Bài tập kiểm định giả thuyết thống kê có lời giải

TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH
1. Kiểm ñịnh giả thiết về trung bình tổng thể:
Giả sử X là BNN có trung bình (kỳ vọng) µ chưa biết.
Trường hợp 2
Kiểm ñịnh giả thiết ở
Trường hợp 1
2
mức α
X ~ N ( µ , σ ) biết
X ~ N ( µ , σ 2 ) chưa

σ
Dạng ñối Tiêu chuẩn
thiết
(thống kê
dùng ñể
kiểm ñịnh)
H 0 : µ = µ0 ;
Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

biết σ

X − µ0
n ~ N ( 0,1)
s

X − µ0

T=
n ~ t ( n −1)
S

U=

- gtth = u1−α / 2

- gtth = t1(−α /)2

- gtth = u1−α / 2

H1 : µ ≠ µ0

- H 0 bị bác bỏ khi
| u |> gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
| t |> gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
| u |> gtth

H 0 : µ = µ0 ;

- gtth = u1−α

- gtth = t1(−α )

- gtth = u1−α

H1 : µ > µ0

- H 0 bị bác bỏ khi
u > gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
t > gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
u > gtth

H 0 : µ = µ0 ;

- gtth = −u1−α

- gtth = −t1(−α )

- gtth = −u1−α

H1 : µ < µ0

- H 0 bị bác bỏ khi
u < gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
t < gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
u < gtth

U=

X − µ0

Trường hợp 3
Chưa biết phân
phối của X mẫu
lớn ( n > 30 )

σ

n ~ N ( 0,1)

n −1

n −1

n −1

2. Kiểm ñịnh giả thiết về tỉ lệ tổng thể (mẫu lớn n > 30 ):
Giả sử p là tỉ lệ tổng thể chưa biết. Từ mẫu kích thước n > 30 ta tính p thỏa ñiều kiện:

np > 5; n (1 − p ) > 5 .
Tiêu chuẩn (thống kê dùng ñể
kiểm ñịnh)
Kiểm ñịnh giả thiết ở mức α

U=

Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3

P − p0
p0 (1− p0 )

n ~ N ( 0,1)

H 0 : p = p0 ;

- gtth = u1−α / 2

H1 : p ≠ p0

- H 0 bị bác bỏ khi | u |> gtth

H 0 : p = p0 ;

- gtth = u1−α

H1 : p > p0

- H 0 bị bác bỏ khi u > gtth

H 0 : p = p0 ;

- gtth = −u1−α

H1 : p < p0

- H 0 bị bác bỏ khi u < gtth


3. So sánh hai trung bình với hai mẫu ñộc lập:
Giả sử X kỳ vọng µ X và phương sai σ X2 . Lấy mẫu ( X 1 , X 2 ,..., X n )
Giả sử Y kỳ vọng µY và phương sai σ Y2 . Lấy mẫu (Y1 , Y2 ,..., Ym ) . Hai mẫu ñộc lập.
Kiểm ñịnh giả
thiết ở mức α

Tiêu chuẩn
(thống kê dùng
ñể kiểm ñịnh)

Trường hợp 1
X , Y có phân phối
chuẩn biết σ X , σ Y

U=

X −Y

σ X2 σY2
n

Dạng1:
H 0 : µ X = µY ;
H1 : µ X ≠ µY

Dạng2:

H 0 : µ X = µY ;
H1 : µ X > µY

Dạng3:
H 0 : µ X = µY ;
H1 : µ X < µY

+

Trường hợp 2
X , Y có phân phối
chuẩn cùng phương sai
X −Y

T=

1 1 
S + 
 n m

~ N ( 0,1)

m

~ t ( n+m−2)

2

S

2

Trường hợp 3
Chưa biết phân phối
của X và Y mẫu
lớn ( n > 30; m > 30 )

U=

n −1) sX2 + ( m −1) sY2
(
=

X −Y
sX2 sY2
+
n m

~ N ( 0,1)

n+ m−2

( n + m − 2)

- gtth = u1−α / 2

- gtth = t1−α / 2

- gtth = u1−α / 2

- H 0 bị bác bỏ khi
| u |> gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
| t |> gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
| u |> gtth

- gtth = u1−α

- gtth = t1(−α

- gtth = u1−α

- H 0 bị bác bỏ khi
u > gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
t > gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
u > gtth

- gtth = −u1−α

- gtth = −t1(−α

- gtth = −u1−α

- H 0 bị bác bỏ khi
u < gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
t < gtth

- H 0 bị bác bỏ khi
u < gtth

n + m − 2)

n+ m−2)

4. So sánh hai tỉ lệ với hai mẫu lớn ñộc lập:
Giả sử có hai tổng thể với hai tỉ lệ tương ứng là p1 , p2 . Giả sử từ hai tổng thể ta rút ra hai
mẫu ñộc lập với kích thước n và m và tỉ lệ mẫu tương ứng là p1 và p2 , với ñiều kiện:

n > 30; m > 30; np1 > 5; n (1 − p1 ) > 5; mp2 > 5; m (1 − p2 ) > 5
Kiểm ñịnh giả thiết ở mức

α

Đặt pˆ =

Tiêu chuẩn (thống kê dùng
U=
ñể kiểm ñịnh)

