y 2

Do đó
f liên tục trên  2  f liên tục tại (0,0)


lim

( x , y )  (0,0)

( 0,5 đ )

f ( x, y)  f (0, 0)

 m 2018  1  m  1  m  1

( 0,5 đ )

Câu 30: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng t  x 2  y 2  0  ( x, y )  (0, 0)
x2  y2
2

t

t
2arctan(e
 1)
arctan(e 2  1)
2
Do đó lim

lim

lim
1
t

( x , y )  (0,0)
t 0
t 0 t
x2  y 2
2
2

t
2

t
2

( vì khi ( x, y )  (0, 0) nên t  0: arctan(e  1)  e  1 

( 0,5 đ )
t
2

)

x2  y 2

nên

lim

( x , y )  (0,0)

2 arctan(e 2  1)

f ( x, y )  lim
1
( x , y )  (0,0)
x2  y 2

2/ ( 1 điểm )

11

( 0,5 đ )


x2  y 2

2 arctan(e 2  1)
Khi hàm f : f ( x, y) 
, f liên tục tại mọi ( x, y )   2 \ {(0, 0)} .
2
2
x y

Do đó
f liên tục trên  2  f liên tục tại (0,0)


lim

( x , y )  (0,0)

( 0,5 đ )

f ( x, y)  f (0, 0)

 2019 m  1  m  0

( 0,5 đ )

Câu 31: ( 2 điểm )
Rõ ràng t  x 2  y 2  0  ( x, y )  (0, 0)

1/ ( 1 điểm )

x2  y 2
t
)
ln(1  )
t
9
9  lim 9  1
Do đó lim
 lim 9
t
( x , y ) (0,0) 9
1  x 2  y 2  1 t  0 1  t  1 t 0 9
ln(1 

( vì khi
ln(1  9t ) 

( 0,5 đ )

( x, y )  (0, 0) nên t  0:
t
9

,

9

1

1  t  1  (1  t ) 9  1 

t
9

)

x2  y 2
)
9
f ( x, y )  lim
1
( x , y ) (0,0) 9
1  x2  y 2 1
ln(1 

Vì vậy

lim

( x , y ) (0,0)

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )
x2  y 2
)
9
Khi hàm f : f ( x, y) 
,
9
1  x2  y 2 1
ln(1 

f liên tục tại mọi ( x, y )   2 \ {(0, 0)} .

Do đó
f liên tục trên  2  f liên tục tại (0,0)


lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )  f (0, 0)

(2  2)log2 m  1  m2  1 (2  2)log2 m  m2



m  0
m  0

12

( 0,5 đ )


 (log 2 m )[log 2 (2  2 )]  2 log 2 m
 
 m  0
 (log 2 m )[log 2 (2  2 )  2]  0
 
( 0,5 đ )
 m  0
 log 2 m  0 ( v ì log 2 (2  2 )  2  0 )
 
 m 1
 m  0

Câu 32: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 0 

x2 y5
5
 y với mọi ( x, y)  (0, 0) và
2
2
x y

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:

Vì vậy

lim

( x , y )  (0,0)

lim

( x , y )  (0,0)

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y ) 

5

y  0 . ( 0,5 đ )

x2 y5
0
x2  y 2

x2 y5
 0 ( 0,5 đ )
( x , y )  (0,0) x 2  y 2

lim

2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0)



lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y)  f (0, 0)

 2m1 1  2m  1  2m  (2m  1)  2m  2m 1  | 2m | ( 0,5 đ )

 ( 2m  1 ) 2m  0
 2 m  1 ( vì 2 m  0 )
 m0

( 0,5 đ )

Câu 33: ( 2 điểm )
13


1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 0  (| x |  | y |) arctan(
và

lim

( x , y ) (0,0)

1

)  (| x |  | y |) với mọi ( x, y )  (0, 0)
|x|| y|
2

| x |  | y | 0 .

( 0,5 đ )

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
lim

( x , y ) (0,0)

Vì vậy

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y ) 

(| x |  | y |) arctan(

1
) 0

| x|| y|

lim (| x |  | y |) arctan(

( x , y )  (0,0)

1
)  0 ( 0,5 đ )
|x|| y|

2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0)



lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y)  f (0, 0)

( 0,5 đ )

 2m  1  m  | m 1| m(m  1)  0

 m  0  m 1

( 0,5 đ )

Câu 34: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 0  (| x |  | y |)sin(
và

1
)  | x |  | y | với mọi ( x, y )  (0, 0)
|x|| y|
lim

( x , y ) (0,0)

| x |  | y | 0 .

( 0,5 đ )

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
lim

( x , y ) (0,0)

Vì vậy

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y) 

(| x |  | y |) sin(

1
) 0
| x|| y|

lim (| x |  | y |)sin(

( x , y )  (0,0)

2/ ( 1 điểm )
14

1
)0
|x|| y|

( 0,5 đ )


f liên tục tại (0,0)
m
 3

2m 
1  0





lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )  f (0, 0)

m  0  m 1

( 0,5 đ )

g (m )

( vì g(0) = g(1) = 0 và pt. g(m) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt
(do g”(m)= 3m ln 2 3  0 trên  nên đồ thị hàm g lõm trên  ) )

( 0,5 đ )

Câu 35: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 0  ( x 2  y 2 ) cos(

1
)  x 2  y 2 với mọi ( x, y)  (0, 0)
x  y2
2

và

lim

( x , y ) (0,0)

x2  y 2  0 .

( 0,5 đ )

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
lim

( x , y ) (0,0)

Vì vậy

lim

( x , y )  (0,0)

( x 2  y 2 ) cos(

f ( x, y) 

1
) 0
x  y2
2

lim ( x 2  y 2 ) cos(

( x , y )  (0,0)

1
)  0 ( 0,5 đ )
x  y2
2

2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0)



lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )  f (0, 0)

 sin 9 m  cos10 m  1  sin 9 m  cos10 m  sin 2 m  cos 2 m


sin 2 m(sin 7 m  1)  cos 2 m(1  cos8 m)

( 0,5 đ )

sin 2 m(sin 7 m  1)  0
 2
(vì sin 2 m(sin 7 m  1)  0; cos 2 m(1  cos8 m)  0)
8
cos m(1  cos m)  0

15

sin m  0  sin m  1

cos m  0  sin m  0

 m  k
 sin m  0  sin m  1  
(k , l   )
 m    2l

2

( 0,5 đ )

Câu 36: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 0  ( x 2  y 2 )sin(

1
)  x 2  y 2 với mọi ( x, y )  (0, 0)
2
x y
2

và

lim

( x , y )  (0,0)

x2  y 2  0 .

( 0,5 đ )

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
lim

( x , y )  (0,0)

Vì vậy

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y ) 

( x 2  y 2 ) sin(

1
) 0
x  y2
2

lim ( x 2  y 2 ) sin(

( x , y ) (0,0)

1
)0
x  y2

( 0,5 đ )

2

2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0)



lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )  f (0, 0)

 cos( sin m)  1   sin m  2k ( k   )


( 0,5 đ )

sin m  2k (k   )  sin m  0 ( vì sin m  1 )

 m  l ( l   )

( 0,5 đ )

Câu 37: ( 1 điểm )

Khi ( x, y )  (0, 0) trên d : y  x ,

lim

( x , y )  (0,0)

16

4 x2
 2 (*)
x0 2 x 2

f ( x, y )  lim


Khi ( x, y )  (0, 0) trên  : y   x ,

lim

( x , y )  (0,0)

0
 0  2 (**)
x0 2 x 2

f ( x, y)  lim

( 0,5 đ )

Từ (*), (**) ta có : 

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )

Do đó f không liên tục tại (0,0)

( 0,5 đ )

Câu 38: ( 1 điểm )
Khi ( x, y )  (0, 0) trên d : y  0 ,

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )  lim
x 0

0
 0 (*)
x4

Khi ( x, y )  (0, 0) trên  : y  x ,
lim

( x , y ) (0,0)

Từ (*), (**) ta có : 

y4 1
  0 (**)
y 0 4 y 4
4

f ( x, y )  lim

lim

( x , y ) (0,0)

( 0,5 đ )

f ( x, y )

Do đó f không liên tục tại (0,0)

( 0,5 đ )

Câu 39: ( 1 điểm )
Khi ( x, y )  (0, 0) trên d : y  0 ,

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )  lim

x 0

0
 0 (*)
x2

Khi ( x, y )  (0, 0) trên  : y  x ,
lim

( x , y ) (0,0)