Dạng1:
H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 = p2

Dạng2:
H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 > p2
Dạng3:
H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 < p2

np1 + mp2
n+m
P1 − P2

~ N ( 0,1)
1 1

pˆ (1− pˆ )  + 
 n m
- gtth = u1−α / 2
- H 0 bị bác bỏ khi | u |> gtth
- gtth = u1−α
- H 0 bị bác bỏ khi u > gtth
- gtth = −u1−α
- H 0 bị bác bỏ khi u < gtth


5. So sánh hai trung bình với dãy số liệu từng cặp:
Giả sử X kỳ vọng µ X và phương sai σ X2 . Giả sử Y kỳ vọng µY và phương sai σ Y2 . Lấy
mẫu theo từng cặp

(( X ,Y ) , ( X
1

1

2

( D1 , D2 ,..., Dn ) . Khi ñó, µ X = µY

, Y2 ) ,..., ( X n , Yn ) ) . Đặt D = X − Y khi ñó ta có mẫu
⇔ µD = 0

Kiểm ñịnh giả thiết ở mức α

Tiêu chuẩn (thống kê dùng ñể
kiểm ñịnh)

T=
Dạng1:
H 0 : µ D = 0; H1 : µ D ≠ 0
Dạng2:
H 0 : µ D = 0; H1 : µ D > 0
Dạng3:
H 0 : µ D = 0; H1 : µ D < 0

D
n ~ t ( n −1)
SD

- gtth = t1(−α /)2
n −1

- H 0 bị bác bỏ khi | t |> gtth
- gtth = t1(−α )

n −1

- H 0 bị bác bỏ khi t > gtth
- gtth = −t1(−α )
n −1

- H 0 bị bác bỏ khi t < gtth

6. Kiểm ñịnh giả thiết về phương sai:
Giả sử tổng thể X có phân phối N(µ, σ2), trong ñó σ chưa biết. Dựa vào mẫu cỡ n, chúng ta
kiểm ñịnh giả thiết H0: σ2 = σ 02 ở mức ý nghĩa α cho trước.
Tiêu chuẩn (thống kê dùng ñể kiểm ñịnh)
Kiểm ñịnh giả thiết ở mức α

Y =

Dạng1: H 0 : σ = σ 0 ; H1 : σ ≠ σ 0

(n −1) S 2
σo2

~ χ 2 ( n − 1)

- gtth = χα2 / 2 (n − 1) hoặc χ12− α / 2 (n − 1)
- H 0 bị bác bỏ khi
y < χα2 / 2 (n − 1) hoặc y > χ12−α / 2 (n − 1)

Dạng2: H 0 : σ = σ 0 ; H1 : σ > σ 0
Dạng3: H 0 : σ = σ 0 ; H1 : σ < σ 0

- gtth = χ12−α (n − 1)
- H 0 bị bác bỏ khi y > gtth
- gtth = χ α2 (n − 1)
- H 0 bị bác bỏ khi y < gtth


7. Kiểm ñịnh giả thiết về phân phối:

TH1: Trường hợp dữ liệu quan sát ở dạng bảng 1 chiều:
Kiểm ñịnh giả thiết:
H 0 : X có luật phân phối F (x )
H 1 : X không có phân phối
F (x ) ở mức α

Từ mẫu ta có các tần số quan sát: o1, o2 ,..., ok
Từ giả thiết H 0 ta có các tần số lý thuyết:
e1, e2 ,..., ek
k

Q =∑
2

(Oi − ei )2
ei

i =1

Oi2
− n ~ χ2 (ν )
∑

e
i =1
i
k

=

Giá trị tới hạn

Bậc tự do ν ñược xác ñịnh:
ν = k − 1 nếu các tần số lý thuyết có thể
ñược tính mà không có một sự ước lượng nào
từ mẫu
ν = k − 1 − m nếu các tần số lý thuyết có thể
ñược tính nhờ vào m ước lượng từ mẫu.
gtth = χ12−α (ν ) Tra bảng 6

H 0 bị bác bỏ

q2 = ∑

Tiêu chuẩn thống kê dùng ñể
kiểm ñịnh

oi2
− n > gtth
i = 1 ei
k

TH2: Trường hợp dữ liệu quan sát ở dạng bảng 2 chiều:

h dòng k cột:
Kiểm ñịnh giả thiết:
H 0 : X có luật phân phối F (x )
H 1 : X không có phân phối
F (x ) ở mức α

Từ mẫu ta có các tần số quan sát:
o11,..., o1k , o21,..., o2k ,..., oh 1,..., ohk
Từ giả thiết H 0 ta có các tần số lý thuyết:
e11,..., e1k , e21,..., e2k ,..., eh 1,..., ehk
k

h

Q2 = ∑ ∑
i =1 j = 1

Oij2
eij

− n ~ χ2 (ν )

Giá trị tới hạn

Bậc tự do ν ñược xác ñịnh:
ν = (k − 1)(h − 1) nếu các tần số lý thuyết
có thể ñược tính mà không có một sự ước
lượng nào từ mẫu
ν = (k − 1)(h − 1) − m nếu các tần số lý
thuyết có thể ñược tính nhờ vào m ước

lượng từ mẫu.
gtth = χ12−α (ν ) Tra bảng 6

H 0 bị bác bỏ

q2 = ∑ ∑

Tiêu chuẩn thống kê dùng ñể
kiểm ñịnh

k

h

i =1 j = 1

oij2
eij

− n ~ χ2 (ν ) > gtth