Từ (*), (**) ta có : 

x2 1
  0 (**)
x0 2 x 2
2

f ( x, y )  lim

lim

( x , y ) (0,0)

( 0,5 đ )

f ( x, y )

Do đó f không liên tục tại (0,0)

( 0,5 đ )

Câu 40: ( 1 điểm )
Khi ( x, y )  (0, 0) trên d : y  x ,

lim

( x , y ) (0,0)

Khi ( x, y )  (0, 0) trên  : y   x ,

17

x4
1

(*)
x 0 4 x 4
4

f ( x, y )  lim


lim

( x , y ) (0,0)

Từ (*), (**) ta có : 

 x 4 1 1


 (**)
x 0 4 x 4
4 4

( 0,5 đ )

f ( x, y )  lim

lim

( x , y ) (0,0)

f ( x, y )

Do đó f không liên tục tại (0,0)

( 0,5 đ )

Câu 41: ( 1 điểm )
Khi ( x, y )  (0, 0) trên d : y  x ,

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y )  lim
x0

0

 0 (*)
2 x2

Khi ( x, y )  (0, 0) trên  : y  0 ,
x2
 1  0 (**)
x2

( 0,5 đ )

Do đó f không liên tục tại (0,0)

( 0,5 đ )

lim

( x , y ) (0,0)

Từ (*), (**) ta có : 

f ( x, y )  lim

lim

( x , y ) (0,0)

x 0

f ( x, y )

Câu 42: ( 1 điểm )

Rõ ràng

f x'  ye xy , f y'  xe xy

Do đó

f x''2  y 2 e xy , f xy''  (1  xy )e xy , f y''2  x 2e xy

( 0,5 đ )

d 2 f ( x, y )  f x''2 dx 2  2 f xy'' dxdy  f y''2 dy 2

Nên

 y 2 e xy dx 2  2(1  xy)e xy dxdy  x 2e xy dy 2
d 2 f (1,1)  e[dx 2  4dxdy  dy 2 ]

Suy ra

( 0,5 đ )

Câu 43: ( 1 điểm )

Rõ ràng
Do đó

f x'  yx y 1 , f y'  x y ln x

f x''2  y ( y  1) x y  2 , f xy''  x y 1 (1  y ln x), f y''2  x y ln 2 x

18

( 0,5 đ )


Nên
d 2 f ( x, y )  f x''2 dx 2  2 f xy'' dxdy  f y''2 dy 2
 y ( y  1) x y 2 dx 2  2 x y 1 (1  y ln x)dxdy  x y ln 2 xdy 2

Suy ra

d 2 f (1, e)  e(e  1)dx 2  2dxdy

( 0,5 đ )

Câu 44: ( 1 điểm )

Rõ ràng

4
2
f x'  2 x  y  , f y'  x  2 y 
x
y

Do đó

f x''2  2 

4
2
, f xy''  1, f y''2  2  2
2
x
y

( 0,5 đ )

d 2 f ( x, y )  f x''2 dx 2  2 f xy'' dxdy  f y''2 dy 2

Nên

 (2 

Suy ra

4
2
)dx 2  2dxdy  (2  2 ) dy 2
2
x
y

d 2 f (1,1)  6 dx 2  2dxdy  4dy 2

( 0,5 đ )

Câu 45: ( 1 điểm )

Rõ ràng

Nên

 2015 f
 e x sin y.
x 2015

( 0,5 đ )

 2016 f

 (e x sin y )  e x cos y
2015
x y y

Do đó

 2016 f
(0, 0) =1
x 2015 y

19

( 0,5 đ )


Câu 46: ( 1 điểm )
f
y

f
x
 2
,
 2
2
x x  y
y x  y 2

Rõ ràng

Do đó

2 f 2 f
2 xy
2 xy



0
x 2 y 2 ( x 2  y 2 ) 2 ( x 2  y 2 )2

( 0,5 đ )

( 0,5 đ )

Câu 47: ( 2 điểm )

Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:
Từ

f
 x 4  f ( x, y )  x 4 y  C ( x)  f x''2  12 yx 2  C '' ( x) (1) ( 0,5 đ )
y

Nhưng f x''  12 x 2 y (2) .Từ (1),(2) : C '' ( x)  0  C ( x)  ax  b (a, b   ) ( 0,5 đ )
2

Khi đó a, b thỏa f (0, 0)  1, f (1,1)  2 với f ( x, y)  x 4 y  ax  b
Nên b =1 và a = 0

( 0,5 đ )

Vậy f ( x, y)  yx 4  1
 Thử lại : Rõ ràng f ( x, y)  yx 4  1 thỏa ycbt
 Vậy f ( x, y ) cần tìm định bởi : f ( x, y )  yx 4  1

( 0,5 đ )

Câu 48:( 1điểm)
 f
2
2
2
 y  x  2 y
 f ( x, y )  yx  y  C ( x)
f ( x, y ) cần tìm thỏa : 

( 0,5 đ )
2

 f ( x, x )  1
 f ( x, x 2 )  1


 f ( x, y )  yx 2  y 2  C ( x)

 f ( x, y )  yx 2  y 2  2 x 4  1
4
C ( x)  1  2 x

( 0,5 đ )

Câu 49: ( 1điểm )
 f
3
 f ( x, y )  y 3 x  x 2  C ( y )
  y  2x
f ( x, y ) cần tìm thỏa :  x

 f (1, y)  2
 f (1, y)  2

20

( 0,5 đ )


3
2
 f ( x, y )  y x  x  C ( y )


 f ( x, y )  y 3 x  x 2  y 3  1
3
C
(
y
)

1

y


( 0,5 đ )

Câu 50: ( 2điểm )

Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:
Từ

f
 10 xy 2  y 3  f ( x, y )  5 x 2 y 2  y 3 x  C ( y )  f y''2  10 x 2  6 yx  C '' ( y ) (1) ( 0,5 đ )
x

Nhưng f y''  10 x 2  6 yx (2) .Từ (1),(2) : C '' ( y)  0  C ( y )  ay  b (a, b   ) ( 0,5 đ )
2

Khi đó a, b thỏa f (0, 0)  1, f (1,1)  7 với f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  ay  b
Nên b =1 và a = 0

( 0,5 đ )

Vậy f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  1
 Thử lại : Rõ ràng f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  1 thỏa ycbt
 Vậy f ( x, y ) cần tìm định bởi : f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  1

( 0,5 đ )

Câu 51: ( 2điểm )
Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:
Từ

f
 2 xy  8 x3  f ( x, y)  x 2 y  2 x 4  C ( y )  f y''2  C '' ( y ) (1)
x

Nhưng f y''  0 (2) .Từ (1),(2) : C '' ( y)  0  C ( y )  ay  b (a, b   )
2

( 0,5 đ )
( 0,5 đ )

Khi đó a, b thỏa f (0, 0)  1, f (1,1)  1 với f ( x, y)  yx 2  2 x 4  ay  b
Nên b = a = 1

( 0,5 đ )

Vậy f ( x, y )  yx 2  2 x 4  y  1
 Thử lại : Rõ ràng f ( x, y )  yx 2  2 x 4  y  1 thỏa ycbt
 Vậy f ( x, y ) cần tìm định bởi : f ( x, y )  yx 2  2 x 4  y  1

21

( 0,5 đ )


Câu 52: (2 điểm)

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
 f x'  0
4  2 x  0
x  2


 '
 4  2 y  0
 y  2
 f y  0

( 0,5 đ )

Tại điểm dừng I(2,-2):
A  f x''2 (2, 2)  2 , B  f xy'' (2, 2)  0, C  f y''2 (2, 2)  2

Nên   AC  B 2  4  0 , A  2  0
Do đó f đạt cực đại tại (2,-2)

( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )

Câu 53: (2 điểm)

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
 f x'  0
2 x  y  1  0
 x  1


 '
x  2 y 1  0
y 1
 f y  0

( 0,5 đ )

Tại điểm dừng I(-1,1):
A  f x''2 (1,1)  2 , B  f xy'' ( 1,1)  1, C  f y''2 ( 1,1)  2

( 0,5 đ )

Nên   AC  B 2  3  0 , A  2  0

( 0,5 đ )

Do đó f đạt cực tiểu tại (-1,1)

( 0,5 đ )

Câu 54: ( 2 điểm )

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
y
 f x'  0
x  1
1  e  0


 '
y
1  xe  0
y  0
 f y  0

22

( 0,5 đ )


Tại điểm dừng duy nhất I(1,0):
A  f x''2 (1, 0)  0 , B  f xy'' (1, 0)  1, C  f y''2 (1, 0)  1 ( 0,5 đ )

( vì f x''  0, f xy''  e y , f y''   xe y )
2

2

Ta có   AC  B 2  1  0

( 0,5 đ )

nên I(1,0) không là điểm cực trị
Vậy f không có cực trị

( 0,5 đ )

Câu 55: (2 điểm)

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
2
 f x'  0
x  y  0
x  0
 2( x  y)  3( x  y )  0



( 0,5 đ )
 '
2
2( x  y )  3( x  y)  0
x  y  0
y  0
 f y  0

Tại điểm dừng duy nhất O(0,0):
A  f x''2 (0,0)  2 , B  f xy'' (0, 0)  2, C  f y''2 (0, 0)  2

( vì f x''  2  6( x  y) , f xy''  2  6( x  y ) , f y''  2  6( x  y ) )
2

2

Ta có   AC  B 2  0

( 0,5 đ )

Trong mọi lân cận của O(0,0),
Khi y = x > 0:

f ( x, y)  f (0,0)  f ( x, x)  f (0, 0)  8 x3  0

Khi y = x < 0:

f ( x, y)  f (0,0)  f ( x, x)  f (0, 0)  8 x3  0 ( 0,5 đ )

Do đó theo cách chọn ( x, y ) như vậy, f ( x, y )  f (0, 0) đổi dấu
Vậy f không có cực trị
23

( 0,5 đ )


Câu 56: (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
 f x'  0
 2x  2 y  2  0

 x  y 1  0
 '
 2 x  2 y  2  0

 f y  0

( 0,5 đ )

Tại các điểm dừng M ( x0 , y0 ) thỏa x0  y0  1  0
A  f x''2 ( x0 , y0 )  2 , B  f xy'' ( x0 , y0 )  2, C  f y''2 ( x0 , y0 )  2

( vì f x''  2, f xy''  2, f y''  2 )
2

2

Ta có   AC  B 2  0

( 0,5 đ )

Vì vậy với x0  y0  1  0 :
f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  ( x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y )  ( x0 2  y0 2  2 x0 y0  2 x0  2 y0 )

 ( x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y )  [( x0  y0 ) 2  2( x0  y0 )]
 ( x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y )  [(1) 2  2]
 ( x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y )  1

( 0,5 đ )

 ( x  y  1)2  0

Do đó f đạt cực tiểu tại các điểm ( x0 , y0 ) sao cho x0  y0  1  0
( 0,5 đ )

24


Câu 57: (2 điểm)

Hàm Lagrange L: L( x, y )  x 2  y 2   ( x  y  10)
 L'x  0
2 x    0
x  5
 '


Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :  Ly  0
( 0,5 đ x 2)
 2 y    0   y  5

 x  y  10  0
  10


 x  y  10  0

Tại (5,5) : dL2 (5,5)  2dx 2  2dy 2  0 vì L"x  2, L"xy  0, L"y  2
2

2

( 0,5 đ )

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (5,5) và f (5,5)  50 ( 0,5 đ )

Câu 58 : (2 điểm)

Hàm Lagrange L: L( x, y )  xy   ( x, y )  xy   ( x  y  10)
 L'x  0
y    0
x  5
 '


Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :  Ly  0
 x    0
  y  5 ( 0,5 đ x2 )

 x  y  10  0
   5


 ( x, y)  0

Tại (5,5) : dL2 (5, 5)  2 dxdy  2dx 2  0
( vì L"x  0, L"xy  1, L"y  0 ; d (5,5)  0  dx  dy và dx 2  dy 2  0 )( 0,5 đ )
2

2

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (5,5) với f (5,5)  50

( 0,5 đ )

Câu 59 : (2 điểm)

Hàm Lagrange L: L( x, y )  x  2 y   ( x, y )  x  2 y   ( x 2  y 2  5)
 L'x  0
1  2 x  0
x  1
 x  1
 '



Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :  Ly  0
 1  2 y  0   y  2   y  2 ( 0,5 đ )

 2
   1   1
2

2

2
x  y  5  0
 ( x, y)  0

Tại (1,2) : dL2 (1, 2)  dx 2  dy 2  0
( vì L"x (1, 2)  1, L"xy (1, 2)  0, L"y (1, 2)  1 và dx 2  dy 2  0 )
2

2

25

( 0,5 đ )